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第十章1非正弦周期激励电路的稳态响应

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电路原理课件10非正弦周期电流电路

电路原理课件10非正弦周期电流电路

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非正弦周期电流电路 工程上傅里叶级数常用另一种形式：
f ( t ) = A0 + A1mcos(1t + 1 ) + = A0 + Akm cos( k1t + k )
k =1
= a0 + [ak cos( k1t ) + bk sin( k1t )]
交流稳态分析
暂态分析
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非正弦周期电流电路
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非正弦周期电流电路 用晶体管特性图示器测 量晶体二极管的电压电流关 系。
实验表明： 在低频工作条件下，晶
体二极管的电压电流关系是
u-i 平面上通过坐标原点的 一条曲线。
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非正弦周期电流电路
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非正弦周期电流电路
f ( t ) = a0 + [ak cos( k1t ) + bk sin( k1t )] k =1 因 bk = 0 f ( t ) = a + [a cos( k t ) b sin( k t )] 0 k 1 k 1 k =1 a k = 0 2. 奇函数： f (t) = f (t)，有 a0 = 0
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非正弦周期电流电路
10.1 非正弦周期信号的谐波分析
一、非正弦周期函数分解为傅里叶(Fourier)级数 满足狄里赫利条件的周期函数 f(t) = f(t + kT)[式中T 为周期函数 f(t)
的周期，k = 0，1，…]，可展开为收敛的傅里叶级数：
f ( t ) = a0 + [a1cos(1t ) + b1sin(1t )] + [a2cos(21t ) + b2sin(21t )] + + [ak cos( k1t ) + bk sin( k1t )] + = a0 + [ak cos( k1t ) + bk sin( k1t )]

电路在正弦激励下非正弦稳态响应

电路在正弦激励下非正弦稳态响应

电路在正弦激励下非正弦稳态的响应田社平1，孙盾2，张峰1(1上海交通大学电子信息与电气工程学院 上海 200240；2浙江大学电气工程学院 杭州 310027)摘要：基于作者的教学实践，讨论了电路在正弦激励下产生非正弦稳态的响应的各种情况。

零状态动态电路存在正弦稳态响应的充要条件为，响应的象函数Y (s )存在且仅存在一对共轭虚极点，而Y (s )的其它极点均位于复平面的开左半平面上。

通过实例说明了在正弦激励下产生非正弦稳态的响应的情形。

电路本文的讨论对丰富正弦稳态电路分析的教学内容，加深学生对相关知识的理解，具有良好的助益。

关键词：正弦激励；非正弦稳态响应；电路 中图分类号： TM13 文献标识码 ANon-sinusoidal Steady-state Response of Circuit with Sinusoidal ExcitationTIAN She-ping 1, SUN Dun 2, ZHANG Feng 1(1School of Electronic, Information and Electrical Engineering, Shanghai Jiao Tong Univ., Shanghai 200240, China; 2College ofElectrical and Electronic Eng ，Zhejiang Univ.，Hangzhou 310027,China )Abstract: Based on the teaching practice, various situations of non-sinusoidal steady-state response of circuit with sinusoidal excitation are discussed. The necessary and sufficient condition for the existence of sinusoidal steady-state response in a zero-state dynamic circuit is that the Laplace transform of the response which is Y (s ) exists and has only one pair of conjugate virtual poles, while the other poles of Y (s ) lie on the left open plane of the complex plane. Several examples are given to illustrate the non-sinusoidal steady-state response with sinusoidal excitation. The discussion is helpful to enrich the teaching content of sinusoidal steady-state circuit analysis and deepen students' understanding of relevant knowledge.Key words: sinusoidal excitation; non-sinusoidal steady-state response; circuit 处于正弦稳态的电路称为正弦稳态电路。

