人大版微积分第一章函数

第一章 函数教学过程:一、集合及其表示、运算（一）集合的概念For personal use only in study and research; not for commercial use1.【定义】集合—具有某种属性的事物组成的全体.用大写字母,,A B C 表示.例如①自然数集:{0,1,2,3,4,}N =,而{1,2,3,4,}N +=；For personal use only in study and research; not for commercial use② 整数集{0,1,2,3,}Z =±±±；③ 有理数集: Q =,,pp Z q N p q q+∈∈｛且与互质｝；④ 实数集:R , 而{|0,}R x x x R +=>∈ . 集合的例子：(1) 2009年1月2日出生的人.(2) 方程 2560x x -+=的根. (3) 全体偶数.(4) 直线 10x y +-=上所有的点.不是集合的例子：很小的数；张雨的好朋友.2.元素——组成集合的各个事物或对象, 用小写字母 c b a ,,表示.3.集合与元素的关系(从属关系)(1) a 属于A ——事物a 是集合A 的元素. 记作a A ∈； (2) a 不属于A ——事物a 不是集合A 的元素. 记作a A ∉.4.有限集----含有有限个元素. 无限集----含有无限个元素.（二）集合的表示方法(1) 列举法——用列举全体元素表示集合的方法. 即},,,{21n a a a A =.例如 }6,5,4,3,2,1{=A .(2) 描述法——用元素具有的特征表示集合的方法. 即 }|{所具有的特征a a A =. 例如 22{(,)|1}A x y x y =+=.2{|560}B x x x =-+=.（3）全集与空集①空集——不含有任何元素的集合. 记作Φ. 提问：{}{}0,Φ是空集吗？②全集——所研究的所有事物组成的集合，记作U . （三）集合的关系（包含关系）与运算 1.【定义1.1】A 是B 的子集 ——x A x B ∀∈⇒∈.记作A B ⊂.A 是B 的真子集—— A B ⊂,且A B ≠,记作 .例如： , , . 2.规定：空集为任何集合的子集. 空集为任何非空集合的真子集.3.【定义1.2】A 与B 相等——若A B ⊂且B A ⊂， 记作A B =. 例如：（1）设{1,2},A ={2,1},B =2{320},C x x x =-+=则.A B C ==（2）{}|A x x =是大于1而小于4的整数；{}2|560B x x x =-+=则A B =.4.【定义1.3】并集{|}A B x x A x B =∈∈或, 记作A B .5.【定义1.4】交集 ≠⊂Z Q ≠⊂N Z ≠⊂Q R ≠⊂A B A BB A BA{|}A B x x A x B =∈∈且, 简记为A B .6.【定义1.5】差集——{|}A B x x A x B -=∈∉且, B A -有时写成A B \；7.【定义1.6】余集(补集) ——cA U A =-， 其中U 为全集.显然：()c c A A =. （四）集合的运算律 (1)交换律：① A B B A =； ②A B B A =.(2)结合律： ① )()(C B A C B A =；②)()(C B A C B A =.(3)分配律： ① )()()(C B C A C B A =；② )()()(C B C A C B A =.(4)对偶原理(摩尔根原理)：①()c c c AB A B =；② ()c c c A B A B =.证明：先证①. x U ∀∈，有()c x A B x A B ∈⇔∉x A x B ⇔∉∉且ccccB A x B x A x ∈⇔∈∈⇔且.① 得证.再证②.c c c c c c c c c c c c B A B A B A B A )(])()[(])[( ===. ②得证.例1 某地区有100个工厂，其中，80个生产甲种机床，记为集合A ；61个生产乙种机床，记为集合B ；55个两种机床都生产.试用集合表示下列各类工厂，并计算出各类工厂的数目.(1)生产甲种机床而不生产乙种机床的工厂； (2)生产乙种机床而不生产甲种机床的工厂；(3)甲、乙两种机床中至少生产其中一种的工厂； (4)甲、乙两种机床都不生产的工厂.解（1）此类工厂的集合为A B -,工厂数目为80-55=25（个）.（2）此类工厂的集合为 B A -,工厂数目为 61-55=6（个）.（3）此类工厂的集合为 A B ,工厂数目为 25+55+6=86（个）.（4）此类工厂的集合为 A B ,工厂数目为 100-（25+55+6）=14（个）. 例2 利用集合的运算律证明：()()A B A B B =.（五）笛卡尔积1212{(,,,)|,1,2,,}n n i i A A A x x x x A i n ⨯⨯⨯=∈=.