2020高考数学二轮复习小题分类练一[浙江]

保分大题规范专练（一）1. 已知函数f&）=sin （3v+e ）（3>0, — ”<0〈0）的最小正周期是n,将函数f&）的图 象向左平移才个单位长度后所得的函数图象过点尸（0, 1）.（1） 求函数f （x ）的解析式：（2） 若曲［o,日，求函数fU ）的值域.2 it解：（1）由函数f3=sin3x+0）（G 〉O, —九〈0<0）的最小正周期是得——=n,即（if0的图象过点（0,1）,得牛+ </»=；+2&刃，&WZ,又—得 0 = —y,所以函数解析式为Z =sin （2L*）.所以 sin （2x —百）丘［—1 , 即函数f3的值域为［一*，1 .2. 在四棱锥尸 丽Q 中，平面如丄底^ABCD, PDLCD.疋为牝的中点，底而是直角 梯形” AB" CD 、ZADC=90° , AB=AD=PD=\, CD=2.（1） 求tlE ：亦//平而叱（2） 求直线亦与平而敕所成角的余弦值.解：法一：（1）证明：取刃的中点只连接胡AF. 由于疔是△加的中位线，所以EF 咙CD.又也統*仞，所以EF 統AB,JI6⑵由xG所以四边形如■是平行四边形，所以庞〃朋又护=平而用2所以亦〃平而咖(2)取丹的中点M连接則，则刃/是△磁的中位线，所以三"〃万C在△反P 中，BD=BC=d CD=2、则B C+B/=C Z所以应丄皿又平而加丄底而ABCD. PDLCD, 则刃丄平而馭P, PDVBC.从而万Q丄平而磁，刃/丄平而磁，ZEBH即是直线颱与平面啟?所成的角.AB=AD=PD=\. CD=2、解得滋=芈，£件+丹=芈，A/15从而cosZf®娇=七一.o所以直线亦与平而翊所成角的余弦值为电I 法二：因为平Ifil PCDL平而月万平而PCDC平而PDICD、砂平|fi] PCD. 所以PDA.AD.因为ZADC=90° ,所以肋丄Q,则加，DC,莎两两垂直.以0为坐标原点，DA. DC、莎分别为*, y, z轴建立空间直角坐标系(图略).则0(0,0, 0),月(1,0,0), 5(1, 1,0), C(0, 2, 0), P(0, 0,1),⑴证明：话=(-1, 0,平面用Q即平而xOz.所以可取其一法向量m= (0, 1, 0)・则厉•血=0,即辰丄血又磁平而用D所以册〃平面PAD.(2)设平而啟?的一个法向量为”=(為y, z),n • DP =0, 则彳.n • DB =0,z=0t即[卄。

2019-2020年高考数学二轮复习专题1 高考客观题常考知识第3讲不等式与线性规划理不等式的解法1.设f(x)=则不等式f(x)<2的解集为( B )(A)(,+∞) (B)(-∞,1)∪[2,)(C)(1,2]∪(,+∞) (D)(1,)解析:原不等式等价于或即或解得2≤x<或x<1.故选B.2.(xx山东卷)若函数f(x)=是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为( C )(A)(-∞,-1) (B)(-1,0)(C)(0,1) (D)(1,+∞)解析:f(-x)==,由f(-x)=-f(x)得=-,即1-a·2x=-2x+a,化简得a·(1+2x)=1+2x,所以a=1.f(x)=.由f(x)>3,得0<x<1,故选C.3.(xx陕西西安市模拟)关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=12,则实数a的值等于.解析:因为关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),所以x1+x2=2a,x1·x2=-3a2,又x2-x1=12,(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1·x2,所以144=4a2+12a2=16a2,解得a=±3,因为a<0,所以a=-3.答案:-3简单的线性规划问题4.(xx北京卷)若x,y满足,则z=x+2y的最大值为( D )(A)0 (B)1 (C) (D)2解析:由x,y的约束条件可画出可行域(如图所示),其中A（,）,B(0,1),易知直线x+2y-z=0经过点B(0,1)时,z取最大值2,故选D.5.(xx浙江温州市第二次适应测试)若实数x,y满足不等式组且z=y-2x的最小值等于-2,则实数m的值等于( A )(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2解析:由z=y-2x,得y=2x+z,作出不等式对应的可行域,平移直线y=2x+z,由平移可知当直线y=2x+z经过点A时,直线y=2x+z的截距最小,此时z取得最小值为-2, 即y-2x=-2,由解得即A(1,0),点A也在直线x+y+m=0上,则m=-1.故选A.6.(xx贵州遵义市第二次联考)若则目标函数z=的取值范围是( A )(A)[2,5] (B)[1,5] (C)[,2] (D)[2,6]解析:z==1+2,可理解为求斜率的最值问题,画出可行域如图阴影部分,可知k=在(1,2)点处最大,最大为2;在(2,1)点处最小,最小为,所以z的取值范围为[2,5].故选A.7.(xx河南开封市模拟)设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是.解析:作出区域D的图象,联系指数函数y=a x的图象,能够看出,当图象经过区域的边界点C(2,9)时,a可以取到最大值3,而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点.则a的取值范围是1<a≤3.答案:(1,3]基本不等式的应用8.(xx甘肃省河西五地市高三第一次联考)函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A 在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则+的最小值为( B )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(1,1),又点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,所以m+n=1,所以+=(m+n)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当m=n=时取等号.故选B.9.(xx河南郑州市第一次质量预测)某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则xy的最大值为( C )(A)32 (B)32 (C)64 (D)64解析:设该三棱锥的高为h,由三视图知,两式相减并整理得x2+y2=128.又因为xy≤==64(仅当x=y时取等号).10.(xx广东深圳市第一次调研考试)已知向量a=(-1,1),b=(1,)(x>0,y>0),若a⊥b,则x+4y的最小值为.解析:由a⊥b得-1+=0,+=1,(x+4y)·(+)=5++≥2+5=9.（当且仅当=时取等号）答案:9一、选择题1.(xx四川资阳市三模)已知loa<lob,则下列不等式一定成立的是( A )(A)（）a<()b (B)>(C)ln(a-b)>0 (D)3a-b<1解析:因为y=lox是定义域上的减函数,且loa<lob,所以a>b>0.又因为y=()x是定义域R上的减函数,所以()a<()b;又因为y=x b在(0,+∞)上是增函数,所以（）b<（）b;所以（）a<（）b,选项A正确.2.(xx湖南卷)若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为( A )(A)-7 (B)-1 (C)1 (D)2解析:画出可行域如图所示.当直线y=3x-z过点C(-2,1)时,z取最小值,故z min=3×(-2)-1=-7.故选A.3.(xx广西柳州市、北海市、钦州市1月份模拟)设变量x,y满足约束条件则z=2x×的最小值为( B )(A) (B) (C) (D)解析:可得z=2x-2y,设m=x-2y,不等式组表示的平面区域如图阴影部分,平移直线l:y=x,由图象可知直线l经过点A时,其截距最大,m最小,z最小,解方程组得A(2,2),则z最小=.4.(xx江西南昌市第一次模拟)已知实数x,y满足若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2,则实数m的值为( C )(A)4 (B)3 (C)2 (D)-解析:作出可行域如图,根据目标函数的几何意义可转化为直线y=-2x+z的截距,可知在N点z取最小值,在M点z取最大值.因为N(m-1,m),M(4-m,m),所以z M-z N=2(4-m)+m-2(m-1)-m=10-4m=2,所以m=2.5.(xx甘肃省河西五地市高三第一次联考)已知集合{(x,y)|}表示的平面区域为Ω,若在区域Ω内任取一点P(x,y),则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为( D )(A) (B) (C) (D)解析:作出不等式组对应的平面区域如图,则对应的区域为△AOB.由解得即B(4,-4).由解得即A（,）.直线2x+y-4=0与x轴的交点坐标为(2,0),则△OAB的面积S=×2×+×2×4=.点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=×π×()2=,由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=.故选D.6.(xx陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( D )甲乙原料限额A(吨) 3 2 12B(吨) 1 2 8解析:设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,每天获得的利润为z万元,则有z=3x+4y,由题意得x,y满足不等式组表示的可行域是以O(0,0),A(4,0),B(2,3),C(0,4)为顶点的四边形及其内部.根据线性规划的有关知识,知当直线3x+4y-z=0过点B(2,3)时,z取最大值18,故该企业每天可获得最大利润为18万元.故选D.7.设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f(),r=[f(a)+f(b)],则下列关系式中正确的是( C )(A)q=r<p (B)q=r>p(C)p=r<q (D)p=r>q解析:由题意得p=ln ,q=ln ,r=(ln a+ln b)=ln =p,因为0<a<b,所以>,所以ln >ln ,所以p=r<q.故选C.8.(xx四川南充市第一次高考适应性考试)若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)满足约束条件且最大值为40,则+的最小值为( B )(A) (B) (C)1 (D)4解析:不等式表示的平面区域为如图阴影部分,当直线z=ax+by(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线2x-y-6=0的交点(8,10)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值40,即8a+10b=40,即4a+5b=20,而+=(+)=+(+)≥+1=.