相似三角形判定定理的证明_

相似三角形的判定公式1.AAA相似判定法：若两个三角形的三个内角分别相等，那么这两个三角形是相似的。

证明：设∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么由内角和相等可得：∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F由于∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，所以：∠A+∠B+∠C=∠A+∠B+∠C所以，两个三角形的内角和相等，从而可以得出它们的内角之间是一一对应的，所以这两个三角形是相似的。

2.相似三角形的边长成比例判定法：若两个三角形的对应边的比例相等，那么这两个三角形是相似的。

证明：设∠A≈∠D，∠B≈∠E，∠C≈∠F，那么由比例的定义可得：AB/DE=BC/EF=AC/DF我们可以通过对等式两边进行交叉相乘来验证这个结论。

将第一个比例的等式交叉相乘得到：AB·EF=BC·DE再将第二个比例的等式交叉相乘得到：AC·DE=AB·DF由于AB·EF=BC·DE，所以AB/DE=BC/EF由于AC·DE=AB·DF，所以AC/DF=AB/DE从而可以得到这两个三角形相似。

3.SSS相似判定法：若两个三角形的对应边的比例相等，那么这两个三角形是相似的。

证明：设∠A≈∠D，∠B≈∠E，∠C≈∠F，那么由比例的定义可得：AB/DE=BC/EF=AC/DF根据证明方法2可知，这个结论也是成立的。

综上，根据AAA相似判定法、相似三角形的边长成比例判定法和SSS 相似判定法，我们可以判断两个三角形是否相似。

需要注意的是，这些判定公式只是一种方法，具体使用时，需要根据实际情况进行选择和应用。

同时，对于相似三角形问题，还可以利用相似三角形的性质进行解题，例如利用相似三角形的边长比例关系求解未知边长或角度等。

如何证明相似三角形判定定理预备知识：图1中，平行线等分线段定理 已知l 1//l 2//l 3，AB =BC ，则DE =EF 由已知条件构造三角形全等，可证得平行线间距离相等，然后以此结论做条件可构造线段DE ，EF 所在三角形全等，结论获证. 图2中，平行线分线段成比例定理 已知l 1//l 2//l 3，则DEEFBC AB =，命题可通过添加平行线转化成平行线等分线段定理.由比例性质还可得DF EF AC AB =，EF ED AB CB =，DF EDAC CB = 相似三角形判定定理证明图3，已知DE//BC ，求证：△AD E ∽△ABC析：欲证两三角形相似，则需证三对角对应相等，三对边的比 相等，本题目三对角相等，则证三边比相等即可. 由DE//BC 得AC EA AB AD =，作EF//AB 得AC EACB BF =，依题意知四边形DEFB 是平行四边形，DE=BF . 则CBDEAC AE AB AD ==，命题获证. 图4，已知DE//BC ，求证：△AD E ∽△ABC作AG=AD ，GH//BC ，HM//AB ，可证△AD E ≌△AGH 此问题同图3图5，在△ABC 与△A`B`C`中，``````C A ACC B BC B A AB == 求证：△ABC ∽△A`B`C`在线段A`B`上截取A`D=AB ，过点D 作DE//B`C`，交A`C`于点E ，根据上面定理得△A`D E ∽△A`B`C` ∴````````C A EA CB DE B A D A == ∵``````C A ACC B BC B A AB ==，AB=A`D ∴DE=BC ，A`E=AC∴△A`D E ≌△A`B`C`3l3图3B图4B图5图6B∴△ABC ∽△A`B`C` 图6，````C A ACB A AB =，∠A =∠A`，求证：△ABC ∽△A`B`C` 在线段A`B`上截取A`D=AB ，过点D 作DE//B`C`，交A`C`于点E ，根据上面定理得△A`D E ∽△A`B`C` ∴``````C A EA B A D A =∵````C A ACB A AB =，A`D=AB ∴A`E=AC ∵∠A =∠A`∴△A`D E ≌△A`B`C` ∴△ABC ∽△A`B`C`图7，∠A=∠A`，∠B=∠B`求证：△ABC ∽△A`B`C`在线段A`B`上截取A`D=AB ，过点D 作DE//B`C`，交A`C`于点E ，根据上面定理得△A`D E ∽△A`B`C` ∴∠A`DE=∠B`∵∠A=∠A`，∠B=∠B`，A`D=AB ∴∠A`DE=∠B ∴△A`D E ≌△A`B`C` ∴△ABC ∽△A`B`C`图8，Rt △ACB 与Rt △A`C`B`中，∠C=∠C`=90°，````C A ACB A AB = 求证：△ABC ∽△A`B`C`设````C A ACB A AB ==k ，则AB=kA`B`,AC=kA`C`则 k ````k ````k ``k ````222222==-=-=C B C B C B C A B A C B AC AB C B BC则三边成比例，∴△ABC ∽△A`B`C`图7B图8B。

