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微积分_(中国人民大学出版社)

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关于人大版《微积分》教材的几点建议

关于人大版《微积分》教材的几点建议

关于人大版《微积分》教材的几点建议作者：苏倩倩来源：《新校园·上旬刊》2014年第02期摘要：微积分是大学课程的一门基础课程，也是高等数学的核心内容。

中国人民大学出版社出版的赵树嫄老师主编的《微积分》是一本实用性强、难易程度适中的教材，非常适合财经类学生使用。

但教材中存在一些不严谨的地方和一些明显的印刷错误。

本文就人大版教材中存在的这些问题给予指正。

关键词：《微积分》；高等数学；教材中国人民大学出版社出版的赵树嫄老师主编的《微积分》教材历时久远、使用广泛，深受广大读者的欢迎，是教育部推荐教材，也是很多读者的选择。

直至目前，它仍保持很大的年度发行量。

虽然经过了两次修订，但书中仍有若干叙述不严谨的知识没有得到及时修改。

本文将这些内容一一指出，仅供编者修订时参考。

1.（62页）定理2.4的证明过程中“取M=|A|+1”不完全正确答：因为本书讲解了两种变量f(n)和f(x)，在三种变化过程中，即f(n)在n→∞时及f(x)在x→∞或x→x0时的极限问题。

对于第一种情况本定理的证明过程中取M=|A|+1不完全正确，而对于第二种和第三种情况，函数f(x)是局部有界的。

下面我们给出这三种情况的详细证明过程。

（1）若[lim][n→∞]yn=A，则对于ε=1>0，存在一个正整数N，当n>N时，有|yn-A|N项才成立），取M=max{|y1|，|y2|…，|yN|，|A|+1}，则恒有|yn|（2）若[lim][n→∞]f(x)=A，则取M=|A|+1，对于ε=1>0，存在B>0，当|x|>B时，有|f(x)-A|（3）若[lim][n→∞]f(x)=A，则取M=|A|+1，对于ε=1>0，存在δ>0，当02.（80页）“等价无穷小代换，只能用于乘除运算，对加减…….”可以改为“等价无穷小代换，只能用于乘除运算和幂运算，对加减……”3.（109页）“f′(0)=[lim][x→0+]，f(0)=[lim][x→0+]”中“x→0+”应改为“Δx→0+”“x→0-”应改为“Δx→0-”。

《微积分(第四版)》第一章 函数

《微积分(第四版)》第一章 函数

分配律： A ( B C ) ( A B ) ( A C ) A ( B C ) ( A B ) ( A C )
对偶律： ABA B
A BAB
.
17
例1 证明对偶律 ABA B.
证明 设xAB，则xAB，
即 x A 且 x B ， 于 是 x A 且 x B ，
因 此xA B，所 以 A B A B；
xA B
所 以 A BA B。
.
19
例2 证明 ABA B.
U
证明 对 任 意 的 x A B
A
x A 且 x B B
x A 且 x B
xA B
所 以 A BA B 。
.
20
例3 证明吸收律 A (AB )A.
证明 A(A B) (A U ) (A B ) A(UB) A U
A.
反 之 ， 若 x A B， 即 xA且 xB， 也 即 x A 且 x B ， 于 是 x A B，
从 而xAB，所 以 A B A B。
综 上 所 述 ， A B A B 。
.
18
例1 证明对偶律 ABA B.
或证 对 任 意 的 xAB
xAB x A 且 x B
x A 且 x B
1、并集 A B {x |x A 或 x B }
U
A
B
例如，A{1,2,3}, B{3,4,5}, 则 A B {1 ,2 ,3 ,4 ,5 }
基本性质： A A B ,B A B
A A ,A U U ,A A A
.
13
2、交集 A B {x |x A 且 x B }
.
4
第一章 函 数
.
5
第一节 集合

《高等数学B-微积分一》本科教学大纲

《高等数学B-微积分一》本科教学大纲

《高等数学B-微积分(一)》本科教学大纲课程编号：上海立信会计金融学院《高等数学B—微积分(一)》课程教学大纲一、课程基本信息课程名称：高等数学B-微积分(一)英文名称：Advanced Mathematics (B)-Calculus Ⅰ课程编号：课程类别：长学段-专业必修课预修课程：初等数学开设部门：统计与数学学院适用专业：经管类专业（本科）学分：4总课时：60学时其中理论课时：60学时，实践课时：0学时二、课程性质、目的微积分是经济管理类本科专业的学科专业课。

本课程的教学目的是使学生掌握经济管理学科所需的微积分基础知识，学会应用变量数学的方法分析研究经济现象中的数量关系，同时通过本课程的教学，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，为后继课程的学习和将来进一步的专业发展打好扎实必要的数学基础。

思政元素融入课程，引导学生树立正确的科学观，培养学生科学理性思维能力、创新思维能力、独立思考能力，解决实际问题能力，培养探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感；引导学生树立正确的人生观和价值观，了解数学发展史和数学文化，提升数学素养、弘扬中华文明、培养民族文化自信，以精神文明为切入点，科学育人、文化育人。

在大纲中，概念、理论方面用“理解”表述，方法、运算方面用“掌握”表述的内容，应该使学生深入领会和掌握，并能熟练运用；概念理论方面用“了解”表述，方法、运算方面用“熟悉”表述的内容，也是必不可少的，只是在教学要求上低于前者。

