三角形相似定理

三角形的相似性质与判定定理
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。

(1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,(简叙为两角对应相等两三角形相似)。

(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角成正比,那么这两个三角形相近(简叙为:两边对应成比例且夹角成正比,两个三角形相近。

)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的`三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。

)
1、相近三角形对应角成正比，对应边变成比例。

2、相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

3、相近三角形周长的比等同于相近比。

4、相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5、相近三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相近比相同，内切圆、外接圆面积比是相近比的平方。

三角形的相似性质总结三角形是几何学中最常见的形状之一，它有着丰富的性质和特点。

在这篇文章中，我将对三角形的相似性质进行总结。

通过了解三角形的相似性质，我们可以更好地理解和分析三角形的形状、比例和角度，从而应用于各种实际问题的求解中。

一、三角形的相似性质概述在几何学中，两个三角形被称为相似三角形，当且仅当它们的对应角度相等，并且对应边的比例相等。

根据相似三角形的性质，我们可以得出以下几个重要结论：1. AA相似定理（Angle-Angle相似定理）：如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。

2. SAS相似定理（Side-Angle-Side相似定理）：如果两个三角形的一个角相等，并且与另一个三角形的两条边成比例，那么这两个三角形相似。

3. SSS相似定理（Side-Side-Side相似定理）：如果两个三角形的三条边分别成比例，那么这两个三角形相似。

二、使用相似性质求解问题相似三角形的性质是我们在解决几何问题时非常重要的工具。

下面，我将通过几个具体的例子来展示如何使用相似性质来求解问题。

例1：已知三角形ABC和三角形DEF，且∠B=∠E，AB/DE=2/5，AC/DF=3/7，求证：三角形ABC与三角形DEF相似。

解答：根据AA相似定理，由于∠B=∠E，并且∠A和∠D分别对应，所以三角形ABC与三角形DEF相似。

再根据比例关系，我们可以得出AB/DE=AC/DF。

根据题目已知条件，我们可以得到2/5=3/7，经过计算得到2×7=5×3，等式成立。

所以，三角形ABC与三角形DEF相似。

例2：已知三角形ABC和三角形DEF相似，且BC=6cm，EF=10cm，AB/DE=3/5，求BC与EF的比值以及三角形ABC的周长与三角形DEF的周长的比值。

解答：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据比例关系，可以得到BC/EF=AB/DE=3/5。

代入已知条件，可求得BC/EF=3/5。

初中数学相似三角形公式定理相似三角形要义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形相似三角形判定定理:(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

)(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。

)(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，那么这两个三角形相似。

直角三角形判定定理:(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

相似三角形性质定理:(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

性质1.相似三角形对应角相等，对应边成比例。

2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。

3.相似三角形周长的比等于相似比。

4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。

判定三角形相似的条件三角形是几何学中的基本图形，而相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

判定三角形相似的条件有以下几种：1. AAA相似定理AAA相似定理是指若两个三角形的三个内角分别相等，则这两个三角形相似。

也就是说，如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。

例如，如果一个三角形的三个内角分别为30度、50度和100度，而另一个三角形的三个内角分别为30度、50度和100度，那么这两个三角形是相似的。

2. AA相似定理AA相似定理是指若两个三角形的两个内角分别相等，则这两个三角形相似。

也就是说，如果两个三角形的两个角度分别相等，那么它们是相似的。

例如，如果一个三角形的两个内角分别为30度和50度，而另一个三角形的两个内角分别为30度和50度，那么这两个三角形是相似的。

3. SSS相似定理SSS相似定理是指若两个三角形的三个边的比例相等，则这两个三角形相似。

也就是说，如果两个三角形的三个边的比例相等，那么它们是相似的。

例如，如果一个三角形的三个边长分别为3cm、4cm和5cm，而另一个三角形的三个边长分别为6cm、8cm和10cm，那么这两个三角形是相似的。

4. SAS相似定理SAS相似定理是指若两个三角形的一个角和两个边的比例相等，则这两个三角形相似。

也就是说，如果两个三角形的一个角和两个边的比例相等，那么它们是相似的。

例如，如果一个三角形的一个角为60度，而另一个三角形的一个角为60度，且两个三角形的两个边的比例相等，那么这两个三角形是相似的。

需要注意的是，以上四个相似定理都是用于判定两个三角形是否相似的条件。

在判定三角形相似时，需要满足其中一个定理即可。

相似三角形具有很多重要的性质和应用。

例如，相似三角形的对应边长比等于对应角度的正弦比、余弦比或正切比。

这些性质在解决实际问题时非常有用。

总结起来，判定三角形相似的条件包括AAA相似定理、AA相似定理、SSS相似定理和SAS相似定理。

判定三角形相似的定理
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形，判定三角形相似的定理有：
1.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角
形与原三角形相似。

2.如果两个三角形对应边的比相等且夹角相等，那么这两个三角形相似。

3.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两
个三角形相似。

4.如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两
个三角形相似。

相似三角形原理：所谓的相似三角形,就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似三角形
三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形
相似三角形的判定方法有
平行线截三角形所得三角形与原三角形相似。

