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17分部积分法、几种特殊类型函数的积分第课课题分部积分法、几种特殊类型函数的积分课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）能熟练地利用分部积分法计算不定积分。
（2）掌握化有理函数为部分分式的方法，并会计算较简单的有理分式函数的积分、三角有理式的积分和无理式的积分。
思政育人目标：通过学习不定积分的分部积分法和几种特殊类型函数的积分，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯。
教学重难点教学重点：分部积分法的相关定理教学难点：用分部积分法计算不定积分，化有理函数为部分分式教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（23 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）⏹【教师】清点上课人数，记录好考勤⏹【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（23 min）⏹【教师】讲解分部积分法，并通过例题介绍其应用定理1 设函数()u u x=，()v v x=具有连续的导数，则d du v uv v u=-⎰⎰．证明由微分公式d()d duv u v v u=+两边积分得d duv u v v u=+⎰⎰，移项后得d du v uv v u=-⎰⎰．学习分部积分法，及其应用。
边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化第课分部积分法、几种特殊类型函数的积分172我们把公式d du v uv v u=-⎰⎰或d duv x uv u v x''=-⎰⎰称为分部积分公式．例1求ln d x x⎰．解令lnu x=，v x=，由分部积分公式，可得ln d ln dln ln d lnx x x x x x x x x x x x C=-=-=-+⎰⎰⎰．例2求arctan d x x⎰．解令arctanu x=，v x=，由分部积分公式，可得arctan d arctan darctanx x x x x x=-⎰⎰2arctan d1xx x xx=-+⎰2211arctan d(1)21x x xx=-++⎰21arctan ln(1)2x x x C=-++．例3求cos dx x x⎰．解令u x=，cos d dx x v=，即sinv x=，则cos d dsin sin sin d sin cosx x x x x x x x x x x x C ==-=++⎰⎰⎰例4 求e d xx x⎰．解令u x=，e d dx x v=，e xv=，则e d de e e d e ex x x x x xx x x x x x C==-=-+⎰⎰⎰．例5 求2e d xx x⎰．解222e d e2e d e2dex x x x xx x x x x x x=-=-⎰⎰⎰17分部积分法、几种特殊类型函数的积分 第 课32e 2(e e )x x x x x C =--+ 2e (22)x x x C =-++．结论 当被积函数是幂函数与正（余）弦或指数函数的乘积时，可将幂函数设为u ，正（余）弦或指数函数设为v ． 例6 求ln d x x x ⎰．解222111ln d ln d ln d 22x x x x x x x x x x ⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2211ln 22x x x C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2211ln 24x x x C =-+． 例7 求arctan d x x x ⎰．解 2arctan d arctan d 2x x x x x =⎰⎰221arctan darctan 22x x x x =-⎰22211arctan d 221x x x x x =-⋅+⎰2221111arctan d 221x x x x x +-=-+⎰22111arctan 1d 221x x x x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭⎰ 2111arctan arctan 222x x x x C =+-+． 结论 当被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时，可将对数函数或反三角函数设为u ，幂函数设为v ． 例8 求e sin d x x x ⎰．第课分部积分法、几种特殊类型函数的积分174解法一e sin d sin de e sin e cos dx x x xx x x x x x==-⎰⎰⎰e sin cos dex xx x=-⎰e sin e cos e sin dx x xx x x x=--⎰，所以1e sin d e(sin cos)2x xx x x x C=-+⎰．解法二e sin d e d(cos)e(cos)cos d(e)x x x xx x x x x=-=-+⎰⎰⎰e cos e cos d e cos e dsinx x x xx x x x x=-+=-+⎰⎰e cos e sin sin dex x xx x x=-+-⎰e cos e sin e sin dx x xx x x x=-+-⎰，所以1e sin d e(sin cos)2x xx x x x C=-+⎰．例9 求e d x x⎰．解令t x=，则2x t=，d2dx t t=．e d2e d2de2e2e dx t t t tx t t t t t===-⎰⎰⎰⎰2e2e2e2et t x xt C x C=-+=-+．⏹【学生】掌握分部积分法的应用问题讨论（10 min）⏹【教师】组织学生讨论以下问题1．可以用分部积分法的类型有哪些？2．对于各种不同类型的积分，如何选择u，v？通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解17分部积分法、几种特殊类型函数的积分 第 课53．举例说明循环法适用的不定积分的类型．⏹ 【学生】讨论、发言课堂测验 （10 min ）⏹ 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况⏹ 【学生】做测试题目⏹ 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程⏹ 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解 （20 min ）⏹ 【教师】讲解有理函数的积分，并通过例题介绍其应用形如10111011()()n n n n nm m m m mP x a x a x a x a Q x b x b x b x b ----++++=++++的函数称为有理函数，其中m 和n 都是非负整数；012n a a a a ，，，，及012m b b b b ，，，，都是实数，并且0000a b ≠≠，．当n m <时，称这个有理函数为真分式；当nm 时，称这个有理函数为假分式．假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式．例如，322221(1)11111x x x x x x x x ++++==++++． 求真分式的不定积分时，如果分母可因式分解，则先因式分解，然后化成部分分式再积分． 例1 求23d 56x x x x +-+⎰．解 设23356(2)(3)23x x A Bx x x x x x ++==+-+----，则(3)(2)()323A x B x A B x A B x -+-=+--=+，学习有理函数和三角函数有理式的积分。
特殊类型函数的积分法
特殊类型函数的积分法是数学中计算积分的一种常用方法。
由于它可以求出各种形状的函数的定积分，积分法用于求解各种类型函数的积分有着广泛的应用。
下面我们就来讨论特殊类型函数的积分法。
其中，多项式函数是最常用的特殊类型函数之一，以一元n次多项式函数为例，当n≥0时，函数的积分可以用分好多项式来表示：$\int{{{x}^{n}dx}}={\frac{{{x}^{n+1}}}{{n+1}}}+c$
而另一种特殊类型函数为指数函数，函数的积分可用如下形式表示：$\int{{e}^{kx}dx}={e}^{kx}/k+c$
又如，x的高次幂函数在求积分时，可使用以下形式进行：
$\int{{{x}^{n}dx}}={\frac{{{x}^{n+1}}}{{n+1}}}+c$
另外，对正弦函数和余项函数（cos（x），tg（x））的积分也同
样采用三角函数的基本定理：
$\int{{sinxdx=}-cosx+c}$
$\int{{cosxdx=}sinx+c}$
$\int{{tgxdx=}-ln\left|cosx\right|+c}$
以上就是特殊类型函数的积分，可以看出，对于不同形式的特殊类型函数，采用不同的积分法来求解。
特殊类型函数的积分属于一类规律性的积分，熟练掌握这些方法，可以快速准确地完成特殊类型函数的积分求解。