三、教学内容、基本要求、课时分配四、课程考核考核方式：考试；期末考核形式：课程试卷闭卷（教考分离）；题型：填空、选择、计算、证明题和应用题等；课程类别：■必修（考试）课程□除体育类、短学段开设、实践教学类以外的必修（考查）课程□选修课程□体育类必修（考查）课程□短学段开设的必修（考查）课程□实践教学类必修（考查）课程平时成绩占50 %，期末成绩占50 %（见下表）。

平时成绩考核项目参照表平时成绩考核评定依据与标准:1. 课堂表现（含考勤）：随机抽查考勤、课堂提问、参与讨论等20次，每次5分，满分100分，按20%的比例记入平时成绩；2. 课外作业：作业共收15次，随机抽10次记分，每次满分10分，满分100分，按30%的比例记入平时成绩；3. 阶段测验：在学期1/4和3/4节点处各安排1次阶段测验，每次满分100分，取两次成绩平均分，按30%的比例记入平时成绩；4. 期中测验：在学期1/2节点处安排1次期中测验，满分100分，按20%的比例记入平时成绩。

微积分II课程微积分1教学进度计划表

微积分II课程微积分1教学进度计划表

江西财经大学
本科课程教学进度计划表2010—2011学年度第一学期
学院信息管理学院
教学系
数学与决策科学系（课程组）
主讲教师胡平波
填表日期：2010 年10月05 日
教务处制表
江西财经大学本科课程教学进度计划表
2011—2012学年度第一学期
主讲教师胡平波职称副教授学历研究生学位经济学博士主授专业数学课程名称微积分I 课程编号班级学生人数
总学时48学时，其中课堂讲授44学时；实验（上机）教学0 学时；其它教学（讨论、见习等）0学时；机动 4 学时实习实训（包括课程实习、课程实训、课程设计等）0 周
教材（名称、主编、出版社、出版时间等）邹玉仁：《微积分（一）》，科学出版社，2007年8月第一版
主要参考书1．同济大学数学教研室《高等数学》（第五版），高等教育出版社
2．赵树螈等《微积分》，中国人民大学出版社
成绩考核说明及要求：平时两次小测验，期末闭卷考试
其成绩评定方法：平时成绩占20%，期末考试占80%
考试题型：填空题、判断题、计算题、、应用题、证明题
考试时间：150分钟
系主任（签字）：教学院长（签字）：
2011年10月9日2010年11月9日。

