下载文档原格式
实系数一元二次方程
实系数一元二次方程
一元二次方程（又称“二次多项式方程”）是指一个等式的次数较高，且只包含一个未知数的方程。
在一元二次方程中，自变量有且只有一个，称为一元二次函数，即 y=ax2+bx+c（a≠ 0）。
解一元二次方程的方法主要有三种：
1、因式分解法
因式分解法是一种常用方法，只要把方程改为一种可以分解的形式，便可以得到解。
步骤：
（1）首先，将一元二次方程化为相当于 0 的形式。
（2）把一元二次方程转换为包含两个未知数的多项式形式：
ax2+bx+c=d。
（3）用因数分解的方法把 d 分解成两个实数的乘积：d=e·f。
（4）将 ae 和 bf 分别作为新的因式，并同时入方程，即：
ax2+bx+c=ae+bf，再把此多项式撤分，可得 x 的解。
2、求根公式法
求根公式法是通过特定的公式来求解方程的一种方法，只有在一元二次方程系数为实数时才适用，其求根公式为：
x1= -b+√(b2-4ac) /2a
x2= -b-√(b2-4ac) /2a
3、图解法
图解法也是一个求一元二次方程解的方法，也是利用函数图像来分析一元二次方程解的方法，即将方程图像化，通过图像中的拐点、凹点及相关函数曲线的性质来分析、计算方程的解。
一元二次方程讲解
一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它由变量的二次项、一次项和常数项构成。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数，且a不等于零。
解一元二次方程的方法主要有两种：公式法和配方法。
公式法是指根据一元二次方程的解的公式，求出方程的根。
一元
二次方程的解公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。
其中，
√(b^2 - 4ac) 表示开方，若其结果为实数，则方程有两个不相等的
实根；若结果为零，则方程有一个实根；若结果为负数，则方程没有
实数解。
配方法是指通过对一元二次方程进行变形和整理，使其变为可以
进行因式分解的形式，从而求解方程的根。
例如，对于形如ax^2 + bx + c = 0的方程，我们可以尝试将其变形为(a1x + b1)(a2x + b2) = 0的形式。
通过展开式相乘，并与原方程进行比较，可以得到一组关于
a1、b1、a2、b2的方程。
解这组方程后，将所得的值带入原方程中，
即可求得方程的解。
在解一元二次方程时，我们还可以观察方程的系数之间的关系来
判断方程的解的性质。
例如，当方程的判别式b^2 - 4ac为负数时，
方程没有实数解；当判别式为零时，方程有一个实数解；当判别式为
正数时，方程有两个不相等的实数解。
总之，一元二次方程是数学中常见的方程形式，可以通过公式法
或配方法求解。
在解方程时，需要了解公式和判别式的含义，并根据
方程的特点选择适合的解法。
高二数学春季班（教师版）一、复数的平方根与立方根 1．复数的平方根的定义若复数1z ，2z 满足212z z =，则称1z 是2z 的平方根．2．复数的平方根的求法2()(,,,)a bi c di a b c c +=+∈R即利用复数相等，把复数平方根问题转化为实数方程组来求． 3．复数的平方根的性质复数(0)z z ≠总有两个平方根1z ，2z ，且120z z +=（见图1）． 4．复数的立方根的定义类似的，若复数1z ，2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．5．1的立方根设复数12ω=-+，则21,,ωω都是1的立方根． 6．ω的性质 ①210ωω++=， ②31ω=，③212ωω==-． 可运用这些性质化简相关问题（见图2）． 7．其他有用结论2(1)2i i -=-，2(1)2i i +=二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根2b a-±；复数的方根与实系数一元二次方程知识梳理（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）． （3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．三、常见几何图形的复数表达式复数1z ，2z 为定值，且12z z ≠．（1）线段12Z Z 的中垂线方程：12||||z z z z -=-； （2）以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程：1||z z r -=； （3）以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为2(0)a a >的椭圆方程：12||||2z z z z a -+-=（其中12||2z z a -<）； （4）以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为2(0)a a >的双曲线方程：12||||||2z z z z a ---=（其中12||2z z a ->）．1、复数的平方根与立方根 【例1】求4-及86i -的平方根．【难度】★【答案】4-的平方根为2i 或2i -；86i -的平方根为3i -或3i -+ 【例2】计算：（112112(1)22i i i ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）50820028)i +-++⎝⎭． 【难度】★★【答案】（1）513；（2）247+【例3】记12ω=-，求1ωω+，221ωω+． 【难度】★★ 【答案】11ωω+=-，2211ωω+=-【例4】已知等比数列123,,,,n z z z z ，其中11z =，2z x yi =+，3z y xi =+（,,0x y x ∈>R ）．（1）求,x y 的值； （2）试求使1230n z z z z ++++=的最小正整数n ；（3）对（2）中的正整数n ，求123n z z z z 的值．【难度】★★【答案】（1）12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）12n =；（3）1-．