《材料力学》第9章压杆稳定习题解

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111 第九章 压杆稳定 习题解

[习题9-1]在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式22lEIPcr。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形状时，压杆在crF作用下的挠曲线微分方程是否与图a情况下的相同，由此所得crF公式又是否相同。

解：挠曲线微分方程与坐标系的y轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。

因为（b）图与（a）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是

)("xMEIw。（c）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)("xMEIw，显然，这微分方程与（a）的微分方程不同。

临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：22lEIPcr。

[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能转动）？

解：压杆能承受的临界压力为：22).(lEIPcr。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与原压相的相当长度l的平方成反比，其中，为与约束情况有关的长度系数。

（a）ml551

（b）ml9.477.0

（c）ml5.495.0

（d）ml422

（e）ml881

（f）ml5.357.0（下段）；ml5.255.0（上段）

故图e所示杆crF最小，图f所示杆crF最大。 百度文库

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222 [习题9-3] 图a,b所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为2min2).2(lEIPcr

？为什么？并由此判断压杆长因数是否可能大于2。

螺旋千斤顶（图c）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响？校核丝杆稳定性时，把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l的压杆是否偏于安全？

解：临界力与压杆两端的支承情况有关。因为(a)的下支座不同于(b)的下支座，所以它们的临界力计算公式不同。(b)为一端固定，一端自由的情况，它的长度因素2，其临界力为：2min2).2(lEIPcr。但是，(a)为一端弹簧支座，一端自由的情况，它的长度因素2，因此，不能用2min2).2(lEIPcr来计算临界力。

为了考察（a）情况下的临界力，我们不妨设下支座（B）的转动刚度lEIMC20，且无侧向位移，则：

令2kEIFcr，得：22"kwkw

微分方程的通解为：kxBkxAwcossin

由边界条件：0x，0w，CFCMwcr'；lx，w

解得： CkFAcr，B，klklCkFcrcossin

整理后得到稳定方程：20/tanlEICklkl

用试算法得： 496.1kl

故得到压杆的临界力：222)1.2()496.1(lEIlEIFcr。

因此，长度因素可以大于2。这与弹性支座的转动刚度C有关，C越小，则值越大。当0C时，。 百度文库

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333 螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接，即不是固定的。它们之间是靠摩擦力来维持相对的静止。当轴向压力不是很大，或地面较滑时，底座与地面之间有相对滑动，此时，不能看作固定端；当轴向压力很大，或地面很粗糙时，底座与地面之间无相对滑动，此时，可以看作是固定端。因此，校核丝杆稳定性时，把它看作上端自由，下端为具有一定转动刚度的弹性支座较合适。这种情况，2，算出来的临界力比“把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l的压杆”算出来的临界力要小。譬如，设转动刚度lEIMC20，则：1025.121.222弹簧固端crcrPP，弹簧固端,1025.1crcrPP。因此，校核丝杆稳定性时，把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l的压杆不是偏于安全，而是偏于危险。

[习题9-4]试推导两端固定、弯曲刚度为EI，长度为l的等截面中心受压直杆的临界应力crP的欧拉公式。

[解]：设压杆向右弯曲。压杆处于临界状态时，两端的竖向反力为crP，水平反力为0，约束反力偶矩两端相等，用eM表示，下标e表示端部end的意思。若取下截离体为研究对象，则eM的转向为逆转。

EIMxvEIPvecr)("，令EIPkcr2，则 EIPkcr12

上述微分方程的通解为：

crePMkxBkxAvcossin…………………………….(a)

边界条件：①0x；0v：crePMBA0cos0sin0；crePMB。

②0x0'v：0sin0cos0BkAk；0A。

把A、B的值代入（a）得：

边界条件：③Lx；0v：)cos1(0kLPMcre， 0cos1kL

④0x0'v：kLkPMcresin00sinkL

以上两式均要求：nkL2，,......)3,1,0(n 百度文库

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444 其最小解是：2kL，或Lk2。故有：EIPLkcr222)5.0(，因此：

22)5.0(LEIPcr。

[习题9-5]长m5的10号工字钢，在温度为C00时安装在两个固定支座之间，这时杆不受力。已知钢的线膨胀系数107)(10125Cl，GPaE210。试问当温度升高至多少度时，杆将丧失稳定性？

解：

[习题9-6]两根直径为d的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。试根据杆端的约束条件，分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式（按细长杆考虑），确定最小临界力crP的算式。

解：在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况：

（a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：

（b）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳

失稳时整体在面内弯曲，则1，2两杆组成一组合截面。

（c）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳

故面外失稳时crP最小：243128lEdPcr。

[习题9-7]图示结构ABCD由三根直径均为d的圆截面钢杆组成，在B点铰支，而在A点和C点固定，D为铰接点，10dl。若结构由于杆件在平面ABCD内弹性失稳而丧失承载能力，试确定作用于结点D处的荷载F的临界值。

解：杆DB为两端铰支，杆DA及DC为一端铰支一端固定，选取。此结构为超静定结构，当杆DB失稳时结构仍能继续承载，直到杆AD及DC也失稳时整个结构才丧失承载能力，故 百度文库

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555 [习题9-8]图示铰接杆系ABC由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。若由于杆件在平面ABC内失稳而引起毁坏，试确定荷载F为最大时的角（假设20）。

解：要使设计合理，必使AB杆与BC杆同时失稳，

即：

[习题9-9]下端固定、上端铰支、长ml4的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所示，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为Q235钢，强度许用应力MPa170][，试求压杆的许可荷载。

解：查型钢表得：

[习题9-10]如果杆分别由下列材料制成：

（1）比例极限MPaP220，弹性模量GPaE190的钢；

（2）MPaP490，GPaE215，含镍3.5%的镍钢；

（3）MPaP20，GPaE11的松木。

试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。

解：（1）

（2）

（3）

[习题9-11]两端铰支、强度等级为TC13的木柱，截面为150mm×150mm的正方形，长度ml5.3，强度许用应力MPa10][。试求木柱的许可荷载。

解：

由公式（9-12a）：

[习题9-12]图示结构由钢曲杆AB和强度等级为TC13的木杆BC组成。已知结构所有的连接均为铰连接，在B点处承受竖直荷载kNF3.1，木材的强度许用应力MPa10][。试校核BC杆的稳定性。

解：把BC杆切断，代之以轴力N，则

由公式（9—12b）得： A 百度文库

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666 因为st][，所以压杆BC稳定。

[习题9-13]一支柱由4根mmmmmm68080的角钢组成（如图），并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。支柱的两端为铰支，柱长ml6，压力为kN450。若材料为Q235钢，强度许用应力MPa170][，试求支柱横截面边长a的尺寸。

解：

（查表：，）

，查表得：

m4

=mm

[习题9-14]某桁架的受压弦杆长4m,由缀板焊成一体，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求，截面形式如图所示，材料为Q235钢，MPa170][。若按两端铰支考虑，试求杆所能承受的许可压力。

解：由型钢表查得角钢：

得

查表：

故

[习题9-15]图示结构中，BC为圆截面杆，其直径mmd80；AC边长mma70的正方形截面杆。已知该结构的约束情况为A端固定，B、C为球形铰。两杆的材料均为Q235钢，弹性模量