数学：13.6《实系数一元二次方程》教案(1)(沪教版高二下)

沪教版高中数学高二下册第十三章13.6.1实系数一元二次方程教案13.6.1实系数一元二次方程教学目标：通过用比较的方法讨论在复数集内解实系数一元二次方程的问题，完整掌握实系数一元二次方程的解，完善实系数一元二次方程的基本理论。

会在复数集内对二次及简单的三次、四次多项式进行分解因式。

教学重点与难点：理解在复数范围内，实系数一元二次方程总有两个根，并掌握根的求法。

当时，实系数一元二次方程有两个共轭的虚根。

教学过程：动动手：试在复数集中解下列方程：想一想：1、以上方程的解在复数集中有几种不同的情况？2、是什么在影响方程的解？4、你能归纳出方程在复数集中解的不同情况吗？活动一小结：1、以上结论的使用条件__实系数一元二次方程。

2、实系数一元二次方程的根在复数集中共有三种不同情况：两个不等实根、两个相等实根和一对共轭虚根。

3、代数基本定理：在复数域里，任何一元n次方程至少严格证明。

有一个根。

据此退出，在复数范围里一元n次方程有且仅有n个根（k重根作k个根计）。

1797年高斯首先给出。

活动一的小结1、若关于x的一元二次方程有虚根，则实数k的取值范围是____________。

2、判断下列命题的真假：（1）在复数范围内，方程总有两个根。

（2）若是方程的一个根，则是方程的另一个根。

（3）若是方程的一个根，则这个方程的另一个根是。

活动二测一测，你掌握了吗？例1：在复数集中解下列一元二次方程：例2：在复数集中分解因式：活动三例题讲解本节课总结：1、实系数一元二次方程的根的三种情况，注意本结论的使用条件。

2、会对二次多项式、简单的高次多项式在复数集中进行分解因式。

3、遇到新问题时，善于联想、比较、类比、化归、归纳等方法，总能找到解决之路。

课后思考思考：若是实系数一元二次方程的一个根，求方程的另一个根及的值。

活动四总结。

实 系 数 一 元 二 次 方 程 的 解教学目标：1.学会求解判别式小于零的实系数一元二次方程，培养复杂问题简单化，陌生问题熟悉化的转化能力。

2.增强知识的类比能力，完善求解实系数一元二次方程的知识体系。

3.体验自主探究，合作交流的学习过程，增强独立解决问题的自信心。

教学重点：实系数一元二次方程求虚根 教学难点：克服由根求系数时实数运算的负迁移 教学过程：一． 引入1． 复习实系数一元二次方程在判别式大于等于零时的根的情况。

2． 实数集扩充到复数集主要解决了负实数没有平方根的矛盾，所以在复数集中，实系数一元二次方程20ax bx c ++=都会有根。

二、新课1、自主尝试--------------求解下列关于x 的一元二次方程222222(1)160(2)20(3)220(4)0(,,,0,40)(5)25(1)x x x x ax bx c a b c R a b ac x x -=+=++=++=∈≠-<=-2、合作交流（1）解决问题的基本途径---------配方法，找平方根≥±当a 0时，实数a 的平方根为当a<0时，实数a 的平方根为（2）当实系数一元二次方程的判别式小于零时，方程有两个虚根，1,212x x x =与互为共轭复数3、深化理解---------------求解关于x 的方程：2360()x x a a R -+=∈4、回顾总结>0=0<5、辨析提高221212221,21221,212(1)6130,(3)70()(4)0()3x x x x x x x x x x x x x k k R x x x x -+=+-+=-++=∈-=22已知1-2i 是关于x 的实系数方程x +mx+n=0的一个根，求另一个根 和系数m,n 的值(2)若方程x 的两个根是,求值：若方程的两个根是,求值：若方程的两个根是,且求实数k 的值.三.小结1.实系数一元二次方程一定有根，或为实根，或为虚根。

实系数一元二次方程一、教学目标：1、理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况；会在复数集中解实系数一元二次方程。

