人大版微积分第一章函数

2
常用区间表示方法：



全体实数的集合记为R，全体自然数的集合记为N。其 它常见的实数集合表示方法如下： 闭区间：[a,b]={x| axb} 开区间：(a,b)={x| a<x<b} 半开区间：(a,b]={x| a<x b}, [a,b)={x| a x<b} 注：以上a,b均满足a、bR,且a<b,此时，这类区间称 为有限区间;又当a、b中有一个为时,称无穷区间;显 然R=(- ,+ )。 a的邻域U(x0,)： U(x0,)=(x0-, x0+)，即|x-a|< 。 a的去心邻域U0(x0,)： U0(x0,) =(x0-, x0+)\{x0}
11
定义域求法
约定：如未特别指明,函数定义域Df即为能使函数表 达式有意义的自变量一切可取(实数)值范围。 1 x 2 的定义域． 例 1： 求函数 y 2

4 x
解
1 x 2 有意义，必须有 要使 y 2 4 x 4 x 2 0 2 x 2 即 2 x 2 故 Df {x | 2 x 2 0 x 2
2
1
4－x2≥0， 解 要使函数有意义，必须使 |x |－3≠0，
得原函数的定义域为{x|－2≤x≤2}；
15
(6)y＝ ax－3(a 为常数).
课后思考题
解 要使函数有意义，必须使ax－3≥0，
3 得当 a>0 时，原函数的定义域为{x|x≥ }； a
3 ； x | x ≤ 当 a<0 时，原函数的定义域为 a
y 1 o -1 x
x sgn x x
当x0D，称f (x0)为函数在x0处的函数值。 由于通常是通过函数值f (x)的变化来研究函数f的性质 的，故习惯上也称f (x)或y是x的函数。

