2020版高考数学二轮复习分层设计(全国通用)第四层热身篇：专题检测(十五) 圆锥曲线的方程与性质

“12＋4”限时提速练（一)(满分80分，限时45分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1。

已知集合U＝｛x｜4x2－4x＋1≥0｝，B＝｛x|x－2≥0}，则∁U B＝（)A。

(－∞,2) B。

（－∞，2]C。

错误! D.错误!∪错误!解析:选A由4x2－4x＋1≥0，得x∈R，所以U＝R.又B＝｛x|x －2≥0｝＝{x|x≥2｝，所以∁U B＝（－∞，2）。

故选A.2。

已知错误!＝b＋2i(a,b∈R)，其中i为虚数单位，则复数z＝a－b i在复平面内对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选B 法一：由已知得a－3i＝(b＋2i）·i＝－2＋b i，由复数相等的充要条件可得错误!所以z＝a－b i＝－2＋3i，所以复数z＝－2＋3i在复平面内对应的点(－2，3）在第二象限。

故选B.法二：由错误!＝b＋2i得，错误!＝－3－a i＝b＋2i，由复数相等的充要条件得错误!则z＝－2＋3i，所以复数z＝－2＋3i在复平面内对应的点（－2，3）在第二象限.故选B。

3.已知直线a⊥平面α,则“直线b∥平面α”是“b⊥a”的( ）A。

充分不必要条件 B.必要不充分条件C。

充要条件D。

既不充分也不必要条件解析:选A 因为直线a⊥平面α，直线b∥平面α，所以b⊥a，所以充分性成立；由直线a⊥平面α及b⊥a可以推得b∥α或b⊂α，所以必要性不成立.故选A.4。

数学界有名的“角谷猜想”：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半错误!,如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n＋1)，不断重复这样的运算，经过有限次运算后，一定可以得到1.如果对正整数a按照上述规则施行变换后得到的第4个数为1（注:1可以多次出现），则这样的a的所有不同取值的个数为( )A。

1 B。

2C。

3 D。

4解析:选B 依题意,引入数列｛a n｝,其中a1＝a∈N*，a n＋1＝错误!当a4＝1时，a3＝2；当a3＝2时，a2＝4；当a2＝4时,a1＝8或a1＝1。

“12＋4”限时提速练(四)(满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |－3＜x ＜1}，B ＝{x |x ＋1≥0}，则∁U (A ∪B )＝( ) A.{x |x ≤－3或x ≥1} B.{x |x ＜－1或x ≥3} C.{x |x ≤3} D.{x |x ≤－3}解析：选D 因为B ＝{x |x ≥－1}，A ＝{x |－3＜x ＜1}，所以A ∪B ＝{x |x ＞－3}，所以∁U (A ∪B )＝{x |x ≤－3}.故选D.2.若复数z 满足(3＋4i)z ＝25i ，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是( ) A.3i B.－3i C.3D.－3解析：选D 因为(3＋4i)z ＝25i ，所以z ＝25i 3＋4i ＝25i （3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝25i （3－4i ）25＝4＋3i ，所以z ＝4－3i ，所以z 的虚部为－3.故选D.3.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n 座城市作试验基地.这n 座城市共享单车的使用量(单位：人次/天)分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是( )A.x 1，x 2，…，x n 的平均数B.x 1，x 2，…，x n 的标准差C.x 1，x 2，…，x n 的最大值D.x 1，x 2，…，x n 的中位数解析：选B 平均数、中位数可以反映一组数据的集中程度；方差、标准差可以反映一组数据的波动大小，同时也即反映这组数据的稳定程度.故选B.4.已知数列{a n }为等比数列，首项a 1＝4，数列{b n }满足b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 2＋b 3＝12，则a 4＝( )A.4B.32C.108D.256解析：选D 设等比数列{a n }的公比为q ，由题意知q ＞0，又首项a 1＝4，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4·qn －1，又b n ＝log 2a n ，所以b n ＝log 2(4·qn －1)＝2＋(n －1)·log 2q ，所以{b n }为等差数列，则b 1＋b 2＋b 3＝3b 2＝12，所以b 2＝4，由b 2＝2＋(2－1)log 2q ＝4，解得q ＝4，所以a 4＝4×44－1＝44＝256.故选D.5.椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，若∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )A.1633B.3233C.16 3D.32 3解析：选A 法一：由椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为F 1，F 2知，|F 1F 2|＝2c ＝6，在△F 1PF 2中，不妨设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则|PF 1|＋|PF 2|＝m ＋n ＝2a ＝10，在△F 1PF 2中，由余弦定理|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2，得(2c )2＝m 2＋n 2－2m ·n cos 60°，即4c 2＝(m ＋n )2－3mn ＝4a 2－3mn ，解得mn ＝643，所以S △F 1PF 2＝12·|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12mn sin 60°＝1633.故选A. 法二：由椭圆的焦点三角形的面积公式S △F 1PF 2＝b 2·tan θ2(其中P 为椭圆上的点，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，θ＝∠F 1PF 2)得S △F 1PF 2＝b 2·tan θ2＝16×tan60°2＝1633.故选A. 6.已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，则下列结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 2解析：选C 把曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象，再把图象向右平移7π12个单位长度，得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－7π12＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，即得曲线C 2.故选C.7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：“你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩”.看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩”.根据以上信息，则( )A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D 若乙、丙均优秀(或良好)，则根据四人中两人优秀两人良好可知，甲、丁均良好(或优秀)，所以甲看后应该知道自己的成绩，但这与题意矛盾，从而乙、丙必一人优秀一人良好，进而可知甲、丁也必一人优秀一人良好.于是，根据乙知道丙的成绩，丁知道甲的成绩，易知乙、丁可以知道自己的成绩.故选D.8.设函数f (x )＝2ln(x ＋x 2＋1)＋3x 3(－2＜x ＜2)，则使得f (2x )＋f (4x －3)＞0成立的x 的取值范围是( )A.(－1，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，54 解析：选 B 因为f (x )＝2ln(x ＋x 2＋1)＋3x 3，－2＜x ＜2，f (x )＋f (－x )＝[2ln(x ＋x 2＋1)＋3x 3]＋[2ln(－x ＋（－x ）2＋1)＋3(－x )3]＝2[ln(x ＋x 2＋1)＋ln(－x ＋x 2＋1)]＝2ln 1＝0，所以f (x )为奇函数.易得f (x )在(－2，2)上单调递增.所以f (2x )＋f (4x－3)＞0可转化为f (2x )＞－f (4x －3)＝f (3－4x )，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＜2x ＜2，－2＜3－4x ＜22x ＞3－4x ，，解得12＜x＜1.故选B.9.已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≤0，x ≥2，x ＋y －6≥0，则k ＝y ＋1x －3的取值范围是( )A.k ＞12或k ≤－5B.－5≤k ＜12C.－5≤k ≤12D.k ≥12或k ≤－5解析：选A 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≤0，x ≥2，x ＋y －6≥0作出可行域，如图中阴影部分所示，其中A (2，4)，k ＝y ＋1x －3的几何意义为可行域内的动点(x ，y )与定点P (3，－1)连线的斜率，∵k PA ＝4－（－1）2－3＝－5，x －2y ＋4＝0的斜率为12，由图可知，k ≤－5或k ＞12.故选A.10.魔法箱中装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R 的函数：f 1(x )＝2x ，f 2(x )＝2x，f 3(x )＝x 2，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝1－2x1＋2x .现从魔法箱中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是( )A.25B.35C.12D.13解析：选A 由题意知，在已知的6个函数中，奇函数有f 1(x )，f 4(x )，f 6(x )，共3个；偶函数有f 3(x )，f 5(x )，共2个；非奇非偶函数为f 2(x ).则从6张卡片中任取2张，根据函数奇偶性的性质知，函数乘积为奇函数的有f 1(x )·f 3(x )，f 1(x )·f 5(x )，f 4(x )·f 3(x )，f 4(x )·f 5(x )，f 6(x )·f 3(x )，f 6(x )·f 5(x )，共6个，而已知的6个函数任意2个函数相乘，可得15个新函数，所以所求事件的概率P ＝615＝25.故选A.11.已知数列{a n }满足2a n ＋1＋a n ＝3(n ≥1)，且a 3＝134，其前n 项和为S n ，则满足不等式|S n－n －6|＜1123的最小整数n 是( )A.8B.9C.10D.11解析：选C 由2a n ＋1＋a n ＝3，得2(a n ＋1－1)＋(a n －1)＝0，即a n ＋1－1a n －1＝－12，又a 3＝134，所以a 3－1＝94，代入上式，有a 2－1＝－92，a 1－1＝9，所以数列{a n －1}是首项为9，公比为－12的等比数列.所以|S n －n －6|＝|(a 1－1)＋(a 2－1)＋…＋(a n －1)－6|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪9×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＜1123，又n ∈N *，所以n 的最小值为10.故选C. 12.已知三棱锥P ­ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，PC 是球O 的直径.若平面PCA ⊥平面PCB ，PA ＝AC ，PB ＝BC ，三棱锥P ­ABC 的体积为a ，则球O 的体积为( )A.2πaB.4πaC.23πa D.43πa 解析：选B 设球O 的半径为R ，因为PC 为球O 的直径，PA ＝AC ，PB ＝BC ，所以△PAC ，△PBC 均为等腰直角三角形，点O 为PC 的中点，连接AO ，OB (图略)，所以AO ⊥PC ，BO ⊥PC ，因为平面PCA ⊥平面PCB ，平面PCA ∩平面PCB ＝PC ，所以AO ⊥平面PCB ，所以V 三棱锥P ­ABC ＝13·S△PBC·AO ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×PC ×BO ×AO ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2R ×R ×R ＝13R 3＝a ，所以球O 的体积V ＝43πR 3＝4πa .故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知e 1，e 2为单位向量且夹角为2π3，设a ＝3e 1＋2e 2，b ＝3e 2，则a 在b 方向上的投影为________.解析：因为a ＝3e 1＋2e 2，b ＝3e 2，所以a ·b ＝(3e 1＋2e 2)·3e 2＝9e 1·e 2＋6e 22＝9×1×1×cos 2π3＋6＝32，又|b |＝3，所以a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝323＝12.答案：1214.已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )的图象与直线x －y ＋1＝0相切，则实数a 的值为________.解析：设直线x －y ＋1＝0与函数f (x )＝ln x －ax 的图象的切点为P (x 0，y 0)，因为f ′(x )＝1x －a ，所以由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＋1＝0，f ′（x 0）＝1x 0－a ＝1，f （x 0）＝ln x 0－ax 0＝y 0，解得a ＝1e2－1.答案：1e2－115.已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为P ，交另一条渐近线于点Q ，若5PF ―→＝3FQ ―→，则双曲线E 的离心率为________.解析：由题意知，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 的坐标为(c ，0)，设一条渐近线OP (O 为坐标原点)的方程为y ＝ba x ，另一条渐近线OQ 的方程为y ＝－b ax ，不妨设P ⎝⎛⎭⎪⎫m ，b a m ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，－b a n ，由5PF ―→＝3FQ ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧5（c －m ）＝3（n －c ），5⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a m ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝45c ，n ＝43c ，因为OP ⊥FP ，所以k PF ＝－ba mc －m ＝－a b，解得a 2＝4b 2，所以e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，故双曲线E 的离心率e ＝52.答案：5216.(2018·浙江高考)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________.若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________.解析：当λ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x <2，其图象如图①所示.由图知f (x )<0的解集为(1，4).f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点； ②二次函数与一次函数各有一个零点.在同一平面直角坐标系中画出y ＝x －4与y ＝x 2－4x ＋3的图象如图②所示，平移直线x ＝λ，可得λ∈(1，3]∪(4，＋∞).答案：(1，4) (1，3]∪(4，＋∞)。