相似三角形判定定理的证明
相似三角形判定定理（AAA定理）是指如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。

以下是相似三角形判定定理的证明：给定两个三角形ABC和DEF，已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，我们需要证明这两个三角形相似。

我们可以使用等角定理，即对于两个三角形中的对应等角，其对边之比是相等的。

根据已知条件，可以得出以下等式: ∠A = ∠D ∠B = ∠E ∠C = ∠F
然后我们来比较三角形ABC和DEF的边长之比。

根据相似三角形的定义，两个相似三角形的对应边之比是相等的。

我们可以分别比较对应边之间的比例： AB/DE BC/EF CA/FD
由于已知∠A = ∠D，我们可以使用三角形内角和为180度的性质计算出∠B和∠C的度数: ∠B = 180 - ∠A - ∠C = 180 - ∠D - ∠F = ∠E
同理，我们可以得出∠C = ∠F。

因此，我们得出: AB/DE = BC/EF = CA/FD
根据等角定理和边长比例相等，我们可以得出结论：两个三角形ABC和DEF是相似的。

综上所述，我们可以证明相似三角形判定定理，即如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。

相似三角形判定定理的证明（基础）【学习目标】1. 熟记三个判定定理的内容•2. 三个判定定理的证明过程•3. 学选会用适当的方法证明结论的成立性.【要点梳理】要点一、两角分别相等的两个三角形相似已知：如图,在厶ABC和△ A B' C'中，/ A=Z A', / B=Z B'.求证：△ AB3A A B C'证明：在厶ABC的边AB （或它的延长线）上截取AD=A B',过点D作BC的平行线，交AC于点E,则/ ADE N B,Z AED2 C,AD AEAD =竺（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）AB AC过点D作AC的平行线，交BC与点F,则AD CF型二汇（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）AB CB• AE CFAC CB•/ DE// BC,DF// AC,•四边形DFCE是平行四边形.•DE=CF.•AE:AC=DE:CB•AD AE DEAB AC BC .而/ ADE N B, / DAE=Z BAC,Z AED玄C,•△AD0A ABC.•••/ A=N A' , N ADE=Z B=N B' ,AD=A' B',•△AD0A A' B' C .•△ABS A A' B' C .要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时辅助线的做法.要点二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明：在厶ABC 的边AB （或它的延长线）上截取 AD=A B ',过点D 作BC 的平行线, 交AC 于点E,则/ B=Z ADE,/ C=Z AED,•••△ ABC^A ADE （两角分别相等的两个三角形相似 ）..AB AC AD - AE .AB AC ,AD=A ' B ',A'B' A'C' .AB ACAD 一 A'C' .AC ACAE _ A'C'• AE=A' C' 而/ A=/ A• △ ADE^A A ' B ' C'.• △ ABC^A A ' B ' C'要点诠释：利用了转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方法转化为已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相似的. 要点三、三边成比例的两个三角形相似已知：在厶ABC 和△ A ' B ' C'中, 求证：△ ABC^A A ' B' C'.证明：在厶ABC 的边AB, AC （或它们的延长线）上截取 AD=A B ' ,AE=A ' C ,连接DE.AB AC ”， ，，,AD=A B ' ,AE=A ' C ,已知，在厶 ABC^n ^ A B' C'中，/ A=Z AAB AC ABA'C',求证: △ ABC^A A ' B C 'AB _ BC _ ACA'B' 一 B'C' 一 A'C'A'B' A'C'.AB AC…_ AE而/ BAC=/ DAE,•••△AB3A ADE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）..AB BC_ DEp AB BC ,,又，AD= A B',A'B' B'C'.AB BC_ B'C'.BC BC"DE 一B'C'•DE=B C',•△ADE^A A ' B ' C',•△ABC^A A ' B ' C'.【典型例题】类型一、两角分别相等的两个三角形相似▼ 1、在厶ABC 中，/ A=60°, BDL AC 垂足为D, CEL AB 垂足为E,求证：△ ADE^A ABC【思路点拨】由BD L AC, CEL AB得到/ AEC d ADB=90 ,利用/ EAC M DAB可判断△ AE3A ADB则塑=—，禾U用比例性质得塑型，加上/ EAD M CAB根据三角形相似的AD AB AC AB判定方法即可得到结论.【答案与解析】证明：•/ BD L AC CEL AB •••/ AEC M ADB=90 , 而/ EAC M DAB•△AEC^A ADB■^1 "-I.，•AE_AD•-1.，•••/ EAD M CAB• △AD0A ABC【总结升华】考查了相似三角形的判定与性质： 有两组角对应相等的两三角形相似； 有两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等. 