人大版_微积分_第五章_换元积分法资料

微积分中的换元积分法在微积分中，换元积分法是一种非常重要的积分方法，它主要用于解决一些较难的积分问题。

换元积分法是一种基本的数学思想，它可以将一个复杂的积分转化为一个简单的积分，从而更加方便地求解。

本文将详细地介绍换元积分法的基本思想和应用方法，并结合一些典型的例子进行讲解。

一、基本思想换元积分法的基本思想是通过变量替换的方式，将一个积分式中的变量替换成另一个变量，从而把一个较难的积分问题转化成一个较简单的积分问题。

具体来说，设有一个积分式：∫f(x)dx如果能够将x用t表示出来，并且求出dt/dx，那么就可以把积分式中的x全部用t来表示，将原来的积分式变成：∫f(t)(dt/dx)dx然后再将t看作自变量，x看作因变量，对f(t)(dt/dx)进行积分，最终得到原来的积分值。

二、应用方法换元积分法的应用方法比较灵活，下面将分别介绍三种典型的应用方法。

1.代换法代换法是换元积分法中最常用的方法，其具体思路是将积分式中的变量用一个新的变量表示出来，然后对新的变量进行求导，最终得到积分式中的原变量的微元。

代换法的一般步骤如下：（1）根据积分式中的特点选取代换变量（2）用代换变量表示出积分式中的自变量，并求出代换变量的微分（3）将代换变量看作自变量，其它变量看作常数，将原积分式变为代换后的积分式（4）对代换后的积分式进行求解，得到最终答案代换法的应用可以通过一个例子来具体说明。

例1：求积分∫x√(1+x^2)dx。

解：积分式中含有根号，所以很难直接求解，这时就可以采用代换法来解决。

选取代换变量t=1+x^2，此时x^2=t-1。

对t求导，得到dt/dx=2x，即dx=(1/2√t)dt。

将x√(1+x^2)dx用代换变量表示为(t-1)√tdt/2，完成了变量替换。

此时将代换变量看作自变量，其它变量看作常数，积分式变为：∫(t-1)√tdt/2对上式进行积分，最终得到积分值为：(2/3)(1+x^2)√(1+x^2)-2/3arcsin(x)+C其中C是积分常数。

常用积分换元公式换元积分法的公式积分换元法是求解积分的一种重要方法，通过引入合适的变量替换的方式，将原积分转化为更容易求解的形式。

下面是一些常用的积分换元公式和换元积分法：1.换元公式(1)第一类换元公式：设函数u=u(x)具有一阶连续导数，则有如下公式：∫f(u)du = ∫f(u(x))u'(x)dx(2)第二类换元公式：设函数x=x(u)可导，且反函数存在，则有如下公式：∫f(x)dx = ∫f(x(u))x'(u)du(3)第三类换元公式：设函数x=x(t)，y=y(t)可导，且满足y=y(x)，则有如下公式：∫f(x,y)dx = ∫f(x(t),y(t))x'(t)dt2.常见换元积分法(1)坐标换元法：根据问题中给定的坐标关系，选择适当的新坐标，从而简化积分的计算。

常见的坐标换元法包括：极坐标、柱坐标、球坐标等。

(2) 幂次换元法：对于形如∫f(x)(ax+b)^n dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为幂函数的积分。

(3) 三角换元法：对于形如∫f(x)sin(ax+b) dx或∫f(x)cos(ax+b) dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为三角函数的积分。

(4) 指数换元法：对于形如∫f(x)e^x dx的积分，可以引入变量u=e^x进行代换，从而将积分转化为指数函数的积分。

(5) 对数换元法：对于形如∫f(x)/x dx的积分，可以引入变量u=ln，x，进行代换，从而将积分转化为对数函数的积分。

(6) 倒代换法：对于形如∫f(g(x))dg(x)的积分，可以引入变量u=g(x)进行代换，然后将dg(x)用du表示，从而将积分转化为对u的积分。

(7) Weierstrass换元法：对于形如∫R(x,√(ax^2+bx+c)) dx的积分，可以引入变量u=√(ax^2+bx+c)+px+q进行代换，然后将积分转化为对u的积分。

