[2018年最新整理]微积分人大3版

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微积分人大3版 7.1

设级数 ∑ u n 收敛且 ∑ u n =s，则差值
n =1 n =1 ∞ ∞
rn =s−sn=un+1 + un+2 + · · ·
叫做级数 ∑ u n 的余项。
n =1 ∞
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例1 讨论等比级数（几何级数）
∑aq
n =0
∞
n
= a + aq + aq + ⋅ ⋅ ⋅ + aq + ⋅ ⋅ ⋅
n =0
当|q|>1 时， lim sn =∞，此时级数 ∑aq n 发散。 =∞，此时级数
n →∞
∞
a 。 1− q
当 q =1 时， n = na → ∞，因此级数 ∑aq n 发散。，s ，sn 随着n为奇数或偶数而等于a或等于0，
从而 sn 的极限不存在，这时级数 ∑aq n 也发散。
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二、级数敛散性的概念
级数的部分和：级数的部分和： sn = u1 + u2 + u3 + ⋅ ⋅ ⋅ + un。级数敛散性定义：级数敛散性定义：
如果级数 ∑ u n 的部分和数列 sn 有极限： lim sn =s，则称无穷级数 ∑ u n 收敛，，这时极限 s 叫做这级数的和，并写成 s= ∑ u n = u1 + u2 + u3 + ⋅ ⋅ ⋅ + un + ⋅ ⋅ ⋅ ；
2 n
的敛散性，其中a ≠0，q叫做级数的公比。解：如果q ≠1，则部分和
a (1 − q n ) sn= a + aq + aq 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + aq n−1 = 。 1− q ∞ a n 当|q|<1 时， lim s n = ，，此时级数 ∑ aq 收敛。 n→∞ 1− q n =0

微积分人大3版 7.5

(−1) n 当 x=−1 时，级数成为 ∑ ，它是收敛的； n n =1 ∞ 1 当 x=0 时，级数成为 ∑ ，它是发散的。 n =1 n 所以级数的收敛区间为[−1, 0)。•练习练习
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∞
二、幂级数的性质
幂级数的和与差：幂级数的和与差：
设幂级数 ∑a n x n =f(x)及 ∑bn x n =g(x)，收敛半径分别
n −1
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xn 例 3 求级数 ∑ n 的收敛区间。 n =1 n 解：因为 1 (n + 1) n +1 a n +1 1 1 l = lim = lim =0， = lim ⋅ n →∞ a n →∞ n →∞ n + 1 1 1 n n (1 + ) n n n 所以级数的收敛半径为R=+∞ ，收敛区间为(−∞, +∞)。
n =1 首页 ∞ n=1
n =1 ∞
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例 5 求幂级数 ∑nx n −1 的收敛区间及和函数，并求
n 级数 ∑ n 的和。 n =1 2
∞ n =1
∞
解：幂级数 ∑nx n −1 的收敛区间为(−1, 1)。
n =1
∞
当x∈(−1, 1)时，
S (x) = ∑nx
n =1 ∞ n −1
n 级数 ∑ n 的和。 n =1 2
∞ n =1
∞
解：因为
∞
a n +1 n +1 lim = lim =1， n →∞ a n →∞ n n
所以级数 ∑nx n −1 的收敛半径为 R =1。

人大版微积分第三版课件定积分应用

线
、（ a b ）及轴所围成的平面
图形绕 x轴旋转而成的旋转体，见图6-19，求它
的体积 Vx.
（1）用分点 a x0 x1 x2 xn b
把区间 [a,b] 分成 n个小区间
[xi1, xi ](i 1, 2, , n)
这些小区间的长分别为 xi xi xi1(i 1, 2, , n)
定积分的应用
平面图形的面积旋转体的体积
已知函数求由曲线梯形的面积 .
在区间
，
，
上连续，如何所围成的曲边
1. 如果在见图6-10
则由定积分
上
，
的几何意义知：
2. 如果在
上
，见图6-11，
3. 对于在
上函数
面积可以表示为
有时取正有时取负，见图6-12，
类似地，由曲线 x ( y)( 0)，直线 y c, y d 及 y
n
因此整个旋转体体积 Vx
[ f (i )]2 xi
i 1
（3）记
x
max
1in
xi
当分点数
n , x 0
整个旋转体的体积
n
Vx
lim
x0
i 1
[
f
(i )]2 xi
b
[
f
(
x)]2dx
a
同理可得绕y轴旋转而成的旋转体的体积的计算公式为
Vy
d [( y)]2dy
c
求椭圆
分别绕轴与轴旋转产生的旋转体体积
4b a2 ab
a4
a2 x2 dx
例求抛物线 y2 2x 与直线 y x 4
2
所围成的图形的面积.

