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习题1-1（A ）1． 用集合描述法表示下列集合： （1） 所有非负实数组成的集合；（2） 圆221x y +=外部（不包括圆周）一切点组成的集合； （3） 双曲线222-1x y =与直线y x =交点组成的集合； （4） 抛物线线222y x x =+-与直线y x =交点组成的集合． 解：（1） {|0};x x ≥ （2）22{(,)|1};x y x y +>（3） 22{(,)|21,};x y x y y x -== （4）2{(,)|22,}.x y y x x y x =+-= 2． 用集合列举法表示下列集合：（1）双曲线2221x y -=与直线y x =-交点组成的集合； （2）抛物线221y x x =+-与直线1y x =+交点组成的集合；（3）椭圆2214x y +=与直线y x =交点组成的集合． 解：（1） {(1,1),(1,1)};-- （2）{(1,2),(2,1)};--（3） 3． 设I={1,2,3,4,5,6,7},A={1,2,4,6},B={3,4,5},C={2,3,7}，求下列集合：（1）A B ； （2）A B ； （3）A \B ； （4）AB C ； （5）A B C ； （6）cc A B .解：（1） {1,2,3,4,5,6}； （2）{4}；（3） {1,2,6}； （4） {1,2,3,4,5,6,7}； （5）φ ； （6） {7}.4． 用区间表示满足下列不等式的所有x 的集合：（1）|4|2x -≤； （2）|4|2x ->.解：（1）由|4|2x -≤可得26,x ≤≤ 故所求区间为[2,6]；（2）由|4|2x ->可得2x <或6,x > 故所求区间为(,2)(6,)-∞+∞.5． 求下列函数的定义域： （1）x y e =； （2）y = （3）x x y --+=21； （4）y =解：（1）由10x ->可得1,x > 故所求函数定义域为(1,)+∞；（2）由2ln(1x x +-≥)0有211x x +-≥，解得01,x ≤≤ 故所求函数定义域为[0,1]；（3）由1020x x +≥⎧⎨-≥⎩，，有12x -≤≤故所求函数定义域为[-1,2]；（4）由101xx+>-有11x -<<故所求函数定义域为(-1,1). 6． 设函数2(1)2f x x x -=+，求()f x .解：由2(1)2(1)5(1)3f x x x -=-+-+，得2()253f x x x =++.7．设函数2,11,()1x x f x x ⎧-≤≤⎪=>，求(2)f -, (0).f解：2(2)(0)00.f f -==== 8． 下列各题中，各组函数是否为同一函数？为什么？（1）()||f x x =与()g x ； （2）2()x f x x=与()g x x =；（3）()f x x =与ln ()xg x e=； （4））()f x =与()g x =解：（1||x =恒成立；（2）不相同，因为()f x 定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞，而()g x 定义域为(,)-∞+∞; （3）不相同，因为()f x 定义域为(,)-∞+∞，而()g x 定义域为(0,)+∞; （4）不相同，因为()f x 定义域为(3,)+∞，而()g x 定义域为(,1)(3,)-∞-⋃+∞. 9．判断下列函数的奇偶性：（1）()(0)xxf x a a a -=+>； （2）1()ln 1xf x x+=-. 解：（1）偶函数，因为()()xx f x a a f x --=+=；（2）奇函数，因为11()lnln ()11x xf x f x x x-+-==-=-+-. 10．设()f x 和()g x 是定义在),(l l -上的两个奇函数，()h x 和()q x 是定义在),(l l -上的两个偶函数，证明（1）()()f x g x +是奇函数，()()h x q x +是偶函数；（2）()()f x g x 与()()h x q x 均是偶函数，()()f x h x 是奇函数.证：按照奇函数和偶函数定义证明即可.下面仅以()()f x h x 是奇函数为例进行证明，其余情况类似.由题意可知()(),()()f x f x h x h x -=--=，进而()()()()f x h x f x h x --=-， 故()()f x h x 是定义在),(l l -上的奇函数.习题1—1（B ）1．已知函数()f x 的定义域为(0,1)，求函数1(||),(2),()1f x f x f x --的定义域. 解：由函数()f x 的定义域为(0,1)，可知0||1x <<，解得10x -<<或01x <<，所以(||)f x 的定义域为(1,0)(0,1)-⋃；由函数()f x 的定义域为(0,1)，可知021x <-<，解得23x <<，所以(2)f x -的定义域为(2,3); 由函数()f x 的定义域为(0,1)，可知1011x <<-，解得2x >，所以1()1f x -的定义域为(2,)+∞. 2．若对任何实数y x ,，恒有()()()f x y f x f y +=+，且(2)4f =，求(1)f . 解：在恒等式中，令1x y ==，则有4(2)(1)(1)2(1)f f f f ==+=, 进而(1)2f =. 3．若对任何实数y x ,，恒有()()()f x y f x f y +=，且(1)4f =，求(2)f . 解：在恒等式中，令1x y ==，则有(2)(1)(1)4416f f f ==⨯=. 