高中数学-学生-实系数一元二次方程

初中数学联赛体系第1讲 一元二次方程的根与解法【知识要点与基本方法】 一、一元二次方程基本概念1、概念：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化为20ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠）的形式的方程叫做一元二次方程.2、一元二次方程必须满足的三大条件 （1）整式方程（2）含有一个未知数（3）未知数的最高次数为2 3、一元二次方程的一般形式形如关于x 的一元二次方程：)0(02≠=++a c bx ax 的形式，（它的特征是方程左边是一个关于未知数的二次三项式，方程右边是零，其中2ax 叫二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项.注意b 、c 可以是任何实数，但a 绝对不能为零）二、一元二次方程的根与解法1、一元二次方程的根0x x =是方程20ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠）的根的充要条件是0020=++c bx ax . 2、直接开平方法解一元二次方程：（1）把方程化成有一边是含有未知数的完全平方的形式，另一边是非负数的形式，即化成)0()(2≥=±a a b x 的形式（2）直接开平方，解得a b x a b x -=+= 21,3、配方法的定义：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.【注】、用配方法解一元二次方程的步骤：（1）利用配方法解一元二次方程时，如果02=++c bx ax 中a 不等于1，必须两边同时除以a ，使得二次项系数为1.（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。

（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

（4）用直接开平方法求出方程的根. 4、公式法解一元二次方程（1）对于一元二次方程02=++c bx ax 其中0≠a ，由配方法有22244)2(aacb a b x -=+， ①当042≥-ac b 时，得aacb b x 242-±-=；②当042<-ac b 时，一元二次方程无实数解.（2）公式法的定义：利用求根公式接一元二次方程的方法叫做公式法.（3）运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤：①必须把一元二次方程化成一般式02=++c bx ax ，以明确a 、b 、c 的值； ②再计算ac b 42-的值：当04Δ2≥-=ac b 时，方程有实数解，其解为：aacb b x 242-±-=；当04Δ2<-=ac b 时，方程无实数解. 5、因式分解解一元二次方程（1）分解因式法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法.（2）分解因式法的理论依据是：若0=⋅b a ，则0=a 或0=b （3）用分解因式法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是一元一次方程的解.6、含字母系数一元二次方程的解法解关于含字母系数的方程，要求对每个参数允许值回答：方程是否有解？若有解，写出解集.特别地，当二次项系数含有字母系数时，如果题目本身没有指明时一元二次方程，则必须对二次项系数讨论是否为零.【例1】 1、若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________． 2、若方程()112=⋅+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 . 【例2】1、用分解因式法解下列方程（1）01032=--x x （2）01762=+-x x （3）0625412=-+x x （4）021)1(4)1(2=----x x ． 2、利用求根公式求解下列方程（1） 0222=--x x （2）010342=+-x x（3）()()()()5211313+-=+-x x x x （4）061054422=--++-p x p px x【对应训练】：1、用公式法解下列方程（1）0232=+-x x （2）2212x x -=- （3）x x 3)1(2-=+（4）1(61)432(2)2x x x x ++-=+ （5）023222=--+-n mn m mx x【例3】解下列方程（1）42200x x --=；（2）06)13(2)32(2=----x x ；（3）.02)23()21(2=++-+x x【例4】解下列方程 （1）4122+-=x x（2）112432--=-+x x x【例5】解关于x 的方程 （1）；0)(222=++-ab x b a abx（2）.)1()1()232(22222b x x ab a x x -=+---【例6】1、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 .2、设b a 、是整数，方程02=++b ax x 有一个根是347-，则=+b a .3、已知02=++c bx ax )0(≠ac 有一个根是3，则方程02=++a bx cx 一定有一个根是 ，方程02=+-a bx cx 一定有一个根是 .4、已知两数积1≠ab ，且03123456789022=++a a ，02123456789032=++b b ，则=ba【例7】已知方程p x x =--)97)(19(有实根21,r r ，试求方程p r x r x -=--))((21的最小实根.【例8】求k 的值，使得两个一元二次方程0)2(,0122=-++=-+k x x kx x 有公共根，并分别求出这两个方程的解集.【例9】对于任意实数,k 方程04)(2)1(2222=++++-+b k k x k a x k 都有实根1，试求另一个根的最大值与最小值.【例10】已知方程)0(2>=++a x c bx ax 的两根21x x 、满足ax x 1021<<<.当10x x <<时，证明：12x c bx ax x <++<.【例11】已知首项系数不相等的两个一元二次方程0)2()2()1(,0)2()2()1(222222=+++--=+++--b b x b x b a a x a x a 有公共根.（1）求证：.2++=b a ab（2）若b a ,为正整数，求ab ab ba b a --++的值. （3）设0x 为公共根，求证：.048403040>++-x x x【课后强化训练】A 组1、下列方程中，是一元二次方程的序号是①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x； ④bx ax =2； ⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+xx x ； ⑨22=-x x ； ⑩)0(2≠=a bx ax2、已知方程3ax 2－bx －1=0和ax 2+2bx －5=0，有共同的根1-，则a = ，b = .3、已知a 2－5ab +6b 2=0，则abb a +等于 4、在实数范围内分解因式：=--12x x ；=++-223y xy x5、等腰三角形的两边的长是方程091202=+-x x 的两个根，则此三角形周长为 6、已知042=+-b x x 的一根的相反数为042=-+b x x 的根，则042=-+bx x 的根是 7、已知0132=+-a a ，那么=++--2219294a a a ___________. 8、方程019991997199822=⋅++x x 的解是 . 9、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=ba. 10、已知方程(2011x)2－2010·2012x －1＝0的较大根为a ，方程x2＋2010x －2011＝0的较小根为b ，则a －b ＝__________．11、方程0672=+-x x ，各根的和是 .12、若31028-是方程02=++b ax x 的一个根（其中b a 、是有理数），则ab 的值是 . 13、用公式法解下列各方程（1）x 2+6x +9=7 （2）017122=++x x（3）08242=+-x x （4）4)3)(12(=--x x（5）02)82(42=++-y y （6）02322=--x x（7）)3)(21()12(5+-=-x x x14、用因式分解法解下列方程：（1）t (2t －1)＝3(2t －1)； （2）y 2＋7y ＋6＝0；（3）y 2－15＝2y （4）(2x －1)(x －1)＝1．（5）)3)(21()12(5+-=-x x x （6）10x 2－x －3＝015、解下列方程（1）0)34()45(22=---x x ； （2）06)23(2=++-x x ；（3）0154)35(222=----x x ； （4）02)32()347(2=----x x ；（5）629332+=-+++x x x x .16、已知两个二次方程02=++b ax x ，02=++d cx x 有一个公共根1，求证：二次方程0222=++++db xc a x 也有一个根为1.17、求方程072=--kx x 与()0162=+--k x x 的公共根.B 组1、已知c b 、为方程02=++c bx x 的两个根，且0≠c ，c b ≠.则c b 、的值分别是 、2、已知正实数a b c ，，满足方程组222229217226a b ac b c ab c a bc ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，则a b c ++的值是3、关于x 的方程1)12(62++-=m x m x 有一根α，满足不等式：19981998≤≤-α，且使得α53为整数，则m 可取 个值.4、已知02=++c bx ax 的两根和为1S ，两根平方和为2S ，两根立方根为3S ，则123cS bS aS ++的值是5、已知1=x 是方程02=++c bx ax 的根，0≠abc .则)111(32333222cb ac b a c b a +++++++的值是 .6、（2012湖北随州）设0122=-+a a ，01224=--b b ，且012≠-ab ，52213⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+a a b ab 的值是 .7、解下列关于x 的方程（1）03222=-+m x m x ； （2）0))()((=+++++++abc b a x a c x c b x ；（3）)0(0)(33442≠=++-ab b a x b a abx ；（4）0)3(2)1(2=+--+m x m x m ；（5）02)5(522=--+-x m x m ）（.8、已知下面三个方程有公共根.02=++c bx ax ，02=++a cx bx ， 02=++b ax cx .求证：abc c b a 3333=++.9、设等腰三角形的一腰与底边长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，试求a 的取值范围.10、若21q q 、是方程02=++b ax x 的两个实根，且0,21≠≠b q q .又21c c 、是任意两个实数，则n n n q c q c x 2211+=是方程021=++--n n n bx ax x 的解.11、设2121,,,b b a a 都是实数，21a a ≠，且1))(())((22122111=++=++b a b a b a b a ，求证：1))(())((22211211-=++=++b a b a b a b a .初中数学联赛体系第2讲 可化为一元二次方程的方程（组）模块一、特殊高次方程的解法次数超过2的整式方程称为高次方程.一般地高次方程没有统一的求解方法.对于一些特殊的高次方程，可通过降次，转化为一元二次方程或一元一次方程求解.转化的方法有因式分解法、换元法、变换主元法等.【例1】解下列方程（1）13322)132(222+-=+-x x x x（2）222222)143()352()2(+-=+-+-+x x x x x x（3）.3123=--x x x（4）.022224223=-+++x x x（5）062536506650362562345678=+-+-+-+-x x x x x x x x【例2】解方程.02)65(2)11(2102234=++++---a a x a x a x x 其中a 是常数.【例3】方程02=++b ax x 有两个不同的实数根.求证：方程01)2(234=+--++ax x b ax x 有4个不同的实数根.模块二、特殊分式方程的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程，求解分式方程总的原则是通过去分母或换元，时期转化为整式方程，然后再求解.在这个过程中离不开分式的恒等变形，如通分、约分及降低分子的次数等等，这就有可能使未知数的范围扩大（或缩小），从而使方程产生增根（或遗根），因此，当未知数的范围扩大时，需验根。