举一反三【变式】如图，△ ABC 是等边三角形，点D , E 分别在BC 、AC 上，且/ ADE=60 求证：BD?CD=AC?CE.【答案】证明：•/ △ ABC 是等边三角形,••• / B=Z C=60 ° , AB=AC ,•/ / B+Z BAD=Z ADE+ZCDE, / B=Z ADE=60 • Z BAD=Z CDE,与DH 的延长线交于点 E ,求证：△ AH SA EBD【思路点拨】 首先利用三角形的内角和定理证明：Z A=Z E ,再有垂直得到90°的角,Z ADH Z ACB=90，从而证明：△ AH SA EBD【答案与解析】 证明：••• HDLAB 于 D,• Z ADH=90 , • Z A+Z AHD=90 ,•••Z ACB=90 ,• Z E+Z AHD=90 , • Z A=Z E , • Z ADH Z ACB=90 , • △ AH SA EBD【总结升华】 考查了垂直定义、 三角形内角和定理以及相似三角形的判定方法：两角法：有 两组角对应相等的两个三角形相似.Rt △ ABC 中，Z ACB=90，点H 在AC 上，且线段 HDL AB 于D, BC 的延长线已知, 即 BD?CD=AC?CE ;类型二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ ABE^A DEF(2 )根据平行线分线段成比例定理，可得CG 的长，即可求得 BG 的长.【答案与解析】(1) 证明：T ABCD 为正方形，••• AD=AB=DC=BQ A=Z D=90 , •/ AE=ED•厂:•/ DF= DC ,4• △ ABE^A DEF(2) 解：T ABCD 为正方形，• ED// BG •工又•/ DF= DC 正方形的边长为 4,4•ED=2 CG=6 • BG=BC+CG=10【总结升华】考查了相似三角形的判定(有两边对应成比例且夹角相等三角形相似) 、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用. 解题的关键是数形结合思想的应用.举一反三【变式】(2015?随州)如图，在 △ ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上,下列条件中不 能判断△ ABC AED 的是()如图，在正方形ABCD 中, E 、F 分别是边 AD CD 上的点,连接EF 并延长交BC 的延长线于点 G. (1) 求证：△ ABE^A DEF(2) 若正方形的边长为 4,求BG 的长.1 I,根据有两边对DFDEAEAE2DF一【思路点拨】DA ./ AED= /B B .上 ADE= /C C .丄丄AE AB【答案】D;提示：I / DAE= / CAB ,•••当/ AED= / B 或/ ADE= / C 时，△ ABC s\ AED ; 当旦='时，△ ABC s\ AED .AC AB故选D .（2014秋？揭西县校级期末）如图，F 为平行四边形ABCD 的边AD 的延长线上的 一点，BF 分别交于 CD 、AC 于 G 、E ,若 EF=32，GE=8，求 BE .【答案与解析】 解：设BE=x , •/ EF=32 , GE=8 , • FG=32 - 8=24,•/ AD // BC ,• △ AFE CBE ,•耳 F _AF•：.■:'， 则亠= •仃1 ①K BC BC•/ DG // AB , •••△ DFGCBG ,•—='代入①BC S+x 32 24 d = +ix 8+x'解得：x= ±6（负数舍去），故 BE=16.C【总结升华】此题主要考查了相似三角形的判定、平行四边形的性质，得出△ DFG CBG是解题关键.举一反三【变式】如图，在4X3的正方形方格中，△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1 )填空：/ ABC= _____ ° , BC= ________ ;(2)判断△ ABC与厶DEC是否相似，并证明你的结论.下\一Z D E 【答案】解：(1)Z ABC=135 , BC=匚；(2)相似；BC=：EC=. I =.：；•阳2 _厂BC 2^2厂.•匚「* *CE DE又/ ABC M CED=135 ,• △ABC^A DEC类型三、三边成比例的两个三角形相似少、/、、5、已知：正方形的边长为1(1)如图①，可以算出正方形的对角线为 _,求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长, n个呢？(2)根据图②，求证△ BC0A BED(3)由图③，在下列所给的三个结论中，通过合情推理选出一个正确的结论加以证明，1.M BEC M BDE=45 ;2./ BEC M BED=45 ;3./ BEC M DFE=45【思路点拨】(1)主要是根据勾股定理寻找规律，容易在数据中找到正确结论；(2 )在每个三角形中，根据勾股定理易求出每条边的长度，可利用三组边对应成比例，两三角形相似来判定；(3)欲证/ BEC y DFE=45，在本题中等于45°的角有两个，即/AEB和/BEF,所以在证明第三个结论时，需把这两个角想法转移到已知的一个角中4 / C D A f C D去，利用等腰梯形的性质求解即可.【答案与解析】解：(1)由勾股定理知，在第一个图形中，对角线长=匚=| - | ,第二个图形中，对角线长=匸=一 | ,第三个图形中，对角线长 =^ '■ | ,所以第n个图形中，对角线长=^［；(2 )在厶BCE 中，BC=1, BE=& , EC=^, 在厶BED 中，BE=/^ , BD=2 ED^jj,•••△ BC0A BED(3 )选取③，•/ CD// EF,且CE=DF•四边形CEFD为等腰梯形，•••/ DFE y CEF•••/ BEC y DFE y BEC y CEF=45 .【总结升华】此题主要运用三边对应成比例的两个三角形相似的判定定理、勾股定理的运用、等腰梯形的性质来解决问题的•。