2、掌握当0∆<时，实系数一元二次方程根与系数的关系3、培养类比推理的思想方法及探索精神。

二、教学重点：在复数集内解实系数一元二次方程。

三、教学难点：共轭虚根的应用 四、教学过程： （一）复习旧知：1、师问：我们初中学习了解一元二次方程20ax bx c ++=(a b c R ∈、、且0)a ≠，对这个方程，我们有哪些认识？生答：①当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实根：22b x aa=-±；②当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实根； ③当240b ac ∆=-<时，方程无实根。

根与系数的关系：设方程的两个根为12,x x ，则有12b x x a+=-，12c x x a=2、上一节课学习了“复数的平方根与立方根”，大家知道-1的平方根是:i ±. 师问：一元二次方程210x +=在复数范围内有没有解？ 师问：在复数范围内如何解一元二次方程210x x ++=？ 引出本节课的课题：实系数一元二次方程 （二）讲授新课1、实系数一元二次方程在复数集C 中解的情况： （1）回忆求解实数范围内一元二次方程的过程设一元二次方程20(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且.因为0a ≠，所以原方程可变形为 2b c x x aa+=-，配方得 22()()22b b c x aaa+=-，即 2224()24b b ac x aa-+=.（1）当240b ac ∆=->时，原方程有两个不相等的实数根22b x aa=-±；（2）当240b ac ∆=-=时，原方程有两个相等的实数根2b x a=-；2、师问：当240b ac ∆=-<时，你能有上述过程及上节课的知识推倒出方程的根的情况吗？ 生：当22404b ac a-<，由上一堂课的教学内容知，2244b ac a-的平方根为2i a±， 即i ab ac ab x 2422-±=+，此时原方程有两个不相等的虚数根：22b x i aa=-±为一对共轭虚数根3、师问：240b ac ∆=-<根与系数的关系成立吗？（类比，猜想） 带领学生证明根与系数的关系：12b x x a+=-，12c x x a=（证明）结论：（1）实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解：当0∆≥时，有两个实根；当0∆<时，有一对共轭虚根.（2）韦达定理仍然适用。

1. 若3+2i 是某一元二次方程20()、、++=∈ax bx c a b c R 的根，则另外一个根为______________.2. 若关于x 的一元二次方程2102++=x kx k 有虚根，则实数k 的取值范围____________. 3. 已知方程2+20x x k -=()k R ∈的一个解为12i -+，则____k =4. 已知αβ与为方程220x x -+-=的两个解，则2()_____αβ-=5. 若实系数一元二次方程的一个根为13，则这个方程可以是____________________.6. 20(0,)ax bx c a abc R αβ++=≠∈，是方程在复数范围内的两个解，则下列命题中(1) ||=|αβ| (2)若0∆<，则方程无解 (3) =0b α若为纯虚数，则。

正确的是__________7. 在复数集内分解因式：（1）2265-+x x （2）38-x （3）416-x （4）2+3+x x8. 在复数集内解方程：（1）21=0-+x x （2）22(4)5+=x x9. 已知3+1i 是方程220++=x px q 的一个根，求实系数方程的另外一个根及实数p 、q 的值.一．填空1、已知一元二次方程两个根分别为11=x 和21=x ，则这个一元二次方程可以为______________________.2、实系数一元二次方程2240-+=x x 的解为__________________.3、已知关于x 的方程20+-=x kx i 有一根是i ，则k=________.4、若12、x x 是一元二次方程250-+=x x 的根，则12-x x =___________.5、在复数集内分解因式：2222+++a ab b c =_______________________.6、已知关于x 的方程)(0222R k k k kx x ∈=-++有一个模为1的虚根，则k 的值为________.7、在复数集内分解因式：42310+-x x =_________________________.8、已知关于x 的方程210(R)-+=∈x px p 的两根为12,x x ，若12+=3x x ，则p=______.二．选择9、关于x 的一元二次方程20()、、++=∈ax bx c a b c R 的两个根为,αβ，下列结论中成立的是（）A 、,αβ互为共轭复数B 、,αβαβ+=-=b c a aC 、240-≥b acD 、αβ-=10、已知2,++ai b i 是实系数一元二次方程20++=x px q 的两根，则P 、q 的值为（）A 、4,5=-=p qB 、4,5==p qC 、4,5==-p qD 、4,5=-=-p q三．解答11、已知关于x 的方程)(032R k kx x ∈=++有两个虚根βα,；且32=-βα，求k 的值。

