2020届高三数学140分突破专题训练1

〔 〕A ．P Q P =B ．P Q 包含QC ．P Q Q =D ． P Q 真包含于P2． 不等式21≥-xx 的解集为〔 〕 A ． )0,1[- B ． ),1[+∞- C ．]1,(--∞ D ．),0(]1,(+∞--∞ 3．对任意实数,,a b c 在以下命题中，真命题是〔 〕A ．""ac bc >是""a b >的必要条件B ．""ac bc =是""a b =的必要条件C ．""ac bc >是""a b >的充分条件D ．""ac bc =是""a b =的充分条件4．假设平面向量b 与向量)2,1(-=a 的夹角是o180，且53||=b ，那么=〔 〕 A ． )6,3(- B ． )6,3(- C ． )3,6(- D ． )3,6(-5．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分不是双曲线的左、右焦点。

假设3||1=PF ，那么=||2PF 〔 〕A ．1或5 B ． 6C ． 7D ．96．假设函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，那么a =〔 〕A ．42B ．22C ．41D ．217．假设过定点(1,0)M -且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点，那么k 的取值范畴是〔 〕A ．0k <<B ．0k <<C ．0k <<D ．05k << 8．如图，定点A 和B 都在平面α内，定点,,P PB αα∉⊥ C 是α内异于A 和B 的动点，且.PC AC ⊥那么，动点C 在平面α内的轨迹是〔 〕A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点 9． 函数13+=x y )01(<≤-x 的反函数是〔 〕A ．)0(log 13>+=x x yB ．)0(log 13>+-=x x yC ．)31(log 13<≤+=x x yD ．)31(log 13<≤+-=x x y10．函数],0[)(26sin(2ππ∈-=x x y )为增函数的区间是〔 〕A ．]3,0[πB ．]127,12[ππ C ．]65,3[ππ D ．],65[ππ11．如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，3,4,61===AA AD AB ，分不过BC 、11D A 的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分不记为111DFD AEA V V -=，11112D FCF A EBE V V -=,C F C B E B V V 11113-=. 假设1:4:1::321=V V V ，那么截面11EFD A 的面积为BACBα〔 〕A ．104B ．38C ．134D ．1612．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数.假设)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，那么)35(πf 的值为〔 〕 A ．21-B ．21 C ．23-D ．23参考答案专题训练〔10〕1.D2.A3.B4.A5.C6.A7.A8.B9.D 10.C 11.C 12.DA。

高考数学冲刺140分压轴题突破(五)学而思网校 邓诚第一题.已知函数f (x )的定义域为D,若对于任意a,b,c ∈D,f (a ),f (b ),f(c)分别为某个三角形的三边长,则称f (x )为“三角形函数”.给出下列四个函数:(1)f (x )=lnx (x >1),(2)f (x )=4+sinx,(3)f (x )=x 13(1≤x ≤8),(4)f (x )=2x +22x +1其中为“三角形函数”的个数是( )A.1B.2C.3D.4第二题.正三角形ABC 的边长为2,将它沿高AD 翻折,使点B 与点C 间的距离为√2,此时四面体ABCD 外接球的表面积为______.第三题.已知抛物线C:x 2=4y 的焦点为F,过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M,N 两点,设直线l 是抛物线C 的切线,且l ∥MN,P 为l 上一点,则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PN⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为_____.已知集合A ={x|y =2},B ={x |y =ln (1−x )},则A⋃B =( )A.[0,1]B.[0,1)C.(−∞,1]D.(−∞,1)第五题.已知椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形,直线x +y +2√2−1=0与以椭圆C 的右焦点为圆心,椭圆的长半轴长为半径的圆相切.(1) 求椭圆C 的方程;(2) 设点B,C,D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点,点B 与点D 关于原点O 对称.设直线CD,CB,OB,OC 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,k 4,且k 1k 2=k 3k 4. (i)求k 1k 2的值;(ii)求|OB |2+|OC |2的值.第六题.已知函数f (x )=lnx +x 2−2ax +1(a 为常数)(1) 讨论函数f (x )的单调性;(2) 若存在x 0∈(0,1],使得对任意的a ∈(−2,0],不等式2me a (a +1)+f (x 0)>a 2+2a +4都成立,求实数m 的取值范围.第一题.由f(a),f(b),f(c)是某个三角形的三边长,则任意两个数之和大于第三个数,若f(x)为“三角形函数”,则2f(x)min>f(x)max对于(1),f(x)的值域为(0,+∞),不满足条件;对于(2),f(x)的值域为[3,5],由3+3>5,可得满足条件;对于(3),f(x)的值域为[1,2],由1+1=2,不满足条件;对于(4),f(x)=1+12+1,值域为(1,2),此时2f(x)min>2>f(x)max.满足条件.说五毛钱的话:这道题是一个升级版的恒成立问题,大家碰到恒成立存在性问题重点是去思考函数最大值最小值之间的关系,可能是同一个函数的最大值最小值,也可能是不同函数的最大值最小值.这类题目应该说比较常见,大家需要对各种不同的情况做好笔记.第二题.由AD⊥DB,AD⊥DC,可得AD⊥平面DBC,又DB=DC=1,BC=√2,则DB2+DC2=BC2,所以DB⊥DC.则DA,DB,DC两两垂直.可以将三棱锥补形成一个边长为1,1,√3的长方体,三棱锥的外接球半径和该长方体外接球半径一致.可得R=12√12+12+(√3)2=√52.所以表面积为4πR2=5π.说五毛钱的话:求解几何体外接球问题是很常见的一类立体几何小题,可以采用寻找球心的方法,也可以像这道题一样补形,一般来说补形的目标都是棱柱,大家以后遇到类似的可以尝试往这方面想.当然这道题也可以用找球心的方法,大家不妨一试~~第三题.由题意知F (0,1),所以过点F 且斜率为1的直线方程为y =x +1, 代入x 2=4y 可得x 2−4x −4=0,则x =2±2√2.设M(2−2√2,3−2√2),N(2+2√2,3+2√2).设直线l 和抛物线相切于点(x 0,y 0),由l ∥MN,可得切线斜率等于直线MN 斜率,由y =x 24,可得y =x 2,则x 02=1,所以x 0=2,则切点为(2,1).则直线l 方程为y =x −1.设P (m,m −1),则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x −2√2,4−x −2√2),PN⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x +2√2,4−x +2√2),所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PN⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x )2−8+(4−x )2−8=2x 2−12x +4 =2(x −3)2−14≥−14.说五毛钱的话:这道题比较综合,考察了抛物线,导数的几何含义,向量坐标表达和点乘,以及二次函数值域求解,算是一个比较正的题目,就是为了检验一下大家的基本功.第四题.由x −x 2≥0,可得0≤x ≤1,则A =[0,1]由1−x >0,可得x <1,则B =(−∞,1)所以A⋃B =(−∞,1].说五毛钱的话:集合运算应该说90%以上都会考交集,但是偶尔也会有并集出现,大家需要审题清楚.主要是我自己做的时候不小心看错造成了一万点伤害,我不想只有我一个人受伤…第五题.(1) 设椭圆C 的右焦点为F 2(c,0),则c 2=a 2−b 2(c >0).由题意可得,以椭圆C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x −c )2+y 2=a 2,圆心到直线x +y +2√2−1=0的距离d =√2−1|√2=a.又椭圆C 的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形,可得b =√3c,a =2c,带入√2−1|√2=a,可得a =2,c =1. 则椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)(i)设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),则D (−x 1,−y 1).则k 1k 2=y 2+y 1x 2+x 1∙y 2−y 1x 2−x 1=y 22−y 12x 22−x 12 由点B,C 都在椭圆上,可得{x 224+y 223=1x 124+y 123=1 两式相减可得x 22−x 124+y 22−y 123=0,则y 22−y 12x 22−x 12=−34. 所以k 1k 2=−34.(ii)由k1k2=k3k4,可得k3k4=−34.将y=k3x和椭圆x24+y23=1联立可得x12=124k32+3,同理x22=124k42+3又k4=−34k3,可得x22=124(−34k3)2+3=16k324k32+3则x12+x22=16k32+124k32+3=4,所以|OB|2+|OC|2=x12+y12+x22+y22=(x12+x22)+34(4−x12)+3 4(4−x22)=6+14(x12+x22)=7.说五毛钱的话:这道题应该算比较常规的一道解析几何题,关键核心在于k1k2是个定值的证明上,也是后面求|OB|2+|OC|2的关键.对于双曲线也有一个类似的结论成立,大家不妨依葫芦画瓢去试试. 第六题.(1)f′(x)=1x +2x−2a=2x2−2ax+1x(x>0),令g(x)=2x2−2ax+1,当a≤0时,由x>0,可得g(x)>1>0恒成立,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当0<a≤√2时,由∆=4(a2−2)≤0,可得g(x)≥0恒成立,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>√2时,由{x>0g(x)<0,可得x∈(a−√a2−22,a+√a2+22),则函数f(x)在(a−√a2−22,a+√a2+22)上单调递减;由{x>0g(x)>0,可得x∈(0,a−√a2−22)或(a+√a2+22,+∞).则函数f(x)在(0,a−√a 2−22)和(a+√a 2+22,+∞)上分别单调递增.(2) 由(1)可得当a ∈(−2,0]时,函数f (x )在(0,1]上单调递增,所以当x ∈(0,1]时,函数f (x )的最大值是f (1)=2−2a,依题意可得2me a (a +1)+f (x 0)max >a 2+2a +4即对任意的a ∈(−2,0]都有2me a (a +1)−a 2−4a −2>0恒成立. 设h (a )=2me a (a +1)−a 2−4a −2,由h (0)=2m −2>0,可得m >1.且h ′(a )=2me a (a +1)+2me a −2a −4=2(a +2)(me a −1), 由h ′(a )=0可得a =−2或−lnm,因为a ∈(−2,0],只需考虑−lnm. 当−2<−lnm <0,即1<m <e 2时,可得a ∈(−2,−lnm )时,h ′(a )<0,a ∈(−lnm,0)时,h ′(a )>0,所以h (a )min =h (−lnm )=lnm (2−lnm )>0恒成立,满足条件. 当−lnm =−2,即m =e 2时,h ′(a )=2(a +2)(e a+2−1),由a ∈(−2,0]可得h ′(a )>0,可得h (a )在(−2,0]上单调递增,且h (−2)=2e 2e −2(−1)−4+8−2=0,所以a ∈(−2,0]时,h (a )>h (−2)=0成立;当−lnm <−2,即m >e 2时,h (−2)=−2me 2+2<0,ℎ(0)=2m −2>0,且此时存在x 0∈(−2,0]满足h (x 0)=0,与条件矛盾.综上可得m 的取值范围是(1,e 2].说五毛钱的话:这道题第一问比较常规,常见的求导分类讨论求解,第二问也比较常规,常见的恒成立和存在性并存,一步一步分析,但是这些都是基本功,需要全面掌握.。

