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相似三角形判定定理的证明【学习目标】1．了解相似三角形判定定理的证明过程，知道构造全等三角形是一种有效的证明方法． 2．进一步掌握相似三角形的三个判定定理． 【学情分析】本课时的教学内容是相似三角形的判定定理证明。
而在这之前，学生已对“平行线分线段成比例”这个基本事实熟练掌握，充分了解相似三角形的概念。
因此为即将学习相似三角形判定定理的证明打下基础。
可能会出现的问题有1、证明的思路和方法不清晰2、添加平行线的意图和作用不明确。
【学习重点】掌握相似三角形的三个判定定理． 【学习难点】通过已有的知识储备，相似三角形的定义以及构造三角形全等的方法完成证明过程．【教学过程】情景导入 生成问题我们已经学习过相似三角形的判定定理有哪些？你能证明它们一定成立吗？答：相似三角形的判定定理有：(1)两角分别相等的两个三角形相似；(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边成比例的两个三角形相似．自学互研 生成能力知识模块一 相似三角形判定定理的证明先阅读教材P 99－101的内容，然后完成下面的填空：如图，已知△ABC 和△A 1B 1C 1，∠A ＝∠A 1，AB A 1B 1＝ACA 1C 1，求证：△ABC ∽△A 1B 1C 1.证明的主要思路是，在边AD 上截取AD ＝A 1B 1，作DE ∥B C ，交AC 于E ，在△ABC 中构造△ADE ∽△ABC ，再通过比例式得AE ＝A 1C 1，证△A 1B 1C 1≌△ADE ，从而得到△A 1B 1C 1∽△ABC.1．证明：两角分别相等的两个三角形相似，见教材P 99－100页．2．证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，见教材P 100－101页． 3．证明：三边成比例的两个三角形相似，见教材P 101－102页． 知识模块二 相似三角形判定定理的应用解答下列各题：1．在△ABC 与△A′B′C′中，有下列条件：①AB A ′B ′＝BC B ′C ′；②BC B ′C ′＝ACA ′C ′；③∠A ＝∠A′；④∠C＝∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A′B′C′的共有( C )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组2．如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于F ，试证明：△ABF ∽△EAD.证明：∵矩形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝90°，∴∠BAF ＝∠AED.∵BF ⊥AE ，∴∠AFB ＝90°.∴∠AFB ＝∠D ，∴△ABF ∽△EAD.典例讲解：已知，如图，D 为△ABC 内一点，连接BD 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE ＝∠AB D ，∠BCE ＝∠BAD ，连接DE.求证：△DBE ∽△ABC.分析：由已知条件∠ABD ＝∠CBE ，∠DBC 公用，所以∠DBE ＝∠ABC ，要证的△DBE 和△ABC ，有一对角相等，要证两个三角形相似，可再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例．从已知条件中可看到△CBE ∽△ABD ，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决．证明：在△CBE 和△ABD 中，∠CBE ＝∠ABD ，∠BCE ＝∠BAD ，∴△CBE ∽△ABD ，∴BC AB ＝BEBD，即：BC BE ＝ABBD.在△DBE 和△ABC 中，∠CBE ＝∠ABD ，∴∠CBE ＋∠DBC ＝∠ABD ＋∠DBC ，∴∠DBE ＝∠ABC 且BC BE ＝ABBD，∴△DBE ∽△ABC. 对应练习：1．教材P 102页习题4.9的第1题．答：相似．证明：△ABC 为等边三角形．∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°.又∵AE ＝BF ＝CD ，∴AD ＝FC ＝EB ，则△AED ≌△CDF ≌△BFE.∴ED ＝DF ＝EF.△E DF 为等边三角形．∴△DEF ∽△ABC.2.教材P 102页习题4.9的第3题．证明：∵BE 为∠DBC 平分线，∴∠DBE ＝∠EBC.又∵AE ＝AB ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∠ABE ＝∠ABD ＋∠DBE ＝∠ABD ＋∠EBC ，∠AEB ＝∠EBC ＋∠C ，∴∠ABD ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴△ABD ∽△ACB.则AB AC ＝ADAB.∵AB ＝AE ，∴AE AC ＝ADAE，即AE 2＝AD·AC.