当前位置：文档之家 › 对偶问题及对偶单纯形法完整

对偶问题及对偶单纯形法完整

  • 格式：ppt
  • 大小：1.84 MB
  • 文档页数：59

下载文档原格式

  / 59

合集下载

运筹学对偶问题

运筹学对偶问题

原问题变为
则，
max Z 4x1 5x2 s.t.
（A）
3x1 2x2 20
4x1 3x2 10
x1 x2 5
x1

0,
x
为自由
2
变量
max Z ' 4x1 5x3 5x4 s.t. （A‘） 3x1 2x3 2x4 20 4x1 3x3 3x4 10 x1 x3 x4 5 x1 x3 x4 5 x1 0, x3 0, x4 0
∴ 对偶规划问题为
min W 48y1 60 y2 s.t. y1 y2 6 4 y1 2 y2 14 2 y1 4 y2 13 y1 0, y2 0
比较
max F 6x1 14x2 13x3 s.t. x1 4x2 2x3 48 x1 2x2 4x3 60 x1 0, x2 0, x3 0
对比结果
以上对偶问题（B‘）并非原问题（A）的对偶问题， 它是线性规划问题（A’）的对偶问题。
（A）
（B‘）
max Z 4x1 5x2 s.t.
3x1 2x2 20 4x1 3x2 10 x1 x2 5 x1 0, x2为自由变量
min W ' 20y1 '10y2 '5y3 '5 y4 ' s.t. 3y1 '4 y2 ' y3 ' y4 ' 4 2 y1 '3y2 ' y3 ' y4 ' 5 2 y1 '3y2 ' y3 ' y4 ' 5 y1 ' 0, y2 ' 0, y3 ' 0, y4 ' 0

4_4对偶单纯形法

4_4对偶单纯形法

例、用对偶单纯形法求解线性规划问题：
m w i1 n y 5 2y4 5 y
1
2
3
s.t
6y y 2
2
3
5y 2y y 1
1
2
3
y,y ,y 0 123
对偶问题的 初初始始可可行行基基
m m w w a a 1 1 x x y 1 1 5 2y 2 2 4 5 y 3 3 s.ts-.5t5yy11y1y66,221yyy,yy222y22,2 , yyy,y333y3,5yy5y440yy0552211
练习
用对偶单纯形法求解线性规划问题：
m s.t.inwx1 22x1x2 3xx2343x3 2xxi1 0x,2i31x,23 ,3 4
对 偶 问 题
上页 下页 返回
若 b ~ i0,i1,2,,m ，即表中原问题和
对偶问题均为最优解，否则换基。
换基方法：
•确定换出基变量
~
~~
br m i { ibn i bi 0}
对应变量x r 为换出基的变量
•确定换入基变量
m j ic njarjzj arj0 csa rszs
a rs 为主元素，x s 为换入基变量
24 y2 6 2
24 1 0 0 1 0 0
5 y3 1 1 5 1/ 6 2/3 1 0 1 0
0 y4 1 0 0 1/ 6 1/ 3 4 1/ 4 1/ 2 7/2
0 y5 0 1 0 0 1 0 1/ 4 3/2 3/2
使对偶问题基变量可行,
a 14 1 , 4 0 , 0
24 60 4 50 5
y 2 换入
例、用对偶单纯形法求解线性规划问题：

8对偶LP及对偶单纯形法

8对偶LP及对偶单纯形法
原问题 对偶问题 （对偶问题）
原始规划与对偶规划是同一组数 据参数,只是位置有所不同,所描 述的问题实际上是同一个问题从 另一种角度去描述.
（原问题）
线性规划的对偶模型
Page 10
特点：目标函数求极大值时，所有约束条件为≤ 号，变量非负; 目标函数求极小值时，所有约束条件 为≥号，变量非负.
LP：min Z C X
如何安排生产， 使获利最多？
最优解为 x (4, 2)T 最优值为 zmax 14
Page 6
反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定 出租机器用于接受外加工，只收加工费，那么４种 机器的机时如何定价才是最佳决策？
付出的代价最小， 且对方能接受。
出让代价应不低于 用同等数量的资源 自己生产的利润。
本节主要内容
线性规划的对偶模型 对偶性质
Page 2
对偶单纯形法
学习要点： 1. 掌握线性规划的对偶形式
2. 掌握对偶单纯形法的解题思路及求解步骤
对偶现象普遍存在
Page 3
“对偶”，在不同的领域有着不同的诠释。在词 语中，它是一种修辞方式，指两个字数相等、结构 相似的语句，旨表达出相关或相反的意思。如： “下笔千言，离题万里” “横眉冷对千夫指，俯首甘为孺子牛” “天高任鸟飞，海阔凭鱼跃” 数学上也有如下对偶例子： 周长一定，面积最大的矩形是正方形； 面积一定，周长最小的矩形是正方形。
0T Y Xs 0 T 0 Ys X 0
互补松弛条件
其中：Xs为松弛变量、Ys为剩余变量.
对偶性质的应用
Page 21
借助以上性质可以证明，在用单纯形法求解原问题的迭代 过程中，单纯形表右列中的元素对应于原问题的基本可行解， 底行中松弛变量对应的元素恰好构成对偶问题的基本解。逐次 迭代下去，当底行对应于对偶问题的解也变成基本可行解（底 行元素全非负）时，原问题和对偶问题同时达到最优解. 即此 时对偶问题的这个基本可行解就是它的最优解。 用单纯形方法求解原线性规划的过程中，每次迭代都保证 得到原问题的一个基本可行解，底行某些元素对应于对偶问题 的基本解. 单纯形法的迭代的过程既可以看作使原问题的基本 可行解逐步变为最优解（此时底行元素非负)的过程，也可看 作使对偶问题的基本解逐步变成基本可行解的过程。