2020届高三数学140分突破专题训练1A ．[1,)+∞B ．23(,)+∞ C．23[,1] D ．23(,1]2．函数221()1xf x x -=+, 那么(2)1()2f f = 〔 〕 A ．1 B ．－1 C ．35D ．35-3．圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为〔 〕A ．2B ．2C ．1D 4．不等式221x x +>+的解集是 〔 〕 A ．(1,0)(1,)-+∞ B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(1,0)(0,1)- D ．(,1)(1,)-∞-+∞5．sin163sin 223sin 253sin313+=〔 〕A ．12-B ．12C ．D 6．假设向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,那么向量a 的模为〔 〕A ．2B ．4C ．6D ．12 7．p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。

那么p 是q 成立的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出以下命题 〔 〕① ////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭② //////m n n m ββ⎫⇒⎬⎭③,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面 ④//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭其中假命题有：〔 〕 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个9． 假设{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，那么使前n 项和0n S > 成立的最大自然数n 是 〔 〕 A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．400810．双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分不为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,那么此双曲线的离心率e 的最大值为 〔 〕A ．43 B ．53C ．2D ．73 11．盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，那么他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为〔〕A．2140B．1740C．310D．712012．如图，棱长为5的正方体不管从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，那么那个有孔正方体的表面积〔含孔内各面〕是〔〕A．258 B．234C．222 D．210参考答案专题训练〔1〕1．D 2．B 3．D 4．A 5．B 6．C7．A 8．D 9．B 10．B 11．D 12．C。

A. {|}x x 12<<B. {|}x x -<<21C. {|}x x 12<≤D. {|}x x -≤<212．满足条件||||z i =+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是〔 〕A. 一条直线B. 两条直线C. 圆D. 椭圆3．设m 、n 是两条不同的直线，αβγ,,是三个不同的平面，给出以下四个命题： ①假设m ⊥α，n //α，那么m n ⊥ ②假设αβ//，βγ//，m ⊥α，那么m ⊥γ ③假设m //α，n //α，那么m n // ④假设αγ⊥，βγ⊥，那么αβ// 其中正确命题的序号是〔 〕A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ①和④4．a 、b 、c 满足c b a <<，且ac <0，那么以下选项中一定成立的是〔 〕A. ab ac >B. c b a ()-<0C. cb ab 22<D. ac a c ()->05．从长度分不为1，2，3，4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n 种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m ，那么m n 等于〔 〕 A. 0 B. 14 C. 12D. 34 6．如图，在正方体ABCD A B C D -1111中，P 是侧面BB C C 11内一动点，假设P 到直线BC 与直线C D 11的距离相等，那么动点P 的轨迹所在的曲线是〔 〕 A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线 7．函数f x x ax ()=--223在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是〔 〕 A. a ∈-∞(,]1 B. a ∈+∞[,)2C. a ∈-∞⋃+∞(,][,)12D. a ∈[,]12 8．在以下关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是〔 〕A ．假设l ⊂β且α⊥β,那么l ⊥α.B ．假设l ⊥β且α∥β,那么l ⊥α.C ．假设l ⊥β且α⊥β,那么l ∥α.D ．假设α∩β=m 且l ∥m,那么l ∥α.9．三角方程2sin(2π－x )=1的解集为〔 〕 A ．{x │x =2k π+3π,k ∈Z}. B ．{x │x =2k π+35π,k ∈Z}. C ．{x │x =2k π±3π,k ∈Z}. D ．{x │x =k π+(－1)K 3x ,k ∈Z}. 10．假设函数y=f(x)的图象与函数y=lg(x +1)的图象关于直线x －y=0对称,那么f(x)=〔 〕A ．10x －1.B ．1－10x .C ．1－10—x .D ．10—x －1.11．某地2004年第一季度应聘和聘请人数排行榜前5个行业的情形列表如下假设用同一行业中应聘人数与聘请人数比值的大小来衡量该行业的就业情形,那么依照表中数据,就业形势一定是 〔 〕1A 1 CA ．运算机行业好于化工行业.B ．建筑行业好于物流行业.C ．机械行业最紧张.D ．营销行业比贸易行业紧张.12．函数f x x x P x x M(),,=∈-∈⎧⎨⎩，其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f P y y f x x P (){|(),}==∈，f M y y f x x M (){|(),}==∈，给出以下四个判定：①假设P M ⋂=∅，那么f P f M ()()⋂=∅ ②假设P M ⋂≠∅，那么f P f M ()()⋂≠∅③假设P M R ⋃=，那么f P f M R ()()⋃= ④假设P M R ⋃≠，那么f P f M R ()()⋃≠ 其中正确判定有〔 〕 A. 3个 B. 2个 C. 1个D. 0个参考答案专题训练〔13〕 1．D 2．C 3．A 4．A 5．B 6．D 7．C 13．B 14．C 15．A 16．B 8．B。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，那么()U C A B 等于( )A ．{1，2，4}B ．{4}C ．{3，5}D ．∅ 2．︒+︒15cot 15tan 的值是〔 〕A ．2B ．2+3C ．4D ．334 3．命题p ：假设a 、b ∈R ，那么|a |+|b|>1是|a +b|>1的充要条件；命题q ：函数y=2|1|--x 的定义域是〔－∞，－1]∪[3，+∞).那么〔 〕A ．〝p 或q 〞为假B ．〝p 且q 〞为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真4．F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，假设△ABF 2是正三角形，那么那个椭圆的离心率为〔 〕A ．32B ．33C ．22D ．235．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，假设==5935,95S S a a 则〔 〕 A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 6．m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有以下命题：①假设m ⊂α，n ∥α，那么m ∥n ；②假设m ∥α，m ∥β，那么α∥β；③假设α∩β=n ，m ∥n ，那么m ∥α且m ∥β；④假设m ⊥α，m ⊥β，那么α∥β.其中真命题的个数是〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．37．函数y=log 2x 的反函数是y=f —1(x )，那么函数y= f —1(1－x )的图象是〔 〕8．a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，那么a 与b 的夹角是〔 〕A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 9．8)(x a x -展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，那么展开式中各项系数的和是〔 〕A ．28B ．38C ．1或38D ．1或2810．如图，A 、B 、C 是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60º，O 为球心，那么直线OA 与截面ABC 所成的角是〔 〕A ．arcsin 63B ．arccos 63C ．arcsin 33D ．arccos 33 11．定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2)，当x ∈[3，4]时，f(x)= x －2，那么 〔 〕 A ．f (sin 21)<f (cos 21) B ．f (sin 3π)>f (cos 3π) C ．f (sin1)<f (cos1) D ．f (sin 23)>f (cos 23) 12．如图，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C地在B 地的北偏东30°方向2 km 处，河流的沿岸PQ〔曲线〕上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ，现要在曲线PQ 上任意选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运物资，经测算，从M 到B 、C 两地修建公路的费用差不多上a 万元/km 、那么修建这两条公路的总费用最低是〔 〕A ．(7+1)a 万元B ．(27－2) a 万元C ．27a 万元D ．(7－1) a 万元参考答案专题训练〔2〕1.A2.C3.D4.B5.A6.B7.C 8.B 9.C 10.D 11.C 12.B。