4．设对任意的x ，有2()2(1)1f x f x x +-=-，求()f x .解：由已知2()2(1)1f x f x x +-=-，可得22(1)2()(1)12f x f x x x x -+=--=-，求解方程组22()2(1)1(1)2()2f x f x x f x f x x x⎧+-=-⎪⎨-+=-⎪⎩，解得2141()333f x x x =-+. 5．证明函数)1lg()(2x x x f ++=是定义在),(∞-∞上的奇函数.证：)1lg()(2x x x f ++=定义域为),(∞-∞，并且()lg()lgf x x x -=-==)()x f x =-=-，因此，函数)1lg()(2x x x f ++=是定义在),(∞-∞内的奇函数.习题1-2（A ）1. 求下列函数的定义域：（1）2ln 1x y x =-； （2）22log (4)sin x y x x =+-； （3）arcsin(21)y x =+； （4）21arctan1x y x +=-； （5）1arccosx y -=； （6）arcsin(1)ln(1)y x x =-++. 解：（1）由201x x >-, 可得1,x > 故所求函数定义域为(1,)+∞； （2）由sin 040x x ≠⎧⎨->⎩，，可得4,x >23...x k k π≠=且，，.故所求函数定义域为{|4,23...}x x x k k π>≠=且，，；（3）由1211x -≤+≤, 可得10x -≤≤， 故所求函数定义域为[1,0]-；（4）由210x -≠, 可得1x ≠±， 故所求函数定义域为(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞；（5）由1112||20x x -⎧-≤≤⎪⎨⎪->⎩，，可得23x <≤， 故所求函数定义域为(2,3]； （6）由11110x x -≤-≤⎧⎨+>⎩，，可得02x ≤≤， 故所求函数定义域为[0,2].2．判断下列函数的奇偶性：（1）()f x =（2）()tan cos f x x x x =+.解：（1）奇函数，因为()()f x f x -===-；（2）偶函数，因为()()tan()cos()tan cos ()f x x x x x x x f x -=--+-=+=. 3．在下列函数中哪些是周期函数？如果是周期函数，指出其最小正周期. （1）sin(35)y x =+； （2）tan(24)y x =+； （3）2sin y x =； （4）1cos5y x =+.解：（1）周期函数，最小正周期为23T π=； （2）周期函数，最小正周期为4T π=；（3）不是周期函数；（4）周期函数，最小正周期为25T π=. 4．下列各题中，各组函数是否为同一函数？为什么？（1）()1f x =与2()2cos cos 2g x x x =-； （2）()1f x =与22()sec tan g x x x =-. 解：（1）相同，因为22cos cos 21x x -=恒成立；（2）不相同，因为()f x 定义域为(,)-∞+∞，而()g x 定义域为{|,}2x x k k N ππ≠+∈.5. 证明下列恒等式：（1） 22tan 1sec ;x x += （2）22cot 1csc .x x +=证：对于上述三角函数有意义的x 值，有（1）22222222sin sin cos 1tan 11sec cos cos cos x x x x x x x x++=+===； （2）22222222cos sin cos 1cot 11csc sin sin sin x x x x x x x x++=+===.习题1-2（B ）1．若函数)(x f 的定义域为]1,0[，求函数1()(2)(23)x f f x f x x -+++，的定义域. 解：由函数()f x 的定义域为[0,1]，可知101x x -≤≤，解得1x ≥，所以1()x f x-的定义域为[1,)+∞；由函数()f x 的定义域为[0,1]，可知0210231x x ≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，解得 1.51x -≤≤-，所以(2)(23)f x f x +++的定义域为[ 1.5,1]--.2．若)(x f 是定义在),(+∞-∞上的函数，证明()()()F x f x f x =+-是偶函数，()()()H x f x f x =-- 是奇函数.证：由()()()()F x f x f x F x -=-+=，可知()()()F x f x f x =+-是偶函数；由()()()(()())()H x f x f x f x f x H x -=--=---=-，可知()()()H x f x f x =-- 是奇函数. 3. 定义在(,)(0)a a a ->上的任何一个函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和，并且表示法唯一.证：不妨设()f x 为定义在(,)(0)a a a ->上的一个函数，令 ()()()2f x f x F x +-=，()()()2f x f x G x --=，由于()()()()2f x f x F x F x -+-==，因此()F x 是定义在(,)(0)a a a ->上的偶函数；由于()()()()2f x f x G x G x ---==-，因此()G x 是定义在(,)(0)a a a ->上的奇函数，并且易知()()()f x F x G x =+,也就是说定义在(,)(0)a a a ->上的任何一个函数都可以表示成奇函数和偶函数之和形式.假设()()()f x P x Q x =+，其中()P x 为偶函数，()Q x 为奇函数. 由()()()f x F x G x =+，可得()()()()F x P x Q x G x -=-。
