14.3.1--一次函数与一元一次方程导学案

14.3.1一次函数与一元一次方程课型：新授课设计者：平舆二中郭红伟审核：郭红伟终审核：蔡俊豪内容：人教实验版八年级上册教材第123、124页设计时间：一、学习目标：１．用函数观点认识一元一次方程．２．用函数的方法求解一元一次方程．３．加深数形结合思想的认识与应用，培养多元思维能力．二、教学重点：用函数观点认识一元一次方程．三、教学难点：应用函数求解一元一次方程五、学习过程：．1、探究问题１．解方程2x+20=0 ２．当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？解：我发现这两个问题的联系：在问题１中，解方程2x+20=0，•得x= ．解决问题２就是要考虑当函数y=2x+20的值为时，所对应的自变量x为何值．这可以通过解方程2x+20=0，得出x= ．因此这两个问题实际上是一个问题．从函数图象上看，直线y=2x+20与x轴交点的坐标（，），这也说明函数y=2x+20值为0对应的自变量x为，即方程2x+20=0的解是．你能归纳概括出解一元一次方程与求自变量x为何值时，一次函数y=kx+b的值为0有什么关系吗？规律：任何一个一元一次方程都可转化为：的形式．而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为时，•即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．结论：由于任何一元一次方程都可转化为的形式．所以解一元一次方程可以转化为：．从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的．2.学以至用：[例]一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？[解]方法一：方法二：方法三：总结：这个题我们通过三种方法，从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答．它是 的完美结合，结果是相同的，这就是特途同归．探究运用：[例] 利用图象求方程6x-3=x+2的解．方法 1 方法 2．随堂练习用图象法解方程：1．2x-3=x-2． 2．x+3=2x+1． [解] [解]3 已知关于x 的方程mx+n=0的解是x=-2，则直线y=mx+n 与x 轴的交点坐标是 。

班级 小组 姓名课题:一次函数与方程学习目标：1、理解一次函数与一元一次方程的关系,会利用一次函数的知识求一元一次方程的解，会根据一次函数图象解决一元一次方程求解问题。

2、能用一次函数与一元一次方程的关系解决相关问题,体味数形结合数学思想.一 知识链接：1、一次函数y =2x +1，当x = 1 时， y =3；当x = -0.5 时， y =0；当x = -1 时， y =－1。

2、一次函数y =2x +1与x 轴交点坐标为(-0.5, 0)；与y 轴交点坐标 (0, 1)；图像经过一二三象限，y 随x的增大而 增大，图像与坐标轴所围成的三角形的面积是0.25二 预习指导 阅读教材96页思考一。

（1）方程 ① 2x+1=3 ②2x+1=0 ③ 2x+1=-1 三个方程的共同之处是 等式左边都是2x+1 ，不同之处是 右边分别为3,0,1 （提示一）从函数的角度看：方程2x+1=3的解相当于函数y=2x+1在函数值 y= 3 时，自变量x= 1 ，从函数的图像上看（右图）：由点A ( , 3 )可以看出当一次函数y=2x+1的 纵坐标为3时，自变量x= 1 , 方程2x+1＝3的解是x= 1 .小结：从数的角度看：方程2x+1=3解，就是一次函数y=2x+1函数值为y= 3 时,求自变量x 的值; 从函数的图像看：求方程2x+1=3解，在直线 y=2x+1纵坐标为3 时,求它的横坐标x 的值 （提示二）从函数的角度看：方程2x+1=0的解相当于在函数y=2x+1函数值 y= 0 时，自变量x= ，从函数的图像上看：由点P ( , 0 )可以看出当一次函数就是y=2x+1的 纵坐标为0时，自变量x= ,方程2x+1＝0的解是x= .小结：从数的角度看：方程2x+1=0的解，就是y=2x+1函数值为 时,求自变量x 的值;从函数的“形”看：方程2x+1=0的解，在直线 y=2x+1上纵坐标为 时,看它的横坐标x 的值 即一无一次方程2x+1=0的解就是直线y =2x+1与x 轴的交点的横坐标（提示三）从特殊到一般，总结规律任何一个含有x 的一元一次方程都可以化成ax+b=0(a ≠0)的形式，所以:1、解一元一次方程ax +b =0相当于在某个一次函数y =ax +b 函数值为0时2、一元一次方程ax +b =0的解就是直线y =ax +b 与x 轴的交点的二 学以致用1、（右图）一次函数42+=x y 与x 轴的交点坐标是 ，则方程042=+x 的解是 。

