实系数一元二次方程Ⅰ

实系数一元二次方程
实系数一元二次方程
一元二次方程（又称“二次多项式方程”）是指一个等式的次数较高，且只包含一个未知数的方程。

在一元二次方程中，自变量有且只有一个，称为一元二次函数，即 y=ax2+bx+c（a≠ 0）。

解一元二次方程的方法主要有三种：
1、因式分解法
因式分解法是一种常用方法，只要把方程改为一种可以分解的形式，便可以得到解。

步骤：
（1）首先，将一元二次方程化为相当于 0 的形式。

（2）把一元二次方程转换为包含两个未知数的多项式形式：
ax2+bx+c=d。

（3）用因数分解的方法把 d 分解成两个实数的乘积：d=e·f。

（4）将 ae 和 bf 分别作为新的因式，并同时入方程，即：
ax2+bx+c=ae+bf，再把此多项式撤分，可得 x 的解。

2、求根公式法
求根公式法是通过特定的公式来求解方程的一种方法，只有在一元二次方程系数为实数时才适用，其求根公式为：
x1= -b+√(b2-4ac) /2a
x2= -b-√(b2-4ac) /2a
3、图解法
图解法也是一个求一元二次方程解的方法，也是利用函数图像来分析一元二次方程解的方法，即将方程图像化，通过图像中的拐点、凹点及相关函数曲线的性质来分析、计算方程的解。

复数范围内实系数一元二次方程（19题）（答案）1、若实系数一元二次方程的一个根是13+，则这个方程可以是 228039x x -+= ． 2、复数集内分解221x x ++=2(x x3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下列等式成立的是（ C ）(A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ∆=-≥ (C)1212,b c x x x x a a+=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假，并说明理由；(1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总有两个根．（ √ ）(2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另一个根是12i -．（ ⨯ ）(3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（ √）5、已知复数z ，解方程3i 13i z z -⋅=+．解：设i()z x y x y =+∈R ，，则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+．由复数相等，有3133x y y x -=⎧⎨-=⎩，，解得543.4x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，． ∴53i 44z =--． 6、适合方程20z z i --=的复数z12i7、适合方程2560z z -+=的复数z ；若z R ∈，则25602,32,3z z z z z z -+=⇒==⇒=±=±若z 为虚数， 设(,,0)z a bi a b R b =+∈≠，则2()60a bi +-=222226026020a b a b abi ab ⎧⎪--=-+-=⇒⎨=⎪⎩2222606056010a b b b b b a ⎧⎪--=⇒⇒--=⇒+-=⇒=±⎨=⎪⎩所以，方程的解为2,2,3,3,,i i ---。

（1）实系数一元二次方程一、教学内容分析本节内容是在前面学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推行和完善.为了实际应用和数学自身进展的需要，数的概念需要再一次扩充——由实数扩充到了复数，解决了负数开平方的问题。