国民经济管理专业课程

国民经济管理专业课程

国民经济管理专业课程大学经济管理专业课程教材 1 微积分中国人民大学出版社2线性代数中国人民大学出版社3概率论与数理统计中国人民大学出版社 4线性规划中国人民大学出版社5运筹学通论中国人民大学出版社6投入产出分析中国统计出版社7政治经济学上海人民出版社8世界经济概论机械工业出版社9 经济法东北财经大学出版社10 统计学原理复旦大学出版社11基础会计学东北财经大学出版社 13 货币银行学北京交通大学出版社 14 国际金融学高等教育出版社15 现代企业管理清华大学出版社16 西方经济学北京大学出版社17 市场营销学中国人民大学出版社 18 生产力经济学北京大学出版社19 国民经济管理中国人民大学出版社 20中国经济发展史上海财经大学出版社21 计算机基础清华大学出版社22电子商务概论清华大学出版社光华管理学院本科生课程课程号 02831110 课程名经济学学分 4.0 周学时 4.0 总学时68.0 开课学期秋课程号 02831310 课程名管理学原理周学时 3.0 总学时课程号 02831510 课程名基础会计周学时 4.0 总学时课程号 02831521 课程名初级会计学 (一)周学时 3.0 总学时课程号 02831522 课程名初级会计学 (二)周学时 3.0 总学时课程号 02831530 课程名帐务实践周学时 2.0 总学时课程号 02831710 课程名一元微积分周学时 5.0 总学时课程号 02831720 课程名多元微积分周学时 5.0 总学时课程号 02832110 课程名微观经济学周学时 3.0 总学时课程号 02832120 课程名宏观经济学周学时 3.0 总学时课程号 02832130 课程名发展经济学周学时 3.0 总学时课程号 02832140 课程名劳动经济学周学时 2.0 总学时课程号 02832210 课程名经济法学分 3.0 开课学期春学分4.0 开课学期秋学分 3.0 开课学期春学分 3.0 开课学期秋学分 2.0 开课学期春学分 5.0 开课学期秋学分 5.0 开课学期春学分 3.0 开课学期秋学分 3.0 开课学期春学分 3.0 开课学期春学分 2.0 开课学期秋学分3.051.068.0102.0 102.0 34.085.085.051.051.051.034.0周学时 3.0 总学时 51.0 开课学期春课程号 02832410 课程名资产评估学分 3.0 周学时 3.0 总学时 51.0 开课学期秋课程号 02832510 课程名财务会计学分 3.0 周学时 3.0 总学时 51.0 开课学期秋课程号 02832520 课程名成本会计学分 2.0 周学时 2.0 总学时课程号 02832610 课程名市场营销原理周学时 3.0 总学时课程号 02832620 课程名行销管理周学时 3.0 总学时课程号 02832710 课程名统计学原理周学时 4.0 总学时课程号 02833110 课程名经济统计与国际比较周学时 2.0 总学时课程号 02833120 课程名城市经济学周学时 3.0 总学时课程号 02833130 课程名区域经济学周学时 3.0 总学时课程号 02833140 课程名国际经济学周学时 3.0 总学时课程号 02833210 课程名财政学周学时 3.0 总学时课程号 02833220 课程名货币银行学周学时 3.0 总学时课程号 02833230 课程名金融市场与金融机构周学时 3.0 总学时课程号 02833240 课程名国际金融周学时 3.0 总学时开课学期春学分 3.0 开课学期秋学分 3.0 开课学期春学分 4.0 开课学期秋学分 2.0 开课学期春学分 3.0 开课学期秋学分 3.0 开课学期春学分 3.0 开课学期春学分 3.0 开课学期秋学分 3.0 开课学期不定学分 3.0 开课学期秋学分 3.0开课学期春 34.051.051.068.034.051.051.051.051.051.051.051.0课程号 02833241 课程名国际金融学学分 3.0 周学时 3.0 总学时 51.0 开课学期春课程号 02833260 课程名商业法规学分 3.0 周学时 3.0 总学时 51.0 开课学期春课程号 02833310 课程名企业管理学分 3.0 周学时 3.0 总学时 51.0 开课学期秋课程号 02833320 课程名生产管理周学时 3.0 总学时 51.0课程号 02833330 课程名房地产经营与管理周学时 3.0 总学时 51.0课程号 02833340 课程名管理思想史周学时 3.0 总学时 51.0课程号 02833350 课程名组织文化周学时 3.0 总学时 51.0课程号 02833360 课程名企业与环境周学时 2.0 总学时 34.0课程号 02833410 课程名财务管理周学时 3.0 总学时 51.0课程号 02833420 课程名财务案例分析周学时 3.0 总学时51.0课程号 02833510 课程名管理会计周学时 3.0 总学时 51.0课程号 02833520 课程名外商投资企业财务与会计周学时 2.0 总学时 34.0课程号 02833530 课程名会计制度周学时 2.0 总学时 34.0课程号 02833540 课程名中级财务会计周学时 4.0 总学时68.0课程号 02833550 课程名高级财务会计学周学时 3.0 总学时51.0 学分 3.0 开课学期秋学分 3.0 开课学期春学分 3.0 开课学期春学分 3.0 开课学期春学分 2.0 开课学期春学分3.0 开课学期春学分 3.0 开课学期春学分 3.0 开课学期秋学分 2.0 开课学期秋学分 2.0 开课学期春学分 4.0 开课学期秋学分 3.0 开课学期春课程号 02833560 课程名股份公司财务会计学分 3.0 周学时3.0 总学时 51.0 开课学期春课程号 02833570 课程名政府会计学分 3.0 周学时 3.0 总学时 51.0 开课学期春课程号 02833590 课程名财税法规学分 3.0 周学时 3.0 总学时 51.0 开课学期秋课程号 02833610 课程名广告管理周学时 2.0 总学时 34.0课程号 02833620 课程名公共关系周学时 3.0 总学时 51.0课程号 02833630 课程名谈判实务与技巧周学时 3.0 总学时51.0课程号 02833710 课程名运筹学周学时 3.0 总学时 51.0课程号 02833720 课程名经济计量学周学时 3.0 总学时 51.0课程号 02833730 课程名市场预测周学时 3.0 总学时 51.0课程号 02833740 课程名投入产出分析周学时 2.0 总学时34.0课程号 02833810 课程名会计信息系统周学时 3.0 总学时51.0课程号 02833820 课程名管理信息系统周学时 3.0 总学时51.0课程号 02833830 课程名 C语言周学时 2.0 总学时 34.0课程号 02834030 课程名国际营销周学时 3.0 总学时 60.0课程号 02834031 课程名营销管理案例研究 (一)学分 2.0 开课学期秋学分 3.0 开课学期春学分 3.0 开课学期秋学分3.0 开课学期春学分 3.0 开课学期秋学分 3.0 开课学期春学分 2.0 开课学期春学分 3.0 开课学期秋学分 3.0 开课学期春学分 2.0 开课学期春学分 3.0 开课学期不定学分 3.0周学时 3.0 总学时 60.0 开课学期不定课程号 02834032 课程名营销管理专题研究 (二)学分 3.0 周学时 3.0 总学时 60.0 开课学期不定课程号 02834110 课程名自然资源经济学学分 2.0 周学时 2.0 总学时 34.0 开课学期秋课程号 02834120 课程名福利经济学学分 3.0 周学时 3.0 总学时 51.0课程号 02834210 课程名国民经济管理学周学时 3.0 总学时51.0课程号 02834220 课程名政府经济规划周学时 2.0 总学时34.0课程号 02834230 课程名保险学周学时 3.0 总学时 51.0课程号 02834240 课程名国际贸易周学时 3.0 总学时 51.0课程号 02834250 课程名国际税收周学时 2.0 总学时 34.0课程号 02834260 课程名国际贸易实务周学时 3.0 总学时51.0课程号 02834310 课程名国际企业管理周学时 3.0 总学时51.0课程号 02834320 课程名人事管理周学时 2.0 总学时 34.0 课程号 02834330 课程名组织行为学周学时 3.0 总学时 51.0 课程号 02834340 课程名项目评估周学时 2.0 总学时 34.0 课程号 02834350 课程名企业诊断周学时 3.0 总学时 51.0开课学期春学分 3.0 开课学期秋学分 2.0 开课学期春学分 3.0 开课学期秋学分 3.0 开课学期秋学分 2.0 开课学期春学分 3.0 开课学期春学分 3.0 开课学期春学分 2.0 开课学期秋学分 3.0 开课学期秋学分 2.0 开课学期秋学分 3.0 开课学期秋大学经济管理专业课程教材 1 微积分中国人民大学出版社 2线性代数中国人民大学出版社 3概率论与数理统计中国人民大学出版社4线性规划中国人民大学出版社 5运筹学通论中国人民大学出版社 6投入产出分析中国统计出版社 7政治经济学上海人民出版社 8世界经济概论机械工业出版社 9 经济法东北财经大学出版社10 统计学原理复旦大学出版社11基础会计学东北财经大学出版社 13 货币银行学北京交通大学出版社 14 国际金融学高等出版社 15 现代企业管理清华大学出版社16 西方经济学北京大学出版社 17 市场营销学中国人民大学出版社 18 生产力经济学北京大学出版社 19 国民经济管理中国经济发展史计算机基础电子商务概 __人民大学出版社上海财经大学出版社清华大学出版社清华大学出版社 20 2122内容仅供参考。