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 相似三角形判定定理的证明 知识模块二 相似三角形判定定理的应用检测反馈 达成目标1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，CE ⊥AB 于E.求证：△ABD ∽△CBE.证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，∵CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠CEB ＝90°.又∵∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBE.2．如图，D 是△ABC 的边BC 上的一点，AB ＝2，BD ＝1，DC ＝3，求证：△ABD ∽△CBA. 证明：∵AB ＝2，BD ＝1，DC ＝3，∴AB 2＝4，BD ·BC ＝1×(1＋3)＝4.∴AB 2＝BD·BC.即AB BC ＝BDBA.而∠ABD ＝∠CBA.∴△ABD ∽△CBA.3．教材P 102页习题4.9的第4题．解：设t 秒后△PBQ 与△ABC 相似，①△PBQ ∽△ABC ，则BP BA ＝BQ BC ，即8－2t 8＝4t 16，解得t ＝2s .②当△PBQ∽△CBA ，BP BC ＝BQBA ，即8－2t 16＝4t 8，解得t ＝0.8s .答：0.8s 或2s 时，△QBP 与△ABC 相似．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________【教学反思】在教学后，我觉得有很多需要改进的地方。
第5讲 相似三角形的判定（二）知识框架本讲主要讲解相似三角形判定定理3和直角三角形相似的判定定理，并进行了相似三角形判定的相关综合练习．重点是灵活运用相似三角形的各个判定定理，难点是相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合．5.1 相似三角形判定定理3相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在ABC △与111A B C △中，如果111111AB BC CAA B B C C A ==，那么ABC △∽111A B C △．例1. 根据下列条件判定ABC △与DEF △是否相似，如果是，那么用符号表示出来．（1）2cm AB =，3cm BC =，4cm CA =，10cm DE =，15cmEF=，20cm FD =． （2）1cm AB =，2cm BC =， 1.5cm CA =，6cm DE =，4cm EF =，8cm FD =．例2. 如图，在边长为1个单位的方格纸上，有ABC △与DEF △．求证：ABC △∽FDE △．例3. ABC △的边长分别为a 、b 、c ，111A B C △ABC △与111A B C △（选填“一定”、“不一定”或“一定不”）相似．例4. 如图，点D 为ABC ∆内一点，点E 为ABC ∆外一点，且满足AB BC ACAD DE AE==．求证：ABD △∽ACE △．例5. 如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，2AC =，CD =，4AD =． 求证：ABC △∽ACD △．例6. 已知：如图，在t R ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC =，4BC =，点D 在BC 边上，且CAD B ∠=∠． （1）求AD 的长；（2）取AD 、AB 的中点E 、F ，联结CE 、CF 、EF ．求证：CEF ∆∽ADB ∆．例7. 如图，在梯形ABCD 中，AB // CD ，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，点E 是AD 的中点．（1）求证：CDE △∽EAB △；（2）CDE △与CEB △有可能相似吗？若相似，请证明；若不相似，请说明理由．5.2 直角三角形相似的判定定理直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在Rt ABC△和111Rt A B C△中，如果190C C∠=∠=︒，1111AB BCA B B C=，那么ABC△∽111A B C△．例1.在Rt ABC△和Rt DEF△中，90C F∠=∠=︒．依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，并说明理由．（1）55A∠=︒，35D∠=︒；（2）9AC=，12BC=，6DF=，8EF=；（3）3AC=，4BC=，6DF=，8DE=；（4）10AB=，8AC=，15DE=，9EF=．例2.如图，在ABC△和111A B C△中，AD BC⊥，1111A DB C⊥，垂足为D和1D，且111111AC AB ADAC A B A D==．求证：ABC△∽111A B C△．例题分析例3.如图，四边形ABCD中，90=，BC b=，AC=．∠=∠=︒，AD aBAC ADC求证：DC BC⊥．例4.如图，在ABC⊥于F，DG BC⊥于G．⊥于D，DF AC△中，CD AB求证：CF CA CG CB⋅=⋅．例5.已知直角三角形斜边上的高为12，并且斜边上的高把斜边分成3:4两段，则斜边上的中线长是．