新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式最新课程标准要求学生从函数的角度来看待一元二次方程。

学生需要结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，并了解函数的零点与方程根的关系。

此外，学生还需要从函数的角度来看待一元二次不等式。

他们需要通过从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义。

他们需要掌握利用一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集。

同时，通过一元二次函数的图像，学生还需要了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。

知识点：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系当Δ>0时，一元二次方程y=ax^2+bx+c(a>0)有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)；当Δ=0时，有两个相等的实数根x1=x2=-b/2a；当Δ<0时，没有实数根。

当a>0时，二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)的解集为{x|xx2}；当ax^2+bx+c0)时，解集为{x|x10时相同。

状元随笔一元二次不等式的解法：1.图像法：当a>0时，解形如ax^2+bx+c>0(≥0)或ax^2+bx+c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax^2+bx+c=0的解；②画出对应函数y=ax^2+bx+c 的图像简图；③由图像得出不等式的解集。

2.代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解。

当p0，则x>q或x<p；若(x-p)(x-q)<0，则p<x<q。

有口诀如下：“大于取两边，小于取中间”。

教材解难]教材P50思考：从函数的角度和方程的角度两个角度来看待一元二次不等式。

从函数的角度来看，一元二次不等式ax^2+bx+c>0表示二次函数y=ax^2+bx+c的函数值大于0，图像在x轴的上方；一元二次不等式ax^2+bx+c>0的解集即二次函数图像在x轴上方部分的自变量的取值范围。