第一章习题1-11.用区间表示下列不等式的解2(1)9;(2)1;1(3)(1)(2)0;(4)00.011 x x x x x ≤>--+<<<+解 (1)原不等式可化为(3)(3)0x x -+≤,其解为33x -≤≤,用区间表示是[-3,3].(2)原不等式可化为11x ->或11x -<-,其解为2x >或0x <,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞).(3)原不等式的解为21x -<<,用区间表示是(-2,1). (4)原不等式可化为0.0110.0110x x -<+<⎧⎨+≠⎩即 1.010.991x x -<<-⎧⎨≠⎩用区间表示是(-1.01,-1)∪(-1,-0.99). 2.用区间表示下列函数的定义域: 1(1)(2)arcsin(1)lg(lg );1(3).ln(2)y y x x xy x =-=-+=-解 (1)要使函数有意义,必须2010x x ≠⎧⎨-≥⎩即011x x ≠⎧⎨-≤≤⎩所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,1].(2)要使函数有意义,必须111lg 00x x x -≤-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩即0210x x x ≤≤⎧⎪>⎨⎪>⎩所以函数的定义域是12x <≤,用区间表示就是(1,2].(3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ⎧--≥⎪-≠⎨⎪->⎩即6112x x x -≤≤⎧⎪≠⎨⎪<⎩所以函数的定义域是-6≤x <1,用区间表示就是[-6,1).3.确定下列函数的定义域及求函数值f (0),ff (a )(a 为实数),并作出图形(1)1,0,2,011,12x x y x x x ⎧<⎪⎪=⎨≤<⎪⎪<≤⎩； (2)y＝211,12x x x ⎧≤⎪⎨-<<⎪⎩解 (1)函数的定义域(){|0}{|01}{|12}{|112}(,1)(1,2]或D f x x x x x x x x x =<≤<<≤=<<≤=-∞10(0)200,1,()201112a a f ff a aa a ⎧<⎪⎪=⨯===⎨≤<⎪⎪<≤⎩,图1-1 图1-2(2)函数的定义域(){|1}{|12}{|2}(2,2)D f x x x x x x =≤<<=<=-221(0)1,11,()112a f ff a a a ≤===-==-<<⎪⎩4.设1,1()1,1x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩,求f (f (x )).解 当|x |≤1时, f (x )=1, f (f (x ))= f (1)=1;当|x |>1时, f (x )=-1, f (f (x ))= f (-1)=1, 综上所述f (f (x ))=1(x ∈R ).5.判定下列函数的奇偶性： (1) f (x )＝21cos xx-； (2)f (x )＝(x 2＋x )sin x ；(3)f (x )＝1e ,0e 1,0x x x x -⎧-≤⎨->⎩解 (1) ∵221()1()()cos()cos x xf x f x x x----===-∴f (x )是偶函数.(2)∵222()[()()]sin()()(sin )()sin ()f x x x x x x x x x x f x -=-+--=--=--≠ 且()()f x f x -≠-, ∴f (x )是非奇非偶函数.(3)当x <0时,-x >0, ()1(1)()e e x x f x f x ---=-=--=-; 当x ≥0时,-x ≤0, ()()11(1)()e e e x x x f x f x ---=-=-=--=-,综上所述, x ∀∈R ,有f (-x )=-f (x ),所以f (x )是奇函数.6.设f (x )在区间(-l ,l )内有定义,试证明：(1) f (-x )+f (x )为偶函数； (2) f (-x ) -f (x )为奇函数. 证 (1)令()()()F x f x f x =-+(,)x l l ∀∈-有()[()]()()()()F x f x f x f x f x F x -=--+-=+-=所以()()()F x f x f x =-+是偶函数;(2)令()()()F x f x f x =--,(,)x l l ∀∈-有()[()]()()()[()()]()F x f x f x f x f x f x f x F x -=----=--=---=-所以()()()F x f x f x =--是奇函数.7. 试证：(1) 两个偶函数的代数和仍为偶函数； (2) 奇函数与偶函数的积是奇函数. 证 (1)设f (x ),g (x )均为偶函数,令()()()F x f x g x =± 则 ()()()()()(F x f x g x f x g x F x-=-±-=±=, 所以()()f x g x ±是偶函数,即两个偶函数的代数和仍为偶函数.(2)设f (x )为奇函数,g (x )为偶函数,令()()()F x f x g x =⋅, 则 ()()()()()(F x f x g x f x g x F x -=-⋅-=-=-, 所以()()f x g x ⋅是奇函数,即奇函数与偶函数之积是奇函数. 