§5.2 换元积分法¾第一类换元法¾有理函数的积分¾第二类换元法¾小结思考题()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦∫()()F x dx F x C′=+∫复习：不定积分的基本性质：()()()()()f x dx f x F x f x dx dF x ′∫求不定积分的过程就是将被积函数写成某函数的导数,或者将被积表达式写成某函数的微分的过程.()()dF x F x C=+∫[()]()d f x dx f x dx=∫⇒⇒[()]()F x x ϕϕ′′⋅(),()()()(),()(),f u x x f u F u F u f u ϕϕ′′=设和都是连续函数,有原函数即[()]()[()]f x x dx F x Cϕϕϕ′⋅=+∫[()]()f x x ϕϕ′=⋅()[()]F x ϕ′=因而有则有[()]()[()]f x x dx F x Cϕϕϕ′=+∫[][()]F x ϕ′=定理(),()()()(),f u x x f u F u ϕϕ′设和都是连续函数,有原函数则有⇒定理证明:[()]()F x x ϕϕ′′[()]()f x x ϕϕ′=[()]()[()]f x x dx F x C ϕϕϕ′=+∫#由此定理，有换元积分法：[()]()[()]()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ′=∫∫()f u du =∫()F u C =+(())F x Cϕ=+()u x ϕ=令问题∫xdx 2cos ,2sin C x +=解决方法引进新的积分变量.过程令u=2x∫xdx2cos 1cos2(2)2xd x =∫1sin 2u C =+.2sin 21C x +=一、第一类换元法1cos222x dx =⋅∫1cos 2udu =∫(——凑微分法)凑微分()g x dx ∫[()]()f x x dxϕϕ′=∫[()]()f x d x ϕϕ=∫()F u C=+[()]F x Cϕ=+令()u x ϕ=()()F u f u ′=若()f u du =∫第一类换元法的具体过程:——凑微分例1求.2sin ∫xdx 解（一）∫xdx 2sin ∫=)2(2sin 21x xd ;2cos 21C x +−=解（二）∫xdx 2sin ∫=xdxx cos sin 2∫=)(sin sin 2x xd ();sin 2C x +=解（三）∫xdx 2sin ∫=xdxx cos sin 2∫−=)(cos cos 2x xd ().cos 2C x +−=#解（1）dx x ∫+231112232dx x=⋅+∫du u ∫=1211ln 2u C =+1ln 322x C=++#例2求（1）.231dx x ∫+（2）50(32).x dx +∫11(32)232d x x =⋅++∫32u x =+令23u x =+令50(32)x dx +∫501(32)(32)2x d x =++∫5012u du =∫511251u C =+⋅511(23)102x C =++#（2）例3求下列不定积分1(3)(12ln )dxx x +∫3(4)(1)xdxx +∫(1)tan xdx∫2(2)sin xdx∫∫+dxb ax f )(1()()f ax b d ax b a ⎡⎤=++⎣⎦∫一般地1()f u du a =⋅∫u ax b=+令解3(1)tan xdx ∫sin cos xdx x =∫1cos cos d xx =−∫ln cos x C =−+cot ln sin xdx x C=+∫类似地，有cos u x=令解3(3)dxx x ∫+)ln 21(1)(ln ln 211x d x∫+=)ln 21(ln 21121x d x ++=∫xu ln 21+=∫=du u1211ln 2u C =+1ln 12ln 2x C=++解3(4)dx x x ∫+3)1(dxx x ∫+−+=3)1(11)1(])1(1)1(1[32x d x x ++−+=∫.)1(21112C x x ++++−=##解3(2)2sin xdx ∫1cos 22xdx −=∫11(sin 2)22x x C =−+1(2sin 2)4x x C =−+1(1cos2)2x dx=−∫#例4求221(1)dx a x +∫21(2)825dxxx −+∫解4(1)dxx a ∫+221dx a x a ∫+=222111⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=∫a x d a x a 2111.arctan 1C ax a +=#解4(2)dx x x ∫+−25812dxx ∫+−=9)4(1221(4)(4)9d x x =−−+∫.34arctan 31C x +−=219du u =+∫1arctan 33uC =+4u x =−令#(0)a >221825x dx xx −−+∫例4(３)求（思考题）解4(3)221825x dx x x −−+∫221(4)9x dxx −=−+∫2(28)7(4)9x dx x −+=−+∫22287(4)9(4)9x dx x x ⎛⎞−=+⎜⎟−+−+⎝⎠∫22211(825)7(4)825(4)9d x x x d x x x x x =−++−−+−+∫∫214ln(825)7arctan 33x x x x C −=−++⋅+#例５求解5(1)222221111()1()dx dx dxx x a x a a aa ==−⎛⎞−−⎜⎟⎝⎠∫∫∫21()1()xd a x a=−∫arcsin x C a=+#a >221(3)dx x a −∫221(1)dxa x −∫21(2)1dx x −∫2222211115(3)()[()1]()1xdx dx d x x x a a a a a a==−−−∫∫∫1ln 2x a C a x a −=++111ln 21u C a u −=⋅++#215(2)1dx x =−∫#1(1)(1)dx x x −+∫ln 1ln 1x x C =−−++11ln21x C x −=++11[]11dx x x =−−+∫11ln 21x a C x a a−=++2111du a u =−∫例６求解（一）∫=dx x sin 1.csc ∫xdx ∫xdx csc ∫=dx x x 2cos2sin 212112tan cos 22x d x x ⎛⎞=⋅⎜⎟⎝⎠⎛⎞⎜⎟⎝⎠∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛=2tan 2tan 1x d x ln tan2xC =+（使用了三角函数恒等变形）#ln csc cot .x x C =−+解（二）∫=dx x sin 1∫xdx csc ∫=dx xx 2sin sin ∫−−=)(cos cos 112x d x x u cos =∫−−=du u 21111ln 21u Cu −=++11cos ln .21cos xC x−=++类似地可推出sec ln sec tan .xdx x x C =++∫ln csc cot x x C =−+#例７求下列不定积分1(1)2321dxx x ++−∫1(3)1x dx e +∫21(2)4arcsin2dxx x −∫例８求下列不定积分练习题1(1)1cos dxx +∫3(2)cos xdx ∫(4)cos3cos 2x xdx∫2(3)sin cos x xdx∫cos()cos cos sin sin A B A B A B =±∓sin()sin cos cos sin A B A B A B±=±sin 22sin cos A A A=2222cos2cos sin 2cos 112sin A A A A A =−=−=−sin sin 2sin cos22A B A BA B −+−=cos cos 2sin sin22A B A BA B −+−=−1sin sin [cos()cos()]2A B A B A B =−−+1cos cos [cos()cos()]2A B A B A B =−++1sin cos [sin()sin()]2A B A B A B =++−微积分中常用三角公式例７（1）.12321dx x x ∫−++原式()()dxx x x x x x ∫−−+−++−−+=123212321232dx x dx x ∫∫−−+=12413241)12(1281)32(3281−−−++=∫∫x d x x d x ()().121213212133C x x +−−+=#解：例７(２)解.2arcsin412dx xx ∫−dx x x ∫−2arcsin 41222arcsin 2112x d x x ∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=)2(arcsin 2arcsin 1x d x ∫=ln arcsin .2x C =+#2112arcsin122x dxx =⋅⎛⎞−⎜⎟⎝⎠∫例７（３）.11dx ex∫+解dx e x ∫+11dx e e e x xx ∫+−+=11dx e e xx ∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=11dx e e dx x x ∫∫+−=1)1(11x xe d e dx ++−=∫∫.)1ln(C e x x ++−=#解例８（1）求.cos 11∫+dx x ∫+dx x cos 11()()∫−+−=dxx x x cos 1cos 1cos 1∫−−=dx x x 2cos 1cos 1∫−=dx x x 2sin cos 1∫∫−=)(sin sin 1sin 122x d x dx x .sin 1cot C xx ++−=#例8（2）求3cosxdx∫解3cosxdx ∫#2cos sin xd x=∫2(1sin )sin x d x =−∫31sin sin 3x x C=−+例８（3）求解.cos sin52∫⋅xdx x ∫⋅xdx x 52cos sin ∫⋅=)(sin cos sin 42x xd x ∫−⋅=)(sin )sin 1(sin 222x d x x ∫+−=)(sin )sin sin 2(sin 642x d x x x .sin 71sin 52sin 31753C x x x ++−=说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.#例８（4）求解.2cos 3cos ∫xdx x )],cos()[cos(21cos cos B A B A B A ++−=),5cos (cos 212cos 3cos x x x x +=∫∫+=dx x x xdx x )5cos (cos 212cos 3cos .5sin 101sin 21C x x ++=#例９求下列不定积分21(2)103dxx x +−∫21(4)(1)x dx x x−+∫22(1)1x x dxx −+∫221(5)1x x dx x x −+++∫21(3)(1)x dxx x −+∫有理函数积分法：将被积函数转化为若干以下形式的有理函数（称为部分分式）的代数和.2(4)()k Ax B x px q +++2(3)Ax B x px q +++(1)A x a+(2)()kA x a +2(40)p q −<例9（1）22.1x x dx x −+∫解：221x x dx x −+∫22(1)5(1)31x x dx x +−++=+∫3[2(1)5]1x dx x =+−++∫233ln 1x x x C =−+++3[21]3x x dx =−++∫#有理函数积分法: 将有理函数化分为若干部分分式之和.22[(1)1][(1)1]1x x dx x +−−+−=+∫例9（2）21103dxx x +−∫解21103dx x x +−∫1(2)(5)dxx x =+−∫11[712]5dx x x ++−=∫1(5)(2)7(2)(5)x x dxx x −++=+−∫111172751125x x d dx x =++−∫∫1[ln 1ln 1]725x x C =+−−+12ln 75x C x+=+−#例9（3）21(1)x dx x x −+∫22131[](1)(1)x x dx dxx x x x −+=−++∫∫解221211(1)(1)21[][](1)x dx x x x x d x x++=−+−=+++∫∫2ln 1ln 1x x C x =+−−++12ln 1x Cx x +=−++#例9（4）21.(1)x dx x x −+∫解221[](111)1x dx d x xx x x x +−+−=+∫∫221211211()]x x x xdx+−++=∫21ln(1)arctan ln 2x x x C =++−+#例9（5）2231x x dxx x −+++∫22223(1)2211x x x x x dx dxx x x x −+++−+=++++∫∫解：222[1]1x dx x x −+=+++∫22213[1]131()24x dx x x x +=−+++++∫2(21)3[1]1x dx x x −++=+++∫221ln(1)23arctan()23x x x x C=−+++++#。