故选B.9.(xx山东卷)已知x,y满足约束条件当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时, a2+b2的最小值为( B )(A)5 (B)4 (C) (D)2解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A(2,1)处取得最小值,故2a+b=2.法一将2a+b=2两边分别平方得4a2+b2+4ab=20,而4ab=2×a×2b≤a2+4b2,当且仅当a=2b, 即a=,b=时取等号.所以20≤4a2+b2+a2+4b2=5(a2+b2),所以a2+b2≥4,即a2+b2的最小值为4.故选B.法二将2a+b=2看作平面直角坐标系aOb中的直线,则a2+b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方,故其最小值为坐标原点到直线2a+b=2距离的平方,即()2=4.故选B.10.(xx重庆卷)若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为( B )(A)-3 (B)1 (C) (D)3解析:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图可知,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则m>-1.由解得即A(1-m,1+m).由解得即B(-m,+m).因为S△ABC=S△ADC-S△BDC=(2+2m)[(1+m)-(+m)]=(m+1)2=,所以m=1或m=-3(舍去),故选B.11.(xx四川宜宾市二诊)已知集合A={x∈R|x4+mx-2=0},满足a∈A的所有点M(a,)均在直线y=x的同侧,则实数m的取值范围是( A )(A)(-∞,-)∪(,+∞)(B)(-,-1)∪(1,)(C)(-5,-)∪(,6)(D)(-∞,-6)∪(6,+∞)解析:因为集合A={x∈R|x4+mx-2=0},所以方程的根显然x≠0,原方程等价于x3+m=,原方程的实根是曲线y=x3+m与曲线y=的交点的横坐标,而曲线y=x3+m是由曲线y=x3向上或向下平移|m|个单位而得到的,若交点(x i,)(i=1,2)均在直线y=x的同侧,因直线y=x与y=交点为(-,-),(,);所以结合图象可得或解得m>或m<-.故选A.12.已知函数f(x)=x+sin x(x∈R),且f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,则当y≥1时,的取值范围是( A )(A)[,] (B)[0,] (C)[,] (D)[0,]解析:因为f(-x)=-x+sin(-x)=-f(x),且f′(x)=1+cos x≥0,所以函数f(x)为奇函数,且在R上是增函数.所以由f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,得f(y2-2y+3)≤f(-x2+4x-1),所以y2-2y+3≤-x2+4x-1,即(x-2)2+(y-1)2≤1,其表示圆(x-2)2+(y-1)2=1及其内部.表示满足的点P与定点A(-1,0)连线的斜率.结合图形分析可知,直线AC的斜率=最小,切线AB的斜率tan∠BAX=tan 2∠PAX===最大.故选A.二、填空题13.(xx江苏卷)不等式<4的解集为.解析:不等式<4可转化为<22,由指数函数y=2x为增函数知x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集为(-1,2).答案:(-1,2)14.(xx新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是.解析:由题意,得函数f(x)的草图如图所示.因为f(x-1)>0,所以|x-1|<2,所以-2<x-1<2,所以-1<x<3.答案:(-1,3)15.(xx合肥八中段考)若正数a,b满足a+2b=3,且使不等式+-m>0恒成立,则实数m的取值范围是.解析:不等式+-m>0恒成立,即3(+)>3m恒成立.又正数a,b满足a+2b=3,(a+2b)(+)=+++2≥,当且仅当a=b=1时取“=”,所以实数m的取值范围是(-∞,).答案:(-∞,)16.(xx浙江卷)已知函数f(x)=则f(f(-3))= ,f(x)的最小值是.解析:因为-3<1,所以f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg 10=1,所以f(f(-3))=f(1)=1+-3=0.当x≥1时,f(x)=x+-3≥2-3(当且仅当x=时,取“=”),当x<1时,x2+1≥1,所以f(x)=lg(x2+1)≥0,又因为2-3<0,所以f(x)min=2-3.答案:0 2-3。

小题分类练(三) 综合计算类(1)1．设复数z ＝2－1－i ,则z ·z ＝( )A ．1 B. 2 C ．2D ．42．设集合A ＝{n |n ＝3k －1,k ∈Z },B ＝{x ||x －1|>3},则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{－1,2} B ．{－2,－1,1,2,4} C ．{1,4}D ．∅3．已知函数f (x )＝1x cos x ,则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝( ) A ．－2πB ．－3πC.2πD.3π4．若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的渐近线相同,且双曲线C 2的焦距为45,则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．85．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标压缩为原来的12(纵坐标不变),所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π36．已知AB 是圆O 的直径,AB 长为2,C 是圆O 上异于A ,B 的一点,P 是圆O 所在平面上任意一点,则(PA →＋PB →)·PC →的最小值为( )A ．－14B ．－13C ．－12D ．－17．已知三棱锥P ­ABC 的四个顶点都在球O 的表面上,PA ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,且PA ＝8.若平面ABC 截球O 所得截面的面积为9π,则球O 的表面积为( )A ．10πB ．25πC ．50πD ．100π8．已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5,t ),若圆C 上存在两点A ,B 使得MA ⊥MB ,则实数t 的取值范围是( )A ．[－2,6]B ．[－3,5]C ．[2,6]D ．[3,5]9．若不等式x 2－2ax ＋a >0对一切实数x ∈R 恒成立,则关于t 的不等式at 2＋2t －3<1的解集为( )A ．(－3,1)B ．(－∞,－3)∪(1,＋∞)C ．∅D ．(0,1)10．设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12n(n ∈N *)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n ,b n ,则a 1＋a 2＋…＋a nb 1＋b 2＋…＋b n＝( )A ．2n －1＋3 B ．2(2n －1＋1)C ．2n ＋1D ．111．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 的图象在点(1,f (1))处的切线方程为2x －y －5＝0,则a ＝________,b ＝________．12．某几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的表面积是________cm 2,体积是________cm 3.13．在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若b sin A ＝a sin C ,c ＝1,则b ＝________,△ABC 面积的最大值为________．14．在△ABC 中,|AB →|＝3,|AC →|＝2,点D 满足2BD →＝3DC →,∠BAC ＝60°,则AD →·BC →＝________． 15．在数列{a n }中,a 1＝0,且对任意k ∈N *,a 2k －1,a 2k ,a 2k ＋1成等差数列,其公差为2k ,则a n ＝________．16．设函数f (x )是定义在(－∞,0)上的可导函数,其导函数为f ′(x ),且有2f (x )＋xf ′(x )＞x 2,则不等式(x ＋2 018)2f (x ＋2 018)－4f (－2)＞0的解集为________．17．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为F 1、F 2,且两条曲线在第一象限的交点为P ,△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形,若|PF 1|＝10,椭圆与双曲线的离心率分别为e 1,e 2,则e 1e 2＋1的取值范围是________．小题分类练(三)1．解析：选C.因为z ＝2（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）＝－2＋2i2＝－1＋i,所以z ·z ＝(－1＋i)(－1－i)＝2.2．解析：选A.当k ＝－1时,n ＝－4；当k ＝0时,n ＝－1；当k ＝1时,n ＝2；当k ＝2时,n ＝5.由|x －1|>3,得x －1>3或x －1<－3,即x >4或x <－2,所以B ＝{x |x <－2或x >4},∁R B ＝{x |－2≤x ≤4|,A ∩(∁R B )＝{－1,2}．3．解析：选B.由题意知,f ′(x )＝－1x 2cos x －1x sin x ,则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1π×(－1)＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1⎝ ⎛⎭⎪⎫π22×0－1π2×1＝－1π－2π＝－3π.4．解析：选B.由题意得,ba＝2⇒b ＝2a ,C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4.故选B.5．解析：选A.