问题01 数集与点集的运算一、考情分析集合是高考数学必考内容,一般作为容易题.给定集合来判定集合间的关系、集合的交、并、补运算是考查的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式(方程)的解集相结合,在知识交汇处命题,以选择题为主,多出现在试卷的前3题中． 二、经验分享(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合；如下面几个集合请注意其区别： ①{}220x x x -=；②{}22x y x x =-；③{}22y y x x =-；④(){}2,2x y y xx =-.(2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程2xy =的整数解集可表示为()()()(){}1,2,2,1,1,2,2,1----.(3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．(4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系. (5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况．(6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质． 三、知识拓展1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1. 2．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()U UA B A B U ⇔=∅⇔=I U痧 .3．奇数集：{}{}{}21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z .4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N 对加法运算是封闭的;整数集Z 对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F 是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F 中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍是F 中的数,即运算封闭,则称F 为数域. 四、题型分析(一)与数集有关的基本运算【例1】【2018年理新课标I 卷】已知集合，则A. B.C.D.【分析】首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.【点评】对于集合的运算,一般先把参与运算的集合化简,解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果，要注意端点值的取舍．【小试牛刀】【2017全国1理1】已知集合{}1A x x =<,{}31xB x =<,则（ ）. A. {}0A B x x =<I B. A B =R U C. {}1A B x x =>U D. A B =∅I 【答案】A【解析】{}1A x x =<,{}{}310xB x x x =<=<,所以{}0A B x x =<I ,{}1A B x x =<U .故选A.(二)与点集有关的基本运算 【例2】已知3(,)|3,{(,)|20},2y M x y N x y ax y a M N x -⎧⎫===++==∅⎨⎬-⎩⎭I ,则=a （ ） A ．－2 B ．－6 C ．2 D ．一2或－6【分析】首先分析集合M 是除去点(2,3)的直线33y x =-,集合N 表示过定点(1,0)-的直线,M N =∅I 等价于两条直线平行或者直线20ax y a ++=过(2,3),进而列方程求a 的值． 【解析】由3333(2)2y y x x x -=⇒=-≠-若M N φ=I ,则①：点(2,3)在直线20ax y a ++=上,即2602a a a ++=⇒=-；②：直线33y x =-与直线20ax y a ++=平行,∴362aa -=⇒=-,∴2a =-或6-.【点评】分析集合元素的构成,将集合运算的结果翻译到两条直线的位置关系是解题关键． 【小试牛刀】【2018年理数全国卷II 】已知集合，则中元素的个数为A. 9B. 8C. 5D. 4 【答案】A 【解析】，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A.(三)根据数集、点集满足条件确定参数范围【例3】设常数a ∈R ,集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0},B ＝{x |x ≥a －1},若A ∪B ＝R ,则a 的取值范围为( ) A ．(－∞,2) B．(－∞,2] C ．(2,＋∞) D．[2,＋∞)【分析】先得到A ＝(－∞,1]∪[a ,＋∞),B ＝[a －1,＋∞),再根据区间端点的关系求参数范围.【点评】求解本题的关键是对a 进行讨论.【小试牛刀】已知P ＝{x |2<x <k ,x ∈N},若集合P 中恰有3个元素,则k 的取值范围为________． 【答案】(5,6]【解析】因为P 中恰有3个元素,所以P ＝{3,4,5},故k 的取值范围为5<k ≤6. (四) 数集、点集与其他知识的交汇【例4】已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数T,对任意x ∈R,有()()f x T Tf x +=成立.（1）函数()f x x =是否属于集合M ？说明理由；（2）设函数()(0x f x a a =>且1a ≠）的图象与y x =的图象有公共点,证明：()x f x a =∈M；（3）若函数()sin f x kx =∈M ,求实数k 的取值范围.【分析】抓住集合M 元素的特征,集合M 是由满足()()f x T Tf x +=的函数构成． 【解析】（1）对于非零常数T ,f （x +T ）=x +T ,Tf （x ）＝Tx ． 因为对任意x ∈R,x +T =Tx 不能恒成立,所以f （x ）＝x M ．（2）因为函数f （x ）=a x（a >0且a ≠1）的图象与函数y =x 的图象有公共点, 所以方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==xy a y x 有解,消去y 得a x =x ,显然x =0不是方程的a x =x 解,所以存在非零常数T ,使a T=T ． 于是对于f （x ）=a x,有f （x ＋T ）=a x +T = a T ·a x =T ·a x =T f （x ）,故f （x ）=a x ∈M ．【点评】集合与其他知识的交汇处理办法往往有两种：其一是根据函数、方程、不等式所赋予的实数的取值范围,进而利用集合的知识处理；其二是由集合的运算性质,得到具有某种性质的曲线的位置关系,进而转化为几何问题处理．【小试牛刀】在直角坐标系xoy 中,全集},|),{(R y x y x U ∈=,集合}20,1sin )4(cos |),{(πθθθ≤≤=-+=y x y x A ,已知集合A 的补集A C U 所对应区域的对称中心为M ,点P 是线段)0,0(8>>=+y x y x 上的动点,点Q 是x 轴上的动点,则MPQ ∆周长的最小值为（ ） A ．24 B ．104 C ．14 D ．248+ 【答案】B(五)与数集、点集有关的信息迁移题 【例5】若集合A 具有以下性质： (Ⅰ)0∈A,1∈A ；(Ⅱ)若x ∈A ,y ∈A ,则x －y ∈A ,且x ≠0时,1x∈A .则称集合A 是“好集”．下列命题正确的个数是( ) (1)集合B ＝{－1,0,1}是“好集”；(2)有理数集Q 是“好集”；(3)设集合A 是“好集”,若x ∈A ,y ∈A ,则x ＋y ∈A . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【分析】抓住新定义的特点,根据“好集”满足的两个性质,逐个进行验证．【解析】选C,(1)集合B 不是“好集”,假设集合B 是“好集”,因为－1∈B,1∈B ,所以－1－1＝－2∈B ,这与－2∉B 矛盾．(2)有理数集Q 是“好集”,因为0∈Q,1∈Q ,对任意的x ∈Q ,y ∈Q ,有x －y ∈Q ,且x ≠0时,1x∈Q ,所以有理数集Q 是“好集”．(3)因为集合A 是“好集”,所以0∈A ,若x ∈A ,y ∈A ,则0－y ∈A ,即－y ∈A ,所以x －(－y )∈A ,即x ＋y ∈A .【点评】紧扣新定义,抓住新定义的特点,把新定义叙述的问题的本质搞清楚,并能够应用到具体的解题过程中．【小试牛刀】【2017浙江温州高三模拟】已知集合22{(,)|1}M x y x y =+≤,若实数λ,μ满足：对任意的(,)x y M ∈,都有(,)x y M λμ∈,则称(,)λμ是集合M 的“和谐实数对”,则以下集合中,存在“和谐实数对”的是（ ）A ．{(,)|4}λμλμ+=B ．22{(,)|4}λμλμ+= C ．2{(,)|44}λμλμ-= D ．22{(,)|4}λμλμ-= 【答案】C.【解析】分析题意可知,所有满足题意的有序实数对(,)λμ所构成的集合为{(,)|11,11}λμλμ-≤≤-≤≤,将其看作点的集合,为中心在原点,(1,1)-,(1,1)--,(1,1)-,(1,1)为顶点的正方形及其内部,A,B,D 选项分别表示直线,圆,双曲线,与该正方形及其内部无公共点,选项C 为抛物线,有公共点(0,1)-,故选C. 五、迁移运用1．【安徽省宿州市2018届第三次质检】已知全集，集合，集合，则（ ）A. B. C.D.【答案】A2．【四川省成都市2018届模拟】设，则是的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由得或，作出函数和，以及的图象，如图所示，则由图象可知当时，，当时，，因为，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.点睛：本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中正确作出相应函数的图象，利用数形结合法求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想方法的应用，以及推理与论证能力.3．【辽宁省葫芦岛市2018届第二次模拟】设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，的子集个数为故选C.4．【河南省洛阳市2018届三模】设集合，，则的子集个数为（）A. 4 B. 8 C. 16 D. 32【答案】C5．