电路分析原理第十章-傅里叶分析全文编辑修改

电路分析原理第十章-傅里叶分析全文编辑修改

(2) 奇函数 定义 设有函数f(t)，如果满足f(t)=-f(-t)(10-8) 则称f(t)为奇函数(odd function)， 以f(o)(t)表示。 奇函数的波形是关于原点对称的。正弦函数sinωt是奇函数， 其波形如图10-3b所示。
图10-3 偶函数与奇函数的波形 a) 偶函数cosωt b) 奇函数sinωt
第三节 周期电流、电压的最大值、有效值与平均值
一、非正弦电流、电压的最大值 ∗二、三角函数组的正交性质 三、有效值 四、平均值
一、 非正弦电流、电压的最大值
图10-9 非正弦周期电流、电压的最大值 a) 电流最大值含义 b) 电压最大值含义
∗二、三角函数组的正交性质
∗二、三角函数组的正交性质
1.有内阻抗、 △接正弦对称三相电源的一种等效电路
(4) 两个电流源激励、△接电源置零 两个电流源激励、 △接 电源置零、将△接阻抗ZS变成Y接阻抗ZS′后的电路如图10-18d所 示［图中给线电流及电流源的端电压加上标(2)］， 图中有 (5) 线电流及电流源端电压叠加
图10-4 关于横轴对称的波形
3. bk计算
1.波形特点 2.傅氏级数 3. ak、
四、 关于横轴对称的波形
1.波形特点
前半个周期的波形后移半个周期，与后半个周期的波形关于横 轴对称(在图10-4中，给出了一个横轴对称的波形)，数学表达 式为
f(t)=-f t+T/2
(10-17)
2.傅氏级数
一、 瞬时功率 二、 平均功率 三、 功率测量
第四节 非正弦稳态电路的功率
图10-11 非正弦稳态单口网络
一、瞬时功率
二、平均功率
1) 非正弦稳态电路中的平均功率， 等于各次谐波电压、 电 流单独形成的平均功率之代数和。 2) 不同频率的电压与电流不形成平均功率。

第十一章 非正弦周期信号激励下电路的稳态分析

第十一章 非正弦周期信号激励下电路的稳态分析

b
U1 500 V
则：
U1 500 I1 A 4.7 19.6 A Z ab1 10.619.6


2
Ue jn1t dt

2

T 若 ，则可得 4
Fn (n1 )

sin n U 4 U (n1 ) 4 n 4
2
1
41

振幅频谱如图所示
(1) 周期信号的频谱图是一系列离散的谱线组成的， 所有谱线都出现在基波频率的整数倍的频率上。周 期信号的这种频谱称为离散频谱。
即：
f (t )
n


an jbn jn1t e Fn e jn1t 2 n


式中
an jbn An j n Fn e 2 2
an jbn 1 T Fn f (t ) (cos n1t j sin n1t )dt 2 T 0 1 T f (t )e jn1t dt T 0
u (t) t


2 2
T
0 u (t ) U 0
T 2

T t 2 2


2
t T 2

2

2

2
t
频谱函数为
1 U (n1 ) T
1 jn1t u (t )e dt T 2 T n1 jn1 j n sin 2 U e e 1 2 U 2 T jn1 T n1
称为振幅频谱，体现
Fn 幅值随 n1变化的关系，为偶函数。
(n1 ) 称为相位频谱，体现