2020高考数学二轮分层模拟仿真专练（四)文一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2019·广东深圳高级中学期末］已知集合A ＝{x ∈Z |－1≤x ≤4}，B ＝｛－2，－1，4，8，9}，设C ＝A ∩B ，则集合C 的元素个数为( ）A ．9B ．8C ．3D ．2答案：D解析：A ＝{x ∈Z ｜－1≤x ≤4｝＝{－1，0,1,2,3，4｝，B ＝{－2，－1，4，8,9｝，则C ＝A ∩B ＝｛－1，4}，集合C 的元素个数为2，故选D 。

2．[2019·福建晋江四校联考］复数z ＝a ＋i(a ∈R )的共轭复数为z ，满足|z ｜＝1，则复数z ＝（ ）A ．2＋iB ．2－iC ．1＋iD ．i答案:D解析：根据题意可得错误!＝a －i ，所以｜错误!|＝错误!＝1，解得a ＝0,所以复数z ＝i.故选D 。

3．[2019·重庆一中月考］设a ,b ，c 是平面向量，则a ·b ＝b ·c 是a ＝c 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B解析:由a ·b ＝b ·c 得(a －c )·b ＝0，∴a ＝c 或b ＝0或(a －c ）⊥b ，∴a ·b ＝b ·c 是a ＝c 的必要不充分条件．故选B.4．［2019·黑龙江牡丹江一中月考］关于函数f (x )＝sin （⎭⎪⎫2x ＋π4与函数g （x ）＝cos 错误!，下列说法正确的是（ )A ．函数f （x ）和g (x )的图象有一个交点在y 轴上B ．函数f (x ）和g （x ）的图象在区间(0，π）内有3个交点C ．函数f (x ）和g (x )的图象关于直线x ＝π2对称 D ．函数f (x ）和g （x ）的图象关于原点（0，0)对称答案:D解析:∵g （－x )＝cos 错误!＝cos 错误!＝cos 错误!＝－sin 错误!，∴g (－x )＝－f (x ），∴函数f (x ）和g (x )的图象关于原点(0,0)对称,故选D.5．［2019·湖北武汉武昌调研考］已知数列{a n ｝的前n 项和S n ＝n 2－1，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝（ )A ．40B ．44C ．45D ．49答案:B解析：解法一因为S n＝n2－1，所以当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－1－（n－1）2＋1＝2n－1，又a1＝S1＝0，所以a n＝错误!所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝0＋5＋9＋13＋17＝44.故选B.解法二因为S n＝n2－1,所以当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－1－(n－1）2＋1＝2n－1，又a1＝S1＝0,所以a n＝错误!所以｛a n｝从第二项起是等差数列，a2＝3，公差d＝2，所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝0＋4a6＝4×（2×6－1）＝44。

“12＋4”限时提速练（二）（满分80分,限时45分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合A＝{x|x－a≤0｝,B＝｛1，2,3｝,若A∩B≠∅，则a 的取值范围为( )A.（－∞，1]B.［1，＋∞)C。

（－∞，3］ D.［3,＋∞）解析:选B 法一：集合A＝{x｜x≤a},集合B＝{1，2，3｝，若A ∩B≠∅,则1,2，3这三个元素至少有一个在集合A中，若2或3在集合A中，则1一定在集合A中，因此只要保证1∈A即可，所以a≥1.故选B.法二：集合A＝｛x|x≤a｝，B＝｛1，2，3｝，a的值大于3时，满足A∩B≠∅，因此排除A、C。

当a＝1时，满足A∩B≠∅,排除D。

故选B.2。

z是z＝错误!的共轭复数，则z的虚部为( )A。

－错误!B。

错误!C。

－错误!D。

错误!解析：选C z＝1＋2i1－i＝错误!＝错误!＝－错误!＋错误!i,则z＝－错误!－错误!i，所以z的虚部为－错误!.故选C。

3.已知点M错误!在函数y＝log3x的图象上，且角θ的终边所在的直线过点M，则tan θ＝( ）A。

－错误!B。

±错误!C。

－3 D。

±3解析：选C 因为点M错误!在函数y＝log3x的图象上，所以a＝log3错误!＝－1，即M错误!，所以tan θ＝错误!＝－3，故选C.4。

《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”,称底是“广”，称高是“正从”,“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田。