【安徽省皖江八校2018届联考】设集合,,若,则（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】∵，∴，即，∴，故选B. 6．【山东省济南2018届二模】设全集,集合,集合则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A. B.C.D.【答案】D【解析】由题意可得：，，∴故选：D7．【安徽省江南十校2018届二模理】已知全集为，集合，，则（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】因为，，所以，即．8．【2018届四川成都高三上学期一诊模拟】已知集合2{|},{|320},A x x a B x x x =<=-+<若,A B B ⋂=则实数a 的取值范围是（）A. 1a <B. 1a ≤C. 2a >D. 2a ≥ 【答案】D【解析】集合{}{}{}2|,|320|12A x x a B x x x x x =<=-+<=<<, ,A B B B A ⋂=∴⊆Q ,则2a ≥,故选D.9．【2018届安徽蒙城高三上学期“五校”联考】已知集合{}{}0,1,1,0,3A B a ==-+,若A B ⊆,则a 的值为（ ）A. 2-B. 1-C. 0D. 1 【答案】A【解析】 因为{}{}0,1,1,0,3A B a ==-+,且A B ⊆, 所以31a +=,所以2a =-,故选A.10．【2018届湖南省五市十校教研教改共同体高三12月联考】已知集合{}220M x x x =--<,{}1N x y x ==-,则M N ⋃=（ ）A. {}1x x >- B. {}12x x ≤< C. {}12x x -<< D. {}0x x ≥ 【答案】A【解析】[)[){|12},1,1,2M x x N M N =-<<=+∞∴⋃=,选A. 11.已知集合，，则的元素个数为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B12．设集合，，记，则点集所表示的轨迹长度为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意的圆心为，半径为1，而圆心（-3sinα，-3cos α），满足（-3sinα）2+（-3cosα）2=9， 故圆心在以（0，0）圆心，半径为3的圆上，∴集合A 对应的几何图形为圆x 2+y 2=4和x 2+y 2=16之间的圆环区域，13.【2017全国2理2】设集合{}1,2,4A =,{}240B x x x m =-+=.若1A B =I ,则B =（）.A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 【答案】C【解析】由题意知1x =是方程240x x m -+=的解,代入解得3m =,所以2430x x -+=的解为1x =或3x =,从而{}13B =，.故选C.14．若集合{}2|870,|3x M x N x x P x N ⎧⎫=∈-+<=∉⎨⎬⎩⎭,则M P I 等于（ ） A.{}3,6 B.{}4,5 C.{}2,4,5 D.{}2,4,5,7 【答案】C【解析】因为{}{}{}2|870|17=2,3,4,5,6,|3x M x N x x x N x P x N ⎧⎫=∈-+<=∈<<=∉⎨⎬⎩⎭,所以{}2,4,5M P =I ,故选C.15．已知集合{}∅=-==B A x y x A I ,1,则集合B 不可能是（ ）A ．{}124+<x x x B ．{}1),(-=x y y xC ．{}1-=x yD ．{})12(log 22++-=x x y y 【答案】D 【解析】{}{}11≥=-==x x x y x A ,{}{}1)12(log 22≤=++-=y y x x y y ,故选D.16.已知集合M 是由具有如下性质的函数()f x 组成的集合：对于函数()f x ,在定义域内存在两个变量12,x x 且12x x <时有1212()()f x f x x x ->-．则下列函数①()(0)x f x e x =>；②ln ()xf x x=；③()f x x =；④()1sin f x x =+在集合M 中的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B对于③(),()02f x x f x x'==>,函数()f x 在(0,)+∞单调递增,在定义域内存在两个变量12,x x 且12x x <时,在()f x 单调增区间时有0()1f x '<<,此时只须1x >时可得0()1f x '<<.满足题意对于④()1sin ,,()cos f x x f x x '=+=,函数()f x 在3(2,2)()22k k k Z ππππ++∈单调递减,在定义域内存在两个变量12,x x 且12x x <时,在()f x 单调减区间时有()0f x '<,满足题意.17．设{}n a 是公比为q 的等比数列,||1q >,令1(1,2,)n n b a n =+=L ,若数列{}n b 有连续四项在集合{53,23,19,37,82}--中,则q =（ ）A ．32-B ．43-C ．23-D ．32【答案】A18.已知集合A ＝{(x ,y )|x 2＋y 2≤1,x ,y ∈Z },B ＝{(x ,y )||x |≤2,|y |≤2,x ,y ∈Z },定义集合A ⊗B ＝{(x 1＋x 2,y 1＋y 2)|(x 1,y 1)∈A ,(x 2,y 2)∈B },则A ⊗B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．30 【答案】C【解析】如图,集合A 表示如图所示的所有圆点“”,集合B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”,集合A ⊗B 显然是集合{(x ,y )||x |≤3,|y |≤3,x ,y ∈Z }中除去四个点{(－3,－3),(－3,3),(3,－3),(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合A ⊗B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”,共45个．故A ⊗B 中元素的个数为45.故选C.19.非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意a ,G b ∈,都有G a b ⊕∈；（2）存在G e ∈,使得对一切G a ∈,都有a e e a a ⊕=⊕=,则称G 关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①{}G =非负整数,⊕为整数的加法；②{}G =偶数,⊕为整数的乘法；③{}G =平面向量,⊕为平面向量的加法；④{}G =二次三项式,⊕为多项式的加法；⑤{}G =虚数,⊕为复数的乘法．其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是（ ）A ．①③B ．②③C ．①⑤D ．②③④ 【答案】B20．若集合(){},,,|04,04,04,,,E p q r s p s q s r s p q r s N =≤<≤≤<≤≤<≤∈且,(){},,,|04,04,,,F t u v w t u v w t u v w N =≤<≤≤<≤∈且,用()card X 表示集合X 中的元素个数,则()()card E card F +=（ ）A ．50B ．100C ．150D ．200 【答案】D【解析】()()333312341010200card E card F +=++++⨯=,故选D.21．【2018届江苏省南京市多校高三上学期第一次段考】已知集合{}1,2,21A m =--,集合{}22,B m =,若B A ⊆,则实数m =__________． 【答案】1【解析】由题意得2211m m m =-⇒=,验证满足22.设P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a 、b P ∈,都有a b +、a b -、ab 、aP b∈（除数0b ≠）,则称P 是一个数域,例如有理数集Q 是数域,有下列命题：①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q M ⊆,则数集M 必为数域；④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是 ． 【答案】①④【解析】当a b =时,0,1a a b P b -==∈,故可知①正确；当11,2,2a b Z ==∉不满足条件,故可知②不正确；对③当M 中多一个元素i 则会出现1i M +∉所以它也不是一个数域；故可知③不正确；根据数据的性质易得数域有无限多个元素,必为无限集,故可知④正确,故答案为①④.【点评】本题考查简单的合情推理、新定义问题以及转化与划归思想,属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.本题的解答都围绕新概念“数域” 对任意a 、b P ∈,都有a b +、a b -、ab 、这一性质展开的.。

〕 A ．{1,4} B ．{1,6} C ．{4,6} D ．{1,4,6}2．点M 〔6，2〕和M 2〔1，7〕.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，那么m 的值为 〔 〕A ．23-B ．32- C ．41 D ．43．函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可能为〔 〕A ．)1(3)1()(2-+-=x x x f B ．)1(2)(-=x x fC ．2)1(2)(-=x x fD ．1)(-=x x f4．两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的公切线有且仅有〔 〕A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 5．假设函数的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x、三、四象限，那么一定有〔 〕A ．010><<b a 且B ．01>>b a 且C ．010<<<b a 且D ．01<>b a 且6．四面体ABCD 四个面的重心分不为E 、F 、G 、H ，那么四面体EFGH 的表面积与四面体ABCD 的表面积的比值是〔 〕A ．271 B ．161 C ．91 D ．81 7．,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,=⋅=⋅〔 〕A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．4254)(,252-+-=≥x x x x f x 则有〔 〕A ．最大值45B ．最小值45C ．最大值1D ．最小值19．数列{n a }的前n 项和),,2,1]()21)(1(2[])21(2[11 =+---=--n n b a S n n n 其中a 、b 是非零常数，那么存在数列{n x }、{n y }使得〔 〕A ．}{,n n n n x y x a 其中+=为等差数列，{n y }为等比数列B ．}{,n n n n x y x a 其中+=和{n y }都为等差数列C ．}{,n n n n x y x a 其中⋅=为等差数列，{n y }都为等比数列D ．}{,n n n n x y x a 其中⋅=和{n y }都为等比数列 10．假设,111ba <<那么以下结论中不．正确的选项是〔 〕 A ．a b b a log log >B ．2|log log |>+a b b aC ．1)(log 2<a bD ．|log log ||log ||log |a b a b b a b a +>+11．将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不．一致的放入方法种数为〔 〕 A ．120 B ．240 C ．360 D ．72012．设)(t f y =是某港口水的深度y 〔米〕关于时刻t 〔时〕的函数，其中240≤≤t .)ϕ的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是〔 〕A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin 312∈+=t t y πD ．123sin(),[0,24]122y t t ππ=++∈参考答案专题训练〔14〕1．D 2．D 3．A 4．B 5．C 6．C 7．B 8．D 9．C 10．D 11．B 12．A。

