2020年理科高考命题重点揭秘

2020年高考全国卷三物理试题分析解析
解读
2020年全国卷Ⅲ理综物理部分的试题遵循“稳定为主，注重考查基础，突出能力立意，着力内容创新，实现平稳过渡”的命题思路。

试卷旨在检测考生的科学素养，将学科知识和能力融为一体，具有较好的甄别选拔功能。

试题内容主要涵盖力学和电磁学，覆盖了“考试大纲”中的全部知识单元的绝大部分重点知识。

试卷紧扣考试大纲，注重对主干知识和重要内容的考查。

全面考查了“考试大纲”要求的五种能力，注重考查物理学科的基本概念和规律。

从知识板块看，力学和电磁学是本试卷的重点，光学、机械波和原子物理也有涉及。

其中，电场知识点考查较少，而电磁感应的考查则有所加强。

试题涉及的运动形式有静止、匀速直线运动、匀变速直线运动、匀速圆周运动等，但未涉及平抛和类平抛运动。

从解题方法看，试题涉及力的平衡、牛顿运动定律、动能定理、能量的转化与守恒定律、动量定理、动量守恒等内容，能够较好反映考生对中学物理知识掌握的程度。

试卷引导学生回归教材，强调能力考查。

实验题22题来源于教材中的探究性实验，几乎是书本知识的重现。

23题将传感器测量和电阻测量两个实验综合到一起，既考察基本实验技能，又进行创新，特别把传感器测量拿来考察是出乎很多人的预料的。

试题中的机械波、光学、原子物理等题目，只要平时认真研究了的都能解决；试题所涉及的情景均是学生所熟悉的常见情景，有利于引导学生重视基础，抓住重点。

解密01 集合考点1 集合的含义及集合间的基本关系题组一 集合的含义调研1 方程2280x x +-=和方程2120x x +-=的所有实数解组成的集合为M ，则M 中的元素个数为 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题意，方程2280x x +-=的两根为2,4-，方程2120x x +-=的两根为4,3-，根据集合中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成的集合中含有3个元素，故选C ．【名师点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及元素的基本特征，其中解答中熟记集合中元素的互异性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．☆技巧点拨☆解决集合概念问题的一般思路（1）研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义．常见的集合的意义如下表：（2）利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中的元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.题组二求集合的子集调研2 若x A∈，则1Ax∈，就称A是和美集合，集合111,0,,,1,323M⎧⎫⎨=⎩-⎬⎭的所有非空子集中是和美集合的个数为A．4B．5C．6D．7【答案】D【解析】先考虑含一个元素的子集，并且其倒数是其本身，有{}{}1,1,-再考虑含有两个元素的和美集合，有{}11,1,,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，含有三个元素的子集且为和美集合的是111,,3,1,,3,33⎧⎫⎧⎫-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭含有四个元素的子集且为和美集合的是11,1,,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故选D.【名师点睛】本题主要考查了集合的子集，考查了创设新情景下解决问题的能力，属于中档题. 题组三 由集合关系求参数的取值范围调研3 已知集合{}{}220,430A x x ax B x x x =-==++=，若A B U 所有子集的个数为8，则a 可能的取值组成的集合为 A ．{}1,3-- B ．{}0,1,3--C ．{}0,3-D ．{}0,1-【答案】B【解析】因为A B U 所有子集的个数为8，所以A B U 有3个元素， 又{}1,3B =--，集合A 的一个元素为0， 故a 可能的取值为0,1,3--， 所以组成的集合为{}0,1,3--. 故选B.【名师点睛】本题主要考查集合的化简和集合的子集的个数的求法，考查元素与集合，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.☆技巧点拨☆集合间的基本关系在高考中时有出现，常考查求子集、真子集的个数及利用集合关系求参数的取值范围问题，主要以选择题的形式出现，且主要有以下两种命题角度：(1)求集合的子集：若集合A 中含有n 个元素，则其子集个数为2n个，真子集个数为21n-个，非空真子集个数为22n-个.(2)根据两集合关系求参数：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍．注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.考点2 集合的基本运算题组一 离散型或连续型数集间的交、并、补运算调研1 已知集合()(){}310A x x x =-+<，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =I A ．{}1,0,1- B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}0,1,2,3【答案】B【解析】由题意，集合()(){}310{|13}A x x x x x =-+<=-<<，{}1,0,1,2,3B =-， 则{0,1,2}A B =I ，故选B ．【名师点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中正确求解集合A ，利用集合的交集准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.调研2 已知全集U =R ，集合{|7}A x x =∈<N ，{}2|450B x x x =--≥，则()U A B I ð的元素个数为 A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】{}{|7}0123456A x x ==∈<N ，，，，，，，{}{2|450=|5B x x x x x =--≥≥或1}x ≤-，则{|15}B x x =-<<R ð，则(){0,1,2,3,4}A B =R I ð共5个元素，故选：B ．【名师点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，结合补集，交集的定义是解决本题的关键．题组二 点集的交、并、补运算调研3 设全集{}1,3,5,6,9U =，{}3,6,9A =，则图中阴影部分表示的集合是A ．{1，3，5}B ．{1，5，6}C ．{6，9}D ．{1，5}【答案】D【解析】∵{}1,3,5,6,9U =，{}3,6,9A =，∴{}1,5U A =ð，∴图中阴影部分表示的集合是{}1,5U A =ð， 故选D ．题组三 已知集合的运算结果求集合或参数调研4 已知集合A 、B 均为U ＝{1，3，5，7，9}的子集，且A ∩B ＝{3}，()U B A I ð＝{9}，则A ＝________. 【答案】{3，9}【解析】由Venn 图知A ＝{3，9}.调研5 已知集合{}A x x a =<，{}12B x x =<<，且()A B =R R U ð，则实数a 的取值范围为 A ．{}2a a ≤ B ．{}1a a < C ．{}2a a ≥ D ．{}2a a >【答案】C【解析】由题意，集合{}A x x a =<，{}12B x x =<<，可得{}12B x x x =≤≥R 或ð， 又由()A B =R R U ð，所以2a ≥．故选C ．【名师点睛】本题主要考查了集合的混合运算，以及利用集合的运算求解参数的范围，其中解答中熟记集合基本运算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．☆技巧点拨☆有关集合运算的试题，在高考中多以客观题的形式呈现，常与函数、方程、不等式等知识综合，试题难度不大，多为低档题，且主要有以下几个命题角度：(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图或交、并、补的定义求解； (2)点集的运算常利用数形结合的思想或联立方程组进行求解； (3)连续型数集的运算，常借助数轴求解；(4)已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn 图求解；(5)根据集合运算结果求参数，先把符号语言转化成文字语言，然后适时应用数形结合求解.1．（安徽省皖南八校2019-2020学年高三上学期第一次联考数学试题）若集合{}2|560A x x x =-->，{}|21x B x =>，则()A B =R I ðA ．{}|10x x -≤<B ．{}|06x x <≤C ．{}|20x x -≤<D ．{}|03x x <≤【答案】B【解析】由题意，集合{}2|560{|1A x x x x x =-->=<-或6}x >，{}{}|21|0xB x x x =>=>，则{}|16A x x =-≤≤R ð，所以(){}|06A B x x =<≤R I ð. 故选B ．【名师点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2．（河北省衡水市深州市2019-2020学年高三上学期9月月考数学试题）已知集合()(){}310A x x x =-+<，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =IA ．{}1,0,1-B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}0,1,2,3【答案】B【解析】由题意，集合()(){}310{|13}A x x x x x =-+<=-<<，{}1,0,1,2,3B =-， 则{0,1,2}A B =I ，故选B ．【名师点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中正确求解集合A ，利用集合的交集准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．（2019年11月四川省资阳市高三上学期第一次诊断性考试数学试题）已知集合{10123}M =-，，，，，{|02}N x x =≤≤，则M N =I A ．{1012}-，，， B ．{101}-，， C ．{012}，， D ．{01}，【答案】C【解析】因为{}=10123M -，，，，{}02N x x =≤≤， 由交集定义可得{}012M N =I ，，，故选C. 4．（湖北省恩施土家族苗族自治州高级中学、十堰一中、十堰二中等2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题）若集合{|}121M x x =<-≤-，{}24|N x x =<<，则M ∪N = A ．(2.3] B ．(2，3)C ．[1，4)D ．(1，4)【答案】C【解析】{|121}={|13}M x x x x =-<-≤≤<，{|24}N x x =<<，所以{|14}M N x x =≤<U ,故选C.5．（河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学试题）已知集合{}3log (2)2A x x =-≤，{}20B x x m =->，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是A ．]4∞（-， B ．4∞（-，）C ．22∞（-，）D ．22]∞（-， 【答案】A【解析】{}{}3log (2)2211A x x x x =-≤=<≤，{}202m B x x m x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，A B ⊆，则2,42mm ≤≤，故选A. 6．（2019年浙江省十校联盟高三上学期10月联考数学试题）若集合{|12}A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，则A B =I A ．∅ B ．{0,1}C ．{0,1,2}D ．{2,0,1,2}-【答案】B【解析】集合{|12}A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，所以集合{}0,1A B =I .7．（湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019年高三上学期10月月考数学试题）已知集合{{}|1,|20A y y B x x ==+=-≤，则A B =IA ．[]1,2B ．[]0,2C ．(],1-∞D ．[)2,+∞【答案】A【解析】{|1[1,)A y y ===+∞，{}|20(,2]B x x =-≤=-∞，所以[1,2]A B =I ，故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合的运算，属于简单题目. 8．（2019年10月山西省吕梁市高三阶段性测试数学试题）已知集合{}{}23|log 1,|280xA xB x x x =<=+-<，则A B =IA ．{}|43x x -<<B ．{}|42x x -<<C ．{}|02x x <<D ．{}|23x x <<【答案】A【解析】因为3log 1x <，所以03x <<，所以{|03}A x x =<<； 因为2280x x +-<，所以42x -<<，所以{|42}B x x =-<<； 所以{|02}A B x x =<<I . 故选：A ．【名师点睛】本题考查集合的交集运算，难度较易.注意解对数不等式时，对数的真数要大于零.9．（九师联盟2020届高三上学期10月质量检测数学试题）集合{}2|(1)0A x x x =-=的子集个数是 A ．1 B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】因为{0,1}A =，所以其子集个数是224=. 故选：C ．【名师点睛】本题主要考查集合的化简和子集的个数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．（宁夏回族自治区银川市一中2019-2020学年高三11月月考数学试题）已知集合{}2|50A x x x =->，则A =R ðA ．{|05}x x ≤≤B ．{|0}x x <C ．{|5}x x >D ．{|50}x x -≤≤【答案】A【解析】{}{2|500A x x x x x =->=<或}5x >，{}05A x x ∴=≤≤R ð，故选A.11．（云南省昆明市民族中学2019-2020学年高三上学期10月适应性月考数学试题）已知集合{}1,2,3A =，{}21,B y y x x A ==+∈，则A B =U A ．{}1,3,5,7 B ．{}1,2,3 C ．{}1,2,3,4 D ．{}1,2,3,5,7【答案】D【解析】由题意，集合{}1,2,3A =，{}{}21,3,5,7B y y x x A ==+∈=， 所以{}1,2,3,5,7A B =U .故选D ．【名师点睛】本题主要考查了集合的表示，以及集合的并集运算，其中解答中正确求解集合B ，以及集合并集运算是解答的概念，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．（山东省烟台市第一中学2019-2020学年高三上学期第一次联考数学试题）已知集合{}{}23100,A x x x B x x m =--≤=≥，若2m ≤-，则A ．AB ⊂≠B ．B A ⊂≠C ．A B =∅ID ．A B =R U【答案】A【解析】∵{}2|3100A x x x =--≤，解不等式23100x x --≤, 得25x -≤≤,所以集合{|25}A x x =-≤≤,因为2m ≤-，所以作出集合A 与集合B 的示意图如下图所示，从图中可以看出A B ⊂≠，故选A ．13．（湖北省襄阳市第四中学2029-2020学年高三9月联考数学试题）已知集合{|3,}A x x k k ==∈N ，{|6,}B x x z z ==∈N ，则下列结论正确的是A ．AB A =I B ．A B B =IC ．A B =D ．以上均不对【答案】B【解析】集合A 为自然数中3的倍数构成的集合，集合B 为自然数中6的倍数构成的集合，所以B A ⊆．故选B ．14．（上海市行知中学2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题）函数2()lg(1)f x x =-，集合{|()}A x y f x ==，{|()}B y y f x ==，则图中阴影部分表示的集合为________．【答案】(,1](0,1)-∞-U【解析】∵f （x ）＝lg （1﹣x 2），集合A ＝{x |y ＝f （x ）}，B ＝{y |y ＝f （x ）}， ∴A ＝{x |y ＝lg （1﹣x 2）}＝{x |1﹣x 2＞0}＝{x |﹣1＜x ＜1}， B ＝{y |y ＝lg （1﹣x 2）}＝{y |y ≤0}， ∴A B U ＝{x |x ＜1}， A ∩B ＝{x |﹣1＜x ≤0}，根据题意，图中阴影部分表示的区域为A ∪B 除去A ∩B 后剩余的元素所构成的集合为：(,1](0,1)-∞-U .故答案为：(,1](0,1)-∞-U .【名师点睛】本小题考查数形结合的思想，考查集合交并运算的知识，借助数轴保证集合运算的准确定．15．（上海市行知中学2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题）若集合{|22}A x x =∈-≤≤Z ，2{|1,}B y y x x A ==+∈，则用列举法表示集合B =________．【答案】{5,2,1}【解析】根据题意，A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， 对于集合B ＝{y |y ＝x 2+1，x ∈A }， 当x ＝±2时，y ＝5， 当x ＝±1时，y ＝2， 当x ＝0时，y ＝1； 故答案为：{5,2,1}.【名师点睛】本题考查集合的表示方法，注意集合B 中x 所取的值为A 中的元素且必须用列举法表示．1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合2|42{|60}{},M x x N x x x =-<<=--<，则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C【解析】由题意得2|42,{|60}{}|23}{M x x N x x x x x =-<<=--<=-<<， 则{|22}M N x x =-<<I ． 故选C ．【名师点睛】注意区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者所有的部分． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1)C ．(–3，–1)D ．(3，+∞)【解析】由题意得，2{560|}{2|A x x x x x =-+><=或3}x >，{10}{1|}|B x x x x =-<=<，则{|1}(,1)A B x x =<=-∞I ．故选A ．【名师点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合2{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=≤，则A B =I A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A【解析】∵21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，又{1,0,1,2}A =-，∴{}1,0,1A B =-I . 故选A ．【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.4．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|1|2x x x x <->UD ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥U【答案】B【解析】解不等式x 2−x −2>0得x <−1或x >2，所以A ={x|x <−1或x >2}， 所以可以求得{}|12A x x =-≤≤R ð. 故选B ．【名师点睛】该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.5．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =I A ．{}0 B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，，【解析】易得集合{|1}A x x =≥, 所以{}1,2A B =I . 故选C ．【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题. 6．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A【解析】∵x 2+y 2≤3,∴x 2≤3,∵x ∈Z,∴x =−1,0,1， 当x =−1时，y =−1,0,1； 当x =0时，y =−1,0,1； 当x =−1时，y =−1,0,1, 所以共有9个元素. 选A ．【名师点睛】本题考查集合与元素的关系，点与圆的位置关系，考查学生对概念的理解与识别. 7．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x<}，则A ．{|0}AB x x =<I B ．A B =R UC ．{|1}A B x x =>UD ．A B =∅I【答案】A【解析】由31x<可得033x<，则0x <，即{|0}B x x =<， 所以{|1}{|0}A B x x x x =<<I I {|0}x x =<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<U U .故选A ．【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理． 8．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B =I ，则B =A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【答案】C【解析】由{}1A B =I 得1B ∈，即1x =是方程240x x m -+=的根，所以140,3m m -+==，{}1,3B =.故选C ．【名师点睛】集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．两个防范：①不要忽视元素的互异性；②保证运算的准确性．9．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A I B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】B【解析】集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合， 集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点,22⎛ ⎝⎭，,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B I 中有2个元素. 故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.。

2020全国高考理科数学一卷试题分析报告2020年新课标全国Ⅰ卷理科数学卷都延续了以往的考查特征：对必备知识的考查体现稳定性，并在对关键能力和学科素养的考查上力求创新性；对基础知识、基本能力和基本素养的考查体现基础性，在压轴把关题上突出考查学生综合应用所学知识和方法去发现、分析和解决问题的能力。