将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标压缩为原来的12得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象,令－π2≤2x ＋π6≤π2,解得－π3≤x ≤π6,即所得函数的一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6,是其子区间的只有选项A. 6．解析：选C.PA →＋PB →＝2PO →,所以(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →,取OC 中点D ,由极化恒等式得PO →·PC →＝|PD |2－14|OC |2＝|PD |2－14,又|PD |2min ＝0,所以(PA →＋PB →)·PC →的最小值为－12.7．解析：选D.设球O 的半径为R ,由平面ABC 截球O 所得截面的面积为9π,得△ABC 的外接圆的半径为3.设该外接圆的圆心为D ,因为AB ⊥BC ,所以点D 为AC 的中点,所以DC ＝3.因为PA ⊥平面ABC ,易证PB ⊥BC ,所以PC 为球O 的直径．又PA ＝8,所以OD ＝12PA ＝4,所以R ＝OC＝42＋32＝5,所以球O 的表面积为S ＝4πR 2＝100π,故选D.8．解析：选C.法一：当MA ,MB 是圆C 的切线时,∠AMB 取得最大值．若圆C 上存在两点A ,B 使得MA ⊥MB ,则MA ,MB 是圆C 的切线时,∠AMB ≥90°,∠AMC ≥45°,且∠AMC <90°,如图,所以|MC |＝（5－1）2＋（t －4）2≤10sin 45°＝20,所以16＋(t －4)2≤20,所以2≤t ≤6,故选C.法二：由于点M (5,t )是直线x ＝5上的点,圆心的纵坐标为4,所以实数t 的取值范围一定关于t ＝4对称,故排除选项A,B.当t ＝2时,|CM |＝25,若MA ,MB 为圆C 的切线,则sin∠CMA ＝sin∠CMB ＝1025＝22,所以∠CMA ＝∠CMB ＝45°,即MA ⊥MB ,所以t ＝2时符合题意,故排除选项D.选C.9．解析：选B.不等式x 2－2ax ＋a >0对一切实数x ∈R 恒成立,则Δ＝(－2a )2－4a <0,即a 2－a <0,解得0<a <1,所以不等式at 2＋2t －3<1转化为t 2＋2t －3>0,解得t <－3或t >1,故选B.10．解析：选C.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12n (n ∈N *)展开式的二项式系数和为2n,各项系数和为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ,所以a n ＝2n,b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n, 所以a 1＋a 2＋…＋a nb 1＋b 2＋…＋b n ＝2×（1－2n）1－212×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2n ＋1－21－12n＝2n ＋1,故选C. 11．解析：由f (x )＝x 3＋ax ＋b ,得f ′(x )＝3x 2＋a ,由题意,得f ′(1)＝3＋a ＝2,解得a ＝－1.又在切线方程中,当x ＝1时,y ＝－3,所以f (1)＝13－1×1＋b ＝－3,解得b ＝－3.答案：－1 －312．解析：如图,由三视图可知,该几何体为长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1截去长方体OEDF ­O 1E 1D 1F 1后剩余的部分,其中正方形ABCD 的边长为2 cm,O ,O 1分别为正方形ABCD 和正方形A 1B 1C 1D 1的中心,E ,F ,E 1,F 1是棱的中点,AA 1的长为 4 cm.则该几何体的表面积S ＝2×2×2＋2×4×4－1×1×2＝38 cm 2,体积V ＝2×2×4－1×1×4＝12 cm 3.答案：38 1213．解析：因为b sin A ＝a sin C ,所以由正弦定理可得ba ＝ac ,所以b ＝c ＝1. 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12sin A ≤12,当sin A ＝1,即A ＝90°时,三角形面积最大．答案：1 1214．解析：因为2BD →＝3DC →,所以BD →＝35BC →,所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋35BC →＝AB →＋35(AC →－AB →)＝35AC→＋25AB →. 所以AD →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35AC →＋25AB →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35AC →＋25AB →·(AC →－AB →)＝35AC →2－15AB →·AC →－25AB →2＝35×22－15×2×3×cos 60°－25×32＝－95.答案：－9515．解析：因为数列{a n }中a 1＝0,且对任意k ∈N *,a 2k －1,a 2k ,a 2k ＋1成等差数列,其公差为2k ,所以a 2k ＋1－a 2k －1＝4k 对∀k ∈N *恒成立,a 2k －1＝a 1＋(a 3－a 1)＋(a 5－a 3)＋(a 7－a 5)＋…＋(a 2k －1－a 2k －3)＝0＋4＋8＋12＋…＋4(k －1)＝k （0＋4k －4）2＝4k 2－4k 2＝（2k －1）2－12,a 2k ＝a 2k －1＋2k ＝（2k －1）2－12＋2k ＝2k 2＝（2k ）22. 所以a n＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2－12（n 为奇数）n 22（n 为偶数）.答案：a n＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2－12（n 为奇数）n 22（n 为偶数）16．解析：由2f (x )＋xf ′(x )＞x 2(x ＜0),得：2xf (x )＋x 2f ′(x )＜x 3,即[x 2f (x )]′＜x 3＜0,令F (x )＝x 2f (x ),则当x ＜0时,得F ′(x )＜0,即F (x )在(－∞,0)上是减函数,所以F (x ＋2 018)＝(x ＋2 018)2f (x ＋2 018),F (－2)＝4f (－2),即不等式等价为F (x ＋2 018)－F (－2)＞0,因为F (x )在(－∞,0)是减函数,所以由F (x ＋2 018)＞F (－2)得,x ＋2 018＜－2,即x ＜－2 020.答案：{x |x ＜－2 020}17．解析：设椭圆与双曲线的半焦距为c ,|PF 1|＝r 1,|PF 2|＝r 2,由题意知r 1＝10,r 2＝2c ,且r 1>r 2,2r 2>r 1,所以2c <10,2c ＋2c >10,所以52<c <5,254<c 2<25.所以e 1＝2c 2a 椭＝2c r 1＋r 2＝2c10＋2c ＝c5＋c ,e 2＝2c 2a 双＝2c r 1－r 2＝2c 10－2c ＝c 5－c ,所以e 1e 2＋1＝c 225－c 2＋1＝2525－c 2＝11－c 225>43. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞。

第二讲 复数、平面向量微专题1 复数常考常用结论1．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1)当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数． (2)z 的共轭复数z ̅＝a －b i. (3)z 的模|z |＝√a 2+b 2. 2．已知i 是虚数单位，则 (1)(1±i)2＝±2i ，1+i 1−i ＝i ，1−i1+i ＝－i.(2)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.保 分 题1.[2022·新高考Ⅱ卷](2＋2i)(1－2i)＝( ) A ．－2＋4i B ．－2－4i C ．6＋2i D ．6－2i 2．[2022·全国甲卷]若z ＝1＋i ，则|i z ＋3z ̅|＝( ) A ．4√5 B ．4√2 C ．2√5D ．2√23．[2022·全国乙卷]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ̅＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( ) A ．a ＝1，b ＝－2 B ．a ＝－1，b ＝2 C ．a ＝1，b ＝2 D ．a ＝－1，b ＝－2提 分 题例1 (1)[2022·福建漳州一模]已知z ＝|√3i －1|＋11+i，则在复平面内z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)[2022·山东潍坊二模](多选)若复数z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋i ，其中i 是虚数单位，则下列说法正确的是( )A ．z1z 2∈RB.z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅C ．若z 1＋m (m ∈R )是纯虚数，那么m ＝－2D ．若z 1，z 2在复平面内对应的向量分别为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)，则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |＝5 听课笔记：【技法领悟】复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i 的幂的性质、运算法则来优化运算过程．巩固训练11.[2022·山东泰安二模]已知复数z ＝3−i 1−2i，i 是虚数单位，则复数z ̅－4在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．[2022·河北保定二模](多选)已知复数z 满足方程(z 2－4)(z 2－4z ＋5)＝0，则( )A ．z 可能为纯虚数B ．方程各根之和为4C ．z 可能为2－iD ．方程各根之积为－20微专题2 平面向量常考常用结论1．平面向量的两个定理 (1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．2．平面向量的坐标运算设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，θ为a 与b 的夹角． (1)a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(4)|a |＝√a ·a ＝√x 12+y 12.