2019—2020学年高三数学140分突破一轮复习必备精品101．明白得不等式的性质及其证明．2．把握两个〔注意不扩展到三个〕正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用．3．把握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．4．把握简单不等式的解法．解法及最值方面的应用．高考试题中有以下几个明显的特点：1．不等式与函数、方程、三角、数列、几何、导数、实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多，单独考查不等式的咨询题专门少，专门是不等式的证明题．2．选择题，填空题和解答题三种题型中均有各种类型不等式题，专门是应用题和综合题几乎都与不等式有关．3．不等式的证明考得比较频繁，所涉及的方法要紧是比较法、综合法和分析法，而放缩法作为一种辅助方法不容忽视．第1课时不等式的概念和性质1、实数的大小比较法那么：设a，b∈R，那么a>b⇔；a＝b⇔；a<b⇔.实数的大小比较法那么，它是比较两个实数大小的依据，要比较两个实数的大小，只要考察它们的 就能够了.实数的大小比较法那么与实数运算的符号法那么一起构成了证明其它不等式性质的基础. 2、不等式的5个性质定理及其3条推论 定理1〔对称性〕 a>b ⇔定理2〔同向传递性〕 a>b ，b>c ⇒ 定理3 a>b ⇔a ＋c > b ＋c 推论 a>b ，c>d ⇒ 定理4 a>b ，c>0⇒ a>b ，c<0⇒ 推论1 (非负数同向相乘法) a>b≥0，c>d≥0⇒推论2 a>b ＞0 ⇒n n b a > (n ∈N 且n>1) 定理5 a>b ＞0⇒>n a n b (n ∈N 且n>1)例1. 设f(x)＝1＋log x 3，g(x)＝2log x 2，其中x ＞0，x ≠1．比较f(x)与g(x)的大小. 解：(1)(x 2－y 2)(x ＋y)＜(x 2＋y 2)(x －y) (2)a a b b ＞a b b a变式训练1：不等式log 2x+3x 2＜1的解集是____________. 答案：{x|－23＜x ＜3且x≠－1,x≠0}。

专题突破一例析频率分布直方图中的统计问题一、求样本中限制条件下的个体所占频率例1观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生儿体重在[2 700,3 000)的频率为()A．0.001 B．0.1C．0.2 D．0.3思维切入求对应区间上的小矩形的面积．答案 D解析由直方图的意义可知，在区间[2 700,3 000)内取值的频率为(3 000－2 700)×0.001＝0.3. 点评频率为直方图中相应小长方形的面积，即频率＝纵坐标×横坐标差的绝对值．跟踪训练1某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀(含80分)，现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成5组，绘制成频率分布直方图如下图所示．已知图中从左到右的第一、三、四、五小组的频率分别为0.30,0.15,0.10,0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数是________，成绩优秀的频率是________． 答案 100 0.15解析 设参赛的人数为n ，第二小组的频率为1－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.4， 依题意40n＝0.4，∴n ＝100，优秀的频率是0.10＋0.05＝0.15. 二、求样本中限制条件下的个体的频数例2 某市高三数学抽样考试中，对90分以上的成绩进行统计，其频率分布如图所示．若130～140分数段的人数为90，则90～100分数段的人数为________．思维切入 对应区间上的频数即为对应区间的频率×样本总体． 答案 810解析 由于90分以上的考试人数是样本总体，则图中5个分数段的频率之和等于1，设130～140分数段的频率为p ，则0.45＋0.25＋0.15＋0.10＋p ＝1，即0.95＋p ＝1，则p ＝0.05，设该样本总体共有n 个学生的分数，且设90～100分数段的人数为x ，则由频率概念得⎩⎪⎨⎪⎧ 0.05×n ＝90，0.45×n ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1 800，x ＝810，故90～100分数段的人数为810. 点评 本题是频率分布条形图．由于各分数段的人数与频率成正比，则可由x 90＝0.450.05，求出x ；题设条形图的纵坐标是“频率”这是有别于常规的，在审题时不能混淆．跟踪训练2 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为________．答案 12解析 志愿者的总人数为20(0.24＋0.16)×1＝50，所以第三组人数为50×0.36×1＝18， 所以有疗效的人数为18－6＝12. 三、求频率分布直方图中的参数问题例3 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力，得到频率分布直方图，如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a ，b 的值分别为( )A ．0.27,78B ．0.27,83C ．2.7,78D ．2.7,83思维切入 根据频率分布直方图的性质列方程求解． 答案 A解析 注意到纵轴表示频率组距，由图象可知，前4组的公比为3，最大频率a ＝0.1×33×0.1＝0.27， 设后6组公差为d ，则0.01＋0.03＋0.09＋0.27×6＋5×62·d ＝1，解得d ＝－0.05，即后6组频率的公差为－0.05， 所以，视力在4.6到5.0之间的学生数为 (0.27＋0.22＋0.17＋0.12)×100＝78， 故选A.点评 解答本题关键是要利用频率分布直方图中残缺不全的数据，分析它们之间存在的内在关系．跟踪训练3 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图所示)，其中上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]． (1)求频率分布直方图中x 的值；(2)如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿．解(1)由频率分布直方图可得20×x＋0.025×20＋0.006 5×20＋0.003×2×20＝1，所以x＝0.012 5.(2)由频率分布直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为0.003×2×20＝0.12.因为600×0.12＝72，所以估计600名新生中有72名学生可以申请住宿．四、频率分布直方图中的数字特征例4从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图)．(1)由图中数据求a的值；(2)若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为多少？(3)估计这所小学的小学生身高的众数、中位数(保留两位小数)及平均数．思维切入众数即为出现次数最多的数，所以它的频率最大，在最高的小矩形中．中位数即为从小到大中间的数(或中间两数的平均数)．解(1)因为直方图中的各个矩形的面积之和为1，所以10×(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)＝1，解得a＝0.030.(2)由直方图知，身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生总数为100×10×(0.030＋0.020＋0.010)＝60，其中身高在[140,150]的学生人数为10，所以从身高在[140,150]内选取的学生人数为1860×10＝3.(3)根据频率分布直方图知，身高在[110,120)的小矩形最高，所以这所小学的小学生身高的众数为110＋1202＝115(cm)．又0.005×10＋0.035×10＝0.4＜0.5，0．4＋0.030×10＝0.7＞0.5，所以中位数在[120,130)内，可设为x，则(x－120)×0.030＋0.4＝0.5，解得x≈123.33，所以中位数为123.33 cm.根据频率分布直方图，计算平均数为105×0.05＋115×0.35＋125×0.3＋135×0.2＋145×0.1＝124.5(cm)．点评用频率分布直方图求得的众数、中位数不一定是样本中的具体数．跟踪训练4某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为()A．20 B．25 C．22.5 D．22.75答案 C解析产品的中位数出现在频率是0.5的地方．自左至右各小矩形的面积依次为0.1,0.2,0.4,0.15,0.15，设中位数是x，则由0.1＋0.2＋0.08×(x－20)＝0.5，得x＝22.5，故选C.1．统计某校1 000名学生的数学水平测试成绩，得到样本的频率分布直方图如图所示．若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是()A．20% B．25% C．60% D．80%答案 D2．在中秋的促销活动中，某商场对9月14日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为7万元，则10时到11时的销售额为()A．1万元B．2万元C．3万元D．4万元答案 C3．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．答案94．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500,3 000)(元)月收入段应抽出________人．答案25解析由频率分布直方图可得[2 500,3 000)(元)月收入段共有10 000×0.000 5×500＝2500(人)，按分层抽样应抽出2 500×10010 000＝25(人)．5．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．估计居民月均用水量的中位数．解由(0.08＋0.16＋a＋0.42＋0.50＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，解得a＝0.30.设中位数为x吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.所以2≤x<2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．6．某市居民用水拟实行阶梯水价．