相似三角形判定定理与证明

相似三角形判定定理的证明乐乐课堂【实用版】目录1.相似三角形判定定理的概念2.相似三角形判定定理的证明方法3.相似三角形判定定理的应用正文一、相似三角形判定定理的概念相似三角形判定定理是指在两个三角形中，如果满足一定的条件，那么这两个三角形就是相似的。

相似三角形的判定定理有以下三种：1.两角对应相等的两个三角形相似；2.两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似；3.三边对应成比例的两个三角形相似。

二、相似三角形判定定理的证明方法1.两角对应相等的两个三角形相似的证明：在三角形 ABC 与三角形 A"B"C"中，如果角 A 与角 A"、角 B 与角B"分别相等，那么三角形 ABC 与三角形 A"B"C"相似。

证明方法主要是利用平行线分线段成比例定理的逆定理，即将两个三角形相等的角重合，然后通过平行线分线段成比例定理证明其余部分也成比例。

2.两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似的证明：在三角形 ABC 与三角形 A"B"C"中，如果边 AB 与边 A"B"、边 AC 与边 A"C"分别成比例，并且角 B 与角 B"、角 C 与角 C"分别相等，那么三角形 ABC 与三角形 A"B"C"相似。

证明方法同样是利用平行线分线段成比例定理的逆定理，将两个三角形相等的角重合，然后通过平行线分线段成比例定理证明其余部分也成比例。

3.三边对应成比例的两个三角形相似的证明：在三角形 ABC 与三角形 A"B"C"中，如果边 AB 与边 A"B"、边 BC 与边 B"C"、边 AC 与边 A"C"分别成比例，那么三角形 ABC 与三角形A"B"C"相似。

如何證明相似三角形判定定理預備知識：圖1中，平行線等分線段定理 已知l 1//l 2//l 3，AB =BC ，則DE =EF由已知條件構造三角形全等，可證得平行線間距離相等，然後以此結論做條件可構造線段DE ，EF 所在三角形全等，結論獲證. 圖2中，平行線分線段成比例定理 已知l 1//l 2//l 3，則DEEFBC AB =，命題可通過添加平行線轉化成平行線等分線段定理.由比例性質還可得DF EF AC AB =，EF ED AB CB =，DF EDAC CB =相似三角形判定定理證明圖3，已知DE//BC ，求證：△AD E ∽△ABC析：欲證兩三角形相似，則需證三對角對應相等，三對邊の比 相等，本題目三對角相等，則證三邊比相等即可. 由DE//BC 得AC EA AB AD =，作EF//AB 得AC EACB BF =，依題意知四邊形DEFB 是平行四邊形，DE=BF . 則CBDEAC AE AB AD ==，命題獲證. 圖4，已知DE//BC ，求證：△AD E ∽△ABC作AG=AD ，GH//BC ，HM//AB ，可證△AD E ≌△AGH 此問題同圖3圖5，在△ABC 與△A`B`C`中，``````C A ACC B BC B A AB == 求證：△ABC ∽△A`B`C`在線段A`B`上截取A`D=AB ，過點D 作DE//B`C`，交A`C`於點E ，根據上面定理得△A`D E ∽△A`B`C` ∴````````C A EA CB DE B A D A == ∵``````C A ACC B BC B A AB ==，AB=A`D ∴DE=BC ，A`E=AC3l3图3B图4B图5图6B∴△A`D E ≌△A`B`C` ∴△ABC ∽△A`B`C` 圖6，````C A ACB A AB =，∠A =∠A`，求證：△ABC ∽△A`B`C` 在線段A`B`上截取A`D=AB ，過點D 作DE//B`C`，交A`C`於點E ，根據上面定理得△A`D E ∽△A`B`C` ∴``````C A EA B A D A =∵````C A ACB A AB =，A`D=AB ∴A`E=AC ∵∠A =∠A`∴△A`D E ≌△A`B`C` ∴△ABC ∽△A`B`C`圖7，∠A=∠A`，∠B=∠B`求證：△ABC ∽△A`B`C`在線段A`B`上截取A`D=AB ，過點D 作DE//B`C`，交A`C`於點E ，根據上面定理得△A`D E ∽△A`B`C` ∴∠A`DE=∠B`∵∠A=∠A`，∠B=∠B`，A`D=AB ∴∠A`DE=∠B∴△A`D E ≌△A`B`C` ∴△ABC ∽△A`B`C`圖8，Rt △ACB 與Rt △A`C`B`中，∠C=∠C`=90°，````C A ACB A AB = 求證：△ABC ∽△A`B`C`設````C A ACB A AB ==k ，則AB=kA`B`,AC=kA`C`則 k ````k ````k ``k ````222222==-=-=C B C B C B C A B A C B AC AB C B BC則三邊成比例，∴△ABC ∽△A`B`C`图7B图8B。