【定义1.7】设有集合：A B 和,对任意的 ,x A y B ∈∈，所有的二元有序数组(,)x y 构成的集合，称为A B 和的笛卡尔乘积（或直积），记作{}(,)|,A B x y x A y B ⨯=∈∈. 平面点集 {}2(,)|,R R R x y x y R =⨯=∈.空间点集 {}3(,,)|,,R R R R x y z x y z R =⨯⨯=∈.提问：如果{3,0,2}X Y ==,求X Y ⨯. 解 X Y ⨯={(3,3),(3,0),(3,2),(0,3),(0,0),(0,2),(2,3),(2,0),(2,2)}.提问：设集合1231212{,,},{,},{,}X x x x Y y y Z z z ===,求X Y Z ⨯⨯. 解 X Y Z ⨯⨯x y z x y z x y z x y z =111112121121{(,,),(,,),(,,),(,,),211212221221(,,),(,,),(,,),(,,),x y z x y z x y z x y z 311312321321(,,),(,,),(,,),(,,)}x y z x y z x y z x y z .例3 设{}|02A x x =≤≤,{}|01B x y =≤≤则 A B ⨯{}(,)|02,01x y x y =≤≤≤≤.例4 设{}{}{}0,1,1,2,3A B C ===,则{}(0,1,3),(0,2,3),(1,1,3),(1,2,3)A B C ⨯⨯=.提问：按下列要求举例:(1)一个有限集合; }4,3,2,1{=A ;(2)一个无限集合; n n k B ,12|{+=为正整数}; (3)一个空集; x x x C ,01|{2=+=为实数};(4)一个集合是另一个集合的子集；}3,2,1{}2,1{21=⊂=D D提问：用集合的描述法表示下列集合:(1)圆2225x y +=内部(不包含圆周)一切点的集合;22{(,)|25,,B x y x y x y =+<均为实数};(2)抛物线2y x =与直线0x y -=的交点的集合. |),{(y x C =2x y =且y x y x ,,0=-均为实数}.提问：用列举法表示下列集合:(1)抛物线2x y =与直线0=-y x 的交点的集合; )}1,1(),0,0{(=B(2)集合5|1| |{≤-x x 的整数}.{4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6)}C =----.提问：下列哪些集合是空集:{|10}A x x =+=⇒∅≠A ，2{|10,B x x x =+=为实数}⇒∅=B 1|{>=x x C 且}0<x ⇒∅=C , 0|{>=x x D 且}1<x ⇒∅≠D1|),{(22=+=y x y x E 且y x y x ,,3=+为实数} ⇒∅=E .提问：写出}2,1,0{=A 的一切子集.解 }2,1,0{},2,1{},2,0{},1,0{},2{},1{},0{,∅.注:空集是任何集合的子集.一般含有n 个元素的集合,其子集的个数为:12n n 0n n n n n C C C (11)C 21+++=+-=-. 提问：如果}2,1{},2,1,0{==B A ,下列各种写法,哪些是对的?哪些不对?A ∈1，B ∉0，{1}A ∈，A ⊂1，A ⊂}1{，A ⊂0，A ⊂}0{，B ⊂}0{，B A =，B A ⊃，A ⊂∅，A A ⊂.提问:设},6,4,2{},5,3,1{},3,2,1{===C B A 求： 解 (1)}6,5,4,3,2,1{=C B A ; (2)∅=C B A ; (3){2}A B -=.练习.如果{|35}A x x =<<,{|4}B x x =>, 求:(1)A B ；(2)A B ；(3)A B -. 解 (1)}3|{>=x x B A ; (2)}54|{<<=x x B A ; (3)}43|{≤<=-x x B A .练习.如果}02|),{(≥+-=y x y x A , }0632|),{(≥-+=y x y x B , }04|),{(≤-=x y x C ,在坐标平面上标出C B A 的区域.解 在坐标平面上C B A 表示的区域如图15-所示. 练习.如果}3,2,1{},6,5,4,3,2,1{==A U ,}6,4,2{=B 求： (1)AB ；(2)A B .解 (1){1,3,4,5,6}A B =;(2){5}A B =. 二、区间与邻域（一）实数与数轴1.有理数-----有限小数或无限循环小数；2.无理数----无限不循环小数.3.实数-------有理数与无理数的总体.4.数轴-------规定了原点、正方向、单位长度的直线.5.实数集与数轴上点的集合是一一对应关系. （二）绝对值1.