每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图所示的频率分布直方图：(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/方立米，w至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．解(1)由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[0.5,1)，[1,1.5)，[1.5,2)，[2,2.5)，[2.5,3)内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w至少定为3.(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：根据题意，该市居民该月的人均水费估计为4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元).一、选择题1．从向阳小区抽取100户居民进行月用电量调查，为制定阶梯电价提供数据，发现其月用电量都在50到350度之间，制作频率分布直方图(如图所示)的工作人员粗心大意，位置t处未标明数据，则t等于()A．0.004 1 B．0.004 2C．0.004 3 D．0.004 4答案 D解析由题意得50×(0.006＋t＋0.003 6＋0.002 4×2＋0.001 2)＝1，故t＝0.004 4.故选D. 2．有一容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12]内的频数为()A．18 B．36 C．54 D．72答案 B解析易得样本数据落在区间[10,12]内的频率为0.18，则样本数据落在区间[10,12]内的频数为36.3．测量某地新生婴儿的体重，得到其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿的体重(单位：g)在[2 700,3 000)的频率为()A．0.001 B．0.1 C．0.2 D．0.3答案 D解析由频率分布直方图可知，所求频率为0.001×300＝0.3.4．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据频率分布直方图可知，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A．56 B．60 C．120 D．140答案 D解析设所求人数为N，则N＝2.5×(0.16＋0.08＋0.04)×200＝140，故选D.5．如图是某班50名学生身高的频率分布直方图，那么身高(单位：cm)在区间[150,170)内的学生人数为()A．16 B．20 C．22 D．26答案 B解析根据频率分布直方图可知身高在区间[150,170)内的频率为(0.01＋0.03)×10＝0.4，所以身高在区间[150,170)内的学生人数为50×0.4＝20，故选B.6．某学校对高二年级一次考试进行抽样分析，如图是根据抽样分析后的考试成绩绘制的频率分布直方图，其中抽样成绩的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中成绩小于100分的人数是36.则样本中成绩大于或等于98分且小于104分的人数是()A．90 B．75 C．60 D．45答案 A解析因为样本中成绩小于100分的人数是36，其对应频率之和为0.050×2＋0.100×2＝0.3，所以样本总数为36÷0.3＝120，所以样本中成绩大于或等于98分且小于104分的人数为120×2×(0.100＋0.150＋0.125)＝90，故选A.7．如图是某校高一一次数学考试成绩的样本频率分布直方图(样本容量n＝200)，若成绩不低于60分为及格，则样本中的及格人数是()A．6 B．36 C．60 D．120答案 D解析由题中频率分布直方图得，成绩不低于60分的人数为(0.012＋0.018)×20×200＝120.8．为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n 个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额(单位：元)都在[10,50]内，其中支出金额在[30,50]内的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则n 等于( )A ．180B ．160C ．150D ．200 答案 A解析 [30,50]对应的概率为1－()0.01＋0.025×10＝0.65，所以n ＝1170.65＝180. 二、填空题9．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40,80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40,60)内的汽车有________辆．答案 80解析 由频率分布直方图得：时速在区间[40,60)内的汽车的频率为(0.01＋0.03)×10＝0.4.∴时速在区间[40,60)内的汽车有0.4×200＝80(辆)．10．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用的时间的条形图(如图所示)根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为________．答案0.9解析这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为(0×5＋0.5×20＋1.0×10＋1.5×10＋2.0×5)÷50＝0.9(小时)．故选B.三、解答题11．为了了解小学生的体能情况，抽取某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数的测试，将数据整理后，画出频率分布直方图如图所示．已知图中从左到右前三个小组的频率分别为0.1,0.3,0.4，且第一小组的频数为5.(1)求第四小组的频率；(2)求参加这次测试的学生的人数；(3)若一分钟跳绳次数在75次以上(含75次)为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率．解(1)第四小组的频率为1－0.1－0.3－0.4＝0.2.(2)设参加这次测试的学生有x人，则0.1x＝5，解得x＝50，故参加这次测试的学生有50人．(3)由题意及频率分布直方图知，样本数据的达标率约为0.3＋0.4＋0.2＝0.9，∴可估计该年级学生跳绳测试的达标率为90%.12．为组织好“市九运会”，组委会征集了800名志愿者，现对他们的年龄调查统计后，得到如图所示的频率分布直方图，但是年龄在[25,30)内的数据不慎丢失，依据此图可得：(1)年龄分组[25,30)对应小长方形的高度为________．(2)这800名志愿者中年龄在[25,35)内的人数为________．答案(1)0.04(2)440解析(1)因为各个小长方形的面积之和为1，所以年龄分组[25,30)对应小长方形的高度为1－(5×0.01＋5×0.07＋5×0.06＋5×0.02)5＝0.04.(2)年龄在[25,35)内的频率为0.04×5＋0.07×5＝0.55，人数为0.55×800＝440.13．某校100名学生的期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值；(2)若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.解 (1)由频率分布直方图知(2a ＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a ＝0.005.(2)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)分数段的人数依次为0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20. 由题中给出的比例关系知数学成绩在上述分数段的人数依次为 5,40×12＝20,30×43＝40,20×54＝25.故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.。

2019—2020学年高三数学140分突破一轮复习必备精品111．明白得逻辑联结词〝或〞、〝且〞、〝非〞的含义；明白得四种命题及其相互关系；把握充分条件、必要条件及充要条件的意义．2．学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合咨询题，形成良好的思维品质；学会判定和推理，解决简易逻辑咨询题，培养逻辑思维能力．1．简易逻辑是一个新增内容，据其内容的特点，在高考中应一样在选择题、填空题中显现，假如在解答题中显现，那么只会是中低档题．2．集合、简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用，高考题中常以上面内容为载体，以集合的语言为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式显现．第1课时逻辑联结词和四种命题一、逻辑联结词1．能够的语句叫做命题．命题由两部分构成；命题有之分；数学中的定义、公理、定理等差不多上命题．2．逻辑联结词有，不含的命题是简单命题．由的命题是复合命题．复合命题的构成形式有三种：，(其中p，q 差不多上简单命题)．3．判定复合命题的真假的方法—真值表：〝非p〞形式的复合命题真假与p的当p与q 都真时，p且q形式的复合命题，其他情形；当p与q都时，〝p 或q〞复合形式的命题为假，其他情形．二、四种命题1．四种命题：原命题：假设p那么q；逆命题：、否命题：逆否命题： .2．四种命题的关系：原命题为真，它的逆命题、否命题、逆否命题．原命题与它的逆否命题同、否命题与逆命题同．3．反证法：欲证〝假设p 那么q 〞为真命题，从否定其 动身，通过正确的逻辑推理导出矛盾，从而判定原命题为真，如此的方法称为反证法．例1. 以下各组命题中，满足〝p 或q 〞为真，〝p 且q 〞为假，〝非p 〞为确实是 〔 〕 A ．p :0＝∅；q :0∈∅B ．p ：在∆ABC 中，假设cos2A ＝cos2B ，那么A ＝B ； :q y ＝sin x 在第一象限是增函数 C ．),(2:R b a ab b a p ∈≥+；:q 不等式x x >的解集为()0,∞-D ．p ：圆()1)2(122=-+-y x 的面积被直线1=x 平分；q ：椭圆13422=+y x 的一条准线方程是x ＝4 解：由条件，知命题p 假且命题q 真.选项(A)中命题p 、q 均假，排除；选项(B)中，命题p 真而命题q 假，排除；选项(D)中，命题p 和命题q 都为真，排除；应选(C)． 变式训练1：假如命题〝p 或q 〞是真命题，〝p 且q 〞是假命题.那么〔 〕 A ．命题p 和命题q 差不多上假命题 B ．命题p 和命题q 差不多上真命题 C ．命题p 和命题〝非q 〞真值不同 D ．命题q 和命题p 的真值不同 解： D例2. 分不写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判定它们的真假:(1) 假设q <1，那么方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根； (2) 假设ab ＝0，那么a ＝0或b ＝0；(3) 假设x 2＋y 2＝0，那么x 、y 全为零.解：(1)逆命题：假设方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根，那么q ＜1，为假命题．否命题：假设q ≥1，那么方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，为假命题．