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2.3随机变量的分布函数

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第二章 随机变量及其分布(第2讲)

第二章 随机变量及其分布(第2讲)
分布函数还具有相当好的性质，有利于用数 学分析方法来处理；
引入随机变量和分布函数，在随机现象与数 学分析之间搭起了桥梁。
学习内容
§2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其分布 §2.5 随机变量函数的分布
引言
连续型随机变量（random variables of continuous type)
四、几种重要的连续型分布 均匀分1. 布均的匀实分际布背景是： 并概f ( x率且)随=与取⎪⎩⎪⎨⎧机0b这值−1变a个在量小（其x ∈X它区a取[a,,间bb值）] 的在中是 记长区一 为任度个间意成概X（小正~率aU区比密,[ab间度。,)b上内]函，的数.
利用分布函数与概率密度函数之间的关系，可以求得服从均匀 分布的随机变量 X 的分布函数
f
(x)
=
⎪⎧ ⎨
1 3
,
⎪⎩0 ,
0≤ x≤3 其它
∫ ∫ 所求概率 P{0 ≤ X ≤ 2}=
2 f (x )dx =
0
2 0
1 3
dx
=
2 3
四、几种重要的连续型分布
2.指数分布
定义: 若随机变量X的概率密度函数
X
~
f
(
x)
=
⎧λ
⎨
e−λ
x
⎩0
x>0 x≤0
称 X 服从参数为λ的指数分布,记为X~E(λ) (λ>0),
学习内容
§2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其分布 §2.5 随机变量函数的分布
引言
§2.2节学习的分布律对于非离散型型随 机变量失效

概率论 第二章2

概率论 第二章2

x kx2dx

0
x0 0 x2
0
0dx
2 kx2dx
x
kxdx


1
0
2
2 x3 3 x
x ０ x ２ x３
x
x
例3 设连续型随机变量X的概率密度为

f
(
x)


A 1 x2
,

0
,
x 1 x 1
求 (1)系数A (2)P{-1/2<X<1/2｝ (3)F(x)
§2.3 随机变量的分布函数
对于非离散型随机变量，由于它的可能取 值 不 能 一 个 一个地列举出来，因而就不能像离散型随 机变量那样用分布律来描述它 ； 另 外 ,非离散型随 机变量取指定实数值的概率通常等于零,因而我们 主 要 来研究随机变量所取的值落在一个区间内的 概率: P{x1<X x2}, 而
F(x)
当x<0时,F(x)=0;当x>1时,F(x)=1
1
1
当0≤x≤1时, F(x) P{0 X x} kx
x
特别,F(1)=P{0≤X≤1}=k=1
0
0, x 0 F (x)＝P( X x)＝x, 0 x 1
1, x 1
已知随机变量X的分布函数为
0
故对连续性随机变量，有
P{a<X<b}= P{a<X b}= P{a X<b}= P{a X b}
例1 已知连续型随机变量X的分布函数为
0,
x0
F ( x) sin x, 0 x 2
1,
x 2
试求 X 的概率密度 f(x) 及 P{/4 X 2}.

2.3分布函数的定义及性质

2.3分布函数的定义及性质

(
x)

1 13
, ,
0 x1 1 x 2
2 1, x 2
下面我们从图形上来看一下. 1y
12
16
13
O
O
0
1
注意右连续
归纳题型方法， 及要注意的地 方，图形特征。
1 2
O
x
2
一般地
设离散型 r .v X 的分布律是
P{ X=xk } = pk ,
则其分布函数
k =1,2,3,…
pk
得 P{X 1} F(1) 1 ,
2
24
F
1
1 (x4)
0134,,,212
x 31,
1 1x 2, 4
2 x 3,
4
1, x 3.
P{3 X 5} F(5) F(3) 3 1 1 ,
2
2 2 2 44 2
例2 设r.v X的分布函数为
F(x ) A B arctan x,x R
求A=?, B=?
解 F(-∞) = A + B(- π) = 0,
2 F(+∞) = A + B(+ π) = 1,
2
A=1/2, B=1/π.
例3 已知随机变量 X 的分布函数为
0, x 0
F(x)
对任意实数 x， P( X x) ?
一、分布函数的定义
设 X 是一个随机变量(离散型或非离散型)，称
P( X x) ( x ) 为 X 的分布函数 , 记作 F (x)= P( X x)
注:
o X Xx
x
(1)如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分