非正弦周期电路分析

非正弦周期电路分析

f(=w/2p)=1/T
u i
☣除了主要的基频成分外， 0
wt
波形还含有大量谐波成分。
2p
非正弦周期电路的基本概念
1.3 傅立叶级数的三角形式
设 f(t)为电压或电流的非正弦周期函数，其角频率为
w ，即 :
式中， T为周期函数f(t) ，k =0, 1, 2,
如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，可展开为傅 立叶级数，即:
从
中看到，如果电流波形有较大畸变，将导
致is1 / is较小 ，因此功率因数也会很小。
根据
可得:
电力电子技术的基本概况
T=1/f
非正弦周期电路的基本概念
利用波形对称性，可简化下式中系数ah和bh的计算:
表3.1是根据函数的对称性及所需要的条件，分别 给出了ah和bh的表达式。
对称性函数的傅立叶系数
对称性 条件 偶函数 奇函数
半波
电路和磁路的基本概念 ah 和 bh
h为偶数 h为奇数 h为奇数
对称性 条件
偶拓扑
偶函数 及半波
奇拓扑
奇函数 及半波
电路和磁路的基本概念
ah 和 bh
h为奇数或偶数
h为奇数
h为偶数
h为奇数或偶数 h为奇数 h为偶数
非正弦周期电路的基本概念
例 求图中所示非正弦周期信号f(t)
f(t) A
的傅里叶级数展开式。
-T-T/2 0 T/2 T t
解 由图可知f(t)在一个周期内的表达式为:
is us is1
生了严重畸变的波形。 0
wt
✼假设输入的电压为标准
j1
idis
的正弦电压:
w = w1，f = f1

电路分析周期性激励下电路的稳态响应

电路分析周期性激励下电路的稳态响应
电路分析周期性激励下电路的稳态响 应
•例 •已知：
•+
•求：电路吸收的平均功率和电压、电流的有效值。••解
•有效值
电路分析周期性激励下•返电路回的稳目态录响 应
•14.4 周期性非正弦电流电路的计 算
•采用谐波分析法的步骤如下：
•
（1）将周期性非正弦电源，分解为傅里叶级数，根据要
求取有限项。
• （2）根据叠加定理，分别计算直流分量和各次谐波激励 单独作用时产生的响应。
•… •-T
•f(t)
•T •…
•0
•t
• 此类函数的傅里叶级数展开式只包含余弦函数项，不 包含正弦函数项，可能有常数项。
电路分析周期性激励下电路的稳态响 应
•2. 根据半波对称性质判断 •(a)
•半波对称横轴
•…
•-T
•f(t) •0 •T
•…
•t
• 此类函数的傅里叶级数展开式只包含奇次函数项，不 包含偶次函数项，没有常数项。
•锯齿 波
• —谐波（harmonic）分析法
•周期性非正弦电源 •分解成傅里叶级数（Fourier series）
•利用叠加定理分别计算各次谐波电源单独作用 在电路上产生的响应。
•将各次谐波电源在电路中产生的响应进行相加。
电路分析周期性激应励下电•返路的回稳态目响
•14.2 周期函数的谐波分析—傅里叶级数
•i (t) •i3(t) •t
•= •=
电路分析周期性激励下电路的稳态响 应
•二、周期性非正弦电流电路的平均功率 •平均功率定义公式与正弦电流相同。 •瞬时功率 •平均功率 •若
电路分析周期性激励下电路的稳态响 应
•则
•ui 相乘之积分也可分为四种类型 •（1） •（2）

第10章周期性非正弦稳态电路的分析

第10章周期性非正弦稳态电路的分析
普通的正弦波变化的电路，可以使用简单的数学方法进行分析，但是，对于周期性非正弦稳态电路，就不是那么容易了。

下面，我们就来讨论一
下周期性非正弦稳态电路的分析。

一、用波形独立变换进行分析
首先，我们可以使用波形独立变换（WIT）方法来分析周期性非正弦
稳态电路。

WIT是一种自动模拟方法，可以解决各种复杂的、非线性的、
时变的、非周期的、非正弦的电路分析问题。

它比传统的基于时域的分析
更具有普适性和准确性。

在WIT中，电路状态会以一系列张量的形式表示，并且只需采用基本
的数值技术就可以进行计算。

它也可以用来解决无处不在的电磁干扰（EMI）和相关的系统性能问题。

二、使用小波变换分析
此外，我们还可以使用小波变换（WT）方法来分析周期性非正弦稳态
电路。

WT是一种基于时域的分析方法，可以用来解决各种复杂的时变电
路的分析问题。

WT可以有效的把时变的连续的电路信号转换成离散的域中的信号，
并可以使用这些信号，来进行多趟的变换，从而实现分析周期性非正弦稳
态电路的分析，从而对电路的性能进行调整。