整张试卷充分体现“立德树人、服务选拔、导向教学”这一高考核心立场。

所有的题目都是学生平时见过做过的问题，学生上手比较容易，但是计算量略大于去年。

尤其是圆锥曲线与导数问题。

解答题的顺序再次回归原来的模式，与2017年及之前的高考题基本保持一致，没有像2019年那样进行较大幅度的变动，压轴题也都是学生平时练习的常见题型，没有太多变化，尤其是没有在概率统计题上进行再创新。

从试卷难度来看，总体上与19年难度相当，比18年要难，难点主要体现在：1.对应用问题与数学文化问题的题意分析与理解；2.加大对空间想象能力的考查，且综合性强，难度大；3.对学生计算能力的要求加大；4.理科概率统计问题解题方法不再是以往的模型化问题；5.相比前几年，部分知识点的考法变化较大，反猜题的味道很浓，意在破除应试教育。

一、试卷的构成与双向细目表全卷满分150分，分为必考和选考两部分，必考部分包括12个选择题，4个填空题和5个解答题；选考部分包括选修系列4的“坐标系与参数方程”、“不等式选讲”各1个解答题，考生从2题中任选1个作答，若多做，则按所做的第一题给分。

理科双向细目表如下：二、对试卷的总体评价1.传统试题体现“基础性”，引导学生打牢知识基础如：理1、理2考查一元二次不等式、集合交集；理4考查抛物线定义；、理5考查非线性回归与函数图象；理8考查二项式定理求特定项系数；、理13考查截距型线性规划问题；理6考查导数几何意义；理14考查单位向量、向量垂直、夹角与模长问题；理17考查等差等比数列基本量计算、错位相减；理17考查正弦定理余弦定理，面积公式，恒等变形；理18考查线面垂直的判定，二面角的求法。

2020高考全国二卷理科数学试题分析解析解读2020年高考数学试题重点考查了数学学科主干的内容，聚焦关键能力和数学素养的考查，注重数学应用价值和创新意识培养，以及数学建模。

试题体现了考主干知识、考基本能力、考核心素养，重视思维、关注应用、鼓励创新的指导思想，很好的体现了高考评价体系“一核、四层、四翼”的内涵和要求。

相较于2018年、2019年的试题，2020年理科数学试题总体结构变化很大，难度也明显加大，题目文字阅读量增多。

主观题在内容布局和考查难度上进行了较大的改变，解析几何解答题位置提前到19题，难度下降，放弃了直线和曲线位置关系的考察。

今年试题突显了数学学科素养的导向，注重基本能力的考查，全面覆盖了基础知识，增强了综合性及应用性，以社会生活中真实情境作为问题的载体，贴近实际，联系社会生活，在数学教育和评价中真正的落实了“立德树人”的根本任务。

2020年高考数学Ⅱ卷试题聚焦主干知识，突出核心素养，注重对高中基础内容的全面考查。

集合、三角、概率、数列、解析几何、立体几何、函数、平面向量、排列组合、复数等内容在选择题和填空题中得到了有效的考查。

试卷强调对主干内容的重点考查，体现了全面性、基础性和综合性的考查要求。

在解答题中重点考查了解三角形、概率统计、圆锥曲线、立体几何、函数与导数等主干内容。

其中解答题18题考察了相关系数，为了实现平稳过渡，对于相关系数的考察并不难。

试卷联系生活实际，建立数学模型，突显了数学应用价值和创新意识培养的重要性。

填空压轴题为复合命题真值判断和立体几何结合问题，这也是首次把简易逻辑放到压轴题位置。

总体来说，2020年高考数学试题体现了考核主干知识、基本能力和核心素养，注重思维、应用和创新的指导思想，符合高考评价体系“一核、四层、四翼”的内涵和要求。

2020年数学高考试题设计了真实的问题情境，与实际紧密联系，具有鲜明的时代特色。

例如，高考理科Ⅱ卷客观题的第（3）题以新冠肺炎疫情为问题背景，以志愿服务为问题情境设计题目，旨在宣传引领舆论导向，服务发展大局，传播正能量，对高中生进行爱国主义教育。

2020年高考理综新课标全国卷m化学试题分析昆明市教育科学研究院孙应伦云南师范大学附属中学刘佳一、试题的整体分析2020年高考理科综合新课标全国卷m化学试题（以下 简称“卷ID化学”)满分100分，占理科综合全卷总分值的33.3%,化学学科试题为“7+3+( f x2)”的结构，即7个单选题，每题6分，共42分;非选择题由3个必做题和2个选做 题(从两题中选做一题 >组成,需做的四个大题共计58分。

试题总体来看，呈现方式、结构、题量与长度均与2019年保持大体一致，同时有一定的陌生度,确保了高考试题的测 试功能和选拔作用。

值得注意的是，2020年注定是不平凡 的一年，由于新冠疫情的影响,高三师生进行了约一个月的线上教学;高考时间推迟了一个月，学生多了一个月的备考 时间;对于高考试题的命制，教育部曾明确表示:“2020年 高考命题将以立德树人为鲜明导向，充分体现德智体美劳 全面发展要求，着力加强关键能力的考查，并综合考虑疫情 因素和考生复习备考的实际情况，在确保命题总体稳定的 前提下，优化试题情境设计，增强基础性、综合性、应用性、创新性，引导中学遵循教育规律，发展素质教育，助力学生 健康成长、全面发展。

”这一命题导向在“卷m化学”中有很 好的体现，现从以下几个方面进行具体分析。

1.试题的双向细目表“卷m化学”双向细目分析如表1所示。

表1“卷I I丨化学”双向细目表编号涉及模块试题考点内容题型难度分值备注7必修1化学与生活选择易68必修2有机化合物的化学性质选择易69必修1化学计量阿伏伽德罗常数选择易610必修1化学基础实验选择易6第I卷选择题，11必修1必修2离子反应方程式正误判断选择中6共7题，每题6分，共42分12必修2选修4电化学原理的理解与应用选择难613必修2元素周期表和周期律选择中6(1)仪器名称易1除杂试剂易1(2)特定操作方法易126必修1:(实验综合）制备和性质探究离子反应方程式的书写特定操作的目的填空中难12 (K C l〇3和N a C lO)(3)装置和试剂的作用分析易2 (14 分）试剂的选用难2(4)获得晶体的操作方法和过程中2(5)试剂的颜色分析中1性质强弱判断中128;£,焱1•中学教师2020.12编号涉及模块试题考点内容题型难度分值备注(1)特定试剂作用分析易2离子反应方程式书写易1必修1、必修2、选(2)滤液所含离子分析中3修4:(无机综合）(3)氧化剂的选用中127以镍催化剂回收 为背景考杏物质滤液杂质离子分析填空中1(4)K t 的计算中2的性质和应用(15 分）p H 范围中2(5)未知离子反应方程式的书写中2(6)循环使用的意义中1选修4:(化学反应 原理综合）以二氧(1)反应中产物的物质的量之比 化学平衡移动分析易易22(2)平衡图像曲线判断填空中4第I I 卷第26、27、28题为必答题，第35、36化碳催化加氢合28成乙烯为背景，考焓变判断中2查化学平衡及移(3)压强平衡常数计算难2动等知识（14分）(4)反应条件的控制中2题为选答题(1)原子半径比较易1(二选一），共对角线规则易158分选修3:(物质结(2)化学键的辨识中1构与性质）以氨硼配位键易135烷为背景，考查原杂化类型判断填空中2子、离子、分子、晶(3)电负性比较中2休的结构与性质等电子体分析中1(15 分）熔点比较中2熔点差异的原因难2(4)晶体密度的计算难2(1)芳香烃的命名易1选修5:(有机化 学基础）以[4+2】(2)推导有机物并书写结构简式中2(3)有机反应条件的选择易236环加成反应为背副产物结构简式书写填空中2景，合成苯基环丁(4)官能团名称易2烯酮的有机综合手性碳原子数目判断中2推断（15分）(5)同分异构体的书写中2(6)产率大小规律总结和原因分析难22.各模块在试题中所占的比重“卷ID 化学”中各模块所占比重如表2所示。