13.6（1）实系数一元二次方程一、教学内容分析本节内容是在前面学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善.为了实际应用和数学自身发展的需要，数的概念需要再一次扩充——由实数扩充到了复数，解决了负数开平方的问题。

那么实系数一元二次方程20a x b x c ++=，当240b ac ∆=-<时方程在复数集中解的情况同样需要进一步研究.因此，本节课主要是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情况和在复数范围内如何对二次三项式进行因式分解等问题.二、教学目标设计理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况；会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；理解实系数一元二次方程有虚数根时根与系数的关系，并会进行简单应用. 三、教学重点及难点在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解. 四、教学用具准备电脑、实物投影仪 五、教学流程设计六、教学过程设计（一）复习引入1.初中学习了一元二次方程20ax bx c ++=(a b c R ∈、、且0)a ≠的求根公式，我们回顾一下：当240b ac ∆=-≥时，方程有两个实数根：22b x a a=-±2.上一节课学习了“复数的平方根与立方根”，大家知道-1的平方根是:i ±. 设问①：一元二次方程210x+=在复数范围内有没有解？设问②：在复数范围内如何解一元二次方程210x x ++=？[说明] 设问①学生可以根据“复数的平方根”知，x 即为-1的平方根：i ±；设问②是为了引出本节课的课题：实系数一元二次方程.（二）讲授新课1、实系数一元二次方程在复数集C 中解的情况：设一元二次方程20(0)axbx c a b c R a ++=∈≠、、且.因为0a ≠，所以原方程可变形为2b cx x a a+=-， 配方得22()()22b b c x a a a+=-， 即2224()24b b acx a a-+=. （1）当240bac ∆=->时，原方程有两个不相等的实数根22b x a a=-±；（2）当240bac ∆=-=时，原方程有两个相等的实数根2b x a=-；（3）当240b ac ∆=-<时，22404b aca-<，由上一堂课的教学内容知，2244b aca-的平方根为2i a ±， 即i ab ac a b x 2422-±=+， 此时原方程有两个不相等的虚数根22b x a a=-±.（22b x i a a=-±为一对共轭虚数根） [说明]实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解：当0∆≥时，有两个实根；当0∆<时，有一对共轭虚根.设问③：若43i -是一个实系数一元二次方程的一个根，你能直接写出该方程的另一个根吗？为什么？回到引入部分设问②：在复数范围内解一元二次方程210xx ++=.（122x =-±，即为上节课学习过的ω）例1（1）在复数集中解方程：2320x x ++=；（2）在复数集中解关于x 的方程：240()x ax a R ++=∈.解：（1）因为△=1432230-⨯⨯=-<，所以方程2320xx ++=的解为1166x i =-+，2166x =--.（2）因为△=16-a 2，所以当△>0，即44a a <->或时，原方程的解为12a x -+=，22a x -=.当△=0，即4a =±时，若4a =，则原方程的解为122x x ==-；若4a =-，则原方程的解为122x x ==.当△<0，即44a -<<时，原方程的解为122a x i =-+,222a x i =--.提醒学生注意：在复数集中解方程时，应先考虑△的正负.[说明]例1(2)需分类讨论，要求较高，建议选用，也可以换成课本上的例题1（P91） 例 2 已知一元二次方程20()xmx n m n R ++=∈、，试确定一组m n 、的值，使该方程分别有两个不相等的实数根、两个相等的实数根、两个虚数根，并解方程.[说明]例2属于开放性问题，比较容易入手，可以让基础不理想的同学尝试回答，加强互动.既然实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解，那么二次三项式2(0)a x b x c a b c R a ++∈≠、、且在复数范围内总可以分解成两个一次因式的乘积.若方程20axbx c ++=的两个解分别为1x x 2、，则212()()ax bx c a x x x x ++=--.例3 在复数集中分解因式：（1）22xx -+； （2）2245x x -+.解：（1）22xx -+=11()()22x x +--. （2）（见课本P91）提醒学生注意：分解二次三项式2axbx c ++时，应提取二次项的系数a .2、实系数一元二次方程中根与系数的关系对于实系数一元二次方程20ax bx c ++=，当其有实数根时，我们在初中已经学习过了根与系数的关系：12b x x a +=-，12cx x a⋅=（即韦达定理）. 设问④：实系数一元二次方程有虚数根时，是否也满足根与系数关系？利用求根公式122a x =-+,222a x i=--容易验证12b x x a +=-，12cx x a⋅=. 例4 已知32i -是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，求实数p 、q 的值.解：（见课本P91例2）（三）巩固练习见课本P91练习13.6（1）；P92练习13.6（2）[说明]以上练习可以根据时间选择一部分在课堂上完成，其余可作为课后练习.（四）课堂小结本节课主要讨论了实系数一元二次方程解的情况，知道了在复数集中解实系数一元二次方程和在复数范围内对二次三项式进行因式分解，体现了分类讨论的数学思想.（五）课后作业1．书面作业：练习册P55 习题13．6 A 组 2．思考题：（补充题及备选题） （1）在复数集中分解因式：416x -.（2）方程25||60zz -+=在复数集中解的个数为（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8（3）在复数范围内解方程iii z z z +-=++23)(2(i 为虚数单位). 参考答案：（1）(2)(2)(2)(2)x x x i x i +-+- （2）C（3）原方程化简为i i z z z -=++1)(2, 设z=x+yi(x 、y∈R),代入上述方程得 x 2+y 2+2xi=1-i, ∴x 2+y 2=1且2x=-1,解得x=-21且y=±23,∴原方程的解是z=-21±23i.[说明]补充的思考题，可作为学有余力的同学的能力训练题，也可作为教师的备选题． 七、教学设计说明本节课由复习引入，带着问题，利用负数的开平方，开展本节课的探究.例题设计主要是为了体现以下三个问题：（1）在复数集中解实系数一元二次方程；（2）在复数范围内对二次三项式进行因式分解；（3）实系数一元二次方程有虚数根时，根与系数关系的初步应用.。