那么实系数一元二次方程20b ac∆=-<时方ax bx c++=，当240程在复数集中解的情形一样需要进一步研究.因此，本节课主若是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情形和在复数范围内如何对二次三项式进行因式分解等问题.二、教学目标设计明白得实系数一元二次方程在复数集中解的情形；会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；明白得实系数一元二次方程有虚数根时根与系数的关系，并会进行简单应用.三、教学重点及难点在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解.四、教学用具预备电脑、实物投影仪五、教学流程设计六、教学进程设计（一）温习引入20ax bx c ++=(a b c R ∈、、且0)a ≠的求根公式，咱们回忆一下：当240b ac ∆=-≥时，方程有两个实数根：22b x a a=-± “复数的平方根与立方根”，大伙儿明白-1的平方根是:i ±.设问①：一元二次方程210x +=在复数范围内有无解？ 设问②：在复数范围内如何解一元二次方程210x x ++=？[说明] 设问①学生能够依照“复数的平方根”知，x 即为-1的平方根：i ±；设问②是为了引出本节课的课题：实系数一元二次方程.（二）教学新课一、实系数一元二次方程在复数集C 中解的情形：设一元二次方程20(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且.因为0a ≠，因此原方程可变形为2b c x x a a+=-， 配方得22()()22b b c x a a a+=-， 即2224()24b b ac x a a-+=. （1）当240b ac ∆=->时，原方程有两个不相等的实数根22b x a a=-±； （2）当240b ac ∆=-=时，原方程有两个相等的实数根2b x a=-；（3）当240b ac ∆=-<时，22404b ac a -<， 由上一堂课的教学内容知，2244b ac a-的平方根为2a±， 即i ab ac a b x 2422-±=+， 现在原方程有两个不相等的虚数根22b x a a=-±.（22b x a a=-±为一对共轭虚数根） [说明]实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解：当0∆≥时，有两个实根；当0∆<时，有一对共轭虚根.设问③：若43i -是一个实系数一元二次方程的一个根，你能直接写出该方程的另一个根吗？什么缘故？回到引入部份设问②：在复数范围内解一元二次方程210x x ++=.（122x i =-±，即为上节课学习过的ω） 例1（1）在复数集中解方程：2320x x ++=；（2）在复数集中解关于x 的方程：240()x ax a R ++=∈.解：（1）因为△=1432230-⨯⨯=-<，因此方程2320x x ++=的解为1166x =-+，2166x =--. （2）因为△=16-a 2，因此当△>0，即44a a <->或时，原方程的解为12a x -+=，22a x --=. 当△=0，即4a =±时，假设4a =，那么原方程的解为122x x ==-；假设4a =-，那么原方程的解为122x x ==.当△<0，即44a -<<时，原方程的解为122a x =-+,222a x =--. 提示学生注意：在复数集中解方程时，应先考虑△的正负.[说明]例1(2)需分类讨论，要求较高，建议选用，也能够换成讲义上的例题1（P91）例 2 已知一元二次方程20()x mx n m n R ++=∈、，试确信一组m n 、的值，使该方程别离有两个不相等的实数根、两个相等的实数根、两个虚数根，并解方程.[说明]例2属于开放性问题，比较容易入手，能够让基础不睬想的同窗尝试回答，增强互动.既然实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解，那么二次三项式2(0)ax bx c a b c R a ++∈≠、、且在复数范围内总能够分解成两个一次因式的乘积.假设方程20ax bx c ++=的两个解别离为1x x 2、，那么212()()ax bx c a x x x x ++=--.例3 在复数集中分解因式：（1）22x x -+； （2）2245x x -+.解：（1）22x x -+=11()()22x x ---. （2）（见讲义P91）提示学生注意：分解二次三项式2ax bx c ++时，应提取二次项的系数a .二、实系数一元二次方程中根与系数的关系关于实系数一元二次方程20ax bx c ++=，当其有实数根时，咱们在初中已经学习过了根与系数的关系：12b x x a+=-，12c x x a⋅=（即韦达定理）. 设问④：实系数一元二次方程有虚数根时，是不是也知足根与系数关系？利用求根公式122a x =-+,222a x =--容易验证12b x x a +=-，12c x x a⋅=. 例4 已知32i -是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，求实数p 、q 的值.解：（见讲义P91例2）（三）巩固练习见讲义P91练习（1）；P92练习（2）说明]以上练习能够依照时刻选择一部份在课堂上完成，其余可作为课后练习.（四）课堂小结本节课要紧讨论了实系数一元二次方程解的情形，明白了在复数集中解实系数一元二次方程和在复数范围内对二次三项式进行因式分解，表现了分类讨论的数学思想.（五）课后作业1．书面作业：练习册P55 习题13．6 A 组 试探题：（补充题及备选题）（1）在复数集中分解因式：416x -.（2）方程25||60z z -+=在复数集中解的个数为（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8（3）在复数范围内解方程ii i z z z +-=++23)(2(i 为虚数单位). 参考答案：（1）(2)(2)(2)(2)x x x i x i +-+-（2）C（3）原方程化简为i i z z z -=++1)(2,设z=x+yi(x 、y∈R),代入上述方程得 x 2+y 2+2xi=1-i, ∴x 2+y 2=1且2x=-1,解得x=-21且y=±23, ∴原方程的解是z=-21±23i. [说明]补充的试探题，可作为学有余力的同窗的能力训练题，也可作为教师的备选题．七、教学设计说明本节课由温习引入，带着问题，利用负数的开平方，开展本节课的探讨.例题设计主若是为了表现以下三个问题：（1）在复数集中解实系数一元二次方程；（2）在复数范围内对二次三项式进行因式分解；（3）实系数一元二次方程有虚数根时，根与系数关系的初步应用.。