2020年高考理科数学试题解析（课标Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、 选择题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( ) A 、A∩B=∅ B 、A ∪B=R C 、B ⊆A D 、A ⊆B【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题. 【解析】A=(-∞,0)∪(2,+∞), ∴A ∪B=R,故选B.2、若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 ( ) A 、－4（B ）－45（C ）4（D ）45【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.【解析】由题知z =|43|34i i +-=4)(34)(34)i i i +-+=3455i +，故z 的虚部为45，故选D.3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( )A 、简单随机抽样B 、按性别分层抽样C 、按学段分层抽样D 、系统抽样 【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题.【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C.4、已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>C 的渐近线方程为A .14y x =±B .13y x =±C .12y x =± D .y x =±【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.【解析】由题知，2c a =，即54=22c a =222a b a +，∴22b a =14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为12y x =±，故选C . 5、运行如下程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出s 属于A .[-3,4]B .[-5,2]C .[-4,3]D .[-2,5]【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题.【解析】有题意知，当[1,1)t ∈-时，3s t =[3,3)∈-，当[1,3]t ∈时，24s t t =-[3,4]∈， ∴输出s 属于[-3,4]，故选A .6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )A 、500π3cm 3B 、866π3cm 3C 、1372π3cm 3D 、2048π3cm 3【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式，是容易题.【解析】设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则222(2)4R R =-+，解得R=5，∴球的体积为3453π⨯=500π33cm ，故选A. 7、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m ＝ ( ) A 、3 B 、4 C 、5 D 、6【命题意图】本题主要考查等差数列的前n 项和公式及通项公式，考查方程思想，是容易题. 【解析】有题意知m S =1()2m m a a +=0，∴1a =－m a =－（m S -1m S -）=－2， 1m a += 1m S +-m S =3，∴公差d =1m a +-m a =1，∴3=1m a +=－2m +，∴m =5，故选C.8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，是中档题.【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为21244222π⨯⨯+⨯⨯ =168π+，故选A . 9、设m 为正整数，2()mx y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a =7b ，则m ＝ ( ) A 、5 B 、6 C 、7 D 、8【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题. 【解析】由题知a =2mm C ，b =121m m C ++，∴132mm C =7121m m C ++，即13(2)!!!m m m ⨯=7(21)!(1)!!m m m ⨯++， 解得m =6，故选B.10、已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点。

2023年全国高考理科综合试题解析大全7月8日上午，2020年高考理科综合试题揭开了神秘的面纱。

今年理综试题主要考查了哪些知识点和能力?背后反映出了怎样的育人导向?教育部考试中心命题专家对此进行了解析。

物理：贴近教学实际，增强时代特性“2020年高考物理更加突出物理学科的基础性，既注重对核心物理概念和规律的考查，又注重对探究过程、研究方法、科学态度等方面的考查，旨在夯实学生全面发展的基础。

许多试题素材来源于教材，贴近中学教学实际，引导学生打好学习基础，促进课堂回归教材。

”命题专家举例说，全国Ⅰ卷第14题安全气囊的作用、全国Ⅱ卷第19题特高压输电等试题都改编自教材中的例题或习题，突出考查学生对重要物理概念和规律的理解。

在命题专家看来，今年高考物理在计算题中继续突出对主干内容的考查。

比如全国Ⅰ卷第25题考查学生对动量定理的灵活运用，要求学生将动量的变化问题转化为冲量问题，对学生的物理思维要求较高。

加强理论联系实际，增强情境的时代性，是近年来高考物理试题的命题特色。

命题专家举例，全国Ⅰ卷第24题以我国自主研制的运—20重型运输机为情境，考查学生运用新信息和匀变速直线运动规律解决实际问题的能力。

全国Ⅲ卷第16题以我国“嫦娥四号”探测器在月球背面成功着陆为背景，考查学生用万有引力定律解决简单问题的能力。

在命题专家看来，今年高考物理试题还加强了对学生信息获取与整理、批判性思维、实验探究、物理学术语言表达等方面能力的考查，突出对有利于学生终身发展关键能力的培养，着力提升学生物理学科素养。

例如，全国Ⅰ卷第20题呈现物块的重力势能和动能与下滑距离间的关系，要求学生能够从图像中提取信息，分析物块下滑物理过程中的能量变化，对学生的信息整理能力要求较高。

生物：精心创设情境，体现人文关怀“2020年高考生物试题基于高考评价体系进行设计，坚持立德树人，注重发挥育人功能。

”命题专家说。

结合生物学科特点，2020年高考生物试题有机融入新冠肺炎疫情、生态工程建设等内容，体现时代精神，凸显价值导向。

浙江省2020年7月新高考选考科目命题思路物理物理学科组一、整卷设计有合适的梯度，使每一位学生有获得感有一定比例的试题来源于教材，使学生有一定的熟悉感，从容应考。

如第9题来源于教材插图；第11题是将教材的计算题改编成选择题；第17、18实验题均基于教材内容改编；第21题情景取材于教材习题。

有一定比例的试题较为简明，学生解题时会有踏实感。

如第1题考查了单位制；第2题是生活中的惯性；第3题考查了受力分析；第19题考查的是直线运动。

整卷语言表述力求做到以“学生为中心”，使学生不会在理解题意上造成困难。

如第12题考查了比荷，为避免学生产生歧义，将其表述为电荷量和质量的比值；第21题线框在磁场中的运动问题涉及到时空维度，为便于学生解题，用适合学生的语言来表述。

二、部分试题以国家重大工程为背景，使每一位学生有自豪感以国家重大工程为背景，不仅能满足以真实情景下问题解决评价学生物理素养的要求，同时也能使学生产生民族自豪感。

如第3题以“歼20”矢量发动机为背景，第7题以中国行星探测工程“天问系列”为背景，第9题以特高压直流输电为背景，第10题以“中国天眼”射电望远镜为背景。

以生活中的物理知识为背景，加强了物理与生活的联系，使学生体会到学习物理是有用的。

如第2题以公交车上行李箱的不同放置方式为背景，第4题以新冠疫情防范常用的红外测温仪为背景。

三、试题设计、设问有层次，使不同能力水平的学生都有成就感试题设计有不同的层次要求。

既有直接用物理知识，也有用物理观念求解的题目。

如第16题空气对无人机的作用力，第20题滑块对轨道的作用力等，需从相互作用观来分析；第11题的远距离输电问题，第16题无人机功率转化问题，需从能量观来分析；有的以真实问题为背景建模后求解，如第9题需要将立体图转化为截面图后才能求解，第10题“中国天眼”上工作人员的受力问题，需要在画出球面的基础上进行受力分析后求解。

大题设问有层次，每一大题均设置了3个小题，从一个知识点到多个知识点、单一过程到多个过程的分析和综合求解，从直接应用物理规律到建模求解，从简单计算到函数关系的建立。

2020年高考理科数学试题分析与2021年高考备考（全国卷）2020年高考数学考试试卷及试卷结构说明：2020年高考试卷结构与往年基本保持一致：第一大题，选择题，共12小题，每小题5分，共60分；第二大题，填空题，共4小题，每小题5分，共20分。

第三大题，解答题，共6小题，必考题5道，涉及的内容有数列，三角函数（每年二选一），立体几何，解析几何，概率与统计，函数与导数。

必考题每道题12分，满分60分。

选考题2道（选择一道作答），包括坐标系与参数方程和不等式选讲两部分内容。

选考题共10分。

解答题共计70分。

选择题考点分析:填空题考点分析：选择填空题主干知识比重分析：解答题考点分析：试卷整体主干知识比重分析：试卷分析：选择题：①2020年的高考数学选择题部分，仍然体现了基础性和创新性。

即部分题目考生乍一看可能没有思路，但是经过仔细分析之后一切又回归到数学模型之中。

这些题目，如全国Ⅰ卷的第3题，全国Ⅱ卷的第4题，全国Ⅲ卷的第4题均有所体现，同学们初看题目，信息量较大，但是经过仔细分析，把它转换成数学问题，一切都会变得异常清晰；②选择题总体来看没有出现偏难怪的知识点，都是平时常见和大量训练的试题，考生比较容易上手，这可以让平时认真努力的同学在考试之中取得一个不错的分数。

这也体现了高考的本质性功能，即选拔性考试而非智力型的考试。

③选择题压轴题不约而同的考察了对数与指数函数以及与函数与导数的综合应用，与往年相比有很大的不同，这也说明，在平时的复习当中一定要面面俱到，认真把握每一个考点，在考试的时候才能够处变不惊。

填空题：①填空题部分13-15题难度较小，涉及的内容主要是线性规划，平面向量，复数，排列组合，二项式定理的一些简单的应用，总体而言，难度不是很大，大多数考生只要平时认真复习，认真做练习，都能够取得一个令人较为满意的成绩。