若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内的概率为（)A.错误!B。

错误!C.错误!D。

错误!解析:选A 由题意可得邪田的面积S＝错误!×（10＋20)×10＝150，圭田的面积S1＝错误!×8×5＝20，则所求的概率P＝错误!＝错误!＝错误!。

“12＋4”限时提速练(六)(满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.若集合A ＝{x |0<x <4}，B ＝{x |－4<x ≤2}，则A ∩B ＝( ) A.(0，4) B.(－4，2] C.(0，2]D.(－4，4)解析：选C 因为A ＝{x |0<x <4}，B ＝{x |－4<x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |0<x ≤2}＝(0，2].故选C.2.若复数z 满足z －i ＝1－1i ，则|z |＝( )A.1B. 3C.2D. 5解析：选D 由z －i ＝1－1i ，得z ＝1－1i ＋i ＝1＋i ＋i ＝1＋2i ，所以|z |＝12＋22＝ 5.故选D.3.若双曲线x 2－y 2m2＝1(m >0)的焦点到渐近线的距离是2，则m 的值是( )A.2B. 2C.1D.4解析：选A 由双曲线的对称性，不妨取渐近线方程为y ＝mx ，即mx －y ＝0，双曲线右焦点为F (1＋m 2，0)，则由点到直线的距离公式得m 1＋m 2m 2＋1＝2，解得m ＝2.故选A.4.在△ABC 中，BD ―→＝13BC ―→，若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则AD ―→＝( )A.23a ＋13bB.13a ＋23b C.13a －23b D.23a －13b解析：选A 法一：如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点E ，F ，则四边形AEDF 为平行四边形，所以AD ―→＝AE ―→＋AF ―→.因为BD ―→＝13BC ―→，所以AE ―→＝23AB ―→，AF ―→＝13AC ―→，所以AD ―→＝23AB ―→＋13AC ―→＝23a ＋13b .故选A. 法二：AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋13BC ―→＝AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝23AB ―→＋13AC ―→＝23a ＋13b .故选A.法三：由BD ―→＝13BC ―→，得AD ―→－AB ―→＝13(AC ―→－AB ―→)，所以AD ―→＝AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝23AB―→＋13AC ―→＝23a ＋13b .故选A. 5.下表是某电器销售公司2019年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中不正确的是( ) A.该公司2019年度冰箱类电器营销亏损B.该公司2019年度小家电类电器营业收入和净利润相同C.该公司2019年度净利润主要由空调类电器销售提供D.剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2019年度空调类电器销售净利润占比将会降低 解析：选B 由统计表知，冰箱类净利润占比为－0.48%，所以冰箱类电器营销亏损，所以选项A 正确；由统计表知，小家电类电器营业收入占比和净利润占比均为3.82%，但在总的营业收入和总的净利润未知的情况下，无法得到营业收入和净利润相同，所以选项B 不正确；由统计表知，空调类的净利润占比为95.80%，所以该电器销售公司的净利润主要由空调类电器销售提供，所以选项C 正确；剔除冰箱类销售数据后，总的净利润增加了，而空调类销售总利润没有变，所以空调类电器销售净利润占比将会降低，选项D 正确.综上可知.故选B.6.若在x 2＋y 2≤1所表示的区域内随机取一点，则该点落在|x |＋|y |≤1所表示的区域内的概率是( )A.1πB.2πC.12πD.1－1π解析：选B x 2＋y 2≤1表示由一个单位圆所围成的区域(包括边界)，其面积为π×12＝π.|x |＋|y |≤1表示由中心在原点，对角线在坐标轴上，边长为2的正方形所围成的区域(包括边界)，其面积为2×2＝2，如图所示，则所求概率P ＝2π.故选B.7.我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈.欲斩末为方亭，令上方六尺.问：斩高几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少.如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台的体积是(注：1丈＝10尺)( )A.1 946立方尺B.3 892立方尺C.7 784立方尺D.11 676立方尺解析：选B 法一：如图，记正四棱台为A 1B 1C 1D 1­ABCD .该正四棱台由正四棱锥S -ABCD 截得，O 为正方形ABCD 的中点，E 为BC 的中点，E 1为B 1C 1的中点，设正四棱台的高为x ，则由图中△SO 1E 1∽△SOE ，得SO 1SO ＝O 1E 1OE ，即30－x 30＝310，解得x ＝21，所以该正四棱台的体积V ＝13×(62＋6×20＋202)×21＝3 892(立方尺).故选B.法二：如法一中图，记正四棱台为A 1B 1C 1D 1­ABCD .该正四棱台由正四棱锥S -ABCD 截得，O 为正方形ABCD 的中心，E 为BC 的中点，E 1为B 1C 1的中点，设截去的正四棱锥的高为x ，则由图中△SO 1E 1∽△SOE ，得SO 1SO ＝O 1E 1OE ，即x 30＝310，解得x ＝9，所以该正四棱台的体积V＝V 正四棱锥S -ABCD－V 正四棱锥S -A 1B 1C 1D 1＝13×202×30－13×62×9＝3 892(立方尺).故选B. 8.将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数g (x )的图象，则下列说法正确的是( )A.函数g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0对称B.函数g (x )的最小正周期是π2C.函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π6上单调递增D.函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π6上的最大值是1解析：选C 由题意知，函数f (x )的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1，将x ＝－π12代入g (x )得g ⎝⎛⎭⎫－π12＝－1，则g (x )的图象不关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0对称，故选项A 不正确；g (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，所以选项B 不正确；由－π2≤2x ＋π6≤π2，得－π3≤x ≤π6，所以函数g (x )的一个单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π3，π6，所以函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π6上单调递增，所以选项C 正确；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π6时，2x ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，g (x )<2×1－1＝1，所以选项D 不正确.故选C.9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为( )A.17π＋12B.12π＋12C.20π＋12D.16π＋12解析：选C 由三视图知，该几何体是一个由大半圆柱挖去一个小半圆柱得到的，两个半圆柱的底面半径分别为1和3，高均为3，所以该几何体的表面积为12×2π×3×3＋12×2π×1×3＋2×⎝⎛⎭⎫12π×32－12π×12＋2×2×3＝20π＋12.故选C. 10.函数f (x )＝x 2＋x sin x 的图象大致为( )解析：选A 由f (－x )＝(－x )2＋(－x )sin(－x )＝x 2＋x sin x ＝f (x )，知函数f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称.当x ＞0时，由f (x )＝x 2＋x sin x ，得f ′(x )＝2x ＋sin x ＋x cos x ＝x ＋sin x ＋x (1＋cos x )，令g (x )＝x ＋sin x (x ＞0)，则g ′(x )＝1＋cos x ≥0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以g (x )＞0.又x (1＋cos x )≥0恒成立，所以f ′(x )＝g (x )＋x (1＋cos x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，排除选项B 、C 、D.故选A.11.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过点(0，1)，(0，3)，且与x 轴正半轴相切，若圆C 上存在点M ，使得直线OM 与直线y ＝kx (k ＞0)关于y 轴对称，则k 的最小值为( )A.233B. 3C.2 3D.4 3解析：选D 由圆C 过点(0，1)，(0，3)知，圆心的纵坐标为1＋32＝2，又圆C 与x 轴正所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝4.因为k ＞0，所以k 取最小值时，直线y ＝－kx 与圆相切，可得2＝|3k ＋2|k 2＋1，即k 2－43k ＝0，解得k ＝43(k ＝0舍去).故选D.12.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x ＞0，e x （x ＋1），x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( )A.(1，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫－1e 2，0 C.{0}∪(1，＋∞)D.(0，1]解析：选D 当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x (x ＋2)，由f ′(x )＞0，得函数f (x )的单调递增区间为(－2，0)，由f ′(x )＜0，得函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)，且易知x ＜－1时，f (x )＜0，f (0)＝1.由以上分析，可作出分段函数f (x )的图象，如图所示.要使函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则方程f (x )－b ＝0，即f (x )＝b 有三个不同的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有三个不同的公共点，结合图象可知，实数b 的取值范围是(0，1].故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若“x ＞2”是“x ＞m ”的必要不充分条件，则m 的取值范围是________.解析：因为“x ＞2”是“x ＞m ”的必要不充分条件，所以集合{x |x ＞m }是集合{x |x ＞2}的真子集，所以m ＞2.答案：(2，＋∞)14.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若3a 5－a 1＝10，则S 13＝________.解析：法一：设等差数列的公差为d ，则由3a 5－a 1＝10，得3(a 1＋4d )－a 1＝10，整理，得a 1＋6d ＝5，所以S 13＝13a 1＋13×122d ＝13(a 1＋6d )＝13×5＝65.法二：由3a 5－a 1＝10，得2a 5＋a 5－a 1＝10，由等差数列的性质得(a 1＋a 9)＋a 5－a 1＝10，则a 5＋a 9＝10，所以2a 7＝10，即a 7＝5，所以S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13a 7＝13×5＝65.答案：6515.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos C ＝14，c ＝3，且a cos A ＝bcos B，则△ABC 的面积等于________.解析：由a cos A ＝b cos B 及正弦定理，得sin A cos A ＝sin Bcos B ，即tan A ＝tan B ，所以A ＝B ，即a ＝b .由cos C ＝14且c ＝3，结合余弦定理a 2＋b 2－2ab cos C ＝c 2，得a ＝b ＝6，又sin C ＝1－cos 2C＝154，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝3154. 答案：315416.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆C 上一点，且∠F 1PF 2＝π3，若F 1关于∠F 1PF 2的平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为________.解析：法一：如图，设点F 1关于∠F 1PF 2的平分线的对称点为Q ，则根据椭圆的对称性和角平分线的性质知，P ，F 2，Q 三点共线，且|PF 1|＝|PQ |.又∠F 1PF 2＝π3，所以△PF 1Q 为正三角形.设|PF 1|＝|PQ |＝x ，则由椭圆的定义知|PF 2|＝2a －x ，所以|QF 2|＝|PQ |－|PF 2|＝2x －2a ，再由椭圆的定义知|QF 1|＝2a －(2x －2a )＝4a －2x ，则4a －2x ＝x ，即x ＝43a ，所以|PF 2|＝23a ，则在△PF 1F 2中，由余弦定理，得4c 2＝⎝⎛⎭⎫43a 2＋⎝⎛⎭⎫23a 2－2×43a ×23a cos π3，整理，得3c 2＝a 2，即c ＝33a ，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝33. 法二：如法一中图，设点F 1关于∠F 1PF 2的平分线的对称点为Q ，则根据椭圆的对称性和角平分线的性质知，P ，F 2，Q 三点共线，且|PF 1|＝|PQ |.又∠F 1PF 2＝π3，所以△PF 1Q 为正三角形.所以|F 1P |＝|F 1Q |，根据椭圆的对称性知，PQ 垂直于x 轴，且过焦点F 2，所以|F 1F 2|＝32|PQ |，即2c ＝32·2b 2a ，所以2ac ＝3b 2＝3(a 2－c 2)，即3c 2＋2ac －3a 2＝0，所以3e 2＋2e－3＝0，解得e ＝33或e ＝－3(舍去). 答案：33。