高二数学春季班（教师版）一、复数的平方根与立方根 1．复数的平方根的定义若复数1z ，2z 满足212z z =，则称1z 是2z 的平方根．2．复数的平方根的求法2()(,,,)a bi c di a b c c +=+∈R即利用复数相等，把复数平方根问题转化为实数方程组来求． 3．复数的平方根的性质复数(0)z z ≠总有两个平方根1z ，2z ，且120z z +=（见图1）． 4．复数的立方根的定义类似的，若复数1z ，2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．5．1的立方根设复数12ω=-+，则21,,ωω都是1的立方根． 6．ω的性质 ①210ωω++=， ②31ω=，③212ωω==-． 可运用这些性质化简相关问题（见图2）． 7．其他有用结论2(1)2i i -=-，2(1)2i i +=二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根2b a-±；复数的方根与实系数一元二次方程知识梳理（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）． （3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．三、常见几何图形的复数表达式复数1z ，2z 为定值，且12z z ≠．（1）线段12Z Z 的中垂线方程：12||||z z z z -=-； （2）以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程：1||z z r -=； （3）以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为2(0)a a >的椭圆方程：12||||2z z z z a -+-=（其中12||2z z a -<）； （4）以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为2(0)a a >的双曲线方程：12||||||2z z z z a ---=（其中12||2z z a ->）．1、复数的平方根与立方根 【例1】求4-及86i -的平方根．【难度】★【答案】4-的平方根为2i 或2i -；86i -的平方根为3i -或3i -+ 【例2】计算：（112112(1)22i i i ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）50820028)i +-++⎝⎭． 【难度】★★【答案】（1）513；（2）247+【例3】记12ω=-，求1ωω+，221ωω+． 【难度】★★ 【答案】11ωω+=-，2211ωω+=-【例4】已知等比数列123,,,,n z z z z ，其中11z =，2z x yi =+，3z y xi =+（,,0x y x ∈>R ）．（1）求,x y 的值； （2）试求使1230n z z z z ++++=的最小正整数n ；（3）对（2）中的正整数n ，求123n z z z z 的值．【难度】★★【答案】（1）12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）12n =；（3）1-．【巩固训练】1．复数34i +的平方根是 ．例题解析【难度】★ 【答案】(2)i ±+2．计算：（11996= ． （2）151512(1)(1)(1)i -+=-+ ．【难度】★ 【答案】（1）12-；（2）03．已知ω满足等式210ωω++=．（1）计算4(1)ωω++；304050ωωω++；224(1)(1)ωωωω-+-+；（2）求证：对任意复数u ，有恒等式33233(1)()()3(1)u u u u ωω+++++=+； （3）计算：21n n ωω++，*n ∈N ． 【难度】★★【答案】（1）1-；0；4；（2）略；（3）*2**33()1031()032()n n n k k n k k n k k ωω⎧=∈⎪++==-∈⎨⎪=-∈⎩N N N2、复数中的代数式和方程【例5】在复数范围内分解因式：2223x x ++ 【难度】★【答案】22232x x x x ⎛++=-⎝⎭⎝⎭11222x x ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【例6】复数z 满足方程210z z ++=，求()41z z ++的值 【难度】★★【答案】由210z z ++=得，21102z w z w w w ==-+=∴++=或 所以原式()()4428211w w ww w w w w =++=-+=+=+=-【巩固训练】1．若虚数z 满足327z =，则32315z z z +++的值为 ． 【难度】★★ 【答案】332．，，求的值.【难度】★★【答案】12ω=-时，原式=15-；12ω=-时，原式；3、实系数一元二次方程【例7】已知方程2350()x x m m -+=∈R ，求方程的解． 【难度】★【答案】920m ∆=- 当0∆>时，即920m <时，32x ±=；当0∆=时，即920m =时，32x =； 当0∆<时，即920m >时，32i x =．【例8】已知βα,是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的两个虚根，且2αβ∈R ，求βα的值．【难度】★★【答案】∵2αβ∈R ，∴2222ααβαββαβ=⇒=，即330αβ-=∴12αβ=-± 1≠ω13=ω32302ωωω+++【例9】已知12,x x 是实系数方程20x x p ++=的两个根，且满足12||3x x -=，求实数p 的值． 【难度】★★ 【答案】14p ∆=-， （1）当0∆≥时，即14p ≤时，12,x x 是实根，∴12||3x x -==，即32p =⇒=-； （2）当0∆<时，即14p >时，12,x x 是共轭虚根，设1(,)x a bi a b =+∈R ，则2x a bi =-， ∴123|||2|2||32x x bi b b -===⇒=±，由1221x x a +==-，得12a =-．从而21215||2p x x x ===．综上，2p =-或52．【例10】已知,αβ是实系数一元二次方程230x mx -+=的两个根，求||||αβ+的值． 【难度】★★【答案】212m ∆=-，（1）当0∆≥时，即m ≥m ≤-30αβ=>，∴||||||||m αβαβ+=+=； （2）当0∆<时，即m -<<||||2||αβα+===．【例11】已知复数12,z z 满足1||2z =，2||1z =，12||2z z -=，求12z z ． 【难度】★★【答案】212121211121222||()()4z z z z z z z z z z z z z z -=--=⋅-⋅-⋅+⋅=， ∴12121z z z z ⋅+⋅=， ∴122211211z zz z z z z z ⋅⋅+⋅⋅=， ∴122141z zz z +=． 令12z t z =，则141t t+=，∴240t t -+=，∴122t =±，即12122z i z =±．【例12】（1）方程20()x px k p -+=∈R 有一个根为12i +，求实数k 的值； （2）方程240x x k -+=有一个根为12i +，求k 的值． 【难度】★【答案】（1）由题意：另一个根为12i -，∴(12)(12)5k i i =+-=； （2）由题意2(12)4(12)074i i k k i +-++=⇒=+．【例12】关于x 的方程2(2i)i 0x a b x a b --+-=有实根，且一个根的模是2，求实数a 、b 的值． 【难度】★★【答案】设()t t ∈R 是方程的一实根，则2(2)()i 0t at a bt b -++-=．则220,0t at a bt b ⎧-+=⎨-=⎩．（1）当0b =时，此方程为220x ax a -+=． ①有实根，0∆≥即1a ≥或0a ≤．当根为2时，440a a -+=．得43a =． 当根为2-时，440a a ++=．得45a =-．②有一对共轭虚根即01a <<．模为2，即有4a =（舍）．（2）当0b ≠时，则1t =，此时1a =．又因为模为2，所以b =所以4,30a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或4,50a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【巩固训练】1．下列命题在复数集中是否正确？为什么？（1）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且240b ac -≥，则方程20ax bx c ++=有两个实数根；（2）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则12b x x a +=-，12cx x a=； （3）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则221212||()x x x x -=-；（4）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且α是方程20ax bx c ++=的根，则α也是方程的根． 【难度】★★ 【答案】（1）、（2）、（4）正确，（3）不正确2．若12,x x 为方程270x x -+=的两个根，则212||x x -= ．【难度】★★ 【答案】273．已知,0x y ≠且，求20092009()(x y x y x y+++的值. 【难度】★★【答案】14．关于x 的方程222(31)10x m x m --++=的两根为αβ、，且||||3αβ+=，求实数m 的值． 【难度】★★【答案】53m =-或2m =5．设αβ、为方程220x x t ++=，（t ∈R ）的两个根，()||||f t αβ=+， （1）求()f t 的解析式；（2）证明关于t 的方程()f t m =，当2m >时恰有两个不等的根，且两根之和为定值． 【难度】★★【答案】（1）0()2,010t f t t t ⎧<⎪=<≤⎨⎪<⎩．．．（2）证明：函数()y f t =的图像关于直线12t =对称（证略） 当(1,)t ∈+∞时，()f t 为增函数，且()(2,)f t ∈+∞；022=++y xy x当(,0)t ∈-∞时，()f t 为减函数，且()(2,)f t ∈+∞．所以当2m >，方程()f t m =在区间(1,)+∞上有唯一解1t ，在区间(,0)-∞上也有唯一解2t ， 则121212t t +=⨯=．4、复数方程综合问题【例13】关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中，1z ，2z ，m 都是复数，且21241620z z i -=+，设这个方程的两个根α、β满足||αβ-=||m 的最大值和最小值． 【难度】★★【答案】根据韦达定理有12z z mαβαβ+=-⎧⎨=+⎩∵22212()()444z z m αβαβαβ-=+-=-- ∴2212|()||4(4)|28m z z αβ-=--=．∴2121|(4)|74m z z --=，即|(45)|7m i -+=， 这表明复数m 在以(4,5)C 为圆心，7为半径的圆周上，∴max ||7m =min ||7m =当5001,150log 22m t m t >⎧⎪<<⎨<-⎪⎩即2log 215050m t -<<．【例14】已知22016220160122016(1)x x a a x a x a x ++=++++，试求0362016a a a a ++++的值。