②填空题16题压轴题主要是立体几何与三角函数两个考点，两个考点也是经常作为填空题的压轴题出现，总体来看，难度似乎有所下降，但是综合性较强，一般考生在有限的时间内完成该题目，可能有一定的困难。

2020年高考理科数学试题分析与2021年高考备考（全国卷）2020年高考数学考试试卷及试卷结构说明：2020年高考试卷结构与往年基本保持一致：第一大题，选择题，共12小题，每小题5分，共60分；第二大题，填空题，共4小题，每小题5分，共20分。

第三大题，解答题，共6小题，必考题5道，涉及的内容有数列，三角函数（每年二选一），立体几何，解析几何，概率与统计，函数与导数。

必考题每道题12分，满分60分。

选考题2道（选择一道作答），包括坐标系与参数方程和不等式选讲两部分内容。

选考题共10分。

解答题共计70分。

选择题考点分析:填空题考点分析：选择填空题主干知识比重分析：解答题考点分析：试卷整体主干知识比重分析：试卷分析：选择题：①2020年的高考数学选择题部分，仍然体现了基础性和创新性。

即部分题目考生乍一看可能没有思路，但是经过仔细分析之后一切又回归到数学模型之中。

这些题目，如全国Ⅰ卷的第3题，全国Ⅱ卷的第4题，全国Ⅲ卷的第4题均有所体现，同学们初看题目，信息量较大，但是经过仔细分析，把它转换成数学问题，一切都会变得异常清晰；②选择题总体来看没有出现偏难怪的知识点，都是平时常见和大量训练的试题，考生比较容易上手，这可以让平时认真努力的同学在考试之中取得一个不错的分数。

这也体现了高考的本质性功能，即选拔性考试而非智力型的考试。

③选择题压轴题不约而同的考察了对数与指数函数以及与函数与导数的综合应用，与往年相比有很大的不同，这也说明，在平时的复习当中一定要面面俱到，认真把握每一个考点，在考试的时候才能够处变不惊。

填空题：①填空题部分13-15题难度较小，涉及的内容主要是线性规划，平面向量，复数，排列组合，二项式定理的一些简单的应用，总体而言，难度不是很大，大多数考生只要平时认真复习，认真做练习，都能够取得一个令人较为满意的成绩。

②填空题16题压轴题主要是立体几何与三角函数两个考点，两个考点也是经常作为填空题的压轴题出现，总体来看，难度似乎有所下降，但是综合性较强，一般考生在有限的时间内完成该题目，可能有一定的困难。