13.6（2）实系数一元二次方程一、教学内容分析本节课是“实系数一元二次方程”的第二节课，上一节课主要讨论了实系数一元二次方程在复数集中解的情况.学生会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；能理解实系数一元二次方程有虚数根时的根与系数的关系，并会进行简单应用.本节课将通过练习巩固以上知识，并检验学生对以上知识的掌握程度.课本中的例题3是“实系数一元二次方程”这一节的重点和难点，本节课将引导学生进行重点探究.二、教学目标设计进一步掌握在复数集中解实系数一元二次方程和对二次三项式进行因式分解；掌握实系数一元二次方程有虚数根时的根与系数的关系及其应用.三、教学重点及难点对实系数一元二次方程有虚数根时的根与系数关系的灵活应用.四、教学用具准备电脑、实物投影仪五、教学流程设计六、教学过程设计课堂小结并布置作业复习旧知巩固练习例题精析课堂练习（一）复习旧知上一节课我们主要学习了哪些内容？我们一起来回顾一下.1.实系数一元二次方程20axbx c 在复数集C 中解的情况：（1）当240b ac 时，原方程有两个不相等的实数根242bb ac xa；（2）当240bac 时，原方程有两个相等的实数根2b xa；（3）当240bac 时，原方程有一对共轭虚根21422b ac bx i aa，22422b ac bx i a a.2、二次三项式2axbx c 在复数范围内分解因式：212()()axbx c a xx x x .3、实系数一元二次方程20axbx c 的韦达定理：12bx x a，12c x x a. 特别地，当240bac 时，12x x 和为一对共轭虚根，即21x x —，∴2121||x x x ，1212Re x x x .[说明]以上三点可以让学生回答，而第3点中的“2121||x x x ，1212Re x x x ”可以让学生在老师的引导下发现.（二）巩固练习1.已知1-i 是实系数一元二次方程20xpx q 的一个根，则p q = .2.若两个数之和为2，两个数之积为3，则这两个数分别为.3.在复数集中分解因式：2321xx = .4.若方程220()xax a R 有虚数根z ，则|z|= .参考答案：1. -4 2.12i 和12i3.12123()()3333x i x i 4.2（三）例题精析例1、已知方程210()xpx pR 的两根为1x 、2x ，若121x x ，求实数p 的值.分析：要求实数p 的值，即要利用已知条件121x x ，从而应考虑1x 、2x 为实根还是虚根，因此，应对0和0讨论.解：（见课本P92例3）[说明]对于△<0的情形，也可考虑设1(,)x a bi a bR ，则2x a bi ，由1221x x bi得12b，又由2221211||x x x a b，得32a，所以1223p x x a .设问①：若将题设中的“两根”改为“两虚根”，则如何作答？设问②：我们知道：当1x 、2x 为实数时，2212121212()()4x x x x x x x x ，而当1x 、2x 为虚数时，上式是否仍然成立？请说明理由.[说明]可以给点时间让学生思考和讨论.因为当z 为虚数时，22zz,所以当1x 、2x 为虚数时，上式不成立.