(5)cos θ＝a·b|a ||b |＝1212√x 1+y 1 √x 2+y 2.保 分 题1.△ABC 中，E 是边BC 上靠近B 的三等分点，则向量AE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．23AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2．[2022·全国乙卷]已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝√3，|a －2b |＝3，则a ·b ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 3．[2022·全国甲卷]已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(1，m ＋1)，若a ⊥b ，则m ＝________．提 分 题例2 (1)[2022·河北石家庄二模]在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，CD 的中点，若BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．34a ＋23b B ．23a ＋23bC ．34a ＋34bD ．23a ＋34b(2)[2022·山东济宁一模]等边三角形ABC 的外接圆的半径为2，点P 是该圆上的动点，则PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A ．4 B ．7 C ．8 D ．11 听课笔记：【技法领悟】求解向量数量积最值问题的两种思路1．直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．2．建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．巩固训练21.[2022·山东济南二模]在等腰梯形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 为BC 的中点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( )A ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD⃗⃗⃗⃗⃗ D ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD⃗⃗⃗⃗⃗ 2．[2022·福建漳州二模]已知△ABC 是边长为2的正三角形，P 为线段AB 上一点(包含端点)，则PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A ．[－14，2] B ．[－14，4] C ．[0，2]D ．[0，4]第二讲 复数、平面向量微专题1 复数保分题1．解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i ＋2i －4i 2＝2－2i ＋4＝6－2i.故选D. 答案：D2．解析：因为z ＝1＋i ，所以z ̅＝1－i ，所以i z ＋3z ̅＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i ，所以|i z ＋3z ̅|＝|2－2i|＝√22+(−2)2＝2√2.故选D. 答案：D3．解析：由z ＝1－2i 可知z ̅＝1＋2i.由z ＋a z ̅＋b ＝0，得1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝1＋a ＋b ＋(2a －2)i ＝0.根据复数相等，得{1+a +b =0，2a −2=0，解得{a =1，b =−2.故选A.答案：A提分题[例1] 解析：(1)∵z ＝|√3i －1|＋11+i ＝ √(√3)2+(−1)2+1−i1−i 2＝2＋1−i 2＝52−12i ，∴复平面内z 对应的点(52，－12)位于第四象限． (2)对于A ，z1z 2＝2+3i −1+i＝(2+3i )(−1−i )(−1+i )(−1−i )＝1−5i 2＝12−52i ，A 错误；对于B ，∵z 1·z 2＝(2＋3i)(－1＋i)＝-5-i ，∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝－5＋i ；又z 1̅·z 2̅＝(2－3i)(－1－i)＝-5+i ，∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅，B 正确；对于C ，∵z 1＋m ＝2＋m ＋3i 为纯虚数，∴m ＋2＝0，解得：m ＝－2，C 正确； 对于D ，由题意得：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1，－1)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－3，－4)，∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√9+16＝5，D 正确．答案：(1)D (2)BCD [巩固训练1]1．解析：z ＝3−i1−2i ＝(3−i )(1+2i )(1−2i )(1+2i )＝5+5i 5＝1＋i ，则z ̅－4＝1－i －4＝－3－i ，对应的点位于第三象限．故选C.答案：C2．解析：由(z 2－4)(z 2－4z ＋5)＝0，得z 2－4＝0或z 2－4z ＋5＝0， 即z 2＝4或(z －2)2＝－1，解得：z ＝±2或z ＝2±i ，显然A 错误，C 正确； 各根之和为－2＋2＋(2＋i)＋(2－i)＝4，B 正确； 各根之积为－2×2×(2＋i)(2－i)＝－20，D 正确． 答案：BCD微专题2 平面向量保分题1．解析：因为点E 是BC 边上靠近B 的三等分点，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选C. 答案：C2．解析：将|a －2b |＝3两边平方，得a 2－4a ·b ＋4b 2＝9.因为|a |＝1，|b |＝√3，所以1－4a ·b ＋12＝9，解得a ·b ＝1.故选C.答案：C3．解析：由a ⊥b ，可得a ·b ＝(m ，3)·(1，m ＋1)＝m ＋3m ＋3＝0，所以m ＝－34. 答案：－34提分题[例2] 解析：(1)如图所示，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝m ，AD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝n ，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x a ＋y b ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x a ＋y b ＝x (12n －m )＋y (n －12m )＝(12x ＋y )n －(x ＋12y )m ， 又因为BD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝n －m ， 所以{12x +y =1x +12y =1，解得x ＝23，y ＝23，所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝23a ＋23b . 故选B.(2)如图，等边三角形ABC ，O 为等边三角形ABC 的外接圆的圆心，以O 为原点，AO 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．因为AO ＝2，所以A (0，2)，设等边三角形ABC 的边长为a ，则asin A ＝asin 60°＝2R ＝4，所以a ＝2√3，则B (－√3，－1)，C (√3，－1).又因为P 是该圆上的动点，所以设P (2cos θ，2sin θ)，θ∈[0，2π)， PA ⃗⃗⃗⃗ ＝(－2cos θ，2－2sin θ)，PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－√3－2cos θ，－1－2sin θ)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(√3－2cos θ，－1－2sin θ)，PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ＝－2cos θ(－√3－2cos θ)＋(2－2sin θ)(－1－2sin θ)＋(－√3－2cos θ)(√3－2cos θ)＋(－1－2sin θ)(－1－2sin θ)＝3＋1＋2sin θ＋2√3cos θ＝4＋4sin (θ＋π3)，因为θ∈[0，2π)，θ＋π3∈[π3，7π3)，sin (θ＋π3)∈[－1，1]，所以当sin (θ＋π3)＝1时，PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为8.故选C.答案：(1)B (2)C [巩固训练2]1．解析：取AD 中点N ，连接MN ，∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |， 又M 是BC 中点，∴MN ∥AB ，且|MN |＝12(|AB |＋|CD |)＝34|AB |， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选B. 答案：B 2．解析：以AB 中点O 为坐标原点，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC⃗⃗⃗⃗⃗ 正方向为x ，y 轴可建立如图所示平面直角坐标系，则A (－1，0)，B (1，0)，C (0，√3)，设P (m ，0)(－1≤m ≤1)，∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1－m ，0)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(－m ，√3)， ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ＝m 2－m ＝(m －12)2－14， 则当m ＝12时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )min ＝－14；当m ＝－1时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )max ＝2； ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[－14，2].故选A. 答案：A。

