2020年浙江新高考数学二轮复习专题强化练：专题一1第1讲集合、常用逻辑用语

专题强化训练[根底达标]1．集合＞0在R上恒成立〞的一个必要不充分条件是A．m＞错误!B．0＜m＜1C．m＞0 D．m＞1解析：2－＋m＞0在R上恒成立，那么Δ＝－12－4m＜0，解得m＞错误!，因此当不等式2－＋m＞0在R 上恒成立时，必有m＞0，但当m＞0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m ＞0，应选C7．设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，那么“q0，a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－21＋q．假设q1，那么2>1〞的否命题B．命题“假设>，那么>||〞的逆命题C．命题“假设＝1，那么2＋－2＝0〞的否命题D．命题“假设tan ＝错误!，那么＝错误!〞的逆否命题解析：，命题“假设>1，那么2>1〞的否命题为“假设≤1，那么2≤1〞，易知当＝－2时，2＝4>1，应选项A为假命题；对于选项B，命题“假设>，那么>||〞的逆命题为“假设>||，那么>〞，分析可知选项B为真命题；对于选项C，命题“假设＝1，那么2＋－2＝0〞的否命题为“假设≠1，那么2＋－2≠0〞，易知当＝－2时，2＋－2＝0，应选项C为假命题；对于选项D，命题“假设tan ＝错误!，那么＝错误!〞的逆否命题为“假设≠错误!，那么tan ≠错误!〞，易知当＝错误!时，tan ＝错误!，应选项D为假命题．综上可知，选B 9．2021·浙江五校联考模拟棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，以下命题不正确的选项是A．平面ACB1∥平面A1C1D，且两平面的距离为错误!B．点2－1＋m2－3m＋2i m∈A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C由题意，当m＝－1时，的实部为－12－1＝0，虚部为－12－3×－1＋2＝6，此时为纯虚数，即充分性成立；当为纯虚数时，有错误!⇒错误!⇒m＝－1，即必要性成立，应选C3．集合A＝{|＝n1－}，B＝{|2－2－3≤0}，全集U＝A∪B，那么∁U A∩B＝A．{|＜－1或≥1}B．{|1≤≤3或＜－1}C．{|≤－1或＞1}D．{|1＜≤3或≤－1}解析：＝{|＝n1－}＝{|1－＞0}＝{|＜1}，B＝{|2－2－3≤0}＝{|＋1－3≤0}＝{|－1≤≤3}，所以U＝A∪B＝{|≤3}，所以A∩B＝{|－1≤＜1}；所以∁U A∩B＝{|1≤≤3或＜－1}．应选B4．假设∈R，那么“＞1〞是“错误!＜1〞的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件解析：＞1，一定能得到错误!＜1，但当错误!＜1时，不能推出＞1如＝－1时，故“＞1〞是“错误!＜1〞的充分非必要条件．5．下面四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是A．a－1＞b B．a＋1＞bC．|a|＞|b| D．a3＞b3解析：选B“a＞b〞不能推出“a－1＞b〞，应选项A不是“a＞b〞的必要条件，不满足题意；“a＞b〞能推出“a＋1＞b〞，但“a＋1＞b〞不能推出“a＞b〞，故满足题意；“a＞b〞不能推出“|a|＞|b|〞，应选项C不是“a＞b〞的必要条件，不满足题意；“a＞b〞能推出“a3＞b3〞，且“a3＞b3〞能推出“a＞b〞，故是充要条件，不满足题意．6．2021·绍兴质检集合A＝{|＜－2或＞1}，B＝{|＞2或＜0}，那么∁R A∩B＝A．－2，0 B．[－2，0C．∅D．－2，1解析：＝{|＜－2或＞1}，所以∁R A＝{|－2≤≤1}，集合B＝{|＞2或＜0}，所以∁R A∩B＝{|－2≤＜0}＝[－2，0，应选B7．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的选项是A．假设m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，那么α，β相交B．假设m⊥α，m⊥β，n∥α，那么n∥βC．假设m⊂α，n∥α，m，n共面于β，那么m∥nD．假设m⊥α，n⊥β，α，β不平行，那么m，n为异面直线解析：选α∥β时，m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，可以成立，故A错误；⊥α，m⊥β，那么α∥β，因为n∥α，那么n∥β或n⊂β，故B错误；C利用线面平行的性质定理，可得C正确；⊥α，n⊥β，α，β不平行，那么m，n为异面直线或相交直线，故D不正确，应选C8．f＝a2＋b，其中－1≤a＜0，b＞0，那么“存在∈[0，1]，|f|＞1〞是“a＋b＞1〞的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：＝a2＋b，所以a＋b＞1⇔f1＞1因为存在∈[0，1]，|f|＞1，所以|f|ma＞1因为－1≤a＜0，b＞0，所以函数f的对称轴＝－错误!＞0计算：f0＝0，f1＝a＋b，f－错误!＝错误!＞0f1＞1，所以f－错误!＝错误!＞1，反之也成立，假设b2＞－4a，那么b＞－4a＞1－a所以“存在∈[0，1]，|f|＞1〞是“a＋b＞1〞的充要条件．9．全集U＝R，集合A＝{|＋2＜0}，B＝{|||≤1}，那么如下图的阴影局部表示的集合是A．－2，1 B．[－1，0]∪[1，2C．－2，－1∪[0，1] D．[0，1]解析：＝{|＋2＜0}，B＝{|||≤1}，所以A＝{|－2＜＜0}，B＝{|－1≤≤1}，所以A∪B＝－2，1]，A∩B＝[－1，0，所以阴影局部表示的集合为∁A∪B A∩B＝－2，－1∪[0，1]，应选C10．各项均不为零的数列{a n}，定义向量c n＝a n，a n＋1，b n＝n，n＋1，n∈N*以下命题中真命题是A．假设任意n∈N*总有c n⊥b n成立，那么数列{a n}是等比数列B．假设任意n∈N*总有c n∥b n成立，那么数列{a n}是等比数列C．假设任意n∈N*总有c n⊥b n成立，那么数列{a n}是等差数列D．假设任意n∈N*总有c n∥b n成立，那么数列{a n}是等差数列解析：选⊥b n⇒c n·b n＝na n＋n＋1a n＋1＝0，即错误!＝－错误!；所以数列{a n}既不是等比数列又不是等差数列；c n∥b n⇒n＋1a n－na n＋1＝0，即错误!＝错误!；所以错误!×错误!×…×错误!＝错误!×错误!×…×错误!＝nn≥2，即a n＝na1所以数列{a n}是等差数列．11．A＝{0，1，2}，B＝{－1，3}，记：A＋B＝{a＋b|a∈A，b∈B}，试用列举法表示A＋B＝________．解析：因为a∈A，b∈B，所以当a＝0时，a＋b＝－1或3，当a＝1时，a＋b＝0或4，当a＝2时，a＋b＝1或5，所以A＋B＝{－1，0，1，3，4，5}．答案：{－1，0，1，3，4，5}12．设集合A＝{1，2，4}，B＝{|2－4＋m＝0}，假设A∩B＝{1}，那么B＝________．解析：因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程2－4＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为2－4＋3＝0，又因它的解为＝1或＝3，所以B＝{1，3}．答案：{1，3}13．集合A＝{∈R||＋2|3－m〞是“q：2＋3－43－m}＝{|－m·－m－3>0}＝{|m＋3}，Q＝{|2＋3－41；④假设S n为数列{a n}的前n项和，那么此数列的通项公式a n＝S n－S n－1n>1．解析：命题①：由数列{a n}是等差数列，设其公差为d，那么a n－a n－1＝dn≥2ⅰ，又数列{a n}是等比数列，设其公比为q，那么a n＝qa n－1n≥2ⅱ，把ⅱ代入ⅰ得：qa n－1－a n－1＝q－1a n－1＝dn≥2，要使q－1·a n－1＝dn≥2对数列中“任意项〞都成立，那么需q－1＝d＝0，也就是q＝1，d＝0所以数列{a n}为非零常数列，故不正确；命题②：由正弦定理可把in2A＋in2B＝in2C转化为a2＋b2＝c2，由余弦定理得co C＝错误!＝0，所以三角形为直角三角形，故正确；命题③：假设A、B是锐角三角形的两内角，那么tan A>0，tan B>0，π>A＋B>错误!，那么tan A＋B＝错误!1，故正确；命题④：假设S n为数列{a n}的前n项和，那么此数列的通项公式a n＝错误!，故不正确．故正确的命题为：②③答案：②③。

专题升级训练1 集合与常用逻辑用语(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，201x B x x ⎧-⎫≤⎨⎬+⎩⎭＝，则A ∩B ＝( )．A ．(－1,2]B ．(－1,4)C ．(0,2]D ．(2,4)2．集合⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝sin n π6cos n π6，n ∈N *＝( )．A ．⎩⎨⎧⎭⎪⎫－12，0，12B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－14，0，14C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－32，0，32 D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－34，0，34 3．“a ＞1”是“1a＜1”成立的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知命题p ：∀x ∈R,2x 2－2x ＋1≤0，命题q ：∃x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2，则下列判断：①p 且q 是真命题；②p 或q 是真命题；③q 是假命题；④綈p 是真命题． 其中正确的是( )．A ．①④ B．②③ C．③④ D．②④5．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，定义集合A ×B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，则集合A ×B 中属于集合{(x ，y )|log x y ∈N }的元素个数是( )．A ．3B ．4C ．8D ．96．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，则( )． A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆Q D ．Q ⊆∁R P7．设α是空间中的一个平面，l ，m ，n 是三条不同的直线， ①若m ⊂α，n ⊂α，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α； ②若l ∥m ，m ∥n ，l ⊥α，则n ⊥α； ③若l ∥m ，m ⊥α，n ⊥α，则l ∥n ； ④若m ⊂α，n ⊥α，l ⊥n ，则l ∥m . 则上述命题中正确的是( )．A ．①② B．②③ C．②④ D．③④8．若数列{a n }满足a 2n ＋1a 2n＝p (p 为常数，n ∈N *)，则称数列{a n }为等方比数列．已知甲：{a n }是等方比数列，乙：{a n }为等比数列，则命题甲是命题乙的( )．A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)9．若M ＝{x ∈Z |13log x －1}，则集合M 的真子集的个数为__________．10．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则a 的取值范围是__________．11．一次研究性课堂上，老师给出函数f (x )＝x1＋|x |(x ∈R )，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：①函数f (x )的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12； ②若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)；③若规定f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f (f n －1(x ))，则f n (x )＝x 1＋n |x |对任意n ∈N *恒成立．你认为上述三个命题中正确的是__________．12．已知命题p ：“对于任意的实数x ，存在实数m ，使得4x －2x ＋1＋m ＝0”，且命题p 是假命题，则实数m 的取值范围为__________．三、解答题(本大题共4小题，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }，全集为实数集R .(1)求A ∪B ； (2)求(∁R A )∩B ；(3)如果A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．14．(本小题满分10分)已知p ：x ＋210－x≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＜0)，且p 是q 的必要条件，求实数m 的取值范围．15．(本小题满分12分)(1)是否存在实数p ，使“4x ＋p ＜0”是“x 2－x －2＞0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；(2)是否存在实数p ，使“4x ＋p ＜0”是“x 2－x －2＞0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围．16．(本小题满分12分)已知a ＞1，命题p ：a (x －2)＋1＞0，命题q ：(x －1)2＞a (x －2)＋1＞0.若命题p ，q 同时成立，求x 的取值范围．参考答案一、选择题1．C 解析：由题意知A ＝{x |0＜x ≤4}，B ＝{x |－1＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤2}，故选C.2．D 解析：y ＝sin n π6cos n π6＝12sin n π3，其周期为6，则n 只需取1,2,3,4,5,6即可，故选D.3．A 解析：由1a＜1得a ＞1或a ＜0，故选A.4．D 解析：由题意知p 假q 真，故②④正确，选D. 5．B 解析：由给出的定义得A ×B ＝{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)}．其中log 22＝1，log 24＝2，log 28＝3，log 44＝1，因此一共有4个元素，故选B.6．C 解析：P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}， Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y ＞0}， 故选C.7．B 解析：对于①少了m ，n 是相交直线的条件，故①错．由于平行于同一条直线的两直线平行，则直线n ∥l ，又l ⊥α，则有n ⊥α，即②正确．因为垂直于同一个平面的两直线平行，即直线n ∥m ，则有l ∥n ，即③正确．在④中直线l ，m 也可以相交或异面．故选B.8．C 解析：{a n }是等方比数列，不能推出{a n }为等比数列，例如：数列1，－1，－1,1，…是等方比数列，但不是等比数列．若{a n }为等比数列，则a n ＋1a n ＝q (q 为常数，n ∈N *)，从而a 2n ＋1a 2n＝q 2(q 2为常数，n ∈N *)，则{a n }是等方比数列，故选C.二、填空题 9．7 解析：M ＝{x ∈Z |13log x ≥－1}＝{x ∈Z |0＜x ≤3}＝{1,2,3}，集合M 中有3个元素，它有7个真子集．10．－8≤a ≤0 解析：由题意得：x 为任意的实数，都有ax 2－ax －2≤0恒成立．当a＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a ＜0，∴－8≤a ≤0.11．②③ 解析：|f (x )|＝|x |1＋|x |＜1，则f (x )的值域为(－1,1)，故①错．因为f (x )在区间(－∞，0)上是增函数，且此时－1＜f (x )＜0；在区间[0，＋∞)上也是增函数，且此时0≤f (x )＜1；则当x 1≠x 2时，若x 1，x 2同号，显然有f (x 1)≠f (x 2)，若x 1，x 2(x 1＜x 2)异号，则f (x 1)＜0，而f (x 2)≥0，也有f (x 1)≠f (x 2)，则②正确．对于③，当n ＝1时，显然有f 1(x )＝x1＋|x |成立．假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立，则有f k (x )＝x1＋k |x |，则当n ＝k ＋1时，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))＝x 1＋k |x |1＋|x |1＋k |x |＝x1＋(k ＋1)|x |，则n ＝k ＋1时结论也成立，综合知f n (x )＝x1＋n |x |，故③正确．12．m ＞1 解析：设t ＝2x ＞0，则f (t )＝－4x ＋2x ＋1＝－t 2＋2t 在区间(0,1]上为增函数，在区间[1，＋∞)上为减函数，则对于任意的实数x ，有－4x ＋2x ＋1≤1，则命题p 是真命题时，有m ＝－4x ＋2x ＋1≤1.从而命题p 是假命题时，实数m 的取值范围为m ＞1.三、解答题13．解：(1)因为A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}， 所以A ∪B ＝{x |2＜x ＜10}． (2)因为A ＝{x |3≤x ＜7}， 所以∁R A ＝{x |x ＜3或x ≥7}．所以(∁R A )∩B ＝{x |x ＜3或x ≥7}∩{x |2＜x ＜10}＝{x |2＜x ＜3或7≤x ＜10}． (3)如图，当a ＞3时，A ∩C ≠∅.14．解：由x ＋210－x≥0，得－2≤x ＜10，即p ：－2≤x ＜10；由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＜0)，得[x －(1＋m )]·[x －(1－m )]≤0， 所以1＋m ≤x ≤1－m ，即q ：1＋m ≤x ≤1－m . 又因为p 是q 的必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，1－m <10，解得m ≥－3，又m ＜0，所以实数m 的取值范围是－3≤m ＜0.15．解：(1)当x ＞2或x ＜－1时，x 2－x －2＞0.由4x ＋p ＜0，得x ＜－p 4，故－p 4≤－1时，x ＜－p4⇒x ＜－1⇒x 2－x －2＞0.∴p ≥4时，“4x ＋p ＜0”是“x 2－x －2＞0”的充分条件． (2)不存在实数p 满足题设要求．16．解：依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a (x －2)＋1>0，(x －1)2>a (x －2)＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x >2－1a ，(x －a )(x －2)>0.①若1＜a ＜2，则有⎩⎪⎨⎪⎧x >2－1a ，x >2或x <a ，而a －⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a ＝a ＋1a －2＞0，即a ＞2－1a，∴x ＞2或2－1a＜x ＜a .故此时x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫2－1a，a ∪(2，＋∞)．②若a ＝2，则x ＞32且x ≠2，此时x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪(2，＋∞)． ③若a ＞2，则有⎩⎪⎨⎪⎧x >2－1a ，x >a 或x <2⇒x ＞a 或2－1a＜x ＜2.此时x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫2－1a，2∪(a ，＋∞)．综上，当1＜a ＜2时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a ，a ∪(2，＋∞)；当a ＝2时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪(2，＋∞)；a ＞2时，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2－1a，2∪(a ，＋∞)．。