对偶单纯性法

对偶单纯性法

0
x5
-4
-1
-4
5
2
6
0
0
b
x4
x5
1
0 -24
0
1
-8
0
0
0
θ
2
x2
0
x5
-5/-2 -2/-4
1/2
1
-7/2
0
4
0
θ
-4/(-7/2) 0
2
x2
-316x37/401/2
0
-6/-8 2
[-2] 2
-2/-2 0 1 0
0
-1/4 -1/4
1/2
(-1/2)/(1/4) -1/2 1/8
1/4
B-1 l
检验数为：
cT u ' A cT cBT
B 1 A
B-1 A l
分量：
cj
cBT
B 1
A j
B-1 A
l
j
当1 j m且j l时，B-1 A ＝0，所以检验数为零。
l
j
j l时 ，检验数为 ,大于0。
当n j m 1, 且j k时,检验数为：
0
0
6
1
-2
0 -120
0
1
4
-1/2 1
0
-32 21
最后一个单纯形表中，已得到一个可行的正则解，因 而得到问题的最优解为
X*=（0，4，1）T 最优值为z*=14 对偶单纯形法在以下情况下较为方便。
对于形如min z=CX，AX≥b，X≥0，且C≥0的线性规划 问题。因为将其改写为max (－z) =－CX，－AX+XS=－b， X≥0，则立即可以得到初始正则解；

(完整版)对偶单纯形法详解

(完整版)对偶单纯形法详解
2.3 对偶单纯形法
一、什么是对偶单纯形法？
对偶单纯形法是应用对偶原理求解原始 线性规划的一种方法——在原始问题的单 纯形表格上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
二、对偶单纯形法的基本思想 1、对“单纯形法”求解过程认识的提升— —
从更高的层次理解单纯形法 初始可行基（对应一个初始基本可行解）
3 4
x1, x2 , x3, x4, x5 0
以此形式进行列表求解，满足对偶单纯形 法的基本条件，具体如下：
CB
XB
0
x4
0
x5
cj -2 -3 -4 0 0
xj b
x1 x2 x3 x4 x5
-3
-1 -2 -1 1 0
-4
-2 1 -3 0 1
-Z
0
-2 -3 -4 0 0
比
值 -2/-2 --- -4/-3 --- ---
2/5
11/5
-2 -3 -4 0 0 x1 x2 x3 x4 x5
0 1 -1/5 -2/5 1/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5
cj-zj
0
0 0 -3/5 -8/5 -1/5
最优解: X*=（11/5，2/5, 0, 0, 0）T，
最优值: minW= -maxZ* = -[11/5×(-2)+2/5×(-3)]= 28/5
将三个等式约束两边分别乘以-1，然后
列表求解如下：
CB
XB
0
y3
0
y4
0
y5
-Z
比
cj yj b
-3 -9 0 y1 y2 y3
00 y4 y5
-2
-1 -1 1 0 0