§2.3 连续型随机变量及其分布

§2.3 连续型随机变量及其分布

（2）指数分布 若随机变量 的密度函数p( x) 为：
e x , x 0 p ( x) ( 0) ，则称 服从参数为 的指 0, x 0
数分布，记作 ~ E( )
指数分布是一种应用广泛的连续型分布，它 常被用来描述各种“寿命”的分布，例如无线电 电元件的寿命、电话问题中的通话时间等都可以
k ) 2 (k ) 1
注意 这个概率与 无关.
例2.3.7 设随机变量 （1）P(102 117) （2）常数a，使得

服从正态分布 N (108,9) 求
P( a) 0.95
解（1） P(102 117 ) (117 108 ) (102 108 )
2） F ( x) p(t )dt
xபைடு நூலகம்
x
注意
1) 求密度函数中的待定常数往往借助 2) 由密度函数求分布函数需要对自变
于密度函数的性质.
量的情形进行讨论.
例2.3.3 设连续型随机变量的分布函数为
0, x a xa F ( x) ,a x b b a 1, x b
则称 服从区间a, b 上的均匀分布，记作 ~ U a, b 向区间
a, b 上均匀投掷随机点，则随机点的
坐标 服从 a, b 上的均匀分布.在实际问题中， 还有很多均匀分布的例子，例如乘客在公共汽车 站的候车时间，近似计算中的舍入误差等都服从 均匀分布.
设随机变量 ~ U a, b ，则对任意满足c, d a, b
解：
P ( ) P ( 1
1) 2 (1) 1 0.6826
2) 2 (2) 1 0.9545

2-3 随机变量的分布函数(xu)

2-3 随机变量的分布函数(xu)
x x0
F(x)

F ( x0
),
( x0 ).
即任一分布函数处处右连续.
反过来,如果一个函数具有上述性质，则一定是
某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(4)是鉴 别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.
3
重要公式
(1) P{a X b} F(b) F(a), (2) P{X a} 1 F(a).
X

1, 0,
出正面, 出反面.
求随机变量 X 的分布函数.
解 p{ X 1} p{X 0} 1 , 2

当x 0时,
0
F( x) P{X x 0} 0,

1
x
7

0

1
x
当0 x 1时,
F( x) P{X x} P{X 0} 1 ; 2
当x 1时,
F(x) P{X x}
P{X 0} P{X 1}
11 22
1.
0,
得
F
(
x
)

1

2
,
1,
x 0, 0 x 1, x 1.
8
请同学们思考
不同的随机变量,它们的分布函数一定也不相 同吗?
答 不一定.例如抛均匀硬币, 令
1, 出正面;
5
离散型随机变量的分布函数
F ( x) P{X x} pk P(X xk ).
xk x
xk x
离散型随机变量分布律与分布函数的关系
分布律
pk P{X xk }
分布函数 F ( x) P{X x} pk

概率论-5分布函数、连续型

概率论-5分布函数、连续型
x →0
dF ( x ) (2) 若x是f(x)的连续点 则 的连续点, 是 的连续点 = f ( x) dx
因为: 因为
(4) P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( a < X ≤ b ) = P (a ≤ X < b)
= P ( a < X < b ) = F (b) F (a ) = ∫ f ( x )dx
并不反映X取 值的概率.但这个值 ★密度函数值f(a)并不反映 取a值的概率 但这个值 越大,X取 附近值的概率就越大.也可以说 也可以说,在某点密 越大 取a附近值的概率就越大 也可以说 在某点密 度曲线的高度,反映了概率集中在该点附近的程度. 度曲线的高度,反映了概率集中在该点附近的程度. 1 证明 f ( x ) = 1 / 2e 证
a
b p{a < X ≤ b} = ?
请看下节! 请看下节!
总结
一,定义 二,举例
若离散型随机变量X的分布律为
P ( X = x k ) = p k , k = 1, 2 ,
则其分布函数为
F ( x ) = P{ X ≤ x } =
xi ≤ x
∑p
i
作业: 作业:P33
10,11,12. , ,
P( X = C ) = 1
则称这个分布为单点分布或退化分布, 则称这个分布为单点分布或退化分布,它的 分布函数为 0 x < c F ( x) = 1 x ≥ c
向平面上半径为1的圆 内任意投掷一个质点, 的圆D内任意投掷一个质点 例2 向平面上半径为 的圆 内任意投掷一个质点 表示该质点到圆心的距离. 以X表示该质点到圆心的距离 设这个质点落在 中 表示该质点到圆心的距离 设这个质点落在D中 任意小区域内的概率与这个小区域的面积成正比, 任意小区域内的概率与这个小区域的面积成正比 试求X的分布函数 的分布函数. 试求 的分布函数 解 当 x<0时, {X ≤ x} = φ 时 当0≤x≤1, 可得