例6.如图，直角梯形ABCD中，90=，E为梯形内一点，且BCD∠=︒，AD // BC，BC CD∆绕点C旋转90°使BC与DC重合，得到DCF∆，连接EF BEC∠=︒．将BEC90交CD于点M．已知5DM MC的值．BC=，3CF=，求:例7.如图，在ABC⊥于F，求证：CEF⊥于E，DF BC△∽△中，CD AB⊥于D，DE AC△．CBA例8.在Rt ABC∠=︒，CD AB⊥于点D，E是AC边上的一个动点（不与A、ACB△中，90C重合），CF BE⊥于点F，连接DF．（1）求证：2=g；CB BF BE（2）求证：BF AE FD BA⋅=⋅．例9.求证：如果一个三角形的两边和第三边的中线与另一个三角形的对应线段成比例，那么这两个三角形相似．例10.如图，在Rt BDC⊥于F，DG BE⊥于G．∆中，点E在CD上，DF BC求证：FG BC CE BG⋅=⋅．例11.如图，90CAB⊥，ACE∆、ABF∠=︒，AD CB⊥．∆是正三角形．求证：DE DF5.3 相似三角形的判定综合1. 相似三角形判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似．2. 相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．3. 相似三角形判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似．4. 直角三角形相似的判定定理：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．例1. 根据下列条件，能判定ABC △和DEF △相似的个数是（ ）（1）35ABC ∠=︒，75ACB ∠=︒，80EDF ∠=︒，35DEF ∠=︒； （2）3AB =，2BC =，30ABC ∠=︒，6DE =，4EF =，30EDF ∠=︒； （3）2AB =，3BC =，4AC =，12DE =，13EF =，14DF =；（4）AB =CB =2AC =，DE ，1EF =，DF ． （A ）1个；（B ）2个；（C ）3个；（D ）4个．例2. 如图，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列 条件中，不能推出ABP ∆与ECP ∆相似的是（ ） （A ）APB EPC ∠=∠； （B ）90APE ∠=︒ （C ）P 是BC 的中点；（D ）:2:3BP BC =．例2题图 例3题图例3. 如图，四边形ABDC 、CDFE 、EFGH 是三个正方形，则123∠+∠+∠的值为______． 例4. 在ABC △中，12AB =，15AC =，D 为AB 上一点，3ABBD =，在AC 上取一点E ，得到ADE △，若ADE △与ABC △相似，则AE =．例5. 如图，正方形ABCD 的边长为2，AE EB =，1MN =，线段MN 的两端在CB 、 CD上滑动，AED △与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似，CM 的值为__________．例6. 如图，AB AC =，2AC AD AE =g ，求证：BC 平分DBE ∠．例7. 如图，在ABC ∆中，M 在AB 上，且8MB =，12AB =，16AC =，在AC 上 求作一点N ，使AMN ∆与原三角形相似，并求AN 的长．例8. 如图，EM AM ⊥，CE DE =．求证：2ED DM AD CD =g g ．例9. 如图，在ABC ∆和DEF ∆中，90A D ∠=∠=︒，3AB DE ==，24AC DF ==．（1）判断这两个三角形是否相似，并说明为什么；（2）能否分别过点A 、D 在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC ∆分割成的两个三角形与DEF ∆分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．例10. 如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，2BC =，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 边上，BEF ∆沿着直线EF 翻折后与DEF ∆重合，设CD x =，BF y =．试问DFC ∆是否有可能与ABC ∆相似，如有可能，求出CD 的长；如不可能，说明理由．例11.如图，ABC∆是等边三角形，D是AC上的一点，BD的垂直平分线交AB于E，交BC于F．（1）当点D在边AC上移动时，DEF∆中哪一个角的大小始终保持不变？并求出它的度数；（2）当点D在边AC上移动时，ADE∆与哪一个三角形始终相似？并写出证明过程．又问：当点D移动到什么位置时，这两个三角形的相似比为1？（3）若等边三角形ABC的边长为6，2BE BF的值．AD=，试求:5.4 课堂检测1. 如图，网格里面有许多三角形．在下列所列出的各三角形之中，不能够与ABC △相似的是（ ） （A ）BCD ∆； （B ）BDE ∆；（C ）BFG ∆；（D ）FGH ∆．2. 