第16讲 复数的几何意义和实系数一元二次方程知识梳理一、理解复数的几何意义(1)复平面的有关概念：实轴是x 轴,虚轴是y 轴；与复数(,)z a b i a b R =+∈ 一一对应的点是(,)a b ； 非零复数22(,,0)z a bi a b R a b =+∈+≠与复平面上自原点出发以点(,)Z a b 为终点的向量OZ 一一对应；复数模的几何意义是:复数对应复平面上的点到原点的距离.二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根2b a-；（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔方程有两个共轭虚根2b a-±，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）．（3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．例题解析一、复数的几何意义例1．（2021·上海杨浦区·复旦附中高二期末）若复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z +=122z z -的值是______.【答案】【分析】设复数所对应的向量分别为a ，b ，根据123z z ==，12z z +=面向量的模的运算，由2222a b ba ab +++=⋅，得到0a b ⋅=，再由222424a a b a b b --+=⋅求解.【详解】设复数所对应的向量分别为a ，b因为复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z += 所以3a =，3b =，32a b +=， 所以222218a a b b a b+⋅+=+=，即0a b ⋅=， 所以a b ⊥， 所以22244524b ba a ab -=⋅-+=，解得352a b -=所以122z z -的值是故答案为：例2．（2021·上海市松江二中高二期末）已知复数z 满足242z i +-=，则1z -的取值范围是__________. 【答案】[]3,7【分析】设(,)z x y =，(,)x y R ∈，由复数z 满足|24|2z i +-=，可得在复平面内点z 表示的是以(2,4)-为圆心，2r为半径的圆．|1|z -表示的是点z 与(1,0)之间的距离，求出圆心与点(1,0)之间的距离d ．可得|1|z -的范围是[d r -，]d r +． 【详解】解：设(,)z x y =，(,)x y R ∈， 复数z 满足|24|2z i +-=，∴2，即22(2)(4)4x y ++-=． ∴在复平面内点z 表示的是以(2,4)-为圆心，2r为半径的圆．|1|z -表示的是点z 与(1,0)之间的距离，圆心与点(1,0)之间的距离5d =． 则|1|z -的范围是[d r -，]d r +，即[]3,7． 故答案为：[]3,7．例3．（2021·上海市西南位育中学高二期末）设O 是复平面的原点，满足|||1|z i z -+-=的复数在复平面上所对应的点构成集合M ，在M 中任取不同的两点A 和B ，则AOB ∠的最大值是_____________.【答案】2π【分析】根据|||1|z i z -+-=z 在复平面所表示的轨迹，从而确定集合M ，这样可以确定AOB ∠的最大值.【详解】由|||1|z i z -+-=z 表示在复平面内到(0,1),(1,0)P Q 两点的距，而PQ =z 表示的线段PQ ，因此集合M 是表示线段PQ上的点，如下图所示：显然当2AOB POQ π∠=∠=时，AOB ∠有最大值，最大值为2π. 故答案为：2π 【点睛】本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合，属于基础题.例4．（2021·徐汇区·上海中学高二期末）已知关于x 的方程2430x zx i +++=有实数根，求复数z 的模的最小值.【答案】【分析】根据题意，设x ∈R ，且0x ≠，得到43z x i x x⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，根据复数模的计算公式，得到z =.【详解】由题意，可设x ∈R ，且0x ≠，则24343x i z x i x x x ++⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭，832z ==当且仅当2225x x=，即x =故min z =【点睛】本题主要考查求复数模的最值问题，熟记复数模的计算公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.例5.已知复数z x yi =+满足22z z i =--，则33x y+的最小值是（ ）A 、18B 、6C、D、3【难度】★★ 【答案】 B例6.设复数（为虚数单位），若对任意实数，，则实数的取值范围为 ． 【难度】★★【答案】[ 【巩固训练】1．若复数z 满足211=-++z z ，则1-+i z 的最小值是 . 【难度】★★ 【答案】12．设O 为坐标原点，已知向量1OZ 、2OZ 分别对应复数1z 、2z ，i a a z )10(5321-++=， 212),()52(12z z R a i a az +∈-+-=若其中是实数，求2z 的值。