2.3 随机变量的分布函数-


x 1,
(2)
F(x)

P{ X

x}


P{ X P{ X

1}, 1}
P{ X

2},
1 x 2, 2 x 3,
1,
0, x 1,
即
F(x)

1 3
4, 4,
1 x 2, 2 x 3,
F(x) 1
x 3.
作 业 P57 19
思考与练习
0, x 1,
1、设离散性随机变量 X的分布函数为
F
(
x)

0.4, 0.8,
1 x 1, 1 x 3,
求X的分布律。
1, x 3.
2、可作为某一随机变量的分布函数的是（）
1 A: F(x) 1 x2
B : F ( x) 1 arctan x 1
x
x
（3）F( x)处处右连续.
即
lim
x x0
F
(
x)

F(
x0
),
( x0 ).
重要公式 ——用分布函数计算某些事件的概率
(1) P{a X b} F (b) F (a ),
(2) P{ X a} 1 F (a).
(3)P{X b} F(b) P{X b} (4)P{a X b} F(b) F(a) P{X b} (5)P{a X b} F (b) F (a) P{X a}
（3）P{ X a} 1 P{ X a} 1 F (a)
（4）P{ X b} P{ X b} P{ X b} F (b) P{ X b}

随机变量的分布函数

下页
x0 0 x2 x2
结束
引例.靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与
该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X表示弹着点与圆心 的距离，求X的分布函数. 易证，F(x)是一个连续函数，可表示为
F ( x)
其中
x
-
f (t )dt
x , f ( x) 2 0,
下页 结束
例 2.
随机变量 X 的概率分布为 2 1/2
X 0 1 P 1/3 1/6 试求（1）X 的分布函数 F(x)，并作出 F(x)的图形； （2） P{ X },
1 2
3 P{1 X }, 2
3 P{1 X } 2
(2)
1 1 1 P{ X } F 2 2 3 3 3 1 1 P{1 X } F - F (1) - 0 2 2 2 2 3 3 1 P{1 X } F - F (1) P{ X 1} 2 6 2
x
《概率统计》 返回 下页 结束
§2.3
随机变量的分布函数
一、定义 设X为随机变量，对于任意实数x，称函数
F ( x) P{X x} (- x )
为随机变量X的分布函数. 重要公式
(1) P{ X a} 1 - F (a).
(2) P{a X b} P{ X b} - P{ X a} F (b) - F (a)
pk P{X xk }.
《概率统计》
返回
下页
结束
§2.４
连续型随机变量
引例.靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与
该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X表示弹着点与圆心 的距离，求X的分布函数.

2.3连续型随机变量及其分布


2、指数分布 定义3 设连续型随机变量X的概率密度为
ex, x0,
f (x)0,
其它 ,
其中λ >0为常数,则称随机变量X服从参数为θ 的 指数分布.
分布函数为
1ex, x0,
F(x) 0,
其它 .
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
可得：
（1）P(Xt)et(t0) （2）P ( t 1 X t2 ) e t 1 e t2 ( 0 t 1 t2 )
P ( 1 0 X 1 5 ) P ( 2 5 X 3 0 ) 1 5 1 d x 3 0 1 d x 1
1 0 3 0 2 5 3 0 3
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
练习 设K在(0,5)上服从均匀分布,求方程
4 x24 K x K 20
(1)P{X10}0 10P{X10}00 1F(10)00
0,

x 1b,

a a
,
x a, a x b, x b.
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
均匀分布的概率密度的图形
均匀分布的特点是:随机变量X落入(a,b)中任意等长 度的小区间内的概率都相等；此概率与子区间的长度 成正比，而与子区间的起点无关。
均匀分布的分布函数的图形
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
例3 设公交车站从上午7时起，每15分钟来一班车. 某乘客在7时到7时半之间随机到达该站，试求 他的候车时间不超过5分钟的概率.
解：该乘客于7时过X分到达该车站.依题意 X U(0,30) 候车时间不超过5分钟，即10X15或 25X30