【定义1.8】实数x 的绝对值记作x ，且有,0,0x x x x x ≥⎧=⎨-<⎩. 2. x 的几何意义：实数为x 的点到原点的距离.3.绝对值及运算性质 15-图（1）2x x =.（2）0x ≥.（3）x x =-.（4）x x x -≤≤.（5）{}{}0a x x a x a x a ><=<<时，||-. （6）{}{}0a x x a x x a x a >>=<>时，||-或.（7）x y x y x y -≤±≤+.(8)xy x y =⋅.(9)(0)x x y y y=≠.（三）区间区间常用I 表示. 设R ∈∀b a ,,且b a <. 1.有限区间(1)开区间——}|{),(b x a x b a <<=；(2)闭区间——}|{],[b x a x b a ≤≤=；(3)半开半闭区间——}|{],(b x a x b a ≤<=；}|{),[b x a x b a <≤=.2.无限区间引入记号∞+及∞-, 分别读作正无穷大和负无穷大. (1) }|{),(a x x a >=+∞；(2) }|{),[a x x a ≥=+∞； ab x a bx a b x a b xa x(3) }|{),(b x x b <=-∞；(4) }|{],(bx x b ≤=-∞；(5) R R =∈=+∞-∞}|{),(x x .其中：b a ,称为区间的端点；在有限区间中,a b -称为区间的长度.（四）邻域与去心邻域点a 的邻域(称0δ>为邻域的半径) (1) 点a 的δ邻域:{}(,)|(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+, 简记()U a ；(2) 点a 的δ去心邻域:{}(,)|0(,)(,)U a x x a a a a a δδδδ=<-<=-+,简记()U a ；(3) 点a 的左δ邻域: (,)(,)U a a a δδ-=-, 简记()U a -；a xb x O x b x δ-a δ+a xaδ-a δ+a xaδ-a xa(4) 点a 的右δ邻域: (,),)U a a a δδ+=+（, 简记()U a +；4.无穷大的邻域)0(>K(1)无穷大∞的K 邻域: ),(),(),(+∞--∞=∞K K K U,简记)(∞U ；(2) ∞-的K 邻域: ),(),(K K U --∞=-∞, 简记)(-∞U ；(3) ∞+的K 邻域: ),(),(+∞=+∞K K U , 简记)(+∞U .注：无穷大邻域中的U 也写成U ,例如=∞),(K U),(K U ∞.三、映射*、函数关系（一）映射1.【映射定义】设B A ,是两个非空集合,若A x ∈∀,通过法则f ,|y B ∃∈与x 对应,则 称f 是A 到B 的映射, 记作B A f →:. 其中：(1) y 称为元素x (在映射f 下)的像,记作 )(x f , 即)(x f y =； δ+a xaKx0K-K x 0x 0K -ABf(2) x 称为元素y (在映射f 下)的原像；(3) 集合A 称为映射f 的定义域, 记作)(f D , 即)(f D A =；(4) 数集}),(|{)(A x x f y y A f ∈==称为映射f 的值域. 2．特殊映射(1)满射：若()f A B =, 称映射 f 为满射； (2) 单射：12,x x A ∀∈, 若12x x ≠,有12()()f x f x ≠,称映射f 为单射；(3) 一一映射(双射)：若映射f 既是单射,又是满射, 称映射f 为一一映射. 3.逆映射：设f 是A 到B 的单射且为满射,对于)(A f y ∈∀,A x ∈∃|..t s )(x f y =,这样所确定的)(A f 到A 的映射)(y x ϕ=称为映射)(x f y =的逆映射,记作)(1y f x -=.注：(1) 逆映射)(1y f-的定义域为)(A f ,值域为A .(2) 只有双射才有逆映射.（二）函数关系 1．函数概念【定义1.9】设非空数集DR ⊂,则映射:f D R →称为定义在D 上的x 的函数. 记作()y f x =,其中：(1)x 称为自变量, y 称为因变量；(2) 对于D x ∈0,称)(0x f 为函数)(x f 在点0x 处的函数值；(3) 数集D 称为函数)(x f 的定义域, 记作=()f D f D ； (4) 数集}),(|{)(D x x f y y D f ∈==称为函数)(x f 的值域. A B f A B 1-f记作()Z f 或f R .约定：用数学表达式表示的函数)(x f y =,若其定义域没有直接给出,规定()D f ={x |使表达式有意义的实数x }提问:函数有几个要素?(定义域、对应法则)例1 2arcsin(2)y x =+，2lg()y x =-，y x >是函数吗？为什么？例2 下列函数是否相同？为什么？