第3讲实际问题与一元二次方程知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础偏上B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们重点学习根与系数的关系以及一元二次方程在实际问题中的应用，能够熟练使用根与系数的关系进行代数式的求解，对常见的一元二次方程的应用有一定的了解，本节课的难点在于实际问题中的一元二次方程的构造，是中学阶段关于应用题部分常考的一个知识点，希望同学们认真学习，为后面的二次函数的学习奠定良好的基础。

知识梳理讲解用时：25分钟根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：△当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；△当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；△当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立。

课堂精讲精练【例题1】已知x1，x2是关于x的方程x2+nx+n-3=0的两个实数根，且x1+x2=﹣2，则x1x2=。

【答案】﹣1【解析】本题主要考查了根与系数的关系，△x1，x2是关于x的方程x2+nx+n﹣3=0的两个实数根，且x1+x2=﹣2，△﹣n=﹣2，即n=2，△x1x2=n﹣3=2﹣3=﹣1．讲解用时：2分钟解题思路：利用根与系数的关系求出n的值，再利用利用根与系数的关系求出两根之积即可。

教学建议：熟练运用根与系数的关系。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：潜江模拟年份：2018 【练习1】设x1、x2是方程x2-x-2017=0的两实数根，则x12+x1x2+x2-2=。

【答案】﹣1【解析】本题主要考查了根与系数的关系，△x1、x2是方程x2﹣x﹣2017=0的两实数根，△x12﹣x1﹣2017=0，x1+x2=1，x1•x2=﹣2017，△x12=x1+2017，△x12+x1x2+x2﹣2=x1+2017+x1x2+x2﹣2=x1+x2+x1x2+2015=1﹣2017+2015=﹣1．讲解用时：5分钟解题思路：根据一元二次方程的解的定义得到：x 12=x 1+2017，结合根与系数的关系得出与系数的关系得出x 1+x 2=a b ，x 1•x 2=ac ，代入求出即可。

一元二次方程一次项系数一元二次方程是高中数学中的重要内容，其中一次项系数是方程的一个重要参数。

本文将围绕一次项系数展开讨论，介绍一元二次方程的基本概念、求解方法以及实际应用。

一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知常数，x是未知数。

在这个方程中，一次项的系数是b。

一元二次方程的解是使方程成立的x值。

二、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法：当一元二次方程可以因式分解为两个一次因式相乘时，可以通过因式分解得到方程的解。

2. 完全平方式：当一元二次方程的解可以写成完全平方的形式时，可以通过完全平方公式求解。

3. 公式法：对于一般的一元二次方程，可以通过求根公式来求解。

求根公式是一个通用的公式，可以求解所有一元二次方程。

三、实际应用一元二次方程在现实生活中有许多应用，例如物体自由落体的运动方程、抛体运动的轨迹方程等。

这些问题可以通过建立一元二次方程来描述，并通过求解方程得到问题的解。

四、一次项系数对一元二次方程的影响一次项系数b对一元二次方程的解具有重要影响。

根据一次项系数的正负和大小，可以得到以下结论：1. 当b=0时，方程为纯二次方程，解为两个重根；2. 当b>0时，方程的两个根一个大于0，一个小于0，即方程的解一个大于0，一个小于0；3. 当b<0时，方程的两个根同号，即方程的解同号。

