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第六章 保角变换(14)一、内容摘要1．单叶函数 :复变函数()w f z =在区域 D 内解析，且在 D 内任意不同两点函数值不同，则称该函数为单叶（解析）函数。
单叶变换 单叶解析函数确定的变换称为单叶变换。
定理 设()w f z =在0z z =解析，且0'()0f z ≠，则在z 平面上必存在一个包含0z 点的区域，而在 w 平面上有一个包含()00w f z =的区域，使得解析变换()w f z =给出这两个区域间点与点的一一对应关系。
即()w f z =在0z 点附近是单叶解析函数。
2．解析函数的保角性:设()w f z =在0z z =解析，且0'()0f z ≠，则()w f z =在 0z 的邻域与0w 的邻域的点与点之间建立了一个一一对应关系。
若()w f z =在0z 点解析，且()0'0f z ≠，则在0z 的某邻域内，用映射()w f z =把过0z 的任意两条曲线映射成过0w w =的两条曲线后，其夹角保持不变，无穷小线元成比例。
这样的变换称作保角变换。
3．最简单的保角变换 1） 平移变换 =+w z b ． 2） 转动变换 =i w ze α． 3） 线性伸缩变换 =(r>0)w rz ． 4） 倒数变换 1=w z ．4．线性变换复变函数,0az b w ad bc cz d +=-≠+确定的变换称为线性变换。
该变换除dz c=-外处处解析，且dz c=-为一阶极点。
线性变换具有如下性质： (1) 线性变换az b w cz d +=+的逆变换为dw bz cw a-+=-． (2) 线性变换总可以分解成整线性变换和倒数变换的复合。
(3) 线性变换是一个保角变换。
(4) 线性变换具有保圆周性。
(5) 线性变换具有保对称点性。
12,z z 关于直线γ对称，是指12,z z 的连线与γ正交，且被γ平分。
12,z z 关于圆:z a R γ-=对称，是指12,z z 都在过圆心 a 的同一射线上，且212z a z a R --=。
共形变换和保角变换
共形变换和保角变换是复变函数论中的重要概念。
共形变换是指保持角度不变的变换，即它保持两条曲线在交点处的夹角大小不变。
保角变换是指保持曲线上的角度不变的变换，即它保持曲线上各点的切线所成的角度不变。
共形变换和保角变换在物理学、工程学和自然科学中都有广泛应用。
例如，在地理学中，地图投影就是一种共形变换，它保持了地球表面上不同地区的地理特征和角度关系。
在流体力学中，一些流体运动模型中也使用了保角变换来描述流体的运动轨迹。
共形变换和保角变换在复变函数论中有着重要的应用。
它们可以用来研究复平面上的连续函数和解析函数的性质，以及解析函数在复平面上的分布和变换规律。
通过研究共形变换和保角变换，可以推导出许多复变函数的重要结论和定理。
因此，共形变换和保角变换是复变函数论中不可或缺的基础概念之一。
- 1 -。
第七章保形变换前几章主要是用分析的方法，也就是用微分、积分和级数等，来讨论解析函数的性质和应用。
内容主要涉及所谓柯西理论；这一章主要是用几何方法来揭示解析函数的特征和应用。
保形变换现审定名为“共形映射”或“共性映照”。
它在数学本身以及在流体力学、弹性力学、电学等学科的某些实际问题中，都是一种使问题化繁为简的主要方法。
第一节解析变换的特性一.保域性1.定理7.1(保域定理)设在区域内解析且不恒为常数，则的象也是一个区域。
证先证的每一个点都是内点。
，使,则为的一个零点,由解析函数的零点孤立性知,,使,且在上无异于的零点。
令,则。
下证。
，考察，当时，，由Rouché定理，即在内有解,从而。
再证内任两点,可用全含于内的折线连接起来。
由于是区域,在内有折线,,连接,其中。
函数把折线映射成内连接的逐段光滑曲线。
由于为内紧集，根据有限覆盖定理,可被内有限个开圆盘所覆盖,从而在内可作出连接的折线。