第一章 函数教学过程:一、集合及其表示、运算（一）集合的概念For personal use only in study and research; not for commercial use1.【定义】集合—具有某种属性的事物组成的全体.用大写字母,,A B C 表示.例如①自然数集:{0,1,2,3,4,}N =,而{1,2,3,4,}N +=；For personal use only in study and research; not for commercial use② 整数集{0,1,2,3,}Z =±±±；③ 有理数集: Q =,,pp Z q N p q q+∈∈｛且与互质｝；④ 实数集:R , 而{|0,}R x x x R +=>∈ . 集合的例子：(1) 2009年1月2日出生的人.(2) 方程 2560x x -+=的根. (3) 全体偶数.(4) 直线 10x y +-=上所有的点.不是集合的例子：很小的数；张雨的好朋友.2.元素——组成集合的各个事物或对象, 用小写字母 c b a ,,表示.3.集合与元素的关系(从属关系)(1) a 属于A ——事物a 是集合A 的元素. 记作a A ∈； (2) a 不属于A ——事物a 不是集合A 的元素. 记作a A ∉.4.有限集----含有有限个元素. 无限集----含有无限个元素.（二）集合的表示方法(1) 列举法——用列举全体元素表示集合的方法. 即},,,{21n a a a A =.例如 }6,5,4,3,2,1{=A .(2) 描述法——用元素具有的特征表示集合的方法. 即 }|{所具有的特征a a A =. 例如 22{(,)|1}A x y x y =+=.2{|560}B x x x =-+=.（3）全集与空集①空集——不含有任何元素的集合. 记作Φ. 提问：{}{}0,Φ是空集吗？②全集——所研究的所有事物组成的集合，记作U . （三）集合的关系（包含关系）与运算 1.【定义1.1】A 是B 的子集 ——x A x B ∀∈⇒∈.记作A B ⊂.A 是B 的真子集—— A B ⊂,且A B ≠,记作 .例如： , , . 2.规定：空集为任何集合的子集. 空集为任何非空集合的真子集.3.【定义1.2】A 与B 相等——若A B ⊂且B A ⊂， 记作A B =. 例如：（1）设{1,2},A ={2,1},B =2{320},C x x x =-+=则.A B C ==（2）{}|A x x =是大于1而小于4的整数；{}2|560B x x x =-+=则A B =.4.【定义1.3】并集{|}A B x x A x B =∈∈或, 记作A B .5.【定义1.4】交集 ≠⊂Z Q ≠⊂N Z ≠⊂Q R ≠⊂A B A BB A BA{|}A B x x A x B =∈∈且, 简记为A B .6.【定义1.5】差集——{|}A B x x A x B -=∈∉且, B A -有时写成A B \；7.【定义1.6】余集(补集) ——cA U A =-， 其中U 为全集.显然：()c c A A =. （四）集合的运算律 (1)交换律：① A B B A =； ②A B B A =.(2)结合律： ① )()(C B A C B A =；②)()(C B A C B A =.(3)分配律： ① )()()(C B C A C B A =；② )()()(C B C A C B A =.(4)对偶原理(摩尔根原理)：①()c c c AB A B =；② ()c c c A B A B =.证明：先证①. x U ∀∈，有()c x A B x A B ∈⇔∉x A x B ⇔∉∉且ccccB A x B x A x ∈⇔∈∈⇔且.① 得证.再证②.c c c c c c c c c c c c B A B A B A B A )(])()[(])[( ===. ②得证.例1 某地区有100个工厂，其中，80个生产甲种机床，记为集合A ；61个生产乙种机床，记为集合B ；55个两种机床都生产.试用集合表示下列各类工厂，并计算出各类工厂的数目.(1)生产甲种机床而不生产乙种机床的工厂； (2)生产乙种机床而不生产甲种机床的工厂；(3)甲、乙两种机床中至少生产其中一种的工厂； (4)甲、乙两种机床都不生产的工厂.解（1）此类工厂的集合为A B -,工厂数目为80-55=25（个）.（2）此类工厂的集合为 B A -,工厂数目为 61-55=6（个）.（3）此类工厂的集合为 A B ,工厂数目为 25+55+6=86（个）.（4）此类工厂的集合为 A B ,工厂数目为 100-（25+55+6）=14（个）. 例2 利用集合的运算律证明：()()A B A B B =.（五）笛卡尔积1212{(,,,)|,1,2,,}n n i i A A A x x x x A i n ⨯⨯⨯=∈=.【定义1.7】设有集合：A B 和,对任意的 ,x A y B ∈∈，所有的二元有序数组(,)x y 构成的集合，称为A B 和的笛卡尔乘积（或直积），记作{}(,)|,A B x y x A y B ⨯=∈∈. 平面点集 {}2(,)|,R R R x y x y R =⨯=∈.空间点集 {}3(,,)|,,R R R R x y z x y z R =⨯⨯=∈.提问：如果{3,0,2}X Y ==,求X Y ⨯. 解 X Y ⨯={(3,3),(3,0),(3,2),(0,3),(0,0),(0,2),(2,3),(2,0),(2,2)}.提问：设集合1231212{,,},{,},{,}X x x x Y y y Z z z ===,求X Y Z ⨯⨯. 解 X Y Z ⨯⨯x y z x y z x y z x y z =111112121121{(,,),(,,),(,,),(,,),211212221221(,,),(,,),(,,),(,,),x y z x y z x y z x y z 311312321321(,,),(,,),(,,),(,,)}x y z x y z x y z x y z .例3 设{}|02A x x =≤≤,{}|01B x y =≤≤则 A B ⨯{}(,)|02,01x y x y =≤≤≤≤.例4 设{}{}{}0,1,1,2,3A B C ===,则{}(0,1,3),(0,2,3),(1,1,3),(1,2,3)A B C ⨯⨯=.提问：按下列要求举例:(1)一个有限集合; }4,3,2,1{=A ;(2)一个无限集合; n n k B ,12|{+=为正整数}; (3)一个空集; x x x C ,01|{2=+=为实数};(4)一个集合是另一个集合的子集；}3,2,1{}2,1{21=⊂=D D提问：用集合的描述法表示下列集合:(1)圆2225x y +=内部(不包含圆周)一切点的集合;22{(,)|25,,B x y x y x y =+<均为实数};(2)抛物线2y x =与直线0x y -=的交点的集合. |),{(y x C =2x y =且y x y x ,,0=-均为实数}.提问：用列举法表示下列集合:(1)抛物线2x y =与直线0=-y x 的交点的集合; )}1,1(),0,0{(=B(2)集合5|1| |{≤-x x 的整数}.{4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6)}C =----.提问：下列哪些集合是空集:{|10}A x x =+=⇒∅≠A ，2{|10,B x x x =+=为实数}⇒∅=B 1|{>=x x C 且}0<x ⇒∅=C , 0|{>=x x D 且}1<x ⇒∅≠D1|),{(22=+=y x y x E 且y x y x ,,3=+为实数} ⇒∅=E .提问：写出}2,1,0{=A 的一切子集.解 }2,1,0{},2,1{},2,0{},1,0{},2{},1{},0{,∅.注:空集是任何集合的子集.一般含有n 个元素的集合,其子集的个数为:12n n 0n n n n n C C C (11)C 21+++=+-=-. 提问：如果}2,1{},2,1,0{==B A ,下列各种写法,哪些是对的?哪些不对?A ∈1，B ∉0，{1}A ∈，A ⊂1，A ⊂}1{，A ⊂0，A ⊂}0{，B ⊂}0{，B A =，B A ⊃，A ⊂∅，A A ⊂.提问:设},6,4,2{},5,3,1{},3,2,1{===C B A 求： 解 (1)}6,5,4,3,2,1{=C B A ; (2)∅=C B A ; (3){2}A B -=.练习.如果{|35}A x x =<<,{|4}B x x =>, 求:(1)A B ；(2)A B ；(3)A B -. 解 (1)}3|{>=x x B A ; (2)}54|{<<=x x B A ; (3)}43|{≤<=-x x B A .练习.如果}02|),{(≥+-=y x y x A , }0632|),{(≥-+=y x y x B , }04|),{(≤-=x y x C ,在坐标平面上标出C B A 的区域.解 在坐标平面上C B A 表示的区域如图15-所示. 练习.如果}3,2,1{},6,5,4,3,2,1{==A U ,}6,4,2{=B 求： (1)AB ；(2)A B .解 (1){1,3,4,5,6}A B =;(2){5}A B =. 二、区间与邻域（一）实数与数轴1.有理数-----有限小数或无限循环小数；2.无理数----无限不循环小数.3.实数-------有理数与无理数的总体.4.数轴-------规定了原点、正方向、单位长度的直线.5.实数集与数轴上点的集合是一一对应关系. （二）绝对值1.【定义1.8】实数x 的绝对值记作x ，且有,0,0x x x x x ≥⎧=⎨-<⎩. 2. x 的几何意义：实数为x 的点到原点的距离.3.绝对值及运算性质 15-图（1）2x x =.（2）0x ≥.（3）x x =-.（4）x x x -≤≤.（5）{}{}0a x x a x a x a ><=<<时，||-. （6）{}{}0a x x a x x a x a >>=<>时，||-或.（7）x y x y x y -≤±≤+.(8)xy x y =⋅.(9)(0)x x y y y=≠.（三）区间区间常用I 表示. 设R ∈∀b a ,,且b a <. 1.有限区间(1)开区间——}|{),(b x a x b a <<=；(2)闭区间——}|{],[b x a x b a ≤≤=；(3)半开半闭区间——}|{],(b x a x b a ≤<=；}|{),[b x a x b a <≤=.2.无限区间引入记号∞+及∞-, 分别读作正无穷大和负无穷大. (1) }|{),(a x x a >=+∞；(2) }|{),[a x x a ≥=+∞； ab x a bx a b x a b xa x(3) }|{),(b x x b <=-∞；(4) }|{],(bx x b ≤=-∞；(5) R R =∈=+∞-∞}|{),(x x .其中：b a ,称为区间的端点；在有限区间中,a b -称为区间的长度.（四）邻域与去心邻域点a 的邻域(称0δ>为邻域的半径) (1) 点a 的δ邻域:{}(,)|(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+, 简记()U a ；(2) 点a 的δ去心邻域:{}(,)|0(,)(,)U a x x a a a a a δδδδ=<-<=-+,简记()U a ；(3) 点a 的左δ邻域: (,)(,)U a a a δδ-=-, 简记()U a -；a xb x O x b x δ-a δ+a xaδ-a δ+a xaδ-a xa(4) 点a 的右δ邻域: (,),)U a a a δδ+=+（, 简记()U a +；4.无穷大的邻域)0(>K(1)无穷大∞的K 邻域: ),(),(),(+∞--∞=∞K K K U,简记)(∞U ；(2) ∞-的K 邻域: ),(),(K K U --∞=-∞, 简记)(-∞U ；(3) ∞+的K 邻域: ),(),(+∞=+∞K K U , 简记)(+∞U .