解密19 椭圆考点1 椭圆的定义与标准方程调研1 对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=表示的曲线是椭圆”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若方程221mx ny +=表示的曲线是椭圆，则有0,0,m n m n >>≠，所以“0mn >”是“方程221mx ny +=表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选B ．调研2 过椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b的上顶点与右顶点的直线方程为240+-=x y ，则椭圆C 的标准方程为A ．221164+=x yB ．221204+=x yC ．221248+=x yD ．221328+=x y【答案】A【解析】直线方程为240+-=x y ，令x =0，则y =2，得到椭圆的上顶点坐标为（0，2），即b =2， 令y =0，则x =4，得到椭圆的右顶点坐标为（4，0），即a =4，从而得到椭圆方程为221164+=x y ，故选A ． 调研3 椭圆x 24+y 2t=1上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t 的取值范围为________________．【答案】(3，4)∪(4，254) 【解析】当t >4时，椭圆x 24+y 2t=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则a =√t ，b =2，c =√t −4，由题意可得a −c =√t −√t −4>1，解得4<t <254；当0<t <4时，椭圆x 24+y 2t=1表示焦点在x 轴上的椭圆，则a =2，b =√t ，c =√4−t ，由题意可得a −c =2−√t −4>1，解得3<t <4；综上可知，实数t 的取值范围是(3，4)∪(4，254)．☆技巧点拨☆求椭圆的方程有两种方法：（1）定义法，根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．（2）待定系数法，这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：①做判断，根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）；②设方程，根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>；③找关系，根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）；④得椭圆方程，解方程组，将解代入所设方程即可． 【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为22100()mx ny m n m n >>+≠＝，且．考点2 椭圆的简单几何性质调研1 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0，b >0)的长轴两端点为(−4，0)，(4，0)，离心率为12，则短轴长为 A ．8 B ．4 C ．4√3 D ．2√3【答案】C【解析】由椭圆的性质得a =4，e =ca =12，则c =2， 又b 2=a 2−c 2=16−4=12，即b =2√3， 所以短轴长为2b =4√3．故选C ． 调研2 已知椭圆C ：x 236+y 227=1的右焦点为F ，点P(1，3)，若点Q 是椭圆C 上的动点，则ΔPQF 周长的最大值为 A ．2√13 B ．17 C ．30 D ．17+√13【答案】D【解析】设椭圆C 的左焦点为F ′，则△PQF 的周长l =|QF |+|QP |+|PF |=2a −|QF ′|+|QP |+|PF |≤2a +|PF ′|+|PF |=12+5+√13=17+√13，当点Q 为PF ′的延长线与椭圆C 的交点时取等号，故选D ．调研3 若椭圆2214x y m+=上一点到两焦点的距离之和为3m -，则此椭圆的离心率为A B 7C ．7D ．37或59【答案】A【解析】由题意得，230a m =->，即3m >，若24a =，即2a =，则34m -=，74m =>，不合题意，因此2a m =，即a =3m =-，解得9m =，即3a =，c ==离心率为e =．故选A ． 【名师点睛】此题主要考查椭圆的定义、方程、离心率等有关方面的知识与运算技能，属于中低档题型，也是常考题．在解决此类问题时，要充分利用椭圆的定义，即椭圆上的点到两个定点（即两个焦点）的距离之和为定长（即长轴长2a ），在焦点位置不确定的情况，有必要分两种情况（其焦点在x 轴或是y 轴）进行讨论，从而解决问题．调研4 已知椭圆2222by a x +＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得12MF F △中，1221sin sin MF F MF F a c∠∠=，则该椭圆离心率的取值范围为A ．(0－1)B ．,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．0,2⎛ ⎝⎭D ．－1,1)【答案】D【解析】由正弦定理可得：122112sin sin MF MF MF F MF F =∠∠，结合题意可得12MF MF ca=，所以1212MF MF MF MF caa c+==+，根据椭圆的定义可得122MF MF a +=，所以12acMF a c=+，222a MF a c=+，易知21MF MF >.因为M 为椭圆上一点，所以2a c MF a c -<<+，即22a a c a c a c-<<++，整理得2220c ac a +->，所以2210e e +->11e <<. 故选D ．☆技巧点拨☆1．利用椭圆几何性质解题时的注意点及技巧：（1）注意椭圆几何性质中的不等关系，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系；（2）利用椭圆几何性质的技巧：求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．2．求椭圆离心率问题的一般思路：求椭圆离心率或其范围时，一般是根据题意设出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，利用a 2＝b 2＋c 2，消去b 即可求得离心率或离心率的范围．考点3 直线与椭圆的位置关系调研1 已知椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M 、N )，△AF 1B 的周长为AM 与AN 的斜率之积为－23，则椭圆C 的标准方程为A ．22=1128x y + B ．22=1124x y + C ．22=132x y + D ．22=13x y + 【答案】C【解析】由△AF 1B 的周长为，可知1212|||||4|||AF AF BF BF a +++==，解得a =(M N ，设点00(,)A x y ，由直线AM 与AN 的斜率之积为－23，=23-，即22002(3)3y x =--①．又2200213x y b +=，所以22200(1)3x y b =-②，由①②解得22b =，所以椭圆C的标准方程为22132x y +=．故选C ． 【名师点睛】此题主要考查椭圆方程，由椭圆定义可得出焦半径的性质，由椭圆上的点和顶点连线的斜率乘积可得出关系式，考查了斜率的坐标表示以及点在椭圆方程上的灵活应用，属于中档题型，也是常考考点．数形结合法是数学解题中常用的思想方法之一，通过“以形助数，以数解形”，根据数列与形之间的对应关系，相互转化来解决问题．调研2 过点()31，P 且倾斜角为3π4的直线与椭圆22221(0)+=>>x y a b a b相交于A ，B 两点，若=u u u v u u u v AP PB ，则该椭圆的离心率为 A ．12 B．2 C．3D．3【答案】C【解析】设()()1122，，，A x y B x y ，=Q u u u v u u u vAP PB ，∴P 是线段AB 的中点，则1232+=x x ，1212+=y y ，过点()31，P 且倾斜角为3π4的直线方程为()13-=--y x ，即4=-+y x ，联立直线与椭圆方程22221(0)+=>>x y a b a b 得222241⎧⎪⎪-+⎨=⎩+=y x x y ab ，整理得()22222228160+-+-=a b x a x a a b ， 212228∴+=+a x x a b ，()212122288+=-++=+b y y x x a b， 代入1232+=x x 得223，=a b则椭圆的离心率3=====c e a ．故选C ．调研3 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22，短轴长为4． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点N(0，2)作两条直线，分别交椭圆C 于A ，B 两点（异于N 点）．当直线NA ，NB 的斜率之和为定值t(t ≠0)时，直线AB 是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【解析】（1）由题意知ca =√22，2b =4，a 2−c 2=b 2，解得a =2√2，b =2，c =2， 所以椭圆方程为x 28+y 24=1．（2）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为y =kx +m(k ≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由k NA +k KB =t ，得kx 1+m−2x 1+kx 2+m−2x 2=t ，整理得2kx 1x 2+(m −2)(x 1+x 2)=tx 1x 2 (∗)，联立{y =kx +m x 2+2y 2=8，消去y 得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8=0， 由题意知二次方程有两个不等实根，∴x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2，代入(∗)得2k(2m 2−8)1+2k 2−4km(m−2)1+2k 2=t(2m 2−8)1+2k 2，整理得(m −2)(4k −tm −2t)=0． ∵m ≠2，∴m =4k t−2，∴y =kx +4k t−2，即y +2=k(x +4t )．所以直线AB 过定点(−4t ，−2)．当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x =x 0，A(x 0，y 1)，B(x 0，y 2)，其中y 2=−y 1． ∴y 1+y 2=0， 由k NA +k NB =t ，得y 1−2x 0+y 2−2x 0=y 1+y 2−4x 0=−4x 0=t ，∴x 0=−4t．∴当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 也过定点(−4t ，−2)． 综上所述，直线AB 恒过定点(−4t ，−2)．调研4 已知椭圆C ： 2222x y +=的左、右顶点分别为1A ，2A ． （1）求椭圆C 的长轴长与离心率；（2）若不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点M ，直线1A Q 与2A P 交于点N ．求证：直线MN 垂直于x 轴．【思路分析】（1）由椭圆C 的方程可化为2212x y +=，可得1,1a b c ===，则长轴长为2a =，离心率2c e a ==；（2）设直线1A P 的方程为1(y k x =，2A Q 的方程为2(y k x =， 联立可得2121)M k k x k k +=-，同理可得4343)N k k x k k +=-，可证明1412k k =-且2312k k =-，从而可得N M x x =，进而可得结果．【解析】（1）椭圆C 的方程可化为2212x y +=，所以1,1a b c ===．所以长轴长为2a =，离心率c e a == （2）显然直线1A P 、2A Q 、1A Q 、2A P 都存在斜率，且互不相等，分别设为1234,,,.k k k k 设直线1A P的方程为1(y k x =，2A Q的方程为2(y k x =，联立可得)2121M k k x k k +=-．同理可得)4343N k k x k k +=-．下面证明141.2k k =-设()00,P x y ，则220022x y +=．所以22001422001222y y k k x y ====---．同理231.2k k =-所以1221211211(22)112)2N M k k k k x x k k k k --++===----，所以直线MN 垂直于x 轴． 【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法，根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．☆技巧点拨☆1．直线与圆锥曲线的位置关系是高考必考题，难度为中高档，常作为压轴题出现，大致在第20题的位置． 2．直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略（1）求椭圆方程或有关几何性质．可依据条件，寻找满足条件的关于a ，b ，c 的等式，解方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质．（2）关于弦长问题．一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解．特别对于中点弦或弦的中点问题，一般利用点差法求解． 3．具体解题步骤：对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般要把圆锥曲线的方程与直线方程联立来处理．（1）设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在两种情况进行讨论，或者将直线方程设成x ＝my ＋b 的形式．（2）联立直线方程与曲线方程并将其转化成一元二次方程，利用方程根的判别式或根与系数的关系得到交点的横坐标或纵坐标的关系．（3）一般涉及弦的问题，要用到弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或|AB |＝1＋1k 2·|y 1－y 2|．1．（湖北省2019届高三1月联考）已知椭圆C ：y 2a 2+x 216=1(a >4)的离心率是√33，则椭圆C 的焦距为 A ．2√2 B ．2√6 C ．4√2 D ．4√6【答案】C【解析】由题可得e =c a =√33，则a =√3c ，所以c 2=a 2−b 2=3c 2−16，所以c 2=8，因此椭圆C 的焦距为2c =4√2．故选C ．