综合，知为区域。
2.推论7.2设在区域内单叶解析,则的象也是一个区域。
证因为在区域内单叶，故在内不恒为常数。
3.定理还可推广为：在扩充平面的区域内除可能有极点外处处解析,且不恒为常数，则的像为扩充平面上的区域。
4.单叶解析函数的性质定理6.11若在区域内单叶解析，则在内。
定理7.3(局部单叶性) 设在解析且，则在的某个邻域内单叶解析。
(证明类似于和）二.解析变换的保角性——导数的几何意义1.导数辐角的几何意义设为过的光滑曲线,,则且是在处的切线的辐角。
设，故也是光滑的,。
若内过还有一个光滑曲线。
设，则即处曲线与的夹角恰好等于处曲线与的夹角。
单叶解析函数作为映射时,曲线间夹角（即切线的夹角）的大小及方向保持不变，这一性质称为旋转角不变性。
称为变换在的旋转角,仅与有关，与过的曲线的选择无关。
象曲线在处的切线正向可由原象曲线在的切线正向旋转一个旋转角得到。
2.导数模的几何意义由于,故象点间的无穷小距离与原象点间无穷小距离之比的极限是,称为变换在的伸缩率。
第六章 保角映射§1保角映射的概念一、 保角映射的基本问题在实用上，往往是给出两个区域D 和G ，要求找出一个解析函数，它将区域D 保形地变换到区域G 。
这就是保交映射的基本问题，比较一般的是归结为要找出一个解析函数，将区域D 保形地变换到单位圆内部区域的问题。
另外，要求这种保形变换必须是一一对应的，因此，要求被变换的区域必须是单连域。
黎曼定理：1．一个边界至少包含两点的单连域D ，存在一个解析函数)(z f w =，将区域D 保形地变 换为单位圆1<w 。
如果在D 内再任意指定一点0z ，并令,0)(0≠z f 及)(0'z f 是正实数，则保形变换函数是唯一存在的。
这个定理从理论上指出保形变换函数的存在与唯一性。
2．如果给出两个单连域D 和G ，它们的边界分别是多于两点的曲线C 和Γ，若能找到在 D 内是解析的，在闭区域C D D +=上是连续的，且能作出将C 到Γ双方正向的，一一对应的变换函数)(z f w =,则)(z f w =将D 保形变换到G 。
3．.边界对应原理：设单连域D 和G 的边界分别为C 和Γ。
若存在一个在D 内解析，在C 上连续的函数)(z f w =，它将z 平面上的边界C 一一对应地映射成w 平面上的边界Γ。
当原像点z 和像点w 在边界上的绕向一致时，则C 内的区域D 将映射成由边界Γ所围成的区域G ；反之，则C 内的区域D 将映射成Γ的外部区域'G 。
1）当321z z z →→，有321w w w →→，绕向一致时，则有00w z →，则区域D 将映射成区域G ；2）当321z z z →→，有123w w w →→，绕向相反时，则区域D 将映射成Γ的外部区域。
二、解析函数导数的几何意义设函数)(z f w =在区域D 内解析，0z 是D 内的一点，它与w 平面上的一点0w 对应，当z在经过0z 的某条曲线C 上移动时，则相应地w 在经过点0w 的一条曲线Γ移动。
复变函数的基本运算与性质一、引言复变函数是数学中重要的概念之一，在很多科学领域中都有广泛的应用。
为了更好地理解复变函数，本文将探讨其基本运算与性质。
二、复变函数的定义复变函数是将复数集合映射到复数集合的函数。
若函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy，u(x,y)和v(x,y)是实函数，则称该函数为复变函数。
三、复变函数的基本四则运算1. 复变函数的加法：若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)和g(z)=p(x,y)+iq(x,y)是两个复数函数，则它们的和为h(z)=f(z)+g(z)=(u+p)+(v+q)i。
2. 复变函数的减法：若f(z)和g(z)同上，则它们的差为h(z)=f(z)-g(z)=(u-p)+(v-q)i。
3. 复变函数的乘法：若f(z)和g(z)同上，则它们的乘积为h(z)=f(z)g(z)=(up-vq)+(uq+vp)i。