相似三角形的判定定理：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.)；(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.)；(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等，两个三角形相似.).直角三角形相似的判定定理：[1](1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似；(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.性质定理编辑(1)相似三角形的对应角相等；(2)相似三角形的对应边成比例；(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；(4)相似三角形的周长比等于相似比；(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.[2]判定方法编辑预备定理平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。

（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。

这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

判定定理常用的判定定理有以下6条：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。

）（AA）判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

）（SAS）判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。

（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。

相似三角形的五种判定方法SSASSA是根据两条边加上它们之间的夹角来判断三角形是否相似的方法。

如果两个三角形的两条边加上它们之间的夹角相等，则这两个三角形是相似的，即满足SSA。

例如，两个三角形A的两边长分别为4 cm、6 cm，它们之间的夹角为60°；而三角形B的两边长也分别为4 cm、6 cm，它们之间的夹角也为60°，则A和B是相似的三角形。

第二种判定方法：SAS(Side-Angle-Side)SAS是根据一条边的长度及它两旁角的大小来判断三角形是否相似的方法。

如果两个三角形有一条边的长度及它两旁夹角的大小相等，则这两个三角形是相似的，即满足SAS。

例如，两个三角形A的边长分别为2 cm、4 cm，它们的夹角分别为60°和30°；而三角形B的边长也分别为2 cm、4 cm，它们的夹角也分别为60°和30°，则A和B是相似的三角形。

第三种判定方法：AAA(Angle-Angle-Angle)AAA是根据三角形的三个内角的大小来判断三角形是否相似的方法。

如果两个三角形的三内角大小相等，则这两个三角形是相似的，即满足AAA。

例如，三角形A的角的大小分别为30°、60°、90°；而三角形B的角的大小也分别为30°、60°、90°，则A和B是相似的三角形。

第四种判定方法：AAS(Angle-Angle-Side)AAS是根据两个内角的大小加上它们之间一条边的长度来判断三角形是否相似的方法。

如果两个三角形有两个内角的大小及它们之间一条边长度相等，则这两个三角形是相似的，即满足AAS。

例如，两个三角形A的角分别为30°、60°，它们之间一条边长度为3 cm；而三角形B的角分别为30°、60°，它们之间一条边长度也为3 cm，则A和B是相似的三角形。

相似三角形判定定理的证明在初中学习几何的时候，我们就学习了相似三角形的概念和判定方法，其中比较关键的就是相似三角形判定定理。

在本文中，我们将介绍相似三角形判定定理的证明过程。

定理说明相似三角形判定定理是指：若两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是相似的；若两个三角形有两个角相等，则这两个三角形是相似的；若两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形是相似的。

证明过程对应角相等时的证明假设两个三角形ABD和EFC，其中∠A和∠E，∠B和∠F，∠D和∠C相等，则可以按照以下步骤证明这两个三角形是相似的：1.连接BD和FC2.在三角形ABD和三角形EFC中，分别连接AC和EF3.由于∠A和∠E，∠B和∠F，∠D和∠C相等，因此三角形ABD和三角形EFC都是等角三角形4.通过等角三角形的对应边相等，可以得到AB/EF=BD/FC=AD/EC5.由于AB/EF=BD/FC=AD/EC，因此三角形ABD和三角形EFC的对应边成比例，证明这两个三角形是相似的有两个角相等时的证明假设两个三角形ABC和DEF，其中∠A=∠D，∠B=∠E，则可以按照以下步骤证明这两个三角形是相似的：1.连接AC和DF2.由于∠A=∠D，∠B=∠E，因此∠ABC和∠DEF是相似的角3.通过相似角的对应边成比例，可以得到AB/DE=BC/EF4.由于AB/DE=BC/EF，因此三角形ABC和三角形DEF的对应边成比例，证明这两个三角形是相似的对应边成比例时的证明假设两个三角形ABC和DEF，其中AB/DE=BC/EF=CA/FD，则可以按照以下步骤证明这两个三角形是相似的：1.在三角形ABC和三角形DEF中，分别连接AD和BE2.由于AB/DE=BC/EF=CA/FD，因此根据对应边成比例的定义，可以得到AD/BE=BC/EF3.通过相似线段的对应边成比例，可以得到∠BAD=∠EBE以及∠ADC=∠FBE4.由于∠BAD=∠EBE以及∠ADC=∠FBE，因此三角形BAD和三角形EBE是相似的，三角形ADC和三角形FBE是相似的5.通过相似三角形的对应边成比例，可以得到AB/DE=BC/EF=CA/FD6.由于AB/DE=BC/EF=CA/FD，因此三角形ABC和三角形DEF的对应边成比例，证明这两个三角形是相似的，相似三角形判定定理得证。