《一次函数与一元一次方程》导学案学习目标：1、能说出一次函数与一元一次方程的联系与区别2、会用一次函数的图像解一元一次方程学习重点：一次函数与一元一次方程的关系学习难点：从一次函数的角度解一元一次方程、数形结合思想预习导学：一、阅读P123-124页的内容，并回答下面问题：1、方程2x＋20=0 的解为____________________2、自变量x=___________时，函数y=2x+20的值为0。

联想：问题（1），（2）是同一个问题吗？3、直线y=2x＋20与x轴的交点坐标是___________，交点坐标的意义是当自变量x=______时，函数的值y=_______。

联想：直线y=2x＋20与x轴交点的坐标与方程2x＋20=0 的解有什么关系？4、例题中的函数关系式是___________，此问题的实质是求当_________的值是17时相应的_______的值。

从图像的角度看，其实质是求当_______坐标是17时相应的_____坐标的值。

二、归纳小结：通过探究可以发现：由于任何一元一次方程都可以转化为_________________ 的形式，所以解一元一次方程_______________可以转化为求一次函数y=_______________，当函数值为0时的相应的自变量的值（从数的方面看）。

从图像上看，这又相当于求直线y=_______________与 __________轴交点的横坐标（从形的方面看）。

三、自学检测：1、当自变量x=时，函数y=3x+8的函数值y=0.2、已知关于ｘ的方程mx+n=0的解是x= -2，则直线y=mx+n与x 轴的交点坐标是_______.3、已知直线y=mx+n与x•轴的交点坐标（-5,0），则关于x的方程mx+n=0的解是4、当自变量x=时，函数y=3x+8的值是－7.5、.方程3x+2=8的解是_____,则函数y=3x+2在自变量x等于____时的函数值是8.合作探究：一、利用函数图象解方程5x-1=2x+5方法一：把一元一次方程5x－1＝2x+5先整理方程得，所以方程的解即为一次函数________与_______轴的交点的_______坐标。

§14.3．1 《一次函数与一元一次方程》导学案教学目标1、利用一次函数知识解决相关实际问题．2、体会解决问题方法多样性，发展创新实践能力。

导学要求预习课本123-124页．独立完成本学案。

导学过程一、自主学习１．方程2x+20=0 ２．函数y=2x+20观察思考：二者之间有什么联系？从数上看：方程2x+20=0的解，是函数y=2x+20的值为时，对应自变量的值从形上看：函数y=2x+20与x轴交点的坐标即为方程2x+20=0的解关系：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．3、一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？（用两种方法求解）4、利用图象求方程6x-3=x+2的解，并笔算检验解法一：由图可知直线y=5x-5与x轴交点为，故可得x=解法二：我们可以把方程6x-3=x+2看作函数y=6x-3与y=x+2在何时两函数值相等，?即可从两个函数图象上看出，直线y=6x-3与y=x+2的交点，?交点的横坐标即是方程的解．由图象可以看出直线y=6x-3与y=x+2交于点，所以x=二、小结从解具体一元一次方程与当自变量x为何值时一次函数的值为0这两个问题入手，发现这两个问题实际上是同一个问题，进而得到解方程kx+b=0与求自变量x为何值时，一次函数y=kx+b 值为0的关系，并通过活动确认了这个问题在函数图象上的反映．经历了活动与练习后让我们更熟练地掌握了这种方法．虽然用函数解决方程问题未必简单，但这种数形结合思想在以后学习中有很重要的作用三、当堂检测：1、用不同种方法解下列方程：（1）．2x-3=x-2．（2）．x+3=2x+1．2、.某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司其中一家签让合同．设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主的月费用是y1元，应付给出租车公司的月费用是y2元，y1、y2分别是x之间函数关系如下图所示．每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同，是多少元？以下精品内容为赠送文档！与本文档无关！！！下载后将文字颜色设置为黑色即可看到！按住CTRL键点击文字链接分类高效能人士的50个习惯在行动前设定目标有目标未必能够成功，但没有目标的肯定不能成功。