[经济学]单纯形法与对偶问题

[经济学]单纯形法与对偶问题
’小于0，可知
c1≤50时，也就是x1的 目标函数c1’在0≤c1’≤100时最优解不变。
j ' min a 1 j 0 50 。这样可以知道当-50≤Δ a ' 1 j
3 50 j ' 50，有 max a 0 1 j 50 同样有 a13 1 a'1 j
δj δj Max a'kj 0 ΔCk Min a'kj 0（其中 k是某个固定的值， j是1到n的所有数） a' a' kj kj
管 理 运 筹 学
7
§1
单纯形表的灵敏度分析
例： 目标函数：Max z=50X1+100X2 约束条件：X1+X2≤300 2X1+X2≤400 X2≤250 X1，X2≥0 最优单纯形表如下 迭代次数 基变量 X1 S2 X2 ZJ CJ -ZJ
管 理 运 筹 学
2
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶问题
• §1 • §2 • §3 • §4
单纯形表的灵敏度分析 线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质 对偶单纯形法
管
理
运
筹
学
3
单纯形表
管
理
运
筹
学
4
§1
单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量系数Ck灵敏度分析（在什么范围内变化， 最优解不变，与第二章，第三章联系起来） 在线性规划的求解过程中，目标函数系数的变动将会影响检 验数的取值，但是，当目标函数的系数的变动不破坏最优判 别准则时，原最优解不变，否则，原最优解将发生变化，要 设法求出新的最优解。下面我们具体的分析 1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等 变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广 矩阵不变，又因为Xk是非基变量，所以基变量的目标函数的 系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变成了Ck+ Ck。这时 K= Ck-Zk就变成了 Ck+ Ck- Zk= K+ Ck。 要使原来的最优解仍为最优解，只要 K+ Ck≤0即可，也 就是Ck的增量 Ck≤ - K。

对偶与对偶单纯形法的应用

对偶与对偶单纯形法的应用

y1+2y2
≥50
y1 + y2+y3 ≥100
其中y1，y2，y3均≥0
其对偶问题是？
17
• Max z=50x1 +100x2 • x1 +x2 ≤300 • 2x1+x2 ≤400 • x2 ≤250 • x1，x2≥0
18
（二）若原问题为（弱对偶性定理） maxZ=CX AX ≤b X ≥0 其对偶问题为 Minw=Yb YA ≥C Y ≥0 若X为原问题任一可行解，Y为对偶问题任一 可行解，则必有CX ≤Yb
3}=-3;
确定进基变量：θ=min{δ/akj,akj<0}={-15/-5} 从而确定主元素akr，以此为中心做初等行变换。
39
对偶单纯性表2
ci
-12 -16 -15 0 0
CB B b y1 y2 y3 y4 y5
0 y4 -2 -2 -4 0 1 0
-15 y3 3/5 2/5 0 1 0 -1/5
9
记忆宝典： 1、Max——Min 2、C ——b
3、无约束等于0，个数m变n。 4、max就反正，min就正反。（约束条 件——变量）
10
示例：转化为对偶问题
mz a 3 x x 1 4 x 2 6 x 3
2 x1 3 x 2 6 x3 440 , 6 x1 4 x 2 x3 100 , 5 x1 3 x 2 x3 200 , x1 , x 2 , x3 0
δ -6 -16 0 0 -3
确定出基变量：bk=min{bi , bi<0}=min{15}=-15;
确定进基变量：θ=min{δ/akj,akj<0}={-6/-2, -16/-4}=3

应用运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法

应用运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法

应⽤运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法这⼀节课讲解了线性规划的对偶问题及其性质。

引⼊对偶问题考虑⼀个线性规划问题：$$\begin{matrix}\max\limits_x & 4x_1 + 3x_2 \\ \text{s.t.} & 2x_1 + 3x_2 \le 24 \\ & 5x_1 + 2x_2 \le 26 \\ & x \ge0\end{matrix}$$ 我们可以把这个问题看作⼀个⽣产模型：⼀份产品 A 可以获利 4 单位价格，⽣产⼀份需要 2 单位原料 C 和 5 单位原料 D；⼀份产品 B 可以获利 3 单位价格，⽣产⼀份需要 3 单位原料 C 和 2 单位原料 D。

现有 24 单位原料 C，26 单位原料 D，问如何分配⽣产⽅式才能让获利最⼤。

但假如现在我们不⽣产产品，⽽是要把原料都卖掉。

设 1 单位原料 C 的价格为 $y_1$，1 单位原料 D 的价格为 $y_2$，每种原料制定怎样的价格才合理呢？⾸先，原料的价格应该不低于产出的产品价格（不然还不如⾃⼰⽣产...），所以我们有如下限制：$$2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ 3y_1 + 2y_2 \ge3$$ 当然也不能漫天要价（也要保护消费者利益嘛- -），所以我们制定如下⽬标函数：$$\min_y \quad 24y_1 + 26y_2$$ 合起来就是下⾯这个线性规划问题：$$\begin{matrix} \min\limits_y & 24y_1 + 26y_2 \\ \text{s.t.} & 2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ & 3y_1 + 2y_2 \ge 3 \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这个问题就是原问题的对偶问题。