相似三角形的判定条件及证明相似三角形是几何学中重要的概念，它们具有相似的形状但可能具有不同的大小。

在实际问题中，我们经常需要确定两个三角形是否相似。

本文将介绍判定相似三角形的条件及其证明方法。

1. AA相似定理如果两个三角形的两个角分别相等（其中一个角必须是对应角），那么这两个三角形是相似的。

证明：设三角形ABC和三角形DEF满足条件，即∠A = ∠D，∠B = ∠E 或∠C = ∠F。

我们需要证明它们是相似的。

根据AA相似定理，我们只需证明另外一个对应角也相等。

假设∠A = ∠D，∠B = ∠E。

根据三角形内角和为180°，我们可以得到∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - ∠D - ∠E = ∠F。

因此，三角形ABC和三角形DEF的对应角都相等，根据AA相似定理，它们是相似的。

2. 三边比值相等定理如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形是相似的。

证明：设三角形ABC和三角形DEF满足条件，即AB/DE = BC/EF =AC/DF。

我们需要证明它们是相似的。

假设AB/DE = BC/EF，我们可以得到AB/BC = DE/EF。

根据三角形的角边比例定理，如果三角形的两边之间的比值相等，那么这两个三角形的对应角也相等。

因此，∠A = ∠D，而根据AA相似定理，我们可以得出三角形ABC和三角形DEF是相似的。

3. SAS相似定理如果两个三角形的一对对应边成比例，并且两个对应角分别相等，那么这两个三角形是相似的。

证明：设三角形ABC和三角形DEF满足条件，即AB/DE = AC/DF，并且∠A = ∠D。

我们需要证明它们是相似的。

我们已经得知∠A = ∠D，因此，我们只需证明另外两对对应边之间的比值相等。

设x = AB/DE = AC/DF，我们可以得到DE = AB/x，DF = AC/x。

由此可得：DE/DF = (AB/x)/(AC/x) = AB/AC。

第13讲 相似三角形判定定理的证明课程标准1.了解相似三角形判定定理的证明过程，会选择恰当的方法证明两个三角形相似；2.会作辅助线来证明两个三角形相似，掌握证明过程。

知识点01 相似三角形判定定理的证明（一）相似三角形的判定定理1的证明过程已知：如图,在△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B ′.求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E, 则∠ADE=∠B ，∠AED=∠C,(.AD AEAB AC=平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） 过点D 作AC 的平行线，交BC 与点F,则(AD CFAB CB =平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ∴AE CFAC CB=∵DE ∥BC,DF ∥AC,∴四边形DFCE 是平行四边形. ∴DE=CF. ∴AE:AC=DE:CB ∴AD AE DEAB AC BC==. 而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C, ∴△ADE ∽△ABC.∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′, ∴△ADE ∽△A′B′C′.知识精讲目标导航∴△ABC ∽△A′B′C′.（二）相似三角形的判定定理2的证明过程 已知：在△ABC 和△A ′B′C′中，∠A=∠A′,''''AB ACA B A C =,求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E, 则∠B=∠ADE,∠C=∠AED,∴△ABC ∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似). ∴AB ACAD AE=. ∵''''AB ACA B A C =,AD=A′B′, ∴''AB ACAD A C =∴''AC ACAE A C =∴AE=A ′C′ 而∠A=∠A ′ ∴△ADE ≌△A ′B ′C ′. ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.（三）相似三角形的判定定理3的证明过程 已知：在△ABC 和△A ′B′C′中，''''''AB BC ACA B B C A C ==.求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD=A′B′,AE=A′C′,连接DE. ∵''''AB ACA B A C =，AD=A′B′,AE=A′C′,∴AB ACAD AE=而∠BAC=∠DAE,∴△ABC ∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴AB BCAD DE=又''''AB BCA B B C =，AD= A′B′, ∴''AB BCAD B C =∴''BC BCDE B C =∴DE=B′C′,∴△ADE ≌△A′B′C′， ∴△ABC ∽△A′B′C′.知识点02 证明相似三角形的一般思路（1）有平行线——用平行线的性质，找“等角”（用判定定理1）。

证明相似三角形判定方法证明相似三角形的判定方法有多种，以下是其中的50种方法，并对每种方法进行详细描述：1. 相似角对应相等：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。