《实系数一元二次方程的解法》学历案（第一课时）一、学习主题本课学习主题为《实系数一元二次方程的解法》。

在中职数学教育中，实系数一元二次方程的解法是数学基础中的基础，对于学生后续学习高等数学及实际生活中的应用具有重要意义。

本课将重点掌握一元二次方程的标准形式、根的判别方法及求解过程。

二、学习目标1. 知识与技能：- 掌握一元二次方程的标准形式，并能正确识别。

- 理解判别式Δ的应用，会判断方程的根的情况。

- 学会使用配方法求解一元二次方程。

2. 过程与方法：- 通过实例分析，学会从实际问题中抽象出一元二次方程模型。

- 培养运用数学方法解决实际问题的能力。

3. 情感态度与价值观：- 激发学生学习数学的兴趣和自信心。

- 培养严谨的数学思维习惯和科学的探究精神。

三、评价任务1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与度、合作能力和对知识点的理解情况。

2. 作业评价：通过布置相关练习题，评价学生对一元二次方程解法掌握的熟练程度和正确性。

3. 测验评价：定期进行小测验，检验学生对一元二次方程解法的理解和应用能力。

四、学习过程1. 导入新课：通过实际问题引出一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。

2. 新课讲解：- 一元二次方程的标准形式讲解，通过举例让学生熟悉形式。

- 判别式Δ的引入及计算方法，让学生理解其在一元二次方程解法中的重要性。

- 配方法的原理及步骤讲解，通过演示让学生掌握配方法求解一元二次方程的技巧。

3. 学生实践：学生动手操作，通过练习题巩固所学知识。

4. 课堂小结：总结本课重点内容，强调一元二次方程解法在实际问题中的应用。

5. 布置作业：布置相关练习题，包括一元二次方程的标准形式判断、判别式的计算及配方法的实际应用等。

五、检测与作业1. 课堂检测：通过课堂小测验，检测学生对一元二次方程解法的掌握情况。

2. 作业布置：除了布置相关的练习题外，还可以布置一些实际问题的应用题，让学生运用所学知识解决实际问题。

实系数一元二次方程实根分布1：当m 为何值时，方程03524222=--++m m mx x的两根异号？答案：(321<<-m )2：已知方程02322=-+-k kx x 的两个根都大于1，求k 的取值范围。

答案：(2≥k )3：已知集合A ＝｛045|2≤+-x x x ｝，B ＝｛022|2≤++-a ax x x ｝，且B ⊆A ，求实数a 的取值范围。

答案：(7181≤<-a )4、关于x 的方程0122=++x ax 至少有一个负的实根，则a_____________ (1≤a )5、01032=+-k x x 有两个同号且不相等的实根,则k__________- (3250<<k )6、要使关于x 的方程0322=+-kx x 的两个实根一个小于1，另一个大于1，则实数k 的取值范围是__（ 5>k ）7、已知抛物线m x m x y +-+=)3(2与x 轴的正半轴交于两点，则实数m 的取值范围是＿＿＿＿。

（10<<m ）8、设A ＝｛01|2=-x x ｝，B ＝｛012|22=-+-a ax x x ｝，若A ∩B ＝B ，则a 等于＿＿＿。

(0=a )9、已知A ＝｛01)2(|2=+++x p x x ，R x ∈｝，若A ∩R ＋＝φ，则p 的范围是＿＿＿＿＿。

(4->p )10、已知方程0222=++-a ax x 的两根都在区间（1,4）内， 求a 的取值范围。

(7182<≤a )11、若关于x 的方程0532=+-a x x 的一个根在（－2,0）内，另一个根在（1,3）内，求a 的取值范围。

12、已知方程01222=+-+m mx x 的两个实根都大于2,求实数m 的取值范围。

（4316-≤<-m ）13已知A ＝｛023|2≤+-x x x ｝，B ＝｛02|2≤+-a ax x x ，R a ∈｝，且A ∩B ＝B ，求a 的取值范围。

第16讲 复数的几何意义和实系数一元二次方程知识梳理一、理解复数的几何意义(1)复平面的有关概念：实轴是x 轴,虚轴是y 轴；与复数(,)z a b i a b R =+∈ 一一对应的点是(,)a b ； 非零复数22(,,0)z a bi a b R a b =+∈+≠与复平面上自原点出发以点(,)Z a b 为终点的向量OZ 一一对应；复数模的几何意义是:复数对应复平面上的点到原点的距离.二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根2b a-；（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔方程有两个共轭虚根2b a-±，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）．（3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．例题解析一、复数的几何意义例1．（2021·上海杨浦区·复旦附中高二期末）若复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z +=122z z -的值是______.【答案】【分析】设复数所对应的向量分别为a ，b ，根据123z z ==，12z z +=面向量的模的运算，由2222a b ba ab +++=⋅，得到0a b ⋅=，再由222424a a b a b b --+=⋅求解.【详解】设复数所对应的向量分别为a ，b因为复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z += 所以3a =，3b =，32a b +=， 所以222218a a b b a b+⋅+=+=，即0a b ⋅=， 所以a b ⊥， 所以22244524b ba a ab -=⋅-+=，解得352a b -=所以122z z -的值是故答案为：例2．（2021·上海市松江二中高二期末）已知复数z 满足242z i +-=，则1z -的取值范围是__________. 【答案】[]3,7【分析】设(,)z x y =，(,)x y R ∈，由复数z 满足|24|2z i +-=，可得在复平面内点z 表示的是以(2,4)-为圆心，2r为半径的圆．|1|z -表示的是点z 与(1,0)之间的距离，求出圆心与点(1,0)之间的距离d ．可得|1|z -的范围是[d r -，]d r +． 【详解】解：设(,)z x y =，(,)x y R ∈， 复数z 满足|24|2z i +-=，∴2，即22(2)(4)4x y ++-=． ∴在复平面内点z 表示的是以(2,4)-为圆心，2r为半径的圆．|1|z -表示的是点z 与(1,0)之间的距离，圆心与点(1,0)之间的距离5d =． 则|1|z -的范围是[d r -，]d r +，即[]3,7． 故答案为：[]3,7．例3．（2021·上海市西南位育中学高二期末）设O 是复平面的原点，满足|||1|z i z -+-=的复数在复平面上所对应的点构成集合M ，在M 中任取不同的两点A 和B ，则AOB ∠的最大值是_____________.【答案】2π【分析】根据|||1|z i z -+-=z 在复平面所表示的轨迹，从而确定集合M ，这样可以确定AOB ∠的最大值.【详解】由|||1|z i z -+-=z 表示在复平面内到(0,1),(1,0)P Q 两点的距，而PQ =z 表示的线段PQ ，因此集合M 是表示线段PQ上的点，如下图所示：显然当2AOB POQ π∠=∠=时，AOB ∠有最大值，最大值为2π. 故答案为：2π 【点睛】本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合，属于基础题.例4．（2021·徐汇区·上海中学高二期末）已知关于x 的方程2430x zx i +++=有实数根，求复数z 的模的最小值.【答案】【分析】根据题意，设x ∈R ，且0x ≠，得到43z x i x x⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，根据复数模的计算公式，得到z =.【详解】由题意，可设x ∈R ，且0x ≠，则24343x i z x i x x x ++⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭，832z ==当且仅当2225x x=，即x =故min z =【点睛】本题主要考查求复数模的最值问题，熟记复数模的计算公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.例5.已知复数z x yi =+满足22z z i =--，则33x y+的最小值是（ ）A 、18B 、6C、D、3【难度】★★ 【答案】 B例6.设复数（为虚数单位），若对任意实数，，则实数的取值范围为 ． 【难度】★★【答案】[ 【巩固训练】1．若复数z 满足211=-++z z ，则1-+i z 的最小值是 . 【难度】★★ 【答案】12．设O 为坐标原点，已知向量1OZ 、2OZ 分别对应复数1z 、2z ，i a a z )10(5321-++=， 212),()52(12z z R a i a az +∈-+-=若其中是实数，求2z 的值。