2．（湖南省长沙市雅礼中学2019-2020学年高三上学期第一次月考数学）“26m <<”是“方程22126x y m m+=--为椭圆”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若方程22126x ym m +=--表示椭圆，则206026->->-⎨⎩≠⎪-⎧⎪m m m m，解得26m <<且4m ≠， 所以26m <<是方程22126x y m m+=--表示椭圆的必要不充分条件，故选B ．3．（云南省玉溪市玉溪第一中学2019-2020学年高三上学期期中数学）已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的点，延长2PF 交椭圆于点Q ，若1PF PQ ⊥，且1PF PQ =，则椭圆的离心率为A B ．2-CD 1【答案】A【解析】设()10PF m m =>，则22PF a m =-，222QF m a =-，142QF a m =-，因为11QF =，故(4m a =-.因为222212124PF PF F F c +==，所以()()2224244a a a c ⎡⎤-+--=⎣⎦，整理得到2436c a ⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭c a ==故选A ．4．（黑龙江省双鸭山市第一中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学）已知椭圆2222:+=x y C a b()10>>a b 的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，A 为椭圆上一点，12π2∠=F AF ，连接2AF y 交轴于M 点，若23OM OF =，则该椭圆的离心率为A ．13B ．3C ．58D 【答案】D【解析】设|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ． 如图所示，由题意可得：Rt △AF 1F 2∽Rt △OMF 2，∴122|||1|||||3==AF OM AF OF ．则m +n ＝2a ，m 2+n 2＝4c 2，n ＝3m ．化为：m 2223b =，n 2＝9m 2＝6b 2．∴223b +6b 2＝4c 2，∴()2253a c -=c 2，化为：c a =． 故选D ．5．（黑龙江省鹤岗市第一中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，直线l 过左焦点且倾斜角为π3，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为 AB．5CD【答案】D【解析】由题意知，椭圆的左焦点为(),0c -，长轴长为2a ，焦距为2c ， 设直线l的方程为：)y x c =+0y -=， 则以椭圆长轴为直径的圆的圆心为()0,0，半径为a ，∴圆心到直线l的距离d ==，2c ∴==，整理得：2247c a =，∴椭圆的离心率为c a ==故选D.6．（安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线:430l x y -=与椭圆相交于A 、B 两点.若||||6AF BF +=，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围为A ．9(0,]5B ．C ．(0,3D ．1(,]32【答案】C【解析】设椭圆的左焦点为F '，P 为短轴的上端点，连接,AF BF ''，如下图所示：由椭圆的对称性可知，,A B 关于原点对称，则||||=OA OB ， 又||||'=OF OF ，∴四边形AFBF '为平行四边形，||||'∴=AF BF ，又26AF BF BF BF a '+=+==，解得：3a =， 点P 到直线l 距离：3655b d -=≥，解得：2b ≥2=≥，0c ∴<≤，3c e a ⎛∴=∈ ⎝⎦. 故选C .7．（山东省淄博市实验中学2019-2020学年高三上学期第一次学习检测数学试题）已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122+e e 的最小值为 AB ．3C ．6D【答案】C 【解析】如图，设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ， 由题意可知：1222F F F P c ==， 又1211222,2F P F P a F P F P a +=-=Q ，111222,22F P c a F P c a ∴+=-=，两式相减，可得：122a a c -=，22112122242222e a a a c c e c a ca ++=+=Q ， ()222222222122242842422222c a a c e ca a c a ce ca ca c a ++++∴+===++，22222a cc a +≥=Q ，当且仅当2222a c c a =时等号等立，2122∴+e e 的最小值为6， 故选C ．8．（甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高三上学期9月月考数学）已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ，若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且1222F F PF =,设1C 与2C 的离心率分别为12,e e ，则21e e -的取值范围是 A ．13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【答案】D【解析】如图所示：设椭圆与双曲线的焦距为122F F c =,1PF t =， 由题意可得122,2+=-=t c a t c a ，122,2t a c t a c ∴=-=+，1222a c a c ∴-=+，即12a a c -=，12111e e ∴-=，即2121e e e =+，2222122222211111e e e e e e e e e ∴-=-==++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由21e >可知2101e <<， 令21(0,1)x e =∈，2(0,2)y x x ∴=+∈， 所以2112e e ->，故选D ． 9．（福建省南安市侨光中学2020届高三上学期第一次阶段考数学）已知点M，0)，椭圆22+14x y =与直线y ＝k (x交于点A ，B ，则△ABM 的周长为________. 【答案】8【解析】直线(=+y k x 过定点N （）， 由题设知M 、N 是椭圆的焦点，由椭圆定义知：AN +AM =2a =4，BM +BN =2a =4．则△ABM 的周长为AB +BM +AM =（AN +BN ）+BM +AM =（AN +AM ）+（BN +BM ）=8， 故答案为8．10．（广东省雷州市2019届高三上学期期末考试）已知A 、B 分别为椭圆x 29+y 2b =1（0<b <3）的左、右顶点，P 、Q 是椭圆上的不同两点且关于x 轴对称，设直线AP 、BQ 的斜率分别为m 、n ，若点A 到直线y =√1−mnx 的距离为1，则该椭圆的离心率为________________．【答案】√24【解析】设P(x 0，y 0)，则Q(x 0，−y 0)，m =y 0x 0+3，n =−y 0x 0−3，∴mn =−y 02x2−9，又P(x 0，y 0)在椭圆x 29+y 2b 2=1上，∴y 02=−b 29(x 02−9)，∴mn =b 29，点A 到y =√1−mnx的距离为1===d ，解得b 2=638，c =2√2e =c3=√24．11．（河南省洛阳市2019届高三上学期尖子生第二次联考）某同学同时掷两颗均匀正方形骰子，得到的点数分别为a ，b ，则椭圆x 2a2+y 2b 2=1的离心率e >√32的概率是________________． 【答案】13 【解析】由椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的离心率e >√32，可得当a >b 时，e =c a=√a2−b 2a>√32，即得a 2>4b 2；当a <b时，e =c b =√b 2−a 2b >√32，即得b 2>4a 2．同时掷两颗均匀正方形骰子得到的点数分别为a ，b ，共有6×6=36种情况，满足上述关系的有：(3，1)，(1，3)，(4，1)，(1，4)，(5，1)，(1，5)，(5，2)，(2，5)，（6，1），(1，6)，（6，2），(2，6)，共12种情况， 所以所求概率为1236=13．12．（四川省绵阳市2019届高三第二次诊断性考试）已知点P 是椭圆C ：x 29+y 2=1上的一个动点，点Q是圆E ：x 2+(y −4)2=3上的一个动点，则｜PQ ｜的最大值是________________． 【答案】4√3【解析】由圆E ：x 2+（y ﹣4）2＝3可得圆心为E （0，4），又点Q 在圆E 上，∴|PQ |≤|EP |+|EQ |＝|EP |+√3（当且仅当直线PQ 过点E 时取等号）． 设P （x 1，y 1）是椭圆C 上的任意一点，则x 129+y 12=1，即x 12=9−9y 12，∴|EP |2=x 12+(y 1−4)2=9−9y 12+(y 1−4)2=−8(y 1+12)2+27．∵y 1∈[−1，1]，∴当y 1＝﹣12时，|EP |2取得最大值27，即|PQ |≤3√3+√3=4√3， ∴|PQ |的最大值为4√3．13．（四川省眉山市2019-2020学年高三第二次诊断性考试数学）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为)F，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆内一点()0,P t ，斜率为k 的直线l 交椭圆于,M N 两点，设直线,OM PN （O 为坐标原点）的斜率分别为12,k k ，若对任意k ，存在实数λ，使得12k k k λ+=，求实数λ的取值范围.【解析】（1）由题意得222222c ba abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为：22142+=x y .（2）设直线l 的方程为,y kx t =+由221,42,x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元可得()222214240.k x ktx t +++-= 设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222424,.2121kt t x x x x k k --+==++ 而()12121212221211242,2t x x y y kx t kx tk k k k x x x x x x t +++-+=+=+=+=- 由12,k k k λ+=得24.2kk t λ-=- 因为此等式对任意的k 都成立，所以242t λ-=-，即242.t λ=- 由题意，点()0,P t 在椭圆内，故24022t λ≤=-<，解得 2.λ≥所以λ的取值范围是[)2,.+∞ 14．（河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B．已知椭圆的离心率为3，AB = （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==， 从而3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（2）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>， 点Q 的坐标为11(,)x y --．由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得||=2||PM PQ ， 从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =． 易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x =． 由215x x =5(32)k =+， 两边平方，整理得2182580k k ++=， 解得89k =-，或12k =-． 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去； 当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以，k 的值为12-．15．（湖南省衡阳市第八中学2019-2020学年高三上学期第六次月考数学）如图，已知椭圆P:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴A 1A 2，长为4，过椭圆的右焦点F 作斜率为k （k ≠0）的直线交椭圆于B 、C 两点，直线BA 1，BA 2的斜率之积为−34.（1）求椭圆P 的方程；（2）已知直线l:x =4，直线A 1B ，A 1C 分别与l 相交于M 、N 两点，设E 为线段MN 的中点，求证：BC ⊥EF . 【解析】（1）设B (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)， 因点B 在椭圆上，所以x 12a 2+y 12b 2=1，故y 12=b 2a 2(a 2−x 12). 又A 1(−a,0)，A 2(a,0)， 所以k BA 1⋅k BA 2=y 1x1+a⋅y 1x 1−a =−b 2a2，即b 2a 2=34， 又a =2，所以b =√3， 故椭圆P 的方程为x 24+y 23=1.（2）设直线BC 的方程为：y =k (x −1)，B (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)， 联立方程组{x 24+y 23=1y =k (x −1)，消去y 并整理得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，则x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3.直线A 1B 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，令x =4得y M =6y 1x1+2，同理，y N =6y 2x2+2；所以y E =12(y M +y N )=3(y 1x1+2+y 2x2+2)=6kx 1x 2+3k (x 1+x 2)−12kx 1x 2+2(x 1+x 2)+4， 代入化简得y E =−3k ，即点E (4,−3k )， 又F (1,0)， 所以k EF k BC =−3k3⋅k =−1，所以BC ⊥EF .16．（江西省红色七校2019-2020学年高三第一次联考数学）已知点()2,1M 在椭圆2222:+=x y C a b()10>>a b 上，A ，B 是长轴的两个端点，且3MA MB ⋅=-u u u r u u u r．