14．3．1一次函数与一元一次方程一、教学目标１．用函数观点认识一元一次方程．２．用函数的方法求解一元一次方程．３．加深理解数形结合思想．二、重点难点教学重点１．函数观点认识一元一次方程．２．应用函数求解一元一次方程．教学难点用函数观点认识一元一次方程．三、合作探究Ⅰ．提出问题，创设情境我们来看下面两个问题：１．解方程2x+20=0２．当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？这两个问题之间有什么联系吗？我们这节课就来研究这个问题，并学习利用这种关系解决相关问题的方法．Ⅱ．导入新课我们首先来思考上面提出的两个问题．在问题１中，解方程2x+20=0，•得x=•-10．解决问题２就是要考虑当函数y=2x+20的值为0时，所对应的自变量x为何值．这可以通过解方程2x+20=0，得出x=-10．因此这两个问题实际上是一个问题．从函数图象上看，直线y=2x+20与x轴交点的坐标（-10，0），这也说明函数y=2x+20值为0对应的自变量x为-10，即方程2x+20=0的解是x=-10．[活动一]活动内容设计：由上面两个问题的关系，大家来讨论思考，归纳概括出解一元一次方程与求自变量x 为何值时，一次函数y=kx+b的值为0有什么关系？教师活动：引导学生从特殊事例中寻求一般规律．进而总结出一次函数与一元一次方程的内在联系，从思想上真正理解函数与方程的关系．学生活动：在教师引导下，通过自主合作，分析思考，找出这两个具体问题中的一般规律，从而经过讨论，归纳概括出较完整的关系，还要从思想上正确理解函数与方程关系的目的．活动过程与结论：规律：任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，•即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．四、精讲精练精讲例：一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？解：方法一：设再过x秒物体速度为17m/s．由题意可知：2x+5=17解之得：x=6．方法二：速度y（m/s）是时间x（s）的函数，关系式为：y=2x+5．当函数值为17时，对应的自变量x值可通过解方程2x+5=17得到x=6．方法三：由2x+5=17可变形得到：2x-12=0．从图象上看，直线y=2x-12与x轴的交点为（6，0）．得x=6．总结：这个题我们通过三种方法，从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答．它是数与形的完美结合，结果是相同的，这就是特途同归．[活动二]活动内容设计：利用图象求方程6x-3=x+2的解．活动设计意图：通过这一活动让学生进一步熟悉用函数观点认识一元一次方程的问题，进而加深对数形结合思想的认识与理解．教师活动：引导学生通过解决问题掌握方法，提高认识，从思想上真正理解数形结合的重要性．学生活动：在教师引导下用不同的思维方法来解决这一问题，从思想上理清数与形的有机结合．活动过程与结论：方法一：我们首先将方程6x-3=x+2整理变形为5x-5=0．然后画出函数y=5x-5的图象，看直线y=5x-5与x轴的交点在哪儿，•坐标是什么，由交点横坐标即可知方程的解．由图可知直线y=5x-5与x轴交点为（1，0），故可得x=1．方法二：我们可以把方程6x-3=x+2看作函数y=6x-3与y=x+2在何时两函数值相等，•即可从两个函数图象上看出，直线y=6x-3与y=x+2的交点，•交点的横坐标即是方程的解．由图象可以看出直线y=6x-3与y=x+2交于点（1，3），所以x=1．练习1．2x-3=x-2． 2．x+3=2x+1．解１．把2x-3=x-2整理变形为x-1=0．从函数y=x-1的图象与x•轴交点坐标上即可看出方程的解．由图象上可以看出直线y=x-1与x轴交点为（1，0）．∴x=1．２．我们可以把x+3=2x+1看作函数y=x+3与y=2x+1在自变量x取何值时函数值相等，反映在图象上即直线y=x+3与y=2x+1的交点横坐标．由下图可知交点为（2，5）．∴x=2．五、课堂小结：一次函数与一元一次方程之间的联系六、作业：p129 2。