4. 复变函数的除法：若f(z)和g(z)同上，并且g(z)≠0，则它们的商为h(z)=f(z)/g(z)=[(up+vq)+(vp-uq)i]/(p^2+q^2)。
四、复变函数的导数与解析性1. 复变函数的导数：若f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在D内可导。
其导数可表示为f'(z)=lim((f(z+Δz)-f(z))/Δz)，其中Δz是趋于0的复数。
2. 复变函数的解析性：若f(z)在区域D内处处可导，并且导数f'(z)在D内连续，则称f(z)在D内解析。
五、复变函数的性质1. 复变函数的实部与虚部：对于f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其实部为u(x,y)，虚部为v(x,y)。
实部和虚部都是实函数，它们唯一确定了复变函数。
2. 复变函数的共轭函数：若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则其共轭函数为f*(z)=u(x,y)-iv(x,y)。
共轭函数与原函数有相同的实部，但虚部取负值。
§1 复变函数的定义由两个实数x，y确定的数z=x+i y称为复数。
x，y分别称为复数z的实部和虚部，记作x=Re z 和y =Im z。
Re和Im分别为表示复数实部和虚部的符号。
其中称为虚数单位。
显然z可以用直角坐标系（x，y）表示，x称为实轴，y称为虚轴。
坐标平面称为复平面，或者z平面。
因此，z平面上的任一点可记作称为复数z的模，称为z的幅角，其在[0，2 ]之间的值称为主幅角。
显然，复数可以写作极坐标表达形式。
设有一个复数z=x+i y的集合g。
对于集合g中的每一个复数z都有对应的复数值，w=u+i v，则称w是z的复变函数，记作w = f (z)。
给定一个复变函数就是在点（x，y）与（u，v）之间给出了一一对应关系。
因此，u，v均随x，y而确定，这就是说给定了一个复变函数和给定两个实变函数u=u（x，y），v=v（x，y）是等价的。
而且w=u（x，y）+i v（x，y）复变函数和实变函数同样有单值函数和多值函数，应该注意到实变函数的性质对于复变函数可能是不成立的。
例如复变函数中的对数函数w=ln z是多值的。
为了便于理解，以对数函数为例。
设。
上式对于z的所有不等于零的复数值定义了函数ln z。
在公式中包含一个任意的整数k，这就是说ln z是一个多值函数。
对于k的任一整数值，就有函数ln z的一个分支。
通常取k=0的那一支叫做的主值，即如果z的一个值对应着w的一个值，那么函数f（z）是单值函数；如果z的一个值对应着两个或两个以上的w值，则f（z）是多值函数。
集合g称为f（z）的定义集合。
§2 解析函数--复变函数的可导性复变函数的导数与实变函数的导数定义是相同的。
因此，关于实变函数的一系列微分公式与法则，可以完全照搬到复变函数上。
不过应该注意的是，复变函数的变量是复变量，不是实变量。
值得指出的是，实变函数的可导性要求当x＝x0+∆x 由左右两方趋近x0时，∆y/∆x的极限都存在而且相等。
§1 复变函数的定义由两个实数x，y确定的数z=x+i y称为复数。
x，y分别称为复数z的实部和虚部，记作x=Re z 和y =Im z。
Re和Im分别为表示复数实部和虚部的符号。
其中称为虚数单位。
显然z可以用直角坐标系（x，y）表示，x称为实轴，y称为虚轴。
坐标平面称为复平面，或者z平面。
因此，z平面上的任一点可记作称为复数z的模，称为z的幅角，其在[0，2 ]之间的值称为主幅角。
显然，复数可以写作极坐标表达形式。
设有一个复数z=x+i y的集合g。
对于集合g中的每一个复数z都有对应的复数值，w=u+i v，则称w是z的复变函数，记作w = f (z)。
给定一个复变函数就是在点（x，y）与（u，v）之间给出了一一对应关系。