三、使用过零点估计进行分析
除了上面提到的两种方法外。

第10章-频率响应--多频正弦稳态电路


§10-5 平均功率的叠加
设us1和us2 为两个任意波形的电压源 当us1单独作用时，流过R的电流为i1(t)
us2单独作用时，流过R的电流为i2(t)
iR
++ uS1 uS2 ––
依据叠加原理 i(t) = i1(t) + i2(t) 电阻消耗的瞬时功率
p(t) =Ri2(t)=R(i1+i2)2= Ri12 + Ri22 +2R i1i2 = p1+ p2+ 2R i1i2
∫ =
1
2
0 Im sinwtdwt
0
=
Im
2 3 w t
非正弦周期信号的谐波分析法
设非正弦周期电压 u 可分解成傅里叶级数
u = U0 + U1mcos(wt +1) +U2mcos( 2wt +2) + ······
其作用就和一个直流电压源及一系列不同频率的
正弦电压源串联起来共同作用在电路中的情况一样。
5. 滤波电路 电感或电容元件对不同频率的信号具有不同的
阻抗，利用感抗或容抗随频率而改变的特性构成四 端网络，有选择地使某一段频率范围的信号顺利通 过或者得到有效抑制，这种网络称为滤波电路。
下面以RC电路组成的滤波电路为例说明求网络 函数和分析电路频率特性的方法。
低通滤波电路
低通滤波电路可使低频信号较少损失地传输到输 出端，高频信号得到有效抑制。
u
u
Um
Um
0 2 3 wt
0
2 4 wt
u
u
Um
Um
0
2 wt
0 2
wt
几种非正弦周期电压的波形

电路原理课件-非正弦周期电流电路分析


Z ( j3 ) I 0.125e j179.95 V U 3m 1 3m Z ( j5 ) I 0.0416e j0.01 V U 5m 1 5m
U 7 m Z ( j71 ) I 7 m 0.0208 V
(4) 将响应的直流分量及各谐波分量的时间函数式相 叠加，求出电压响应。
基波电流单独作用时：
i1 cos 1t mA
1e j90 mA I1 m
Z (j ) I 50e j90 V U1 m 1 1m
当3次、5次、7次谐波单独作用时：
1 e j90 mA I 3m 3 1 e j90 mA I 5m 5 1 e j90 mA I7m 7
n 1
值得指出：一个周期函数是否具有半波对称性，仅决 定于该函数的波形，但是，一个周期函数是否为奇函 数或偶函数则不仅与该函数的波形有关，而且和时间 起点的选择有关。
§82 线性电路对周期性激励的稳态响应
步骤：
1、将周期性激励分解为傅里叶级数； 2、根据叠加定理，分别计算激励的直流分量和各 次谐波分量单独作用时在电路中产生的稳态响应； 3、将直流分量和各谐波激励所产生的时域响应叠 加，即得线性电路对非正弦周期性激励的稳态响应。
An a b
2 n 2 n
an θn arctan bn
A0 f (t ) An sin( nω1t θn ) 2 n 1
其中， A0 a0
A0 f (t ) An sin( nω1t θn ) 2 n 1
A0 常数项（直流分量） 2 A1 sin(ω1t θ1 ) 基波(fundamental wave)
a0 1 2 T

