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运筹学2对偶问题运筹学教程运筹学Operations Research Chapter 2 对偶问题Dual Problem1. 线性规划的对偶模型Dual Model of LP2.对偶性质对偶性质3.对偶单纯形法对偶单纯形法4.灵敏度分析灵敏度分析Dual property Dual Simplex Method Sensitivity Analysis 运筹学教程§2.1线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型Dual model of LPCh2 Dual Problem2022年11月26日星期五Page 2 of 19在线性规划问题中，存在一个有趣的问题，即每一个线性规划问题都伴随有另一个线性规划问题，称它为对偶线性规划问题。
【例2.1】某企业用四种资源生产三种产品，工艺系数、例资源限量及价值系数如下表：产品资源Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 每件产品利润9 5 8 7 100 8 4 3 6 80 6 7 2 4 70 500 450 300 550 A B C 资源限量建立总收益最大的数学模型。
运筹学教程§2.1线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型Dualmodel of LPCh2 Dual Problem2022年11月26日星期五Page 3 of 19 设x1,x2,x3分别为产品A,B,C的产量，则线性规划数学模解型为：m Z = 100x + 80x + 70x ax1 2 39x1 + 8x2 + 6x3 ≤ 500 5x + 4x + 7x ≤ 450 2 3 1 8x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 300 7x + 6x + 4x ≤ 550 2 3 1 x1, x2, x3 ≥ 0 现在从另一个角度来考虑企业的决策问题。
假如企业自己不生产产品，而将现有的资源转让或出租给其它企业，那么资源的转让价格是多少才合理？价格太高对方不愿意接受，价格太低本单位收益又太少。
第二章线性规划的对偶理论与灵敏度分析一、学习目的与要求 1、掌握对偶理论及其性质 2、掌握对偶单纯形法3、熟悉灵敏度分析的概念和内容4、掌握限制常数与价值系数、约束条件系数的变化对原最优解的影响5、掌握增加新变量和增加新的约束条件对原最优解的影响，并求出相应因素的灵敏度范围6、了解参数线性规划的解法 二、课时 6学时第一节 线性规划的对偶问题一、对偶问题的提出定义：一个线性规划问题常伴随着与之配对的、两者有密切联系的另一个线性规划问题，我们将其中一个称为原问题，另一个就称为对偶问题，在求出一个问题的解时，也同时给出了另一问题的解。
应用：在某些情况下，解对偶问题比解原问题更加容易；对偶变量有重要的经济解释(影子价格)；作为灵敏度分析的工具；对偶单纯形法(从一个非可行基出发，得到线性规划问题的最优解)；避免使用人工变量(人工变量带来很多麻烦，两阶段法则增加一倍的计算量)。
例：某家具厂木器车间生产木门与木窗；两种产品。
加工木门收入为56元/扇，加工木窗收入为30元/扇。
生产一扇木门需要木工4小时，油漆工2小时；生产一扇木窗需要木工3小时，油漆工1小时；该车间每日可用木工总共时为120小时，油漆工总工时为50小时。
问：(1)该车间应如何安排生产才能使每日收入最大？(2)假若有一个个体经营者，手中有一批木器家具生产订单。
他想利用该木器车间的木工与油漆工来加工完成他的订单。
他就要考虑付给该车间每个工时的价格。
他可以构造一个数学模型来研究如何定价才能既使木器车间觉得有利可图而愿意为他加工这批订单、又使自己所付的工时费用最少。
解(1)：设该车间每日安排生产木门x1扇，木窗x2扇，则数学模型为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=-0502120343056max 21212121x x x x x x x zX*=(15,20)’ Z*=1440元解(2)：设y 1为付给木工每个工时的价格，y 2为付给油工每个工时的价格⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=-0303562450120min 21212121y y y y y y y wY*=(2,24)’ W*=1440元将上述问题1与问题2称为一对对偶问题，两者之间存在着紧密的联系与区别：它们都使用了木器生产车间相同的数据，只是数据在模型中所处的位置不同，反映所要表达的含义也不同。
习题二2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题(1) max z ＝10x1＋x2＋2x3(2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4≤54x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3＝－4x j≥0 （j＝1,2,3）x1－x3＋x4≥1x1，x3≥0，x2，x4无约束(3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4(4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤202x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝x1－x2－x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束x1≤0，x2≥0，x3无约束2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。
分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化：（1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）；（2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）；'x代换。
（4）模型中全部x1用312.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4st. x1＋2x2＋x4≥33x1＋x2＋x3＋x4≥6x3 ＋x4＝2x1 ＋x3 ≥2x j≥0（j＝1,2,3,4）(1) 写出其对偶问题；(2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量st. 2x1 ＋x3＋x4≤8 y12x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2x j≥0（j＝1,2,3,4）对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试对偶问题的性质，求出原问题的最优解。
2.5 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3st. 3x1＋4 x2＋2x3≤602x1＋x2＋2x3≤40x1＋3x2＋2x3≤80x j≥0 （j＝1,2,3）４７４８（1）写出其对偶问题（2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解；（3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解；（4）比较（2）和（3）计算结果。
第二章线性规划的对偶理论2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题max z=2x1+2x2－4x3x1 + 3x2 + 3x3 ≤304x1 + 2x2 + 4x3≤80x1、x2，x3≥0解：其对偶问题为min w=30y1+ 80y2y1+ 4y2≥23y1 + 2y2 ≥23y1 + 4y2≥－4y1、y2≥02.2 写出下列线性规划问题的对偶问题min z=2x1+8x2－4x3x1 + 3x2－3x3 ≥30－x1 + 5x2 + 4x3 = 804x1 + 2x2－4x3≤50x1≤0、x2≥0，x3无限制解：其对偶问题为max w=30y1+80 y2+50 y3y1－y2 + 4 y3≥23y1+5y2 + 2y3≤8－3y1 + 4y2－4y3 =－4y1≥0，y2无限制，y3≤02.3已知线性规划问题max z=x1+2x2+3x3+4x4x1 + 2x2 + 2x3 +3x4≤202x1 + x2 + 3x3 +2x4≤20x1、x2，x3，x4≥0其对偶问题的最优解为y1*=6/5，y2*=1/5。
试用互补松弛定理求该线性规划问题的最优解。
解：其对偶问题为min w=20y1+ 20y2y1 + 2y2≥1 （1）2y1 + y2 ≥2 （2）2y1 +3y2≥3 （3）3y1 +2y2≥4 （4）y1、y2≥0将y1*=6/5，y2*=1/5代入上述约束条件，得（1）、（2）为严格不等式；由互补松弛定理可以推得x1*=0，x2*=0。
又因y1*>0，y2*>0，故原问题的两个约束条件应取等式，所以2x3*+3x4* = 203x3* +2x4* = 20解得x3* = x4* = 4。
故原问题的最优解为X*=（0，0，4，4）T2.4用对偶单纯形法求解下列线性规划min z=4x1+2x2+6x32x1 +4x2 +8x3 ≥244x1 + x2 + 4x3≥8x1、x2，x3≥0解将问题改写成如下形式max（－z）=－4x1－2x2－6x3－2x1－4x2 －8x3 + x4=－24－4x1－x2－4x3+x5 =－8x1、x2，x3，x4，x5≥0显然，p4、p5可以构成现成的单位基，此时，非基变量在目标函数中的系数全为负数，因此p4、p5构成的就是初始正侧基。