五、结论一元二次方程的一次项系数是方程的重要参数，它决定了方程的解的性质。

在求解一元二次方程时，我们可以根据一次项系数的正负和大小，来判断方程的解的情况。

同时，一元二次方程在实际应用中具有广泛的应用，通过建立方程模型，我们可以解决许多实际问题。

因此，掌握一元二次方程的求解方法和应用是非常重要的。

实系数一元二次方程一、单选题1．设1z ，2z是非零复数，且满足2211220+=z z z ，则1z 与2z 的关系是（ ）．A ．12z z >B ．12z z <C ．12=z zD ．不确定【答案】C 【分析】将方程两边同时除以22z ，化为12z z 的一元二次方程，利用求根公式求出12z z ，再求出其模，即可得到答案.【详解】因为2211220+=z z z ，且20z ≠，所以21122()10z z z z +=，所以2121(4z z =-，所以1212z i z ==±，所以1212z i z =±，所以121||||122z i z =±=，所以12||1||z z =，所以12||||z z =. 故选：C.【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，考查了复数的模长公式和复数模的性质，属于基础题.2．设z C ∈，方程2||0+=z z 的根有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】将z 表示为复数的形式代入方程，利用复数相等即可求解. 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，代入方程得220,20,a b ab ⎧⎪-+⎨=⎪⎩ 解得0,0a b ==或±1，所以方程2||0+=z z 的根有3个.故答案选：C【点睛】本题主要考查利用换元法求方程的根及复数相等的概念，属于基础题.3．已知关于x 的实系数方程222440x ax a a -+-+=两个虚根为1x ，2x ，且123x x +=，则a =（ ）A ．12B ．72C ．12或72D ．不存在【答案】A【分析】关于x 的实系数方程222440x ax a a -+-+=两个虚根为1x ，2x ，所以∆<0，可得1a <，利用根与系数的关系可得()2212122,4420x x a x x a a a +=⋅=-+=->，设()12,,x m ni x m ni m n R =+=-∈，则12222122244x x m a x x m n a a +==⎧⎨⋅=+=-+⎩，根据123x x +=，可得2294m n +=可求得答案. 【详解】关于x 的实系数方程222440x ax a a -+-+=两个虚根为1x ，2x ，()()2244441610a a a a ∆=--+=-<，所以1a <()2212122,4420x x a x x a a a +=⋅=-+=->设()12,,x m ni x m ni m n R =+=-∈ 所以12222122244x x m a x x m n a a +==⎧⎨⋅=+=-+⎩ 123x x +=，即123x x +==，即2294m n += 由2221244x x m n a a ⋅=+=-+，即()2294424a a a -+=-=，解得12m =或72m =. 又1222x x m a +==，1a <，则1m <，所以12m = 所以12a = 故选：A【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、判别式、根与系数的关系、复数的模的计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．二、填空题4．若实系数方程20x mx m ++=有虚根，则实数m 的取值范围是________.【答案】(0,4)【分析】由已知可得∆<0，求解即可.【详解】实系数方程20x mx m ++=有虚根，24(4)0,04m m m m m ∴∆=-=-<<<.故答案为：(0,4).【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的判别式，考查计算求解能力，属于基础题.5．若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是________.【答案】2i ±【分析】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，利用12124,5z z z z +=⋅=列方程组，解方程组求得题目所求两个数.【详解】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，依题意有12124,5z z z z +=⋅=，即()()45a c b d i ac bd ad bc i ⎧+++=⎪⎨-++=⎪⎩，所以405a cb d ac bd ad bc +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩.将=-b d 代入0ad bc +=，得a c =；将a c =代入4a c +=，解得2a c ==；将2a c ==代入5ac bd -=，得1bd =-，结合=-b d 解得11b d =⎧⎨=-⎩或11b d =-⎧⎨=⎩.所以对应的数为2i +、2i -.故答案为：2i ±【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题.三、解答题6．已知一元二次方程22340x x +-=的两根为x 1与x 2，求下列各式的值：（1）x 12+x 22；（2）|x 1-x 2|.【答案】（1）254（2【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系计算即可.【详解】因为一元二次方程22340x x +-=的两根为x 1与x 2， 所以1232x x +=-，122x x ⋅=-， （1）x 12+x 22()212129252444x x x x =+-⋅=+=，（2）|x 1-x 2|====【点睛】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，考查了运算能能力，属于中档题.7．已知复数2i -是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，向量(,)=m b c ，(8,)=n t ，求实数λ和t ，使得m n λ=． 【答案】12λ=-，10t =- 【分析】根据虚根成对定理以及韦达定理可求出,b c ，再根据向量共线可求得结果.【详解】∵2i -是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，∴2i +也是方程的根．则[(2)(2)]4=--++=-b i i ，(2)(2)5=-+=c i i ．∴(4,5)=-m ，由m n λ=，得(4,5)(8,)-=t λ．∴485t λλ-=⎧⎨=⎩．∴1210t λ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 故答案为：12λ=-，10t =-. 【点睛】本题考查了虚根承兑定理、韦达定理，考查了平面向量共线定理，属于基础题.8．