2. 辅助角相等：如果两个三角形的一个角等于另一个角的辅助角，则这两个三角形相似。

3. 边长比例相等：如果两个三角形的对应边的比例相等，则这两个三角形相似。

4. 三边比例相等：如果两个三角形的三条边的比例相等，则这两个三角形相似。

5. 比较周长：如果两个三角形的周长比例相等，则这两个三角形相似。

6. 比较面积：如果两个三角形的面积比例相等，则这两个三角形相似。

7. 角平分线所成的相似三角形：如果两个三角形的一个角被其相对边的平分线所平分，且两个角相等，则这两个三角形相似。

8. 内切圆和外切圆：如果两个三角形的内切圆和外切圆的半径比例相等，则这两个三角形相似。

9. 三角形的高比较：如果两个三角形的高的比例相等，则这两个三角形相似。

10. 图中的角平分线构成相似三角形：如果两个三角形的一个角被图中一条直线平分，且划分的相邻两边的比例相等，则这两个三角形相似。

11. 内接三角形相似性：如果一个三角形内部有另一个相似的三角形，则这两个三角形相似。

12. 应用正弦定理：如果两个三角形中包含的两个角的正弦比相等，则这两个三角形相似。

13. 应用余弦定理：如果两个三角形中包含的两个角的余弦比相等，则这两个三角形相似。

14. 应用正切定理：如果两个三角形中包含的两个角的正切比相等，则这两个三角形相似。

15. 利用半角公式：如果两个三角形中包含的两个角的半角正弦比相等，则这两个三角形相似。

16. 利用角平分定理：如果平分一个三角形的一个角，并且用两条角平分线切分其对边，则所得的小三角形相似。

17. 边角边：如果两个三角形的一对对应边和夹角相等，则这两个三角形相似。

18. 角边角：如果两个三角形的一对对应角和夹边相等，则这两个三角形相似。

19. 边边边：如果两个三角形的三条边相等，则这两个三角形相似。

相似三角形的证明步骤证明两个三角形相似在平面几何学中，有时需要证明两个三角形是否相似。

当两个三角形的3条边以及3个内角的比例相同时，则称两个三角形相似，看上去就像同一个三角形的缩放版本，但在大小上有所不同。

比如，如果一个三角形的三条边和内角的长度以及角度分别为：a:b:c=2:3:4，则另一个三角形也必须有同样的比例才能说明它们是相似的，比如：a':b':c'=4:6:8。

两个三角形相似的条件可以总结为下面的定理：定理：两个三角形ABC和A'B'C'相似的充分必要条件是，AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'。

证明：假设ABC和A'B'C'是两个相似的三角形，那么在ABC和A'B'C'三角形中，有三条边：AB、BC和AC，以及必要的三个内角：∠A，∠B和∠C，它们之间有条相似性条件：两个三角形的三条边要成比例，而三个内角也要成比例。

由于两个三角形ABC和A'B'C'平行四边形的两个对角线AB和A'B'平行，所以有：AB/A'B' = AC/A'C' (1)同理，由于BC和B'C'平行，所以有：BC/B'C' = AC/A'C' (2)从（1）和（2）可以得到：AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'即可证明ABC和A'B'C'相似的充分必要条件，即两个三角形的三条边要成比例，而三个内角也要成比例。

由此可见，任意两个三角形ABC和A'B'C'相似的充分必要条件是：AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'，证毕。

相似三角形判定定理1.平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似；（这是相似三角形判定的引理，是以下判定方法证明的基础。

这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明）2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似方法四4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似5.对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 直角三角形相似的判定定理:(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 相似三角形的性质定理:(1)相似三角形的对应角相等. (2)相似三角形的对应边成比例.(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(4)相似三角形的周长比等于相似比. (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方. 相似三角形的传递性如果△ABC ∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么△ABC ∽A2B2C21．（2010北京） 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若AD ∶AB =3∶4，AE =6，则AC 等于( )A ．3B ．4C ．6D ． 8 【答案】D2．（2010河南）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则下列结论：①BC=2DE ；②△ADE ∽△ABC ；③AD ABAE AC.其中正确的有(A)3个 (B)2个(C)1个 （D ）0个 【答案】A 3．（2010年上海）如图2，△ABC 中，点D 在边AB 上，满足∠ACD =∠ABC ，若AC = 2，AD = 1，则DB = __________.BACD ABC AC/AB=AD/AC 【答案】DB=34．（2010陕西西安）如图，在ABC ∆中，D 是AB 边上一点，连接CD ，要使ADC ∆与ABC ∆相似，应添加的条件是 。