z第10章p1正弦稳态频率响应讲义


励分量： f (t) A0 Anm cos(nt n ) n1
2） 求各激励分量单独作用时的响应分量：（相量法） 直流分量作用：直流分析（C开路，L短路），求Y0; 谐波分量作用：正弦稳态分析，求y1、y2; ……
3）时域叠加：y(t)= Y0 + y1 + y2 + y3 + y4 + ……
移电压比H（jw）(p457)
Q 1 L
Z0 R C
H(jw)
1 1 Q2 ( ω ω0 )2
ω0 ω
28
Q
1
L
Z0 R C
H(jw)
1 1 Q2 ( ω ω0 )2
ω0 ω
电路的选择性： 选择有用信号、抑制无用信号的能力。
通频带： BW 2 1
或f
f2
f1
f0 Q
Q对频率特性的影响： 1.I00
1
j
IL4
1
4 j4 j
1
400
0.256 165.10
A
4
iL2 (t ) 0.256 2 cos(4t 165.10 ) A
3）us(t)和is(t)共同作用： iL (t ) I L0 iL1(t ) iL2 (t )
iL (t ) 2 0.41 2 cos(5t 168.20 ) 0.256 2 cos(4t 165.10 ) A
或
P I2R
2
52 102 52 5
2
150 5 750W
式中的 I 150 是周期性非正弦电流的有效值。
20
第十章作业 作业1：
作业2：书146页，10-19
21
22
10-6 RLC电路的谐振
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U
0 n 1
n
T
nm
co s( n 1 t
)
un
) I n m co s( n 1 t
I n co s n
in
)d t

U
n 1
I n co s(
un
in
U
n 1

n
平均功率 其余两交叉项在一周期内积分为0，于是得到
P U 0I0
P0
10.2 周期函数展成傅里叶级数 周期电压、电流信号可以用周期函数表示
f ( t ) f ( t kT )
其中T是周期， -∞ < t <∞
k=0, ± 1,± 2,± 3….. 当周期信号满足狄里赫利条件，就能展成傅里叶级 数。 | f (t ) | d t ; f (t )
A 0 称为恒定分量或直流分量；
) 第二项 A1 m co s( 1t 1称为1次谐波，也叫基波分量，频 率与 f ( t )相同；
第三项 A 谐波；
2m
co s( 2 1 t 2 )
频率是基波的二倍频，称为2次
其它各项分别称为3次、4次以至高次谐波分量。
f (t )
周期函数展成傅里叶级数
2 2
2
2

I n m co s ( n 1 t n ) d t
n 1


In
2
n 1
有效值 由于三角函数的正交性，其余两项均为零
1 T
1 T

2I
0 n 1
T
0
co s( n 1 t n ) d t 0

T 0
2 I km co s( k 1 t k ) I n m co s( n 1t n ) d t 0
[
1 n
co s( n 1 t )] 0

f (t )
的傅里叶级数展开式为
4U m
0 n 2U m [1 co s( n )] 4U m n n n
为偶数 为奇数
f (t )

[sin 1 t
1 3
sin 3 1 t
1 5
sin 5 1t ...]
第十章 非正弦周期激励电 路的稳态响应
10.1 10.2 10.3 10.4 非正弦周期信号 周期函数展成傅里叶级数 有效值和平均功率 非正弦周期激励电路的分析
10.1 非正弦周期信号 电子技术中常见的一些周期信号波形:
u (t ) u (t )
…
…
t
…
…
t
0
u (t )
0
半波整流波形
矩形波
u (t )
b n A n m sin
n
10.2 周期函数展成傅里叶级数
f ( t ) A 0 A1 m co s( 1 t 1 ) A 2 m co s( 2 1 t 2 ) ... A n m co s( n 1 t n )...
上式表明，任何周期性时间函数，只要满足狄里赫利 条件，就能展成频率为 f ( t ) 频率整数倍的一系列正弦函 数之和。 第一项
f ( t ) sin ( n 1t ) d t


f ( t ) sin ( n 1 t ) d ( 1t )
1

f ( t ) sin ( n 1t ) d ( 1t )
n 0,1, 2, 3......
将前两式中同频正弦函数和余弦函数合并得
f ( t ) A 0 A1 m co s( 1 t 1 ) A 2 m co s( 2 1 t 2 ) ... A n m co s( n 1 t n )...
T
2
0
k 1 n 1 k n


n 1

0
T

I
2 nm
co s ( n 1t n )d t
2
n 1
I km co s( k 1 t k ) I n m co s( n 1 t n ) d t
1 T
1 T
式中