对偶问题对于⼀个线性规划问题（称为原问题，primal，记为 P） $$\begin{matrix} \max\limits_x & c^Tx \\ \text{s.t.} & Ax \le b \\ & x \ge 0\end{matrix}$$ 我们定义它的对偶问题（dual，记为 D）为 $$\begin{matrix} \min\limits_x & b^Ty \\ \text{s.t.} & A^Ty \ge c \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这⾥的对偶变量 $y$，可以看作是对原问题的每个限制，都⽤⼀个变量来表⽰。

线性规划的对偶理论(第2部分)

线性规划的对偶理论(第2部分)
在某些情况下，求解对偶问题可能比直接求解原问题更简单。通过对偶转化，可以将复杂的问题 转化为相对简单的问题进行求解。
灵敏度分析（Sensitivity Analysis）
对偶问题的解可以用于分析原问题参数变化对最优解的影响。通过对偶问题的灵敏度分析，可以 了解原问题解的稳定性以及参数调整对最优解的影响程度。
Part
05
目标规划与多目标决策
目标规划基本概念
目标函数
在目标规划中，目标函数表示决策者希望优化的目标，可以是最 大化或最小化某个或多个变量的函数。
约束条件
约束条件限制了决策变量的取值范围，确保解在实际可行域内。
优先级与权重
不同目标之间可能存在冲突，通过设定优先级和权重可以权衡各 个目标的重要性。
分支定界法的步骤
分支定界法主要包括分支、定界和剪枝三个步骤。首先，将原问题分解为若干个子问题；其次，对每个子问题分别求 解，并更新上下界；最后，通过剪枝策略删除不可能得到最优解的子问题，以减少计算量。
分支定界法的优缺点
分支定界法具有适用范围广、可求得全局最优解等优点；但同时也存在计算量大、求解效率不高等缺点。 因此，在实际应用中需要根据问题的特点和要求选择合适的算法。
多目标决策方法
线性加权法
将多个目标函数线性加权为一个综合目标函数，通过求解该综合目 标函数的最优解来实现多目标决策。
理想点法
先确定每个目标的理想值，然后构造一个评价函数来衡量实际解与 理想解之间的差距，通过最小化该评价函数来求解多目标决策问题。
分层序列法
将多个目标按照重要程度排序，依次求解各层目标的最优解，最终得 到综合考虑所有目标的满意解。
要点三
混合整数规划的应用 案例
混合整数规划在实际应用中有着广泛 的应用，如生产调度中的任务分配问 题、物流运输中的路径优化问题等。 通过运用混合整数规划方法，可以有 效地解决这些问题，提高生产效率和 运输效率。

运筹学第2章 对偶理论01-对偶问题及影子价格、对偶单纯形法

运筹学第2章 对偶理论01-对偶问题及影子价格、对偶单纯形法

第2章对偶理论及灵敏度分析主要内容对偶理论⏹线性规划对偶问题⏹对偶问题的基本性质⏹影子价格⏹对偶单纯形法灵敏度分析⏹灵敏度问题及其图解法⏹灵敏度分析⏹参数线性规划线性规划的对偶问题⏹对偶问题的提出⏹原问题与对偶问题的数学模型⏹原问题与对偶问题的对应关系实例：某家电厂家利用现有资源生产两种产品，有关数据如下表：设备A设备B 调试工序利润（元）612521115时24时5时产品Ⅰ产品ⅡD一、对偶问题的提出如何安排生产，使获利最多？厂家设Ⅰ产量–––––Ⅱ产量–––––1x 2x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=052426155 2max 212121221x x x x x x x s.t.x x z ,设设备A ——元／时设备B ––––元／时调试工序––––元／时1y 2y 3y 收购付出的代价最小，且对方能接受。

出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利润。

设备A 设备B 调试工序利润（元）0612521115时24时5时ⅠⅡD ⏹厂家能接受的条件：⏹收购方的意愿：32152415min yy y w ++=单位产品Ⅰ出租收入不低于2元单位产品Ⅱ出租收入不低于1元出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利润。

1252632132≥++≥+y y y y y52426155 2212121221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=x x x x x x x s.t.x x z ,max ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥+++=0y 125265241532132132321y y y y y y y t s y y y w ,,.min 对偶问题原问题收购厂家一对对偶问题⎩⎨⎧≥≥=⇒⎩⎨⎧≥≤=00bY C YA s.t.Yb w X AX t s CX z min ..max ),(21c c C =⎪⎪⎫ ⎛=1x x X )(ij a A =()321,y ,y y Y =⎪⎪⎪⎫ ⎛=321b b b b 3个约束2个变量2个约束3个变量原问题对偶问题其它形式的对偶问题?特点：1.原问题的约束个数（不包含非负约束）等于对偶问题变量的个数；2.原问题的价值系数对应于对偶问题右端项；3.原问题右端项对应于对偶问题的价值系数；4.原问题约束矩阵转置就是对偶问题约束矩阵；5.原问题为求最大，对偶问题是求最小问题；6.原问题不等约束符号为“≤”，对偶问题不等式约束符号为“≥”;二、原问题与对偶问题的数学模型1．对称形式的对偶当原问题对偶问题只含有不等式约束时，称为对称形式的对偶。