可以适当修改为2221212121212|||()||()4|x x x x x x x x x x (*)该结论显然成立.设问③：大家尝试一下，能否利用上述结论(*)来解答本例？因为2222121212121()()44x x x x x x x x p，所以3p 或5p .[说明]在已知12x x 的值时，利用结论(*)可以避免对0与0的讨论.设问④：本例删除已知条件“121x x ”后，请用m 来表示12x x .将例1的“两根之差的绝对值”改为“两根的绝对值之和”，可以有以下例题. 例2、已知关于x 的方程222440xax aa ()a R 的两根为、，且3，求实数a 的值.解：2244(44)16(1)aaa a .当0，即1a 时，、为实数，且2244(2)0aa a ，所以23a，又1a，所以32a. 当0，即1a时，、为一对共轭虚数，所以23得294，所以94，所以29444a a 得72a 或12a ，因为1a，所以12a. 故32a或12a . [说明]（1）前面有例1的分析与探讨，例题2可考虑让学生自己完成.（2）提醒学生注意：对0与0的讨论.（3）例2删除已知条件“3”后，也可用a 来表示.例3、已知关于x 的方程2(12)2(1)0axi x a i ()a R 有实数根，求实数a 的值.解：设x 0是原方程的两个根，则20(12)2(1)0axi x a i ，即20(2)(22)0axx a x a i ，所以20020220ax x a x a，解该方程组得0a或3a.[说明]补充例3主要是考虑到练习册第58页习题13．6 B 组第5题与例3属同一类问题，可以视情况选用.若时间允许，例3还可以考虑在求出a 的值后，解该方程.（四）课堂练习1.若、是方程270xx 的两个根，则2= .2.见课本P93练习13.6（2）T4.[说明]练习第1题可以直接用求根公式，也可以使用结论(*).其答案是27.（五）课堂小结本节课是在复习与巩固上节课主要内容“实系数一元二次方程解的情况和韦达定理”的基础上，通过例题1和例题2，进一步探讨实系数一元二次方程有虚数根时的韦达定理的应用，应灵活利用2121||c x x x a，1212Re b x x x a.注意分类讨论这一数学思想的应用，例题1和例题2都对0与0（即实根与虚根）进行了讨论，但合理利用以下等式：2221212121212|||()||()4|x x x x x x x x x x ，可以避免分类讨论.（六）课后作业1．书面作业：练习册P55 习题13．6 A 组 T6.8. P57 习题13．6 B 组 T4.5.2．思考题：（补充题及备选题）（1）若方程22810()xx a a R 有一个虚根的模为5，则实数a 的值为 . （2）已知关于x 的方程220()xx m m R 的两根为、，求. （3）已知关于x 的方程2(2)20()xki x ki kR 有实根，求实数k 的值，并解方程.参考答案：（1）9（2）2,0121,02,1m m m m mk时，原方程的两根为2,22i；（3）当22k时，原方程的两根为2,22i.当22[说明]补充的思考题，可作为学有余力的同学的能力训练题，也可作为教师的备选题．。