8. 求下列函数的反函数:22(1)2sin 3;(2);212101,(3)()2(2)1 2. xxy x y x x f x x x ==+-≤≤⎧=⎨--<≤⎩解 (1)由2sin 3y x =得1arcsin 32y x =所以函数2sin 3y x =的反函数为1arcsin(22)32x y x =-≤≤.(2)由221xxy =+得21x y y=-,即2log 1y x y=-.所以函数221xx y =+的反函数为2log (01)1x y x x =<<-.(3)当01x ≤≤时,由21y x =-得1,112y x y +=-≤≤;当12x <≤时,由22(2)y x =--得22x y =-<≤;于是有1112212y y x y +⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩,所以函数22101()2(2)12x x f x x x -≤≤⎧=⎨--<≤⎩的反函数是1112()212x x f x x +⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩.9. 将y 表示成x 的函数,并求定义域:222(1)10,1;(2)ln ,2,sin ;(3)arctan ,().为实数u vy u x y u u v x y u u v a x a ==+======+解 (1)211010u x y +==,定义域为(-∞,+∞);(2) sin ln ln 2ln 2sin ln 2vxy u x ====⋅定义域为(-∞,+∞);(3) arctan arctan arctan y u ===(a 为实数),定义域为(-∞,+∞).习题1-21.下列初等函数是由哪些基本初等函数复合而成的? (1) y=(2) y =sin 3ln x ;(3) y = tan 2xa； (4) y =ln ［ln 2(ln 3x )］.解 (1)令arcsin x u a =,则y =再令xv a =,则arcsin u v =,因此y =是由基本初等函数arcsin ,xy u v v a ===复合而成的.(2)令sin ln u x =,则3y u =,再令ln v x =,则sin u v =.因此3sin ln y x =是由基本初等函数3,sin ,ln y u u v v x ===复合而成.(3)令2tan u x =,则u y a =,再令2v x =,则tan u v =,因此2t a n x y a =是由基本初等函数2,tan ,uy a u v v x ===复合而成.(4)令23ln (ln )u x =,则ln y u =,再令3ln(ln )v x =则2u v =,再令3ln w x =,则ln v w =,再令ln t x =,则3w t =,因此23ln[ln (ln )]y x =是由基本初等函数2ln ,,ln ,y u u v v w ===3,ln w t t x ==复合而成.2.设f (x )的定义域为［0,1］,分别求下列函数的定义域： (1) f (x 2)； (2) f (sin x ); (3) f (x +a ),(a ＞0)； (4) f (e x +1).解 (1)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤x 2≤1,于是-1≤x ≤1,所以f (x 2)的定义域为[-1,1].(2)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤sin x ≤1,于是2k π≤x ≤(2k +1)π,k ∈z ,所以f (sin x )的定义域为[2k π,(2k +1) π], k ∈Z .(3)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤x+a ≤1即-a ≤x ≤1-a 所以f (x+a )的定义域为[-a ,1-a ]. (4)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤e x +1≤1,解此不等式得x ≤-1,所以f (e x +1)的定义域为(-∞,-1]. 3. 求下列函数的表达式：(1) 设ϕ(sin x )=cos 2x +sin x +5,求ϕ(x ); (2) 设g (x -1)=x 2+x +1,求g (x ); (3) 设1()f x x +=x 2+21x,求f (x ).解 (1)法一:令sin t x =,则222cos 1sin 1x x t =-=-,代入函数式,得:22()156t t t t t ϕ=-++=+-,即 2()6x x x ϕ=++.法二:将函数的表达式变形得:22(sin )(1sin )sin 56sin sin x x x x x ϕ=-++=+-令sin t x =,得 2()6t t t ϕ=+-,即 2()6x x x ϕ=+-.(2)法一:令1t x =-,则1x t =+,将其代入函数式,得22()(1)(1)133g t t t t t =++++=++即 2()33g x x x =++.法二:将函数表达式变形,得22(1)(21)(33)3(1)3(1)3g x x x x x x -=-++-+=-+-+令1x t -=,得 2()33g t t t =++, 即 2()33g x x x =++.