人大版 微积分 第三章 导数与微分

人大版 微积分 第三章 导数与微分

并称这个极限为函数y f ( x)在点x0处的导数 .
记为 y x x0
微积分
dy dx
df ( x ) x x0 或 dx
x x0
x x0
,
即 y
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
参考书
[1]赵树嫄. 微积分. 中国人民出版社 [2]同济大学. 高等数学. 高等教育出版社
微积分
第三章 导数与微分
• • • • • 引例 导数概念 导数的基本公式与运算法则 高阶导数 微分
微积分
导数的概念
在许多实际问题中，需要从数量上研究 变量的变化速度。如物体的运动速度，电流 强度，线密度，比热，化学反应速度及生物 繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函 数的变化率问题，即导数。 本章将通过对实际问题的分析，引出微 分学中两个最重要的基本概念——导数与微 分，然后再建立求导数与微分的运算公式和 法则，从而解决有关变化率的计算问题。
微积分
注意: 1. f ( x0 ) f ( x ) x x .
0
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近 函数.
播放
微积分
★ 单侧导数 1.左导数:
f ( x 0 ) lim
x x0 0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim ; x 0 x x0 x
Δy lim lim (2 x Δx) 2 x ,即 ( x 2 ) 2 x . Δx0 Δx Δx0
Δy 2 x Δx , Δx
微积分
关于导数的说明：
★ 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出 的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量 所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画 变化率的本质

微积分人大3版 7.5

微积分人大3版 7.5
(−1) n 当 x=−1 时，级数成为 ∑ ，它是收敛的； n n =1 ∞ 1 当 x=0 时，级数成为 ∑ ，它是发散的。 n =1 n 所以级数的收敛区间为[−1, 0)。•练习 练习
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∞
二、幂级数的性质
幂级数的和与差： 幂级数的和与差：
设幂级数 ∑a n x n =f(x)及 ∑bn x n =g(x)，收敛半径分别
n −1
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结束
铃
xn 例 3 求级数 ∑ n 的收敛区间。 n =1 n 解：因为 1 (n + 1) n +1 a n +1 1 1 l = lim = lim =0， = lim ⋅ n →∞ a n →∞ n →∞ n + 1 1 1 n n (1 + ) n n n 所以级数的收敛半径为R=+∞ ，收敛区间为(−∞, +∞)。
n =1 首页 ∞ n=1
n =1 ∞
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结束
铃
例 5 求幂级数 ∑nx n −1 的收敛区间及和函数，并求
n 级数 ∑ n 的和。 n =1 2
∞ n =1
∞
解：幂级数 ∑nx n −1 的收敛区间为(−1, 1)。
n =1
∞
当x∈(−1, 1)时，
S (x) = ∑nx
n =1 ∞ n −1
n 级数 ∑ n 的和。 n =1 2
∞ n =1
∞
解：因为
∞
a n +1 n +1 lim = lim =1， n →∞ a n →∞ n n
所以级数 ∑nx n −1 的收敛半径为 R =1。

微积分课件-经管类(吴赣昌 中国人民大学)第一章第一节 函数

微积分课件-经管类(吴赣昌 中国人民大学)第一章第一节 函数

例7 设函数f(x)是周期为T的周期函数，试求函数f(ax+b) 的周期，其中a,b常数，且a>0。
解：
T f (ax b ) f (ax b T ) f a (x ) b a
所以函数f(ax+b)的周期为T/a
五、数学建模——函数关系的建立
1.依题意建立函数关系
例5 证明函数y
x
1x
在( 1, )上是单调增加函数。
3. 奇偶性
设函数 y = f (x) 的定义域 Df 关于坐标原点对称, 若x
Df , 有f (x ) = f ( x ) 成立, 则称 f ( x ) 为偶函数; x Df ,
有f (x ) = f ( x ) 成立, 则称 f ( x ) 为奇函数; 奇函数的图形关于坐标原点对称, 偶函数的图形关于 y 轴对称. 在关于坐标原点对称的区间 I 内: 两个偶 (奇) 函数之和仍是一偶 (奇) 函数. 两个偶 (奇) 函数之积均为一个偶函数.
实数的连续性：实数点能铺满整个数轴，而不会留下任何空隙，即实数与 数轴上的点成一一对应关系。
常用数集： N 表示全体正整数的集合；Z 表示全体整数的集合； Q 表示全体有理数的集合；R 表示全体实数的集合； C 表示全体复数的集合．．
（1）有限区间
（2）无限区间
[a , ) x a x ;[ , b ) x x b .
y O M y
x
m O
x
有上界 在区间 I 上:
有下界
f (x)有界 f (：
2
x x 1
2
在( , )上是有界的。
x 1 2 x ,
1 f (x ) 2 x 1 2