微积分第3版第1章函数

函数 y f ( x) 与 x f 1( y) 的图像是相同的,
与 y f 1( x) 的图像关于直线 y x 对称.
1.4 函数的表示
通常可以用集合, 图表, 数据对应, 图形和解析表达式等表示函数.
1. 解析表达式 (显函数)
y f ( x) 称为显函数.
2. 分段函数
一个函数在其定义域的不同部分可以有不同的表达式, 即所谓的分段函数.
y ax (a 1)
特别地，y e x , e 2.718.
第一章函数
1.1 函数
设D为实数集R的非空子集, 如果对任意的 x D, 都存在唯一的 y R与之对应, 则称y 是x 的一元函数, 可用 y f ( x)表示, 并称 x为自变量, y为因变量.
而定义域就是自变量的取值范围, 值域就是因变量的取值范围, 分别记为 dom( f )与ran( f ).
如果函数 y f ( x)的定义域D 关于原点对称, 而且 y f (x) 的图形关于y 轴对称, 就称函数 y f (x)为偶函数.
即如果对任意 x D, 都有 f ( x) f ( x),
则称 f ( x) 为偶函数.
3. 周期函数
设 y f ( x)为函数, 如果存在正数T, 使得
2. 奇函数与偶函数
设函数 y f (x)的定义域为D,如果对任意 x D, 都有 x D, 我们就说D关于原点对称.
如果函数 y f ( x)的定义域D关于原点对称, 而且 y f ( x) 的图形关于坐标系原点对称,
就称函数 y f (x)为奇函数. 即如果对任意 x D, 都有 f ( x) f ( x), 则称 f ( x) 为奇函数.
3. 隐函数
如果x I(I为区间), 都存在唯一的 y, 满足方程

人大版微积分第三版课件第六章习题课

b a

( A)．a-b (C )．a 2 -b2

dx 其中 a和b为常数，且 a b．
设f ( x)连续，则
1 ( B)． a b 2 1 2 2 ( D)． a b d b 2
__ ， a f ( x y )dy __________
d e x x 若 f t dt =e 则f x = dx 0 ( A)．x 2 ( B)． x 2 (C )．e2 x
b
c
b
f ( x )dx
性质4
如果在区间[a , b] 上 f ( x ) g( x ) ，
则 f ( x )dx g( x )dx
a a
b
b
(a b)
性质5
a 1 dx a
b
b
dx b a
[a , b] 性质6 设 M 及 m 分别是函数 f ( x ) 在区间
0 i 1
n
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度v v ( t ) 是时间 t 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ，求间隔[T1 , T2 ]上物体在这段时间内所经过的路程 S.
s lim v ( i )t i
0 i 1
n
方法:分割、近似、求和、取极限.
性质1
性质2
a [ f ( x ) g( x )]dx a f ( x )dx a g( x )dx
a kf ( x )dx k a f ( x )dx
b b
b
b
b
k ( 为常数)
性质3 假设a c b
a f ( x )dx a f ( x )dx c

微积分(第三版)课件：多元函数微积分

轴的直准线 C 上.所以的坐
z
标满足曲线 C 的方程 f (x , y)= 0 .
由于方程 f (x , y)= 0 不含 z，所以
y
点 M(x, y, z)也满足方程 f (x, y)= 0 . x
而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线与 xoy 坐
标面的交点必不在曲线 C 上, 也就是说不在柱面上的
其中每个有序数组的坐标，n个实数
称为中的一个点，也称该点就是这个点的坐标的分量.
n维空间中任意两点为
与
间的距离定义
第二节多元函数
一、二元函数二、二元函数的极限与连续三、多元函数
第二节多元函数
导言：多元函数是多元函数微积分学研究的对象，同一元函数类似对于多元函数也有极限、连续等基本概念.这些内容作为一元函数在多元函数中的推广，它与一元函数相关内容类似且密切相关，在这部分内容的学习中应注意与一元函数的对比.在研究方法上把握一般与特殊之间辩证关系.
点的坐标不满足方程 f (x , y)= 0.
（2）以yOz 坐标面上曲线 C : g ( y , z ) = 0 为准线,
母线平行于x 轴的柱面方程为
（3）以zOx 坐标面上曲线 C : h ( x , z ) = 0 为准线,
母线平行于y 轴的柱面方程为
z
z
y
y
x
在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为柱面方程，并且方程中缺少哪个变量，该柱面的母线就平行于哪一个坐标轴 .
区域：连通的开集称为开区域，简称区域.区域及其它的边界所成的集合称为闭区域.
有界与无界区域：对于平面点集E，如果存在一个以原点为圆心的圆盘D ，使，则称E为有界区域，否则称E为无界区域.