小题分类练(一) 概念辨析类一、选择题1．若复数z ＝1＋i1＋a i 为纯虚数，则实数a 的值为( )A ．1B ．0C ．－12D ．－12．(2019·昆明市诊断测试)函数y ＝sin(2x －π3)的图象的一条对称轴的方程为( )A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝5π123．已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为( )A ．1－aB ．1C ．a －1D ．－14．若幂函数f (x )＝(m 2－2m ＋1)x 2m －1在(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．0或25．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．为了研究某城市2016年的空气质量情况，省环保局从全年的监测数据中随机抽取了30天进行统计，得到茎叶图如图所示，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A ．76，75，56B ．76，75，53C ．77，75，56D ．75，77，536．已知函数f (x )＝a －2xa ＋2x(a ∈R )是定义域上的奇函数，则f (a )的值等于( )A ．－13B ．3C ．－13或3D.13或37．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知a ＝(1，3)，b ＝(m ，4)，若a 与b 的夹角为锐角，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－12) B ．(－12，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，34∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －3|，x ≠3，a ，x ＝3，若函数y ＝f (x )－4有3个零点，则实数a 的值为( )A ．－2B ．0C ．2D ．410．椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是( )A.12B.13 C ．2D ．311．(多选)在下列四组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1B ．f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，－1－x ，x ＜－1C ．f (x )＝1，g (x )＝(x ＋1)0D ．f (x )＝（x ）2x，g (x )＝x（x ）212．(多选)设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是( )A.AD →与AB →B.DA →与BC →C.CA →与DC →D.OD →与OB →13．(多选)已知定义：在数列{a n }中，若a 2n －a 2n －1＝p (n ≥2，n ∈N *，p 为常数)，则称{a n }为等方差数列．下列命题正确的是( )A ．若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列 B ．{(－1)n}是等方差数列C ．若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)不可能是等方差数列 D ．若{a n }既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 二、填空题14．设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，m )，如果向量a 与b 共线且方向相反，则m 的值为________． 15．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝________．16．已知样本数据a 1，a 2，…，a 2 018的方差是4，如果有b i ＝a i －2(i ＝1，2，…，2 018)，那么数据b 1，b 2，…，b 2 018的标准差为________．17．(2019·安徽黄山模拟改编)已知角θ的终边经过点P (－x ，－6)，且cos θ＝－513，则sin θ＝________，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________．小题分类练小题分类练(一) 概念辨析类1．解析：选D.因为z 为纯虚数，所以可令z ＝1＋i1＋a i＝m i(m ∈R ，m ≠0)，则1＋i ＝m i －ma ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，－ma ＝1，解得a ＝－1，故选D.2．解析：选D.由题意，令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，当k ＝0时，函数y ＝sin(2x －π3)的图象的一条对称轴的方程为x ＝5π12.故选D.3．解析：选B.函数f (x )＝ax －ln x 的导数为f ′(x )＝a －1x，所以图象在点(1，f (1))处的切线斜率为a －1，又f (1)＝a ，所以切线方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，可得y ＝1，故选B.4．解析：选C.因为f (x )是幂函数，所以m 2－2m ＋1＝1，且2m －1≠0，解得m ＝0或2，又当m ＝0时，f (x )＝x －1在(0，＋∞)上为减函数，不合题意；当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上为增函数，符合题意．故选C.5．解析：选A.由茎叶图得，最中间的两个数是75，77，故中位数是75＋772＝76，众数是75，最小值是42，最大值是98，故极差是98－42＝56.故选A.6．解析：选C.因为函数f (x )＝a －2x a ＋2x 为奇函数，所以f (－x )＝a －2－x a ＋2－x ＝－a －2xa ＋2x＝－f (x )，解得a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝1－2x1＋2x ，所以f (a )＝f (1)＝－13；当a ＝－1时，f (x )＝－1－2x－1＋2x＝1＋2x1－2x ，所以f (a )＝f (－1)＝3.综上，f (a )＝－13或f (a )＝3，故选C. 7．解析：选B.充分性：若A ＝B ＝0，则S n ＝0，数列{a n }不是等比数列，所以充分性不成立；必要性：当数列{a n }是等比数列时，a n ＝S n －S n －1＝A (q －1)qn －1(q ≠1)，所以a 1＝Aq －A ，S 1＝Aq ＋B ，则A ＝－B ，所以必要性成立．8．解析：选D.因为a ＝(1，3)，b ＝(m ，4)，令a ·b >0，则m ＋12>0，得m >－12，当a ∥b 时，解得m ＝43，即实数m 的取值范围是m >－12且m ≠43，故选D.9．解析：选D.因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －3|，x ≠3，a ，x ＝3，所以f (x )－4＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －3|－4，x ≠3，a －4，x ＝3，若x ≠3，则由2|x －3|－4＝0，得x ＝52或x ＝72；因为函数y ＝f (x )－4有3个零点，所以x ＝3也是f (x )－4＝0的根，即a －4＝0，a ＝4.故选D.10．解析：选D.设椭圆的右焦点为E .如图，由椭圆的定义得△FAB 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |＝|AB |＋(2a －|AE |)＋(2a －|BE |)＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |，因为|AE |＋|BE |≥|AB |，所以|AB |－|AE |－|BE |≤0，当|AB |过点E 时取等号，所以|AB |＋|AF |＋|BF |＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |≤4a ，即直线x ＝m 过椭圆的右焦点E 时△FAB 的周长最大，此时△FAB 的高为|EF |＝2，直线x ＝m ＝c ＝1，把x ＝1代入椭圆x 24＋y 23＝1中得y ＝±32，所以|AB |＝3，即△FAB 的面积S △FAB ＝12×3×|EF |＝12×3×2＝3，故选D.11．解析：选BD.对于A ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠－1}，f (x )与g (x )的定义域不相同，则不是同一函数；对于B ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为R ，f (x )与g (x )的定义域相同，f (x )＝|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，－1－x ，x ＜－1，对应关系相同，则f (x )与g (x )是同一函数；对于C ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠－1}，f (x )与g (x )的定义域不相同，则不是同一函数；对于D ，函数f (x )＝（x ）2x ＝1(x ＞0)，g (x )＝x（x ）2＝1(x ＞0)的定义域与对应法则均相同，是同一函数．故选BD.12．解析：选AC.平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图：对于A ，AD →与AB →不共线，可作为基底； 对于B ，DA →和BC →为共线向量，不可作为基底； 对于C ，CA →与DC →是两个不共线的向量，可作为基底；对于D ，OD →与OB →在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．13．解析：选ABD.若{a n }是等方差数列，则a 2n －a 2n －1＝p ，故{a 2n }是等差数列，故A 正确；当a n ＝(－1)n 时，a 2n －a 2n －1＝(－1)2n －(－1)2(n －1)＝0，故B 正确；若{a n }是等方差数列，则由A知{a 2n }是等差数列，从而{a 2kn }(k ∈N *，k 为常数)是等差数列，设其公差为d ，则有a 2kn －a 2k （n －1）＝d .由定义知{a kn }是等方差数列，故C 不正确；若{a n }既是等方差数列，又是等差数列，则a 2n －a 2n －1＝p ，a n －a n －1＝d ，所以a 2n －a 2n －1＝(a n －a n －1)(a n ＋a n －1)＝d (a n ＋a n －1)＝p ，若d ≠0，则a n ＋a n －1＝p d .