“12＋4”限时提速练(三)(满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知集合A ＝{x |lg(x －2)＜1}，集合B ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则A ∪B ＝( ) A.(2，12) B.(－1，3) C.(－1，12)D.(2，3)解析：选C 由lg(x －2)＜1＝lg 10，得0＜x －2＜10，所以2＜x ＜12，集合A ＝{x |2＜x ＜12}，由x 2－2x －3＜0得－1＜x ＜3，所以集合B ＝{x |－1＜x ＜3}，所以A ∪B ＝{x |－1＜x ＜12}.故选C.2.已知i 是虚数单位，若z ＋1i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 020，则|z |＝( ) A.1 B. 2 C.2D. 5解析：选B 1i ＝－i i （－i ）＝－i ，1－i 1＋i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＝－2i 2＝－i ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 020＝(－i)2 020＝i2 020＝i505×4＝i 4＝1，所以由z ＋1i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 020，得z －i ＝1，z ＝1＋i ，所以|z |＝ 2.故选B.3.在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 6a 5＝2，则公差d 的值是( ) A.－13B.13C.－14D.14解析：选A 法一：由a 6a 5＝2，得a 6＝2a 5，所以a 1＋5d ＝2(a 1＋4d )，又a 1＝1，所以d ＝－13.故选A. 法二：由a 6－a 5＝d ，a 6a 5＝2，得a 5＝d ，又a 5＝a 1＋4d ，所以d ＝a 1＋4d ，又a 1＝1，所以d ＝－13.故选A.4.已知函数f (x )＝2x(x ＜0)，其值域为D ，在区间(－1，2)上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是( )A.12B.13C.14D.23解析：选B 因为函数y ＝2x是R 上的增函数，由x ＜0得0＜2x＜1，所以函数f (x )的值域是(0，1)，由几何概型的概率公式得，所求概率P ＝1－02－（－1）＝13.故选B.5.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L 汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1 L 汽油，乙车最多可行驶5 kmB.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80 km/h 的速度行驶1 h ，消耗8 L 汽油D.某城市机动车最高限速80 km/h ，相同条件下，在该市用乙车比用丙车更省油 解析：选C 从题图可知消耗1 L 汽油，乙车最多可行驶的里程超过了5 km ，故选项A 错误；以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车燃油效率最高，甲车消耗汽油最少，故选项B 错误；若甲车以80 km/h 的速度行驶，由题图可知“燃油效率”为10 km/L ，所以行驶1 h ，消耗8 L 汽油，所以选项C 正确；若某城市机动车最高限速80 km/h ，从题图可知，丙车比乙车“燃油效率”高，所以在相同条件下，丙车比乙车省油，选项D 错误.故选C.6.已知圆C 的圆心在坐标轴上，且经过点(6，0)及椭圆x 216＋y 24＝1的两个顶点，则该圆的标准方程为( )A.(x －2)2＋y 2＝16 B.x 2＋(y －6)2＝72 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －832＋y 2＝1009D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋832＋y 2＝1009解析：选C 由题意得圆C 经过点(0，±2)， 设圆C 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2， 由a 2＋4＝r 2，(6－a )2＝r 2， 解得a ＝83，r 2＝1009，所以该圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －832＋y 2＝1009.故选C.7.如图1，在三棱锥D ­ABC 中，已知AC ＝BC ＝CD ＝2，CD ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°.若其正视图、俯视图如图2所示，则其侧视图的面积为( )A. 6B.2C. 3D. 2解析：选D 由题意知侧视图为直角三角形，因为正视图的高即几何体的高，所以正视图的高为2，则侧视图的高，即一直角边长也为2.因为俯视图为边长为2的等腰直角三角形，所以侧视图的另一直角边长为 2.所以侧视图的面积为 2.故选D.8.已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，g （x ），x ＜0是偶函数，f (x )＝log a x 的图象过点(2，1)，则y ＝g (x )在(－∞，0)上对应的大致图象是( )解析：选B 因为f (x )＝log a x 的图象过点(2，1)，且恒过点(1，0)，且y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，g （x ），x ＜0是偶函数，所以y ＝g (x )在(－∞，0)上对应的图象和f (x )＝log a x 的图象关于y 轴对称，所以y ＝g (x )的图象过点(－2，1)和(－1，0).观察图象只有选项B 满足题意.9.已知点A (0，2)，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( )A.18B.14C.2D.4解析：选C 过点M 向准线作垂线，垂足为P ，由抛物线的定义可知，|MF |＝|MP |，因为|FM ||MN |＝55，所以|MP ||MN |＝55，所以sin ∠MNP ＝55，则tan ∠MNP ＝12，又∠OFA ＋∠MNP ＝90°(O 为坐标原点)，所以tan ∠OFA ＝2＝212p ，则p ＝2.故选C.10.定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”.若已知正项数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n ＋1，又b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝( ) A.111 B.112 C.1011D.1112解析：选C 依题意有na 1＋a 2＋…＋a n＝12n ＋1， 即前n 项和S n ＝n (2n ＋1)＝2n 2＋n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1，a 1＝3满足该式. 则a n ＝4n －1，b n ＝a n ＋14＝n .因为1b n b n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝1011.故选C. 11.如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB ⊥底面ABCD ，O为对角线AC 与BD 的交点.若PB ＝1，∠APB ＝π3，则三棱锥P ­BCO 的外接球的表面积是( )A.2πB.4πC.6πD.8π解析：选B ∵底面ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，又PB ⊥底面ABCD ，∴AC ⊥PB ，∴AC ⊥平面PBD ，∴AC ⊥PO ，即∠POC ＝π2.取PC 的中点M ，连接BM ，OM (图略).在Rt △PBC 中，MB ＝MC ＝MP ＝12PC ，在Rt △POC 中，MO ＝12PC ，则三棱锥P ­BCO 的外接球的球心为M ，半径为12PC .在Rt△PAB 中，PB ＝1，∠APB ＝π3，∴BC ＝AB ＝3，∴PC ＝2，则三棱锥P ­BCO 的外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π.故选B.12.若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，112∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23 解析：选B 法一：当f (x )取得最值时，ωx ＋π6＝k π＋π2，x ＝k ωπ＋π3ω，k ∈Z ，依题意，得x ＝k ωπ＋π3ω∉(π，2π)，因为当ω＝16时，x ＝(2＋6k )π∉(π，2π)恒成立，k ∈Z ，排除A 、C 、D.故选B.法二：因为ω＞0，π＜x ＜2π，所以ωπ＋π6＜ωx ＋π6＜2ωπ＋π6，又函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在区间(π，2π)内没有最值，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在区间(π，2π)上单调，所以2ωπ＋π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ＋π6＝ωπ＜π，0＜ω＜1，则π6＜ωπ＋π6＜7π6.当π6＜ωπ＋π6＜π2时，则2ωπ＋π6≤π2，所以0＜ω≤16； 当π2≤ωπ＋π6＜7π6时，则2ωπ＋π6≤3π2，所以13≤ω≤23.故选B. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若函数f (x )＝x 2＋axx3是奇函数，则常数a ＝______.解析：函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则由f (x )＋f (－x )＝0，得x 2＋ax x 3＋x 2－ax－x3＝0，即ax ＝0，则a ＝0. 答案：014.如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为________.解析：开始，x ＝1，y ＝1，第一次循环，z ＝x ＋y ＝2，x ＝1，y ＝2；第二次循环，z ＝x ＋y ＝3，x ＝2，y ＝3；第三次循环，z ＝x ＋y ＝5，x ＝3，y ＝5；第四次循环，z ＝x ＋y ＝8，x ＝5，y ＝8；第五次循环，z ＝x ＋y ＝13，x ＝8，y ＝13；第六次循环，z ＝x ＋y ＝21，不满足条件z ＜20，退出循环.输出y x ＝138，故输出的结果为138.答案：13815.(2019·贵州黔东南一模改编)已知sin α＋3cos α＝－10，则tan 2α＝________，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.解析：∵(sin α＋3cos α)2＝sin 2α＋6sin αcos α＋9cos 2α＝10(sin 2α＋cos 2α)，∴9sin 2α－6sin αcos α＋cos 2α＝0，则(3tan α－1)2＝0，即tan α＝13.∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13＋11－13＝2. 答案：34216.已知a ＞1，若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1e ，x ≤－1，a x －x ln a ，x ＞－1在(－∞，0)上单调递减，则实数a 的取值范围是________.解析：由已知条件得1a ＋ln a ≤1＋1e ，令g (x )＝1x＋ln x (x ＞1)，则g ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2＞0，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (a )＝1a ＋ln a ≤1＋1e ＝g (e)，所以1＜a ≤e.经验证，满足题意. 答案：(1，e]。