下列命题中，说法正确的个数是（ ）（1）有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；（2）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形一定相似；（3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形必相似； （4）两边对应成比例的两个三角形相似． （A ）1个；（B ）2个；（C ）3个；（D ）4个．3. 如图，AC BD ⊥，DE AB ⊥，AC 与ED 交于点F ，3BC =，1FC =，5BD =， 则AC = ．4. 在ABC ∆中，点G 为重心，若BC 边上的高为6，求点G 到BC 的距离．5. 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，E 为AC 上一点，CF BE ⊥于F ，联结DF ．求证：BD DFBE AE=．6.已知梯形ABCD中，AB // CD，90CD=，12AB=，6BC=，点E在BC∠=︒，3B边上自B点向C点移动，求使得ABE∆相似的BE的值．∆与ECD7.如图，梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，过点B作BE//CD交CA的延长线于点E，求证：2=g．OC OA OE8.如图，在ABCBC cmAC cm=，点P从B出发，沿BC方向=，6∆中，90C∠=︒，8以2cm/s的速度移动到C点，点Q从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动到A点．若点P、Q分别同时从B、C出发，经过多少时间CPQ∆相似？∆与CBA9.如图，ABCAC BC∠=︒，2==，O是AB的中点，将45°角的顶点置于C∆中，90点O，并绕点O旋转，使角的两边分别交边AC、BC于点D、E，连接点D、E．（1）观察图形，在旋转过程中有无一定相似的三角形？若有，请找出，并证明；（2）设AD x=，BE y=，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当x为何值时，ODE∆是等腰三角形？10.在ABC∠=︒，CQ是斜边AB上的中线，6AB=，点P是BCAC=，10ACB∆中，90边上的一个动点（与B、C不重合），经过点P、Q的直线与直线AC交于点N，若∆相似，求BP的值．PNC∆与ABC5.5 课后作业1. 如图，ABC ∆与DEF ∆在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形的顶点位置，试判定ABC ∆与DEF ∆是否相似，为什么？2. 下列每组中的两个三角形，相似的是（ ）（A ）ABC △中，35A ∠=︒，50B ∠=︒；'''A B C ∆中，'35A ∠=︒，'105B ∠=︒； （B ）ABC △中， 1.5AB =， 1.25BC =，38B ∠=︒；'''A B C ∆中，''2A B =，'' 1.5B C =，'38B ∠=︒；（C ）ABC △中，12AB =，15BC =，26CA =；'''A B C ∆中，''20A B =，''25B C =，''40C A =；（D ）Rt ABC △中，斜边5AB =，直角边3BC =；'''Rt A B C ∆中，斜边''15A B =，直角边''12A C =．3. 如图，AD BC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，交AD 于点F ，则图中相似三角形 的对数是（ ） （A ）3对；（B ）4对；（C ）5对；（D ）6对．4. 如图，在ABC ∆中，CD 垂直平分AB ，点E 在CD 上，DF AC ⊥于F ，DG BE ⊥ 于G ．求证：AF AC BG BE ⋅=⋅．5.如图，D是AC上的点，BE平行于AC，BE AD=，AE分别交BD、BC于点F、G，CAE CBD∠=∠．求证：BF是FG和EF的比例中项．6.已知，E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且13 EB AFAB AD==．求证：AEF FBD∠=∠．7.如图，正方形ABCD中，2AB=，P是BC边上与B、C不重合的任意点，DQ AP⊥于Q．（1）求证：DQA∆∽ABP∆；（2）当点P在BC上变化时，线段DQ也随之变化．设PA x=，DQ y=，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．8. 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥ 于F ．求证：33AE AC BF BC=．9. 如图，A 是等边PQR ∆的边RQ 的延长线上的点，B 是QR 延长线上的点．（1）若60APQ BPR ∠+∠=︒，求证：2QR AQ BR =⋅；（2）若12AQ QR =，当RB 与QR 满足什么条件时，BRP ∆∽PQA ∆？（3）BPQ ∆有可能与PQA ∆相似吗？若可能相似，说明应满足什么条件；若不可能相似，请说明理由．。
相似三角形的判定（二）教案学习目标：1.掌握相似三角形的判别定理1,22.理解并掌握相似三角形的判别方法并能用它们解决问题。