高中一元二次方程的解法如下：1. 直接开平方法：如果一元二次方程的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，且a≠0，那么x^2=b/a，那么这样的方程就可以通过直接开平方的方法解出其解。

2. 配方法：把一元二次方程配成(x+m)^2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这样可以使计算简化。

3. 因式分解法：利用乘法公式来分解因式，通过因式分解来求解一元二次方程。

首先要通过观察或分析，确定一元二次方程的最高项和一次项的分母为1时可能有几个因式在x^2±2bx+c=0；或b^2-4ac≥0时可用公式求得解。

下面我们以一些例题的形式展示这些解法：例1：（1）方程x^2-4x+3=0；（2）方程（x-1）^2-2（x-1）+2=0；解：（1）由原方程，得（x-1.5）^2-2.25=0。

直接开平方得：x-1.5=±1.5，所以x?=3，x?=0；（2）由原方程，得（x-1-1）^2=0，所以x?=x?=2。

例2：用因式分解法解方程：x^2-3x+2=0。

解：原式=（x-1）（x-2）=0，得x?=1，x?=2。

除了上述两种方法外，还有公式法等其他解法。

公式法需要用到一元二次方程的求根公式，通过使用根公式来解一元二次方程。

具体步骤包括将一元二次方程化为一般形式，确定判别式的值，根据判别式的值确定根的个数，然后使用根的公式求出方程的根。

总结：高中一元二次方程的解法包括直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法等。

选择哪种方法取决于方程的特点和需要，有时候可能需要多种方法联合使用来解决问题。

理解和掌握这些解法对于解决一元二次方程问题非常重要。

另外需要注意的是，在实际应用中，一元二次方程往往需要通过数学模型建立、数据处理和分析等方法进行求解。

这就需要结合实际问题和数学知识进行综合应用和创新思考。

实系数一元二次方程一、单选题1．设1z ，2z是非零复数，且满足2211220+=z z z ，则1z 与2z 的关系是（ ）．A ．12z z >B ．12z z <C ．12=z zD ．不确定【答案】C 【分析】将方程两边同时除以22z ，化为12z z 的一元二次方程，利用求根公式求出12z z ，再求出其模，即可得到答案.【详解】因为2211220+=z z z ，且20z ≠，所以21122()10z z z z +=，所以2121(4z z =-，所以1212z i z ==±，所以1212z i z =±，所以121||||122z i z =±=，所以12||1||z z =，所以12||||z z =. 故选：C.【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，考查了复数的模长公式和复数模的性质，属于基础题.2．设z C ∈，方程2||0+=z z 的根有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】将z 表示为复数的形式代入方程，利用复数相等即可求解. 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，代入方程得220,20,a b ab ⎧⎪-+⎨=⎪⎩ 解得0,0a b ==或±1，所以方程2||0+=z z 的根有3个.故答案选：C【点睛】本题主要考查利用换元法求方程的根及复数相等的概念，属于基础题.3．已知关于x 的实系数方程222440x ax a a -+-+=两个虚根为1x ，2x ，且123x x +=，则a =（ ）A ．12B ．72C ．12或72D ．不存在【答案】A【分析】关于x 的实系数方程222440x ax a a -+-+=两个虚根为1x ，2x ，所以∆<0，可得1a <，利用根与系数的关系可得()2212122,4420x x a x x a a a +=⋅=-+=->，设()12,,x m ni x m ni m n R =+=-∈，则12222122244x x m a x x m n a a +==⎧⎨⋅=+=-+⎩，根据123x x +=，可得2294m n +=可求得答案. 【详解】关于x 的实系数方程222440x ax a a -+-+=两个虚根为1x ，2x ，()()2244441610a a a a ∆=--+=-<，所以1a <()2212122,4420x x a x x a a a +=⋅=-+=->设()12,,x m ni x m ni m n R =+=-∈ 所以12222122244x x m a x x m n a a +==⎧⎨⋅=+=-+⎩ 123x x +=，即123x x +==，即2294m n += 由2221244x x m n a a ⋅=+=-+，即()2294424a a a -+=-=，解得12m =或72m =. 又1222x x m a +==，1a <，则1m <，所以12m = 所以12a = 故选：A【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、判别式、根与系数的关系、复数的模的计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．二、填空题4．若实系数方程20x mx m ++=有虚根，则实数m 的取值范围是________.【答案】(0,4)【分析】由已知可得∆<0，求解即可.【详解】实系数方程20x mx m ++=有虚根，24(4)0,04m m m m m ∴∆=-=-<<<.故答案为：(0,4).【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的判别式，考查计算求解能力，属于基础题.5．若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是________.【答案】2i ±【分析】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，利用12124,5z z z z +=⋅=列方程组，解方程组求得题目所求两个数.【详解】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，依题意有12124,5z z z z +=⋅=，即()()45a c b d i ac bd ad bc i ⎧+++=⎪⎨-++=⎪⎩，所以405a cb d ac bd ad bc +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩.将=-b d 代入0ad bc +=，得a c =；将a c =代入4a c +=，解得2a c ==；将2a c ==代入5ac bd -=，得1bd =-，结合=-b d 解得11b d =⎧⎨=-⎩或11b d =-⎧⎨=⎩.所以对应的数为2i +、2i -.故答案为：2i ±【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题.三、解答题6．已知一元二次方程22340x x +-=的两根为x 1与x 2，求下列各式的值：（1）x 12+x 22；（2）|x 1-x 2|.【答案】（1）254（2【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系计算即可.【详解】因为一元二次方程22340x x +-=的两根为x 1与x 2， 所以1232x x +=-，122x x ⋅=-， （1）x 12+x 22()212129252444x x x x =+-⋅=+=，（2）|x 1-x 2|====【点睛】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，考查了运算能能力，属于中档题.7．已知复数2i -是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，向量(,)=m b c ，(8,)=n t ，求实数λ和t ，使得m n λ=． 