热门 (四 ) 数列中的奇偶分类和最值1． (偶数项 ) 已知等差数列 { a } 的前 9 项和为 27，a ＝8，则 a＝ ()n10100A ．100B ．99C ．98D ． 97 答案： C分析： 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，因为 { a n } 为等差数列，且 S 9＝9a 5＝ 27，所以 a 5＝ 3. 又 a ＝ 8，所以 5d ＝ a － a ＝ 5，所以 d ＝ 1，所以 a ＝ a ＋ 95d ＝ 98，应选 C.1010 5 100 52．(项数的最值 ) 已知 S是等差数列 { a } 的前 n 项和， a ＝ 2，a ＋ a ＝ a ，若 S >32，则nn1 1 4 5 nn 的最小值为 ( )A ．3B ．4C ．5D ． 6答案： D分析： 由 a 1＝1 45，可得公差 5 662 且 a ＋ a＝ad ＝ 2，所以 S ＝ 30， S ＝ 42，即 S >32，应选D.3．(奇数项和 )已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，a 1＝ 1，当 n ≥2 时，a n ＋ 2S n － 1＝n ，则 S 2 017的值为()A ．2 017B ．2 016C ．1 009D ．1 007答案： C分析： 因为 a nn －1＝ n ，n ≥ 2，所以 a n ＋ 1n*，两式相减得 a n ＋ 1n＋ 2S ＋ 2S ＝n ＋ 1，n ∈ N＋ a＝ 1， n ≥ 2.又 a 1＝ 1，所以 S 2 017＝a 1＋( a 2＋ a 3 )＋ ＋ (a 2 016＋ 22 017)＝ 1 009，应选 C.4． (项数的最值问题 )设 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和，若a 8<0，且 a 9 >|a 8 |，则使 S n >0建立的最小正整数 n 为 ()A ．15B ．16C ．17D ． 18 答案： B分析： 因为 a 8<0 ，且 a 9 >|a 8 |，所以此等差数列从第一项到第八项都是负数，从第九项开始是正数，因为 a 89710 1 16 8 9 8 n建立的最小正＋ a ＝ a ＋ a ＝ ＝ a ＋ a ，a ＋ a >0 ，a <0 ，所以使 S >0整数 n ＝ 16，应选 B.5．(数列中奇偶分类问题 )已知数列 { b n } 知足 b 1＝2n π n π1，b 2＝ 4，b n ＋ 2＝ 1＋ sin 2 b n ＋ cos 2，23 项的和为 ( )2则该数列的前A ．4 194B ．4 195C ．2 046D ．2 047 答案： A分析： b 1 2n ＋22n π 2n π＝ 1＋ sinn2，＝1， b ＝ 4， b 2 b ＋ cos当 n 为奇数时， b n ＋2＝ 2b n ，数列为以 2 为公比的等比数列，当 n 为偶数时， b n ＋2＝ b n ＋ 1，数列为以 1 为公差的等差数列，∴前 23 项和 S 23132324221－ 21211× 11－1＋ 11× 4＋＝( b ＋b ＋ ＋ b ) ＋(b ＋ b ＋ ＋ b )＝1－ 22×1＝ 212－ 1＋ 44＋55＝ 4 194，应选 A. 6． (奇数项和 )已知等差数列 nn≠ 0，若 n ≥2 且 an －1n ＋ 122n －1n{ a } 中， a ＋ a－ a ＝0， S＝ 38，则 n 等于 ________．答案： 10分析： ∵ { a n } 是等差数列， ∴2a n ＝ a n －1 ＋ a n ＋1，又 ∵a n － 1＋ a n ＋12＝0，∴ 2a2－a n n － a n ＝ 0， 即 a n (2 －a n )＝0.∵ a n ≠ 0，∴ a n ＝ 2，∴ S 2n － 1＝ (2n － 1)a n ＝ 2(2n － 1)＝ 38，解得 n ＝ 10.7．(范围问题 )在等差数列 { a } 中， a ＝ 7，公差为 d ，前 n 项和为 S ，当且仅当 n ＝8 时，n1nS n 获得最大值，则 d 的取值范围为 ________．答案： － 1，－78d<0 ，d<0 ，分析： 由题意可得8即7＋ 7d>0 ，解得－ 1<d<－7a >0，8.a <0，7＋ 8d<0，98． (奇偶项和 )一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为 1，且中间两项的和为 24，则等比数列的项数为 ________．答案： 8分析： 由题意可知公比 q ＝ 2，设该数列为 a 1， a 2 ，a 3， ， a 2n ，则 a n ＋ a n ＋1＝24，又 a 1＝1， ∴ qn －1＋q n ＝ 24，即 2n －1＋ 2n ＝ 24，解得 n ＝ 4， ∴等比数列的项数为8.9． (和的最值问题 )已知数列 { a n } 知足 2a n ＋ 1＝a n ＋a n ＋ 2(n ∈ N * )，前 n 项和为 S n ，且 a 3＝110， S 6＝ 72，若 b n ＝ 2a n － 30，设数列 { b n } 的前 n 项和为 T n ，求 T n 的最小值．分析： ∵ 2a n ＋1 n n ＋2 n ＋1 n ＝ a n ＋ 2 n ＋ 1 n＝ a ＋ a ， ∴ a －a － a ，故数列 { a } 为等差数列．设数列a ＋ 2d ＝ 10，1{ a n } 的公差为 d ，由 a 3＝ 10，S 6 ＝72 得6a 1 ＋15d ＝ 72， 解得 a 1＝ 2，d ＝ 4.故 a n ＝ 4n － 2，b ≤ 0，2n － 31≤ 0，1n29≤ n ≤31则 b n ＝ 2a n － 30＝ 2n － 31，令则 解得 22，b n ＋1≥ 0， 2n ＋ 2－ 31≥0，∵ n ∈N * ， ∴ n ＝ 15，即数列 { b n } 的前 15 项均为负值， ∴ T 15 最小．∵ 数列 { b n } 的首项为－ 29，公差为 2， ∴T 15＝－ 29× 15＋15× 14× 2＝－225， 2 ∴ T n 的最小值为－ 225.10． [2019 湖·南省联考 ]设 S n 是数列 { a n } 的前 n 项和， a 1＝ 1， 2S n ＝ 5－ 3a n ＋1.(1)求数列 { a n } 的通项公式；n1(2)设 b n ＝ (－ 1) log 3a n ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n .分析： (1)当 n ＝ 1 时， 2S 1＝ 5－ 3a 2＝ 2a 1＝2，求得 a 1＝ a 2＝ 1.当 n ≥2 时， 2S n ＝ 5－ 3a n ＋ 1， 2S n －1＝ 5－ 3a n ，则 2S n － 2S n － 1＝ (5－3a n ＋1)－ (5－ 3a n )，a n ＋1 1整理得 2a n ＝ 3a n － 3a n ＋1，即 a n ＝3，1可知数列 { a n} 从第 2 项起为等比数列，且a2＝ 1，公比为3，1 n即当 n≥ 2 时， a n＝－ 23 .易知 a1＝1 不知足上式，所以数列 { a n} 的通项公式为1，n＝ 1，a n＝1 n－2*.3 ， n≥ 2，n∈ N0， n＝1，(2)由 (1) 得 b n＝－1 n n－ 2 ， n≥ 2，n∈ N*，则当 n≥ 2 时， T n＝ 0＋ 0－ 1＋ 2－ 3＋ 4－＋(－1)n(n－2)．n－ 2 当 n 为偶数时， T n＝ (－1＋ 2)＋ (－ 3＋4)＋＋ [－ (n－ 3)＋ (n－2)] ＝2；n－ 3 1－ n当 n 为奇数时， T n＝2－( n－ 2)＝2，且当 n＝1 时，知足该式．1－ n综上可得，数列 { b n2， n为奇数，n ＝} 的前 n 项和 Tn－ 22，n为偶数.。