对偶问题(三)——对偶单纯形法

对偶问题(三)——对偶单纯形法

1、确定出基变量： 设br =min{bi | bi <0} 则取br所在行的基变量 为出基变量 即取X4为出基变量 2、确定入基变量： 原则： 保持检验行系数≤0
λi λ i0 设 min | a ri < 0 = a ri a ri 0
1 21 3
X1 检 -2/3 X3 -5/3 X2 4/3 X5 -5/3 X3 X4 0 -1/3 1 0 0
max Z = −4 x1 − 3 x 2 − 8 x 3 − x1 − x 3 + x 4 = −2 不可行− x 2 − 2 x 3 + x 5 = −5 s.t x ，x ，x , x , x ≥ 0 1 2 3 4 5
若取初始基 B1 = (P4， P5 ) 则关于 B1的典则形式为
-1/3 0 -1/3 0 2/3 1
X1 检 0 X3 0 X2 0 X1 1
X3 X4 X5 0 -3/5 -2/5 Z+12/5 1 0 0 -1 -1 0 1/5 4/5 6/5 -2/5 -3/5 3/5
3 6 最优解X = ，，0， （ 0，0 ） 5 5 最优值Z = −12 5
则取xi0 为入基变量
a11x1 + a12x2 +L+ a1n xn ≥ b1 a x + a x +L+ a x ≥ b 21 1 22 2 2n n 2 s.t L L L am1x1 + am2 x2 +L+ amnxn ≥ bm x1 , x 2 L , x n ≥ 0
若 c j ≥ 0 ( j = 1, 2 , L , n )
max Z ′ = − 2 x 1 − x 2 3 x1 + x 2 − x 3 = 3 4x + 3x − x = 6 1 2 4 s .t 基B的典则形式 x1 + 2 x 2 + x 5 = 3 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0

对偶单纯形法详解课件

对偶单纯形法详解课件

终止准则
算法终止的准则有多种，如达到预设的 最大迭代次数、解的变化小于预设阈值 等。
VS
终止判断
在每次迭代后，需要判断是否满足终止准 则，如果满足则算法终止，否则继续迭代 。
04 对偶单纯形法的优化策略
预处理技术
预处理技术
通过预处理，可以消除原问题中的冗 余约束，简化问题规模，提高求解效 率。
线性规划问题的转化
对偶单纯形法详解课 件
目录
CONTENTS
• 对偶单纯形法简介 • 对偶单纯形法的基本原理 • 对偶单纯形法的实现步骤 • 对偶单纯形法的优化策略 • 对偶单纯形法的案例分析 • 对偶单纯形法的展望与未来发展方向
01 对偶单纯形法简介
对偶问题的定义
对偶问题是指原问题的一个等价形式，其目标函数和约束条 件与原问题互为对偶。在优化问题中，对偶问题通常用于求 解原问题的最优解。
对偶单纯形法的应用场景
对偶单纯形法广泛应用于各种优化问题，如线性规划、整数规划、二次规划等。 它适用于求解大规模优化问题，并且具有较高的计算效率和精度。
在实际应用中，对偶单纯形法可以与其他优化算法结合使用，如梯度下降法、共 轭梯度法等，以提高求解效率和精度。同时，对偶单纯形法也可以用于解决一些 复杂的组合优化问题，如旅行商问题、背包问题等。
对偶问题的形式取决于原问题的类型和约束条件。例如，线 性规划的对偶问题就是将原问题的目标函数和约束条件进行 线性变换，得到一个新的优化问题。
对偶单纯形法的概念
对偶单纯形法是一种求解线性规划的方法，它利用对偶问 题的性质，通过迭代和交换变量的方式，逐步逼近最优解 。
在对偶单纯形法中，每次迭代都包括两个步骤：一是根据 对偶问题的最优解更新原问题的解；二是根据原问题的最 优解更新对偶问题的解。这两个步骤交替进行，直到达到 最优解或满足一定的停止准则。