【答案】12λ=-，10t =- 【分析】根据虚根成对定理以及韦达定理可求出,b c ，再根据向量共线可求得结果.【详解】∵2i -是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，∴2i +也是方程的根．则[(2)(2)]4=--++=-b i i ，(2)(2)5=-+=c i i ．∴(4,5)=-m ，由m n λ=，得(4,5)(8,)-=t λ．∴485t λλ-=⎧⎨=⎩．∴1210t λ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 故答案为：12λ=-，10t =-. 【点睛】本题考查了虚根承兑定理、韦达定理，考查了平面向量共线定理，属于基础题.8．已知复数12,z z 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两根，且复数1z 在复平面内对应的点在第一象限，若122123z z i +=-，其中i 是虚数单位.（1）求复数12,z z ；（2）若复数z 满足1z =，求1z z -的最大值和最小值.【答案】（1）1243,43z i z i =+=-；（2）最大值6，最小值4；【分析】（1）根据实系数一元二次方程根的性质进行求解即可；（2）根据1z z -的几何意义，结合圆的性质进行求解即可.【详解】（1）因为122123z z i +=-，所以实系数一元二次方程有两个互为共轭的复数根，因此复数12,z z 互为共轭复数，因为复数1z 在复平面内对应的点在第一象限，所以设1(0,0)z a bi a b =+>>，则2z a bi =-，所以31242()12333a a a bi a bi i b b ==⎧⎧++-=-⇒⇒⎨⎨-=-=⎩⎩， 所以1243,43z i z i =+=-；（2）因为复数z 满足1z =，设(,)z x yi x y R =+∈，所以221x y +=，所以复数z 在复平面上对应的点在单位圆221x y +=上，1z z -表示点(4,3)到圆221x y +=上一点的距离，显然1z z -16=，14=. 所以1z z -的最大值6，最小值4.9．方程20x px p ++=p 的值．【答案】2p =1p =或3p =【分析】设方程的两根为1x ，2x ，则两根在复平面内对应的点之间的距离就是12x x -，由复数模的性质可得()()2212121243x x x x x x -=+-=，利用根与系数的关系式代入，可得到关于p 的方程，解方程可求p 的值.【详解】设方程的两根为1x ，2x ，则()2212121233x x x x x x -=⇔-=⇔-= ()2121243x x x x ⇔+-=，由韦达定理可得243-=p p ．当243-=⇒=p p p 2当2431-=-⇒=p p p 或3p =.【点睛】本题考查了复数的几何意义以及一元二次方程根与系数的关系，把复数在复平面上对应点的距离转化为复数差的模的形式是解题的关键，属于中档题.10．方程220x x m ++=的两个虚根为1z ，2z ，且12212<+-z z i ，求实数m 的范围． 【答案】251,9⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】设1(,,0)z a bi a b R b =+∈≠，则2z a bi =-．根据韦达定理可得211a m b =-⎧⎨=+⎩，再根据模长公式化简不等式可得403b <<，由21m b =+可得答案. 【详解】设1(,,0)z a bi a b R b =+∈≠，则2z a bi =-．因为方程220x x m ++=有虚根，m R ∈，所以2240m ∆=-<，解得1m ，根据韦达定理得12122z z z z m +=-⎧⎨=⎩，∴2222a m a b =-⎧⎨=+⎩，即211a m b =-⎧⎨=+⎩， 因为12212<+-z z i ，所以22124|||12|z z i <+-，所以224|1||(2)|bi b i -+<-+，所以2244(2)b b +<+，所以2340b b -<，所以403b <<， 所以21609b <<， ∴225119m b <=+<． ∴251,9⎛⎫∈ ⎪⎝⎭m . 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了韦达定理以及复数的模长公式，属于基础题.11．已知方程240x x m ++=的两根为α，β且满足||6-=αβ，求实数m 的值.指出下面的解法是否有错误，若有请分析错误原因，并给出正确的解答；若没有，请说明理由.||6-=αβ，得2||36-=αβ.∴2()436+-=αβαβ.由方程的根与系数的关系，得2(4)436--=m .解方程，得5m =-.【答案】有错误，理由见解析，5m =-或13m =.【分析】利用举反例的方法，说明错误原因.按照0∆≥和∆<0进行分类讨论，由此求得m 的所有可能取值.【详解】上面解法有错误，原因是当x C ∈时，2z 不一定等于2||z .如z i ，则221,1z z =-=. 正确解法：（1）当1640m ∆=-≥，即4m ≤时，有,R αβ∈，此时解答同上面解法；（2）当∆<0，即4m >时，方程有共轭虚根，两根为42-±=2-.依题意||||6-==αβ.解方程，得13m =.综上所述，5m =-或13m =.【点睛】本小题主要考查在复数范围内求一元二次方程的根，属于中档题.12．方程2236(1)10x m x m --++=的两个虚根的模之和为2，求实数m 的值.【分析】设1x ，2x 是方程的两个根，计算∆<0得到3322-+<<m ，计算11x =，代入数据计算得到答案.【详解】设1x ，2x 是方程的两个根，因为方程有两个虚根，∴∆<0，即()2236(1)4310--⨯+<m m ，化简得2310-+<m m ，解不等式得3322+<<m ，∵122x x +=，且12x x =，∴11x =1=1=.∴22m =，∴m =，检验取m .【点睛】本题考查了方程的虚根，意在考查学生的计算能力和应用能力.13．设1x ，2x 是方程22230()++-=∈x ax a a a R 的两根，求12x x +（用含a 的解析式表示）.【答案】123(18)2(01)(80)a a a x x a a ⎧≥≤-⎪+=≤<-<<⎩或 【分析】根据判别式讨论方程根的情况，若0∆≥，再对两实根的符号讨论，结合根与系数关系，即可得出结论；若∆<0，方程两根为共轭虚数，利用模的关系，结合根与系数关系，即可求出结论.【详解】（1）当方程有实根时，2298()(8)0a a a a a ∆=--=+≥，得0a ≥或8a ≤-，若2120x x a a =-≥，得1a ≥或0a ≤.∴当1a ≥或8a ≤-时，12,x x 同号，121232a x x x x ++==； 当01a ≤<时，12,x x 异号，1212x x x x -+=== . （2）当方程有虚根时，(8)a a ∆=+<0，得80a -<<.∴1212+===x x x=.综上：123(18)2(01)(80)a a a x x a a ⎧≥≤-⎪+=≤<-<<⎩或 【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的判别式，以及根与系数关系的应用，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于中档题.14．若1z ，2z是实系数一元二次方程的两个虚根，2=ω||2ω≤. 求：（1）实数a 的取值范围；（2）|(4)|-+a ai 的最大值.【答案】（1）11a -≤≤；（2【分析】（1）根据实系数方程的两个虚数根互为共轭复数得其模相等，利用模的性质可得a 的范围；（2）求出|(4)|-+a ai ，结合二次函数性质可得结论．【详解】（1）1z ，2z 是实系数一元二次方程的两个虚根，∴12=z z，||==ω2||2a =≤，所以||1a ≤； （2）|(4)|-+==a ai 11a -≤≤上单调递减，所以当1a =-时取到最大【点睛】本题考查复数的模的运算，考查模的性质，在复数乘除法运算中利用模的性质求模可以更加简便．1212z z z z =，1122z z z z =．。

