第九章压杆稳定

三、临界载荷的概念 压杆的压力逐渐上升,使压杆的平衡由稳定 的平衡状态向不稳定的平衡状态转变。质变 的转折点,称为临界载荷,以Fcr表示. 压杆保持直线平衡状态的 最大载荷 压杆维持微弯平衡状态的 最小载荷
临界载荷Fcr
四、稳定研究的重要性及工程实例
失稳破坏实例——魁北克大桥
失稳破坏实例——北京社科院某工地
§2 细长压杆临界载荷的欧拉公式
1、两端铰支细长压杆的临界载荷
x
模型：在临界压力下，细长压杆处于微弯状态。
F x F
1、截面上的弯矩
M = Fw
2、挠曲线的近似微分方程
EIw′′ = − M (x ) = − Fw
l
令 k
M(x) x w
2
w
F = EI
w ′′ + k 2 w = 0
w
x
通解 w = A sin kx + B cos kx A、B为待定常数，由边界条件确定
x F x F
l
截面上的弯矩 M = Fw − M e 挠曲线的近似微分方程
EIw′′ = − M (x ) = − Fw + M e
令 k
M(x) w w x w
Me 通解 w = A sin kx + B cos kx + F
F EI 2 2 Me w ′′ + k w = k F
2
=
边界条件 x=0 w=0
压杆的稳定安全因数要比强度安全因数大，并 且稳定安全因数随柔度变化，柔度越大，稳定安全 因数取值越大。具体的稳定安全系数可查相关设计 规范。
例题：千斤顶如图所示，丝杠长度L=375mm，材料 为 Q235 钢，E=206GPa ，最大起重量 F=80kN，规定 的稳定安全系数 nst=3 。 试设计丝杠的直径。（直线 62 ≤ λ ≤ 100 ） 经验公式 σ cr = 304 − 1.12λ 解：丝杠可简化为下端固定、上端自 F 由的压杆，长度系数μ=2。 F 由于直径未知，无法确定压杆的 柔度，故设计时采用试算法，先假设 压杆是细长杆。 L
1、临界应力
设压杆失稳前，横截面上的应力均匀分布
π 2E π 2 EI Fcr = = 临界应力 σ cr = 2 A ( μl ) A ( μl / i ) 2
令 则
λ =
σ cr =
μl
i π 2E
——压杆的柔度(长细比) ——临界应力欧拉公式
λ
2
柔度λ综合反映了杆端约束、长度、截面形状 和尺寸 的影响。 λ越大，压杆临界应力越小，压杆越容易失稳
2、欧拉公式的适用范围
EIw′′ = − M (x )
π 2E σ cr = 2 ≤ σ p λ
π 2 EI Fcr = (μl )2
即 仅在线弹性范围适用，
π 2E λ≥ σp
π 2E σ cr = 2 λ
令 则
π 2E λp = σp
——材料的柔度界限值
π 2E λ ≥ λp = 时，欧拉公式适用 σp
λ ≥ λp
细长杆(大柔度杆)
对Q235钢，Ε=206GPa ，σp=200MPa ，λp≈100
3、临界应力经验公式 临界应力总图
压杆可分为三类
π 2E ☆细长杆（λ≥λp） σ cr = 2 λ
压杆将发生弹性失稳，此时压杆的临界应力不 超过材料的比例极限。 ☆中长杆（λs≤λ≤λp） 压杆将发生弹塑性失稳，即失稳时压杆横截面 上的应力已超过材料的比例极限，截面上某些部分 已进入塑性状态 不同的工程设计中，可能采用不同的经验公式 计算临界应力
σP
π 2E σ cr = 2 λ
O
λS
λP
λO
λP
λ
λ越大，压杆临界应力越小，压杆越容易失稳
例题：两端球形铰支的圆截面压杆，长度L=2m，直 径d=60mm，材料为Q235钢，Ε=206GPa，λp=100。 试求： 1、压杆的临界载荷； 2、在面积不变的情况下，若改用内外径之比α=0.6 的空心圆截面杆，此时压杆的临界载荷又为多少？ 解：1、实心圆截面杆的临界载荷 I πd 4 64 d = = 15mm i= = 2 A πd 4 4
Me B=− F
Me F
Fcr
w ′ = Ak cos kx − Bk sin kx
x=0 x=l/2
θ=0
A=0
⎛ kl ⎞ Bk sin⎜ ⎟ = 0 ⎝ 2⎠
l
l/4
拐点
θ=0
⎛ kl ⎞ sin⎜ ⎟ = 0 ⎝ 2⎠
kl = nπ 2
拐点
l/4
临界载荷
Fcr =
(0.5l )2 ——欧拉公式
☻直线经验公式 σ cr = a − bλ (λ s ≤ λ ≤ λ p ) a与b是与材料有关的常数 塑性材料