注：无穷大邻域中的U 也写成U ,例如=∞),(K U),(K U ∞.三、映射*、函数关系（一）映射1.【映射定义】设B A ,是两个非空集合,若A x ∈∀,通过法则f ,|y B ∃∈与x 对应,则 称f 是A 到B 的映射, 记作B A f →:. 其中：(1) y 称为元素x (在映射f 下)的像,记作 )(x f , 即)(x f y =； δ+a xaKx0K-K x 0x 0K -ABf(2) x 称为元素y (在映射f 下)的原像；(3) 集合A 称为映射f 的定义域, 记作)(f D , 即)(f D A =；(4) 数集}),(|{)(A x x f y y A f ∈==称为映射f 的值域. 2．特殊映射(1)满射：若()f A B =, 称映射 f 为满射； (2) 单射：12,x x A ∀∈, 若12x x ≠,有12()()f x f x ≠,称映射f 为单射；(3) 一一映射(双射)：若映射f 既是单射,又是满射, 称映射f 为一一映射. 3.逆映射：设f 是A 到B 的单射且为满射,对于)(A f y ∈∀,A x ∈∃|..t s )(x f y =,这样所确定的)(A f 到A 的映射)(y x ϕ=称为映射)(x f y =的逆映射,记作)(1y f x -=.注：(1) 逆映射)(1y f-的定义域为)(A f ,值域为A .(2) 只有双射才有逆映射.（二）函数关系 1．函数概念【定义1.9】设非空数集DR ⊂,则映射:f D R →称为定义在D 上的x 的函数. 记作()y f x =,其中：(1)x 称为自变量, y 称为因变量；(2) 对于D x ∈0,称)(0x f 为函数)(x f 在点0x 处的函数值；(3) 数集D 称为函数)(x f 的定义域, 记作=()f D f D ； (4) 数集}),(|{)(D x x f y y D f ∈==称为函数)(x f 的值域. A B f A B 1-f记作()Z f 或f R .约定：用数学表达式表示的函数)(x f y =,若其定义域没有直接给出,规定()D f ={x |使表达式有意义的实数x }提问:函数有几个要素?(定义域、对应法则)例1 2arcsin(2)y x =+，2lg()y x =-，y x >是函数吗？为什么？例2 下列函数是否相同？为什么？（1）2(),()x f x x g x x==；（2）2(),()f x x g x x ==；（3）2()ln ,()2ln f x x g x x ==；（4）21(),()11x f x g x x x -==-+. 例3 求下列函数的自然定义域 (1)2121y x x =++-； 解：⎩⎨⎧≥+≠-02012x x ⇒⎩⎨⎧-≥±≠21x x ⇒ ),1()1,1()1,2[)(+∞---= f D .(2)211arcsin 225x y x-=+-； 解：121≤-x 且5x <⇒2|1|≤-x 且5x <⇒[1,3](5,5)-- ⇒()[1,3]D f =-.(3)ln(3)||1x y x -=-；解：⎩⎨⎧>->-01||03x x ⇒⎩⎨⎧><1||3x x ⇒)3,1()1,()( --∞=f D .(4)221arccos76x y x x -=--.解：⎪⎩⎪⎨⎧>--≤-0617122x x x ⇒⎩⎨⎧>+-≤-0)2)(3(712x x x ⇒⎩⎨⎧>-<≤≤3 243x x x 或－ ⇒]4,3()2,3[)( --=f D .(5)25lg 4x x y -=解: ⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≥-0)5(145045045lg 222x x x x x x x x ⎩⎨⎧<<≥+-⇒500452x x x}41|{)(≤≤=⇒x x y D ;（6）1lg(32)y x =-解: 321lg(32)021232033x x x x x x -≠⎧-≠⎧⎪⇒⇒>≠⎨⎨->>⎩⎪⎩且 22(){|1}(,1)(1,)33D f x x x ⇒=>≠=+∞且.2．函数分类(1) 单值函数——R ⊂∈∀D x ,通过法则f ,R ∈∃y |与x 对应,则称函数)(x f y =是x 的单值函数.注：除特别情况外，本课所讨论的函数均指单值函数. (2) 多值函数——R ⊂∈∀D x ,通过法则f ,R ∈∃y 与x 对应,且D x ∈∃0,通过法则f ,至少有两个不同的R ∈21,y y 与0x 对应,此时则称函数)(x f y =是x 的多值函数. 例如 222r y x =+, )0(>r 是多值函数.又例如 sin arcsin ()y Arc x k x k Z π==+∈ 也是多值函数.(3)一元函数: )(x f y =自变量只有一个； (4)多元函数：(,,,)12n y f x x x =自变量有2个或2个以上的元素；(5)显函数：形如()y f x =用自变量的代数式表示因变量的函数. 225y x =-,1lg(32)y x =-,2y x 6x 7=+-,22z x y 6x 4y y =+-+等 (6)隐函数：形如(,)0F x y =,用方程表示自变量和因变量关系的函数.,sin()ln()22xy x y 4e x y 2x 5+=++=+,1xy =,210y x +-=为隐函数.注意：隐函数不一定可以转化为显函数.不是所有的方程(,)0F x y =都可以确定隐函数，如方程2210x y ++=就不能确定隐函数. 3.函数的表示法解析法、列表法、图像法. 4．特殊函数 (1) 绝对值函数 ,0,||,0.x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩()(,)D f =-∞+∞；()[0,)f D =+∞.(2) 符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x y x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()(,)D f =-∞+∞； (){1,0,1}f D =-. 显然：||sgn x x x =. (3) 取整函数[]y x =, ()(,)D f =-∞+∞；Z =)(D f .yxOxy sgn =1-1y ][x y =2yxO||x y =其中：][x 表示不超过x 的最大 整数, 并称][x 为x 的整数部分. 例如：1]5.1[=, 2]5.1[-=-,1]2[=,0]5.0[=等等.(4) 分段函数：自变量的 不同变化范围中,对应法则 用不同式子表示的函数. 例如：||x y =, x y sgn =,][x y =等等.例如函数⎩⎨⎧>+≤≤==.1,1,10,2)(x x x x x f y是一个分段函数.),0[)(+∞=f D ；),0[)(+∞=D f .例如：2212)21(==f , 212)1(==f ，431)3(=+=f .提问：分段函数的定义域和值域如何确定？(5) 阶梯函数：分段取常值且增加的函数. 例如：][x y =等. (6) Dirichlet （狄利克雷）函数x QD x x R Q∈⎧=⎨∈-⎩1,()0,例4 确定下列函数的定义域并作出函数图形:(1) 1,0,()0,0,1,0.x f x x x >⎧⎪==⎨⎪<⎩(2), 1 211,()1, 2.x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-<<⎪⎩解 (1) ()(,)D f =-∞+∞,yxOxy +=1xy 2=)(x f y =31-图形如图31-所示;(2) =)(f D }22|{<<-x x , 图形如图32-所示.例5 将函数5|21|y x =--用分段 形式表示,作出函数图形.解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥-=--=.21 ,42,21 ,26|12|5x x x x x y图形如图33-所示.例6 函数221,11,12x x y x x ⎧-<⎪=⎨-<≤⎪⎩解：1x =时函数无意义，函数定义域为[2,1)(1,1)(1,2]D =---图形如图44-所示.例7 已知函数22,02(),24x x f x x x +≤≤⎧=⎨<≤⎩， 求(1)f x -.解：2(1)2,012(1)(1),214x x f x x x -+≤-≤⎧-=⎨-<-≤⎩ 21,13(1),35x x x x +≤≤⎧=⎨-<≤⎩. 例8 画出函数 []y x x =-的图像.（是周期为1的周期函数.）32-33-（三）函数的几种基本性质 1.奇偶性 ：【定义1.10】给定函数()y f x =，若()D f 关于原点对称. (1) 偶函数()f x ——()x D f ∀∈,恒有()()f x f x -=. 注: 偶函数图形关于y 轴对称.(2) 奇函数()f x ——()x D f ∀∈,恒有()()f x f x -=-. 注: 奇函数图形关于原点对称.讨论函数奇偶性时，千万注意条件：()D D f =关于原点对称,即x D x D ∀∈⇒-∈.例9 判断下列函数的奇偶性（1）1y x =（奇函数）； （2）31y x =+（非奇非偶函数）（3）422y x x =-（偶函数）（4）0y = （即奇又偶函数） （5）sin xy x=（偶函数）. 例10 判断函数10()0010x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪->⎩的奇偶性.解: 10()0010x x f x x x x -+-<⎧⎪-=-=⎨⎪--->⎩100010()x x x x x f x -+>⎧⎪==⎨⎪--<⎩=- 故函数()f x 为奇函数.结论：设函数()f x 的定义域为(,)l l -，则在(,)l l -上一定存在函数奇函数()g x 与偶函数()h x ，使得()()()f x g x h x =+.即对于定义在(,)l l -上的函数，则有奇函数 ()()()2f x f xg x --=；偶函数 ()()()2f x f x h x +-=.2.周期性 设()D D f =(1)【定义1.11】 周期函数()f x —— 0,..l s t x D ∃≠∀∈,有x l D ±∈且()()f x l f x +=.其中l 称为函数()f x 的周期.注1：周期函数在)(f D 内每个长度为l 的区间上图形相同. 注2：一般来说默认周期函数的周期（最小周期）是其最小正周期T .但不是所有的函数都有最小周期，例如()4f x =就是周期函数，且任何非零常数都是它的周期.又例如： 狄利克雷函数 1,,()0,\.x Q D x x R Q ∈⎧=⎨∉⎩任何非零有理数均为其周期，但没有最小周期.例11 设下面所考虑的函数都是定义在区间(,)l l -上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数; (2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数. 证 (1)①设)()()(21x f x f x f +=,其中)(1x f 与)(2x f 均为定义在区间),(l l -上的偶函数,即)()(),()(2211x f x f x f x f =-=-,则)()()()()()(2121x f x f x f x f x f x f =+=-+-=-,故)(x f 为),(l l -上的偶函数.即两个偶函数的和是偶函数. ②设)()()(21x f x f x f +=,其中)(1x f 与)(2x f 均为定义在区间),(l l -上的奇函数, 即 )()(),()(2211x f x f x f x f -=--=-,则)()()()()()(2121x f x f x f x f x f x f -=-+-=-+-=-, 故)(x f 为),(l l -上的奇函数。