逆否命题：假设方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，那么q ≥1，为真命题．(2)逆命题：假设a ＝0或b ＝0，那么ab ＝0，为真命题． 否命题：假设ab ≠0，那么a ≠0且b ≠0，为真命题． 逆否命题：假设a ≠0且b ≠0，那么ab ≠0，为真命题．(3)逆命题：假设x 、y 全为零，那么x 2＋y 2＝0，为真命题．否命题：假设x 2＋y 2≠0，那么x 、y 不全为零，为真命题．逆否命题：假设x 、y 不全为零，那么x 2＋y 2≠0，为真命题．变式训练2：写出以下命题的否命题，并判定原命题及否命题的真假： 〔1〕假如一个三角形的三条边都相等，那么那个三角形的三个角都相等； 〔2〕矩形的对角线互相平分且相等； 〔3〕相似三角形一定是全等三角形. 解：〔1〕否命题是：〝假如一个三角形的三条边不都相等，那么那个三角形的三个角也不都相等〞.原命题为真命题，否命题也为真命题.〔2〕否命题是：〝假如四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等〞 原命题是真命题，否命题是假命题.〔3〕否命题是：〝不相似的三角形一定不是全等三角形〞. 原命题是假命题，否命题是真命题.例3. p ：012=++mx x 有两个不等的负根，q ：01)2(442=+-+x m x 无实根．假设p 或q 为真，p 且q典型例题为假，求m 的取值范畴．分析：由p 或q 为真，知p 、q 必有其一为真，由p 且q 为假，知p 、q 必有一个为假，因此，〝p 假且q 真〞或〝p 真且q 假〞.可先求出命题p 及命题q 为确实条件，再分类讨论． 解：p ：012=++mx x 有两个不等的负根．⎪⎩⎪⎨⎧>⇔<->-=∆⇔200421m m m q ：01)2(442=+-+x m x 无实根．⇔31016)2(1622<<⇔<--=∆m m 因为p 或q 为真，p 且q 为假，因此p 与q 的真值相反．(ⅰ) 当p 真且q 假时，有⎩⎨⎧≥⇒≥≤>3312m m m m 或；(ⅱ) 当p 假且q 真时，有⎩⎨⎧≤<⇒<<≤21312m m m ．综合，得m 的取值范畴是{21≤<m m 或3≥m }．变式训练3：a>0,设命题p:函数y=a x在R 上单调递减，q ：不等式x+|x-2a|>1的解集为R,假设p和q 中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值范畴.解 ： 由函数y=a x在R 上单调递减知0<a<1，因此命题p 为真命题时a 的取值范畴是0<a<1,令y=x+|x-2a|, 那么y=⎩⎨⎧<≥-).2(2),222a x aa x a x （不等式x+|x-2a|>1的解集为R ，只要y min >1即可，而函数y 在R 上的最小值为2a ，因此2a>1，即a>.21即q 真⇔a>.21假设p 真q 假,那么0<a ≤;21假设p 假q 真，那么a ≥1,因此命题p 和q 有且只有一个命题正确时a 的取值范畴是0<a ≤21或a ≥1. 例4. 假设a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋2π，b ＝y 2－2z ＋3π，c ＝z 2－2x ＋6π．求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0．证明：假设c b a ,,都不大于0，即,0≤a ,0≤b 0≤c ，那么0≤++c b a 而623222222πππ+-++-++-=++x z z y y x c b a ＝3)1()1()1(222-+-+-+-πz y x0)1()1()1(222≥-+-+-z y x ，03>-π．00≤++>++∴c b a c b a 这与相矛盾．因此c b a ,,中至少有一个大于0．变式训练4：以下三个方程：①x 2＋4ax －4a ＋3＝0，②x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，③x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范畴. 解：设的三个方程都没有实根．那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=∆<--=∆<-+=∆08)2(04)1(0)34(4)4(2322221a a a a a a解得123<<-a ．故所求a 的取值范畴是a ≥－1或a ≤－23．1．有关〝p 或q 〞与〝p 且q 〞形式的复合命题语句中，字面上未显现〝或〞与〝且〞字，现在应从语句的陈述中搞清含义从而分清是〝p 或q 〞依旧〝p 且q 〞形式．2．当一个命题直截了当证明显现困难时，通常采纳间接证明法，反证法确实是一种间接证法． 3．反证法的第一步为否定结论，需要把握常用词语的否定〔如〝至少〞等〕，而且推理过程中，一定要把否定的结论当条件用，从而推出矛盾．用反证法证明命题的一样步骤为：〔1〕假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；〔2〕从那个假设动身，通过正确的推理论证得出矛盾；〔3〕由矛盾判定假设不正确，从而确信所证命题正确．第2课时 充要条件1．充分条件：假如p q ⇒那么p 叫做q 的 条件，q 叫做p 的 条件． 2．必要条件：假如q p ⇒那么p 叫做q 的 条件，q 叫做p 的 条件． 3．充要条件：假如p q ⇒且q p ⇒那么p 叫做q 的 条件． 例1．在以下各题中，判定A 是B 的什么条件，并讲明理由． 1． A ：R p p ∈≥,2，B ：方程+++p px x 203=有实根； 2． A ：)(,2Z k k ∈=+πβα，B ：)sin(βα+βαsin sin +=； 3．A ：132>-x ；B ：0612>-+x x ；4．A ：圆222r y x =+与直线++by ax 0=c 相切，B ：.)(2222r b a c +=分析：要判定A 是B 的什么条件，只要判定由A 能否推出B 和由B 能否推出A 即可．解：(1) 当2≥p ，取4=p ，那么方程0742=++x x 无实根；假设方程+2x 03=++p px 有实根，那么由0>∆推出20)3(42-≤⇒≥+-p p p 或≥p 6，由此可推出2≥p ．因此A 是B 的必要非充分条件． (2)假设πβαk 2=+那么βαsin sin +αααπαsin sin )2sin(sin -=-+=k 02sin )sin(,0==+=πβαk 又 因此βαβαsin sin )sin(+=+成立假设βαβαsin sin )sin(+=+成立 取απβ==,0，知πβαk 2=+不一定成立， 故A 是B 的充分不必要条件． (3) 由21132><⇒>-x x x 或，由0612>-+x x 解得23>-<x x 或，因此A 推不出B ，但B 能够推出A ，故A 是B 的必要非充分条件．(4) 直线0=++c by ax 与圆22y x +2r =相切⇔圆(0，0)到直线的距离r d =，即22b a c +＝2c r ⇔＝222)(r b a +.因此A 是B 的充要条件.变式训练1：指出以下命题中，p 是q 的什么条件〔在〝充分不必要条件〞、〝必要不充分条件〞、〝充要条件〞、〝既不充分也不必要条件〞中选出一种作答〕. 〔1〕在△ABC 中，p ：∠A=∠B ，q ：sinA=sinB ； 〔2〕关于实数x 、y ，p ：x+y ≠8,q:x ≠2或y ≠6; 〔3〕非空集合A 、B 中，p ：x ∈A ∪B ，q ：x ∈B ；〔4〕x 、y ∈R ，p ：〔x-1〕2+〔y-2〕2=0，q ：〔x-1〕〔y-2〕=0.解： 〔1〕在△ABC 中，∠A=∠B ⇒sinA=sinB ，反之，假设sinA=sinB ，因为A 与B 不可能互补〔因为三角形三个内角和为180°),因此只有A=B.故p 是q 的充要条件.(2)易知: ⌝p:x+y=8, ⌝q:x=2且y=6,明显⌝q ⇒⌝p.但⌝p ⌝q,即⌝q 是⌝p 的充分不必要条件,依照原命题和逆否命题的等价性知,p 是q 的充分不必要条件.(3)明显x ∈A ∪B 不一定有x ∈B,但x ∈B 一定有x ∈A ∪B,因此p 是q 的必要不充分条件. (4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,因此p ⇒q 但q p,故p 是q 的充分不必要条件.例2. p ：－2＜m ＜0，0＜n ＜1；q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.解：假设方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，设为x 1、x 2． 那么0＜x 1＜1、0＜x 2＜1，∵x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n ∴0＜－m ＜2，0＜n ＜1 ∴－2＜m ＜0，0＜n ＜1 ∴p 是q 的必要条件．又假设－2＜m ＜0，0＜n ＜1，不妨设m ＝－1，n ＝21．那么方程为x 2－x ＋21＝0，∵△＝(－1)2－4×21＝－1＜0． ∴方程无实根 ∴p 是q 的非充分条件．综上所述，p 是q 的必要非充分条件．变式训练2：证明一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 证明：充分性：假设ac<0,那么b 2-4ac>0,且ac<0,∴方程ax 2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根. 必要性：假设一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根，那么∆=b 2-4ac>0,x 1x 2=ac<0,∴ac<0. 综上所述，一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 例 3. p ： |1－31-x |≤2，q ：:x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)，假设p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，求实数m 的取值范畴.解： 由题意知：命题：假设┒p 是┑q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件.p : |1－31-x |≤2⇒－2≤31-x －1≤2⇒－1≤31-x ≤3⇒－2≤x ≤10 q : x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0*∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式|1－31-x |≤2的解集是x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)解集的子集 又∵m >0，∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1＋m ∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9310121m m m m ，∴m ≥9， ∴实数m 的取值范畴是［9，+∞)变式训练3：集合{||1||3|8}M x x x =++->和集合2{|(8)80}P x x a x a =+--≤，求a 的一个取值范畴，使它成为}85|{≤<=x x P M 的一个必要不充分条件. 解：}53|{>-<=x x x M 或，}0)8)((|{≤-+=x a x x P 由,}85|{时≤<=x x P M ,3,35≤≤≤-a a 此时有}85|{3≤<=≠>≤x x P M a 但因此}85|{3≤<=≤x x P M a 是是必要但不充分条件. 