新教材高中数学教师用书：第2课时 复数的除法及实系数一元二次方程在复数范围内的解集[课程目标] 1.掌握复数的除法法则，并能运用复数的除法法则进行计算.2.会在复数范围内解实系数一元二次方程．知识点一 复数的除法[填一填](1)复数的除法如果复数z 2≠0，则满足zz 2＝z 1的复数z 称为z 1除以z 2的商，并记作z ＝z 1z 2(或z ＝z 1÷z 2)，z 1称为被除数，z 2称为除数．(2)复数的倒数给定复数z ≠0，称1z 为z 的倒数，z 1除以z 2的商z 1z 2也可以看成z 1与z 2的倒数之积．(3)运算法则(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝(a ＋b i)(1c ＋d i )＝(a ＋b i)·c －d ic 2＋d2＝ac ＋bd ＋bc －ad i c 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d2i.[答一答]怎样理解和应用复数代数形式的除法法则？提示：(1)复数代数形式的除法是复数代数形式的乘法的逆运算． (2)复数除法的运算法则不必死记，在实际运算时，只需把商a ＋b ic ＋d i看作分数，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，把分母变为实数，化简后，就可以得到运算结果． 知识点二 实系数一元二次方程[填一填]当a ，b ，c 都是实数且a ≠0时，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，而且(1)当Δ＝b 2－4ac >0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ＝b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＝b 2－4ac <0时，方程有两个互为共轭的虚数根．复数的模的运算性质．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，|z |＝a 2＋b 2， (1)|z |＝|z －|；(2)|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|；(3)|z 1z 2|＝|z 1||z 2|(z 2≠0)；(4)|z n|＝|z |n； (5)|z |＝1⇔z ·z －＝1；(6)|z |2＝|z －|2＝|z 2|＝|z －2|＝z ·z －.类型一 复数的除法运算[例1] 计算下列各式： (1)1－4i 1＋i ＋2＋4i3＋4i ；(2)i －2i －11＋ii －1＋i.[分析] 题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号里的，再算乘除，最后算加减．[解] (1)1－4i1＋i ＋2＋4i3＋4i＝1＋4＋－4＋1i ＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i3＋4i＝7＋i3－4i 3＋4i 3－4i ＝21＋4＋3－28i 25＝25－25i25＝1－i. (2)i －2i －11＋ii －1＋i ＝－1－i －2i ＋2i －1－1－i ＋i ＝1－3i－2＋i＝1－3i －2－i －2＋i －2－i ＝－2－3＋6－1i5＝－5＋5i5＝－1＋i.复数的运算顺序与实数运算顺序相同，都是先进行高级运算乘方、开方，再进行次级运算乘、除，最后进行低级运算加、减.如i 的幂运算，先利用i 的幂的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算.[变式训练1] 计算：(1)2－i 3－4i 1＋i2＋(1－i)2；(2)i －231＋23i ＋(5＋i 3)－(1＋i 2)6.解：(1)2－i3－4i 1＋i2＋(1－i)2＝2－i 3－4i ·2i －2i ＝2－i 8＋6i －2i ＝2－i8－6i8＋6i8－6i－2i＝10－20i 100－2i ＝110－115i.(2)i －231＋23i ＋(5＋i 3)－(1＋i 2)6＝1＋23ii 1＋23i ＋(5＋i 2·i)－[(1＋i 2)2]3＝i ＋5－i －i 3＝5＋i.类型二 实系数一元二次方程的解集[例2] 求下列一元二次方程的解： (1)3x 2＋5x ＋1＝0； (2)2x 2－3x ＋3＝0； (3)4x 2－5x ＋2＝0.[分析] 求一元二次方程的根，最实用的方法是用求根公式法，如果Δ>0，则在实数系中有解，若Δ<0，则在复数系中有解.[解] (1)Δ＝52－4×3×1＝13， 故x ＝－5±132×3＝－5±136.(2)Δ＝(－3)2－4×2×3＝－15，故x ＝3±15i 2×2＝3±15i 4.(3)Δ＝(－5)2－4×4×2＝－7， 故x ＝5±7i 2×4＝5±7i8.在解一元二次方程的解时，要注意Δ的符号.[变式训练2] 已知关于x 的方程x 2－2ax ＋a 2－4a ＋4＝0(a ∈R )的两根为α、β，且|α|＋|β|＝3，求实数a 的值．解：由已知有Δ＝(－2a )2－4(a 2－4a ＋4)＝16a －16. ①当Δ≥0即a ≥1时，由⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝2a >0，αβ＝a －22≥0可知两根都是非负实根，∴|α|＋|β|＝α＋β＝3＝2a ⇒a ＝32；②当Δ<0即a <1时，此时方程两根为共轭虚根， 设α＝m ＋n i ，则β＝m －n i.∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝2m ＝2a ，αβ＝m 2＋n 2＝a －22.∴|α|＋|β|＝2m 2＋n 2＝2|a －2|＝3⇒a ＝12；综上，a ＝32或12.类型三 复数运算的综合应用[例3] 设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1<ω<2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数；(3)求ω－u 2的最小值．[分析] (1)ω是实数可得到哪些结论？(ω的虚部为0或ω＝ω)(2)u 为纯虚数可得到哪些结论？(u 的实部为0且虚部不为0，或u ＝－u )[解] (1)∵z 是虚数，∴可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0.∴ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋(y －yx 2＋y 2)i. ∵ω是实数，且y ≠0，∴y －yx 2＋y 2＝0，∴x 2＋y 2＝1，即|z |＝1.此时ω＝2x . ∵－1<ω<2，∴－1<2x <2，从而有－12<x <1.即z 的实部的取值范围是(－12，1)．(2)证明：u ＝1－z 1＋z ＝1－x ＋y i1＋x ＋y i＝1－x －y i1＋x －y i 1＋x2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i1＋x 2＋y2＝－y1＋xi.∵x ∈(－12，1)，y ≠0，∴y1＋x ≠0.∴u 为纯虚数．(3)ω－u 2＝2x －(－y1＋x i)2＝2x ＋(y1＋x )2＝2x ＋1－x21＋x 2＝2x ＋1－x 1＋x ＝2x －1＋21＋x＝2(x ＋1)＋21＋x－3. ∵－12<x <1，∴1＋x >0.于是ω－u 2＝2(x ＋1)＋21＋x－3≥22x ＋1·21＋x－3＝1. 当且仅当2(x ＋1)＝21＋x ，即x ＝0时等号成立．∴ω－u 2的最小值为1，此时z ＝±i.该题涉及复数的基本概念和四则运算以及均值不等式等知识.只要概念清楚，运算熟练，按常规思路顺其自然不难求解.注意：解决后面的问题时，可以使用前面已经得到的结论.[变式训练3] 设z 2＝8＋6i ，求z 3－16z －100z.解：z 3－16z －100z ＝z 4－16z 2－100z＝z 2－82－164z＝6i2－164z ＝－200z ＝－200zz ·z＝－200z |z |2.∵|z |2＝|z 2|＝|8＋6i|＝10，又由z 2＝8＋6i ，得z ＝±(3＋i)，∴z ＝±(3－i)， ∴原式＝－200z|z |2＝－60＋20i 或60－20i.1．已知a 为正实数，i 为虚数单位，若a ＋ii的模为2，则a ＝( B ) A ．2 B. 3 C. 2 D ．1解析：因为a ＋ii＝1－a i ，所以1＋a 2＝2，又a >0，故a ＝3，故选B.2．在复平面内，复数10i3＋i 对应的点的坐标为( A )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1) 解析：本题考查复数的乘法与除法． 10i3＋i＝10i 3－i 3＋i 3－i ＝10＋30i10＝1＋3i.∴复数10i3＋i对应的点的坐标为(1,3)．3．复数z 满足(z －i)(2－i)＝5，则z ＝( D ) A ．－2－2i B ．－2＋2i C ．2－2iD ．2＋2i解析：由题意可得，z －i ＝52－i ＝52＋i2－i 2＋i ＝2＋i ，所以z ＝2＋2i. 4．若x ，y ∈R ，且x1－i －y 1－2i ＝51－3i，则x ＝－1，y ＝－5. 解析：∵x 1－i －y 1－2i ＝51－3i，∴x 1－2i －y 1－i1－i1－2i＝51＋3i 1－3i 1＋3i ，∴x －y ＋y －2x i －1－3i＝1＋3i2，∴(x －y )＋(y －2x )i ＝－1＋3i22＝4－3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，y －2x ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－5.。