微积分
第一章 函数
上页 下页 返回
《高等数学B》
任课教师：xx 办公室：xx
Telphone: xx Email: xx
微积分
第一章 函数
上页 下页 返回
教材：微积分 -赵树嫄 编 作业要求：学号后两位为奇数的为A，偶数为
B。下周上新课之前交作业 （作业本）
答疑时间和地点：等待通知
学期成绩构成：期末成绩+平时成绩（作业及
如果满足 D I Z , 则 y 必是 x 的函数 y f (x) ,
称该函数为复合函数,其中 u 称为中间变量,
称 y f (u), u (x) 为简单函数.
注1: 条件 D I Z 非常重要, 只有满足了 该条件后,两个函数才可复合, 否则就不是复合 函数.
微积分
第一章 函数
上页 下页 返回
Eg:
例题1.
证明函数 y
1 1 x2
是有界函数.
例题2.
证明函数 y
x 1 x2
是有界函数.
微积分
第一章 函数
上页 下页 返回
1.7. 反函数与复合函数
1.反函数的定义
定义1.3 设函数 y f (x) 的定义域为集合A, 其
值域为B, 如果对于B中的每一个元素 y, 在集合A
中都有唯一确定的 x与之对应, 则说在集合B上定
期为2 . 而 y tan x, y cot x 也是周期函数, 其周 期为 .
微积分
第一章 函数
上页 下页 返回
命题：设函数 f (x)是以T (T 0)为周期的周期函数，
证明 f (ax)(a 0)是以T 为周期的周期函数 . a
证明： f [a(x T )] f (ax T ) a