13.6 实系数一元二次方程（1）一、教学内容分析本节内容是在前面学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善。

为了实际应用和数学自身发展的需要，数的概念需要再一次扩充——由实数扩充到了复数，解决了负数开平方的问题。

那么实系数一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac ∆=-<时方程在复数集中解的情况同样需要进一步研究。

因此，本节课主要是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情况和在复数范围内如何对二次三项式进行因式分解等问题。

二、教学目标1.理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况；2.会在复数集中解实系数一元二次方程；3.会在复数范围内对二次三项式进行因式分解。

三、教学重点及难点重点：在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解； 难点：系数含字母的实系数一元二次方程根的讨论，培养学生分类讨论的数学思想。

四、教学过程设计（一）复习引入问题1：在初中，怎样解一元二次方程20ax bx c ++=(a b c R ∈、、且0)a ≠？有哪几种方法？其中，求根公式是怎么表述的？你能推导吗？前提条件是什么？ 因为0a ≠，所以原方程可变形为2b c x x a a +=-， 配方得22()()22b b c x a a a +=-，即2224()24b b ac x a a-+=，当240b ac ∆=->时，原方程有两个不相等的实数根22b x a a =-±；当240bac ∆=-=时，原方程有两个相等的实数根2b x a =-； 当240b ac ∆=-<时，原方程没有实数根。

问题2：在复数集中，负实数a 的平方根是什么？ 问题3：在复数范围内如何解一元二次方程210x x ++=？说明：问题1让学生明白初中时学的求根公式须满足0∆≥这一前提，从而自然引出0∆<的情况；问题2为后面实系数一元二次方程当0∆<时负数开平方作铺垫；问题3是为了引出本节课的课题：实系数一元二次方程。

实系数一元二次方程一、教材分析《实系数一元二次方程》是沪教版高二年级第二学期课本第十三章第六节的内容，是学生学习了一元二次方程解法之后，全面掌握了复数的相关知识点的基础上来研究如何在复数范围内求解实系数一元二次方程.二、学情分析从学生的思维特点和认知结构来看，本节内容是在前面学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善.复数的平方根是解方程的关键. 本班是西藏班，学生的数学底子薄，数学思维能力有所欠缺，认知结构不太健全， 因而在这节课的学习中，教师要适当加以引导，降低问题的难度，让每一个学生都能够积极、主动的参与，成为课堂的主体，从而轻松的完成学习任务.三、教学目标1、知识与技能：（1）理解在复数范围内，实系数一元二次方程总有两个根，并掌握根的求法；（2）当240b ac ∆=−<时，实系数一元二次方程总有两个共轭的虚根；（3）实系数一元二次方程有虚根时，根与系数关系的初步应用.2、过程与方法：类比一元二次方程的解法探究在复数范围内实系数一元二次方程的解法，培养学生分析、观察、概括的能力及方法迁移的能力，形成应用数学知识的意识，提高分析问题和解决问题的能力.3、情感、态度与价值观：培养学生自主探究意识，合作精神，采用类比法的教学方式，变未知为已知，引导学生自主探索，激发学生学习积极性，提高学生思维能力.四、教学重难点重点：在复数集中解实系数一元二次方程；难点：在复数集中解实系数一元二次方程.五、教学方法讲授法、类比法、讲练结合法六、教学过程（一）复习引入1、（1）一元二次方程20(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且的求根公式：240b ac ∆=−>，方程有两个不相等的实数根22b x a a=−±； 240b ac ∆=−=，方程有两个相等的实数根2b x a=−； 240b ac ∆=−<，方程没有实数根.（2）根与系数的关系： 12b x x a +=−，12c x x a⋅= 2、课前练习：（1）复数集中1−的平方根是 ；（2）解方程：210x x ++=（二）探究新知1、实系数一元二次方程在复数集C 中解的情况：设一元二次方程20(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且.因为0a ≠，所以原方程可变形为2b c x x a a+=−， 配方得 22()()22b b c x a a a+=−， 即 2224()24b b ac x a a−+=. （1）当240b ac ∆=−>时，原方程有两个不相等的实数根；22b x a a=−±； （2）当240b ac ∆=−=时，原方程有两个相等的实数根； 2b x a =−； （3）当240b ac ∆=−<时，22404b ac a−<，原方程没有实数根.由复数的平方根知，2244b ac a −的平方根为2i a±，即 22b x i a a+=±， 此时原方程有两个不相等的虚数根22b x i a a=−±.（一对共轭虚数根） 注：实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解：当0∆≥时，有两个实根；当0∆<时，有一对共轭虚根.思考：已知一个实系数一元二次方程有一个虚根是3+i ，你能直接写出这个方程的另一个根吗？为什么？问题：当0∆<时，实系数一元二次方程有虚根时，是否依然满足韦达定理？2、根与系数的关系：12b x x a +=−，12c x x a⋅= （三）例题讲解例1、在复数集中解方程：210x x ++=.例2、已知32i −是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，求实数p q 、的值.（四）课堂练习在复数范围内解下列一元二次方程：（1）2480.++=x x−+=（2）2230.x x（五）课堂小结1．本节课学习了哪些内容？2．通过这节课学习，你会解决哪些新问题？（六）板书设计课题：实系数一元二次方程1、实系数一元二次方程在复数集C中解的情况：例1：例2：2、根与系数的关系：练习：（七）作业布置1．必做题：练习册P59 T1、T2、T3、T5；2．选做题：一课一练；七、教学反思1、本节课由复习引入，带着问题，利用复数的平方根，展开本节课的探究，符合学生的认知特点；2、例题设计紧扣教学内容，讲练结合，加深学生对所学知识的理解和巩固；3、本节课公式推导虽是已学内容，但对于我校学生，计算难度稍大，留给学生思考和计算时间稍有欠缺.。