[经济学]单纯形法与对偶问题

[经济学]单纯形法与对偶问题
管 理 运 筹 学
17
§1
单纯形表的灵敏度分析
单纯形表中的Zj跟对偶价格的关系：
对于含有小于等于号的约束条件，添加松弛变量转化为标准型。这时这个 约束条件的对偶价格就和松弛变量的Zj有关。对偶价格应取松弛变量的Zj 的值。 对于含有大于等于号的约束条件，添加剩余变量化为标准型。这时 这个约束条件的对偶价格就和这个剩余变量的 z j有关了。这时约束条件的 对偶价格应取 z j值的相反数- z j 。 对于含有等于号的约束条件，其约束条件的对偶价格就和该约束方 程的人工变量有关了。其约束条件的对偶价格就等于此约束方程的人工变 量的 z j值。
管
理
运
筹
学
18
§1
约束条件 ≤ ≥
单纯形表的灵敏度分析
对偶价格的取值
最终单纯形表对于不同约束类型的对偶价格的取值。
等于这个约束条件对应的松弛变量的 等于这个约束条件对应的剩余变量的 等于这个约束条件对应的人工变量的
z j 值,即为 j 的相反数 z j 值的相反数 zj 值
=
常数项的灵敏度分析-》使对偶价格不变的bj灵敏度分析-》知道对偶价格Zj等于Cb*Pj的转置。 我们知道单纯型法是增广矩阵的行的初等变换，bj的变化并不影响系数矩阵的变化。所以Pj 是不变的。 所以要使对偶价格不变，只要使Cb不变就可以，就是最终单纯形表中的最优基不变，即最终 单纯型表中的基变量还是基变量，怎么保证基变量还是基变量？（即最优基不变，所得 到的基本解是可行解，也就是基变量的值仍然大于等于零） 所以原问题转化为：使最优解的所有基变量不变，且所得的最优解仍然是可行的Bj的变 化范围。
管
理
运
筹
学
19
§1
单纯形表的灵敏度分析

4第四章 对偶单纯形法和对偶问题

4第四章 对偶单纯形法和对偶问题

例如
原 : max Z = x1 + 2x2 −x1 + x2 + x3 ≤ 2 −2x1 + x2 − x3 ≤ 1 x , x , x ≥ 0 1 2 3
对 : min W = 2 y1 + y2 − y1 − 2 y2 ≥ 1 y + y ≥2 1 2 y1 − y2 ≥ 0 y1, y2 ≥ 0
A 工 时 材 料 单件利润
总价格最小 1 1 2
B
1 4 3
C
1 7 3
拥有量 3 9
min W=3y1+9y2 y1+y2≥2 y1+4y2≥3 y1+7y2≥3 y1≥0 y2≥0
保证获利大于A产品利润 保证获利大于 产品利润 保证获利大于 产品利润 保证获利大于B产品利润 获利大于 保证获利大于 产品利润 保证获利大于C产品利润 获利大于 售价非负
θj
对 偶 问 题
0 6 20
σj = cj-zj Cj→
CB YB Y4 Y2 Y1
Y4 Y5 Y6 1 -10 4 -4 -1 2 -4 -16
θj
σj = cj-zj
第四章 对偶问题及对偶单纯形法
§4.4 对偶单纯形法
一、原理
当一个线性规划问题是求目标函数值最 小，约束方程是≥时，求解时用大M法或两阶 段法比较麻烦，此时较有效的算法是将要介绍 的对偶单纯形法 对偶单纯形法并不是求解对偶问题解的 方法，而是利用对偶理论求解原问题的解的方 法。
（1）目标函数在一个问题中是求最大值在另 ） 一问题中则为求最小值 （2）一个问题中目标函数的系数是另一个问 ） 题中约束条件的右端项 （3）一个问题中的约束条件个数等于另一个 ） 问题中的变量数 （4）原问题的约束系数矩阵与对偶问题的约 ） 束系数矩阵互为转置矩阵

运筹学对偶单纯形法

运筹学对偶单纯形法
j = 1, 2 , … , n i = 1, 2 , … , m
8. 最优松紧性 设
= (XT, XTs) = ( x1 , x2 , … , xn , … , xn+m )T
T = (YT，Ys ) = ( y1 , y2 , … , ym , … , ym+n )T
分别是(P1) (D1)的可行解，那么 和 分别是(P1) (D1)最优解的充分必要条件是： ⑴ xj >0 → ym+j = 0 ⑵ ym+j>0 → xj = 0 ⑶ xn+i > 0 → yi = 0 ⑷ yi > 0 → xn+i = 0
关系3：一般对偶关系
对偶问题 目标要求
规范不等式 约束的式号
(P) max ≤ (aij)m×n
第 k 个约束 约束个数 第 k 个右端常数 (非)规范不等式约束 等式约束
(D) min ≥ (aji)n×m
第 k 个变量 变量个数 第 k 个价值系数 非负(正)变量 自由变量
系数阵 函数 约束 与 变量
(2) 对资源 i 现行分配量的评估。当资源 i 在市场上脱销时， 其总存量无法增加，但可酌情调整其在企业内部的现行分配量， 以便获得最佳经济效益。 二、 当 yi* 代表影子利润（即企业的目标是实现最大总利 润）时： (1) 对资源 i 总存量的评估。 (2) 对资源 i 现行分配量的评估。
对偶问题的经济解释
工时利润 （百元/工时） y1 y2 y3
产品 车间
单耗（工时/件）
甲
乙
最大生产能力 （工时/天）
A B C
单位利润 （百元/件）
1 0 2 3
0 2 3 2