3.进一步体会转化，类比的数学思想学习重点：判别方法的掌握及应用学习难点：判别方法的灵活应用学习方法：类比法学习过程一、回顾旧知识1、复习提问：我们已掌握了判定三角形相似的方法有哪些？(1)定义：对应角相等，对应边的比相等(2)平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），截得的三角形与原三角形相似2、回顾三角形全等的判定方法：SSS SAS ASA AAS二、导入新课类比三角形全等的方法（SSS ，SAS），能不能用三边或两边及其夹角来判别两个三角形相似呢？二、探索新知已知：如图ΔA'B'C'和ΔABC中，求证：ΔA'B'C'∽ΔABC 。
（2）分析思路：写完已知、求证后，放手让学生探寻证明思路。
转化→将证明两个三角形相似转化为证明两个三角形全等可能出现以下问题：问题1：我们证明这两个三角形相似的思路是什么呢?由于学生能用的只有定义或预备定理,因此思路容易受阻。
思维受阻时，请学生再演示拼置的方法：把ΔA'B'C'移到ΔABC 上来。
由学生发现证明的思路。
问题2：怎样用几何语言表述“把ΔA'B'C'移到ΔABC 上来”并证明ΔA'B'C'∽ΔABC 呢？学生在独立思考的基础上，小组讨论交流, 让学生随时展示自己的想法，可能得出下面的证法：⑴ ①在AB 上截取AD=A ’B ’，过点D 做D E ∥BC 交AC 于点E 得⊿ADE ∽⊿ABC ②再证⊿ADE ≌⊿A ’B ’C ’③据第①②得出⊿A ’B ’C ’∽⊿ABC⑵①在AC 上截取AE= A ’C ’, 过点E 做D E ∥BC 交A B 于点 D 得⊿ADE ∽⊿ABC ②再证⊿ADE ≌⊿A ’B ’C ’③据第①②得出⊿A ’B ’C ’∽⊿ABC同学们找到了猜想证明方法，如果你还能从不同角度研究，或许还有新的方法。
相似三角形的判定定理3的教学反思我的教学宗旨是: 一般情况下，按照教材上的教学设计进行教学，以学生为主体，教师做学生的组织者、引导者、合作者，只在关键处点拨，补充，尤其是在几何教学中，以培养学生的合情推理能力，发展学生逻辑推理能力，靠近中考。
我的教学设计一、知识回顾。
(小黑板出示)1．我们已学过了哪些判定三角形相似的方法?2.在△ABC与△DEF中因为∠A=∠D=45°，∠B=26,°∠E=109°.则这两个三角形是否相似?二、动脑筋鼓励学生动手画图，认真思考书中问题，引导同学们讨论得出判定定理3:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
指名说一说:这个定理的条件和结论各是什么?关键处是什么?同桌完成课本上的做一做。
然后指名在班上说。
教师及时给予表扬和肯定。
三、出示例题2.要求学生尝试完成。
不会做的自己看书，然后再做。
教师行巡回辅导，适时指点练习中容易出现的问题。
最后指名板演，集体订正。
四、出示课本78页中的B组2题作为典例分析。
要求学生凭眼睛看这两个三角形相似吗?再通过计算他们的对应边是否成比例。
有一个角对应相等吗?他们相似吗?同桌讨论各自的心得。
从这个例子你能得出什么结论？指名说。
教师示范：规范写出两个三角形对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似已知，求证及证明过程五、出示B组1题作为典例分析。
要求学生先自学，再试着做一做。
最后师规范板书全过程。
六、启迪学生除这种解法外,你还能用别的方法来证明吗?鼓励学生用多种方法解题。
七、引导学生归纳解题所得。
八、总结整堂课内容。
九、巩固练习。
完成教材第78--79页练习1、2题十、作业:基本训练78--79页A组1-2题。
教师巡回辅导我的反思:成功之处:.1、课前对旧知识的回顾，以防止负迁移现象，特别是做一做的设计注重了相似三角形中对应元素的训练，为潜能生设置了一个障碍，以培养学生的合理想象力。
2、整堂课体现了以学生为主体的教学理念。
A
B
C
A 1
B 1
C 1
A
B
C
D
O
1、 相似三角形判定定理2
如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．
如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，1A A ∠=∠，1111
AB AC
A B AC =
，那么ABC ∆∽111A B C ∆．
【例1】 如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，
2OA =，3OB =，6OC =，4OD =． 求证：OAD ∆与OBC ∆是相似三角形．
相似三角形判定定理2
知识精讲
A
B
C
D
A
B
C
D
E
【例2】 如图，点D 是ABC ∆的边AB 上的一点，且2AC AD AB =g ．
求证：ACD ∆∽ABC ∆．
【例3】 如图，在ABC ∆与AED ∆中，
AB AC
AE AD
=
，BAD CAE ∠=∠． 求证：ABC ∆∽AED ∆．
【例4】 下列说法一定正确的是（ ）
A ．有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似
B ．对应角相等的两个三角形不一定相似
C ．有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
D ．一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似