《相似三角形判定定理的证明》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解相似三角形判定定理的内容。

掌握相似三角形判定定理的证明方法，提高逻辑推理能力。

2、过程与方法目标通过探究相似三角形判定定理的证明过程，培养学生的观察、分析和解决问题的能力。

经历“猜想验证证明”的数学探究过程，体会数学思维的严谨性。

3、情感态度与价值观目标激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、创新的精神。

在合作学习中，增强学生的团队意识和交流能力。

二、教学重难点1、教学重点相似三角形判定定理的证明思路和方法。

2、教学难点如何引导学生构建证明的思路，运用已有的知识进行推理和论证。

三、教学方法讲授法、探究法、讨论法相结合四、教学过程1、复习引入回顾相似三角形的定义和性质。

提问：如何判断两个三角形相似呢？引导学生思考并回忆相似三角形的判定方法（如两角分别相等的两个三角形相似）。

2、提出猜想展示几组相似三角形的图片，让学生观察并猜想相似三角形的判定条件。

引导学生提出猜想：比如三边成比例的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似等。

3、探究证明以“两角分别相等的两个三角形相似”为例，引导学生分析证明思路。

提问：如何构建两个角分别相等的条件？可以通过作平行线等方法。

让学生分组讨论，尝试写出证明过程。

对于“三边成比例的两个三角形相似”，先引导学生思考如何将三边的比例关系转化为线段的等量关系。

提示学生可以通过构建全等三角形来进行证明。

对于“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，让学生思考如何利用已有的知识和方法进行证明。

4、证明展示与讲解选取几组学生代表，展示他们的证明过程，并进行讲解。

针对学生证明过程中出现的问题和不足，进行纠正和补充。

5、总结归纳总结相似三角形判定定理的证明方法和思路。

强调证明过程中需要注意的逻辑严谨性和规范性。

6、课堂练习布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。

巡视学生的练习情况，及时给予指导和帮助。

相似三角形判定定理的证明核心知识嘿，朋友们！今天咱们要来好好聊聊相似三角形判定定理的证明，这可真是超级有趣又超级重要的知识啊！
你看哈，比如说在建筑工地上，工人师傅们要搭建一个和旁边那栋楼形状相似的小楼，那他们怎么知道自己搭的对不对呢？这就用到咱们的相似三角形啦！
先来说说“两角分别相等的两个三角形相似”这条定理。

想象一下，就像你有两个三角形，它们的两个角就像两个好朋友，长得一模一样，那这两个三角形不就很可能相似嘛！比如说，一个三角形的两个角是 30 度和 60 度，另一个三角形也有 30 度和 60 度的角，这不就是明摆着它们很像嘛！
再讲讲“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。

这就好像你和你的朋友，身高比例差不多，而且性格也一样（就像那个夹角），那你们不就有很多相似的地方啦？比如说有两个三角形，一条边是 2，另一条边是 4，夹角是 45 度，另一个三角形对应的边是 3 和 6，夹角也是 45 度，那它们肯定相似呀！
还有“三边成比例的两个三角形相似”。

哎呀呀，这就像是你有三堆糖果，比例都一模一样，那这三堆糖果不就很像嘛！比如一个三角形三边分别是 3、4、5，另一个三角形三边是 6、8、10，这不是明摆着相似嘛！
总之啊，这些相似三角形判定定理可太重要啦！它们就像是我们探索几何世界的秘密钥匙，能帮我们解决好多好多实际的问题呢！你不好好掌握，那可就太可惜啦！所以，一定要把这些定理牢记于心，在遇到问题的时候就能轻松应对啦！相信我，学会了这些，你的几何世界会变得超级精彩！。