【巩固训练】1．复数34i +的平方根是 ．例题解析【难度】★ 【答案】(2)i ±+2．计算：（11996= ． （2）151512(1)(1)(1)i -+=-+ ．【难度】★ 【答案】（1）12-；（2）03．已知ω满足等式210ωω++=．（1）计算4(1)ωω++；304050ωωω++；224(1)(1)ωωωω-+-+；（2）求证：对任意复数u ，有恒等式33233(1)()()3(1)u u u u ωω+++++=+； （3）计算：21n n ωω++，*n ∈N ． 【难度】★★【答案】（1）1-；0；4；（2）略；（3）*2**33()1031()032()n n n k k n k k n k k ωω⎧=∈⎪++==-∈⎨⎪=-∈⎩N N N2、复数中的代数式和方程【例5】在复数范围内分解因式：2223x x ++ 【难度】★【答案】22232x x x x ⎛++=-⎝⎭⎝⎭11222x x ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【例6】复数z 满足方程210z z ++=，求()41z z ++的值 【难度】★★【答案】由210z z ++=得，21102z w z w w w ==-+=∴++=或 所以原式()()4428211w w ww w w w w =++=-+=+=+=-【巩固训练】1．若虚数z 满足327z =，则32315z z z +++的值为 ． 【难度】★★ 【答案】332．，，求的值.【难度】★★【答案】12ω=-时，原式=15-；12ω=-时，原式；3、实系数一元二次方程【例7】已知方程2350()x x m m -+=∈R ，求方程的解． 【难度】★【答案】920m ∆=- 当0∆>时，即920m <时，32x ±=；当0∆=时，即920m =时，32x =； 当0∆<时，即920m >时，32i x =．【例8】已知βα,是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的两个虚根，且2αβ∈R ，求βα的值．【难度】★★【答案】∵2αβ∈R ，∴2222ααβαββαβ=⇒=，即330αβ-=∴12αβ=-± 1≠ω13=ω32302ωωω+++【例9】已知12,x x 是实系数方程20x x p ++=的两个根，且满足12||3x x -=，求实数p 的值． 【难度】★★ 【答案】14p ∆=-， （1）当0∆≥时，即14p ≤时，12,x x 是实根，∴12||3x x -==，即32p =⇒=-； （2）当0∆<时，即14p >时，12,x x 是共轭虚根，设1(,)x a bi a b =+∈R ，则2x a bi =-， ∴123|||2|2||32x x bi b b -===⇒=±，由1221x x a +==-，得12a =-．从而21215||2p x x x ===．综上，2p =-或52．【例10】已知,αβ是实系数一元二次方程230x mx -+=的两个根，求||||αβ+的值． 【难度】★★【答案】212m ∆=-，（1）当0∆≥时，即m ≥m ≤-30αβ=>，∴||||||||m αβαβ+=+=； （2）当0∆<时，即m -<<||||2||αβα+===．【例11】已知复数12,z z 满足1||2z =，2||1z =，12||2z z -=，求12z z ． 【难度】★★【答案】212121211121222||()()4z z z z z z z z z z z z z z -=--=⋅-⋅-⋅+⋅=， ∴12121z z z z ⋅+⋅=， ∴122211211z zz z z z z z ⋅⋅+⋅⋅=， ∴122141z zz z +=． 令12z t z =，则141t t+=，∴240t t -+=，∴122t =±，即12122z i z =±．【例12】（1）方程20()x px k p -+=∈R 有一个根为12i +，求实数k 的值； （2）方程240x x k -+=有一个根为12i +，求k 的值． 【难度】★【答案】（1）由题意：另一个根为12i -，∴(12)(12)5k i i =+-=； （2）由题意2(12)4(12)074i i k k i +-++=⇒=+．【例12】关于x 的方程2(2i)i 0x a b x a b --+-=有实根，且一个根的模是2，求实数a 、b 的值． 【难度】★★【答案】设()t t ∈R 是方程的一实根，则2(2)()i 0t at a bt b -++-=．则220,0t at a bt b ⎧-+=⎨-=⎩．（1）当0b =时，此方程为220x ax a -+=． ①有实根，0∆≥即1a ≥或0a ≤．当根为2时，440a a -+=．得43a =． 当根为2-时，440a a ++=．得45a =-．②有一对共轭虚根即01a <<．模为2，即有4a =（舍）．（2）当0b ≠时，则1t =，此时1a =．又因为模为2，所以b =所以4,30a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或4,50a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【巩固训练】1．下列命题在复数集中是否正确？为什么？（1）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且240b ac -≥，则方程20ax bx c ++=有两个实数根；（2）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则12b x x a +=-，12cx x a=； （3）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则221212||()x x x x -=-；（4）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且α是方程20ax bx c ++=的根，则α也是方程的根． 