讲明：此题答案不唯独.例4. 〝函数y ＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象全在x 轴的上方〞，那个结论成立的充分必要条件是什么？解：函数的图象全在x 轴上方，假设)(x f 是一次函数，那么10)1(40542=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+a a a a假设函数是二次函数，那么：[]⎪⎩⎪⎨⎧<-+--->-+0)54(12)1(4054222a a a a a 191<<⇒a 反之假设19|<≤a ，由以上推导，函数的图象在x 轴上方，综上，充要条件是19|<≤a ．变式训练4：P ＝{x | |x －1| | >2}，S ＝{x | x2＋}(1)0a x a ++>，P x ∈且的充要条件是S x ∈，求实数a 的取值范畴．分析：P x ∈的充要条件是S x ∈，即任取S x P x ∈⇒∈S P ⊆∴，反过来，任取P x S x ∈⇒∈P S P S =∴⊆∴据此可求得a 的值．解： P x ∈的充要条件是S x ∈.S P =∴∵P ＝{x || x －1|＞2}}＝),3()1,(+∞--∞S ＝{x | x2＋(a ＋1)x ＋a ＞0)}＝{x | (x ＋a)(x ＋1)＞0}1．处理充分、必要条件咨询题时，第一要分清条件与结论，然后才能进行推理和判定．不仅要深刻明白得充分、必要条件的概念，而且要熟知咨询题中所涉及到的知识点和有关概念． 2．确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来讲明．3．等价变换是判定充分、必要条件的重要手段之一，专门是关于否定的命题，常通过它的等价命题，即逆否命题来考查条件与结论间的充分、必要关系．4．关于充要条件的证明题，既要证明充分性，又要证明必要性，从命题角度动身，证原命题为真，逆命题也为真；求结论成立的充要条件能够从结论等价变形〔换〕而得到，也能够从结论推导必要条件，再讲明具有充分性．5．对一个命题而言，使结论成立的充分条件可能不止一个，必要条件也可能不止一个．简易逻辑章节测试题一、选择题1．设集合{2},{3},M x x P x x =>=<""x M x P ∈∈那么或""x MP ∈是的 〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2.p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 的 〔 〕 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.〔2018·合肥模拟〕条件p ：〔x+1〕2>4，条件q:x>a,且q p ⌝⌝是的充分而不必要条件，那么a 的取值范畴是 〔 〕 A.a ≥1 B.a ≤1 C.a ≥-3 D.a ≤-34.〝a=2”是〝直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.设集合M={x|x>2}，P={x|x<3},那么〝x ∈M 或x ∈P 〞是〝x ∈M ∩P 〞的 〔 〕 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.在以下电路图中，表示开关A 闭合是灯泡B 亮的必要但不充分条件的线路图是 〔 〕7.(2018·浙江理，3)a,b 差不多上实数，那么〝a 2>b 2”是〝a>b 〞的 〔 〕 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.〔2018·北京海淀模拟〕假设集合A={1，m 2}，集合B={2，4}，那么〝m=2”是〝A ∩B={4}〞的 〔 〕 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.假设数列{a n }满足221nn a a +=p 〔p 为正常数，n ∈N *〕，那么称{a n }为〝等方比数列〞.甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，那么 ( 〕 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件10.命题p:假设a 、b ∈R,那么|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件.命题q:函数y=2|1|--x 的定义域是(][)∞+--∞，，31 ，那么 〔 〕A ．〝p 或q 〞为假B ．〝p 且q 〞为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真 二、填空题11．数列}{n a ，那么〝对任意的n ∈N*，点),(n n a n P 都在直线12+=x y 上〞是〝}{n a 为等差数列〞的 条件．12.设集合A={5,log 2〔a+3〕}，集合B={a ，b}，假设A ∩B={2}，那么A ∪B= .13.条件p ：|x+1|>2,条件q:5x-6>x 2，那么非p 是非q 的 条件. 14.不等式|x|<a 的一个充分条件为0<x<1,那么a 的取值范畴为 . 15.以下四个命题： ①a 是正数；②b 是负数；③a+b 是负数；④ab 是非正数.选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的复合命题 . 三、解答题16．设命题p ：〔4x-3〕2≤1;命题q:x 2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,假设⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范畴.17．求关于x 的方程ax 2-(a 2+a+1)x+a+1=0至少有一个正根的充要条件.18．设p ：实数x 满足x 2-4ax+3a 2<0,其中a<0；q ：实数x 满足x 2-x-6≤0，或x 2+2x-8＞0，且q p ⌝⌝是 的必要不充分条件，求a 的取值范畴.19．(1)是否存在实数p,使〝4x+p<0”是〝x 2-x-2>0”的充分条件？假如存在，求出p 的取值范畴；〔2〕是否存在实数p ，使〝4x+p<0”是〝x 2-x-2>0”的必要条件？假如存在，求出p 的取值范畴.20．0>c ，设:p 函数x c y =在R 上单调递减，q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，假如p 和q 有且仅有一个正确，求c 的取值范畴．简易逻辑章节测试题答案1．B 2.A 3.A 4.C 5.B 6.B 7. D 8.A 9.B 10. D11．充分而不必要条件 12.{1，2，5} 13.充分不必要 14.a ≥115.假设①③那么②〔或假设①②那么④或假设①③那么④〕16．解 设A={x|(4x-3)2≤1},B={x|x 2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}, 易知A={x|21≤x ≤1},B={x|a ≤x ≤a+1}.由⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A B ，∴,1121⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤a a故所求实数a 的取值范畴是［0，21］.17．解方法一 假设a=0，那么方程变为-x+1=0,x=1满足条件，假设a ≠0，那么方程至少有一个正根等价于01<+a a 或⎪⎩⎪⎨⎧>++=+01012a a a a 或⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+-++=∆>+>++0)1(4)1(0101222a a a a a a a a a -1<a<0或a>0.综上：方程至少有一正根的充要条件是a>-1. 方法二 假设a=0，那么方程即为-x+1=0, ∴x=1满足条件；假设a ≠0，∵Δ=(a 2+a+1)2-4a(a+1)=(a 2+a)2+2(a 2+a)+1-4a(a+1) =(a 2+a)2-2a(a+1)+1=(a 2+a-1)2≥0，∴方程一定有两个实根.故而当方程没有正根时，应有,01012⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≤++aa a a a 解得a ≤-1,∴至少有一正根时应满足a>-1且a ≠0,综上：方程有一正根的充要条件是a>-1. 18．解 设A={x|p}={x|x 2-4ax+3a 2<0,a<0}={x|3a<x<a,a<0},B={x|q}={x|x 2-x-6≤0或x 2+2x-8>0}={x|x 2-x-6≤0}∪{x|x 2+2x-8>0} ={x|-2≤x ≤3}∪{x|x<-4或x>2}={}.24|-≥-<x x x 或方法一 ∵q p ⌝⌝是的必要不充分条件,∴p p q ⌝⌝⇒⌝且,q ⌝. 那么{}q x ⌝|{}.|p x ⌝而{}=⌝q x |R B={}{}p x x x ⌝-<≤-|,24|=R A={},0,3|<≥≤a a x a x x 或 ∴{}24|-<≤-x x {},0,3|<≥≤a a x a x x 或 那么⎩⎨⎧<-≤⎩⎨⎧<-≥.0,4,0,23a a a a 或综上可得-.4032-≤<≤a a 或 方法二 由⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件，∴A B ，∴a ≤-4或3a ≥-2,又∵a<0, ∴a ≤-4或-32≤a<0. 19．解〔1〕当x>2或x<-1时，x 2-x-2>0,由4x+p<0,得x<-,4p 故-4p≤-1时， 〝x<-4p 〞⇒〝x<-1〞⇒〝x 2-x-2>0”. ∴p ≥4时，〝4x+p<0”是〝x 2-x-2>0”的充分条件. 〔2〕不存在实数p 满足题设要求. 20．解：函数x c y =在R 上单调递减10<<⇔c 不等式||2|>-+c x x 的解集为⇔R 函数 |2|c x x y -+=，在R 上恒大于1⎩⎨⎧<≥-=-+∴c x c cx c x c x x 2,22,22|2| ∴函数|2|c x x y -+=在R 上的最小值为c 2∴不等式1|2|>-+c x x 的解集为R2112>⇔>⇔c c ，假如p 正确，且q 不正确 那么210≤<c ，假如p 不正确，且q 正确，那么1≥c ，因此c 的取值范畴为[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛,121,0． 五年高考荟萃 2018年高考题一、选择题1.〔2018浙江理〕,a b 是实数，那么〝0a >且0b >〞是〝0a b +>且0ab >〞的 ( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C解析 关于〝0a >且0b >〞能够推出〝0a b +>且0ab >〞，反之也是成立的 2.〔2018浙江文〕〝0x >〞是〝0x ≠〞的〔 〕A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A【命题意图】本小题要紧考查了命题的差不多关系，题中的设咨询通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和关于命题概念的明白得程度．解析 关于〝0x >〞⇒〝0x ≠〞；反之不一定成立，因此〝0x >〞是〝0x ≠〞的充分而不必要条件．3.〔2018安徽卷文〕〝〞是〝且〞的A. 必要不充分条件B.充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件答案 A解析 易得a b c d >>且时必有a c b d +>+.假设a c b d +>+时，那么可能有a d c b >>且，选A 。