T 0
T 0

I0 dt I0

1
f ( t ) co s( n 1 t ) d 1 t
1



U m co s( n 1 t ) d 1 t


2
U m co s( n 1 t ) d 1 t

2U m


0
co s( n 1 t ) d 1
T 0
狄里赫利条件是：在一个周期内绝对可积，即 ， 在一个周期内只有有限个间断点；在一个周期内 只有有限个极大值和极小值。 一般工程中的周期信号能满足狄里赫利条件。
10.2 周期函数展成傅里叶级数
f (t )
展成傅里叶级数
[a
n 1 n
f (t ) a 0
co s ( n 1t ) b n sin ( n 1t )]
i
L
R

uS
C

图题 10－4－1
例10－4－1 解：所求电流相量为
当n=0时，直流分量 U 当n=1时，基波分量
s0
3V , I 0 0, P0 0
例10－4－1
例10－4－1 将各分量电流的瞬时值叠加为
i ( t ) i0 i1 ( t ) i 2 ( t ) i3 ( t )
5 co s( i t 4 5 ) 0 .7 8 co s( 2 1t 7 4 .0 5 ) 0 .2 5 co s(3 1t 7 9 .9 9 )...A
(10－2－1)
其中各项系数可按下列公式求出
a0 1 T
2 T

T 0
T 0
f (t ) d t
1 T

T 2

T 2
f (t ) d t
an

0
f ( t ) co s( n 1 t ) d t
2 T

T 2
T 2
f ( t ) co s( n 1t ) d t

1


2
A0


A n m c o s( n 1 t n )
(10－2－3)
n 1
10.2 周期函数展成傅里叶级数
(10－2－1)和(10－2－3)两式中对应的系数关系为
A0 a 0
An m

n
a n bn
2
2
a rctg
bn an
n
a n An m co s
f (t )
U
m
0
U m
T 2
T
3T 2
t
矩形波
例10－2－1 解：在 0 ~ T 内 f ( t )表达式为
展成傅里叶级数
a0 1 T
1
T U 0t m 2 f (t ) T U tT m 2



0
T 0
f (t ) d t 0
an

2 0

i (t )
u (t )

N
图 10－3－1
p ( t ) u ( t ) i ( t ) [U 0
U
n 1

nm
co s( n 1t
um
)] [ I 0
I
n 1

nm
co s( n 2 t
in
)]
平均功率 网络 N 吸收的平均功率为
P 1 T U 0
2 4
t
10.3 有效值和平均功率 一、有效值 由周期信号的有效值定义可知，周期电流信 号的有效值为
I 1 T

T 0
i (t ) d t
2
(10－3－1)
将i ( t ) 展成傅里叶级数
i (t ) I 0


I n m co s( n 1t n )
n 1
代入式(10－3－1)得
3
0
A
f ( t )

A 2 1
3

A

(sin t
1 4
1 2
sin 2 t
2
4
sin 3 t
sin 4 t ...)
4
A
f ( t )

2
t
8A

1 25
2
(sin t
1 9
sin 3 t
0

sin 5 t ...)
5
0
A
4A 1 1 1 f ( t ) ( cos t cos 2 t ...) 2 3 15
…
…
t
…
…
0
三角波
0
尖顶冲
t
图 10－1－1
10.1 非正弦周期信号
非正弦周期激励作用于电路，求电路的稳态 响应，用傅里叶级数先将周期信号展成一系列不 同频率、不同幅度的正弦信号，然后让各正弦激 励分别作用于电路，求出各正弦激励下的稳态响 应的瞬时值，将各响应叠加起来，最终得到非正 弦周期激励下的稳态响应。
例10－2－1
f ( t ) 的幅度频谱图为
ARm
4U m

4U m 3
4U m 5
…
1
0
1