即：U (a) {x 0 x - a }
空心邻域


a-
a
a+
x
例：用邻域符号和区间符号分别表示 3x - 2

4
, 2 x + 5 1所确定的范围.
解：3x - 2

4
2 x- , 3 12
2 它表示以 为中心， 以 为半径的邻域. 3 12
2 2 用邻域符号表示为U 或U ( , ); 用区间符号表示为( 2 - , 2 + ). 3 12 3 12 3 12 12 3
即： ( a, b] = {x a x b}。
2.区间：是指介于某两个实数之间的全体实数，这
两个实数叫做区间的端点。
a, b R, 且a b
无限区间：[a,+) {x a x}
[a, +) O a x
(-实数，且 0 ，数集 { x x - a }
教学重点与难点
重点：函数概念，求函数关系式和定义域，复合 函数。 难点：函数概念，函数的复合与分解，建立应用 问题中的函数关系式。
§1.1 基本概念
1. 2. 3. 4. 5. 集合 区间 邻域 常量与变量 绝对值
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体称为集合， 组成这个集合的事物称为该集合的元素.
描述法： 设 P(a) 为某个与 a 有关 的条件或法则，A为满足 P(a) 的一切 a 构成的集合， 则记为 A{a|P(a)}。 例 3 ． 由 x2-5x+60 的 根所构成的集合B可表示为 B{x|x2-5x+60}。 例 4 ．全体偶数构成的 集合可表示为 D{x|x2n, n 为 整 数 } 。

( , ) R
第一章 函数
6
三、邻域
U (a , ) (a , a )
称作 a 的δ邻域
U o (a, ) (a , a ) (a, a ) 称作 a 的去心δ邻域 U (a , ) (a , a ] U ( a , ) [a , a )
| a | x | a | | x || a |; | ab || a | | b |, | a b | | a | | b |(b 0);
(三角不等式*)
| a | | b || a b || a | | b | .
—— 和的绝对值 ≤ 绝对值之和、≥ 绝对值之差
第一章 函数 13
三、复合函数
定义 设 u=g(x), y=f(u), 若 Z ( g )
D( f ) , 则称 y f [ g( x)], x { x | x D( g )且g( x) D( f )}
为 f 与 g 的复合函数.
例: 1. 已知 y u , u 2 v 2 , v cos x , 将 y 表示成 x 的函数.
O

2
x
定义域 ( , ),
值域 , . 2 2
定义域 ( , ), 值域 ( 0, ).
第一章 函数 23
基本初等函数：常函数 + 反对幂三指 2. 初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所 构成的函数称为初等函数.
例: 下列函数中不是初等函数的是（ C ） A) y x x , B) y | x |, C ) y sgn x, D)e x xy 1 0.