第1讲集合、常用逻辑用语集合的概念及运算[核心提炼]1．集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U；(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解；(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．[典型例题](1)(2018·高考浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁U A＝()A．∅B．{1，3}C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}(2)(2019·高考浙江卷)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，∁U A∩B＝()0，1}，则()A．{－1} B．{0，1}C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，3}(3)(2019·金华模拟)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，S＝{1，2，5}，T＝{2，3，6}，则S∩(∁U T)＝________，集合S共有________个子集．【解析】(1)因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，所以∁U A＝{2，4，5}，故选C.(2)由题意可得∁U A＝{－1，3}，则(∁U A)∩B＝{－1}．故选A.(3)集合U＝{1，2，3，4，5，6}，S ＝{1，2，5}，T ＝{2，3，6}， 所以∁U T ＝{1，4，5}， 所以S ∩(∁U T )＝{1，5}，S ＝{1，2，5}的子集的个数为23＝8. 【答案】 (1)C (2)A (3){1，5} 8集合的运算与不等式相结合问题求解策略解决此类问题的思路主要有两个：一是直接法，即先化简后运算，也就是先解不等式求出对应集合，然后利用数轴表示，从而求得集合运算的结果；二是间接法，由于此类问题多以选择题的形式进行考查，故可根据选项的差异性选取特殊元素进行验证，排除干扰项从而得到正确选项．[对点训练]1．(2019·宁波市高考模拟)已知全集U ＝A ∪B ＝{}x ∈Z |0≤x ≤6，A ∩(∁U B )＝{}1，3，5，则B ＝( )A.{}2，4，6B.{}1，3，5C.{}0，2，4，6D.{}x ∈Z |0≤x ≤6解析：选C.因为U ＝A ∪B ＝{}0，1，2，3，4，5，6， 又因为A ∩(∁U B )＝{}1，3，5， 所以B ＝{}0，2，4，6，故选C.2．(2019·温州二模)已知集合A ＝{x ||x －1|≤2}，B ＝{x |0<x ≤4}，则(∁R A )∩B ＝( ) A ．{x |0<x ≤3} B ．{x |－3≤x ≤4} C ．{x |3<x ≤4}D ．{x |－3<x ≤0}解析：选C.A ＝{x |－1≤x ≤3}，画数轴可知，(∁R A )∩B ＝{x |3<x ≤4}，故选C.3．(2019·绍兴、诸暨高考二模)已知A ＝{}x |－2≤x ≤0，B ＝{}x |x 2－x －2≤0，则A ∪B ＝__________，(∁R A )∩B ＝________．解析：A ＝{}x |－2≤x ≤0，B ＝{}x |x 2－x －2≤0＝{}x |－1≤x ≤2， ∁R A ＝{}x |x ＞0或x ＜－2，则A ∪B ＝{}x |－2≤x ≤2＝[－2，2]；(∁R A )∩B ＝{x |0＜x ≤2}＝(0，2]． 答案：[－2，2] (0，2]命题真假的判断 [核心提炼]1．四种命题的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 2．常见词语的否定在四种命题的构造中，其中否命题和逆否命题都涉及对一些词语的否定，要特别注意下表中常见词语的否定．词语 词语的否定 等于 不等于 大于 不大于(或小于等于) 小于 不小于(或大于等于)是 不是 一定是 不一定是都是 不都是(至少有一个不是)必有一个 一个也没有 任意的 某一个 且 或 或 且 至多有一个 至少有两个 至多有n 个 至少有n ＋1个 至少有一个 一个也没有 至少有n 个 至多有n －1个 所有x 成立 存在一个x 不成立存在不存在(1)(2019·诸暨市高考二模)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，则下列四个命题中，错误的是( )A ．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{S n n }是公差为d2的等差数列B ．若数列{S nn }是公差为d 的等差数列，则数列{a n }是公差为2d 的等差数列C ．若数列{a n }是等差数列，则该数列的奇数项，偶数项分别构成等差数列D ．若数列{a n }的奇数项，偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{a n }是等差数列 (2)(2019·杭州市数学期末)若l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )A ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥mB ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥αC ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥mD ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α【解析】 (1)A 项，若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列{S n n }为等差数列，且通项为S n n ＝a 1＋(n －1)d 2，即数列{S n n }是公差为d2的等差数列，故说法正确；B项，由题意得：S nn ＝a 1＋(n －1)d ，所以S n ＝na 1＋n (n －1)d ，则a n ＝S n －S n －1＝a 1＋2(n －1)d ，即数列{a n }是公差为2d 的等差数列，故说法正确；C 项，若数列{a n }是等差数列的公差为d ，则数列的奇数项，偶数项都是公差为2d 的等差数列，说法正确；D 项，若数列{a n }的奇数项，偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{a n }不一定是等差数列，例如：{1，4，3，6，5，8，7}，说法错误．故选D.(2)A 项，若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 或相交或为异面直线，因此不正确；B 项，若l ⊥m ，m ⊂α，则l 与α相交或平行或在平面内，因此不正确；C 项，若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m 或为异面直线，因此不正确；D 项，若l ⊥α，l ∥m ，则由线面垂直的性质定理与判定定理可得：m ⊥α，正确．故选D.【答案】 (1)D (2)D命题真假的判定方法一般命题p 的真假由涉及的相关知识辨别．判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是将命题简化，对等价的简化命题进行判断，要判断一个命题是假命题，只需举出反例．[对点训练]1．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足“当f (k )≥k 2成立时，总可以推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么下列命题总成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立C ．若f (7)>49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立解析：选D.因为f (k )≥k 2成立时f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立，当k ＝4时，f (4)＝25≥16＝42成立，所以当k ≥4时，有f (k )≥k 2成立．2．(2019·浙江新高考数学冲刺)给出下列命题：①函数f (x )＝sin(x 2＋π6)的图象关于x ＝π对称的图象的函数解析式为y ＝sin(x 2－π6)；②函数f (x )＝x －1＋1x在定义域上是增函数；③函数f (x )＝|log 2x |－(12)x 在(0，＋∞)上恰有两个零点x 1，x 2，且x 1x 2＜1.其中真命题的个数有( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D.①由f (x )＝sin(x 2＋π6)，设其图象关于x ＝π对称的图象的函数解析式为y ＝g (x )，设g (x )上一点(x ，y )，它关于x ＝π的对称点是(2π－x ，y )，这个对称点必然在f (x )上， 所以y ＝sin(2π－x 2＋π6)＝sin(x 2－π6)，故①正确；②函数f (x )＝x －1＋1x ＝(x －1)12＋1x的定义域为[1，＋∞)，且f ′(x )＝12(x －1)－12－1x 2＝12x －1－1x2，因为(x －2)2≥0，所以x 2≥4x －4，即x ≥2x －1，又当x ≥1时，x 2≥x ，所以x 2≥2x －1，所以f ′(x )＝12(x －1)－12－1x 2＝12x －1－1x2≥0，函数f (x )＝x －1＋1x在定义域上是增函数，故②正确；③画出函数g (x )＝|log 2x |－(12)x 在(0，＋∞)的图象：上恰有两个零点x 1，x 2. 不妨设x 1＜x 2，则0＜x 1＜1＜x 2. －log 2x 1＝(12)x 1，log 2x 2＝(12)x 2.所以log 2(x 1x 2)＝(12)x 2－(12)x 1＜0，所以x 1·x 2＜1，故③正确． 所以正确的命题的个数是3. 故选D.充要条件的判断及证明[核心提炼]充分、必要条件的判断方法 利用定义判断 直接判断“若p ，则q ”“若q ，则p ”的真假从集合的角度判断 若A ⊆B ，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件或“x ∈B ”是“x ∈A ”的必要条件；若A ＝B ，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的充要条件利用等价转化法判断条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假(1)(2019·高考浙江卷)若a >0，b >0，则“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·高考浙江卷)已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 (1)通解：因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，由a ＋b ≤4可得2ab ≤4，解得ab ≤4，所以充分性成立；当ab ≤4时，取a ＝8，b ＝13，满足ab ≤4，但a ＋b >4，所以必要性不成立．所以“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件．故选A.优解：在同一直角坐标系内作出函数b ＝4－a ，b ＝4a 的图象，如图所示，则不等式a ＋b ≤4与ab ≤4表示的平面区域分别是直线a ＋b ＝4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线b ＝4a 及其左下方(第一象限中的部分)，易知当a ＋b ≤4成立时，ab ≤4成立，而当ab ≤4成立时，a ＋b ≤4不一定成立．故选A.(2)若m ⊄α，n ⊂α，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α.若m ∥α，m ⊄α，n ⊂α，不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面，故“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．故选A.【答案】 (1)A (2)A判断充分、必要条件时应关注的三点(1)要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .(2)要善于举出反例：当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．(3)要注意转化：¬p 是¬q 的必要不充分条件⇔p 是q 的充分不必要条件；¬p 是¬q 的充要条件⇔p 是q 的充要条件．[对点训练]1．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4 ＋ S 6＞2S 5”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.因为{a n}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d，2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0⇔S4＋S6>2S5，故选C.2．(2019·高三“吴越联盟”)已知a，b∈R，则使|a|＋|b|>4成立的一个充分不必要条件是()A．|a|＋|b|≥4B．|a|≥4C．|a|≥2且|b|≥2 D．b<－4解析：选D.由b<－4可得|a|＋|b|>4，但由|a|＋|b|>4得不到b<－4，如a＝1，b＝5.3．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：“a＋b＞c＋d”是“|a－b|＜|c－d|”的充要条件．证明：充分性：因为a＋b＞c＋d，则(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.必要性：因为|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，所以(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＞c＋d.综上，“a＋b＞c＋d”是“|a－b|＜|c－d|”的充要条件．专题强化训练[基础达标]1．已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝( ) A ．[2，3] B ．(－2，3]C ．[1，2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B.由于Q ＝{x |x ≤－2或x ≥2}，∁R Q ＝{x |－2＜x ＜2}，故得P ∪(∁R Q )＝{x |－2＜x ≤3}．故选B.2．(2019·金华模拟)已知集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞2}，B ＝{y |y ＝⎝⎛⎭⎫12x，x ＜1}，则A ∩B ＝( ) A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞D.⎝⎛⎭⎫12，1解析：选A.法一：因为A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞2}＝{y |y ＞1}，B ＝{y |y ＝⎝⎛⎭⎫12x，x ＜1}＝{y |y ＞12}，所以A ∩B ＝{y |y ＞1}，故选A. 法二：取2∈A ∩B ，则由2∈A ，得log 2x ＝2，解得x ＝4＞2，满足条件，同时由2∈B ，得⎝⎛⎭⎫12x＝2，x ＝－1，满足条件，排除选项B ，D ；取1∈A ∩B ，则由1∈A ，得log 2x ＝1，解得x ＝2，不满足x ＞2，排除C ，故选A.3．(2019·温州市统一模拟考试)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．1或2解析：选B.当a ＝1时，B 中元素均为无理数，A ∩B ＝∅；当a ＝2时，B ＝{1，2}，A ∩B ＝{1，2}≠∅；当a ＝3时，B ＝∅，则A ∩B ＝∅，故a 的值为2，选B.4．(2019·湖北七市(州)协作体联考)已知a ，b 为两个非零向量，设命题p ：|a ·b |＝|a ||b |，命题q ：a 与b 共线，则命题p 是命题q 成立的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.|a ·b |＝|a ||b |⇔|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b |⇔cos 〈a ，b 〉＝±1⇔a ∥b ，故是充要条件，选C.5．(2019·衢州质检)已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( )A ．A ∪B ＝R B ．A ∪(∁U B )＝RC ．(∁U A )∪B ＝RD ．A ∩(∁U B )＝A解析：选D.因为A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >4}， 所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D.6．“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A ．m ＞14B ．0＜m ＜1C ．m ＞0D ．m ＞1解析：选C.若不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m ＜0，解得m ＞14，因此当不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立时，必有m ＞0，但当m ＞0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m ＞0，故选C.7．设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由题意得，a n ＝a 1q n －1(a 1>0)，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2＋a 1q 2n －1＝a 1q 2n －2(1＋q )．若q <0，因为1＋q 的符号不确定，所以无法判断a 2n －1＋a 2n 的符号；反之，若a 2n －1＋a 2n <0，即a 1q 2n －2(1＋q )<0，可得q <－1<0.故“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要而不充分条件，故选C.8．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题 B ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若tan x ＝3，则x ＝π3”的逆否命题 解析：选B.对于选项A ，命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故选项A 为假命题；对于选项B ，命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知选项B 为真命题；对于选项C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x－2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故选项C 为假命题；对于选项D ，命题“若tan x ＝3，则x ＝π3”的逆否命题为“若x ≠π3，则tan x≠3”，易知当x ＝4π3时，tan x ＝3，故选项D 为假命题．综上可知，选B.9．(2019·浙江五校联考模拟)已知棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题不正确的是( )A ．平面ACB 1∥平面A 1C 1D ，且两平面的距离为33B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体P A 1B 1C 1的体积不变 C ．与所有12条棱都相切的球的体积为23π D ．M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是△AB 1C 外接圆的圆周上任意一点，则|MN |的最小值是3－22解析：选D.A.因为AB 1∥DC 1，AC ∥A 1C 1， 且AC ∩AB 1＝A ，所以平面ACB 1∥平面A 1C 1D ， 正方体的体对角线BD 1＝3， 设B 到平面ACB 1的距离为h ，则VB ­AB 1C ＝13×12×1×1×1＝13×12×2×2×32h ，即h ＝33，则平面ACB 1与平面A 1C 1D 的距离d ＝3－2h ＝3－2×33＝33，故A 正确． B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体P A 1B 1C 1的高为1，底面积不变，则体积不变，故B 正确，C ．与所有12条棱都相切的球的直径2R 等于面的对角线B 1C ＝2，则2R ＝2，R ＝22，则球的体积V ＝43πR 3＝43×π×(22)3＝23π，故C 正确．D ．设正方体的内切球的球心为O ，正方体的外接球的球心为O ′， 则三角形ACB 1的外接圆是正方体的外接球O ′的一个小圆，因为点M 在正方体的内切球的球面上运动，点N 在三角形ACB 1的外接圆上运动， 所以线段MN 长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的内切球的半径， 因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1， 所以线段MN 长度的最小值是32－12.故D 错误．故选D. 10．设A 是自然数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k 2∉A ，且k ∉A ，那么k 是A 的一个“酷元”，给定S ＝{x ∈N |y ＝lg(36－x 2)}，设M ⊆S ，集合M 中有两个元素，且这两个元素都是M 的“酷元”，那么这样的集合M 有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：选C.