两角相等，两三角形相似。

两个三角形的两边对应成比例且其两条边的夹角相等，两三角形相似。

三边分别对应成比例，两三角形相似。

直角三角形相似判定定理1：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

直角三角形相似判定定理2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

三角形相似的判定定理相似三角形是高中数学中一个重要的概念，它指的是具有相同形状但可能不同大小的三角形。

判定两个三角形是否相似是数学学习中的一个关键问题。

在本文中，我们将介绍三角形相似的判定定理，帮助读者更好地理解这一概念。

什么是三角形相似在几何学中，两个三角形被称为相似三角形，如果它们的三个对应角相等，或者它们的三条边成比例。

具体来说，如果两个三角形的对应角全部相等，则这两个三角形为全等三角形；如果两个三角形的对应角不全等，但三个对应边的长度成比例，则这两个三角形为相似三角形。

相似三角形之间的对应边之比称为这两个三角形的相似比例。

相似的判定定理判定两个三角形是否相似有一些定理可以帮助我们做出判断。

以下是几条常用的相似判定定理：AA 相似判定定理定理描述：如果两个三角形的两个对应角分别相等，则这两个三角形相似。

详细说明：如果三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A = ∠D 且∠B = ∠E，那么这两个三角形相似。

这个定理也被称为角-角相似判定定理。

SSS 相似判定定理定理描述：如果两个三角形的三条对应边成比例，则这两个三角形相似。

详细说明：如果三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形相似。

这个定理也被称为边-边-边相似判定定理。

SAS 相似判定定理定理描述：如果两个三角形的一个角相等，两个对边成比例，则这两个三角形相似。

详细说明：如果三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A = ∠D 且 AB/DE = AC/DF，那么这两个三角形相似。

这个定理也被称为边-角-边相似判定定理。

总结通过学习三角形相似的判定定理，我们可以更好地理解相似三角形的性质，对解决几何学中的一些问题有所帮助。

在实际问题中，利用相似三角形的性质可以简化计算，快速求解各种几何问题。

因此，掌握相似三角形的判定定理是数学学习中的一个重要内容。

希望本文能够帮助读者更深入地理解三角形相似的概念，掌握判定相似三角形的方法，从而在数学学习中取得更好的成绩。

初三数学知识点：相似三角形定理聪明出于勤奋，天才在于积累。

我们要振作精神，下苦功学习。

编辑了初三数学知识点：相似三角形定理，以备借鉴。

相似三角形定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

相似三角形判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。

相似直角三角形定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。

性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比。

性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方。

初三数学知识点：相似三角形定理就是为大家整理的，希望对大家数学成绩的提高有所帮助。

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我们要振作精神，下苦功学习。

编辑了初三数学知识点：相似三角形定理，以备借鉴。

相似三角形定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

相似三角形判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。

相似直角三角形定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。

性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比。

性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方。

初三数学知识点：相似三角形定理就是为大家整理的，希望对大家数学成绩的提高有所帮助。

相似三角形判定定理1.平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似；（这是相似三角形判定的引理，是以下判定方法证明的基础。

这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明）2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似方法四4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似5.对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 直角三角形相似的判定定理:(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 相似三角形的性质定理:(1)相似三角形的对应角相等. (2)相似三角形的对应边成比例.(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(4)相似三角形的周长比等于相似比. (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方. 相似三角形的传递性如果△ABC ∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么△ABC ∽A2B2C21．（2010北京） 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若AD ∶AB =3∶4，AE =6，则AC 等于( )A ．3B ．4C ．6D ． 8 【答案】D2．（2010河南）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则下列结论：①BC=2DE ；②△ADE ∽△ABC ；③AD ABAE AC.其中正确的有(A)3个 (B)2个(C)1个 （D ）0个 【答案】A 3．（2010年上海）如图2，△ABC 中，点D 在边AB 上，满足∠ACD =∠ABC ，若AC = 2，AD = 1，则DB = __________.BACD ABC AC/AB=AD/AC 【答案】DB=34．（2010陕西西安）如图，在ABC ∆中，D 是AB 边上一点，连接CD ，要使ADC ∆与ABC ∆相似，应添加的条件是 。

相似三角形证明过程
相似三角形是数学中重要的概念，下面我们将介绍相似三角形的证明过程。

1. AA相似定理证明过程：
假设有两个三角形ABC和DEF，若它们的角A和D相等，角B和E相等，则可得出它们相似。

证明过程：由角A和D相等可得：∠A=∠D，由角B和E相等可得：∠B=∠E。

因此，我们可以得到：∠C=∠F。

而又由于三角形内角和为180度，所以∠A+∠B+∠C=180度，∠D+∠E+∠F=180度。

代入可以得到：∠C=∠F，∠B=∠E，∠A=∠D。

因此，根据相似三角形定义，ABC与DEF相似。

2. AB/DE=AC/DF相似定理证明过程：
假设有两个三角形ABC和DEF，若它们的一个角相等，且它们的对边成比例，则可得出它们相似。

证明过程：设∠A=∠D，AB/DE=AC/DF。

由三角形的内角和可得：∠B=180度-∠A-∠C，∠E=180度-∠D-∠F。

将AB/DE=AC/DF代入，得到：AB/DE=AC/DF → AB/DE=(AB+BC)/(DE+EF)。

因此，我们可以得到：AB/(AB+BC)=DE/(DE+EF)，即：AB/AC=DE/DF。

因此，根据相似三角形定义，ABC与DEF相似。

3. SSS相似定理证明过程：
假设有两个三角形ABC和DEF，若它们的三边成比例，则可得出它们相似。

证明过程：设AB/DE=BC/EF=AC/DF，由几何原理可知：∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE。

因此，根据相似三角形定义，ABC 与DEF相似。