14．3．1一次函数与一元一次方程、不等式（第1课时）教学内容 ：一次函数与一元一次方程、不等式 学习目标：1. 理解一次函数与一元一次方程的关系，认识一元一次不等式与一次函数问题的转化关系．掌握用一次函数的图象求解一元一次方程问题。

掌握用图象法求解不等式．2. 学习用函数的观点看待方程的方法。

学习重点：1.一次函数与一元一次方程的关系的理解。

理解一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系．2．掌握用图象求解不等式的方法．教学难点: 图象法求解不等式中自变量取值范围的确定． 一、探索新知我们先来看下面的问题有什么关系： （1）解方程0202=+x ，（2）当自变量为何值时，函数202+=x y 的值为零？(3)作出一次函数202+=x y 的图像，并确定它与X轴的交点。

（思考：直线y=2x+20与x 轴交点坐标为（____,_____），这说明方程2χ＋20＝0的解是x=_____） 问题：①对于0202=+x 和202+=x y ，从问题本质上看，（1）和（2）有什么关系？ 从数上看： 从形上看：同步练习：归纳从数的角度：从形的角度： 二、再探新知：思考1：当x 为何值时，函数y=2x+20对应的值大于0 ？思考2:我们如何用函数图像来解决：2x+20>0 ？由于任何一元一次不等式都可以转化的ax+b>0或 ax+b<0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y=ax+b 的图象在x 轴的上方（或下方）时，求自变量x 相应的取值范围．（1）从“数”的角度看:求ax+b>0的解集 函数y=ax+b ，当y 时，求 的取值范围;求ax+b<0的解集 函数y=ax+b ，当y 时，求 的取值范围; （2） 从“形”的角度看:求ax+b>0的解集 确定直线y=ax+b 在x 轴 的自变量x 的取值范围； 求ax+b<0的解集 确定直线y=ax+b 在x 轴 的自变量x 的取值范围； 三、例题讲解：例1：用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10．解法1：原不等式可以化为 ，过点( )和点( ) 画直线 ,从图象上可看出:当x 时， 这条直线上的点在x 轴的 方， 这时函数 0, 所以，原不等式的解集是 . 利用一次函数图象解一元一次不等式的步骤： （1）--化简:（2）--写对应函数: （3）--画函数图象: （4）--确定解集:解法2：将原不等式5x+4<2x+10的两边分别看作 两个一次函数： ， ， 画出直线 与直线 ，可以看出，它们交点的横坐标为 ． 当 时，对于同一个x ，直线 上的点在直线 上的相应点的 方，这时y 1<y 2,即5x+4<2x+10，• 所以不等式的解集为： ．求ax+b=0（a ≠0）的解 求ax+b=0（a ≠0）的解四：巩固练习： （一）（二） A 组：1.填空：当自变量χ的取值范围满足什么条件时，函数у＝3χ＋8的值满足下列条件: （1)当x 时，y=0; (2)当x 时，y=-7; (3)当x 时，y>0; (4)当x2、如右图是一次函数y=-2x+2的图象， 则方程-2x+2=0的解是： ；不等式-2x+2>0的解集是： ； 不等式-2x+2<0的解集是： . 3、已知函数y ＝8x －11，要使y ＞0，那么x 应取A 、x ＞811 B 、x ＜811C 、x ＞0 4、作出函数y=2x －5（1）x 取哪些值时，2x －5=0? （3）x （2）x 取哪些值时，2x －5＞0? （4）x5、已知一次函数y ＝kx ＋b 的图像，如图所示，当x ＜0时，y 的取值范围是（ •） A 、y ＞0 B 、y ＜0 C 、－2＜y ＜0 D 、y ＜－26、已知y 1＝x －5，y 2＝2x ＋1．当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（ ）． A 、x ＞5 B 、x ＜12C 、x ＜－6D 、x ＞－6 B 组：1、已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当x>0时，y 的取值范围是（ ） A 、－2＜y ＜0 B 、－4＜y ＜0 C 、y ＜－2D 、y>－42、一次函数y 1＝kx ＋b 与y 2＝x ＋a 的图象如图，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当x ＜3 时，y 1＜y 2中，正确的个数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、33、直线y=kx+b(k<0)与x 轴交于点（3，0），关于x 的不等式kx+b>0的解集是（ ）A.x<3B.x>3C. x>0D.x<04、若一次函数y ＝(m －1)x －m ＋4的图象与y 轴的交点在x 轴的上方，则m 的取值范围是________.5、如图，某航空公司托运行李的费用与托运行李的重量的关系为一次函数，由图可知行李的重量只要不超过________千克，就可以免费托运.6、、当自变量x 时，函数y ＝5x ＋4的值大于0；当x 时，函数y ＝5x ＋4的值小于0.7、如图，已知函数y ＝3x ＋b 和y ＝ax －3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式3x ＋b ＞ax －3的解集是_______________。