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()1,0E ，过点()2,1M 的直线l 与椭圆的另一个交点为N ，若点E 总在以MN 为直径的圆内，求直线l 的斜率的取值范围．【解析】（1）由已知可得()()2,12,13a a -----=-g ，解得28a =，又点()2,1M 在椭圆C 上，即2222118b+=，解得22b =，所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=.（2）设()11N x y ,，当直线l 垂直于x 轴时，点E 在以MN 为直径的圆上，不合题意， 因此设直线l 的方程为()21y k x =-+， 代入椭圆方程，消去y 得()()()2222418244410k x k kx kk ++-+--=，则有()2124441241k k x k --=+，即()212244141k k x k --=+，21244141k k y k --+=+， 且判别式()216210=+>k ∆，即12k ≠-， 又点E 总在以MN 为直径的圆内，所以必有0EM EN u u u u v u u u v⋅<，即有()()11111,1,110x y x y -=+-<g ，将1x ，1y 代入得222248344104141k k k k k k ----++<++，解得16k >-，所以满足条件的直线l 的斜率的取值范围是1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 17．（四川省成都市第七中学2019-2020学年高三上学期一诊模拟数学）已知椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(−√2,0),F 2(√2,0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点M(1,0). （1）求椭圆C 的方程;（2）过点M 的直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点，设点N(3,2)，直线AN,BN 的斜率分别为k 1,k 2，问k 1+k 2是否为定值?并证明你的结论.【解析】（1）依题意，c =√2，a 2−b 2=2. ∵点M (1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ∴b =|OM |=1，∴a =√3. ∴椭圆C 的方程为x 23+y 2=1. （2）①当直线l 的斜率不存在时，由{x =1x 23+y 2=1解得x =1，y =±√63.设1,3⎛⎝⎭A，1,3⎛- ⎝⎭B，则122233222++=+=k k 为定值. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()1=-y k x .将()1=-y k x 代入2213+=x y 整理化简，得()2222316330+-+-=k x k x k . 依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122631+=+k x x k ，21223331-=+k x x k .又()111=-y k x ，()221=-y k x ， 所以1212122233--+=+--y y k k x x ()()()()()()122112232333--+--=--y x y x x x ()()()()()1221121221321393⎡⎤⎡⎤---+---⎣⎦⎣⎦=-++k x x k x x x x x x ()()()121212121212224693⎡⎤-++-++⎣⎦=-++x x k x x x x x x x x22222222226336122246313131633933131⎡⎤--⨯+⨯-⨯+⎢⎥+++⎣⎦=--⨯+++k k k k k k k k k k k ()()2212212621+==+k k . 综上得k 1+k 2为常数2.1．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ． 2．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．3．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23 B ．12C ．13D ．14【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以2122PF F F c ==，由AP的斜率为6可得2tan PAF ∠=所以2sin PAF ∠=，2cos PAF ∠=由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，所以2225sin()3c a c PAF ==+-∠，所以4a c =，14e =，故选D ． 4．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABCD ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=， 直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即2223(),a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率3c e a ===，故选A ．【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见的有两种方法：①求出a ，c ，代入公式e ＝ca；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．5．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又12014,42MF F S y =⨯=∴=△，解得0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.6．（2017新课标全国Ⅱ理科）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．【答案】（1） 222x y +=；（2）证明见解析．【思路分析】（1）设出点P 的坐标，利用=NP u u u r u u u r得到点P 与点M 坐标之间的关系即可求得轨迹方程为222x y +=；（2）利用1OP PQ ⋅=u u u r u u u r 可得坐标之间的关系：2231m m tn n --+-=，结合（1）中的结论整理可得OQ PF ⋅=u u u r u u u r 0，即⊥OQ PF u u u r u u u r，据此即可得出结论．【解析】（1）设()()00,,,P x y M x y ，设()0,0N x ，()()00,,0,NP x x y NM y =-=u u u r u u u u r．由=NP u u u r u u u r得00,2x x y y ==，因为()00,M x y 在C 上，所以22122x y +=． 因此点P 的轨迹方程为222x y +=．（2）由题意知()1,0F -．设()()3,,,Q t P m n -，则()()3,,1,,33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-u u u r u u u r u u u r u u u r ，()(),,3,OP m n PQ m t n ==---u u u r u u u r．由1OP PQ ⋅=u u u r u u u r 得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n+=，故330m tn +-=，所以OQ PF ⋅=u u u r u u u r 0，即⊥OQ PF u u u r u u u r．又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ． 【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系F (x ，y )＝0． （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程． （4）代入(相关点)法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而运动，常利用代入法求动点P (x ，y )的轨迹方程．7．（2018新课标全国Ⅰ理科）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【答案】（1）2y x =-或2y x =；（2）证明见解析． 【解析】（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1．由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-，所以AM 的方程为2y x =-2y x =-． （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--． 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--．将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=．所以21221222422,2121x x x k k k x k -+==++， 则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+． 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠． 综上，OMA OMB ∠=∠．8．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析． 【思路分析】（1）根据3P ，4P 两点关于y 轴对称，由椭圆的对称性可知C 经过3P ，4P 两点．另外由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上．因此234,,P P P 在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C 的方程；（2）先设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，再设直线l 的方程，当l 与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l ：y kx m =+（1m ≠），将y kx m =+代入2214x y +=，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x 1+x 2，x 1x 2，进而表示出12k k +，根据121k k +=-列出等式表示出k 和m 的关系，从而判断出直线恒过定点．【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点． 又由222211134a b a b+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上． 因此22211,131,4b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y +=． （2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2， 如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t，2），（t，2-）．则121k k +=-=-，得2t =，不符合题设． 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）．将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=． 由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841kmk -+，x 1x 2=224441m k -+． 而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=． 由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=．即222448(21)(1)04141m km k m k k --+⋅+-⋅=++，解得12m k +=-． 当且仅当1m >-时，0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）．【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简．9．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：FA u u u r ，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，公差为28或28-． 【解析】（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=．两式相减，并由1221y x y k x -=-得1122043y x y k x +++⋅=．由题设知12121,22x y x y m ++==，于是34k m=-． 由题设得302m <<，故12k <-．（2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=． 由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =u u u r ．于是1||22x FA ===-u u u r ，同理2||22x FB =-u u u r ，所以121||||4()32FA FB x x +=-+=u u u r u u u r ，故2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ，即||,||,||FA FP FB u u u r u u u r u u u r成等差数列．设该数列的公差为d ，则1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=u u u r u u u r ①． 将34m =代入34k m =-得1k =-，所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=，故121212,28x x x x +==，代入①解得||28d =，所以该数列的公差为28或28-．。