因此，u，v均随x，y而确定，这就是说给定了一个复变函数和给定两个实变函数u=u（x，y），v=v（x，y）是等价的。
而且w=u（x，y）+i v（x，y）复变函数和实变函数同样有单值函数和多值函数，应该注意到实变函数的性质对于复变函数可能是不成立的。
例如复变函数中的对数函数w=ln z是多值的。
为了便于理解，以对数函数为例。
设。
上式对于z的所有不等于零的复数值定义了函数ln z。
在公式中包含一个任意的整数k，这就是说ln z是一个多值函数。
对于k的任一整数值，就有函数ln z的一个分支。
通常取k=0的那一支叫做的主值，即如果z的一个值对应着w的一个值，那么函数f（z）是单值函数；如果z的一个值对应着两个或两个以上的w值，则f（z）是多值函数。
集合g称为f（z）的定义集合。
§2 解析函数--复变函数的可导性复变函数的导数与实变函数的导数定义是相同的。
因此，关于实变函数的一系列微分公式与法则，可以完全照搬到复变函数上。
不过应该注意的是，复变函数的变量是复变量，不是实变量。
值得指出的是，实变函数的可导性要求当x＝x0+∆x 由左右两方趋近x0时，∆y/∆x的极限都存在而且相等。
复变函数的可导性则要求当点z＝z0+∆z 在复平面上沿任意路径趋近z0时，∆w/∆z的极限都存在，而且这些极限都相等。
讨论点z沿x轴和点z沿y轴方向趋近x0两种情况。
在第一种情况下，由于∆y=0，因此∆z =∆x，而。
令，取极限, 则。
在第二种情况下，由于∆x=0，因此∆z =i∆y，而。
令，取极限, 则。
因此，若复变函数的导数 f '(z) 存在，则应有关系。
上述关系称为柯西--黎曼（Cauchy--Riemann）条件。
对于解析函数w=u（x，y）+i v（x，y），由于满足柯西--黎曼条件，即解析函数实部和虚部之间满足关系。
所以，。
上式即平面上的拉普拉斯（Laplace）方程，这个方程的解称为调和函数。
所以解析函数的实部和虚部都是调和函数。
§3 保角变换映射:函数w=f（z）将z平面上点的集合变换到另一个平面（w平面）上的一个点的集合。
解析函数w=f（z）在点z0 所实现的变换，是把点z0 处的所有线素皆按同一比例伸长，而且任意两条曲线之间的交角保持不变。
具有这种性质的变换称为保角变换。
解析函数所实现的变换在其导数不为零的一切点处都是保角的。
函数w=f（z）的定义集合是z平面上的一个点的集合g，而把函数集合G看成是另一个平面（w平面）上的一个点的集合，那么w=f（z）在几何上就是把集合g变到集合G的一个变换（映射）。
设解析函数w=f（z）把z平面上的点z0变到w平面上的点w0=f（z0），把过点z0 的曲线C变到过点w0的曲线C1。
点z0 +∆z为C上点z0 的邻近点，点w0+∆w为C1上点w0的邻近点，而且为z0 +∆z的对应点。
这时∆z为从点z0 到z0 +∆z的矢量，而∆w为从点w0到w0+∆w的矢量。
由w=f（z）的解析性可知，当∆z→0，有∆w→0。
而且，不论曲线C如何选取，这一关系都将成立，那么取模则有上式表示了z平面上在所给点z0 的线素与对应的w平面上的线素的比值，这个比值与从z0 点所引的曲线无关。
代表平面上的线素对于z 平面上的线素的倍数。
因此，称它为伸长系数。
考虑幅角可得这里设f '(z0)≠0 ，否则幅角将无法确定。
因为商的幅角等于被除数的幅角减去除数的幅角，所以。
因为当∆z→0时，。
所以设α 和β 是曲线C1与C2在对应点的切线与实轴的交角。
因此。
上式表示在平面上过点z0 的任一条曲线的切线变到平面时都转过同一个角度，这个角度的大小就是arg f '(z0)。
由于这个性质，将arg f '(z0) 称为变换的旋转角。
由此可见，如果C1与C2是从点z0出发的两条曲线，C'1与C'2为从w0出发的两条相应的曲线，则C'1与C'2在所成的交角必等于C1与C2在点z所成的交角。
曲线的交角在这个变换下是不变的。
