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《方程与不等式》PPT课件

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《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT

《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT
2
答案:(1)A
(2)4
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
随堂演练
延伸探究 例题第(2)问,改为“已知a>0,b>0,且a+4b=4”,求ab的最
大值.
解:∵a>0,b>0,4=a+4b≥2 4=4 ,
解得 ab≤1,当且仅当 a=4b=2,即
此时 ab 取得最大值 1.
1
a=1,b=2时等号成立.
答案:C
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
随堂演练
探究二利用基本不等式证明不等式
例 2(1)已知 a,b,c 为不全相等的正实数,
求证:a+b+c> + + .
(2)已知 a,b,c 为正实数,且 a+b+c=1,
求证:
1
-1

1
-1

1
-1

≥8.
分析:(1)不等式的左边是和式,右边是带根号的积式之和,用基本
=
≥
,



1
2 1
2
同理可得 -1≥
,
-1≥
.




∴-1=
由上述三个不等式两边均为正,分别相乘,
1
-1

1
-1

1
2 2 2
得
-1 ≥
·
·
=8.




1
当且仅当 a=b=c= 时,等号成立.
3
1
1
1
故 -1
-1
-1 ≥8.

高中数学新教材必修一第二章《一元二次函数、方程和不等式》全套课件PPT

高中数学新教材必修一第二章《一元二次函数、方程和不等式》全套课件PPT

例题讲评 例3.比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小.
练习：
已知x 0,比较 x2 1 2与x4 x2 1的大小.
想一想 : 在上题中,如果没有x 0这个条件, 那么两式的大小关系如何 ?
练习巩固
练习已知 a,b, m都是正数，且a<b,求证：a m a .
bm b
变式1：若a>b,结果会怎样？
变式2：若没有a<b这个条件呢？zxxk
完成课本第40页第2题
课堂小结
1．不等关系是普遍存在的
2．用不等式（组）来表示不等关系
3．不等式基本原理 a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b
4．作差比较法 步骤：作差，变形，定号
500x 600y 4000
x3x0y
完成课本第39页第1题
y 0 x,y∈N
考虑到实际问题
的意义，还应有
x,y∈N
学习新知
不等式
a-b>0
<=> a > b
基本原 a - b = 0 <=> a = b
理 a - b < 0 <=> a < b
比较两数（式）的大小的最基本和首选的方法：
归纳逻辑过程： 作差 变形 判断符号
b
G
F
A
aHE
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C ２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2a＿b
３、S与S’有什么

《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第一课时基本不等式)

《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第一课时基本不等式)

1．下列不等式中，正确的是( )
A．a＋4a≥4
B．a2＋b2≥4ab
C． ab≥a＋2 b
D．x2＋x32≥2 3
解析：选 D.a＜0，则 a＋4a≥4 不成立，故 A 错；a＝1，b＝1，
a2＋b2＜4ab，故 B 错，a＝4，b＝16，则 ab＜a＋2 b，故 C 错；
由基本不等式可知 D 项正确．
2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
第二章 一元二次函数、方程和不等式
考点
学习目标
基本不等式
理解基本不等式的内容及 导出过程
利用基本不等式 能够运用基本不等式求函
求最值
数或代数式的最值
核心素养 逻辑推理 数学运算
第二章 一元二次函数、方程和不等式
问题导学 预习教材 P44－P46，并思考以下问题： 1．基本不等式的内容是什么？ 2．基本不等式成立的条件是什么？ 3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
■名师点拨 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的 原则，即： ①一正：符合基本不等式a＋2 b≥ ab成立的前提条件，a＞0，b ＞0； ②二定：化不等式的一边为定值； ③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可．
第二章 一元二次函数、方程和不等式
所以 y＝x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2
≥2 （x－2）·x－4 2＋2＝6，
当且仅当 x－2＝x－4 2， 即 x＝4 时，等号成立．
所以 y＝x＋x－4 2的最小值为 6.
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
(2)因为 0<x<12， 所以 1－2x>0， 所以 y＝12x(1－2x)＝14×2x×(1－2x)≤142x＋12－2x2＝14×14＝ 116， 当且仅当 2x＝1－2x， 即当 x＝14时，ymax＝116.

