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初中数学对偶式
摘要：
1.初中数学对偶式的概念及意义
2.初中数学对偶式的基本性质
3.初中数学对偶式的求解方法
4.初中数学对偶式在实际问题中的应用
5.总结与展望
正文：
一、初中数学对偶式的概念及意义
初中数学对偶式是指两个表达式，在各项次数、各项系数以及各项变量上均成对出现，且具有相同的项数。
对偶式在数学中有着广泛的应用，掌握对偶式的性质和求解方法有助于提高同学们解决数学问题的能力。
二、初中数学对偶式的基本性质
1.对偶式的各项次数相同。
2.对偶式的各项系数互为倒数。
3.对偶式的各项变量互为相反数。
三、初中数学对偶式的求解方法
1.找出对偶式中的各项次数、各项系数和各项变量。
2.根据对偶式的性质，将各项系数互为倒数，各项变量互为相反数。
3.化简后，求得原式的值。
四、初中数学对偶式在实际问题中的应用
1.代数求和：利用对偶式求和公式，快速求解数列求和问题。
2.代数计算：将复杂代数式化为简单的对偶式，便于计算和化简。
3.方程求解：利用对偶式性质，将方程化简为更容易求解的形式。
五、总结与展望
初中数学对偶式是数学中一种重要的表达形式，掌握其性质和求解方法能够提高同学们解决数学问题的技巧。
在学习过程中，要注意观察对偶式之间的规律，善于运用对偶式解决实际问题。
对偶理论的性质及证明性质1(对称性) 对偶问题的对偶问题是原问题证明 设原问题为max z ..0CXAX b s t X =≤⎧⎨≥⎩ (1)对偶问题为min ..0w YbYA C s t X =≥⎧⎨≥⎩ (2)对偶问题的对偶问题为max ..0CUAU b s t U ϕ=≤⎧⎨≥⎩ (3)比较式(1)和式(3), 显然二者是等价的, 命题得证.性质2(弱对偶性) 设原问题为式(1),对偶问题为式(2),X 是原问题的任意一个可行解,Y 是对偶问题的任意一个可行解,那么总有CX Yb ≤ (4)证明 根据式(1), 由于AX b ≤, 又由于0Y ≥, 从而必有YAX Yb ≤ (5)根据式(2), 由于YA c ≥, 又由于0X ≥, 从而必有YAX CX ≥ (6)结合式(5)和式(6), 立即可得CX Yb ≤,命题得证.性质3(最优性) 设*X 原问题式(1)的可行解,*Y 是对偶问题式(2)的可行解,当是**CX Y b =时,*X 是原问题式(1)的最优解,*Y 是对偶问题式(2)的最优解. 证明 设X 是式(1)的最优解, 那么有*CX CX ≥ (7)由于**CX Y b =,那么*CX Y b ≥ (8)根据弱对偶性质, 又有*CX Y b ≤ (9)从而*CX CX =, 也就是*X 是原问题式(1)的最优解。
同理，也可证明*Y 是对偶问题式(2)的最优解。
性质4(无界性) 设原问题为无界解，则对偶问题无解。
证明 用反证法证明。
设原问题为式(1)，对偶问题为式(2)。
假定对偶问题有解，那么存在一个可行解为Y 。
这时对偶问题的目标函数值为Yb T =。
由于原问题为无界解，那么一定存在一个可行解X 满足CX T >，因此CX Yb >。
而根据弱对偶性，又有CX Yb ≤，发生矛盾。
从而对偶问题没有可行解。
性质5(强对偶性、对偶性定理) 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且最优目标函数值相等。