微积分人大3版 8.2

2 xy
注意：若高为h，则 xyh=2 y x
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一、多元函数的概念
一个实际问题：一个实际问题：用铁板做成一个体积为2立方米的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取多少时，才能使用料最省。 2 设水箱的长为 x、宽为 y，则高为，，表面积为 xy 2 2 S = 2( xy + + ) (x>0，y>0)。 x y 上述问题的等价提法是：当 x和 y取何值时，S 的值最小。
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例3 设Z表示居民人均消费收入，Y表示国民收入总 Y 额，P 表示总人口数，则有 Z = S 1 S 2 ，其中 S 1 是消费率 P 率(国民收入总额中用于消费所占的比例)，S2是居民消费率(消费总额中用于居民消费所占的比例)。 Y Z = S1 S 2 是以 Y、P 为自变量，Z 为因变量的二元 P 函数。 Y 函数 Z = S 1 S 2 的定义域为 D(f)={(Y, P)|Y>0, P>0}。 P Y 函数 Z = S 1 S 2 的值域为 Z(f)={Z|Z>0}。 P
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例1 设z=x2+y2。 z=x2+y2是以x、y为自变量，z为因变量的二元函数。函数的定义域为D( f )={(x, y)|x, y∈(−∞,+∞)}。函数的值域为Z( f )=[0, +∞)。例2 设有一个长方体，高为h，底是边长为b的正方形，则其体积为V=b 2h(b>0, h>0)。 V=b 2h是二元函数，自变量为h、b ，因变量为 V。函数的定义域为D( f )={(b, h)| b>0，h>0}；函数的值域为Z( f )=(0, +∞) 。

人大版微积分第三版课件隐函数的导数

若参数方程
x y

(t (t
)确定 )
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t,

y

t
2
,
t x 2
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
(t) 0时, 有
dy dx
dy dt dt dx

dy dt

1 dx
(t) (t )
(t) 0时, 有
dt
dx dx dt dy dt dy

dx dt

1 dy
(t) (t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
隐函数求导方法:
但此隐函数不能显化 .
两边对 x 求导
(含导数 y的方程)
例1. 求由方程在 x = 0 处的导数
解: 方程两边对 x 求导
位等于锥高的一半时水面上升的速度.
解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的
rh
x
体积为 V , 则
13
R2h
13
r2(h
x)

R2
3h2
[

《微积分人大3版》PPT课件

பைடு நூலகம்
显然有 ls i n s m 及 ls i 2 n s m 。于是 li ( s 2 n m s n ) 0 。
n n
n
但另一方面，
1 1 1 1 s 2 n s n n 1 n 2 n 3 2 n
1 1 1 1 1 ， 2 n 2 n 2 n 2 n 2
n 1n 1
定理7.3 在一个级数的前面加上(去掉)有限项，级数的敛散性不变。
定理7.4 若一个级数收敛，则对这个级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。
推论：若加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散。
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6
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二、级数收敛的必要条件
定理 7 . 5 如果级数 u n 收敛，则 l u n i 0 。 m
定理 7 . 2 若级数 u n 收敛，且其和为 s ，则级数
n 1
k n 也收敛，且其和为 u k s 。
n 1 这是因为，设 u n 与 k n 的部分 u 和分别为 s n 与 n ， n 1n 1
则 ln i l m ( k i u 1 k u m 2 k u n ) n n
n 1
n 0
证：设级数 u n 的部分和为 s n ，且 ls i n s ，则 m
n 1
n
lu i n m l( i s n s m n 1 ) ls i n l m i s n 1 m s s 0 。
n 0 n n n
应注意的问题：级数的一般项趋于零并不是级数收
n 1n 1