第二讲方程与不等式-PPT

第二讲方程与不等式-PPT

解得:m≤2
所以 3－m≠0
3m-1 (m+3)
又 ∵方程 △＝ (1)2 4 (3 m)＝m1－2 4
当m=2 时 △＝0, ∴方程有两个相等得就是实数根;
当m<2时 △<0, ∴方程无实数根。
例5、 已知关于x得方程mx2 14x 7 0 有两个
x x 实数根 1与 2,关于y 得方程 y2 2(n 1) y n2 2n 0
3
2
这时原方程转换成关于k得一元一次方程, 解得:k＝1。故选 (B)
例2、方程 x2 4x 2 得正根为
()
Ａ、2 6 Ｂ、 2 6 Ｃ、2 6 Ｄ、 2 6
解析:利用配方法或公式法求解得正根 x= －2＋ 6、
故选(D)
例3、 (2008江苏省苏州市)解不等式组:
x 3 0， 2(x 1) 3≥3x.
2
所以m= 4 2 (6) (4)2 =－8, 42
∵当n=0时,m=－6; 当n＝4时,m＝10、 ∴m得取值范围就是－8≤m<10、
例6、 (2007江苏扬州课改)为了加强公民得节水意识,合理利 用水资源,某市采用价格调控手段达到节水得目得、该市自 来水收费价格见价目表、
若某户居民月份用水 8m3,
第二讲方程与不等式
在求解方程时应灵活选用,值得注意得就是分式方程求解,验 根。
对于一元一次不等式(组)得求解,要熟练地掌握不等 式得基本性质,它就是不等式求解得基础,在解不等式(组) 时,若不等式两边同时乘以或除以同一个负数时不等号方向 要改变。而不等式组得解就是每个不等式解得公共部分,它常 通过数轴这一步骤来得到不等式解得。
价目表
则应收水费:
2 6 4 (8 6) 2元0、

一次函数与方程、不等式(共15张PPT)

一次函数与方程、不等式(共15张PPT)

04 综合练习与提高
综合练习题一
总结词
理解一次函数与方程、不等式之间的 关系
详细描述
通过解决一系列的练习题，理解一次 函数与方程、不等式之间的关系，掌 握将实际问题转化为数学模型的方法 。
综合练习题二
总结词
掌握一次函数的图像和性质
详细描述
通过绘制一次函数的图像，理解函数的增减性、截距等性质，掌握利用图像解决实际问题的技巧。
一次函数与不等式的实际应用
一次函数与不等式在实际生活中有着 广泛的应用。例如，在购物时，我们 可以通过比较商品的价格和折扣率来 选择最划算的购买方案，这需要用到 一元一次不等式的知识。
另外，在生产活动中，我们可以通过 控制生产成本和产量之间的关系来制 定最优的生产计划，这也需要用到一 元一次不等式R。
02 一次函数与方程
一次函数与一元一次方程的关系
一次函数是形如$y = kx + b$的函数，其中$k$和$b$是常数， 且$k neq 0$。一元一次方程是只含有一个变量的方程，其形式 为$ax + b = 0$，其中$a$和$b$是常数，且$a neq 0$。
一次函数与方程、不等式(共15张 ppt)
目录
• 一次函数的基本概念 • 一次函数与方程 • 一次函数与不等式 • 综合练习与提高 • 总结与回顾
01 一次函数的基本概念
一次函数的定义
一次函数
一般形式为y=kx+b（k≠0），其 中x为自变量，y为因变量，b为截 距，k为斜率。
线性函数
特殊的一次函数，形式为y=kx+b （k≠0，b=0）。
一次函数在实际问题中的应用
一次函数可以用于解决实际问题，如路程、速度和时间问题、价格和销售问题等。

一次函数与方程、不等式、方程组关系PPT课件

一次函数与方程、不等式、方程组关系PPT课件

05
CHAPTER
总结与展望
总结一次函数与方程、不等式、方程组的关系
一次函数与方程的关系
一次函数与方程组的关系
一次函数是线性方程的几何表示，通 过将方程中的x替换为函数表达式，可 以得到相应的方程。
一次函数可以用于解决线性方程组问 题，通过消元法或代入法将方程组转 化为一次函数的交点问题。
一次函数与不等式的关系
斜率
一次函数图像的倾斜程度 由斜率k决定，k>0时，图 像为增函数；k<0时，图 像为减函数。
截距
b为y轴上的截距，表示函 数与y轴交点的纵坐标。
一次函数的图像
绘制方法
通过代入一组x值计算对应的y值 ，得到一系列点，将这些点连接 成线即可得到一次函数的图像。
图像特点
一次函数图像是一条直线，斜率为 k，截距为b。
一次函数与方程、不等式、方 程组关系ppt课件
目录
CONTENTS
• 一次函数的基本概念 • 一次函数与方程的关系 • 一次函数与不等式的关系 • 一次函数的应用 • 总结与展望
01
CHAPTER
一次函数的基本概念
一次函数的定义
01
02
03
一次函数
形如y=kx+b（k≠0）的 函数，其中x是自变量，y 是因变量。
一次函数与一元一次不等式组
一元一次不等式组
由两个或两个以上一元一次不等式组成的集合。
关系
对于一元一次不等式组，可以通过将其转化为一次函数的形式，利用函数的交点来求解。例如，解不等式组 $begin{cases} x + 2 > 0 x - 1 < 0 end{cases}$，可以将其转化为两个一次函数的形式，然后找到两个函数的 交点，即解集。

人教版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式全套PPT课件

[解析] ， ，又 , ，即 .又 ， ，即 ．故 ， ．
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.