由36－x 2>0可解得－6<x <6，又x ∈N ，故x 可取0，1，2，3，4，5，故S ＝{0，1，2，3，4，5}．由题意可知：集合M 不能含有0，1，且不能同时含有2，4.故集合M 可以是{2，3}，{2，5}，{3，5}，{3，4}，{4，5}．11．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{1，2}，Q ＝{－1，0，1}，则集合P *Q 中元素的个数为________．解析：法一(列举法)：当b ＝0时，无论a 取何值，z ＝a b ＝1；当a ＝1时，无论b 取何值，a b ＝1；当a ＝2，b ＝－1时，z ＝2－1＝12；当a ＝2，b ＝1时，z ＝21＝2.故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，2，该集合中共有3个元素．法二：(列表法)：因为a ∈P ，b ∈Q ，所以a 的取值只能为1，2；b 的取值只能为－1，0，1.z ＝a b 的不同运算结果如下表所示：由上表可知P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，2，显然该集合中共有3个元素．答案：312．(2019·温州瑞安高考数学模拟)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(∁U B )＝______，(∁U A )∪B ＝________．解析：因为U ＝{1，2，3，4，5，6}， ∁U B ＝{1，5，6}，∁U A ＝{3，4，5，6}， 所以A ∩(∁U B )＝{1，2}∩{1，5，6}＝{1}，(∁U A )∪B ＝{3，4，5，6}∪{2，3，4}＝{2，3，4，5，6}． 答案：{1} {2，3，4，5，6}13．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．解析：易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题． 答案：114．一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充分必要条件是________． 解析：必要性：因为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )， 即k (－x )＋b ＝－(kx ＋b )， 所以b ＝0.充分性：如果b ＝0，那么f (x )＝kx ， 因为f (－x )＝k (－x )＝－kx ， 所以f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数． 答案：b ＝015．A ＝{1，2，3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0，a ∈A ，b ∈A }，则A ∩B ＝B 的概率是________． 解析：有序实数对(a ，b )的取值情形共有9种，满足A ∩B ＝B 的情形有： ①(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(2，3)，(3，3)，此时B ＝∅； ②(2，1)，此时B ＝{1}； ③(3，2)，此时B ＝{1，2}．所以A ∩B ＝B 的概率为P ＝89.答案：8916．设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R ，x ∈R }，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为________．解析：因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：(1)当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数之间的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4（a ＋1）2－4（a 2－1）＞0，－2（a ＋1）＝－4，a 2－1＝0.解得a ＝1. (2)当B ≠A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝ 4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1， 此时B ＝{0}满足题意．(3)当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0， 解得a ＜－1.综上所述，所求实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪{1}． 答案：(－∞，－1]∪{1}17．函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈P ，－x ，x ∈M ，其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，规定f (P )＝{y |y ＝g (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝g (x )，x ∈M }．给出下列四个命题：①若P ∩M ＝∅，则f (P )∩f (M )＝∅； ②若P ∩M ≠∅，则f (P )∩f (M )≠∅； ③若P ∪M ＝R ，则f (P )∪f (M )＝R ； ④若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R . 其中命题不正确的有________．解析：①若P ＝{1}，M ＝{－1}，则f (P )＝{1}， f (M )＝{1}，则f (P )∩f (M )≠∅，故①错． ②若P ＝{1，2}，M ＝{1}，则f (P )＝{1，2}，f (M )＝{－1}，则f (P )∩f (M )＝∅.故②错． ③若P ＝{非负实数}，M ＝{负实数}， 则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{正实数}， 则f (P )∪f (M )≠R ，故③错．④若P ＝{非负实数}，M ＝{正实数}， 则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{负实数}， 则f (P )∪f (M )＝R ，故④错． 答案：①②③④[能力提升]1．已知集合P ＝{y |y ＝(12)x ，x ≥0}，Q ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，则P ∩Q 为( )A ．(0，1]B ．∅C ．(0，2)D ．{0}解析：选A.由已知得，因为x ≥0，且0＜(12)x ≤(12)0＝1，所以P ＝(0，1]，又因为2x －x 2＞0⇒0＜x ＜2，所以Q ＝(0，2)，因此P ∩Q ＝(0，1]，故选A.2．已知z ＝m 2－1＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R ，i 为虚数单位)，则“m ＝－1”是“z 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由题意，当m ＝－1时，z 的实部为(－1)2－1＝0，虚部为(－1)2－3×(－1)＋2＝6，此时z 为纯虚数，即充分性成立；当z 为纯虚数时，有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m 2－3m ＋2≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝±1m ≠2，m ≠1⇒m＝－1，即必要性成立，故选C.3．集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝( ) A ．{x |x ＜－1或x ≥1} B ．{x |1≤x ≤3或x ＜－1} C ．{x |x ≤－1或x ＞1} D ．{x |1＜x ≤3或x ≤－1}解析：选B.集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x ＞0}＝{x |x ＜1}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |(x＋1)(x －3)≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，所以U ＝A ∪B ＝{x |x ≤3}， 所以A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1}；所以∁U (A ∩B )＝{x |1≤x ≤3或x ＜－1}． 故选B.4．若x ∈R ，则“x ＞1”是“1x ＜1”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件解析：选A.由x ＞1，一定能得到1x ＜1，但当1x ＜1时，不能推出x ＞1(如x ＝－1时)，故“x＞1”是“1x＜1”的充分非必要条件．5．下面四个条件中，使a ＞b 成立的必要而不充分的条件是( ) A ．a －1＞b B ．a ＋1＞b C ．|a |＞|b |D ．a 3＞b 3解析：选B.“a ＞b ”不能推出“a －1＞b ”，故选项A 不是“a ＞b ”的必要条件，不满足题意；“a ＞b ”能推出“a ＋1＞b ”，但“a ＋1＞b ”不能推出“a ＞b ”，故满足题意；“a ＞b ”不能推出“|a |＞|b |”，故选项C 不是“a ＞b ”的必要条件，不满足题意；“a ＞b ”能推出“a 3＞b 3”，且“a 3＞b 3”能推出“a ＞b ”，故是充要条件，不满足题意．6．(2019·绍兴质检)已知集合A ＝{x |x ＜－2或x ＞1}，B ＝{x |x ＞2或x ＜0}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．(－2，0)B ．[－2，0)C ．∅D ．(－2，1)解析：选B.因为集合A ＝{x |x ＜－2或x ＞1}， 所以∁R A ＝{x |－2≤x ≤1}， 集合B ＝{x |x ＞2或x ＜0}，所以(∁R A )∩B ＝{x |－2≤x ＜0}＝[－2，0)，故选B.7．对于两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是( )A．若m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊂α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线解析：选C.A.α∥β时，m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，可以成立，故A错误；B.若m⊥α，m⊥β，则α∥β，因为n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误；C.利用线面平行的性质定理，可得C正确；D.若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交直线，故D不正确，故选C.8．已知f(x)＝ax2＋bx，其中－1≤a＜0，b＞0，则“存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1”是“a＋b ＞1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.因为f(x)＝ax2＋bx，所以a＋b＞1⇔f(1)＞1.因为存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1，所以|f(x)|max＞1.因为－1≤a＜0，b＞0，所以函数f(x)的对称轴x＝－b2a＞0.计算：f(0)＝0，f(1)＝a＋b，f(－b2a)＝b2－4a＞0.f(1)＞1，所以f(－b2a)＝b2－4a＞1，反之也成立，若b2＞－4a，则b＞－4a＞1－a.所以“存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1”是“a＋b＞1”的充要条件．9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是()A．(－2，1) B．[－1，0]∪[1，2)C．(－2，－1)∪[0，1] D．[0，1]解析：选C.因为集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，所以A ＝{x |－2＜x ＜0}，B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∪B ＝(－2，1]，A ∩B ＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A ∪B (A ∩B )＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.10．已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n ＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.下列命题中真命题是( )A ．若任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列B ．若任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列C ．若任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列D ．若任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列解析：选D.c n ⊥b n ⇒c n ·b n ＝na n ＋(n ＋1)a n ＋1＝0，即a n ＋1a n ＝－nn ＋1；所以数列{a n }既不是等比数列又不是等差数列；c n ∥b n ⇒(n ＋1)a n －na n ＋1＝0，即a n ＋1a n ＝n ＋1n ；所以a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝21×32×…×nn －1＝n (n ≥2)，即a n ＝na 1.所以数列{a n }是等差数列． 11．已知A ＝{0，1，2}，B ＝{－1，3}，记：A ＋B ＝{a ＋b |a ∈A ，b ∈B }，试用列举法表示A ＋B ＝________．解析：因为a ∈A ，b ∈B ， 所以当a ＝0时，a ＋b ＝－1或3， 当a ＝1时，a ＋b ＝0或4， 当a ＝2时，a ＋b ＝1或5，所以A ＋B ＝{－1，0，1，3，4，5}． 答案：{－1，0，1，3，4，5}12．设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}，若A ∩B ＝{1}，则B ＝________． 解析：因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，又因它的解为x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1，3}．答案：{1，3}13．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________．解析：A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.答案：－1 114．设集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|－x∈A，1－x∉A}，则集合B中元素的个数为________．解析：若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.答案：115．给出下列四个命题：①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．其中正确命题的序号是________．解析：由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零；反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，所以④正确．答案：①④16．已知“p：(x－m)2>3(x－m)”是“q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．解析：记P＝{x|(x－m)2>3(x－m)}＝{x|(x－m)·(x－m－3)>0}＝{x|x<m或x>m＋3}，Q＝{x|x2＋3x－4<0}＝{x|(x＋4)(x－1)<0}＝{x|－4<x<1}，p是q成立的必要不充分条件，即等价于Q P.所以m＋3≤－4或m≥1，解得m≤－7或m≥1.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)17．(2019·杭州市七校高三联考)下列命题中正确的有________．①常数数列既是等差数列也是等比数列；②在△ABC中，若sin2A＋sin2B＝sin2C，则△ABC为直角三角形；③若A ，B 为锐角三角形的两个内角，则tan A tan B >1；④若S n 为数列{a n }的前n 项和，则此数列的通项公式a n ＝S n －S n －1(n >1)．解析：命题①：由数列{a n }是等差数列，设其公差为d ，则a n －a n －1＝d (n ≥2)(ⅰ)，又数列{a n }是等比数列，设其公比为q ，则a n ＝qa n －1(n ≥2)(ⅱ)，把(ⅱ)代入(ⅰ)得：qa n －1－a n －1＝(q －1)a n －1＝d (n ≥2)，要使(q －1)·a n －1＝d (n ≥2)对数列中“任意项”都成立，则需q －1＝d ＝0，也就是q ＝1，d ＝0.所以数列{a n }为非零常数列，故不正确；命题②：由正弦定理可把sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C 转化为a 2＋b 2＝c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝0，所以三角形为直角三角形，故正确； 命题③：若A 、B 是锐角三角形的两内角，则tan A >0，tan B >0，π>A ＋B >π2， 则tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B<0， 得tan A ·tan B >1，故正确；命题④：若S n 为数列{a n }的前n 项和，则此数列的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1）S n －S n －1 （n ≥2），故不正确． 故正确的命题为：②③.答案：②③。