人大版微积分第三章导数的基本公式续

人大版微积分第三章导数的基本公式续

微积分
例
求 y 1 的高阶导数. x
解 y 1 (ln x) 注意这里的方法 x
y(n) ((ln x))(n) (ln x)(n1)
(1)(n1)1[(n 1) 1] ! x(n1)
(1)n n! x (n1)
y(n) (ln x)(n) (1)n1(n 1)! xn (n N )
2x 1 x2
5 1 5x
8 1 8x
4x3 1 x4
微积分
故
y
1 3
(1 x)(1 2x)(1 x2 )
3 (1 5x)(1 8x)(1 x4 )
1 1 x
1
2 2x
1
2
x x
2
5 1 5x
8 1 8x
4x3 1 x4
微积分
求导方法小结
按定义求导
基本初等函数的导数 导数的四则运算法则 复合函数求导法
记为 f (x) Cn (I) 或 f (x) Cn.
如果 f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存 在且连续, 则称函数 f (x) 是无穷次连续可导的, 记为
f (x) C (I) 或 f (x) C.
微积分
例 求幂函数 y xn , n Z 的高阶导数.
解 y (xn ) nxn1 y ( y) (nxn1) n(n 1)xn2 y ( y) n(n 1)(n 2)xn3 …………………………
t) t)
3a sin 2 t 3a cos2
cos t t sin t
tant
(t n , n Z )
2
微积分
取对数求导法
微积分
取对数求导法
方法: 在条件允许的情况下, 对 y = f (x) 两边

高等数学答案吴赣昌

高等数学答案吴赣昌

高等数学答案吴赣昌【篇一：高等数学Ⅲ(1)教学大纲】s=txt>课程代码： 050005 课程性质：公共必修总学时：56 学时总学分： 3.5学分开课学期：第一学期适用专业：旅游、经管等专业先修课程：中学数学后续课程：高等数学Ⅲ（2）大纲执笔人：项明寅参加人：高等数学教研室课任教师审核人：胡跃进编写时间： 2009年08月编写依据：黄山学院 2009本科培养方案（ 2009 ）年版一、课程介绍本课程的研究对象是函数（变化过程中量的依赖关系）．内容包括函数、极限、连续，一元函数微积分学，多元函数微积分学，无穷级数与常微分方程等．二、本课程教学在专业人才培养中的地位和作用“高等数学”课程是黄山学院经管学院、旅游学院相关各专业的一门必修的重要基础理论课，是为培养社会主义建设需要的应用型大学本科人才服务的．通过各个教学环节，逐步培养学生的抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、自学能力，较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．为学生学习后续课程和进一步获得近代科学技术知识奠定必要的数学基础．三、本课程教学所要达到的基本目标通过本课程的学习，要使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础．要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力．四、学生学习本课程应掌握的方法与技能本课程的特点是理论性强，思想性强，与相关基础课及专业课联系较多，教学中应注重启发引导学生掌握重要概念的背景思想，理解重要概念的思想本质，避免学生死记硬背．要善于将有关学科或生活中常遇到的名词概念与微积分学的概念结合起来，使学生体会到学习微积分的必要性．注重各教学环节（理论教学、习题课、作业、辅导参考）的有机联系, 特别是强化作业与辅导环节，使学生加深对课堂教学内容的理解，提高分析解决问题的能力和运算能力．教学中有计划有目的地向学生介绍学习数学与学习专业课之间的关系，学习高等数学是获取进一步学习机会的关键学科．由于学科特点，本课程教学应突出教师的中心地位，通过教师的努力，充分调动学生的学习兴趣．五、本课程与其他课程的联系与分工本课程是经、管等相关专业的第一基础课．本课程的学习情况事关学生后继课程的学习，事关学生学习目标的确定及学生未来的走向．本课程学习结束后，以此为出发点，学生才能进入相关课程的学习阶段．本课程是四年大学学习开始必须学好的基础理论课．课程基础性、理论性强，与相关课程的学习联系密切，是全国硕士研究生入学考试统考科目，关系到学生综合能力的培养．本课程的学习情况直接关系到学校的整体教学水平。

微积分 (中国人民大学出版社)

微积分 (中国人民大学出版社)

仿照一元函数， 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点 驻点. 的点，均称为函数的驻点 注意： 注意：驻点 极值点
例如, 点(0,0)是函数 z = xy 的驻点， 的驻点， 例如 但不是极值点. 但不是极值点
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
1 3、 ； 3、7,-1. 4
下页
极值的一般步骤： 求函数 z = f ( x , y )极值的一般步骤：
第一步 解方程组 f x ( x , y ) = 0,
f y ( x, y) = 0
求出实数解，得驻点. 及偏导数不存在的点 求出实数解，得驻点
第二步 对于每一个驻点( x 0 , y0 ) ，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
处是否取得极值的条件如下： 则 f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下： （1） AC − B > 0时具有极值， 时具有极值，
2
时有极大值， 时有极小值； 当 A < 0 时有极大值， 当 A > 0 时有极小值； 时没有极值； （2） AC − B 2 < 0时没有极值； 时可能有极值,也可能没有极值， （3） AC − B = 0 时可能有极值,也可能没有极值，
2 2
练习题
一、填空题: 填空题: _______点取 1 、函数 f ( x , y ) = (6 x − x 2 )(4 y − y 2 ) 在_______ 点取 得极_________值为___________. _________值为 得极_________值为___________. 下的极______ ______值 2 、函数 z = xy 在附加条件 x + y = 1 下的极 ______ 值 为_____________. 3 、方程 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 2 = 0 所确定的 的极大值是___________, ___________,极小值 函数 z = f ( x , y ) 的极大值是___________, 极小值 是_____________. 二、在 平 面 xoy 上 求 一 点 , 使 它 到 x = 0, y = 0 及 x + 2 y − 16 = 0 三直线的距离平方之和为最小. 三直线的距离平方之和为最小. 的球且有最大体积的长方体. 三、求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体.