又a n －a n －1＝d ，解得a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫p d ＋d ，{a n }为常数列；若d ＝0，该数列也为常数列，故D 正确．14．解析：因为a与b 共线且方向相反，由共线向量定理可设a ＝λb (λ＜0)，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，1＝λm ，解得m ＝±1，由于λ＜0，所以m ＝－1.答案：－115．解析：数列{a n }是等比数列，设公比为q ，则a n ＝2q n －1，又因为{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)，所以a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2， 得到a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，即a n (1＋q 2－2q )＝0. 所以q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n .答案：2n16．解析：因为b i ＝a i －2(i ＝1，2，…，2 018)，所以数据b 1，b 2，…，b 2 018的方差和样本数据a 1，a 2，…，a 2 018的方差相等，均是4，所以数据b 1，b 2，…，b 2 018的标准差为2.答案：217．解析：由题知角θ的终边经过点P (－x ，－6)，所以cos θ＝－xx 2＋36＝－513，解得x ＝52，所以sin θ＝－6132＝－1213，tan θ＝－6－52＝125，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋tanπ41－tan θtanπ4＝－177.答案：－1213 －177。

小题分层练(一) 本科闯关练(1)1．已知集合A ＝{x ||x |＜1}，B ＝{x |x 2－2x ＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．(－1，2) B ．(0，2) C ．(1，2)D ．(0，1)2．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3x ＋y －3≥0x －y ＋1≥0，则y 的取值范围是( )A ．RB ．[0，4]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，2]3．“直线l 与平面α平行”是“直线l 与平面α内的无数条直线平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线C ：y 28－x 2b2＝1(b ＞0)的离心率为2，则焦点到渐近线的距离为( )A ．2B ．4C ．2 2D ．85．函数y ＝e x(x 2＋2x ＋1)的图象可能是( )6．已知随机变量ξ的分布列如下：当a 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，6内增大时，D(ξ)( ) A ．增大 B ．减小 C ．先增大后减小D ．先减小后增大7．若正实数x ，y 满足ln(x ＋2y )＝ln x ＋ln y ，则2x ＋y 取到最小值时，x ＝( )A ．5B ．3C ．2D ．18．平面向量a ，b 满足|a －b |＝3，|a |＝2|b |，则a －b 与a 夹角的最大值为( ) A.π2 B.π3 C.π6D.π49．已知正三角形ABC 所在的平面垂直平面α，且边BC 在平面α内，过AB ，AC 分别作两个平面β，γ(与正三角形ABC 所在平面不重合)，则以下结论错误的是( )A ．存在平面β与平面γ，使得它们的交线l 和直线BC 所成的角为90°B ．直线BC 与平面γ所成的角不大于60° C ．平面α与平面β所成的锐二面角不小于60°D ．平面β与平面γ所成的锐二面角不小于60°10．设I 是含有数π的有限实数集，f(x)是定义在I 上的函数．若f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转π3后与原图象重合，则在以下各项中，f(π)的取值不可能是( )A.32π B.3π C ．πD.2π11．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝1＋a n a n，若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围为________．12．已知i 是虚数单位，复数z ＝1＋ii，则z 的实部是________；|z|＝________．13．若(x ＋1)7＝a 0＋a 1x ＋…＋a 7x 7，则a 1＝________；a 1＋…＋a 7＝________．14．在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则cos C ＝________；sin A ＝________．15．袋中有2个红球，2个白球，2个黑球共6个球，现有一个游戏：从袋中任取3个球，恰好三种颜色各取到1个则获奖，否则不获奖．则获奖的概率是________；有3个人参与这个游戏，则恰好有1人获奖的概率是________．16．已知C ，F 分别是椭圆Γ：x 2a 2＋y2b 2＝1的左顶点和左焦点，A 、B 是椭圆的下、上顶点，设AF 和BC 交于点D ，若CD →＝2DB →，则椭圆Γ的离心率为________．17．设数列{a n }满足a n ＋1＝2(|a n |－1)，n ∈N *，若存在常数M ＞0，使得对于任意的n ∈N *，恒有|a n |≤M ，则a 1的取值范围是________．小题分层练小题分层练(一)1．解析：选D.因为A ＝{x |－1＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，所以A ∩B ＝(0，1)．故选D. 2．解析：选B.不等式的平面区域如图所示，结合图象易知y 的取值范围是[0，4]．故选B.3．解析：选A.由线面平行的性质可知，若直线l 与平面α平行，则直线l 与平面α内的无数条直线平行；反之当直线l 在平面α内时，不能推出直线l 与平面α平行．故选A.4．解析：选C.由e 2＝8＋b28＝2得b ＝22，故焦点为(±4，0)到渐近线x ±y ＝0的距离为412＋12＝22，故选C.5．解析：选A.f (x )＝e x(x ＋1)2＝0有二重根x ＝－1，故f (x )在x ＝－1附近左右两侧的图象均在x 轴上方．故选A.6．解析：选C.D (ξ)＝E (ξ2)－E 2(ξ)＝－a 2＋43a ＋536＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －232＋712，所以D (ξ)先增大后减小．故选C.7．解析：选B.由题意可得x ＋2y ＝xy ，变形为1y ＋2x＝1，所以2x ＋y ＝(2x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋2x ＝5＋2x y ＋2yx≥5＋22x y ·2yx＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x y ＝yx x ＋2y ＝xy，即x ＝y ＝3时取到最小值．故选B. 8．解析：选C.如图，设PA →＝a ，PB →＝b ，由|a |＝2|b |可知点P 的轨迹为阿波罗尼斯圆．设A (0，0)，B (3，0)，P (x ，y )，则点P 的轨迹方程为(x －4)2＋y 2＝4.所求问题转化为AB 与AP的夹角何时最大，结合图象可知，当AP 与圆相切时夹角最大，容易算得最大的夹角为π6.9.解析：选D.将本题放入三棱锥A ­BCD 中研究，如图所示．设α为平面BCD ，β为平面ABD ，γ为平面ACD .固定正三角形ABC ，让D 点运动．对于选项A ，只要△BCD 也为正三角形，即有BC ⊥平面AED ，可得BC ⊥AD . 对于选项B ，考查最小角定理．直线BC 与平面γ所成的角不大于∠ACB ＝60°. 对于选项C ，考查二面角最大．过E 作EF ⊥BD ，垂足为F .可知EF ≤BE ，∠AFE ≥∠ABE ＝60°.故选D.10．解析：选B.当f (π)＝3π时，可求得旋转角为π3，即对应点为A 点，以A 为起点，间隔π3圆上取六点(如图)，当x ＝π时，圆上对应有两个点A ，E ，这与函数的定义矛盾．所以f (π)的取值不可能是3π.11．解析：依题意得b n ＝1＋1a n，对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8，即数列{b n }的最小项是第8项，于是有1a n ≥1a 8.又数列{a n }是公差为1的等差数列，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a 8＜0，a 9＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＜0，a ＋8＞0，由此解得－8＜a ＜－7，即实数a 的取值范围为(－8，－7)．答案：(－8，－7)12．解析：z ＝1－i ，故实部为1，|z |＝ 2. 答案：1213．解析：(x ＋1)7展开式的通项为C k 7x k，令k ＝1得a 1＝7.令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 7＝128，则a 1＋…＋a 7＝127.答案：7 12714．解析：cos C ＝2cos 2C 2－1＝－35.由余弦定理得AB ＝12＋52－2×1×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝42，再由正弦定理得BC sin A ＝AB sin C ，解得sin A ＝210.答案：－35 21015．解析：获奖概率为P ＝C 12·C 12·C 12C 36＝25， 恰好有1人获奖的概率为P ＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫251·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－252＝54125. 答案：25 5412516．解析：设A (0，－b )，F (－c ，0)，C (－a ，0)，B (0，b )，由题意D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，2b 3，又A ，F ，D 三点共线，得b －c ＝2b3－（－b ）－a 3，解得e ＝c a ＝15.答案：1517．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（|x |－1）y ＝x 解得数列{a n }的一个不动点为2，结合蛛网图，要使{a n }有界，则a 1应满足－2≤a 1≤2.答案：[－2，2]。