(0,1)
O

x x x 2 x 2 f x ，故是奇函数；
8．下列各函数中哪些是周期函数？并指出其周期：
（1）
y cos x 1 ；
（2）
y x tan x ；
（3）
y sin 2 x 。
知识点：函数周期性。 思路：利用定义， 及基本初等函数性质， 或已知结论， 可按已知结论 （如弦函数 y A cos x C ，
后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；
2 解： （1） f ( x) lg x 的定义域 D= x x 0, x R ，g ( x) lg x 的定义域 D x x 0, x R} ，



虽然作用法则相同 lg x （2）
2
2 lg x ，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；
偶函数； 当
f x , g x 为一奇一偶时，G x f x g x f x g x G x ， 得 G x
为奇函数；
★
7．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？
（1）
y tan x sec x 1 ；
由此，两函数相等 两要素相同； （与 自变量用何字母表示无关）
f
以及函数的定义域 D
解析表示法的函数类型：显函数，隐函数，分段函数； 局 部 有 界 性 函 数 局 部 函 数 特 性 单 调 性 对集合
X D ，若存在正数 M
上有界，或
，使对所有 x
X ，恒有 f x M
，称
2 sin 2 4 4
2 0 ；如图：
3 2

如果A，B互相包含，即A B且B A，则称A与B相等，记为A=B。
如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=j(y)。
解: 要使函数有意义，必须x 0，且x2-4³0。
如果A，B互相包含，即A B且B A，则称A与B相等，记为A=B。
1
O
x
3．对数函数
指数函数y=ax的反函数叫做对数函数，记为
y=logax(a>0，a 1)． 对数函数的定义域是区间(0，+ )．
单调性：
若a>1，则logax单调增加； 若0<a<1，则logax单调减少．
性质见书P34
y y=ax
1
O
y=logxax
a>1
4．三角函数
U(a)。 设>0，则称区间(a-, a+)为点a 的邻域，记作U(a, )，
即 U(a, ) ={x|a-<x<a+} ={x| |x-a|<}。
其中点 a 称为邻域的中心, 称为邻域的半径。
O a-
a+ x
去心邻域:
U
(a,)
={x
|0<|
x-a
|<}。
O a- a a+ x
左（右）邻域、M领域的概念见书中第七页。
bx
[a, b]={x|axb}称为闭区间。
[a， b]
Oa
bx
[a, b)={x|ax<b}及 (a, b]={x|a<xb}称为
半开区间。 [a， b)
Oa
bx
(a， b]
Oa
bx

仿照一元函数， 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点 驻点. 的点，均称为函数的驻点 注意： 注意：驻点 极值点
例如, 点(0,0)是函数 z = xy 的驻点， 的驻点， 例如 但不是极值点. 但不是极值点
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
1 3、 ； 3、7,-1. 4
下页
极值的一般步骤： 求函数 z = f ( x , y )极值的一般步骤：
第一步 解方程组 f x ( x , y ) = 0,
f y ( x, y) = 0
求出实数解，得驻点. 及偏导数不存在的点 求出实数解，得驻点
第二步 对于每一个驻点( x 0 , y0 ) ，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
处是否取得极值的条件如下： 则 f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下： （1） AC − B > 0时具有极值， 时具有极值，
2
时有极大值， 时有极小值； 当 A < 0 时有极大值， 当 A > 0 时有极小值； 时没有极值； （2） AC − B 2 < 0时没有极值； 时可能有极值,也可能没有极值， （3） AC − B = 0 时可能有极值,也可能没有极值，
2 2
练习题
一、填空题: 填空题: _______点取 1 、函数 f ( x , y ) = (6 x − x 2 )(4 y − y 2 ) 在_______ 点取 得极_________值为___________. _________值为 得极_________值为___________. 下的极______ ______值 2 、函数 z = xy 在附加条件 x + y = 1 下的极 ______ 值 为_____________. 3 、方程 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 2 = 0 所确定的 的极大值是___________, ___________,极小值 函数 z = f ( x , y ) 的极大值是___________, 极小值 是_____________. 二、在 平 面 xoy 上 求 一 点 , 使 它 到 x = 0, y = 0 及 x + 2 y − 16 = 0 三直线的距离平方之和为最小. 三直线的距离平方之和为最小. 的球且有最大体积的长方体. 三、求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体.

基本性质： A A U , A A
(六) 集合运算律
交换律： A B B A AB B A
结合律： ( A B) C A (B C) (A B) C A(B C)
分配律： A (B C) ( A B) ( A C) A(B C) (A B) (AC)
2232??????xx????????????????????22322322xxxx?????????????????0304322xxxx?????????????????3041xxx或01??????x或43????xx01??43即即4301?????x
1
在一切理论成就中，未必有什么 像17世纪下半叶微积分的发明那 样被看作人类精神的卓越胜利了 （恩格斯）
U
A B
U A
B
例如， R - Q 表示全体无理数组成的集合。
基本性质： A B A B
15
4、补集 A { x | x U 且 x A} , 其中 U为全集。
U A
例如，U {0, 1, 2, 3, } , A {0, 2, 4, 6, } ,
则 A {1, 3, 5, 7, }
解 由容斥原理，至少熟悉一种语言的人有
47 35 23 59 ,
两种语言都不熟悉的人有
47 23 35
100 59 41 .
41
25
| A B|| A|| AB|
E
B
A
特别，若 B A ，则| A B | | A | | B | 。
E BA
26
例2 在12000的整数中，有多少整数 (1) 能被6或8整除； (2) 既不能被6也不能被8整除； (3) 能被6整除而不能被8整除.

注意：复合函数的分解可以按照从外向内(由内向外)的顺序 去进行分解, 并要求分解得到的必须是基本初等函数或简 单函数.
目录
例 将复合函 y数 co5sx分解为基本初. 等函数
解 函数ycos5 x由两层函数关系成 复,合而
y(coxs)5,求cos的 x 五次幂
需要引入一个中间变量u,
以上过程称为 对复合函数的分解
说明：复合函数 yf(g(中x)，)f 是外层函数， g是内层函数 其中，u 称为中间变量。
例 由函数 y u, u1x2,
目录
函数的复合
可构成复合函数 y 1x2 x[1, 1]
函数复合后一般应重新验证它的定义域
例 函数 y u, usixn2
复合成函数 y sinx2
sixn 20 x
练习：将下列复合函数分解为基本初等函数或简单函数.
(1)yl（ nx22） yln u,ux22 (2)ysin 3x ysiu n ,u3x (3)y x21 y u,ux21 (4)y22x1 y2u,u2x1 (5)ytan2x yu2,utanx
目录
例 将复合函y数3 sinx 分解为基本初等. 函数 解 函数 y3sinx
U = 1-2x²是简单函 数,不必分解
(2)ylgsinx 表达式 sin x 为真数的对数运算
可以分成 y lg u, u sin x
(3)yecoxs 表达式 coxs 作为指数的幂运算
可 以 分 成 yeu,uc oxs
目录
(4)ysinx2 表达式 x 2 作为角度求正弦函数运算
可 以 分y成 sinu,ux2
y sinx2
复合函数的定义域是空集。
注意:不是任何两个函数都可以复合成一个复合 函数的;