赵树嫄微积分第四版第六章 定积分

赵树嫄微积分第四版第六章 定积分

f ( x ) dx S
曲边梯形的面积
b a
f ( x ) dx S 曲边梯形面积的相反数
y
y f ( x)
a
o
y f ( x)
b
x
a o
b
x
11
y
f ( x)
A1
A3
A2
A5
a
b a
A4
b
x

f ( x ) dx A1 A2 A3 A4 A5
若要求阴影部分的面积, 则为
m(b a ) f ( x ) dx M (b a ) ，
a
b 1 m f ( x ) dx M ， ba a 由闭区间上连续函数的介值定理知， b 1 [a , b] , 使 f ( ) f ( x ) dx , ba a b 即 f ( x) dx f ( )(b a) .
不恒为零，则有

b a
f ( x ) dx 0 .
证略
17
推论1 若 f ( x ) g ( x ), x [a , b] ,
则

b a
f ( x )dx g( x )dx .
a b
b
进一步，若 f ( x ) g( x ) ，且 f ( x) 和 g( x) 不恒等，则有
于是 f ( x) 单调增加, f ( x ) f (0) 0 ，
x ln( 1 x) ， x 0 .
于是

1 0
x dx ln( 1 x ) dx .
0
23
1
2 2 x 1 dx . 例2 证明下列不等式： 2 1 x 1 5 2 x ， 证 设 f ( x) 2 x 1

微积分_(中国人民大学出版社)共30页

微积分_(中国人民大学出版社)共30页

八、设z [x(x y),y],其中,具有二阶导数,求
2z 2z ,.
x2 y2
练习题答案
一 、 1 、 cos y (cos x x sin x ) , x cos x ( y sin y cos y ) ；
y cos 2 x
y 2 cos 2 x
2 、 2 x ln( 3 x 2 y )
Thank you
x
x
zf uf, x u x x
v 0, w 1.
y
y
区
z f uf . y u y y
别 类 似
两者的区别
把 z f (u, x, y)
把复合函数zf[(x,y),x,y]中 的 u 及 y 看 作 不
中 的y看 作 不 变 而 对 x的 偏 导 数 变 而 对 x 的 偏 导 数
第四节 复合函数微分法与隐函 数微分法
1、多元复合函数微分 2、全微分形式的不变性 3、隐函数微分法
一、链式法则
定理 如果函数u(t)及v(t)都在点t 可
导，函数z f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏
导数，则复合函数z f[(t),(t)]在对应点t 可
导，且其导数可用下列公式计算：
e u sv ix n e u cv o 1 s eu(xsivn co v)s.
例 2设 zu vsitn， 而 uet， vcot， s 求 全 导 数 d.z dt
解 d zzd uzd vz dtudtvdtt vte u sit n co t s e tcto e tsti n ctos
z y

xe xy ez 2.
三、 隐函数微分法
三、小结

微积分课件-经管类(吴赣昌 中国人民大学)CH1第三节 常用经济函数

微积分课件-经管类(吴赣昌 中国人民大学)CH1第三节 常用经济函数

C (x ) 10x 270000
而需求函数为
x 900P 45000 C (P ) 9000P 270000
R (P ) P ( 900P 45000) 900P 2 45000P
L(P ) R (P ) C (P ) 900(P 2 60P 800) 900(P 30)2 90000
称为单位成本函数或平均成本函数。成本函数是单调增加函 数，称为成本曲线。
C x C x , x 0 x
例5 某工厂生产某产品，每日最多生产200单位，它的日固 定成本为150元，生产一个单位产品的可变成本为16元。求 该厂日总成本函数及平均成本函数。
C C x 150 16x , 0 x 200
§1.3 常用经济函数
一、单利与复利
利息：借款者向贷款者支付的报酬，它是根据本金的数额 按一定比例计算出来的。 主要有存款利息、贷款利息、债券利息、贴现利息等形式
单利计算公式： 设初始本金为p元，银行年利率为r，则：
第一年未本利和： s 1 第二年未本利和： s 2 ……
第n年未本利和：
p rp p (1 rห้องสมุดไป่ตู้)
R R p (1 r ) 得p n (1 r )
n
R表示第n年后到期票据金额，r表示贴现率，p为贴现金额， 1/(1+r)n为贴现因子。
若票据持有者手中持有若干张不同期限及不同面额的票据， 且每张票据的贴现率都是相同的，则一次性向银行转让票 据而得到的现金为：
R2 p R0 2 (1 r ) (1 r )
到期的票 据金额
R1
1 Rn n (1 r )

复试包括笔试和面试(英语听力、口语)-下表中为笔试科目及其参(精)