13.6（2）实系数一元二次方程一、教学内容分析本节课是“实系数一元二次方程”的第二节课，上一节课主要讨论了实系数一元二次方程在复数集中解的情况.学生会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；能理解实系数一元二次方程有虚数根时的根与系数的关系，并会进行简单应用.本节课将通过练习巩固以上知识，并检验学生对以上知识的掌握程度.课本中的例题3是“实系数一元二次方程”这一节的重点和难点，本节课将引导学生进行重点探究.二、教学目标设计进一步掌握在复数集中解实系数一元二次方程和对二次三项式进行因式分解；掌握实系数一元二次方程有虚数根时的根与系数的关系及其应用.三、教学重点及难点对实系数一元二次方程有虚数根时的根与系数关系的灵活应用.四、教学用具准备电脑、实物投影仪五、教学流程设计六、教学过程设计（一）复习旧知上一节课我们主要学习了哪些内容？我们一起来回顾一下. 1.实系数一元二次方程20axbx c ++=在复数集C 中解的情况：（1）当240bac ∆=->时，原方程有两个不相等的实数根2b x a-±=；（2）当240bac ∆=-=时，原方程有两个相等的实数根2b x a=-； （3）当240bac ∆=-<时，原方程有一对共轭虚根122b x a a =-+，222b x i a a=--.2、二次三项式2axbx c ++在复数范围内分解因式：212()()ax bx c a x x x x ++=--.3、实系数一元二次方程20axbx c ++=的韦达定理： 12b x x a +=-，12cx x a⋅=. 特别地，当240bac ∆=-<时，12x x 和为一对共轭虚根，即21x x =—，∴2121||x x x ⋅=，1212Re x x x +=.[说明]以上三点可以让学生回答，而第3点中的“2121||x x x ⋅=，1212Re x x x +=”可以让学生在老师的引导下发现. （二）巩固练习1.已知1-i 是实系数一元二次方程20xpx q ++=的一个根，则p q ⋅= .2.若两个数之和为2，两个数之积为3，则这两个数分别为 .3.在复数集中分解因式：2321xx -+= .4.若方程220()xax a R -+=∈有虚数根z ，则|z|= .参考答案： 1. -42. 1和13. 113()()3333x x i ---+（三）例题精析 例1、已知方程210()xpx p R -+=∈的两根为1x 、2x ，若121x x -=，求实数p 的值.分析：要求实数p 的值，即要利用已知条件121x x -=，从而应考虑1x 、2x 为实根还是虚根，因此，应对0∆≥和0∆<讨论. 解：（见课本P92例3）[说明]对于△<0的情形，也可考虑设1(,)x a bi a b R =+∈，则2x a bi =-，由1221x x bi -==得12b =±，又由2221211||x x x a b =⋅==+，得2a =±，所以122p x x a =+==设问①：若将题设中的“两根”改为“两虚根”，则如何作答？ 设问②：我们知道：当1x 、2x 为实数时，12x x -==1x 、2x 为虚数时，上式是否仍然成立？请说明理由.[说明]可以给点时间让学生思考和讨论.因为当z 为虚数时，22z z ≠,所以当1x 、2x 为虚数时，上式不成立.