已知复数12,z z 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两根，且复数1z 在复平面内对应的点在第一象限，若122123z z i +=-，其中i 是虚数单位.（1）求复数12,z z ；（2）若复数z 满足1z =，求1z z -的最大值和最小值.【答案】（1）1243,43z i z i =+=-；（2）最大值6，最小值4；【分析】（1）根据实系数一元二次方程根的性质进行求解即可；（2）根据1z z -的几何意义，结合圆的性质进行求解即可.【详解】（1）因为122123z z i +=-，所以实系数一元二次方程有两个互为共轭的复数根，因此复数12,z z 互为共轭复数，因为复数1z 在复平面内对应的点在第一象限，所以设1(0,0)z a bi a b =+>>，则2z a bi =-，所以31242()12333a a a bi a bi i b b ==⎧⎧++-=-⇒⇒⎨⎨-=-=⎩⎩， 所以1243,43z i z i =+=-；（2）因为复数z 满足1z =，设(,)z x yi x y R =+∈，所以221x y +=，所以复数z 在复平面上对应的点在单位圆221x y +=上，1z z -表示点(4,3)到圆221x y +=上一点的距离，显然1z z -16=，14=. 所以1z z -的最大值6，最小值4.9．方程20x px p ++=p 的值．【答案】2p =1p =或3p =【分析】设方程的两根为1x ，2x ，则两根在复平面内对应的点之间的距离就是12x x -，由复数模的性质可得()()2212121243x x x x x x -=+-=，利用根与系数的关系式代入，可得到关于p 的方程，解方程可求p 的值.【详解】设方程的两根为1x ，2x ，则()2212121233x x x x x x -=⇔-=⇔-= ()2121243x x x x ⇔+-=，由韦达定理可得243-=p p ．当243-=⇒=p p p 2当2431-=-⇒=p p p 或3p =.【点睛】本题考查了复数的几何意义以及一元二次方程根与系数的关系，把复数在复平面上对应点的距离转化为复数差的模的形式是解题的关键，属于中档题.10．方程220x x m ++=的两个虚根为1z ，2z ，且12212<+-z z i ，求实数m 的范围． 【答案】251,9⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】设1(,,0)z a bi a b R b =+∈≠，则2z a bi =-．根据韦达定理可得211a m b =-⎧⎨=+⎩，再根据模长公式化简不等式可得403b <<，由21m b =+可得答案. 【详解】设1(,,0)z a bi a b R b =+∈≠，则2z a bi =-．因为方程220x x m ++=有虚根，m R ∈，所以2240m ∆=-<，解得1m ，根据韦达定理得12122z z z z m +=-⎧⎨=⎩，∴2222a m a b =-⎧⎨=+⎩，即211a m b =-⎧⎨=+⎩， 因为12212<+-z z i ，所以22124|||12|z z i <+-，所以224|1||(2)|bi b i -+<-+，所以2244(2)b b +<+，所以2340b b -<，所以403b <<， 所以21609b <<， ∴225119m b <=+<． ∴251,9⎛⎫∈ ⎪⎝⎭m . 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了韦达定理以及复数的模长公式，属于基础题.11．已知方程240x x m ++=的两根为α，β且满足||6-=αβ，求实数m 的值.指出下面的解法是否有错误，若有请分析错误原因，并给出正确的解答；若没有，请说明理由.||6-=αβ，得2||36-=αβ.∴2()436+-=αβαβ.由方程的根与系数的关系，得2(4)436--=m .解方程，得5m =-.【答案】有错误，理由见解析，5m =-或13m =.【分析】利用举反例的方法，说明错误原因.按照0∆≥和∆<0进行分类讨论，由此求得m 的所有可能取值.【详解】上面解法有错误，原因是当x C ∈时，2z 不一定等于2||z .如z i ，则221,1z z =-=. 正确解法：（1）当1640m ∆=-≥，即4m ≤时，有,R αβ∈，此时解答同上面解法；（2）当∆<0，即4m >时，方程有共轭虚根，两根为42-±=2-.依题意||||6-==αβ.解方程，得13m =.综上所述，5m =-或13m =.【点睛】本小题主要考查在复数范围内求一元二次方程的根，属于中档题.12．方程2236(1)10x m x m --++=的两个虚根的模之和为2，求实数m 的值.【分析】设1x ，2x 是方程的两个根，计算∆<0得到3322-+<<m ，计算11x =，代入数据计算得到答案.【详解】设1x ，2x 是方程的两个根，因为方程有两个虚根，∴∆<0，即()2236(1)4310--⨯+<m m ，化简得2310-+<m m ，解不等式得3322+<<m ，∵122x x +=，且12x x =，∴11x =1=1=.∴22m =，∴m =，检验取m .【点睛】本题考查了方程的虚根，意在考查学生的计算能力和应用能力.13．设1x ，2x 是方程22230()++-=∈x ax a a a R 的两根，求12x x +（用含a 的解析式表示）.【答案】123(18)2(01)(80)a a a x x a a ⎧≥≤-⎪+=≤<-<<⎩或 【分析】根据判别式讨论方程根的情况，若0∆≥，再对两实根的符号讨论，结合根与系数关系，即可得出结论；若∆<0，方程两根为共轭虚数，利用模的关系，结合根与系数关系，即可求出结论.【详解】（1）当方程有实根时，2298()(8)0a a a a a ∆=--=+≥，得0a ≥或8a ≤-，若2120x x a a =-≥，得1a ≥或0a ≤.∴当1a ≥或8a ≤-时，12,x x 同号，121232a x x x x ++==； 当01a ≤<时，12,x x 异号，1212x x x x -+=== . （2）当方程有虚根时，(8)a a ∆=+<0，得80a -<<.∴1212+===x x x=.综上：123(18)2(01)(80)a a a x x a a ⎧≥≤-⎪+=≤<-<<⎩或 【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的判别式，以及根与系数关系的应用，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于中档题.14．若1z ，2z是实系数一元二次方程的两个虚根，2=ω||2ω≤. 求：（1）实数a 的取值范围；（2）|(4)|-+a ai 的最大值.【答案】（1）11a -≤≤；（2【分析】（1）根据实系数方程的两个虚数根互为共轭复数得其模相等，利用模的性质可得a 的范围；（2）求出|(4)|-+a ai ，结合二次函数性质可得结论．【详解】（1）1z ，2z 是实系数一元二次方程的两个虚根，∴12=z z，||==ω2||2a =≤，所以||1a ≤； （2）|(4)|-+==a ai 11a -≤≤上单调递减，所以当1a =-时取到最大【点睛】本题考查复数的模的运算，考查模的性质，在复数乘除法运算中利用模的性质求模可以更加简便．1212z z z z =，1122z z z z =．。