复试包括笔试和面试(英语听力、口语)-下表中为笔试科目及其参(精)
081704应用化学
工业分析、化工基础方面的基础知识
物理化学（同等学力加试）
分析化学（同等学力加试）
080502材料学
080503材料加工工程
080501材料物理与化学
有机高分子、材料学方面的基础知识
物理化学（同等学力加试）
材料学（同等学力加试）
070305高分子化学与物理
高分子物理、高分子化学方面的基础知识
面试：英语口语（20%）+专业知识（含实验技能）（30%）
综合题（选择题，只选80题，其中专业必答题必选一门，其他任选三门，多选无效）
1、专业基础知识（专业选答题）：指无机化学、有机化学、分析化学、物理化学、生物化学五门课程的基础知识。
2、专业必答题：见下表。
081703生物化工
生物反应工程、生物分离工程方面的基础知识
营销管理（同等学力加试）
《企业战略管理》杨锡怀著，高等教育出版社
《市场营销学》吴健安著，高等教育出版社
外
语
学
院
专业代码及名称
笔试科目(100分)
同等学力加试(笔试每门100分)
参考书
050201英语语言文学
作文与翻译
材
料
科
学
与
工
程
学
院
（材料学院所有专业）
笔试：80%（专业基础和专业知识测试）+英译汉（20%）（专业英语）
081002信号与信息处理
通信原理与信号处理
《数字信号处理》第二版，丁玉美，西安电子工业大学出版社
《通信原理》第五版，樊昌信，国防工业出版社
单片机原理（同等学力加试）
模拟电子技术（同等学力加试）
《单片机原理及应用》张毅刚，高教出版社

人大版微积分第一章函数

人大版微积分第一章函数

函数y f ( x)的图形.
微积分
函数-函数概念
几个特殊的函数举例
y
(1) 符号函数
1 当x 0
y

sgn
x


0
当x 0
1 当x 0
1
o
x
-1
x sgn x x
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数
y 24 13
阶梯曲线
-4 -3 -2 -1 o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
例如， y 1 x2 D : [1,1]
例如， y 1 1 x2
D : (1,1)
微积分
函数-函数概念
如果自变量在定 义域内任取一个数值 时，对应的函数值总 是只有一个，这种函 数叫做单值函数，否 则叫与多值函数．
例如，x2 y2 a2．
y
W y o
(x, y)
x
x
D
定义: 点集C {( x, y) y f ( x), x D} 称为
3
微积分
函数-集合
空 Ｕ( a , δ)={ x | 0<|x-a|< δ}
心 邻
={ x | a- δ <x<a 或 a<x<a+δ}
域
=(a- δ, a)U(a , a+ δ)
称为点a的δ空心邻域。
a- δ
a
a+ δ
x
例：
U(2,1)={x|0<|x-2|<1}={x|1<x<2或2<x<3 }
=( 1,2)U(2,3)
1 δ=1 2 δ=1 3

微积分 (中国人民大学出版社)

微积分 (中国人民大学出版社)