2020 年高考全国Ⅰ卷数学（理）精细解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。

1.若z = 1+ i , 则 z 2 - 2z =（）A. 0B. 1C. 【答案】D 【解析】D. 2∴ z 2= (1+ i )2= 1+ 2i -1 = 2i= 2i - 2(1+ i ) = 2i - 2 - 2i = -2 ∴ z 2 - 2z = -2 = 22.设集合 A = {x | x 2 - 4 ≤ 0}， B = {x | 2x + a ≤ 0}，且 A B = {x | -2 ≤ x ≤ 1} ，则a = （）A. -4B. -2C. 2D. 2【答案】B 【解析】A = {x | x 2 - 4 ≤ 0} = {x | x 2 ≤ 4} = {x | -2 ≤ x ≤ 2}B = {x | 2x + a ≤ 0} = {x |x ≤−a2} A B = {x | -2 ≤ x ≤ 1} ∴−a2=1，a = -23. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。

以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）z = 1+ i2 z 2 - 2z5 -1A.45 -1B.25 +1C.45 +1D.2【答案】C【解析】设底面边长为2a ，底面高为h ，侧高为l∴h2=l2-a2=2al，∴l2-al-a2=0，∴l=2 2l>0，∴l=a+5a，∴l=2=1+52 2a 2a 44.已知A 为抛物线C : y2= 2 p x (p > 0)上的一点，点A 到C 的焦点的距离为12 ，到y 轴的距离为9 ，则p =（）A. 2B. 3C. 6D. 9【答案】C【解析】a ± 5aa + 5ap2B （b2，0）抛物线上的点到抛物线准线的距离与到焦点的距离相等如图，准线l :x =- p2A 到 l 的距离为12则-= 3 ， p = 65.某校一个课外学习小组为研究某作物种子发芽率 y 和温度x （单位：℃）的关系，在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据( x i , y i )(i = 1, 2, , 20) 得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度x 的回归方程类型的是（）A. y = a + bxB. y = a + bx 2C. y = a + be xD. y = a + b ln x【答案】D 【解析】观察散点图可得，图像拟合结果应符合对数函数图像的特征，故选：D6.函数f (x)=x4- 2x3的图像在点(1，f (1))处的切线方程为（）A. y =-2x -1B. y =-2x +1C. y = 2x -3【答案】BD. y = 2x +1【解析】把 x =1代入得 f (1)=-1，故图像经过(1, -1)又 f '(x)= 4x3- 6x2，∴f '(1)=-2∴图像在(1, -1)处切线的斜率为k =-2∴切线方程为y -(-1)=-2(x -1)，即y =-2x +1，故选：B7.设函数f (x) = cos(ωx +π) 在[-π,π] 的图像大致如下图，则f (x) 的最小正周期为（）6A. 10πB. 7πC. 4πD. 3π9 6 3 2【答案】C【解析】观察图像可知， f (-4π) = cos(-4π⋅ω+π) = 0.9 9 6则有-4π⋅ω+π=kπ+π.由题意可知， k =-1, 即-4π⋅ω+π=-π. 解得：ω=3 .9 6 2 9 6 2 2∴T =2π=4π.| ω| 3故选：C1- cos 2α 8.(x +y 2x)(x+ y)5 的展开式中 x 3 y3的系数为( )A. 5B. 10C. 15D. 20【答案】C 【解析]】因为题中所求为x 3y 3的系数，可将第一个括号展开为x 和y 3x分别与(x +y )5相乘，对于x ⋅(x +y )5项，(x +y )5需提供x 2y 3项，对于y 2x⋅(x +y )5项， (x +y )5需提供x 4y 项。