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) 2 n 1 n na -2， n-3， Pn( (n ( x ( x ( ) x ) x = ) = ) = a = a 2 3! n + a ! + a a 2 + ( a + 。 3 x 4 ( 2 x 3 a ) 2 x ( + x a ) a ( + x x ( x ) x + x ) + ) + na + + n ( x ( + n + x n 1) ( a ) n a ( 1)( x ， ( x x n x ) 2) ) ( x x ) 0 1 21 3 n 2 03 0 4 2 0 0 0 n 0 n n 0 0 n 0
§7.6 泰勒公式与泰勒级数
一、泰勒公式
泰勒中值定理泰勒公式与麦克劳林公式
二、泰勒级数
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一、泰勒公式
根据函数的微分，有 f(x)=f(x0)+f (x0)(x-x0)+o(x-x0) (当|x-x0|很小时)，略掉o(x-x0)，得到求f(x)的近似公式 f(x)f(x0)+f (x0)(x-x0) (当|x-x0|很小时)，其误差为 R(x)=f(x)-f(x0)-f (x0)(x-x0)。近似公式的不足：精确度不高，误差难于估计。
f(x0)=Pn(x0)， f (x0)=Pn(x0)， f (x0)=Pn(x0)， f (x0)=Pn(x0)， f (n)(x0)=Pn(n)(x0)。
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多项式系数的确定：
f(x0)=Pn(x0) =a0，
f (x0)=Pn(x0) =a1，
为了达到一定精确度的要求，可考虑用 n 次多项式 Pn (x)近似f(x)。
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一、泰勒公式
设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数，我们希望找出一个关于(x-x0)的n次多项式 Pn(x)=a0+a1(x-x0)+ a2(x-x0)2+ + an (x-x0)n 来近似表达 f(x) ，我们自然希望 Pn(x) 与 f(x) 在 x0 的各阶导数(直到(n+1)阶导数)相等：
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多项式系数的确定：
1 ak = f k!
于是所求多项式为
(k )
( x0 ) (k=0, 1, 2, , n)
Pn(x)=a0+a1(x-x0)+ a2(x-x0)2+ + an (x-x0)n
1 Pn(x)= f(x0)+ f (x0) (x-x0)+ f ( x0 ) (x-x0) 2 + 2! 1 ( n) + f (x0) (x-x0) n 。 n!
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泰勒公式：
1 f (x)= f(x0)+ f (x0) (x-x0)+ f ( x0 ) (x-x0) 2 + 2! 1 ( n) + f (x0) (x-x0) n +R n(x) 。， n!
麦克劳林公式：当x0=0时的泰勒公式称为麦克劳林公式，就是
a0 = f(x0)，
a1 = f (x0)，
1 a2 = f (x0)， 2! 1 a3 = f (x0)， 3! 1 (n) an = f (x0)。 n!
f (x0)=Pn(x0) =2!a2，
f (x0)=Pn(x0) =3!a3， f (n)(x0)=Pn(n)(x0) = n!an。
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泰勒中值定理：定理7.13 如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a, b) 内具有直到(n+1)的阶导数，则当x(a, b)时，f(x)可以表示为 1 f (x)= f(x0)+ f (x0) (x-x0)+ f ( x0 ) (x-x0) 2 + 2! 1 ( n) n + f (x0) (x-x0) +R n(x) ， n! 1 其中 R n(x) = f ( n+1) ( )(x-x0) n+1(在 x0 与 x 之间)。 (n + 1)! 展开式称为f(x)按(x-x0)的幂展开的n 阶泰勒公式，而R n(x)的表达式称为拉格朗日型余项。
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f ( n ) ( 0) n f (0) 2 f(x)=f(0)+f (0)x + x + + x +R n(x)， 2! n! 1 ( n+1) n+1 其中 R n(x) = f ( )x 。 (n + 1)!
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二、泰勒级数
如果f(x) 在区间 (a, b) 内具有各阶导数都存在，则对于任意的正整数n，泰勒公式都成立。当n时，如果 R n(x)0，则得幂级数 1 f(x)=f(x0)+ f (x0) (x-x0)+ f ( x0 ) (x-x0) 2 + 2! 1 ( n) + f (x0) (x-x0) n+ ， n! 这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数。在泰勒级数中取x0=0，得 f ( n ) ( 0) n f (0) 2 f(x)=f(0)+f (0)x + x + + x + ， 2! n! 此级数称为f(x)的麦克劳林级数。

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