复数集内一元二次方程的解法 实系数一元二次方程 复系数一元二次方程 ∆的作用可以用来判断根的情况 不能用来判断根的情况 求根公式 适用适用 韦达定理 适用适用 只有实系数一元n 次方程的虚根才成对共轭，1．判定下列方程根的情况，并解方程（1）022=++x x ，0722=++x x ，0452=+-x x（2）0122=+-x x 答：471i x ±=，05322=+-x x ，09222=+-x x 2．若关于x 的方程x 2+5x+m=0的两个虚数根x 1，x 2满足|x 1-x 2|=3，求实数m 的值．|x 1-x 2|=3，|（x 1-x 2）2|=9；则|（x 1＋x 2）2-4x 1x 2|=9，即|25-4m|=9．3．已知实系数一元二次方程2x 2＋rx ＋s=0的一个根为2i-3，求r ，s 的值．二、复系数一元二次方程虚根不一定成对，成对也不一定共轭。

1．求方程x 2-2ix-5=0的解．（当b 2-4ac ≥0时，方程的解都是实数吗？）求方程x 2-2ix-7=0的解解方程：x 2-4ix+5=0；解方程：0)2(25222=--++-i x x x x 答：i x x 5351,221-==（应用求根公式，不能用复数相等） 06)32(2=+++i x i x 答：i x x 3,221-=-=（b 2-4ac 为虚数，）2．解方程：x 2＋（1＋i ）x ＋5i=0．251122=+++x x x x 答：4151,13,21i x x ±== 231122=+-+x x x x 答：4151,13,21i x x ±=-= 三、方程有实根或纯虚根的问题1．方程x 2+（m+2i ）x+2+mi=0至少有一实根，求实数m 的值和这方程的解．2．已知方程x 2+mx+1+2i=0（m ∈C ）有实根，求|m|的最小值．解方程关于x 的方程03)12(2=-+--i m x i x 有实数解，则实数m 满足的条件是( C )A ．41-≥mB ．41-≤mC ．121=mD ．121-=m R k ∈，方程04)3(2=++++k x i k x 一定有实根的充要条件是(D )A ．4≥kB ．522-≤k 或522+≥kC ．23±=kD ．4-=k 一元二次方程缺少常数项，必有零根（一个特殊的实根）设βα与是实系数一元二次方程0m x 2=++x 两个虚根，且3=-βα，求m 。

实系数一元二次方程【知识要点】1、实系数一元二次方程20ax bx c ++=（,,,0a b c R a ∈≠）根的情况：1,21,21,20 20 20 b x a b x a x ⎧-∆>=⎪⎪⎪-∆==⎨⎪⎪∆<=⎪⎩一对实根一对相等的实根一对共轭虚根 提醒：1、实系数一元二次方程的根只能是“两个实根”或“两个共轭虚根”；2、解实系数一元二次方程时先判断“∆”的符合，再确定根的情况.2、实系数一元二次方程20ax bx c ++=（,,,0a b c R a ∈≠）根与系数的关系：设20ax bx c ++=（,,,0a b c R a ∈≠）的根为12x x 、，则有1212b x x a cx x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩提醒：（1）12x x 、是虚根时，韦达定理仍成立；（2）若1x 为虚数，则21x x =，1212Re b x x x a +==-，212111c x x x x x a ⋅=⋅== 【例题精讲】1、在复数范围内解方程：（1）2210x+= （2）23650x x ++=2、若32i +是方程220,,x bx c b c R ++=∈的一个根，求,b c 的值3、设,αβ是方程2230x x -+=的两个根，则：22αβ+= ；11αβ+= ；βααβ+= ；33αβ+= ；||αβ-= ；4、方程2(2)20x k i x ki ++++=（k R ∈）有实根，求k 的值，并解方程.5、设m R ∈，一元二次方程20x x m ++=的两个根为,αβ，且||3αβ-=.（1）若x R ∈，求实数m 的值；（2）若x C ∈，求实数m 的值；6、已知关于x 的实系数方程2230xkx k k ++-=有一个模为1的复数根，求实数k 的值.7、已知,αβ是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个虚根，且2αβ是实数，求αβ的值.【同步精练】1、在复数范围内解方程：（1）2310x+= （2）210x x ++= 2、在复数集中因式分解：（1）2243xx -+；（2）21x x -+-；（3）322x x -+；3、（1）设两个数的和为4，积为6，求这两个数；（2）设两个数的差为4，积为6，求这两个数；4、设m R ∈，方程2236(1)10x m x m --++=的两个根为,αβ，且2αβ+=，求m 的值5、已知关于x 的方程2(21)20,x a x a a R -+++=∈有虚数根，是否存在实数a 使得虚数根的立方是实数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由。

一元二次方程一次项系数一元二次方程是高中数学的重要内容之一，其中一次项系数在方程中起到了重要的作用。

本文将围绕一次项系数展开，详细介绍一元二次方程的性质、求解方法及其在实际生活中的应用。

一、一元二次方程的性质一元二次方程的一次项系数代表了方程中一次项的系数大小。

在一元二次方程中，一次项系数的正负决定了方程的开口方向。

当一次项系数为正时，方程的抛物线开口向上；当一次项系数为负时，方程的抛物线开口向下。

这一性质对于求解方程、分析方程在实际问题中的应用具有重要意义。

二、求解一元二次方程的方法1. 因式分解法当一元二次方程存在因式分解时，可以通过因式分解法求解方程。

以一次项系数为标题的文章中，可以详细介绍因式分解法的步骤和应用示例。

例如，对于一元二次方程x^2 + 5x + 6 = 0，可以因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，从而得到方程的解x = -2和x = -3。

2. 公式法当一元二次方程无法进行因式分解时，可以通过公式法求解方程。

一次项系数的正负决定了使用哪个公式求解方程。

在以一次项系数为标题的文章中，可以介绍两个公式：求根公式和配方法。

求根公式可以用于一元二次方程的一次项系数为正的情况，配方法可以用于一元二次方程的一次项系数为负的情况。

三、一元二次方程在实际生活中的应用一元二次方程作为数学的一部分，广泛应用于各个领域。

以一次项系数为标题的文章中，可以介绍一些实际问题，并通过一元二次方程来解决这些问题。

例如，可以以汽车行驶问题为例，讨论车辆的加速度和制动距离与一次项系数的关系。

又或者以物体抛射问题为例，讨论物体的最高点高度与一次项系数的关系。

四、一次项系数对一元二次方程的影响一次项系数对一元二次方程的解和图像都有重要影响。

以一次项系数为标题的文章中，可以通过具体的示例来说明一次项系数的变化对方程的解和图像产生的影响。

例如，一次项系数的绝对值越大，方程的抛物线会更加陡峭，解的绝对值也会更大。