高一数学知识点讲解与专题练习第三讲一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．一、一元二次方程的根的判断式++=≠，用配方法将其变形为：一元二次方程20 (0)ax bx c a(1) 当240−>时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：b ac−<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．(3) 当240b ac由于可以用24−的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把b ac24++=≠的根的判别式，表示为：b acax bx c a−叫做一元二次方程20 (0)24∆=−b ac【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：5(3)60+=(3) 2x x+−=y yx x49122310(1) 2−+=(2) 2解：(1) 2Q，∴ 原方程有两个不相等的实数根．(3)42110∆=−−××=>(2) 原方程可化为：241290y y −+=2 (12)4490∆=−−××=Q ，∴ 原方程有两个相等的实数根．(3) 原方程可化为：256150x x −+=2 (6)45152640∆=−−××=−<Q ，∴ 原方程没有实数根．说明说明：：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式． 练：说出下列各方程的根的情况（1）23x x −+ （2）2441x x −+ （3）22x x +−【例2】已知关于x 的一元二次方程2320x x k −+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．解：2(2)43412k k ∆=−−××=−二、一元二次方程的根解法进一步地，在一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠有实数根的前提下，该实数根具体是多？这就涉及到一元二次方程的根的求法解法一（因式分解法）若2ax bx c ++可分解为()()px q mx n ++，【典例典例】】解一元二次方程220x x +−=解：原方程可化为(1)(2)0x x −+= 故12x =−或练：解一元二次方程（1）24120x x −−= （2）2260x x +−= （3）24510x x −+−= 解法二（配方法）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：【典例典例】】解一元二次方程220x x +−=练：解一元二次方程（1）24120x x −−= （2）2260x x +−= （3）24510x x −+−= 解法三（公式法）对于一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，(1) 当240b ac −>时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：【典例典例】】解一元二次方程220x x +−=解：由2b 490ac ∆=−=>所以原方程有两个不相等的实数根练：解一元二次方程（1）24120x x −−= （2）2260x x +−= （3）24510x x −+−=三、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：说明说明：：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0∆≥．【例3】若12,x x 是方程2220070x x +−=的两个根，试求下列各式的值： 分析分析：：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=−=− (1) 2222121212()2(2)2(2007)4018xx x x x x +=+−=−−−=(3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x −−=−++=−−−+=−说明说明：：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：33312121212()3()x x x x x x x x +=+−+等等．韦达定理体现了整体思想．练：若12,x x 是方程22530x x +−=的两个根，试求下列各式的值 （1）12x x + （2）12x x (3) 2212x x +；A 组1．一元二次方程2(1)210k x x −−−=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且3．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +−++=的根，则m 等于( )A ．3−B ．5C ．53−或D ．53−或4．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b ac ∆=−和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( )A ．M ∆=B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定为( )A ．20−B ．2C ．220−或D ．220或6．如果方程2()()()0b c x c a x a b −+−+−=的两根相等，则,,a b c 之间的关系是 ______ 7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x −+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．8．若方程22(1)30x k x k −+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．9．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．10．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =−=−，则a = _____ ，b = _____ ，c = _____ ． 11．对于二次三项式21036x x −+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．的值．13．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++−=． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(1)k 取何值时，方程存在两个正实数根？B 组1．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k −+−++=有两个不相等的实数根12,x x ． (1) 求k 的取值范围；(2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．2．已知关于x 的方程230x x m +−=的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m −+−+−=有实数根．3．若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k −+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1．(1) 求实数k 的取值范围；第三讲一元二次方程根与系数的关系习题答案A组1．B 2．A 3．A 4．A 5．A且+=≠a cb b c6．2,=−=−7．3 8．9或3−9．1,3p q===11．正确12．4a b c10．3,3,0B组k≠时，0x+=，有实根；(2) 当3∆>也有实m=(1)当3k=时，方程为3102．1根．。