姓名，年级：时间：专题突破练15专题四数列过关检测一、选择题1.(多选题)已知数列｛a n}是等比数列,那么下列数列一定是等比数列的是（)A.{1a n} B.{log2(a n)2｝C.｛a n+a n+1}D.{a n+a n+1+a n+2｝2.设等比数列{a n｝的前n项和为S n，S2=-1,S4=-5，则S6=()A。

-9 B。

-21 C.-25 D.-633.（2019辽宁朝阳重点高中高三第四次模拟）在等比数列｛a n｝中,a1a2=1，a3a6=9,则a2a4=（）A.3 B。

±3 C。

√3 D.±√34。

数列{a n}的首项a1=1，对于任意m,n∈N＊，有a n+m=a n+3m，则｛a n}前5项和S5=（）A.121B.25C.31 D。

355。

(2019山东潍坊高三5月三模）已知等差数列{a n｝的公差和首项都不为零，且a 2,a4,a8成等比数列,则a1+a3a2+a4=（)A.13B.23C.53D。

26.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若S m—1=-2，S m=0,S m+1=3,则m=（）A。

3 B。

4 C。

5 D。

67。

（2019山东省实验中学等四校高三联合考试）已知等差数列{a n｝的公差不为零，S n为其前n项和,S3=9,且a2-1,a3-1,a5—1构成等比数列,则S5=（)A。

15 B.-15 C.30 D.258.(多选题）已知数列{a n｝是公差不为0的等差数列，前n项和为S n，满足a 1+5a3=S8,下列选项正确的有（）A.a10=0B.S7=S12C。

S10最小 D.S20=09.（2019北京通州区三模）三国时期著名的数学家刘徽对推导特殊数列的求和公式很感兴趣,创造并发展了许多算法,展现了其聪明才智。

他在《九章算术》“盈不足”一章的第19题的注文中给出了一个特殊数列的求和公式.这个题的大意是：一匹良马和一匹驽马由长安出发至齐地，长安与齐地相距3 000里（1里=500米），良马第一天走193里，以后每天比前一天多走13里.驽马第一天走97里，以后每天比前一天少走半里.良马先到齐地后,马上返回长安迎驽马,问两匹马在第几天相遇(）A.14天B。