教学设计14.3．1 一次函数与一元一次方程年级学科组：一、内容及其分析内容：初中数学新教材八年级上册第十四章第三节的第一课时内容。

课本P123——P124页分析：它是在学生学习了前面一节一次函数后，回过头重新认识已经学习过的一些其他数学概念，即通过讨论一次函数与一元一次方程的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程的认识，构建和发展相互联系的知识体系。

它不是简单的回顾复习，而是居高临下的进行动态分析。

重点：一次函数与一元一次方程的关系难点：用图像法解一元一次方程二、目标及其分析教学目标：1、使学生理解一次函数与一元一次方程的相互联系；2、使学生能初步运用函数的图象来解决一元一次方程的求解问题；3、学习用函数的观点看待方程的解。

初步感受用全面的观点处理局部问题的思想；4、经历方程与函数的关系的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题的辨证思想。

分析：本节课所学一次函数与一元一次方程都是学生所熟悉的知识，重点是要培养学生的探究意识和数形结合的思想，让学生能在经过自己的分析来体验知识间的内在联系。

通过学习，使学生能把不同的数学概念统一起来，使新旧知识融会贯通，从而进一步体现函数概念的重要性，加大分析问题的深度。

三、教学问题诊断分析本课是学习了一次函数与一元一次方程后，回过头重新认识学习过的一些数学概念，即通过讨论一次函数与一元一次方程的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程的认识，构建和发展相互联系的知识体系。

一元一次方程已不是新知识，但过去的认识还有待于进一步深化。

用函数的观点对方程重新进行分析，不是简单的回顾复习，而是居高临下的进行动态分析。

通过本课学习可以加强知识间横向和纵向的联系，发挥函数对相关内容的统领作用，能用一次函数把以前学习的数学概念统一起来，使得新旧知识融会贯通，从而进一步体现函数概念的重要性，加大分析问题的深度。

四、教学过程设计（一）教学基本流程课前知识回顾---出示这节课的自学要求---学生根据自学要求自学---学生汇报自学成果（自学检测）---学生讨论、纠正---教师指导自学结果---学生完成当堂作业（二）教学情境课前知识回顾：一元一次方程、一次函数形如ax+b=0(a≠0)的方程叫做一元一次方程。