小题分类练(二) 推理论证类1．若tan α＜0，则( )A ．sin α＜0B ．cos α＞0C ．sin αcos α＜0D ．2cos 2α－1＜0 2．若x ＋y >0，a <0，ax >0，则y －x 一定( )A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不确定3．若a >b ，则下列不等式成立的是( )A ．ln a >ln bB ．0.3a >0.3bC ．a 12>b 12 D.3a >3b 4．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸(n ＋1)边形的对角线的条数f (n ＋1)为( )A ．f (n )＋n ＋1B ．f (n )＋nC ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －25．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·AB →＝|AB →|2，则( )A ．△ABC 是锐角三角形B ．△ABC 是直角三角形C ．△ABC 是钝角三角形D ．△ABC 的形状不能确定6．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －3)f ′(x )≤0，则必有( )A ．f (0)＋f (6)≤2f (3)B ．f (0)＋f (6)<2f (3)C ．f (0)＋f (6)≥2f (3)D ．f (0)＋f (6)>2f (3)7．若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定8．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称 9．已知数列{a n }是正项数列，则“{a n }为等比数列”是“a 2n ＋a 2n ＋2≥2a 2n ＋1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 的前n 项和为S n ，则下列选项正确的是( ) A ．S 2 018－1＞ln 2 018B ．S 2 018－1＜ln 2 018C ．ln 2 018＜S 1 009－1D ．ln 2 018＞S 2 01711．设0<a <1，则4a ＋11－a的最小值为________，此时a ＝________． 12．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别是a 、b 、c ，若a ＝－c cos(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是________．13．已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝r 2，有以下几个结论：①若点P 在圆O 上，则直线l 与圆O 相切；②若点P 在圆O 外，则直线l 与圆O 相离；③若点P 在圆O 内，则直线l 与圆O 相交；④无论点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切，其中正确的个数是________．14．有一支队伍长L 米，以一定的速度匀速前进．排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度不变．如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了L 米，则传令兵所走的路程为________．15．给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝x 12，y ＝(x －1)2，y ＝x 3中有3个是增函数；②若log m 3＜log n 3＜0，则0＜n ＜m ＜1；③若函数f (x )是奇函数，则f (x －1)的图象关于点A (1，0)对称；④已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2，x ≤2，log 3（x －1），x ＞2，则方程f (x )＝12有2个实数根，其中正确命题的个数为________．16．已知使函数y ＝x 3－ax 2＋1(0≤a ＜λ0)存在整数零点的实数a 恰有4个，则实数λ0的取值范围是________．17.如图，已知六棱锥P­ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.给出下列结论：①CD∥平面PAF；②DF⊥平面PAF；③CF∥平面PAB；④DF∥平面PAB.其中正确结论的个数为________．小题分类练(二)1．解析：选C.因为tan α＜0，所以α是第二或第四象限角，所以sin α，cos α的符号不确定，故排除A 、B ；当α是第二象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcos α＜0；当α是第四象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcos α＜0，故选C.2．解析：选A.由a <0，ax >0，得x <0，又x ＋y >0，所以y >0，故y －x >0.3．解析：选D.因为a >b ，而对数函数要求真数为正数，所以ln a >ln b 不成立；因为y ＝0.3x 是减函数，又a >b ，则0.3a <0.3b，故B 错；当b <a <0时，a 12>b 12显然不成立，故C 错；y ＝x 13在(－∞，＋∞)上是增函数，又a >b ，则a 13>b 13，即3a >3b 成立，故选D.4．解析：选C.边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n －2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n －1条．5．解析：选B.依题意得，(CA →＋CB →)·(CB →－CA →)＝|AB →|2，即CB →2－CA →2＝|AB →|2，|CB →|2＝|CA→|2＋|AB →|2，CA ⊥AB ，因此△ABC 是直角三角形，故选B.6．解析：选A.由题意知，当x ≥3时，f ′(x )≤0，所以函数f (x )在[3，＋∞)上单调递减或为常数函数；当x <3时，f ′(x )≥0，所以函数f (x )在(－∞，3)上单调递增或为常数函数，所以f (0)≤f (3)，f (6)≤f (3)，所以f (0)＋f (6)≤2f (3)，故选A.7．解析：选D.如图，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，记l 1＝DD 1，l 2＝DC ，l 3＝DA ，若l 4＝AA 1，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，此时l 1∥l 4，可以排除选项A 和C.若l 4＝DC 1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.8．解析：选D.由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错；它的周期为2π，B 错；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错；它的对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 对． 9．解析：选A.若{a n }为等比数列，则有a n ·a n ＋2＝a 2n ＋1，所以a 2n ＋a 2n ＋2≥2a 2n ·a 2n ＋2＝2a 2n ＋1，当且仅当a n ＝a n ＋2时取等号，所以充分性成立；当a 2n ＋a 2n ＋2≥2a 2n ＋1时，取a n ＝n ，则a 2n ＋a 2n ＋2－2a 2n ＋1＝n 2＋(n ＋2)2－2(n ＋1)2＝2n 2＋4n ＋4－2n 2－4n －2＝2>0，所以a 2n ＋a 2n ＋2≥2a 2n ＋1成立，但{a n }是等差数列，不是等比数列，所以必要性不成立．所以“{a n }为等比数列”是“a 2n ＋a 2n ＋2≥2a 2n ＋1”的充分不必要条件．故选A.10．解析：选B.构造函数g (x )＝ln x ＋1x －1(x ＞1)，g ′(x )＝1x －1x 2＞0， 所以g (x )在(1，＋∞)上递增，g (x )＞g (1)＝0，可得ln x ＞1－1x ，令x ＝1＋1n， ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＞1n ＋1， ln 21＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n ＋1n ＞12＋13＋…＋1n ＋1， 化为ln(n ＋1)＞S n ＋1－1，ln 2 018＞S 2 018－1，即S 2 018－1＜ln 2 018.选B.11．解析：因为a ＋1－a ＝1，所以4a ＋11－a ＝(a ＋1－a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋11－a ＝4＋4（1－a ）a ＋a 1－a ＋1≥5＋24＝9，当且仅当4（1－a ）a ＝a 1－a ，即a ＝23时取到最小值9. 答案：9 2312．解析：由题意，得a ＝c cos B ，即cos B ＝a c ，又由余弦定理，得a c ＝a 2＋c 2－b 22ac，整理得a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 为直角三角形．答案：直角三角形 13．解析：根据点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20.若点P 在圆O 上，则x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；若点P 在圆O 外，则x 20＋y 20>r 2，d <r ，相交；若点P 在圆O 内，则x 20＋y 20<r 2，d >r ，相离，故只有①正确． 答案：114．解析：设传令兵的速度为v ′，队伍行进速度为v ，则传令兵从排尾到排头的时间为Lv ′－v，从排头到排尾的时间为L v ′＋v ，则易得L v ′－v ＋L v ′＋v ＝L v ，化简得v ′2－v 2＝2v ′v ，得v ′v＝2＋1，由于队伍与传令兵行进时间相等，故传令兵所走路程为(1＋2)L . 答案：(1＋2)L15．解析：命题①中，在(0，＋∞)上只有y ＝x 12，y ＝x 3为增函数，故①不正确；②中不等式等价于0＞log 3m ＞log 3n ，故0＜n ＜m ＜1，②正确；③中函数y ＝f (x －1)的图象是把y ＝f (x )的图象向右平移一个单位得到的，由于函数y ＝f (x )的图象关于坐标原点对称，故函数y＝f (x －1)的图象关于点A (1，0)对称，③正确；④中当3x －2＝12时，x ＝2＋log 312＜2，当log 3(x －1)＝12时，x ＝1＋3＞2，故方程f (x )＝12有2个实数根，④正确． 