仿真模拟卷四本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∪B ＝( ) A ．[0，＋∞)B ．[1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32答案 B解析 因为B ＝{x |2x －3>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32，A ＝{x |x ≥1}，所以A ∪B ＝[1，＋∞)．2．已知复数z 满足(1－i)z ＝2i(i 为虚数单位)，则z －＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1＋i D ．1－i答案 A解析 由(1－i)z ＝2i ，得z ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，∴z －＝－1－i.3．设a ，b 是空间两条直线，则“a ，b 不平行”是“a ，b 是异面直线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由a ，b 是异面直线⇒a ，b 不平行．反之，若直线a ，b 不平行，也可能相交，不一定是异面直线．所以“a ，b 不平行”是“a ，b 是异面直线”的必要不充分条件．4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.1答案 A解析 两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，令m 2＝－1.45，m 1＝－26.7，则lg E 1E 2＝25(m 2－m 1)＝25×(－1.45＋26.7)＝10.1，从而E 1E 2＝1010.1. 5．执行如图所示的程序框图，若输出结果为1，则可输入的实数x 的值的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 根据题意，该框图的含义是：当x ≤2时，得到函数y ＝x 2－1；当x >2时，得到函数y ＝log 2x ， 因此，若输出的结果为1时，若x ≤2，得到x 2－1＝1，解得x ＝±2， 若x >2，得到log 2x ＝1，无解，因此，可输入的实数x 的值可能为－2，2，共有2个．6．安排A ，B ，C ，D ，E ，F ，共6名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有( )A ．30种B ．40种C ．42种D ．48种 答案 C解析 6名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有C 26C 24＝90种安排方法，其中A 照顾老人甲的情况有C 15C 24＝30种，B 照顾老人乙的情况有C 15C 24＝30种，A 照顾老人甲，同时B 照顾老人乙的情况有C 14C 13＝12种，所以符合题意的安排方法有90－30－30＋12＝42种．7．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，则AE →·EC →＝( )A.725 B.14425 C.125 D.1225答案 B解析 如图，由AB ＝3，AD ＝4，得BD ＝9＋16＝5， AE ＝AB ·AD BD ＝125.又AE →·EC →＝AE →·(EO →＋OC →)＝AE →·EO →＋AE →·OC →＝AE →·EO →＋AE →·AO →， ∵AE ⊥BD ，∴AE →·EO →＝0，又AE →·AO →＝|AE →||AO →|·cos∠EAO ＝|AE →||AO →|·|AE →||AO →|＝|AE →|2＝14425，∴AE →·EC →＝14425.8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为()A ．8＋π2＋7B ．8＋3π2＋7C ．6＋3π2＋ 3D ．6＋π2＋ 3答案 B解析 由三视图可知，该几何体是由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，如图所示，其中圆锥的底面半径为1，高为3，母线长为2，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为3，取BC 的中点N ，连接MN ，PN ，则该几何体的表面积为S ＝12π×1×2＋12×π×12＋2×2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2＋12×2×3＋4＝3π2＋8＋7.9．若函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝x e x ＋e －xB ．f (x )＝xe x －e －xC ．f (x )＝e x＋e－xxD ．f (x )＝e x －e －xx答案 C解析 当x →0时，f (x )→±∞，而A 中的f (x )→0，排除A ；当x ＜0时，f (x )＜0，而B 中x ＜0时，f (x )＝xe x－e－x>0，D 中，f (x )＝e x －e－xx>0，排除B ，D. 10．已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[－1,4) C ．[－1，＋∞) D ．[－1,6]答案 C解析 不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，等价于a ≥y x－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，令t ＝y x，则1≤t ≤3，∴a ≥t －2t 2在[1,3]上恒成立，∵y ＝－2t2＋t ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋18，∴t ＝1时，y max ＝－1，∴a ≥－1，故a 的取值范围是[－1，＋∞)．11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，e 为双曲线的离心率，P 是双曲线右支上的点，△PF 1F 2的内切圆的圆心为I ，过F 2作直线PI 的垂线，垂足为B ，则|OB |等于( )A ．aB ．bC ．eaD ．eb 答案 A解析 如图，延长F 2B 交PF 1于点C ，在△PCF 2中，由题意，得它是一个等腰三角形，|PC |＝|PF 2|，B 为CF 2的中点，∴在△F 1CF 2中，有|OB |＝12|CF 1|＝12(|PF 1|－|PC |)＝12(|PF 1|－|PF 2|)＝12×2a ＝a .12．设min{m ，n }表示m ，n 二者中较小的一个，已知函数f (x )＝x 2＋8x ＋14，g (x )＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，log 2(4x )(x >0)．若∀x 1∈[－5，a ](a ≥－4)，∃x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则a 的最大值为( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．0 答案 C解析 由题意得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4x )，0<x <1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，x ≥1，则g (x )max ＝g (1)＝2.在同一坐标系作出函数f (x )(－5≤x ≤a )和g (x )(x >0)的图象，如图所示．由f (x )＝2，得x ＝－6或－2，∵∀x 1∈[－5，a ]， ∃x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立， ∴－4≤a ≤－2，∴a 的最大值为－2.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，x ＋2y －1≥0，y ≤3，则点P 到原点O 的最大距离为________．答案34解析 画出⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，x ＋2y －1≥0，y ≤3表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x ＋2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝3，由图得，当点P 的坐标为(－5,3)时，点P 到原点的距离最大，且最大值为25＋9＝34.14．函数f (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋sin x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－sin x 的最小正周期为________，最大值为________．答案 π 12解析 f (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋sin x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－sin x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos2x ＋32sin2x ＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，最大值为12.15．从4男2女共6名学生中选出队长1人、副队长1人、普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)答案 168解析 第一类，先选1女3男，有C 34C 12＝8(种)，从这4人中选2人作为队长和副队长有A 24＝12(种)，故有8×12＝96(种)；第二类，先选2女2男，有C 24C 22＝6(种)，从这4人中选2人作为队长和副队长有A 24＝12(种)，故有6×12＝72(种)，根据分类加法计数原理共有96＋72＝168(种)．16．如图，在△ABC 中，sin ∠ABC 2＝33，点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC ，BD ＝433，则△ABC 的面积的最大值为________．答案 3 2解析 由sin ∠ABC 2＝33，可得cos ∠ABC 2＝63，则sin ∠ABC ＝2sin ∠ABC 2cos ∠ABC 2＝223.由sin ∠ABC 2＝33<22可知，0°<∠ABC2<45°，则0°<∠ABC <90°，由同角三角函数基本关系可知，cos ∠ABC ＝13.设AB ＝x ，BC ＝y ，AC ＝3z (x >0，y >0，z >0)，在△ABD 中，由余弦定理可得， cos ∠BDA ＝163＋(2z )2－x 22×433×2z，在△CBD 中，由余弦定理可得，cos ∠BDC ＝163＋z 2－y 22×433×z，由∠BDA ＋∠BDC ＝180°， 故cos ∠BDA ＝－cos ∠BDC ， 即163＋(2z )2－x 22×433×2z ＝－163＋z 2－y 22×433×z，整理可得16＋6z 2－x 2－2y 2＝0. ① 在△ABC 中，由余弦定理可知，x 2＋y 2－2xy ×13＝(3z )2，则6z 2＝23x 2＋23y 2－49xy ，代入①式整理计算可得，13x 2＋43y 2＋49xy ＝16，由基本不等式可得， 16≥213x 2×43y 2＋49xy ＝169xy ， 故xy ≤9，当且仅当x ＝32，y ＝322时等号成立，据此可知，△ABC 面积的最大值为S max ＝12(AB ·BC )max ·sin∠ABC ＝12×9×223＝3 2.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足：a n ≠1，a n ＋1＝2－1a n(n ∈N *)，数列{b n }中，b n＝1a n －1，且b 1，b 2，b 4成等比数列． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)若S n 是数列{b n }的前n 项和，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和T n .解 (1)证明：b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1，∴数列{b n }是公差为1的等差数列．(2)由题意可得b 22＝b 1b 4，即(b 1＋1)2＝b 1(b 1＋3)，∴b 1＝1，∴b n ＝n ， ∴S n ＝n (n ＋1)2，∴1S n＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，T n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2×⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 18．(本小题满分12分)《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼．“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成，成员上至古稀老人，下至垂髫小儿，人数按照年龄分组统计如下表：(1)用分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数；(2)在(1)中抽出的6人中，任选2人参加一对一的对抗比赛，求这2人来自同一年龄组的概率．解 (1)∵样本容量与总体个数的比是6108＝118，∴样本中包含3个年龄段的个体数，分别是： 年龄在[7,20)的人数为118×18＝1，年龄在[20,40)的人数为118×54＝3，年龄在[40,80]的人数为118×36＝2，∴从这三个不同年龄组[7,20)，[20,40)，[40,80]中分别抽取的挑战者的人数为1,3,2. (2)用分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，这三个不同年龄组[7,20)，[20,40)，[40,80]中分别抽取的挑战者的人数为1,3,2.从抽出的6人中，任选2人参加一对一的对抗比赛，基本事件总数为n ＝C 26＝15，这2人来自同一年龄组包含的基本事件个数为m ＝C 23＋C 22＝4，∴这2人来自同一年龄组的概率P ＝m n ＝415.19．(本小题满分12分)如图，在各棱长均为2的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为棱A 1B 1与BB 1的中点，M ，N 为线段C 1D 上的动点，其中，M 更靠近D ，且MN ＝C 1N .(1)证明：A 1E ⊥平面AC 1D ；(2)若NE 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为1020，求异面直线BM 与NE 所成角的余弦值． 解 (1)证明：由已知得△A 1B 1C 1为正三角形，D 为棱A 1B 1的中点， ∴C 1D ⊥A 1B 1，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面A 1B 1C 1，C 1D ⊂底面A 1B 1C 1，则AA 1⊥C 1D . 又A 1B 1∩AA 1＝A 1，A 1B 1，AA 1⊂平面ABB 1A 1， ∴C 1D ⊥平面ABB 1A 1，又A 1E ⊂平面ABB 1A 1， ∴C 1D ⊥A 1E .易证A 1E ⊥AD ，又AD ∩C 1D ＝D ，AD ，C 1D ⊂平面AC 1D ， ∴A 1E ⊥平面AC 1D .(2)取BC 的中点O ，B 1C 1的中点O 1，连接AO ，则AO ⊥BC ，OO 1⊥BC ，OO 1⊥AO ， 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则B (0,1,0)，E (0,1,1)，C 1(0，－1,2)，D ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，2， 设C 1N →＝λC 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32λ，32λ，0，则NE →＝C 1E →－C 1N →＝(0,2，－1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫32λ，32λ，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32λ，2－32λ，－1， 易知n ＝(1,0,0)是平面BCC 1B 1的一个法向量，∴|cos 〈NE →，n 〉|＝32λ3λ2－6λ＋5＝1020， 解得λ＝13，λ＝－59(舍去)．∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，32，－1，C 1M →＝2λC 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1，0，BM →＝BC 1→＋C 1M →＝⎝⎛⎭⎪⎫33，－1，2， ∴cos 〈NE →，BM →〉＝－16－32－2103× 163＝－111040，∴异面直线NE 与BM 所成角的余弦值为111040.20．(本小题满分12分)已知A ，F 分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点、右焦点，点P 为椭圆C 上一动点，当PF ⊥x 轴时，|AF |＝2|PF |.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若椭圆C 上存在点Q ，使得四边形AOPQ 是平行四边形(点P 在第一象限)，求直线AP 与OQ 的斜率之积；(3)记圆O ：x 2＋y 2＝aba 2＋b 2为椭圆C 的“关联圆”．若b ＝3，过点P 作椭圆C 的“关联圆”的两条切线，切点为M ，N ，直线MN 在x 轴和y 轴上的截距分别为m ，n ，求证：3m 2＋4n2为定值．解 (1)由PF ⊥x 轴，知x P ＝c ，代入椭圆C 的方程，得c 2a 2＋y 2Pb 2＝1，解得y P ＝±b 2a. 又|AF |＝2|PF |，所以a ＋c ＝2b 2a，所以a 2＋ac ＝2b 2，即a 2－2c 2－ac ＝0，所以2e 2＋e －1＝0， 由0<e <1，解得e ＝12.(2)因为四边形AOPQ 是平行四边形， 所以PQ ＝a 且PQ ∥x 轴，所以x P ＝a 2，代入椭圆C 的方程，解得y P ＝±32b ，因为点P 在第一象限，所以y P ＝32b ， 同理可得x Q ＝－a 2，y Q ＝32b ，所以k AP k OQ ＝3b 2a2－(－a )·3b 2－a 2＝－b 2a2， 由(1)知e ＝c a ＝12，得b 2a 2＝34，所以k AP k OQ ＝－34.(3)证明：由(1)知e ＝c a ＝12，又b ＝3，解得a ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，圆O 的方程为x 2＋y 2＝237. ①连接OM ，ON (图略)，由题意可知，OM ⊥PM ，ON ⊥PN ， 所以四边形OMPN 的外接圆是以OP 为直径的圆，设P (x 0，y 0)，则四边形OMPN 的外接圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 022＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 022＝14(x 20＋y 20)，即x 2－xx 0＋y 2－yy 0＝0. ②①－②，得直线MN 的方程为xx 0＋yy 0＝237，令y ＝0，则m ＝237x 0，令x ＝0，则n ＝237y 0.所以3m 2＋4n 2＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 203，因为点P 在椭圆C 上，所以x 204＋y 203＝1，所以3m 2＋4n2＝49(为定值)．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝x 2，a ∈R . (1)求函数f (x )的极值点；(2)若f (x )≤g (x )恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)f (x )＝ln x －ax 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a ，当a ≤0时，f ′(x )＝1x－a >0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值点； 当a >0时，令f ′(x )＝1x －a >0得0<x <1a，令f ′(x )＝1x －a <0得x >1a，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减， 所以函数f (x )有极大值点为x ＝1a，无极小值点．(2)由条件可得ln x －x 2－ax ≤0(x >0)恒成立， 则当x >0时，a ≥ln xx－x 恒成立，令h (x )＝ln x x －x (x >0)，则h ′(x )＝1－x 2－ln x x2， 令k (x )＝1－x 2－ln x (x >0)，则当x >0时，k ′(x )＝－2x －1x<0，所以k (x )在(0，＋∞)上为减函数．又k (1)＝0，所以在(0,1)上，h ′(x )>0；在(1，＋∞)上，h ′(x )<0.所以h (x )在(0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，所以h (x )max ＝h (1)＝－1，所以a ≥－1.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t ＋e －t，y ＝e t －e －t(其中t 为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，直线l的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝ 2.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标．解 (1)消去参数t ，得曲线C 的直角坐标方程x 2－y 2＝4(x ≥2)． 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2－y 2＝4，得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4. 所以曲线C 的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4<θ<π4.(2)将l 与C 的极坐标方程联立，消去ρ得4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝2cos2θ.展开得3cos 2θ－23sin θcos θ＋sin 2θ＝2(cos 2θ－sin 2θ)． 因为cos θ≠0，所以3tan 2θ－23tan θ＋1＝0. 于是方程的解为tan θ＝33，即θ＝π6. 代入ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－θ＝2，得ρ＝22，所以点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π6. 23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4.(1)要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求证：x 2＋2y 2≥323，并指出等号成立的条件．解 (1)因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4，所以x 4＋y4＝1.由基本不等式，得1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋y 4＝12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ≥12＋12 y x ·xy＝1， 当且仅当x ＝y ＝2时取等号．要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，只需不等式|a ＋2|－|a －1|≤1成立即可． 构造函数f (a )＝|a ＋2|－|a －1|， 则等价于解不等式f (a )≤1.因为f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，a ≤－2，2a ＋1，－2<a <1，3，a ≥1，所以解不等式f (a )≤1，得a ≤0. 所以实数a 的取值范围为(－∞，0]．(2)证明：因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4，所以y ＝4－x (0<x <4)，于是x 2＋2y 2＝x 2＋2(4－x )2＝3x 2－16x ＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －832＋323≥323，当x ＝83，y ＝43时等号成立．。