运筹学第4章 单纯形法的对偶问题

运筹学第4章 单纯形法的对偶问题

管理运筹学
3
§1 线性规划的对偶问题
如果我们把求目标函数最大值的线性规划问题看成原问题，则把求目标函数最小值的线 性规划问题看成对偶问题。下面来研究这两个问题在数学模型上的关系。
1 求目标函数最大值的线性规划问题中有n 个变量 m个约束条件，它的约束条件都是小于 等于不等式。而其对偶则是求目标函数为最小值的线性规划问题，有m个变量n个约束条件， 其约束条件都为大于等于不等式。
5x1 3x2 x3 200
管理运筹学
10
§1 线性规划的对偶问题
通过上面的一些变换，我们得到了一个和原线性规划等价的线性规划 问题：
max z 3x1 4x2 6x3
s.t. 2x1 3x2 6x3 440,
6x1 4x2 x3 100, 5x1 3x2 x3 200 5x1 3x2 x3 200 x1, x2 , x3 0
进一步，我们可以令y3

y
' 3

y
'' 3
，这时当
y
' 3

y
'' 3
时，y

0，当
y
' 3

y
'' 3
时， y3 0 。这也就是说，尽管
y
' 3
,
y
'' 3

0,
但 y3 的取值可以为正，可以为0，
可以为负，即 y3 没有非负限制。
这样我们把原规划的对偶问题化为
min f 440 y1 100 y2 200 y3
这样第二个约束条件也就符合要求。对于第三个约束条件，我们可以 用小于等于和大于等于两个约束条件来替代它。即有