⼀元⼆次⽅程的概念及其解法⼀元⼆次⽅程的概念及解法和讲义知识点⼀：⼀元⼆次⽅程的概念 (1)定义：只含有⼀个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最⾼次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式⽅程．．．．就是⼀元⼆次⽅程。

(2)⼀般表达式：)0(02≠=++a c bx ax(3)四个特点：(1)只含有⼀个未知数；(2)且未知数次数最⾼次数是2；(3)是整式⽅程．要判断⼀个⽅程是否为⼀元⼆次⽅程，先看它是否为整式⽅程，若是，再对它进⾏整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个⽅程就为⼀元⼆次⽅程．（4）将⽅程化为⼀般形式：02=++c bx ax 时，应满⾜（a ≠0）例1：下列⽅程①x 2+1=0；②2y(3y-5)=6y 2+4；③ax 2+bx+c=0 ；④0351=--x x，其中是⼀元⼆次⽅程的有。

变式:⽅程：①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中⼀元⼆次程的是。

例2：⼀元⼆次⽅程12)3)(31(2+=-+x x x 化为⼀般形式为：，⼆次项系数为：，⼀次项系数为：，常数项为：。

变式1：⼀元⼆次⽅程3（x —2）2＝5x －1的⼀般形式是，⼆次项系数是，⼀次项系数是，常数项是。

变式2：有⼀个⼀元⼆次⽅程，未知数为y ，⼆次项的系数为－1，⼀次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的⼀般形式______________。

例3：在关于x 的⽅程(m-5)x m-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是⼀元⼆次⽅程；当m=_____时，它是⼀元⼀次⽅程。

变式1：已知关于x 的⽅程(m+1)x 2－mx+1=0，它是（） A ．⼀元⼆次⽅程 B ．⼀元⼀次⽅程 C ．⼀元⼀次⽅程或⼀元⼆次⽅程 D ．以上答案都不对变式2：当m 时，关于x 的⽅程5)3(72=---x x m m是⼀元⼆次⽅程知识点⼆：⼀元⼆次⽅程的解（1）概念：使⽅程两边相等的未知数的值，就是⽅程的解。

实系数一元二次方程【知识要点】1、实系数一元二次方程20ax bx c ++=（,,,0a b c R a ∈≠）根的情况：1,21,21,20 20 20 b x a b x a x ⎧-∆>=⎪⎪⎪-∆==⎨⎪⎪∆<=⎪⎩一对实根一对相等的实根一对共轭虚根 提醒：1、实系数一元二次方程的根只能是“两个实根”或“两个共轭虚根”；2、解实系数一元二次方程时先判断“∆”的符合，再确定根的情况.2、实系数一元二次方程20ax bx c ++=（,,,0a b c R a ∈≠）根与系数的关系：设20ax bx c ++=（,,,0a b c R a ∈≠）的根为12x x 、，则有1212b x x a cx x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩提醒：（1）12x x 、是虚根时，韦达定理仍成立；（2）若1x 为虚数，则21x x =，1212Re b x x x a +==-，212111c x x x x x a ⋅=⋅== 【例题精讲】1、在复数范围内解方程：（1）2210x+= （2）23650x x ++=2、若32i +是方程220,,x bx c b c R ++=∈的一个根，求,b c 的值3、设,αβ是方程2230x x -+=的两个根，则：22αβ+= ；11αβ+= ；βααβ+= ；33αβ+= ；||αβ-= ；4、方程2(2)20x k i x ki ++++=（k R ∈）有实根，求k 的值，并解方程.5、设m R ∈，一元二次方程20x x m ++=的两个根为,αβ，且||3αβ-=.（1）若x R ∈，求实数m 的值；（2）若x C ∈，求实数m 的值；6、已知关于x 的实系数方程2230xkx k k ++-=有一个模为1的复数根，求实数k 的值.7、已知,αβ是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个虚根，且2αβ是实数，求αβ的值.【同步精练】1、在复数范围内解方程：（1）2310x+= （2）210x x ++= 2、在复数集中因式分解：（1）2243xx -+；（2）21x x -+-；（3）322x x -+；3、（1）设两个数的和为4，积为6，求这两个数；（2）设两个数的差为4，积为6，求这两个数；4、设m R ∈，方程2236(1)10x m x m --++=的两个根为,αβ，且2αβ+=，求m 的值5、已知关于x 的方程2(21)20,x a x a a R -+++=∈有虚数根，是否存在实数a 使得虚数根的立方是实数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由。