第一章 函数微积分研究的主要对象是函数．研究函数通常有两种方法：一种方法是代数方法和几何方法的综合．用这种方法常常只能研究函数的简单性质，有的做起来很复杂．初等数学中就是用这种方法来研究函数的单调性、奇偶性、周期性的；另一种方法就是微积分的方法，或者说是极限的方法．用这种方法能够研究函数的许多深刻性质，并且做起来相对简单．微积分就是用极限的方法研究函数的一门学问．因此，在介绍微积分之前，有必要先介绍函数的概念和有关知识．第一节 函数的概念及其基本性质一、 集合及其运算自从德国数学家康托(Geor g CAntor,1845~1918)在19世纪末创立集合论以来，集合论的概念和方法已渗透到数学的各个分支，成为现代数学的基础和语言。

一般地，所谓集合(简称集)是指具有某种确定性质的对象的全体．组成集合的各个对象称为该集合的元素． 习惯上，用大写字母A ，B ，C ，…表示集合，用小写字母a ,b ,c ,…表示集合的元素．用a ∈A 表示a 是集合A 中的元素，读作“a 属于A ”；用a ∈（或a ∉A ）表示a 不是集合A 中的元素，读作“a 不属于A ”．含有有限多个元素的集合称为有限集；含有无限多个元素的集合称为无限集；不含有任何元素的集合称为空集，记作∅．集合的表示方法有两种：列举法和描述法．列举法就是把集合中的所有元素一一列出来，写在一个花括号内．如A =｛－１，１｝，B ＝｛０，１，２｝等．描述法就是在花括号内指明该集合中的元素所具有的确定性质．如C =｛210x x -≥｝，Ｄ＝｛sin 0x x =｝等．一般，用N 表示自然数集，用Z 表示整数集，用Q 表示有理数集，用R 表示实数集． 对于集合A 和B ，若集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，即若a ∈A ，则a ∈B ，这时就称A 是B 的一个子集，记作A ⊂B ，读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”)．若A ⊂B ，且存在b ∈B ，使得b ∉A ，则称A 是B 的一个真子集．规定：∅是任何集合A 的子集，即∅⊂A ．若A ⊂B 且B ⊂A ，则称A ，B 相等，记作A ＝B ．此时A 中的元素都是B 中的元素，反过来，B 中的元素也都是A 中的元素，即A ，B 中的元素完全一样．设A ，B 是两个集合，称｛x ∣x ∈A 或x ∈B ｝为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝｛x ∣x ∈A 或x ∈B ｝．它是将A 和B 的全部元素合起来构成的一个集合．称｛x ∣x ∈A 且x ∈B ｝为A 与B 的交集，记作A B ，即A B ＝｛x ∣x ∈A 且x ∈B ｝．它是由A 与B 的公共元素构成的一个集合．称｛x ∣x ∈A 且x ∉B ｝为A 与B 的差集，记作A -B ，即A -B ＝｛x ∣x ∈A 且x ∉B ｝．它是由A 中那些属于A 但不属于B 的元素构成的一个集合．集合的运算满足下述基本法则：定理1 设A ，B ，C 为三个集合，则(1) A ∪B ＝B ∪A ，A ∩B ＝B ∩A ．（交换律)(2) (A ∪B )∪C ＝A ∪（B ∪C ），（A ∩B ）∩C ＝A ∩（B ∩C ）； （结合律)（３）（A ∪B ）∩C ＝（A ∩C ）∪（B ∩C ），（A∩B）∪C＝（A∪C）∩（B∪C），（A-B）∩C＝（A∩C）-（B∩C）；（分配律)（４）A∪A＝A，A∩A＝A；（幂等律)(5) A∪∅＝A，A∩∅＝∅；若A⊂B，则A∪B＝B，A∩B＝A．（吸收律)特别地，由于A∩B⊂A⊂A∪B，所以有，A∪(A∩B)＝A，A∩（A∪B）＝A．二、区间与邻域设a,b∈R，且a＜b，记(a，b）＝｛x∣a＜x＜b，x∈R｝，称为开区间；记［a，b］＝｛x∣a≤x≤b，x∈R｝，称为闭区间；记［a，b）＝｛x∣a≤x＜b，x∈R｝，称为左闭右开区间；记(a，b］＝｛x∣a＜x≤b，x∈R｝，称为左开右闭区间；a，b分别称为区间的左端点和右端点．另外，我们还记(－∞，＋∞）＝R，（－∞，b）＝｛x∣x＜b，x∈R｝，（a，＋∞）＝｛x∣a ＜x，x∈R｝，等等．设x0∈R，δ＞０，记U（x0，δ）＝｛x x－x0＜δ，x∈R｝，称为x0的δ邻域，其中x0称为这个邻域的中心，δ称为该邻域的半径．容易知道，U(x0，δ）＝（x0－δ，x0＋δ）．记U（x0，δ）＝Ｕ（x0，δ）－∣x0∣＝｛x∣0＜∣x－x0∣＜δ，x∈R｝＝（x0－δ，x0）∪（x0，x0＋δ），称为x0的去心δ邻域．当不必知道邻域的半径δ的具体值时，常将x0的邻域和去心邻域分别简记为Ｕ（x0）和0U(x0）．三、函数的概念定义1 设D为非空实数集，若存在对应规则f，使得对任意的x∈D，按照对应规则f，都有唯一确定的y∈R与之对应，则称f为定义在D上的一个一元函数，简称函数．D称为f的定义域．函数f的定义域常记作D f(或D(f))．对于x∈D f，称其对应值y为函数f在点x处的函数值，记作f(x)，即y=f(x)．全体函数值所构成的集合称为f的值域，记作f(D)、R f（或R(f))，即R f＝｛f(x)︱x∈D f｝．应该注意，在定义1中，函数是f，它是一个对应规则，规定了D f中的x对应于哪个实数y．而f(x)(即y)则是函数值，是在对应规则f的规定下，x所对应的那个值y，这两者在概念上是不一样的．但由于历史的原因，我们习惯上也把f(x)(或y)称为x的函数，称x为自变量，称y为因变量．由定义1可知，确定一个函数需确定其定义域和对应规则，因此，我们称定义域和对应规则为确定函数的两个要素．如果两个函数f和g的定义域和对应规则都相同，则称这两个函数相同．函数的表示法一般有三种：表格法、图象法和解析法．这三种方法各有特点，表格法一目了然；图象法形象直观；解析法便于计算和推导．在实际中可结合使用这三种方法．例1 求φ（x)=ln(arcsin x）2和g(x)=2ln arcsin x的定义域，并判断它们是否为同一个函数．解在中学我们就已知道，对于用解析式表示的函数f(x)，若其定义域未给出，则认为其定义域为使该函数式f (x )有意义的实数的全体．因此，要使ϕ (x )有意义，x 必须满足11arcsin 0x x -≤≤⎧⎨≠⎩，即110x x -≤≤⎧⎨≠⎩， 故D （ϕ）＝［－１，０）∪（０，１］．要使g (x )有意义，x 必须满足11arcsin 0x x -≤≤⎧⎨>⎩，即110x x -≤≤⎧⎨<⎩， 故D (g )＝（０，１］．由于D (ϕ）≠D (g )，可见ϕ (x )和g (x )不是同一函数．例2 设函数21,0()1,0x x f x x x -<⎧=⎨+≥⎩当时，当时， 求f (0),f (-1),f (2)，并作函数图形．解 这是定义在(-∞，+∞）内的一个函数，在定义域的不同部分上，函数的表达式不同，这种函数称为分段函数．当x ＜０时，对应的函数值f (x )=x -1［即用x -1来计算f (x )］，而当x ≥０时，对应的函数值f (x )=x 2+1［即用x 2+1来计算f (x )］．所以f (-1)=(-1)-1=-2，f (0)=02+1=1，f (2)=22+1=5．函数图形可分段描绘，并注意空心点和实心点的区别(图1-1)．图1-1四、 复合函数和反函数１． 复合函数设y =f (u )，u ∈Ｕ，而u =φ(x )，x ∈Ｘ，此时y 常常能通过变量u 成为x 的函数．这是因为任取x ∈Ｘ，由于u 是x 的函数，由这个x 可确定唯一的u 与之对应，又由于y 是u 的函数，对这个由x 所确定的u (当u ∈Ｕ时)，又可确定唯一一个y 与u 对应，即f x u y ϕ−−→−−→，由函数定义知y 是x 的函数．其函数式可通过代入运算得到：将u =ϕ (x )代入y =f (u )中，得y =f (ϕ (x ))，称为由f (u )和ϕ (x )构成的复合函数．例3 设y =f (u )=ln u ,u =φ(x )=sin x ，则他们构成的复合函数为y =f (ϕ (x ))=ln sin x ．可见，若给出两个函数y =f (u )和u =ϕ (x )，要求复合函数只须作代入运算即可．但应注意，并非任何两个函数都能构成复合函数．例4 设y =f (u )=ln(u -2),u =ϕ (x )=sin x ，问f (u )和ϕ (x )能否构成复合函数f (ϕ(x ))？ 解 将u =sin x 代入到y =ln(u -2)中，得y =ln(sin x -2)，由于-1≤sin x ≤１，sin x －２＜０，故函数的定义域为空集，所以不能构成复合函数．研究例3、例4可以发现，要使y =f (u )和u =ϕ (x )能够构成复合函数f (ϕ (x ))，关键是要保证代入后的函数式要有意义，或者说要保证u =ϕ (x )的值域全部或部分落在y =f (u )的定义域内，这样，我们得到复合函数的定义．定义2 若y =f (u )的定义域为U ，而u =ϕ (x )的定义域为X ，值域为*U ，且Ｕ∩*U ≠∅，则y 通过变量u 成为x 的函数，称它为由f (u )和ϕ (x )构成的复合函数，记作f (ϕ (x ))．u 称为中间变量．例5 设f (x )ϕ (x )，求复合函数f (ϕ (x ))和ϕ (f (x ))．解 由例2知， f (ϕ (x ))= ϕ (f (x ))=．２． 反函数在研究两个变量的函数关系时，可以根据问题的需要，选定其中一个为自变量，那么另一个就是因变量或函数．例如，在圆面积公式S =πr 2中，圆面积S 是随半径r 的变化而变 化的，或者说任给一个r ＞0，就有唯一确定的S 与之对应，因此S 是r 的一个函数，r 是自变量，S 是因变量．但如果是要由圆面积S 的值来确定半径r ，则可从S =πr 2中解出r ，得rr 是随S 的变化而变化的，或者说，任给一个S ＞0，就有唯一确定的r 与之对应，按函数定义，r 是S 的函数，这时的自变量为S ，而r 为因变量．我们称r为S ＝πr 2的反函数．一般地，设y =f (x )的定义域为X ，值域为Y ＝｛f (x )∣x ∈Ｘ｝，且f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈Ｘ，若x １≠x ２，则f (x １)≠f (x ２)．此时，对任意的y ∈Ｙ，必存在唯一确定的x ∈Ｘ满足y =f (x )，换言之，对Y 中的任何一个y ，通过函数y =f (x )，可以反解出唯一的一个x ，使得y 与这个x 相对应，根据函数定义，x 是y 的函数．这个函数的自变量是y ，因变量是x ，定义域是Y ，值域是X ．称之为y =f (x )的反函数，记为x =f -1(y )．显见，若x =f -1(y )是y =f (x )的反函数，则y =f (x )是x =f -1(y )的反函数，即他们互为反函数．x =f -1(y )的定义域和值域分别是y =f (x )的值域和定义域．并且不难知道f -1(f (x ))=x ,x ∈Ｘ；f (f -1(y ))=y ,y ∈Ｙ．注意到在x =f -1(y )中，y 是自变量，x 是因变量，由于习惯上常用x 作为自变量，y 作为 因变量，因此，反函数x =f -1(y )，y ∈Ｙ常记作y =f -1(x )，x ∈Ｙ．关于反函数还有一些常用结论：(1) y =f (x ),(定义域为X ，值域为Y )存在反函数y =f -1(x )(x ∈Y )的充要条件是对任意的x １，x ２∈X ，若x １≠x ２，则f (x １)≠f (x ２)．(2)若y =f (x )，x ∈X 存在反函数y =f -1(x )，则在同一直角坐标系xOy 中，y =f (x )和y =f -1(x )的函数图形关于直线y =x 对称．这是因为若点P (a ,b )是y =f (x )的函数图形上的点，即b =f (a )，由反函数定义知，a =f -1(b )，因此点Q (b ,a )是y =f -1(x )的函数图形上的点；反之，若点Q (b ,a )是y =f -1(x )的函数图形上的点，则P (a ,b )是y =f (x )的函数图形上的点．因点P (a ,b )与Q (b ,a )关于直线y =x 对称(即直线y =x 垂直平分线段PQ ，故上述结论(2)正确(图1-2)．图1-2例6 求下列函数的反函数：(1) y =2x+1；(2) f (x)= 2101,02x x x -≤+≤≤⎪⎩<, 解 (1)由y =2x +1得2x =y -1，两边取对数得x =lo g 2（y -1)．交换x ,y 的位置，得反函数y =lo g 2(x -1)．(2) 当-1≤x ＜0时，由yx=≤y ＜1．当0≤x ＜2时，由y =x 2+1得x=≤y ＜５．于是，有x=15y y ⎧≤<⎪⎨≤<⎪⎩．交换x ,y 的位置，得反函数y=15x x ⎧≤<⎪⎨≤<⎪⎩五、 函数的基本性质１． 单调性定义3 设函数f (x )在实数集D 上有定义，对任意的x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2，(1)若有f (x 1)≤f (x 2)，则称f (x )在D 内是单调递增的；(2) 若有f (x 1)≥f (x 2)，则称f (x )在D 内是单调递减的；(3) 若有f (x 1)＜f (x 2)，则称f (x )在D 内是严格单调递增的；(4) 若有f (x 1)＞f (x 2)，则称f (x )在D 内是严格单调递减的．当f (x )在区间I 内单调递增(递减)时，又称f (x )是区间I 内的单调递增(递减)函数．单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数，使函数单调递增(递减)的区间称为单调增(减)区间．例如，y =x 3在定义域R 内是单调递增函数：y =x 2在定义域R 内不是单调函数，但(-∞，0)是其单调减区间；(0，+∞)是其单调增区间．易见，若f (x )是(a ,b )内的严格单调函数，则f (x )在(a ,b )内存在反函数y =f -1(x )．这是因为对任意的x 1，x 2∈(a ,b )，若x 1≠x 2，则因f (x )严格单调，必有f (x 1)≠f (x 2)，故存在反函数．２． 奇偶性定义4 设函数f (x )的定义域D (f )关于原点对称(即若x ∈D ，则-x ∈D ），对于任意的x ∈D ，(1)若有f (-x )=-f (x )，则称f (x )为D 内的奇函数；(2) 若有f (-x )=f (x )，则称f (x )为D 内的偶函数．从定义4知，奇函数的图形关于原点对称，而偶函数的图形关于y 轴对称，如图1-3(a)与(b)所示．例如，y =x 2k +1（k 为整数)为奇函数，y =x 2k （k 为整数)为偶函数．y =sin x 是奇函数，y =cos x 是偶函数，y =C (C 为非零常数)是偶函数，y =0既是奇函数也是偶函数，y =x 2+x 既不是奇函数也不是偶函数．图1-3例7判断下列函数的奇偶性：(1)()ln(f x x =+; (2) 2e e ()2x xg x x -+= ．解 (1) f (-x )=ln(-x +=-ln(x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2) g (-x )=(-x )2·()e e 2x x ---+＝2e e 2x x x -+ =g (x )， 所以g (x )是偶函数．３． 有界性定义5 设函数f (x )在实数集D 内有定义，如果存在正数M ，使得对任意的x ∈D ，都有∣f (x )∣≤Ｍ成立，则称f (x )在D 内有界，或称f (x )在D 内为有界函数，否则称f (x )在D 内无界，或称f (x )在D 内为无界函数．定义6 设函数f (x )在实数集D 内有定义，若存在数A ，使得对任意的x ∈D ，都有f (x )≤A (或f (x )≥A )成立，则称f (x )在D 内有上界(或有下界)，也称f (x )是D 内有上界(或有下界)的函数．A 称为f (x )在D 内的一个上界(下界)．显然，有界函数必有上界和下界；反之，既有上界又有下界的函数必是有界函数，即函数在D 内有界的充要条件是该函数在D 内既有上界又有下界。