2.4 对偶单纯形法

2.4 对偶单纯形法
步骤3 若所有aιj≥0,则原问题无可行解，计算停；否则， 计算 θ=min｛σj / aιj│ aιj ＜0 ｝=σk/aιk 确定对应的xk为旋入变量。
步骤4 以aιk为主元作（L，K）旋转变换，得新的单纯形表， 转步骤2。
可以证明，按上述方法进行迭代，所得解始终是对偶可行
解。
例2 用对偶单纯形法求解下述问题
2.4 对偶单纯形法
对偶单纯形法计算步骤如下：
步骤1 确定原问题（L）的初始基B，使所有检验 数形表σ j 。Cj-CBB1Pj0，即Y=CBB-1是对偶可行解，建立初始单纯
步骤2 检查基变量的取值，若XB=B-1b≥0，则已得最优解， 计算停；否则求
min{(B-1b)i│(B-1b)i＜0｝=(B-1b)ι 确定单纯形表第L行对应的基变量为旋出变量。
minZ=12x1+8x2+16x3 +12x4 2x1+ x2 +4x3 ≥2
2x1+2x2+4x4 ≥3 x1,x2,x3,x4≥0 解：令Z =-Z，则问题可变为 maxZ =-12x1-8x2-16x3-12x4 - 2x1- x2 -4x3 +x5 =-2
-2x1-2x2 -4x4 +x6=-3
x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0 取B=（P5,P6）为初始基，易见所有检验数σj≤0， 从而可建立单纯形表，计算结果如下：
L=பைடு நூலகம்，K=4
L=1，K=2
L=2，K=1
最优解： X1=1/2， X2=1， X3=X4=0, minZ=14
本例如果用单纯形法计算，确定初始基可行解时 需引入两个人工变量，计算量要多于对偶单纯形法。 一般情况下，如果问题能够用对偶单纯形法计算，计 算量会少于单纯形法。但是，对偶单纯形法并不是一 种普遍算法，它有一定的局限性，不是任何线性规划 问题都能用对偶单纯形法计算的。当线性规划问题具 备下面条件时，可以用对偶单纯形法求解：
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
产品的利润： y1 y2 3
乙产m 品in 同理w ：6y1 y18 y2 2 y23 y3 y34
把s企.t.业 y所1 有原y 2 料出让 的3 总收入：
y1
2
y2
y3
4
y1 , y 2 , y3 0
w6y18y23y3
只能在满足≥所有产品的 利润的条件下,其总收入尽
可能少,才能成交.
第5页
一、对偶问题的提出
任何一个求极大的线性规划问题都有一个求极小的线性 规划问题与之对应，反之亦然.
把其中一个叫原问题，则另一个就叫做它的对偶问题， 这一对互相联系的两个问题就称为一对对偶问题。
LP1 max z3x14x2
s.t. x 1 x 2 6
x1
2
x2
8
x2 3
x 1 , x 2 0
第2页
一、对偶问题的提出
对同一问题从不同角度考虑，有两种对立的描述。
例例如1：、平应面如中何矩安形排的面生积产与计周划长，的关使系一天的总利润最大？
周某长企一业定生面产积甲最、大乙的两矩种形产是品正，方要形用: 面A、积B一、定C周三长种最不短同的的矩原形料是。正每方生形产1 吨甲产品，需耗用三种原料分别为1，1，0单位；生产1吨乙产品，需耗用三 种原料分别为1，2，1单位。每天原料供应的能力分别为6，8，3单位。又知 道每生产1吨甲产品企业利润为300元，每生产1吨乙产品企业利润为400元。
矩阵形式：
max z (3
4)
x1 x2
s.t. 1
1 0
1
6
2 1
x1 x2
8 3
x1 x2
0
max z=CX s.t. AX ≤b
X≥0
D m inw 6y18y23y3
s.t. y1 y 2 3
y1
2
y2
y3
4
y1 , y 2 , y 3 0
其中 yi ≥ 0 （i = 1,2,…,m）称为对偶变量。
第8页
(二)非对称型对偶问题
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3无约束 分析：化为对称形式。令 x2 x2，x3x3x3(x30,x30)
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3无约束 设 yj 表示第 j 种原料的收费单价
把生产一吨甲产品所用的原料出让，所得净收入应不低于生产一吨甲
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3无约束
第3页
假设该企业决策者决定不生产甲、乙产品，而是将厂
原问题（P）
LP2 m inw 6y18y23y3
s.t. y1 y 2 3
y1
2
y2
y3
4
y1 ,
y2,
y3
0
对偶问题（D）
第6页
二、原问题与对偶问题的对应关系
P max z3x14x2
s.t. x 1 x 2 6 y 1
x1
2
x2 x2
8 3
y2 y3
x 1 , x 2 0
X≥0
Y≥0
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2
(P)
……
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤bm xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n）
min w = b1 y1 + b2 y2 + … +bm ym
s.t. a11y1 + a21 y2 + … + am1ym ≥ c1
a12y1 + a22y2 + … + am2 ym ≥ c2
(D)
……
a1ny1 + a2ny2 + … + amnym ≥ cn yi≥ 0 （i = 1,2,…,m）
里的例现1有、资应源如外何售安。排决生策产者计应划怎，样使制一定天每的种总资源利的润收最费大？
标准才合理？
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3无约束
yj 表示对第 j 种资源的估价
y1
min
w 6
8
3
y2
s.t.
1
1
1 2
0 1
Байду номын сангаас
y1 y2 y3
y3
3
4
y1
y2 y3
0
min w =bTY s.t. ATY ≥CT
Y ≥ 0 第7页
(一)对称型对偶问题
均取变“≤量”均号具s，m.t有.a当xA非目zX=负≤C标bX约函束数，求且极约小束时条均件取：“s当m≥.t”.i目nA号w标TY=。函≥bTCY数T 求极大时
第四章 线性规划的对偶理论
Duality Theory ➢ 线性规划的对偶问题 ➢ 对偶问题的基本性质 ➢ 对偶问题的经济解释——影子价格 ➢ 对偶单纯形法 ➢ 灵敏度分析
第1页
第四章 线性规划的对偶理论
Duality Theory ➢ 线性规划的对偶问题 ➢ 对偶问题的基本性质 ➢ 对偶问题的经济解释——影子价格 ➢ 对偶单纯形法 ➢ 灵敏度分析
设 xj 表示第 j 种产品每天的产量
max z = 3x1 + 4x2 s.t. x1 + x2 ≤ 6
x1 + 2x2 ≤ 8 x2 ≤ 3
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
第4页
分析问题：
1、出让例每1、种资应源怎的样收制入定不收能费低标于准自才己合生理产时？的可获利润；
2、定价不能太高，要使对方能够接受。
max zc 1x 1 c2x2 c3x3 c3x3 s.t. a 1 1 x 1 a 1 2 x 2 a 1 3 x 3 a 1 3 x 3 b 1