第二章 一元二次函数、方程和不等式课件(人教版)

a＞0，
需
Δ＝22－4×2a＜0，
1

，＋∞.
2

1
解得 a＞ .综上，所求实数 a 的取值范围为
2
类型四 不等式恒成立问题
【例 4】 (1)若不等式 x2＋mx－1＜0 对于任意 x∈{x|m≤x≤m＋1}
都成立，则实数 m 的取值范围是________．
(2)对任意－1≤m≤1，函数 y＝x2＋(m－4)x＋4－2m 的值恒大于零，
人教A版高中数学必修第一册
第二章 一元二次函数、方程和不等式
章节复习与小结
体系构建
用不等式表示不等关系
证明不等式
相等关系与不等关系
不等式的基本性质
不等式
基本不等式
≤
+
2
比较大小
求最值
证明不等式
一元二次不等式的概念
二次函数、一元二次
方程、不等式
一元二次不等式解法
三个二次间的关系
知识梳理
1.不等式的性质
①若 ac>bc，则 a>b；
②若 a<b，则 ac2<bc2；
1 1
③若a<b<0，则 a>b；
④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d；
⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd.
③
其中正确结论的序号是______.
类型二 基本不等式的应用
x＋5x＋2
【例 2】 设 x<－1，求 y＝
的最大值．
1
2
x x x x
2
x1=x2
x
x
O
x1=x2= b
没有实根

《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第二课时基本不等式的应用)

利用基本不等式求最值 【例 1】 (1)已知 x<54，求 y＝4x－2＋4x－1 5的最大值； (2)已知 0<x<12，求 y＝12x(1－2x)的最大值． [思路点拨] (1)看到求 y＝4x－2＋4x－1 5的最值，想到如何才能出现 乘积定值；(2)要求 y＝12x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．
2 2 [x＋2x≥2 x·2x＝2 2，当
________．
且仅当 x＝ 2时，等号成立．]
栏目导航
9
3．设 x，y∈N*满足 x＋y＝20， 100 [∵x，y∈N*，∴20＝x＋
则 xy 的最大值为________．
y≥2 xy，
∴xy≤100.]
栏目导航
10
合作探究 提素养
栏目导航
11
(3)当 x>1 时，函数 y＝x＋x－1 1≥2 x－x 1，所以函数 y 的最小值是
2 x－x 1.(
)
栏目导航
[提示] (1)由 a＋b≥2 ab可知正确． (2)由 ab≤a＋2 b2＝4 可知正确． (3) x－x 1不是常数，故错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
37
栏目导航
38
13
栏目导航
14
利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即 “一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆 项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳 为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或 定积；若不等，一般用后面第三章§3.2 函数的基本性质中学习.
栏目导航
33
∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．

《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT精品教学课件

a＜0，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c 在x＝α，x＝β时的函数值都大于0.
法二：分离参数，转化为函数的最大(小)值问题．
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课堂小结 SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
➢两个题型
解分式不等式 一元二次不等式恒成立求参数范围
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典例精讲
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
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角度2 在给定范围上恒成立问题
典例精讲
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
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方法指导 SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
一元二次不等式恒成立求参数范围解题方法
➢ 在R上恒成立 ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔a>0且Δ<0. ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔a<0且Δ≤0. ➢ 在给定范围上的恒成立 法一：a＞0，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c 在x＝α，x＝β的函数值都小于0.
典例精讲
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
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解分式不等式的方法
方法指导 SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
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典例精讲
题型2 一元二次不等式恒成立问题求参数范围
角度1 在R上恒成立问题
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
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角度1 在R上恒成立问题
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
学习目标 典例精讲 课堂小结 随堂检测
学习目标
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
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根是否为原分式方程的根，又要检验根是否
符合题意；（7）答：写出答案．
19．一元一次不等式的概念：不等式的左、
右两边都是整式，只含有一个未知数，系数
知 不等于0，并且未知数的最高次数是一次，
识 这样的不等式，叫做一元一次不等式．
梳
20．不等式的基本性质： （1）不等式的两边都加上 (或减去) 同一
理 个数或同一个整式，不等号的方向不变．
识 次方程组．
梳 8．二元一次方程组的解：二元一次方程组
理
的两个方程的公共解，叫做二元一次方程 组的解．
9．二元一次方程组的一般形式：
a a
1 2
x x