【难度】★★ 【答案】（1）、（2）、（4）正确，（3）不正确2．若12,x x 为方程270x x -+=的两个根，则212||x x -= ．【难度】★★ 【答案】273．已知,0x y ≠且，求20092009()(x y x y x y+++的值. 【难度】★★【答案】14．关于x 的方程222(31)10x m x m --++=的两根为αβ、，且||||3αβ+=，求实数m 的值． 【难度】★★【答案】53m =-或2m =5．设αβ、为方程220x x t ++=，（t ∈R ）的两个根，()||||f t αβ=+， （1）求()f t 的解析式；（2）证明关于t 的方程()f t m =，当2m >时恰有两个不等的根，且两根之和为定值． 【难度】★★【答案】（1）0()2,010t f t t t ⎧<⎪=<≤⎨⎪<⎩．．．（2）证明：函数()y f t =的图像关于直线12t =对称（证略） 当(1,)t ∈+∞时，()f t 为增函数，且()(2,)f t ∈+∞；022=++y xy x当(,0)t ∈-∞时，()f t 为减函数，且()(2,)f t ∈+∞．所以当2m >，方程()f t m =在区间(1,)+∞上有唯一解1t ，在区间(,0)-∞上也有唯一解2t ， 则121212t t +=⨯=．4、复数方程综合问题【例13】关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中，1z ，2z ，m 都是复数，且21241620z z i -=+，设这个方程的两个根α、β满足||αβ-=||m 的最大值和最小值． 【难度】★★【答案】根据韦达定理有12z z mαβαβ+=-⎧⎨=+⎩∵22212()()444z z m αβαβαβ-=+-=-- ∴2212|()||4(4)|28m z z αβ-=--=．∴2121|(4)|74m z z --=，即|(45)|7m i -+=， 这表明复数m 在以(4,5)C 为圆心，7为半径的圆周上，∴max ||7m =min ||7m =当5001,150log 22m t m t >⎧⎪<<⎨<-⎪⎩即2log 215050m t -<<．【例14】已知22016220160122016(1)x x a a x a x a x ++=++++，试求0362016a a a a ++++的值。
一元二次方程中的知识点
一元二次方程是代数学中的一种常见方程，其一般形式为：
ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a不为0。
一元二次方程的知识点如下：
1. 方程的解：一元二次方程的解是使方程等号成立的数值。
方
程可能有两个实数解、一个实数解或者没有实数解。
2. 判别式：一元二次方程的判别式Δ=b^2-4ac用于判断方程的
根的情况。
若Δ>0，则方程有两个不相等的实数解；若Δ=0，则方程
有两个相等的实数解；若Δ<0，则方程没有实数解，但仍有复数解。
3. 顶点坐标：一元二次方程的图像是一个抛物线，其顶点坐标
为(-b/2a, -Δ/4a)。
顶点坐标可以用来确定抛物线的最值以及对称轴。
4. 因式分解：当一元二次方程有两个实数解时，可以根据已知
的解因式分解方程。
因式分解后的方程可以表示为(x-x1)(x-x2)=0，
其中x1和x2为方程的解。
5. 求解方法：一元二次方程的求解方法包括因式分解法、配方法、公式法和图像法等。
不同的方法适用于不同的方程形式和解的情况。
6. 实际应用：一元二次方程在现实生活中有广泛的应用。
例如，用于计算抛物线的轨迹、物体运动的模拟、工程建模等。
以上是一元二次方程的一些基本知识点，有助于理解和解决与一
元二次方程相关的问题。
实系数一元二次方程教学目的：1、掌握实系数一元二次方程根与系数关系，并会解实系数一元二次方程和因式分解。
2、渗透数学类比推理思想、转化思想及方程的思想，提高学生灵活运用数学知识解题的能力；培养学生严谨的逻辑思维．3、培养学生探索精神。
教学重点：在复数集内解实系数一元二次方程。
教学难点：共轭虚根的应用。
学习要求：1、在复数集中，会判别实系数一元二次方程解的情况，并能熟练地求解实系数一元二次方程。
在复数集中，实系数一元二次方程根与系数的关系仍然成立。
实系数一元二次方程在判别式∆<0时，方程的根是一对共轭虚根。
3.在复数集中，实系数二次三项式2(0)ax bx c a ++≠可以分解因式：212()()ax bx c a x x x x ++=--一、引入：对实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a 、b 、c ∈R ，且a ≠0)有哪些认识？ ⊿判别式：当⊿＝b 2－4ac ＞0时，方程有两个不等的实数根；当⊿＝b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当⊿＝b 2－4ac ＜0时，方程有没有实数根。
韦达定理：设方程的两个根为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－ab，x 1·x 2＝ac求根公式：当⊿＞0时，方程两根为x ＝a2ac4b ±－b 2－思考：在复数集范围内是否仍然成立？当⊿＜0即b 2－4ac ＜0时， 由ax 2＋bx ＋c ＝0知道： (x ＋a2b )2＝22a4ac 4b －＜0∵22a4ac 4b －的平方根为±ia2b ac 42－∴方程有一对共轭虚根：x ＝－a2b ±ia2b ac 42－（求根公式）显然，仍然满足韦达定理：x 1＋x 2＝－ab，x 1·x 2＝ac结论：（1）当⊿＜0时，韦达定理、求根公式任然成立(2)实系数一元二次方程有虚根必定成对出现；(3)实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0在复数范围内总有两个解x 1、x 2， 总可以进行因式分解：ax 2＋bx ＋c ＝a(x －x 1) (x －x 2)二、基础练习 A ：口答1：在复数范围内,下列命题中的真命题是（ ）实系数一元二次方程在∆<0时无解。