随机变量的分布函数


一、分布函数的概念 定义 设X是一随机变量，x是任意实数，则实值函数 F(x)＝P {Xx}， x∈(-∞，+∞) 称为随机变量X的分布函数。 有了分布函数定义，任意x1，x2∈R， x1＜x2，随 机变量X落在(x1,x2]里的概率可用分布函数来计算： P {x1<X x2}＝P{X x2}－P{Xx1}＝ F(x2)－F(x1).
例2.15 离散型随机变量X的分布函数为
0 , x 1 a , 1 x 1 F (x) 且 P（ X 2 / 3 a ,1 x 2 a b, x 2
2） 1 / 2
求a,b及X的分布律。
解
因P(X=2)=a+b-(2/3-a)=1/2
1
F (x)
X
0
1
2
P 0.1 0.6 0.3
0
1
2
x
例2.14 设一汽车在开往目的地的道路上需经过3盏信号灯。每 盏信号灯以概率1/2允许汽车通过或禁止汽车通过。以X表示汽 车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数(各信号灯工作相互独 立)。求X的分布律、分布函数以及概率
P ( 2 X 3)
2.3 随机变量的分布函数
前一节介绍的离散型随机变量，我们可用分布律来完整地 描述。而对于非离散型随机变量，由于其取值不可能一个一个 列举出来，而且它们取某个值的概率可能是零。例如：在测试 灯泡的寿命时，可以认为寿命X的取值充满了区间[0,+∞)，事 件X=x0表示灯泡的寿命正好是x0,在实际中，即使测试数百万只 灯泡的寿命，可能也不会有一只的寿命正好是x0，也就是说， 事件(X=x0)发生的频率在零附近波动，自然可以认为 P(X=x0)=0。 由于许多随机变量的概率分布情况不能以其取某个值的概 率来表示，因此我们往往关心随机变量X取值落在某区间 (a,b] 上的概率(a≤b)。 由于{a<x≤b}={x≤b}-{x≤a},(a≤b)，因此对任意x∈R， 只要知道事件{X≤x}发生的概率，则X落在(a,b]的概率就立刻 可得。因此我们用P(X≤x)来讨论随机变量X的概率分布情况。 P(X≤x)：“随机变量X取值不超过x的概率”。
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0, x 1, 1 3 例 求 1 P{ X }; 2 P{ X 0}; 1 2 2 , 1 x 0, 3 3 P{0 X 1}. F ( x) 5 , 0 x 1, 解:(2) 6 1 , x 1. 3 3 P{ X 0} P{x 0} P{x }
0, x 1; F ( x) 1 2, 1 x 1; 1, x 1.
离散型随机变量分布律与分布函数的关系 分布律 (一点概率） pk P { X x k }
分布函数（区间的概率）
F ( x ) P{ X x }
xk x
pk
练习1
F (1/ 4) F (1/ 4 0) 7 / 12 7 / 12 0 ;
P( X 1/ 4) 1 P( X 1/ 4) 1 F (1/ 4 0) 5 /12;
练习
0
F (x)
x0
计算
解
x 1 / 3 0 x 1 / 2 P(0 X 1 / 3) 1 x 1/ 2 P(0 X 1 / 3) P(0 X 1 / 3) F (1 / 3) F (0) 1 / 3;