一、选择题1．设集合M ＝{m ∈Z|m ≤－3或m ≥2}，N ＝{n ∈Z|－1≤n ≤3}，则(∁Z M )∩N ＝( )A ．{0,1}B ．{－1,0,1}C ．{0,1,2}D ．{－1,0,1,2}解析：由已知得∁Z M ＝{－2，－1,0,1}，N ＝{－1,0,1,2,3}，所以(∁Z M )∩N ＝{－1,0,1}． 答案：B2．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，且m ＝ta ＋b ，n ＝a －kb (t 、k ∈R)，则m ⊥n 的充要条件是( )A ．t ＋k ＝1B ．t －k ＝1C ．t ·k ＝1D ．t －k ＝0解析：∵a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，∴a ·b ＝0，|a |＝|b |＝5，∴m ⊥n ⇔m ·n ＝0⇔(ta ＋b )(a －kb )＝0⇔ta 2－kta ·b ＋a ·b －kb 2＝0⇔5t －5k ＝0，即t －k ＝0.答案：D3．(2020·陕西高考)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R}，N ＝{x ||x －1i|＜2，i 为虚数单位，x ∈R}，则M ∩N 为( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1] 解析：对于集合M ，函数y ＝|cos2x |，其值域为[0,1]，所以M ＝[0,1]．根据复数模的计算方法得不等式 x 2＋1＜2，即x 2＜1，所以N ＝(－1,1)，则M ∩N ＝[0,1)．答案：C4．已知命题p ：∀x ∈R,9x 2－6x ＋1>0；命题q ：∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2，则( )A ．綈p 是假命题B ．綈q 是真命题C ．p ∨q 是真命题D ．綈p ∧綈q 是真命题解析：先分别判断两命题的真假，由于9x 2－6x ＋1＝(3x －1)2≥0，故命题p 假；又sin x＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，故命题q 为真，因此p ∨q 为真命题． 答案：C二、填空题5．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________． 解析：由题意知a 2＋4>3，故a ＋2＝3，即a ＝1，经验证，a ＝1符合题意，∴a ＝1.答案：16．[理]若命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是____________．解析：因为“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真 命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.答案：－22≤a ≤2 2[文]命题：“对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有正实根”的否定是__________． 解析：“有正实根”的否定是“无正实根”．故命题“对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有正实根”的否定是“存在a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0无正实根”．答案：存在a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0无正实根7．给出下列三个结论：①命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”；②函数f (x )＝x －sin x (x ∈R)有3个零点；③对于任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时，f ′(x )>g ′(x )．其中正确结论的序号是________．(填写所有正确结论的序号)解析：①显然正确；由y ＝x 与y ＝sin x 的图像可知，函数f (x )＝x －sin x (x ∈R)有1个零点，②不正确；对于③，由题设知f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，又奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反，∴x <0时，f ′(x )>0，g ′(x )<0.∴f ′(x )>g ′(x )，③正确．答案：①③三、解答题8．判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假．解：原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根．逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0.判断如下：∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a ＜0.∴a ＜－14＜0. ∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0”为真命题．即命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题为真命题．9．若集合A ＝{x |x 2＋ax ＋1＝0，x ∈R}，集合B ＝{1,2}，且A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：由A ∪B ＝B 得A ⊆B .(1)若A ＝∅，则Δ＝a 2－4<0，解得－2<a <2；(2)若1∈A ，则12＋a ＋1＝0，解得a ＝－2，此时A ＝{1}，符合题意；(3)若2∈A ，则22＋2a ＋1＝0，解得a ＝－52， 此时A ＝{2，12}，不合题意． 综上所述，实数a 的取值范围为[－2,2)．10．设命题p ：函数f (x )＝(a －32)x 是R 上的减函数，命题q ：函数f (x )＝x 2－4x ＋3在[0，a ]上的值域为[－1,3]，若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求a 的取值范围．解：∵f (x )＝(a －32)x 是R 上的减函数， ∴0<a －32<1.∴32<a <52. ∵f (x )＝(x －2)2－1在[0，a ]上的值域为[－1,3]，则2≤a ≤4.∵“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，∴p 、q 为一真一假．若p 真q 假，得32<a <2， 若p 假q 真，得52≤a ≤4， 综上可知：a 的取值范围是(32，2)∪[52，4]．。

第3讲 基本初等函数、函数与方程及函数的综合问题指数、对数的运算 [核心提炼]指数与对数式的七个运算公式 (1)a m·a n＝am ＋n；(2)(a m )n ＝a mn；(3)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (4)log a M N＝log a M －log a N ； (5)log a M n＝n log a M ； (6)a log a N ＝N ； (7)log a N ＝log b Nlog b a.注：a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，M >0，N >0.[典型例题](1)(2019·浙江省名校新高考研究联盟联考)若log 83＝p ，log 35＝q ，则lg 5(用p 、q 表示)等于( )A.3p ＋q5 B.1＋3pqp ＋qC.3pq1＋3pqD ．p 2＋q 2(2)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z(3)已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________．【解析】 (1)因为log 83＝p ， 所以lg 3＝3p lg 2，又因为log 35＝q ， 所以lg 5＝q lg 3，所以lg 5＝3pq lg 2＝3pq (1－lg 5)， 所以lg 5＝3pq1＋3pq ，故选C.(2)设2x＝3y＝5z＝k >1，所以x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k .因为2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝2log k 2－3log k 3＝2log k 3－3log k 2log k 2·log k 3＝log k 32－log k 23log k 2·log k 3＝log k98log k 2·log k 3>0，所以2x >3y ；因为3y －5z ＝3log 3k －5log 5k ＝3log k 3－5log k 5＝3log k 5－5log k 3log k 3·log k 5＝log k 53－log k 35log k 3·log k 5＝log k125243log k 3·log k 5<0，所以3y <5z ；因为2x －5z ＝2log 2k －5log 5k ＝2log k 2－5log k 5＝2log k 5－5log k 2log k 2·log k 5＝log k 52－log k 25log k 2·log k 5＝log k2532log k 2·log k 5<0，所以5z >2x .所以5z >2x >3y ，故选D.(3)由于a >b >1，则log a b ∈(0，1)，因为log a b ＋log b a ＝52，即log a b ＋1log a b ＝52，所以log a b＝12或log a b ＝2(舍去)，所以a 12＝b ，即a ＝b 2，所以a b ＝(b 2)b ＝b 2b ＝b a ，所以a ＝2b ，b 2＝2b ，所以b ＝2(b ＝0舍去)，a ＝4.【答案】 (1)C (2)D (3)4 2(1)指数幂的运算性质都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于0的规定． (2)求解对数式运算的关键是：熟记对数恒等式、换底公式的运算法则，并结合代数式的各种变换技巧，如配方、因式分解、分母或分子有理化、拆项、添项、换底公式的运用等，简化对数运算过程．(3)容易出现的问题是误用指数幂的运算法则、对数的运算性质，或在运算中变换的方法不当，不注意运算的先后顺序等．[对点训练]1．若a ＝log 43，则2a＋2－a＝________． 解析：因为a ＝log 43＝log 223＝12log 23＝log 23，所以2a ＋2－a＝2log 23＋2－log 23＝3＋2log 233＝3＋33＝433. 答案：4332．(2019·瑞安市高三四校联考)若正数a ，b 满足log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b )，则1a ＋1b的值为________．解析：设log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b )＝k ， 所以a ＝2k，b ＝5k，a ＋b ＝10k，所以ab ＝10k， 所以a ＋b ＝ab ，则1a ＋1b＝1.答案：1基本初等函数的图象及性质[核心提炼]指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，当a >1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数．[典型例题](1)(2019·高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )(2)P 为曲线C 1：y ＝e x上一点，Q 为曲线C 2：y ＝ln x 上一点，则|PQ |的最小值为________． 【解析】 (1)通解：若0<a <1，则函数y ＝1a x 是增函数，y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12是减函数且其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，结合选项可知，选项D 可能成立；若a >1，则y ＝1a x 是减函数，而y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12是增函数且其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，结合选项可知，没有符合的图象．故选D.优解：分别取a ＝12和a ＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D.(2)因为曲线y ＝e x与曲线y ＝ln x 互为反函数，其图象关于y ＝x 对称， 故可先求点P 到直线y ＝x 的最近距离d ， 设曲线y ＝e x上斜率为1的切线为y ＝x ＋b ， 因为y ′＝e x，由e x＝1，得x ＝0， 故切点坐标为(0，1)，即b ＝1， 所以d ＝11＋1＝22， 所以|PQ |的最小值为2d ＝2×22＝ 2. 【答案】 (1)D (2)2研究指数、对数函数图象应注意的问题(1)指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．(2)研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件．如求f (x )＝ln(x 2－3x ＋2)的单调区间，只考虑t ＝x 2－3x ＋2与函数y ＝ln t 的单调性，忽视t >0的限制条件．[对点训练]1．当x ∈R 时，函数f (x )＝a |x |始终满足0＜|f (x )|≤1，则函数y ＝log a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x的图象大致为( )解析：选 B.因为当x ∈R 时，函数f (x )＝a |x |始终满足0＜|f (x )|≤1.因此，必有0＜a ＜1.先画出函数y ＝log a |x |的图象，如图．而函数y ＝log a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x＝－log a |x |，如图． 故选B.2．(2019·四川胜读九校联考)已知函数f ()x ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ()x ≤0，ln()x ＋1（x >0），若||f ()x ≥ax 恒成立，则a 的取值范围为________．解析：由题意可作出函数y ＝|f (x )|的图象和函数y ＝ax 的图象，由图象可知，函数y ＝ax 的图象为过原点的直线，直线l 为曲线的切线，当直线介于l 和x 轴之间符合题意，且此时函数y ＝|f (x )|在第二象限的部分解析式为y ＝x 2－2x ，求其导数可得y ′＝2x －2，因为x ＝0，故y ′＝－2，故直线l 的斜率为－2，故只需直线y ＝ax 的斜率a 介于－2与0之间即可，即a ∈[]－2，0.答案：[]－2，0函数的零点 [核心提炼]1．函数的零点的定义对于函数f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点． 2．确定函数零点的常用方法 (1)解方程法；(2)利用零点存在性定理；(3)数形结合，利用两个函数图象的交点求解．[典型例题](1)(2019·高考浙江卷)设a ，b ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <0，13x 3－12（a ＋1）x 2＋ax ，x ≥0.若函数y ＝f (x )－ax －b 恰有3个零点，则( )A ．a <－1，b <0B ．a <－1，b >0C ．a >－1，b <0D ．a >－1，b >0(2)(2019·衢州市高三教学质量检测)已知f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x ＋1），0≤x ＜1|x －3|，x ≥1，则函数y ＝f (x )－12的所有零点之和是( )A ．5＋ 2B ．1－ 2 C.2－1D ．5－ 2(3)(2018·高考浙江卷)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________．【解析】 (1)由题意可得，当x ≥0时，f (x )－ax －b ＝13x 3－12(a ＋1)x 2－b ，令f (x )－ax－b ＝0，则b ＝13x 3－12(a ＋1)x 2＝16x 2[2x －3(a ＋1)]．因为对任意的x ∈R ，f (x )－ax －b ＝0有3个不同的实数根，所以要使满足条件，则当x ≥0时，b ＝16x 2[2x －3(a ＋1)]必须有2个零点，所以3（a ＋1）2>0，解得a >－1.所以b <0.故选C.(2)当x ≥0时，f (x )≥0，所以当x ＜0时，f (x )＜0；由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＜1，log 2（x ＋1）＝12得x ＝－1＋2；由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，|x －3|＝12得x ＝72或52，所以所有零点之和是5＋2，选A.(3)若λ＝2，则当x ≥2时，令x －4<0，得2≤x <4；当x <2时，令x 2－4x ＋3<0，得1<x <2.综上可知1<x <4，所以不等式f (x )<0的解集为(1，4)．令x －4＝0，解得x ＝4；令x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.因为函数f (x )恰有2个零点，结合函数的图象(图略)可知1<λ≤3或λ>4.【答案】 (1)C (2)A (3)(1，4) (1，3]∪(4，＋∞)(1)判断函数零点个数的方法①直接求零点：令f (x )＝0，则方程解的个数即为零点的个数．②零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在(a ，b )上是连续的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(2)利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 ①利用零点存在的判定定理构建不等式求解． ②分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．③转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．利用此种方法还可判断零点个数，求所有零点的和，研究基本初等函数的性质等．[对点训练]1．(2019·“七彩阳光”高三联考)设关于x 的方程x 2－ax －2＝0和x 2－x －1－a ＝0的实数根分别为x 1，x 2和x 3，x 4，若x 1<x 3<x 2<x 4，则a 的取值范围是________．解析：由x 2－ax －2＝0得a ＝x －2x，由x 2－x －1－a ＝0得a ＝x 2－x －1.在同一个坐标系中画出y ＝x －2x 和y ＝x 2－x －1的图象(图略)．由x －2x＝x 2－x －1，化简得x 3－2x 2－x ＋2＝0，此方程显然有根x ＝2，所以x 3－2x 2－x ＋2＝(x ＋1)(x －1)(x －2)＝0，解得x ＝－1或x ＝1或x ＝2，当x ＝2或x ＝－1时，y ＝1；当x ＝1时，y ＝－1，由题意可知，－1<a <1.答案：(－1，1)2．若函数f (x )＝|2x －1|＋ax －5(a 是常数，且a ∈R )恰有两个不同的零点，则a 的取值范围为________．解析：由f (x )＝0，得|2x －1|＝－ax ＋5.作出y ＝|2x －1|和y ＝－ax ＋5的图象，观察可以知道， 当－2<a <2时，这两个函数的图象有两个不同的交点， 即函数y ＝f (x )有两个不同的零点． 故a 的取值范围是(－2，2)． 答案：(－2，2)函数的综合问题 [核心提炼]函数的综合问题是浙江省新高考命题的热点之一，是考查考生分析问题、解决问题的能力及数学素养的较好题型，具有较好的区分度，求解函数综合问题应注意以下三点：1．审题是关键审题时要把握“三性”，即明确目的性，提高准确性，注意隐含性．解题实践表明：条件暗示可启发解题手段，结论预示可诱导解题方向，只有细致地审题，才能从题目本身获得尽可能多的信息．2．画出草图，寻找思路画好图形，做到定形(状)，定性(质)，定(数)量，定位(置)．图形能帮助你直观的理解题意，分析思路．3．力求表述规范，抓住得分点解题过程要用规范的数学语言，避免以某些二级结论为依据，只写结论，不写过程．[典型例题]已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，记M (a ，b )是|f (x )|在区间[－1，1]上的最大值．(1)证明：当|a |≥2时，M (a ，b )≥2；(2)当a ，b 满足M (a ，b )≤2时，求|a |＋|b |的最大值．【解】 (1)证明：由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24， 得对称轴为直线x ＝－a2.由|a |≥2，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2≥1，故f (x )在[－1，1]上单调，所以M (a ，b )＝max{|f (1)|，|f (－1)|}． 当a ≥2时，由f (1)－f (－1)＝2a ≥4， 得max{f (1)，－f (－1)}≥2，即M (a ，b )≥2. 当a ≤－2时，由f (－1)－f (1)＝－2a ≥4， 得max{f (－1)，－f (1)}≥2，即M (a ，b )≥2. 综上，当|a |≥2时，M (a ，b )≥2. (2)由M (a ，b )≤2得|1＋a ＋b |＝|f (1)|≤2，|1－a ＋b |＝|f (－1)|≤2， 故|a ＋b |≤3，|a －b |≤3.由|a |＋|b |＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋b |，ab ≥0，|a －b |，ab <0，得|a |＋|b |≤3.当a ＝2，b ＝－1时，|a |＋|b |＝3， 且|x 2＋2x －1|在[－1，1]上的最大值为2， 即M (2，－1)＝2.所以|a |＋|b |的最大值为3.(1)命制函数的综合问题的试题涉及到诸多性质、运算和思想方法，如本例考查了函数的单调性与最值、分段函数、不等式等知识，同时考查了分类讨论、化归、转化、推理论证和代数运算能力．(2)对于函数的综合题，要认真分析，处理好各元素之间的关系，把握问题主线，运用相关知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其要注意等价转化、分类讨论和数形结合等思想的综合运用．[对点训练]1．(2019·金丽衢十二校联考)已知函数f (x )＝log a (a 2x＋t )，其中a >0且a ≠1. (1)当a ＝2时，若f (x )<x 无解，求t 的范围；(2)若存在实数m ，n (m <n )，使得x ∈[m ，n ]时，函数f (x )的值域也都为[m ，n ]，求t 的范围．解：(1)因为log 2(22x＋t )<x ＝log 22x ，所以22x ＋t <2x 无解，等价于22x ＋t ≥2x恒成立，即t ≥－22x ＋2x ＝g (x )恒成立，即t ≥g (x )max ，求得g (x )max ＝g (－1)＝－2－2＋2－1＝14，所以t ≥14.(2)因为f (x )＝log a (a2x＋t )是单调增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m f （n ）＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2m ＋t ＝ama 2n ＋t ＝a n ，问题等价于关于k 的方程a 2k－a k＋t ＝0有两个不相等的解，令a k＝n >0，则问题等价于关于n 的二次方程n 2－n ＋t ＝0在n ∈(0，＋∞)上有两个不相等的实根，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1＋n 2>0n 1·n 2>0Δ>0，即⎩⎪⎨⎪⎧t >0t <14，得0<t <14.2．