“12＋4"限时提速练(五）(满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分）1。

已知复数z满足(3＋4i）z＝7＋i，则z＝（)A。

1＋i B。

1－iC。

－1－i D。

－1＋i解析：选B 法一：依题意得z＝错误!＝错误!＝1－i。

故选B.法二：设z＝a＋b i(a,b∈R),因为（3＋4i）z＝7＋i，所以(3＋4i)（a＋b i）＝7＋i，所以3a－4b＋(3b＋4a）i＝7＋i，由复数相等得错误!解得错误!所以z＝1－i。

故选B.2。

已知集合A＝｛x｜x2－4|x｜≤0｝,B＝｛x｜x>0}，则A∩B＝（）A.(0，4]B.[0，4]C.[0，2］D。

(0，2]解析:选A 由x2－4｜x｜≤0得0≤｜x｜≤4，所以－4≤x≤4，即A＝[－4，4]，因为B ＝(0，＋∞)，所以A∩B＝(0，4］.故选A。

3。

已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝12，S5＝90，则等差数列｛a n}的公差d＝( )A.2 B。

错误!C。

3 D。

4解析：选C 法一：依题意，5×12＋错误!d＝90,解得d＝3.故选C.法二：因为等差数列{a n｝中，S5＝90,所以5a3＝90，即a3＝18，因为a1＝12,所以2d＝a3－a1＝18－12＝6，所以d＝3.故选C.4。

设向量a＝(1，－2），b＝（0，1），向量λa＋b与向量a＋3b垂直,则实数λ＝( ）A。

12B。

1C。

－1 D。

－错误!解析：选B 法一：因为a＝（1，－2），b＝(0,1）,所以λa＋b＝(λ，－2λ＋1），a ＋3b＝（1，1)，由已知得(λ，－2λ＋1)·(1，1）＝0,所以λ－2λ＋1＝0，解得λ＝1.故选B.法二：因为向量λa＋b与向量a＋3b垂直,所以（λa＋b)·(a＋3b）＝0，所以λ|a|2＋（3λ＋1)a·b＋3｜b｜2＝0,因为a＝(1,－2）,b＝(0，1)，所以|a｜2＝5，|b|2＝1，a·b＝－2，所以5λ－2（3λ＋1）＋3×1＝0，解得λ＝1。