总之。
当f '(z0)≠0 时，解析函数w=f（z）在点z0所实现的变换，是把点z0处的所有线素皆按同一比例伸长，而且任意两条曲线之间的交角保持不变。
具有这种性质的变换称为保角变换。
解析函数所实现的变换在其导数不为零的一切点处都是保角的。
解析函数在导数为零处，保角性一般要受到破坏的。
导数为零的点称为变换的驻点。
§4 复变函数的积分复变函数沿曲线的积分与实变函数的线积分的概念相当。
设有从点a到点b的一条曲线C，复变函数f（z）在包含C的一个区域内有定义。
将曲线用点a = z0，z1，z2，…，z n-1，z n=b分成z0，z1，z2，…，z n-1，z n若干小段，而且z0<z1< z2 <，…，<z n-2 <z n。
取和数如函数f（z）是连续的，曲线C是分段光滑的，则和数S n当n无限增大，而每两相邻分点的距离趋近于零时（即），有完全确定的极限这个极限称为f（z）沿曲线C的线积分。
对于解析函数，如果f（z）=u+i v在单连域S内单值解析，则其应满足柯西--黎曼条件。
而d z=d x+id y如果积分起点与终点重合时，即C为闭合曲线，则由格林积分公式这一结果说明：解析函数在单连域内沿任一闭曲线的积分为零。
柯西积分公式：对于解析函数f（t）在区域S内处处解析，C为S内的任一闭曲线，它的内部完全属于S，z为包含在C内的任一点。
对于积分上式中，t为闭曲线C上的点。
假如解析函数f（t）在区域S内处处解析，C为S内的任一闭曲线，它的内部完全属于S，z为C外的任一点，则如果解析函数f（t）在区域S外，包括无穷远点处处解析，C为S内的任一闭曲线，它的内部完全属于S，z为包含在C内的任一点，于是保角变换为了便于根据边界条件确定K-M函数，采取保角变换z = ω (ξ)将物体在z平面上所占的区域变为在ξ平面所占的区域。
一般的说，通过保角变换可以将非圆边界映射为圆边界，使得问题得以简化。
假设将z平面上的有限区域或者无限区域S映射为ξ平面的单位圆内的区域∑，并且将z平面上的区域S的边界l 映射为单位圆γ，对应的关系如下表：由于ξ 平面上的任一点可以表示为。
ρ和ϕ是点ξ 的极坐标。
而根据保角变换公式z = ω (ξ)，则z平面任意一点也可以通过ρ和ϕ表示。
因此，ρ 和ϕ 又称为曲线坐标。
对于某些问题的描述中，采用曲线坐标形式表示位移和应力有利于问题的分析。
曲线坐标的概念：ξ平面的一个圆周ρ =const和一条径向直线ϕ =const分别对应于z平面的两条曲线，这两条曲线就记作ρ =const和ϕ =const。
于是ρ和ϕ可以看作z平面上一点的曲线坐标。
由于变换的保角性，这个曲线坐标总是正交的，而且坐标轴ρ 和ϕ 的相对位置和坐标轴Ox和Oy的相对位置相同，如图所示。
位移的曲线坐标首先讨论矢量的保角变换。
设曲线坐标ρ，即ϕ =const与x轴夹α角，如果A 为z平面上的任一矢量，设A与曲线坐标ρ 夹β角。
设A x, A y分别表示矢量A 在x，y轴的投影；Aρ ,Aϕ 表示在ρ=const和ϕ =const上的投影，则上式的几何意义为，将矢量A绕z点顺时针方向转动α角后，其在Oxy 坐标系的位置，相当于A在曲线坐标系（ρ，ϕ）中的位置，如图所示。
如果用uρ , uϕ 分别表示曲线坐标下的位移矢量分量，则根据保角变换，有所以沿曲线（ρ）取微分线段d z，则在ξ平面对应的有dξ，由于所以，取其共轭可得。
将上式回代到公式，可得下面通过保角变换对弹性力学的公式作对应的转换。
首先，设K-M函数和ψ (z)分别使用和ψ 1(z)代替，同时令根据位移表达式，有在z 平面上，将位移矢量向曲线坐标ρ和ϕ投影。
由公式可得上式两边同时乘以2G，可得上式是ξ平面上的曲线坐标系表达的位移表达式。
应力分量的保角变换下面建立曲线坐标中应力分量的复变函数表达式。
如果用σρ, σϕ , τρϕ表示物体在曲线坐标中的应力分量。
则因为和,而由公式所以上式为经过保角变换后，z平面上的曲线坐标系中的应力分量的复变函数表达式。