F ( x) P{ X x},

当 x 0 时,
0
1
x
F ( x ) P{ X x 0} 0 ;
解
1 p{ X 1} p{ X 0} , 2


当 0 x 1 时,
0
1
x
1 F ( x ) P{ X x } P{ X 0} ; 2 当 x 1时, 0, x 0, F ( x ) P{ X x } 1 P{ X 0} P{ X 1} 得 F ( x ) 2 , 0 x 1, 1 1 1, x 1. 1. 2 2
2 3 5 5 F (0) F ( ) 0 2 6 6 P{0 X 1} P{X 1} P{X 0} P{X 0} 5 1 2 F (1) F (0) P{ X 0} 1 6 2 3
2
用分布函数表示概率
P(a X b) P( X b) P( X a) F (b) F (a)
P(0 X 1 / 3) P( X 0) P(0 X 1 / 3)
P( X 0) P( X 0) P( X 1/ 3) P( X 0) 1 F (0) F ( x 0) F ( ) F (0) 3 1 2 1 2 0 3 3 3 3
第三节
随机变量的分布函数
一、分布函数的概念
二、分布函数的性质
三、例题讲解
一、分布函数的概念
1.概念的引入
对于随机变量X, 我们不仅要知道X 取哪些值, 要知道 X 取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知 道 X 在任意有限区间(a,b)内取值的概率. 例如 求随机变量 X 落在区间( x1 , x2 ]内的概率.
(1 e ) (1 e ) e e
3 1 1 3
0, x 1, 0.4, 1 x 1, 设离散型随机变量 X 的分布函数为 F x ，求 X 的分布律 0.8,1 x 3, 1, x 3.
X
P
练习2
-1
0.4
3 2 6
当 x 1时， ( x) P{ X x} F
1 1 1 P{ X 1} P{ X 0} P{ X 1} 1 3 2 6
0, x 1, 1 , 1 x 0, 3 F ( x) 5 , 0 x 1, 6 1 , x 1.
X
1
1 3
0
1 2
1
1 6
P
1 3 求 1 P{ X }; 2 P{ X 0}; 3 P{0 X 1}. 2 2 解:(1) 1 5 1 P{ X } F ( ) 2 6 2
1 5 或者P{ X } P{ X 1} P{X 0} 2 6
1
0.4
3
0.2
A(1 e x ), 设 X 的分布函数为 F ( x) 0,
x
x 0, x 0.
求常数 A 及 P1 X 3
lim Fe ) A
x
A 1
P(1 x 3) P( X 3) P( X 1) F (3) F (1)
P(a X b) F (b 0) F (a 0)
练习
0
x0
计算 P( X 0)
F (x)
解
x 1/ 3 1
0 x 1/ 2 x 1/ 2
P( X 1 / 4)
P( X 1 / 4)
P( X 0) P( X 0) P( X 0) F (0) F (0 0) 1 / 3 0 1 / 3 ; P( X 1/ 4) P( X 1/ 4) P( X 1/ 4))
P( X a ) 1 P( X a ) 1 F ( a )
P( X a) P( X a) P( X a) F (a) F (a 0)
请 填 空
P ( a X b) P ( a X b)
F (b) F (a 0)
F (b 0) F (a)
称为X的分布函数.
说明 (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况.
( 2)分布函数 F ( x ) 是 x 的一个普通实函数.
例题
抛掷均匀硬币, 令
1, X 0, 出正面, 出反面.
求随机变量 X 的分布函数.
解
1 p{ X 1} p{ X 0} , 2
一般, 设离散型随机变量X的分布律为
P{ X xk } pk ,
k 1,2,.
由概率的可列可加性得X的分布函数为
F ( x ) P{ X x } P{ X xk },
即
F ( x ) pk ,
xk x
xi x
这里和式是对所有满足 xk x 的 k 求和的. 分布函 数F ( x )在x xk ( k 1,2,)处有跳跃, 其跳跃值为
P{ x1 X x2 } P{ X x2 } P{ X x1 }

?
F ( x2 ) P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ).
F ( x1 )
分布函数
2.分布函数的定义
设X是一个随机变量, x是任意实数, 函数
F ( x) P{ X x}, x
P
解：当 x 1时， F ( x) P{X x} 0 ；
1 当 1 x 0 时， F ( x) P{X x} P{X 1} ； 3
0 x 1时， F ( x) P{X x} P{ X 1} P{ X 0} 1 1 5 当
F ( x)
o
注意


P{ X a } 1 F (a ).
x1
x2
x
重要公式
(1) P{a X b} F (b) F (a ), ( 2) P{ X a } 1 F (a ).
例 设离散型随机变量 X 的分布列为
X
1
1 3
0
1 2
1
1 6
求 X 的分布函数 F x

F () lim F ( x) 0
x
F ()
x
lim F ( x) 1
3 F ( x 0) F ( x ), 即F ( x )是右连续的.

0, x 0, 1 p , 0 x x , 1 1 p2 F ( x) p2 , x1 x x2 , p1 1, x x2 .
分布函数的性质
1 F ( x )是一个不减函数.
事实上, 对任意实数x1 , x2 ( x1 x2 ), 有 F ( x ) F ( x ) P{ X x } P{ X x } 2 1 2 1
P{x1 X x2 } 0
2 0 F ( x ) 1, 且
pk P{ X xk }.
请同学们思考
不同的随机变量,它们的分布函数一定也不相同吗? 答 不一定. 例如抛均匀硬币, 令 出正面; 1, 1, 出正面; X1 X2 出反面. 1, 出反面. 1,
X 1 与 X 2 在样本空间上的对应法 则不同, 是两个不 同的随机变量, 但它们却有相同的分布 函数