（1）2(),()x f x x g x x==；（2）2(),()f x x g x x ==；（3）2()ln ,()2ln f x x g x x ==；（4）21(),()11x f x g x x x -==-+. 例3 求下列函数的自然定义域 (1)2121y x x =++-； 解：⎩⎨⎧≥+≠-02012x x ⇒⎩⎨⎧-≥±≠21x x ⇒ ),1()1,1()1,2[)(+∞---= f D .(2)211arcsin 225x y x-=+-； 解：121≤-x 且5x <⇒2|1|≤-x 且5x <⇒[1,3](5,5)-- ⇒()[1,3]D f =-.(3)ln(3)||1x y x -=-；解：⎩⎨⎧>->-01||03x x ⇒⎩⎨⎧><1||3x x ⇒)3,1()1,()( --∞=f D .(4)221arccos76x y x x -=--.解：⎪⎩⎪⎨⎧>--≤-0617122x x x ⇒⎩⎨⎧>+-≤-0)2)(3(712x x x ⇒⎩⎨⎧>-<≤≤3 243x x x 或－ ⇒]4,3()2,3[)( --=f D .(5)25lg 4x x y -=解: ⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≥-0)5(145045045lg 222x x x x x x x x ⎩⎨⎧<<≥+-⇒500452x x x}41|{)(≤≤=⇒x x y D ;（6）1lg(32)y x =-解: 321lg(32)021232033x x x x x x -≠⎧-≠⎧⎪⇒⇒>≠⎨⎨->>⎩⎪⎩且 22(){|1}(,1)(1,)33D f x x x ⇒=>≠=+∞且.2．函数分类(1) 单值函数——R ⊂∈∀D x ,通过法则f ,R ∈∃y |与x 对应,则称函数)(x f y =是x 的单值函数.注：除特别情况外，本课所讨论的函数均指单值函数. (2) 多值函数——R ⊂∈∀D x ,通过法则f ,R ∈∃y 与x 对应,且D x ∈∃0,通过法则f ,至少有两个不同的R ∈21,y y 与0x 对应,此时则称函数)(x f y =是x 的多值函数. 例如 222r y x =+, )0(>r 是多值函数.又例如 sin arcsin ()y Arc x k x k Z π==+∈ 也是多值函数.(3)一元函数: )(x f y =自变量只有一个； (4)多元函数：(,,,)12n y f x x x =自变量有2个或2个以上的元素；(5)显函数：形如()y f x =用自变量的代数式表示因变量的函数. 225y x =-,1lg(32)y x =-,2y x 6x 7=+-,22z x y 6x 4y y =+-+等 (6)隐函数：形如(,)0F x y =,用方程表示自变量和因变量关系的函数.,sin()ln()22xy x y 4e x y 2x 5+=++=+,1xy =,210y x +-=为隐函数.注意：隐函数不一定可以转化为显函数.不是所有的方程(,)0F x y =都可以确定隐函数，如方程2210x y ++=就不能确定隐函数. 3.函数的表示法解析法、列表法、图像法. 4．特殊函数 (1) 绝对值函数 ,0,||,0.x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩()(,)D f =-∞+∞；()[0,)f D =+∞.(2) 符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x y x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()(,)D f =-∞+∞； (){1,0,1}f D =-. 显然：||sgn x x x =. (3) 取整函数[]y x =, ()(,)D f =-∞+∞；Z =)(D f .yxOxy sgn =1-1y ][x y =2yxO||x y =其中：][x 表示不超过x 的最大 整数, 并称][x 为x 的整数部分. 例如：1]5.1[=, 2]5.1[-=-,1]2[=,0]5.0[=等等.(4) 分段函数：自变量的 不同变化范围中,对应法则 用不同式子表示的函数. 例如：||x y =, x y sgn =,][x y =等等.例如函数⎩⎨⎧>+≤≤==.1,1,10,2)(x x x x x f y是一个分段函数.),0[)(+∞=f D ；),0[)(+∞=D f .例如：2212)21(==f , 212)1(==f ，431)3(=+=f .提问：分段函数的定义域和值域如何确定？(5) 阶梯函数：分段取常值且增加的函数. 