可以适当修改为12x x -===该结论显然成立.设问③：大家尝试一下，能否利用上述结论(*)来解答本例？因为2222121212121()()44x x x x x x x x p =-=-=+-=-，所以p =或p =[说明]在已知12x x -的值时，利用结论(*)可以避免对0∆≥与0∆<的讨论.设问④：本例删除已知条件“121x x -=”后，请用m 来表示12x x -.将例1的“两根之差的绝对值”改为“两根的绝对值之和”，可以有以下例题. 例2、已知关于x 的方程222440x ax a a -+-+=()a R ∈的两根为α、β，且3αβ+=，求实数a 的值.解：2244(44)16(1)a a a a ∆=--+=-.当0∆≥，即1a ≥时，α、β为实数，且2244(2)0a a a αβ=-+=-≥，所以23a αβαβ+=+==，又1a ≥，所以32a =. 当0∆<，即1a <时，α、β为一对共轭虚数，所以23αβα+==得294α=，所以94αβ=，所以29444a a -+=得72a =或12a =， 因为1a <，所以12a =. 故32a =或12a =.[说明]（1）前面有例1的分析与探讨，例题2可考虑让学生自己完成. （2）提醒学生注意：对0∆≥与0∆<的讨论. （3）例2删除已知条件“3αβ+=”后，也可用a 来表示αβ+.例3、已知关于x 的方程2(12)2(1)0axi x a i ++--=()a R ∈有实数根，求实数a 的值.解：设x 0是原方程的两个根，则20(12)2(1)0ax i x a i ++--=，即2000(2)(22)0ax x a x a i +-++=，所以200020220ax x a x a ⎧+-=⎨+=⎩， 解该方程组得0a =或a =[说明]补充例3主要是考虑到练习册第58页习题13．6 B 组第5题与例3属同一类问题，可以视情况选用.若时间允许，例3还可以考虑在求出a 的值后，解该方程.（四）课堂练习 1.若α、β是方程270xx -+=的两个根，则2αβ-= .2.见课本P93练习13.6（2）T4.[说明] 练习第1题可以直接用求根公式，也可以使用结论(*).其答案是27.（五）课堂小结本节课是在复习与巩固上节课主要内容“实系数一元二次方程解的情况和韦达定理”的基础上，通过例题1和例题2，进一步探讨实系数一元二次方程有虚数根时的韦达定理的应用，应灵活利用2121||c x x x a =⋅=，1212Re bx x x a-=+=. 注意分类讨论这一数学思想的应用，例题1和例题2都对0∆≥与0∆<（即实根与虚根）进行了讨论，但合理利用以下等式：12x x -===.（六）课后作业1．书面作业：练习册P55 习题13．6 A 组 T6.8.P57 习题13．6 B 组 T4.5.2．思考题：（补充题及备选题） （1）若方程22810()x x a a R -++=∈有一个虚根的模为，则实数a 的值为 . （2）已知关于x 的方程220()xx m m R ++=∈的两根为α、β，求αβ+.（3）已知关于x 的方程2(2)20()x k i x ki k R ++++=∈有实根，求实数k 的值，并解方程.参考答案：（1）9（2）2,0101m m m αβ≤≤⎧⎪+=<⎨⎪>⎩-；（3）当k=2i-.当k=-2i[说明]补充的思考题，可作为学有余力的同学的能力训练题，也可作为教师的备选题．。