【例5】 在ABC ∆和DEF ∆中，由下列条件不能推出ABC ∆∽DEF ∆的是（ ）
A ．A
B A
C DE DF =
，B E ∠=∠ B ．AB AC =，DE DF =，B E ∠=∠ C ．AB AC DE DF =
，A D ∠=∠ D ．AB AC =，DE DF =，C F ∠=∠
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
A
B C
E
F
G
【例6】 如图，D 是ABC ∆内一点，E 是ABC ∆外一点，EBC DBA ∠=∠，ECB DAB ∠=∠，求证：
BDE BAC ∠=∠．
【例7】 已知，在ABC ∆中，BE 、CF 是ABC ∆的两条高，BE 、CF 交于点G ．
求证：（1）AC CE CF GC =g
g ； （2）AFE ACB ∠=∠．
【例8】 如图，点O 是ABC ∆的垂心（垂心即三角形三条高所在直线的交点），联结AO 交CB 的延长
线于点D ，联结CO 交的AB 延长线于点E ，联结DE ． 求证：ODE ∆∽OCA ∆．
A
B
C B ’
C ’
A
B C
D E F
G
A
B
C D
N
M
【例9】 如图，ABC ∆∽''AB C ∆，点'B 、'C 分别对应点B 、C ．
求证：'ABB ∆∽'ACC ∆．
【例10】 如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，以M 为顶点作BMN MBC ∠=∠，MN 交CD 于
点N ，求证：2DN
CN =．
【例11】 如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD 是边BC 上的高，点E 在线段DC 上，EF AB ⊥，
EG AC ⊥，垂足分别为F 、G ．
求证：（1）
EG CG
AD CD
=
；（2）FD DG ⊥．
A
B
C
E
F
G
H
A B
C
P Q
A
B
C
D
P
H
【例12】 如图，在ABC ∆中，正方形EFGH 内接于ABC ∆，点E 、F 在边AB 上，点G 、H 分别在BC 、
AC 上，且2EF AE FB =g ．
求证：（1）90C ∠=︒；（2）AH CG AE FB =g g ．
【例13】 如图，PH 是Rt ABC ∆斜边AC 上的垂直平分线，垂直为点H ，并交直角边AB 于点P ，D 是
PH 上一点，且AD 是AP 与AB 的比例中项．求证：
（1）AP AB AH AC =g g ； （2）ACD ∆是等腰直角三角形．
【例14】 如图，16AB =厘米，12AC =厘米，动点P 、Q 分别以2厘米/秒和1厘米/秒的速度同时开
始运动，其中点P 从点A 出发沿AC 边一直移动到点C 为止，点Q 从点B 出发沿BA 边一直移动到点A 为止．经过多长时间后，APQ ∆与ABC ∆相似？
A
B C
D
E
F A B
C
D
【习题1】 如图，在ABC ∆中，如果EF //AB ，DE //BC ，那么你能找出哪几对相似三角形？
【习题2】
如图，在ABC ∆中，D 为边AC 上一点，DBC A ∠=∠，6BC =，3AC =，则CD 的长为
．
【习题3】
根据下列条件，判断和是否是相似三角形；如果是，那么用符号表示出来．
（1） 45A ∠=︒，12AB cm =，15AC cm =，
45D ∠=︒，16DE cm =，20DF cm =；
（2） 45A ∠=︒，12AB cm =，15AC cm =，
45E ∠=︒，20ED cm =，16EF cm =；
（3） 45A ∠=︒，12AB cm =，15AC cm =，
45D ∠=︒，16ED cm =，20EF cm =．
A
B
C
D
E
A
B C D
E
F
A
B
C
D
E
A
B
C
D
O
M S
【习题4】
如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，若6BC =，8AC =，则
CD =
．
【习题5】 如图，AB //CD ，图中共有
对相似三角形．
【习题6】
如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，且DE AC ⊥，那么:CD AD =
．
【习题7】
如图，ABC ∆是直角三角形，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，E 是AC 的中点，ED 的
延长线与CB 的延长线交于点F ．
求证：FB FD
FD FC
=
．
A
B
C
E
F
M
G A
B
C
D E 【习题8】
如图，在ABC ∆中，点E 在中线BD 上，DAE ABD ∠=∠．求证：
（1）2AD DE DB =g ； （2）DEC ACB ∠=∠．
【习题9】
如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，M 是边AB 的中点，E 、G 分别
是边AC 、BC 上的一点，45EMG ∠=︒，AC 与MG 的延长线相交于点F ．
（1）在不添加字母和线段的情况下，写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对； （2）联结EG ，当3AE =时，求EG 的长．。