(2019·绍兴市一中期末检测)已知函数f (x )＝|x ＋2|－|x －1|. (1)试求f (x )的值域；(2)设g (x )＝ax 2－3x ＋3x(a >0)，若对任意s ∈[1，＋∞)，t ∈[0，＋∞)，恒有g (s )≥f (t )成立，试求实数a 的取值范围．解：(1)因为||x ＋2|－|x －1||≤|(x ＋2)－(x －1)|＝3， 所以－3≤|x ＋2|－|x －1|≤3， 所以f (x )的值域为[－3，3]．(2)g (x )＝ax 2－3x ＋3x ＝ax ＋3x－3，当a ≥3时，g (x )在[1，＋∞)上是增函数，g (x )min ＝a ， 当a ∈(0，3)时，g (x )min ＝23a －3，因此g (s )min ＝⎩⎨⎧23a －3，0<a <3a ，a ≥3，f (t )max ＝3，由题意知g (s )min ≥f (t )max ，①当0<a <3时，23a －3≥3，此时a 无解， ②当a ≥3时，a ≥3恒成立， 综上，a ≥3.专题强化训练1．已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( )A ．－2B ．4C ．3D ．－2或3解析：选C.f (x )＝(m 2－m －5)x m是幂函数⇒m 2－m －5＝1⇒m ＝－2或m ＝3. 又在x ∈(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝3.2．函数y ＝a x ＋2－1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过的点是( )A ．(0，0)B ．(0，－1)C ．(－2，0)D ．(－2，－1)解析：选C.法一：因为函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(0，1)，将该图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y ＝ax ＋2－1(a ＞0，a ≠1)的图象，所以y ＝ax ＋2－1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(－2，0)，选项C 正确．法二：令x ＋2＝0，x ＝－2，得f (－2)＝a 0－1＝0，所以y ＝a x ＋2－1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(－2，0)，选项C 正确．3．(2019·温州模拟)已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <bD ．b <c <a解析：选B.因为a ＝log 20.2<0，b ＝20.2>1，c ＝0.20.3∈(0，1)，所以a <c <b .故选B. 4．(2019·嘉兴市高考一模)函数f (x )＝(12)x －x 2的大致图象是( )解析：选D.由题意，x ＝0，f (0)＝1，排除B ，x ＝－2，f (－2)＝0，排除A ， x →－∞，f (x )→＋∞，排除C ，故选D.5．(2019·丽水模拟)20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0，其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅．已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的( )A ．10倍B ．20倍C ．50倍D ．100倍解析：选D.根据题意有lg A ＝lg A 0＋lg 10M＝lg (A 0·10M)．所以A ＝A 0·10M，则A 0×107A 0×105＝100.故选D.6．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B.13C.12D ．1解析：选C.由f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e2－x －1＋e－(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e1－x＋ex －1)＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)，所以f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x ) 图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a ＝12.故选C.7．(2019·宁波效实中学高三质检)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选B.由f (1)＝19得a 2＝19.又a >0，所以a ＝13，因此f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．8．(2019·金华十校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0<x ≤42|x －5|，x >4，若a ，b ，c ，d 各不相同，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d )，则abcd 的取值范围是( )A ．(24，25)B ．[16，25)C ．(1，25)D ．(0，25]解析：选A.函数f (x )的图象如图所示： 若a 、b 、c 、d 互不相同， 且f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d )， 不妨令a <b <c <d ， 则0<a <1，1<b <4，则log 2a ＝－log 2b ，即log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ＝0， 则ab ＝1，同时c ∈(4，5)，d ∈(5，6)， 因为c ，d 关于x ＝5对称，所以c ＋d2＝5，则c ＋d ＝10，同时cd ＝c (10－c )＝－c 2＋10c ＝－(c －5)2＋25， 因为c ∈(4，5)，所以cd ∈(24，25)， 即abcd ＝cd ∈(24，25)，故选A.9．(2019·宁波十校高考模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2（1－x ）|，x ＜1－x 2＋4x －2，x ≥1，则方程f (x ＋1x －2)＝1的实根个数为( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C.令f (x )＝1得x ＝3或x ＝1或x ＝12或x ＝－1，因为f (x ＋1x－2)＝1，所以x ＋1x －2＝3或x ＋1x －2＝1或x ＋1x －2＝12或x ＋1x －2＝－1.令g (x )＝x ＋1x－2，则当x ＞0时，g (x )≥2－2＝0，当x ＜0时，g (x )≤－2－2＝－4， 作出g (x )的函数图象如图所示：所以方程x ＋1x －2＝3，x ＋1x －2＝1，x ＋1x －2＝12均有两解，方程x＋1x－2＝－1无解．所以方程f (x ＋1x－2)＝1有6解．故选C.10．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （ln x ）－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2<f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eB ．(0，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)解析：选C.因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (ln x )－f (－ln x )＝f (ln x )＋f (ln x )＝2f (ln x )，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （ln x ）－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2<f (1)等价于|f (ln x )|<f (1)，又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增， 所以－1<ln x <1，解得1e<x <e.11．(2019·浙江新高考冲刺卷)已知集合M ＝{x |y ＝lnx －1x}，N ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋2}，则M ＝__________，(∁R M )∩N ＝________．解析：M ＝{x |y ＝lnx －1x}＝{x |x (x －1)＞0}＝(－∞，0)∪(1，＋∞)， 所以∁R M ＝[0，1]．因为N ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋2}＝{y |y ＝(x ＋1)2＋1}＝[1，＋∞)， 所以(∁R M )∩N ＝{1}．答案：(－∞，0)∪(1，＋∞) {1}12．(2019·台州市书生中学高三月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则f (f (23))＝________；若f (f (a ))＝1，则a 的值为________．解析：f (23)＝1，f (1)＝2，所以f (f (23))＝2.当x ≥1时，f (x )≥2，所以a <1，f (a )<1且f (a )＝23，因此3a －1＝23，所以a ＝59.答案：2 5913．(2019·台州市高三模拟)设函数f (x )＝9x＋m ·3x，若存在实数x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，则实数m 的取值范围是________．解析：因为f (－x 0)＝－f (x 0)， 所以9－x 0＋m ·3－x 0＝－9x 0－m ·3x 0， 所以m ＝－(3x 0＋3－x 0)＋23x 0＋3－x 0，令t ＝3x 0＋3－x 0，则t ≥2， 故m ＝－t ＋2t，(t ≥2)，函数y ＝－t 与函数y ＝2t在[2，＋∞)上均为单调递减函数，所以m ＝－t ＋2t(t ≥2)在[2，＋∞)上单调递减，所以当t ＝2时，m ＝－t ＋2t(t ≥2)取得最大值－1，即m ≤－1.答案：(－∞，－1]14．(2019·浙江新高考冲刺卷)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞b ＞c )，且f (1)＝0，若函数f (x )的导函数图象与函数f (x )的图象交于A 、B 两点，C 、D 是点A ，B 在x 轴上的投影，则线段|CD |长的取值范围为__________．解析：因为f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，所以b ＝－a －c ， 因为a ＞b ＞c ，所以a ＞0，c ＜0，所以c a＜0，f ′(x )＝2ax ＋b ，令ax 2＋bx ＋c ＝2ax ＋b 得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ＝0， 即ax 2－(3a ＋c )x ＋2c ＋a ＝0，因为函数f (x )的导函数图象与函数f (x )的图象交于A ，B 两点， 所以方程ax 2－(3a ＋c )x ＋2c ＋a ＝0有两解， 所以Δ＝(3a ＋c )2－4a (2c ＋a )＝5a 2－2ac ＋c 2＞0，所以(c a)2－2c a＋5＞0，ca∈R ，所以x 1＋x 2＝3a ＋c a ＝3＋c a ，x 1x 2＝2c ＋a a ＝1＋2ca，所以|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(3＋c a)2－4(1＋2c a)＝(c a)2－2c a＋5＝(c a－1)2＋4，因为c a ＜0，所以(c a－1)2＋4＞5，所以|x 1－x 2|＞ 5. 答案：(5，＋∞)15.如图，线段EF 的长度为1，端点E ，F 在边长不小于1的正方形ABCD 的四边上滑动，当E ，F 沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨迹为G ，若G 的周长为l ，其围成的面积为S ，则l －S 的最大值为________．解析：设正方形的边长为a (a ≥1)，当E ，F 沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 的轨迹如图，是由半径均为12的四段圆弧与长度均为a －1的四条线段围成的封闭图形，周长l ＝π＋4(a －1)，面积S ＝a 2－π4，所以l －S ＝－a 2＋4a＋5π4－4(a ≥1)，由二次函数的知识得，当a ＝2时，l －S 取得最大值5π4. 答案：5π416．(2019·高考浙江卷)已知a ∈R ，函数f (x )＝ax 3－x ，若存在t ∈R ，使得|f (t ＋2)－f (t )|≤23，则实数a 的最大值是________．解析：f (t ＋2)－f (t )＝[a (t ＋2)3－(t ＋2)]－(at 3－t )＝2a (3t 2＋6t ＋4)－2，因为存在t ∈R ，使得|f (t ＋2)－f (t )|≤23，所以 －23≤2a (3t 2＋6t ＋4)－2≤23有解．因为3t 2＋6t ＋4≥1，所以23（3t 2＋6t ＋4）≤a ≤43（3t 2＋6t ＋4）有解，所以a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤43（3t 2＋6t ＋4）max ＝43，所以a的最大值为43.答案：4317．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x －2x 2，x ≤0|lg x |，x ＞0，若关于x 的方程f (x )＝a 有四个实根x 1，x 2，x 3，x 4，则这四根之积x 1x 2x 3x 4的取值范围是________．解析：画出函数f (x )的图象，由图知f (x )＝a 有四个实根的条件为1≤a ＜98.设四个实根x 1＜x 2＜x 3＜x 4，由f (x )＝a 可得2x 2＋x ＋a －1＝0，所以x 1x 2＝a －12，由y ＝|lg x |＝a 知－lgx 3＝lg x 4，所以x 3·x 4＝1，故x 1x 2x 3x 4＝a －12，又因为g (a )＝a －12在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，98上是增函数，所以x 1x 2x 3x 4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，116.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，116 18．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ＞0)，设方程f (x )＝x 的两个实数根为x 1和x 2.(1)如果x 1＜2＜x 2＜4，设函数的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0＞－1； (2)如果|x 1|＜2，|x 2－x 1|＝2，求b 的取值范围． 解：(1)证明：设g (x )＝f (x )－x ＝ax 2＋(b －1)x ＋1， 因为a ＞0，所以由条件x 1＜2＜x 2＜4，得g (2)＜0，g (4)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b －1＜0，16a ＋4b －3＞0⇒34－4a ＜b ＜12－2a .显然由34－4a ＜12－2a 得a ＞18，即有2－38a ＞－b 2a ＞1－14a，故x 0＝－b 2a ＞1－14a ＞1－14×18＝－1.(2)由g (x )＝ax 2＋(b －1)x ＋1＝0，知x 1x 2＝1a＞0，故x 1与x 2同号．①若0＜x 1＜2，则x 2－x 1＝2(负根舍去)， 所以x 2＝x 1＋2＞2，所以g (2)＜0，即4a ＋2b －1＜0.(*) 所以(x 2－x 1)2＝（b －1）2a 2－4a＝4， 所以2a ＋1＝（b －1）2＋1(a ＞0，负根舍去)， 代入(*)式，得2（b －1）2＋1＜3－2b ，解出b ＜14.②若－2＜x 1＜0，则x 2＝－2＋x 1＜－2(正根舍去)， 所以g (－2)＜0，即4a －2b ＋3＜0(**)． 将2a ＋1＝（b －1）2＋1代入(**)式得 2（b －1）2＋1＜2b －1，解得b ＞74.综上，b 的取值范围为b ＜14或b ＞74.19．(2019·杭州市高三模拟)设函数f (x )＝|x 2－a |－ax －1(a ∈R )． (1)若函数y ＝f (x )在R 上恰有四个不同的零点，求a 的取值范围； (2)若函数y ＝f (x )在[1，2]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式． 解：(1)若函数y ＝f (x )在R 上恰有四个不同的零点，则等价为f (x )＝|x 2－a |－ax －1＝0，即|x 2－a |＝ax ＋1有四个不同的解， 若a ≤0，则方程x 2－a ＝ax ＋1至多有两个根，不满足条件． 若a >0，则y ＝|x 2－a |与y ＝ax ＋1两个图象有四个不同的交点， ①当y ＝ax ＋1与y ＝－x 2＋a 相切时，得a ＝－2＋2 2.(负值舍掉) ②当y ＝ax ＋1过点(－a ，0)时，得a ＝1， 所以22－2<a <1，即a 的取值范围是(22－2，1)．(2)①当a ≤1时，f (x )＝x 2－ax －a －1＝(x －a2)2－a 24－a －1，则f (x )在[1，2]上单调递增，则f (x )min ＝f (1)＝－2a . ②当1<a <4时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x ＋a 2）2＋a 24＋a －1，1≤x ≤a（x －a 2）2－a24－a －1，a <x ≤2，易知f (x )在[1，a ]上单调递减，在(a ，2]上单调递增， 则f (x )min ＝f (a )＝－a a －1.③当a ≥4时，f (x )＝－(x ＋a2)2＋a 24＋a －1，则f (x )在[1，2]上单调递减， 则f (x )min ＝f (2)＝－a －5，综上，g (a )＝⎩⎨⎧－2a ，a ≤1－a a －1，1<a <4－a －5，a ≥4.。