= e u sin v ⋅ y + e u cos v ⋅ 1 = e u ( y sin v + cos v ),
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y u u = e sin v ⋅ x + e cos v ⋅ 1 = e u ( x sin v + cos v ).
函数 z = f [φ ( x , y ),ψ ( x , y ), w( x , y )]在对应点( x , y ) 两个偏导数存在， 两个偏导数存在，且可用下列公式计算
∂ z ∂z ∂ u ∂ z ∂v ∂ z ∂ w , = + + ∂x ∂ u ∂ x ∂ v ∂x ∂ w ∂ x z ∂z ∂z ∂ u ∂z ∂ v ∂ z ∂ w . = + + ∂y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ w ∂ y
y 其中为可导函数, , 其中为可导函数, 2 2 f (x − y ) 1 ∂z 1 ∂z z 验证: 验证: + = 2. x ∂x y ∂y y 具有二阶导数, 八、设 z = φ [ x + ϕ ( x − y ), y ], 其中 φ , ϕ 具有二阶导数,求 ∂2z ∂2z , 2. 2 ∂ x ∂y
七、设 z =
练习题答案
cos y(cos x + x sin x ) x cos x ( y sin y + cos y ) 一、1、 ； ,− 2 2 2 y cos x y cos x 2x 3x2 2、 2、 2 ln( 3 x − 2 y ) + , 2 y (3 x − 2 y ) y 2x2 2x2 ； − 3 ln( 3 x − 2 y ) − 2 y (3 x − 2 y ) y 3(1 − 4t 2 ) . 3、 3、 3 2 1 − ( 3t − 4t )
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u v 时，有dz z dx z dy .
x y
全微分形式不变形的实质：
无论 z是自变量u、v的函数或中间变量u、v
的函数，它的全微分形式是一样的.
dz z dx z dy x y
z u
u x
z v
v x
dx
z u
u y
z v
v y
dy
z u dx u dy u x y
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y) 的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
z
z
u
z
v
，
x u x v x
z y
z u
u y
z v
v y
.
链式法则如图示
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
类似地再推广，设u ( x, y) 、v ( x, y) 、
第四节 复合函数微分法与隐函 数微分法
1、多元复合函数微分 2、全微分形式的不变性 3、隐函数微分法
一、链式法则
定理 如果函数u (t) 及v (t ) 都在t点 可
导，函数 z f (u,v) 在对应点(u,v) 具有连续偏
导数，则复合函数z f [ (t ), (t )]在对应t点 可
解 dz z du z dv z dt u dt v dt t vet usin t cos t et cos t et sin t cos t
et (cost sin t) cost.
例 3 设w f ( x y z, xyz)，f 具有二阶 连续偏导数，求w 和 2w . x xz
z v dx v dy v x y
z du z dv. u v
例 4 已知exy 2z e z 0，求z 和z . x y
解 d(exy 2z ez ) 0,
exyd( xy) 2dz ezdz 0,
(ez 2)dz exy ( xdy ydx)
dz
ye xy (ez 2)
x
y
z
六、 2 z x 2
f11
2 y
f 12
1 y2
f 22 ,
2z
xy
x y2
(
f 12
1 y
f 22 )
1 y2
f 2,
2z 2x
y 2 y 3
f 2
x2 y4
f 22 .
八、 2 z x 2
11 (1 )2
1 ,
2z y 2
11 ( )2
12
1
21
22 .
(x2 y2)y2
,
z y
[2 y
x
2y2 (x2
x y2
xy
]e ( x2 y2 ) . )
三、 dz e x (1 x) . dx 1 x 2e 2x
四、 z x
2 xf1
ye xy
f
2
,
z y
2 yf1
xe xy
f 2.
五、u f (1 y yz), u f ( x xz), u xyf .
把 z f (u, x, y)
把 复 合函 数 z f [ ( x, y), x, y] 中的u 及 y 看作不
中的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对x 的偏导数
例 1 设z eu sin v ，而u xy ，v x y ， 求 z 和z . x y
解 z z u z v x u x v x
dx
xe xy (ez 2)
dy
z ye xy
x
ez
, 2
z y
xe xy
ez
. 2
三、 隐函数微分法
三、小结
1、复合函数求导的链式法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”
（特别要注意课中所讲的特殊情况）
2、全微分形式不变性
（理解其实质）
3、隐函数微分法
思考题
设z f (u,v, x)，而u ( x) ，v ( x)，
则 dz f du f dv f ， dx u dx v dx x
试问dz 与f 是否相同？为什么？ dx x
思考题解答
不相同.
等式左端的z 是作为一个自变量x 的函数，
而等式右端最后一项f 是作为u, v, x 的三元函数，
写出来为
dz dx
x
f u
(u,v ,x )
du dx
x
f v
(u,v ,x )
解 令 u x y z, v xyz;
记
f1
f
(u,v) , u
f12
2 f (u,v) , uv
同理有 f2, f11, f22 .
w f u f v
x
u x v x
f1 yzf2;
2w xz
z
(
f1
yzf2)
f1 z
yf2
yz f2; z
f1 z
f1 u f1 v u z v z
x
y
特殊地 z f (u, x, y) 其中 u ( x, y)
即 z f [( x, y), x, y], 令 v x, w y,
v 1, w 0,
x
x
z f u f , x u x x
两者的区别
v 0, w 1.
y
y
区
z f u f . y u y y
别 类 似
f11 xyf12;
f2 z
f2 u f2 v u z v z
f21 xyf22;
于是
2w xz
f11
xyf12
yf2
yz(
f21
xyf22 )
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2.
二、全微分形式不变性
设函数z f (u,v)具有连续偏导数，则有全微分
dz z du z dv ;当u ( x, y)、v ( x, y)
数),求z , z . x y
五、设u f ( x xy xyz) ,(其中f具 有一阶连续偏导 数),求u , u , u . x y z
六、设z f ( x, x ),(其中f具 有二阶连续偏导数),求 y
2z 2z 2z x 2 , xy , y 2 .
七、设z
y , 其中为可导函数,
y cos2 x
y 2 cos2 x
2、2 x ln(3 x 2 y) 3 x 2 ,
y2
(3x 2 y)y2
2x2 ln(3x 2 y)
2x2
；
y3
(3x 2 y)y2
3、 3(1 4t 2 ) . 1 (3t 4t 3 )2
二、 z x
[2x
y
2x2 y
xy
]e x2 y2
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
证 设 t 获得增量 t，
则 u (t t) (t), v (t t) (t);
由于函数z f (u, v)在点(u, v)有连续偏导数
z
z uuΒιβλιοθήκη z vv1u
2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z t
z u
u t
z v
v t
1
u t
2
v t
当t 0时， u 0，v 0
u du , t dt
v dv , t dt
dz lim z z du z dv . dt t0 t u dt v dt
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
eu sin v y eu cosv 1 eu( ysinv cosv),
z y
z u
u y
z v
v y
eu sin v x eu cosv 1 eu( xsinv cosv).
例 2 设z uv sin t ，而u et ，v cos t ， 求全导数dz . dt
dv dx
x
f x
. (u,v , x )
练习题
一、填空题:
1、设z x cos y ,则z ________________； y cos x x
z ________________. y
2、设z
x2
ln(3 x y2
2 y) ,则z x
_______________；
z ________________. y
3、设z esint2t3 ,则dz ________________. dt
二、设z
v
ue u ,而u
x2
y2,v
xy ，求z
, z
.
x y
三、设z arctan(xy),而y e x ,求dz . dx
四、设 z f ( x 2 y 2 , e xy ),(其中f具 有一阶连续偏导
f (x2 y2)
验证: 1 z 1 z z . x x y y y 2
八、设z [ x ( x y), y],其中 , 具有二阶导数,求
2z 2z x 2 , y 2 .
练习题答案
一、1、cos y(cos x x sin x) , x cos x( y sin y cos y) ；
w w( x, y)都在点( x, y) 具有对x 和y 的偏导数，复合
函数z f [ ( x, y), ( x, y), w( x, y)]在对应点( x, y)
两个偏导数存在，且可用下列公式计算