62 ≤ λ ≤ 100 对Q235钢 σ cr ☻抛物线经验公式 σ cr = σ 0 − kλ2 (λ ≤ λ p ) σ0与k也是与材料有关的常数。 对Q235钢 σ cr = 235 − 0.0068λ2 (MPa) λ ≤ 100
πd 2
得
i=
4 d 1 = 45mm
π ( D14 − d 14 ) 64 I = = 2 2 π ( D1 − d 1 ) 4 A
λ= μL 1 × 2 × 10 3
=
D12 + d 12 = 21.9mm 4
此时，空心圆截面杆比实心圆截面杆的临界载荷大。
21.9 i σ cr = 235 − 0.0068λ2 = 178.3MPa π × 75 2 (1 − 0.6 2 ) Fcr = σ cr A = 178.3 × = 504.1kN 4
F
w F
3、确定待定系数 通解 w = A sin kx + B cos kx B=0 x=0 w=0 x=l 若 A=0 4、临界载荷
sin kl = 0
n 2π 2 EI F= l2
w=0
w≡0
A sin kl = 0
不是微弯平衡
kl = nπ
n = 1,2 L
nπ x 挠曲线方程 W = A sin l
第九章 压杆稳定
§1 压杆稳定的概念 一、问题的提出
压杆强度条件
FN σ= ≤ [σ ] A
结论：压杆的承载能力仅与杆的材料及横 截面尺寸有关。 ☻立纸游戏 ①横截面积相同，承载能力不一样。 ②实际压杆可能弯曲。
☻实验
压杆可能在低应力情况下发生弯曲 —失稳破坏
实际压杆弯曲的原因：
1. 杆轴线存在微小的初弯曲， 2. 作用于杆上的轴向压力有“偶然”偏心， 3. 材料性质并非绝对均匀。 大柔度弹性直杆受偏心压力作用时
h x
b z
x
l
解：1、求压杆的临界载荷 ①若杆在xy平面内失稳，横截面将绕z轴转动，此 时杆端约束相当于两端铰支，故μz=1
Iz bh 3 12 h = = iz = = 17.32mm bh A 12 μ z l 1 × 2.25 × 10 3 λz = = 129.9 > λ p = iz 17.32
二、压杆稳定的概念
稳定性——构件在外力作用下保持其原有平衡 状态的能力 (直线平衡构形)
力学模型——理想中心受压直杆
FP<Fcr：在扰动力作用下，直线平衡构形转变
为弯曲平衡构形，扰动撤除后，能够恢复到 原来的直线平衡构形，则称原来的直线平衡 构形是稳定的。 FP>Fcr ：在扰动作用下，直线平衡构形转变 为弯曲平衡构形，扰动撤除后，不能恢复到 直线平衡构形，则称原来的直线平衡构形是 不稳定的。 失稳 稳定的平衡构形 不稳定的平衡构形
π 2E π 2 × 206 Fcr = 2 ⋅ A = × 40 × 60 = 262.3kN 2 λy 136.4
2、求合理宽高比 若要使压杆的临界载荷最大，就应使压杆在xy和 xz平面内的柔度相等。即
λ y = λz
λy = μyL
iy
0.7 × L = b 12
Hale Waihona Puke λz =μz Liz
1× L = h 12
临界载荷 说明：
Fcr =
π 2 EI
l2
——欧拉公式
①欧拉公式仅适用于细长压杆； ②若杆端为球形铰，杆的失稳将绕最小形心主 惯性轴发生； ③临界载荷与截面形状、尺寸及杆长均有关； ④临界载荷作用下，压杆挠曲线的形状是半 波正弦曲线 π
w = B sin( l x)
2、两端固定细长压杆的临界载荷
cos kl = 0
n = 0,1,2 K
临界载荷
Fcr =
π 2 EI
(2l )2 ——欧拉公式
Fcr
临界载荷作用下的挠曲线方程
w = δ (1 − cos
πx
2l
)
π 2 EI Fcr = (μl )2
例题:如图所示两端铰支细长压杆，已知b=8mm， h=20mm，l=1m，材料为Q235钢，E=210GPa。 求压杆的临界载荷。 解： 两端铰支 μ = 1 压杆截面的最小惯性矩为：
I min
Fcr =
hb 3 20 × 8 3 = = 853mm 4 = Iy = 12 12
π 2 EI y
(μl )
2
=
π 2 × 210 × 853
(1 × 1000)
2
= 1.76kN
讨论： 压杆的屈服载荷
Fs = A ⋅ σ s = 8 × 20 × 235 = 37600 N = 37.6kN
Fcr : Fs = 1 : 21.4 失稳先于强度破坏
例题：两端铰支的细长压杆，杆长l，横截面积 A， 抗弯刚度EI。设杆处于变化的均匀温度场中，若材料 的线膨胀系数为α，初始温度为T0，试求压杆失稳时 的临界温度值Tcr。 F 解： 一次超静定问题，变形协调条件为