补偿练一 集合、常用逻辑用语(建议用时：40分钟)一、选择题1．集合A ＝{}x ||x ＋1|≤3，B ＝{}y |y ＝x ，0≤x ≤4，则下列关系正确的是( )．A ．A ∪B ＝R B ．A ⊆∁R BC ．B ⊆∁R AD ．∁R A ⊆∁R B解析 ∵A ＝{}x |－4≤x ≤2，B ＝{}y |0≤y ≤2， ∴∁R A ＝{}x |x ＜－4，或x >2， ∁R B ＝y |y ＞2，或y ＜0，∴∁R A ⊆∁R B . 答案 D2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{}x |2x＞1，B ＝{}x |x 2－3x －4＞0，则A ∩B ＝( )．A.{}x |x ＞0B.{}x |x ＜－1，或x ＞0C.{}x |x ＞4D.{}x |－1≤x ≤4解析 A ＝{}x |x ＞0，B ＝{}x |x ＞4，或x ＜－1， ∴A ∩B ＝{}x |x ＞4. 答案 C3．“a >1”是“函数f (x )＝a x－2(a >0且a ≠1)在区间上存在零点”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 若a >1时，当x >0时，a x>1，所以函数f (x )＝a x－2>－1且单调递增，所以函数f (x )＝a x －2在区间(0，＋∞)上存在零点．又因为f (0)＝1－2<0，所以要使f (x )＝a x－2在区间(0，＋∞)上存在零点，则需函数f (x )＝a x－2单调递增，所以a >1. 答案 C4．下列结论错误的是( )．A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0” B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0” 解析 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0.”若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，解得m ≥－14.所以m ≥－14时，不一定有m >0，所以C 错误． 答案 C5．已知全集U ＝R ，集合A ＝{}y |y ＝ln x 2＋1，x ∈R ，集合B ＝{}x ||x －2|≤1，则如图所示的阴影部分表示的集合是( )．A.{}x |0≤x <1，或x >3B.{}x |0≤x <1C.{}x |x >3D.{}x |1≤x ≤3解析 A ＝{}y |y ≥0，B ＝{}x |1≤x ≤3， 图中阴影部分为集合A ∩(∁U B )．因为∁U B ＝{}x |x <1，或x >3，所以A ∩(∁U B )＝{}x |0≤x <1，或x >3. 答案 A6．“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 函数f (x )的单调增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]，当a ＝1时，增区间为[1，＋∞)，所以在[2，＋∞)上也递增．当f (x )在区间[2，＋∞)上为增函数时，则有a ≤2，所以a ＝1不一定成立． 答案 A7．命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＝0”的否定是( )．A ．∀x ∈R ，x 2－2x ＝0 B ．∃x ∈R ，x 2－2x ≠0 C ．∀x ∈R ，x 2－2x ≠0 D．∃x ∈R ，x 2－2x >0解析 特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＝0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－2x ≠0”．答案 C8．若集合M ＝{}x ∈N *|x <6，N ＝{}x ||x －1|≤2，则M ∩(∁R N )＝( )．A ．(－∞，－1)B ．[1,3)C ．(3,6) D.{}4，5解析 M ＝{}1，2，3，4，5，N ＝{}x |－1≤x ≤3， ∴∁R N ＝{}x |x <－1，或x >3， ∴M ∩(∁R N )＝{}4，5. 答案 D 二、填空题9．已知集合A ＝{}－1，1，B ＝{}x |1≤2x<4，则A ∩B ＝________.解析 B ＝{}x |0≤x <2，∴A ∩B ＝{}1. 答案 {1}10．设集合A ＝{}x |x 2－5x －6<0，B ＝{}x |5≤x ≤7，则A ∪B ＝________.解析 ∵A ＝{}x |－1<x <6， ∴A ∪B ＝x |－1<x ≤7. 答案 {x |－1<x ≤7}11．在△ABC 中，“∠A ＝30°是“sin A ＝12”的________条件．解析 由sin A ＝12得A ＝30°＋k ·360°，或A ＝150°＋k ·360°(k ∈Z )，所以“∠A＝30°”是“sin A ＝12”的充分不必要条件．答案 充分不必要12．命题“∃x ∈R ，e x≤0”的否定是______．答案 ∀x ∈R ，e x >013．“M >N ”是“log 2M >log 2N ”成立的______条件．解析 “M >N ”⇒/ log 2M >log 2N ，”因为M ，N 小于零不成立； “log 2M >log 2N ”⇒M >N .故“M >N ”是“log 2M >log 2N ”的必要不充分条件． 答案 必要不充分14．已知m 为实数，直线l 1：mx ＋y ＋3＝0，l 2：(3m －2)x ＋my ＋2＝0，则“m ＝1”是“l 1∥l 2”的______条件(请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个填空)．解析 当m ＝1时，kl 1＝－1＝kl 2，则l 1∥l 2； 当l 1∥l 2时，由m ×m －1×(3m －2)＝0，得m ＝1，或m ＝2.故“m ＝1”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件． 答案 充分不必要15．已知函数f (x )＝4|a |x －2a ＋1.若命题：“∃x ∈(0,1)，使f (x )＝0”是真命题，则实数a 的取值X 围是________．解析 由“∃x ∈(0,1)，使得f (x )＝0”是真命题，得f (0)·f (1)<0⇒(1－2a )(4|a |－2a ＋1)<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，2a ＋12a －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，6a －12a －1<0⇒a >12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞。

专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式第一讲集合与常用逻辑用语考点一集合的概念及运算一、基础知识要记牢1．集合中元素的特性集合元素具有确定性、互异性和无序性．解题时要特别注意集合元素互异性的应用．2．运算性质及重要结论如(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；(3)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A等．二、经典例题领悟好[例1] (1)(2017·浙江高考)已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，那么P∪Q＝( ) A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)(2)(2018届高三·金丽衢联考)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为( )A．{x|－2≤x＜4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1}D．{x|－1≤x≤3}[解析] (1)根据集合的并集的定义，得P∪Q＝(－1,2)．(2)由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁U A)∩B＝{x|－1≤x≤3}，故选D.[答案] (1)A (2)D解答集合间的运算关系问题的思路(1)正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性、代表的意义．(2)根据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解．(3)确定(应用)集合间的包含关系或运算结果，常用到以下技巧：①若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；②若已知的集合是点集，用数形结合法求解；③若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解.三、预测押题不能少1．(1)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( ) A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3}D ．{1,5}解析：选C 因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1,3}．(2)设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{0,1,2,3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B 中元素的个数是( )A ．7B ．10C ．25D ．52解析：选B 因为A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1,2,3}， 所以A ∩B ＝{0,1}，A ∪B ＝{－1,0,1,2,3}． 因为x ∈A ∩B ，所以x 可取0,1； 因为y ∈A ∪B ，所以y 可取－1,0,1,2,3. 则(x ，y )的可能取值如下表所示：故考点二 四种命题及其关系 一、基础知识要记牢与“四种命题”相关联的结论(1)若一个命题有大前提，其他三种命题需保留大前提；(2)一个命题的否命题与命题的否定不是同一个命题：前者既否定条件，又否定结论，后者只否定命题的结论；(3)互为逆否关系的命题真假相同，所以四种命题的真假个数一定为偶数． 二、经典例题领悟好[例2] (1)(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R.其中的真命题为( )A．p1，p3 B．p1，p4C．p2，p3 D．p2，p4 (2)(2017·金华一中模拟)下列命题中为真命题的是( ) A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题[解析] (1)设复数z＝a＋b i(a，b∈R)，对于p1，∵1z＝1a＋b i＝a－b ia2＋b2∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；对于p2，∵z2＝(a＋b i)2＝a2－b2＋2ab i∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命题；对于p3，设z1＝x＋y i(x，y∈R)，z2＝c＋d i(c，d∈R)，则z1z2＝(x＋y i)(c＋d i)＝cx－dy ＋(dx＋cy)i∈R，∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠z2，∴p3不是真命题；对于p4，∵z＝a＋b i∈R，∴b＝0，∴z＝a－b i＝a∈R，∴p4是真命题．(2)对于A，其逆命题是：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，其否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以原命题的否命题是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．故选A.[答案] (1)B (2)A1在判定四个命题之间的关系时，首先要分清命题的“大前提、条件、结论”，再进行比较.2判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例.3根据“互为逆否关系的命题同真同假”这一性质，当一个命题的真假不易判定时，可转化为判断其等价命题的真假.三、预测押题不能少2．(1)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数解析：选C 命题的逆否命题是将条件和结论对换后分别否定，因此“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数．(2)有下列四个命题：①若“xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题． 其中真命题为( ) A ．①② B ．②③ C ．④D ．①②③解析：选D ①的逆命题：“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”是真命题；②的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；③的逆否命题：“若x 2－2x ＋m ＝0没有实数解，则m >1”是真命题；命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题，如A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{4,5}，显然A ⊆B 是错误的．故选D.考点三 充要条件 一、基础知识要记牢对于p 和q 两个命题，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p ⇔q ，则p 和q 互为充要条件．推出符号“⇒”具有传递性，等价符号“⇔”具有双向传递性．二、经典例题领悟好[例3] (1)(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)设A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －1x ＋1<0，B ＝{x ||x －b |＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是________．[解析] (1)因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5，所以“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充分必要条件．(2)A ＝{x |－1＜x ＜1}，当a ＝1时，B ＝{x |b －1＜x ＜b ＋1}，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则有－1≤b －1＜1或－1＜b ＋1≤1，所以b ∈(－2,2)．[答案] (1)C (2)(－2,2)判定充分、必要条件时的关注点(1)要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .2要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行，那么可以尝试通过举出恰当的反例来说明.三、预测押题不能少3．(1)“10a>10b”是“lg a >lg b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由10a>10b得a >b ，由lg a >lg b 得a >b >0，所以“10a>10b”是“lg a >lg b ”的必要不充分条件．(2)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A p 表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p 是q 的必要不充分条件．故选A.[知能专练(一)]一、选择题1．(2017·北京高考)若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2<x <－1} B ．{x |－2<x <3} C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <3}解析：选A 由集合交集的定义可得A ∩B ＝{x |－2<x <－1}．2．(2017·浙江延安中学模拟)命题“若a 2＋b 2＝0，a ，b ∈R ，则a ＝b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a ≠b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝0 B ．若a ＝b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 C ．若a ≠0且b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 D ．若a ≠0或b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0解析：选D “若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，又a＝b＝0的实质为a＝0且b＝0，故其否定为a≠0或b≠0.故选D.3．(2017·宁波模拟)“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B ln(x＋1)<0⇔0<x＋1<1⇔－1<x<0，而(－1,0)是(－∞，0)的真子集，所以“x<0”是“l n(x＋1)<0”的必要不充分条件．4．(2017·吉林模拟)已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]解析：选A 设P＝{x|x>1或x<－3}，Q＝{x|x>a}，因为q是p的充分不必要条件，所以Q P，因此a≥1.5．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)·(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}解析：选C 因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．6．(2018届高三·安徽“江南十校”联考)已知集合A＝{x|x2－x≤0}，函数f(x)＝2－x(x ∈A)的值域为B，则(∁R A)∩B等于( )A．{x|1<x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤1} D．{x|x>1}解析：选A 由题意知，集合A＝{x|0≤x≤1}，∴B＝{y|1≤y≤2}，∁R A＝{x|x<0或x>1}，∴(∁R A)∩B＝{x|1<x≤2}．7．设集合S n＝{1,2,3，…，n}，n∈N*，若X⊆S n，把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X的容量为奇(偶)数，则称X为S n的奇(偶)子集．若n＝4，则S n的所有奇子集的容量之和为( ) A．7 B．8C．9 D．10解析：选A 若n＝4，则S n的所有奇子集为{1}，{3}，{1,3}，故所有奇子集的容量之和为7.8．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )A．3 B．2C．1 D．0解析：选B 因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y ＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.9．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.10．下列关于命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题的结论中成立的是( )A．都为真命题 B．都为假命题C．否命题为真命题 D．逆否命题为真命题解析：选D 对于原命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空时，可以有a>0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.二、填空题11．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,3,5}，T＝{2,3,6}，则S∩(∁U T)＝________，集合S共有________个子集．解析：由题意可得∁U T＝{1,4,5}，则S∩(∁U T)＝{1,5}．集合S的子集有∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，共8个．答案：{1,5} 812．(2017·南通模拟)给出下列三个命题：①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件．其中正确命题的序号为________．解析：“a>b”是“3a>3b”的充要条件，①错误；“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分也不必要条件，②错误；“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R)为奇函数”的充要条件，③正确．故正确命题的序号为③.答案：③13．已知R 是实数集，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2x <1，N ＝{y |y ＝x －1＋1}，则N ∩(∁R M )＝________，M ∪(∁R N )＝________.解析：M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2x <1＝{x |x <0或x >2}，N ＝{y |y ＝x －1＋1}＝{y |y ≥1}，∁R M ＝{x |0≤x ≤2}，∁R N ＝{y |y <1}，∴N ∩(∁R M )＝{x |1≤x ≤2}，M ∪(∁R N )＝{x |x <1或x >2}． 答案：{x |1≤x ≤2} {x |x <1或x >2}14．若“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件，则实数p 的取值范围是________． 解析：由x 2－x －2>0，得x >2或x <－1. 由4x ＋p <0得x <－p4.故－p 4≤－1时，“x <－p4”⇒“x <－1”⇒“x 2－x －2>0”．∴p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件． 答案：[4，＋∞)15．(2017·诸暨质检)已知A ＝{x |－2≤x ≤0}，B ＝{x |x 2－x －2≤0}，则A ∪B ＝________，(∁R A )∩B ＝________.解析：∵A ＝{x |－2≤x ≤0}，∴∁R A ＝{x |x <－2或x >0}，又B ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，∴A ∪B ＝{x |－2≤x ≤2}，∴(∁R A )∩B ＝{x |0<x ≤2}．答案：{x |－2≤x ≤2} {x |0<x ≤2}16．(2017·四川南山模拟)已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是________．解析：由题意知，13<x <12是不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 13<x <12是{x ||x －m |<1}的真子集．而{x ||x －m |<1}＝{x |－1＋m <x <1＋m }，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ≤13，1＋m ≥12(两个不等式不能同时取等号)，解得－12≤m ≤43，所以m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43 17．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{x |log 2(x －1)<2}，则A ∩B ＝______，A ∪B ＝________，∁R A ＝________.