b1 y b2 y
c1, c2
.
10．解二元一次方程组的关键是消元，有代
入消元法和加减消元法两种．
11．二元一次方程组与一次函数的关系：
梳 （1）分母中含有字母的方程叫做分式方程． 理 （2）在分式方程变形中，有时会产生使原分
式方程的分母为零的根，这种根不适合原方 程，叫做原方程的增根．
16．解可化为一元一次方程的分式方程的一 般方法和步骤： （1）去分母，即在方程的两边都乘以最简 公分母，把原方程化为整式方程；
（2）解这个整式方程；
理 数，并且所含未知数的项的次数都是一次
的整式方程叫做二元一次方程．其一般形
式是：ax+by=c (其中a、b≠0)．
6．使二元一次方程两边相等的两个未知
数的值，叫二元一次方程的一个解，记
为
x=
a
．

y=b

7．二元一次方程组的定义：
知
含有二个未知数，由两个二元一次方程或 一元一次方程组成的方程组，叫做二元一
（3）检验：把整式方程的根代入最简公
知 分母，看结果是不是零，使最简公分母
识 为零的根是原方程的增根，必须舍去．
梳 17．若某分式方程有增根，则各分式的最
理骤：
（1）审：审清题意；（2）设：设未知数；
（3）找：找出等量关系；（4）列：列出方
程；（5）解：解方程；（6）验：既要验证
的几个一元一次不等式合在一起，就组成一
知 个一元一次不等式组．
识
25．一元一次不等式组的解集：一元一次不 等式组中各个不等式的解集的_公__共__部__分__叫
梳 做一元一次不等式组的解集．
理 26．解不等式组：求不等式组解集的过程叫
做解不等式组．
27．解一元一次不等式组的一般步骤是：
（1）先求出这个不等式组中各个一元一次
直线y=a1x+b1与y=a2x+b2的交点坐标，即
知 识
为方程组

y y
= =
a1x +b1 a2 x +b2
的解．
梳 12．一元二次方程一般形式是：
理 ax2+bx+c=0 （其中a、b、c为常数，a≠0)
13．一元二次方程的解题思路是降次，解 法有：（1）直接开平方法；（2）配方法； （3）公式． 法；（4）因式分解法． 一元二次方程根的求根公式是
x b b2 4ac . b2 4ac ≥ 0 . 2a
14．一元二次方程根的判别式:Δ=b2-4ac．
（1）当b2-4ac＞0时，原方程有两个不相等实数根；
知 （2）当b2-4ac=0时，原方程有两个相等实数根； 识 （3）当b2-4ac＜0时，原方程无实数解．
15．分式方程的概念：
（2）不等式的两边都乘以 (或除以)同一个 正数，不等号的方向不变． （3）不等式的两边都乘以 (或除以) 同一 个负数，不等号的方向改变．
21．不等式的解、解集和解不等式：能使不
等式成立的未知数的值，叫做不等式的解；
知 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这
识 个不等式的解集；求不等式解集的过程叫做
梳
解不等式． 22．解一元一次不等式的一般步骤是(1)去
理 分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类
项；(5)系数化为1．
23．一元一次不等式的解法：类似于一元一
次方程的解法，所不同的是：一元一次不等
式两边同乘以（或除以）同一个负数时，不
等号的方向必须改变，这也是解不等式时最
容易出错的地方.
24．一元一次不等式组：关于同一个未__知__数_
第二章 方程与不等式
中考宝典数学 思维导图与知识梳理
思 维 导 图
1．一元一次方程的定义：只含有_一_个__ 未知
知
数，且含有未知数的式子是_整__式__，未知数 的次数都是_一__次，这样的方程叫做一元一
识 次方程．一般式：ax +b= 0 (a ≠ 0) ．
梳 理
2．方程的解：使方程左、右两边的值相等 的_未_知__数__的值，叫做方程的解．对于只有
一个未知数的方程，方程的解也叫做方程
的_根_____．
3．解一元一次方程的一般步骤：
（1）去分母； （2）去括号； （3）移项；
（4）合并同类项； （5）系数化为1．
4．等式的基本性质：若x=y，则
知 （1）x+c=y+c(c为代数式)；（2）
识 梳
x−c=y−c(c为代数式)；（3）cx=cy(c为实数) （4）cx = cy(c为实数，且c≠0)． 5．二元一次方程的定义：含有二个未知
不等式的解集；
（2）再利用数__轴__确定各个解集的公共部分，
即求出了这个一元一次不等式组的解集．
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