(3)法一:令1x t x+=,两边平方得22212x t x++=即22212x t x+=-,将其代入函数式,得2()2f t t =-,即2()2f x x =-.法二:将函数表达式变形,得222111222f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令1x t x+=,得2()2f t t =-,即2()2f x x =-.4.设f (x )为奇函数,证明：若f (x )在x =0有定义,则f (0)=0.证 ∵f (x )为奇函数,且f (x )在x =0处有定义,∴ (0)(0)f f -=-又(0)(0)f f -=于是(0)(0)f f =- 即2(0)0,(0)0f f =∴=.5.证明：狄利克雷函数是周期函数,任何一个正有理数均是它的周期,但无最小正周期. 证 狄利克雷函数1,,()0,当为有理数时当为无理数时.x D x x ⎧=⎨⎩设T 是任一正有理数, x ∀∈R ,当x 为有理数时,x+T 为有理数,于是()1D x T +=,又()1D x =,所以()()D x T D x +=; 当x 为无理数时,x+T 为无理数,于是()0D x T +=,又()0D x =,所以()()D x T D x +=. 综上所述, x ∀∈R 有()()D x T D x +=,所以()D x 是周期函数,任何一个正有理数均是它的周期,又设P 是任一无理数, x P ∃=-∈R ,使()(0)1D x P P +==,而()0D x =,故()()D x P D x +≠,即无理数不是()D x 的周期;因为不存在最小的正有理数,所以()D x 无最小正周期.习题1-31.设销售商品的总收入是销售量x 的二次函数,已知x =0,2,4时,总收入分别是0,6,8,试确定总收入函数TR(x ).解 设2()TR x ax bx c =++,由已知(0)0,(2)6,(4)8TR TR TR === 即 04261648c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得 1240a b c ⎧=-⎪⎪⎨=⎪⎪=⎩所以总收入函数21()42TR x x x =-+.2.设某厂生产某种产品1000吨,定价为130元/吨,当一次售出700吨以内时,按原价出售；若一次成交超过700吨时,超过700吨的部分按原价的9折出售,试将总收入表示成销售量的函数.解 设销售量为x ,实际每吨售价为P 元,由题设可得P 与x 间函数关系为1307001177001000x P x ≤⎧=⎨<≤⎩,总收入 130700()130700(700)1177001000TR x x x x x ≤⎧=⎨⨯+-⨯<≤⎩,即 130700()91001177001000TR x x x xx ≤⎧=⎨+<≤⎩.3. 已知需求函数为105Q P =-,成本函数为C =50+2Q ,P 、Q 分别表示价格和销售量.写出利润L 与销售量Q 的关系,并求平均利润.解 由题设知总收入2()105QR Q PQ Q ==-,则总利润 ()221()()()8505021055Q L Q R Q C Q Q Q Q Q ⎛⎫=-=-=--+- ⎪⎝⎭, 平均利润 ()150()85L Q AL Q Q QQ==--.4. 已知需求函数Q d 和供给函数Q s ,分别为Q d =100233P -,Q s =-20+10P ,求相应的市场均衡价格.解 当d s Q Q =时供需平衡,由d s Q Q =得1002201033P P -=-+,解得5P =所以市场均衡价格5P =.。
导数教案导数是近代数学中微积分的核心概念之一，是一种思想方法，这种思想方法是人类智慧的骄傲.一、教材分析导数的概念是高中新教材人教A版选修1-1第三章3的内容,是在学生学习了平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。
新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。
问题1气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率问题2高台跳水的平均速度--→瞬时速度根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点二、教学目标1、知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。
2、过程与方法：①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从非凡到一般的数学思想方法3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生把握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的爱好.三、重点、难点重点：导数概念的形成，导数内涵的理解难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点四、教学设想（具体如下表）教学环节教学内容师生互动设计思路创设情境引入新课幻灯片这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？首先回顾上节课留下的思考题：在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。
为什么会产生这样的情况呢？引起学生的好奇，意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。