解析：∵A ＝{x |－1<x <4}，B ＝{x |1<x <5}，∴A ∩B ＝{x |1<x <4}，A ∪B ＝{x |－1<x <5}，∁R A ＝{x |x ≤－1或x ≥4}．答案：{x |1<x <4} {x |－1<x <5} {x ≤－1或x ≥4} [选做题]1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＝n ，y ＝na ＋b ，n ∈Z}，B ＝{(x ，y )|x ＝m ，y ＝3m 2＋12，m ∈Z}，若存在实数a ，b 使得A ∩B ≠∅成立，称点(a ，b )为“￡”点，则“￡”点在平面区域C ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤108}内的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个解析：选A A ＝{(x ，y )|x ＝n ，y ＝na ＋b ，n ∈Z}＝{(x ，y )|y ＝ax ＋b ，x ∈Z}，B ＝{(x ，y )|x＝m ，y ＝3m 2＋12，m ∈Z}＝{(x ，y )|y ＝3x 2＋12，x ∈Z}，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝3x 2＋12，故3x 2－ax ＋12－b ＝0，①因为A ∩B ≠∅，故Δ＝a 2－12(12－b )＝a 2＋12b －144≥0，即a 2＋12b ≥144，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋12b ≥144，a 2＋b 2≤108，解得a ＝±62，b ＝6，代入①中可知x ＝±2，这与x ∈Z 矛盾，故“￡”点在平面区域C ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤108}内的个数为0，故选A.2．对于非空数集A ，B ，定义A ＋B ＝{x ＋y |x ∈A ，y ∈B }，下列说法： ①A ＋B ＝B ＋A ；②(A ＋B )＋C ＝A ＋(B ＋C )； ③若A ＋A ＝B ＋B ，则A ＝B ； ④若A ＋C ＝B ＋C ，则A ＝B . 其中正确的是( ) A ．① B ．①② C ．②③D ．①④解析：选B 对于①，A ＋B ＝{x ＋y |x ∈A ，y ∈B }＝{y ＋x |x ∈A ，y ∈B }＝B ＋A ，①正确；对于②，(A ＋B )＋C ＝{(x ＋y )＋z |x ∈A ，y ∈B ，z ∈C }＝A ＋(B ＋C )，②正确；对于③，当A ＝{奇数}，B ＝{偶数}时，A ＋A ＝{偶数}＝B ＋B ，显然A ≠B ，③错误，对于④，当A ＝{奇数}，B ＝{偶数}，C ＝{整数}时，A ＋C ＝{整数}＝B ＋C ，显然A ≠B ，④错误．综上所述，正确的为①②，故选B.3．已知命题p ：对数log a (－2t 2＋7t －5)(a ＞0，a ≠1)有意义；q ：关于实数t 的不等式t2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0.若命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，－2t 2＋7t －5＞0，解得1＜t ＜52.∵命题p 是命题q 的充分不必要条件，∴1<t <52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0解集的真子集．因为方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0两根为1，a ＋2，故只需a ＋2>52，解得a >12.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞第二讲函数的概念与性质考点一 函数及其表示 一、基础知识要记牢(1)函数初、高中定义形式不同，本质一样，核心是对应； (2)当两个函数的三要素完全相同时表示同一个函数；(3)分段函数是一个函数而不是几个函数，离开定义域讨论分段函数是毫无意义的． 二、经典例题领悟好[例1] (1)(2015·浙江高考)存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|(2)(2017·嘉兴模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________.(3)(2016·江苏高考)函数y ＝ 3－2x －x 2的定义域是________．[解析] (1)取x ＝0，π2，可得f (0)＝0,1，这与函数的定义矛盾，所以选项A 错误；取x＝0，π，可得f (0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾，所以选项B 错误；取x ＝1，－1，可得f (2)＝2,0，这与函数的定义矛盾，所以选项C 错误；取f (x )＝ x ＋1，则对任意x ∈R 都有f (x 2＋2x )＝ x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|，故选项D 正确．(2)当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1>0，f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解．当a >0时，f (a )＝－a 2<0，由f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2，解得a ＝ 2.(3)要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．[答案] (1)D (2) 2 (3)[－3,1]1.理解函数概念的要点函数概念本质是对应，以具体函数模型为基础，在新背景、综合背景下理解. 2.求函数定义域的类型和相应方法 1若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式组即可；2实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义., 3.求函数值时应注意的问题分段函数的求值解不等式问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；对具有周期性的函数求值要利用好其周期性.三、预测押题不能少1．(1)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3<c ≤6 C ．6<c ≤9D ．c >9解析：选C 由题意，不妨设g (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，m ∈(0,3]，则g (x )的三个零点分别为x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝－1，因此有(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，则c －m ＝6，因此c ＝m ＋6∈(6,9]．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案：－2 考点二 函数的图象 一、基础知识要记牢函数的图象包括作图、识图、用图，其中作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．正确作图是解题的基本保障，识图、用图是解题的手段和目标．二、经典例题领悟好[例2] (1)(2016·浙江高考)函数y ＝sin x 2的图象是( )(2)函数f (x )的图象是如图所示的折线段OAB ，其中A (1,2)，B (3,0)，函数g (x )＝xf (x )，那么函数g (x )值域为( )A ．[0,2]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，94 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32D ．[0,4][解析] (1)∵y ＝sin(－x )2＝sin x 2，∴函数为偶函数，可排除A 项和C 项；当x ＝±π2时，y ＝sin x 2＝1，而π2＜π2，且y ＝sin π24＜1，故D 项正确． (2)由题图可知直线OA 的方程是y ＝2x ； 而k AB ＝0－23－1＝－1，所以直线AB 的方程为y ＝－(x －3)＝－x ＋3.由题意，知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，－x ＋3，1<x ≤3，所以g (x )＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤1，－x 2＋3x ，1<x ≤3.当0≤x ≤1时，g (x )＝2x 2∈[0,2]；当1<x ≤3时，g (x )＝－x 2＋3x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94，显然，当x ＝32时，取得最大值94；当x ＝3时，取得最小值0.综上所述，g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，94.[答案] (1)D (2)B由解析式确定函数图象的判断技巧(1)由函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)由函数的周期性，判断图象的循环往复. 三、预测押题不能少2．(1)函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是( )解析：选A 由二次函数的图象可知b <－1,0<a <1，所以g (x )＝a x＋b 为减函数，其图象由指数函数y ＝a x的图象向下平移|b |个单位长度得到，故选A.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )的图象如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a <2a －x ，即x <a 2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a ＋1<a2，即a <－2. 答案：(－∞，－2) 考点三 函数的性质 一、基础知识要记牢(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f (a ＋x )＝f (x )(a 不等于0)，则其一个周期T ＝|a |.二、经典例题领悟好[例3] (1)(2017·北京高考)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )( )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数(2)(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2B ．－1C ．0D ．2(3)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)[解析] (1)因为f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x ＝－[ 3x －⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数．(2)由题意知当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)． 又当x ＜0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.故选D. (3)∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )， ∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． ∵f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数， ∴f (－1)<f (0)<f (1)， 即f (－25)<f (80)<f (11)． [答案] (1)A (2)D (3)D函数性质综合应用问题的3种类型和解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.三、预测押题不能少3．(1)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]解析：选D ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)． 又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.(2)下列函数中既是奇函数又在其定义域上是减函数的是( ) A ．y ＝lg 1＋x1－xB ．y ＝e －x－e xC ．y ＝sin x －|cos x |D ．y ＝x 3－3x解析：选B 选项A 错误，因为函数f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝－lg 1＋x1－x ＝－f (x )，所以是奇函数且定义域为(－1,1)，因为g (x )＝1＋x 1－x ＝21－x －1是增函数，所以y ＝lg 1＋x1－x 是增函数；选项B 正确，f (－x )＝e x－e －x＝－(e －x－e x )＝－f (x )，所以是奇函数，因为y ＝e －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 是减函数，y ＝－e x是减函数，所以y ＝e －x －e x是减函数；选项C 错误，f (－x )＝－sin x －|cos x |≠－f (x )，所以f (x )＝sin x －|cos x |不是奇函数；选项D 错误，函数y ＝x 3－3x 是奇函数但不是单调函数．故选B.(3)若f (x )是定义在f (x )是定义在R 上的周期为4的函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x ，0≤x ≤1，cos πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫293＝________.解析：因为f (x )的周期为4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫293＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋53＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝cos 5π3＝cos π3＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫293＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝14.答案：14[知能专练(二)]一、选择题1．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时， f (x ) ＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：选A f (－1)＝－f (1)＝－2.2．(2017·大连测试)下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1解析：选C 函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C 符合要求．3．(2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图象大致为( )解析：选D f (2)＝8－e 2＞8－2.82＞0，排除A ；f (2)＝8－e 2＜8－2.72＜1，排除B ；x ＞0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )＜14×4－e 0＝0，因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14单调递减，排除C.故选D.4．(2017·天津高考)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C 由f (x )为奇函数，知g (x )＝xf (x )为偶函数．因为f (x )在R 上单调递增，f (0)＝0，所以当x >0时，f (x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )>0.又a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，20.8<2＝log 24<log 25.1<log 28＝3，所以b <a <c .5．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)解析：选B 由题意可知函数f (x )在(－∞，1]和(1，＋∞)上都为增函数，且f (x )的图象在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2，解得a ∈[4,8)．6．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 22x ，则“同根函数”是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )解析：选A f 4(x )＝log 22x ＝1＋log 2x ，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，将f 2(x )的图象沿着x 轴先向右平移2个单位得到y ＝log 2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )的图象，根据“同根函数”的定义可知选A.7．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：选B 因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x2＝0，f －x ＋f x2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1mx i ＝0，∑i ＝1my i ＝2×m2＝m ，所以∑i ＝1m(x i ＋y i )＝m .二、填空题8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x >0，a ，x ＝0，g 2x ，x <0为奇函数，则a ＝________，f (g (－2))＝________.解析：由函数f (x )是R 上的奇函数可得f (0)＝a ＝0.因为g (－2)＝f (－1)＝－f (1)＝－4，所以f (g (－2))＝f (－4)＝－f (4)＝－25.答案：0 －259．(2016·四川高考)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.解析：∵f (x )为奇函数，周期为2，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0. ∵f (x )＝4x，x ∈(0,1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 答案：－210．(2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．解析：因为函数f (x )的周期为2，结合在[－1,1)上f (x )的解析式，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，得－12＋a ＝110，解得a＝35.所以f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25. 答案：－2511．已知函数f (x )＝x ＋1|x |＋1，x ∈R ，则不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)的解集为________．解析：当x ≥0时，f (x )＝x ＋1x ＋1＝1，当x ＜0时，f (x )＝x ＋11－x ＝－1－2x －1， 作出f (x )的图象，如图所示．可得f (x )在(－∞，0)上递增，不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)即为⎩⎪⎨⎪⎧3x －4≥0，x 2－2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧3x －4<0，x 2－2x <0，x 2－2x <3x －4，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥43，0<x <2或⎩⎪⎨⎪⎧x <43，0<x <2，1<x <4，解得43≤x ＜2或1＜x ＜43，所以1＜x ＜2，即不等式的解集为(1,2)． 答案：(1,2)12．(2017·杭州模拟)设集合A ＝{x |x 2－|x ＋a |＋2a ＜0，a ∈R}，B ＝{x |x ＜2}．若A ≠∅且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知x 2－|x ＋a |＋2a ＜0⇒x 2＜|x ＋a |－2a ，其解集A ≠∅时，可设A ＝{m ＜x ＜n }． 