例如：][x y =等. (6) Dirichlet （狄利克雷）函数x QD x x R Q∈⎧=⎨∈-⎩1,()0,例4 确定下列函数的定义域并作出函数图形:(1) 1,0,()0,0,1,0.x f x x x >⎧⎪==⎨⎪<⎩(2), 1 211,()1, 2.x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-<<⎪⎩解 (1) ()(,)D f =-∞+∞,yxOxy +=1xy 2=)(x f y =31-图形如图31-所示;(2) =)(f D }22|{<<-x x , 图形如图32-所示.例5 将函数5|21|y x =--用分段 形式表示,作出函数图形.解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥-=--=.21 ,42,21 ,26|12|5x x x x x y图形如图33-所示.例6 函数221,11,12x x y x x ⎧-<⎪=⎨-<≤⎪⎩解：1x =时函数无意义，函数定义域为[2,1)(1,1)(1,2]D =---图形如图44-所示.例7 已知函数22,02(),24x x f x x x +≤≤⎧=⎨<≤⎩， 求(1)f x -.解：2(1)2,012(1)(1),214x x f x x x -+≤-≤⎧-=⎨-<-≤⎩ 21,13(1),35x x x x +≤≤⎧=⎨-<≤⎩. 例8 画出函数 []y x x =-的图像.（是周期为1的周期函数.）32-33-（三）函数的几种基本性质 1.奇偶性 ：【定义1.10】给定函数()y f x =，若()D f 关于原点对称. (1) 偶函数()f x ——()x D f ∀∈,恒有()()f x f x -=. 注: 偶函数图形关于y 轴对称.(2) 奇函数()f x ——()x D f ∀∈,恒有()()f x f x -=-. 注: 奇函数图形关于原点对称.讨论函数奇偶性时，千万注意条件：()D D f =关于原点对称,即x D x D ∀∈⇒-∈.例9 判断下列函数的奇偶性（1）1y x =（奇函数）； （2）31y x =+（非奇非偶函数）（3）422y x x =-（偶函数）（4）0y = （即奇又偶函数） （5）sin xy x=（偶函数）. 例10 判断函数10()0010x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪->⎩的奇偶性.解: 10()0010x x f x x x x -+-<⎧⎪-=-=⎨⎪--->⎩100010()x x x x x f x -+>⎧⎪==⎨⎪--<⎩=- 故函数()f x 为奇函数.结论：设函数()f x 的定义域为(,)l l -，则在(,)l l -上一定存在函数奇函数()g x 与偶函数()h x ，使得()()()f x g x h x =+.即对于定义在(,)l l -上的函数，则有奇函数 ()()()2f x f xg x --=；偶函数 ()()()2f x f x h x +-=.2.周期性 设()D D f =(1)【定义1.11】 周期函数()f x —— 0,..l s t x D ∃≠∀∈,有x l D ±∈且()()f x l f x +=.其中l 称为函数()f x 的周期.注1：周期函数在)(f D 内每个长度为l 的区间上图形相同. 注2：一般来说默认周期函数的周期（最小周期）是其最小正周期T .但不是所有的函数都有最小周期，例如()4f x =就是周期函数，且任何非零常数都是它的周期.又例如： 狄利克雷函数 1,,()0,\.x Q D x x R Q ∈⎧=⎨∉⎩任何非零有理数均为其周期，但没有最小周期.例11 设下面所考虑的函数都是定义在区间(,)l l -上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数; (2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数. 证 (1)①设)()()(21x f x f x f +=,其中)(1x f 与)(2x f 均为定义在区间),(l l -上的偶函数,即)()(),()(2211x f x f x f x f =-=-,则)()()()()()(2121x f x f x f x f x f x f =+=-+-=-,故)(x f 为),(l l -上的偶函数.即两个偶函数的和是偶函数. ②设)()()(21x f x f x f +=,其中)(1x f 与)(2x f 均为定义在区间),(l l -上的奇函数, 即 )()(),()(2211x f x f x f x f -=--=-,则)()()()()()(2121x f x f x f x f x f x f -=-+-=-+-=-, 故)(x f 为),(l l -上的奇函数。