函数y f ( x)的图形.
微积分
函数-函数概念
几个特殊的函数举例
y
(1) 符号函数
1 当x 0
y

sgn
x


0
当x 0
1 当x 0
1
o
x
-1
x sgn x x
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数
y 24 13
阶梯曲线
-4 -3 -2 -1 o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
例如， y 1 x2 D : [1,1]
例如， y 1 1 x2
D : (1,1)
微积分
函数-函数概念
如果自变量在定 义域内任取一个数值 时，对应的函数值总 是只有一个，这种函 数叫做单值函数，否 则叫与多值函数．
例如，x2 y2 a2．
y
W y o
(x, y)
x
x
D
定义: 点集C {( x, y) y f ( x), x D} 称为
3
微积分
函数-集合
空 Ｕ( a , δ)={ x | 0<|x-a|< δ}
心 邻
={ x | a- δ <x<a 或 a<x<a+δ}
域
=(a- δ, a)U(a , a+ δ)
称为点a的δ空心邻域。
a- δ
a
a+ δ
x
例：
U(2,1)={x|0<|x-2|<1}={x|1<x<2或2<x<3 }
=( 1,2)U(2,3)
1 δ=1 2 δ=1 3

1 n
任给 0,
要 xn 1 ,
只要 1 , n
或n 1 ,
所以, 取N [1],
任意n N
均有 n (1)n1 1 1
n
n
即lim n (1)n1 1.
n
n
例2
证明
lim
n
1 2n
0.
证
xn
0
1 2n
任给 0, （不妨设<1）
要 xn 0 ,
只须 1 2n
{2n }
3, 3 3,, 3 3 3 ,
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,. 2.数列是整标函数 xn f (n).
三、数列的极限
观察数列 {1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
播播放放
问题: 当 n 无限增大时, xn有什么特点?
例5 证明数列xn (1)n1是发散的.
五、数列收敛准则
设{xn}为一数列,对任意n， 如果xn xn1，则称数列{xn}为单调增数列； 如果xn xn1，则称数列{xn}为单调减数列。
统称为单调数列
1、单调有界准则：
单调增加且有上界的数列必收敛
单调减少且有下界的数列必收敛
单调有界
数列收敛
基本初等函数
i、幂函数 y x (是常数)
ii、指数函数 y a x (a 0, a 1)
iii、对数函数 y loga x iv、三角函数 y sin x
y tan x
(a 0, a 1) y cos x y cot x
v、反三角函数
y arcsin x y arccos x
1 ln 1 x . 2 1 x

例 : 判断下列函数是否为周 期函数, 若是求其周期. T (1)f ( x ) sin(2x 3); ( 2)f ( x ) x cos x; ( 3)f ( x ) sin2 x; (4)f ( x ) 1 sin 2x .
T
T 2
4．函数的有界性:
定义1.4 : 若X D, M 0, x X, 有 f (x) M 成立,
则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界.
y y
M
y=f(x) o -M x
M
x0
o
-M
有界 X
X
x
无界
M f ( x) M
定义1.5 : 设f ( x)在集合D内有定义, 若数A(或B ), 使x D, 都有f ( x) A(或f ( x) B ), 则称A为f ( x) 在D内的一个上界, B称为f ( x)在D内的一个下界.
不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
元素 a 属于集合 M , 记作 a M .
元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) .
2/27
表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . 例1 有限集合 A a1 , a2 , , an (2) 描述法： x x 所具有的特征 M
11/27
(2) 复合映射
定义 设有映射 x D
g
f
u g ( x ) g ( D)
则当 g ( D) D1 时, 由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复 合映射 , 记作 或 f g ( x), x D.
u D1
g (D)
注意: 构成复合映射的条件 g ( D) D1 不可少.