首先，若n ＝2时，则|2＋a |－2a ＝4， 解得a ＝－2，满足A ⊆B .由函数y ＝|x ＋a |－2a 的图象可知，当a ＜－2时，n ＞2，不满足A ⊇B ，不合题意，即可知a ≥－2；考虑函数y ＝|x ＋a |－2a 的右支与y ＝x 2相切时，则x ＋a －2a ＝x 2，即x 2－x ＋a ＝0，解得a ＝14.又当a ≥14时，A ＝∅，即可知a ＜14.综上可知：－2≤a ＜14.或考虑函数y ＝|x ＋a |和函数y ＝x 2＋2a 进行数形结合．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，14 三、解答题13．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3是偶函数，且过点(2,7)，g (x )＝x ＋4. (1)求f (x )的解析式； (2)求函数F (x )＝f (2x)＋g (2x ＋1)的值域；(3)若f (x )≥mx ＋m ＋4对x ∈[2,6]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由题意，对任意x ∈R ，f (－x )＝f (x )， ∴ax 2－bx ＋3＝ax 2＋bx ＋3，得2bx ＝0， 又∵x ∈R ，∴b ＝0，得f (x )＝ax 2＋3.把点(2,7)代入得4a ＋3＝7，解得a ＝1，∴f (x )＝x 2＋3. (2)F (x )＝f (2x)＋g (2x ＋1)＝(2x )2＋3＋2x ＋1＋4＝(2x )2＋2×2x＋7.设2x＝t ，则t ∈(0，＋∞)，F (t )＝t 2＋2t ＋7＝(t ＋1)2＋6>7，∴函数F (x )的值域为(7，＋∞)．(3)依题意得当x ∈[2,6]时，x 2＋3≥mx ＋m ＋4恒成立，即x 2－mx －m －1≥0对x ∈[2,6]恒成立．设p (x )＝x 2－mx －m －1，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2<2，p 2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧m 2>6，p 6≥0或Δ＝m 2＋4m ＋4≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <4，m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m >12，m ≤5或m ＝－2，得m ≤1.综上可知，实数m 的取值范围是(－∞，1]． 14．设a >0，b ∈R ，函数f (x )＝ax－2bx ＋b (0<x ≤1)． (1)求函数f (x )的最小值；(2)若f (x )＋|2a －b |≥0在区间(0，m ]上恒成立，求实数m 的最大值．解：(1)当b ≥0时，f (x )在0<x ≤1上递减，此时f (x )min ＝f (1)＝a －2b ＋b ＝a －b ；当b <0时，有ax －2bx ≥2ax×－2bx ＝2－2ab ，x ＝ a －2b 时等号成立．当－a 2≤b <0，即 a－2b≥1时，f (x )在0<x ≤1上递减，此时f (x )min ＝f (1)＝a －b .当b <－a2，即a－2b<1时，此时f (x )min＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a －2b ＝2－2ab ＋b ，综上知f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b ，b ≥－a2，2－2ab ＋b ，b <－a2.(2)当b ≤2a 时，f (x )＋|2a －b |＝a x－2bx ＋2a≥a x－4ax ＋2a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －4x ＋2， 当b >2a 时，f (x )＋|2a －b |＝ax＋2b (1－x )－2a≥a x＋4a (1－x )－2a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －4x ＋2. 由1x －4x ＋2≥0，解得1－54≤x ≤1＋54， 又因为1＋54<1，所以m 的最大值为1＋54.第三讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用 考点一 基本初等函数的图象与性质一、基础知识要记牢指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数．二、经典例题领悟好[例1] (1)(2017·杭州模拟)将函数f(x)＝ax＋b，g(x)＝log a(1＋bx)的图象画在同一个平面直角坐标系中，其中可能正确的是( )(2)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )A．c＞b＞a B．b＞c＞aC．a＞c＞b D．a＞b＞c[解析] (1)因为g(0)＝0，故排除D；选项A中，由直线可以看出b<0，由1＋bx>0知，函数在y轴右侧的图象是有限的，排除A；选项C中，由直线可以看出b>0，由1＋bx>0知，函数在y轴左侧的图象是有限的，排除C，故选B.(2)a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72，∵log32>log52>log72，∴a>b>c.[答案] (1)B (2)D1基本初等函数的图象是其性质的直观载体，要结合图象理解性质；图象变换要以基本函数图象为基础，结合性质等判断、应用.2比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较.三、预测押题不能少1．(1)函数y＝x－x 13的图象大致为( )解析：选A 函数y ＝x －x 13为奇函数．当x >0时，由x －x 13>0，即x 3>x ，可得x 2>1，故x >1，结合选项，选A.(2)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b解析：选A 因为a ＝243，b ＝425＝245，由函数y ＝2x在R 上为增函数知，b <a ；又因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，由函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数知，a <c .综上得b <a <c .故选A.考点二 二次函数 一、基础知识要记牢二次函数的相关结论若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则(1)f (x )的图象与x 轴交点的横坐标是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的实根．(2)若x 1，x 2为f (x )＝0的实根，则f (x )在x 轴上截得的线段长应为|x 1－x 2|＝b 2－4ac|a |.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时，恒有f (x )>0；当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.二、经典例题领悟好[例2] (1)(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关(2)若二次函数f (x )满足f (3)＝f (－1)＝－5，且f (x )的最大值是3，则函数f (x )的解析式为________．(3)若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是减函数，则a 的取值范围是________．[解析] (1)f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a24＋b ，①当0≤－a2≤1时，f (x )min ＝m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b,1＋a ＋b }，∴M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a2<0时，f (x )在[0,1]上单调递增，∴M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关； ③当－a2>1时，f (x )在[0,1]上单调递减，∴M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关． 综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关．(2)法一：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝－5，a －b ＋c ＝－5，4ac －b 24a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，c ＝1，所以二次函数的解析式为f (x )＝－2x 2＋4x ＋1.法二：设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，因为f (3)＝f (－1)， 所以抛物线的对称轴为x ＝3＋－12＝1，则m ＝1.又f (x )的最大值是3，则a <0，n ＝3，即f (x )＝a (x －1)2＋3， 由f (3)＝－5得4a ＋3＝－5，则a ＝－2，所以二次函数的解析式为f (x )＝－2(x －1)2＋3＝－2x 2＋4x ＋1. 法三：设f (x )＋5＝a (x －3)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－2ax －3a －5＝a (x －1)2－4a －5， 又f (x )的最大值是3，则a <0，且－4a －5＝3，所以a ＝－2， 所以二次函数的解析式为f (x )＝－2x 2＋4x ＋1. (3)f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x ，令t ＝sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2， 则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，原函数化为y ＝－2t 2＋at ＋1，由题意及复合函数单调性的判定可知y ＝－2t 2＋at ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是减函数，结合二次函数图象可知，a 4≤12，所以a ≤2.答案：(1)B (2)f (x )＝－2x 2＋4x ＋1 (3)(－∞，2]解决有关二次函数两类综合问题的思想方法(1)含有参数的二次函数与不等式的综合问题注意分类讨论思想、函数与方程思想的运用． (2)二次函数的最值问题，通常采用配方法，将二次函数化为y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)的形式，得其图象顶点(m ，n )或对称轴方程x ＝m ，分三种情况：①顶点固定，区间固定； ②顶点含参数，区间固定； ③顶点固定，区间变动. 三、预测押题不能少2．(1)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，则a 的最小值是( )A ．0B ．2C ．－52D ．－3解析：选C 设f (x )＝x 2＋ax ＋1，其图象开口向上，对称轴为直线x ＝－a 2.当－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数，应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0⇒a ≥－52，∴－52≤a ≤－1.当－a 2≤0，即a ≥0时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是增函数，应有f (0)＝1≥0，恒成立，故a ≥0.当0<－a 2<12，即－1<a <0时，应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24－a22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a <0.综上，a 的取值范围是a ≥－52，所以a 的最小值是－52，故选C.(2)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．解析：设P ⎝⎛⎭⎪⎫x ，1x ，则|PA |2＝(x －a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2a 2－2，令t ＝x ＋1x，则t ≥2(x >0，当且仅当x ＝1时取“＝”)，则|PA |2＝t 2－2at ＋2a 2－2.①当a ≤2时，(|PA |2)min ＝22－2a ×2＋2a 2－2＝2a 2－4a ＋2，由题意知，2a 2－4a ＋2＝8， 解得a ＝－1或a ＝3(舍)．②当a >2时，(|PA |2)min ＝a 2－2a ×a ＋2a 2－2＝a 2－2. 由题意知，a 2－2＝8，解得a ＝10或a ＝－10(舍)， 综上知，a ＝－1，10. 答案：－1，10 考点三 函数的零点一、基础知识要记牢确定函数零点的常用方法(1)解方程判定法，方程易解时用此法； (2)利用零点存在的判定定理；(3)利用数形结合，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同时多以数形结合法求解． 二、经典例题领悟好[例3] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B.13C.12D ．1(2)(2018届高三·温州六校联考)函数f (x )＝3－x＋x 2－4的零点个数是________． [解析] (1)法一：由f (x )＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e2－x －1＋e－(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e1－x＋ex －1)＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)，所以f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a ＝12.法二：由f (x )＝0⇔a (e x －1＋e －x ＋1)＝－x 2＋2x .ex －1＋e－x ＋1≥2ex －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a >0，则a (ex －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 综上所述，a ＝12.。

《备战2020年浙江省高考数学优质卷分类解析》第一章 集合、常用逻辑用语与复数1.集合的运算，五年五考.高考对集合基本运算的考查，集合由描述法呈现，转向由离散元素呈现．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的，明确集合中含有的元素，进一步进行交、并、补等运算．常见选择题.2. 充要条件，五年五考.高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查，主要命题形式是选择题.由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要集中在以函数、方程、不等式、立体几何线面关系、数列等为背景的充分条件和必要条件的判定．3.复数的概念运算，五年三考（近三年）.常见题型有选择题、填空题，重点考查除法、乘法等运算，同时考查复数的模、共轭复数等概念.一．选择题1．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．【浙江省台州市2019届高三4月调研】若全集，集合，，则集合（ ）A ．B ．C ．D ．3．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则A B ⋂=（ ） A ．[2,3]B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4}4．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】已知集合 A ＝{1，2，－1}，集合 B ＝{y | y ＝x 2，x∈A}，则A∪B＝（ ） A ．{1} B ．{1，2，4}C ．{-1，1，2，4}D ．{1，4}5．【浙江省宁波市2019届高三上期末】已知集合，则（ ）. A ．B ．C ．D ．6．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末】如果全集，，，则A ．B ．C ．D ．8．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考】若集合，，则（ ） A ．B ．C ．D ．9．【浙江省金华十校2019届下学期高考模拟】设集合11{|}22M x x =-<<，2{|}N x x x =≤，则M N ⋂=（ ）A ．1[0,)2B ．1(,1]2-C ．1[1,)2-D ．1(,0]2-10．【浙江省金华十校2019届下学期高考模拟】已知,a b ∈R ，下列四个条件中，使a b >成立的充分不必要的条件是（ ） A ．1a b >-B ．1a b >+C ．a b >D ．22a b > 11．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末】已知条件p ：，条件，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 12．【浙江省台州市2019届高三4月调研】已知，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．【浙江省宁波市2019届高三上学期期末】已知平面 ，直线满足，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 14．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知平面，直线，若，，，则“”是“中至少有一条与垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】已知a ，b 都是实数，那么“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】设0a >，0b >，则“lg()0ab >”是“lg()0a b +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件17．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件18. 【浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考】已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 19.【浙江省2019届高考模拟卷（三)】在中，“”是“为钝角三角形”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 20．【浙江省七彩联盟2019届高三上期中】设，则“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件21. 【浙江省2019届高考模拟卷（一)】已知圆．设条件，条件圆上至多有个点到直线的距离为，则是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件22. 【浙江省2019届高考模拟卷（二)】已知平面，直线满足，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件23．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】复数（为虚数单位）的共轭复数是（）A．B．C．D．24．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限25．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】已知i是虚数单位，复数z满足2(1)1iiz-=+，则z=（）A．2B．2 C．1 D．526．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】已知i是虚数单位，则等于（）A．1 -i B．1 +i C．- 1 - i D．- 1＋i27．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考】己知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二.填空题28．【浙江省宁波市2019届高三上期末】设为虚数单位，给定复数，则的虚部为___；模为___29．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末】已知复数z 的共轭复数，则复数z 的虚部是______，______．30．【浙江省金华十校2019届下学期高考模拟】已知复数z 满足(12)34i z i +=-，i 为虚数单位，则z 的虚部是_____，z =_____．。