答案：316．解析：当x ＝0时，y ＝1≠0，即x ＝0不是y ＝x 3－ax 2＋1(0≤a <λ0)的零点；当x ≠0时，由y ＝0解得，a ＝x ＋1x 2. 因为a ≥0，所以x ＋1x 2≥0，解得x ≥－1，当x ＝－1时，a ＝0，满足题意；当x ＝1时，a ＝1＋1＝2，满足题意；当x ＝2时，a ＝2＋122＝94，满足题意；当x ＝3时，a ＝3＋132＝289，满足题意；当x ＝4时，a ＝4＋142＝6516.又当x >2时，由定义判断a ＝x ＋1x 2为增函数，且y ＝x 3－ax 2＋1(0≤a <λ0)存在整数零点的实数a 恰有4个，所以实数λ0的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤289，6516. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤289，6516 17．解析：因为六棱锥P ­ABCDEF 的底面是正六边形，所以AF ∥CD ，由线面平行的判定定理，得CD ∥平面PAF ，故①正确；由正六边形的特点易知DF ⊥AF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以DF ⊥PA ，由线面垂直的判定定理，得DF ⊥平面PAF ，故②正确；CF ∥AB ，由线面平行的判定定理，得CF ∥平面PAB ，故③正确；连接AC ，由正六边形的特点易知DF ∥AC ，又AC ∩平面PAB ＝A ，故DF 与平面PAB 相交，故④不正确．故正确结论的个数是3.答案：3以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”首先要做到以下两点：1、先把教材上的知识点、理论看明白。

小题专题练(一)会集、常用逻辑用语、函数与导数、不等式1．已知会集M ＝{x |x ＞1}，N ＝{x |x 2－2x －8≤0}，则M ∩N ＝( )A ．[－4，2)B ．(1，4]C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)log1x ，x >1 122．已知函数f (x )＝，则ff 2 ＝()2＋4 x ，x ≤1A ．4B ．－2C ．2D ．13．设 a ， ∈R ，则“ ＞ ”是“ ||＞||”成立的()b abaa bbA ．充分不用要条件B ．必需不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不用要条件4 ．已知不等式|x ＋3|＋| x －2|≤a 的解集非空，则实数 a 的取值范围是()A ．[1，5]B ．[1，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(－∞，1]∪[5，＋∞)5 ．已知会集A ＝{(x ，y )| x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z}，则A 中元素的个数为()A ．9B ．8C ．5D ．41x6 ．已知函数f (x )＝2－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．47 ．已知在(－∞，1]上单调递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的 x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为()A ．[－2，2]B ．[1，2]C ．[2，3]D ．[1，2]8 ．函数f (x )＝(x ＋1)ln(| x －1|)的大体图象是( )9．若偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2，则关于x 的方1 x 10程f(x)＝10 在0，3 上的根的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4x 3 210．已知f(x)＝ln x－4＋4x，g(x)＝－x －2ax＋4，若对任意的x1∈(0，2]，存在x2∈[1，2] ，使得f(x1)≥g(x2)成立，则a的取值范围是( )A. 5B.1，＋∞－，＋∞4 81 5 5C.－8，4D.－∞，－4a b －a 1 111．若 2 ＝3 ＝6，则 4 ＝________；a＋b＝________．12．已知函数f(x)＝x2＋2x，x≤0，则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值为log（x＋1），x＞0，2________．x＋y≤2，x＋y＋2表示的平面地域的面积为2，则的最小值为x＋1y≥m________，最大值为________．14．已知p：0<x<2，q：x<a，若p是q的充分不用要条件，则实数a的取值范围是________．15．设函数f(x)＝|x2＋a|＋|x＋b|(a，b∈R)，当x∈[－2，2]时，记f(x)的最大值为M(a，b)，则M(a，b)的最小值为________．16．已知函数f ( )＝x2＋＋(a，∈R)在区间(0，1)内有两个零点，则 3a＋b的取值x axb b范围是____________．17.已知函数f′(x)和g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系中的图象以下列图．(1)若f(1)＝1，则f(－1)＝________；(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则h(－1)，h(0)，h(1)的大小关系为________．(用“<”连接)小题专题练(一)1．分析：选B.会集N＝{x|x2－2x－8≤0}＝{x|－2≤x≤4}，会集M＝{x|x＞1}，所以M∩N＝{x|1＜x≤4}．应选B.1 1 1 1 －22．分析：选B.f2 ＝2＋42 ＝2＋2＝4，则f f2 ＝f(4)＝log14＝log1 2 ＝－2.2 23．分析：选C.法一：当a＞b≥0时，a＞b?a2＞b2 ?a|a|＞b|b| ，当a，b一正一负时，a＞b?a＞0＞b?a|a|＞0＞b|b|，当0≥a＞b时，0≥a＞b?a2＜b2?－a|a|＜－b|b|?a|a|＞b|b|，所以a＞b?a|a|＞b|b|，应选C.法二：构造函数f(x)＝x|x|，易知为奇函数且为增函数，所以当a＞b时，f(a)＝a|a|＞b|b|＝f(b)，所以选C.4．分析：选C.因为不等式|x＋3|＋|x－2|≤a的解集非空等价于|x＋3|＋|x－2|的最小值小于或等于a，因为不等式|x＋3|＋|x－2|≥5在x∈R上恒成立，所以a≥5.选C.5．分析：选A.法一：由x2＋y2≤3知，－3≤x≤3，－3≤y≤ 3.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为1 1C3C3＝9，应选A.法二：依据会集A的元素特色及圆的方程在座标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为会集A的元素个数，应选A.1x6．分析：选 C.作出g(x)＝ 2 与h(x)＝cos x的图象，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0，2π]上的零点个数为7．分析：选B.由f(x)在(－∞，1]上单调递减得3，应选C.t≥1，由对任意的x1，x2∈[0 ，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，得f(x)max－f(x)min≤2，即f(0)－f(t)≤2，t2≤2，所以1≤t≤2，选B.8．分析：选C.依据函数表达式，当x>2时，函数值大于0，可消除A选项，当x<－1时，函数值小于0，故可消除B和D选项，从而获取C正确．故答案为C.9．分析：选C.因为f (x )为偶函数，所以当x ∈[－1，0]时，－x ∈[0，1]，所以f (－x )＝x 2，即f (x )＝x 2. 又f (x －1)＝f (x ＋1)， 所以f (x ＋2)＝f (x )，1故f (x )是以2为周期的周期函数，据此在同向来角坐标系中作出函数y ＝f (x )与y ＝10x10在0，3上的图象，以下列图，数形结合可得两图象有3个交点，1 x10故方程f (x )＝10在 0，3上有三个根．应选 C.113－ x 2＋4－3（ －1）（ x －3）10．分析：选A.因为f ′(x )＝x －4－4x 2＝4x 2＝－4x 2，易知，当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1，2]时，f′(x )>0，所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递加，1故f (x )min ＝f (1)＝.2关于二次函数g (x )＝－x 2－2ax ＋4，易知该函数张口向下，所以g (x )在区间[1，2]上的最小值在端点处获得， 即g (x )min ＝min{g (1)，g (2)}． 要使对任意的x ∈(0，2]，存在x ∈[1 ，2]，使得f (x)≥g (x )成立，12 1 2只需f (x 1)min ≥g (x 2)min ，1 1即≥g (1)且≥g (2)，22115所以2≥－1－2a ＋4且2≥－4－4a ＋4，解得a ≥4.11．分析：由题可得a－a1 1 11＝log 26，＝log 36，所以4 ＝4－log 26＝＝2＝2＝，b22log 262log 266361 1 1 1666＝1. a ＋b ＝log 26＋log 36＝log 2＋log 3＝log(2×3) 答案：1 136x 2＋2x ，x ≤012．分析：函数f (x )＝，log 2（x ＋1），x ＞0则f (f (－3))＝f (9－6)＝f (3)＝log 24＝2，当x ≤0时，二次函数的图象张口向上，对称轴为直线x ＝－1，所以函数的最小值为f (－1)＝1－2＝－1； 当x ＞0时，函数是增函数，x ＝0时f (0)＝0，所以x ＞0 时，f (x )＞0，综上函数的最小值为－ 1，故答案为 2，－1.答案：2 －113.x ＋y ＋2 y ＋1分析：画出不等式组所表示的地域，由地域面积为 2，可得m ＝0.而x ＋1＝1＋x ＋1，y ＋1y ＋1 0－（－1）1 表示可行域内任意一点与点(－1，－1)连线的斜率，所以的最小值为2－（－1）＝，x ＋1x ＋132－（－1）x ＋y ＋24最大值为0－（－1）＝3，所以x ＋1的最小值为3，最大值为4.44答案：314．分析：据充分不用要条件的看法，可知只需A ＝{x |0<x <2}是会集B ＝{x |x <a }的真子 集即可，结合数轴可知只需a ≥2即可．答案：[2，＋∞)15．分析：去绝对值，f (x )＝±(x 2＋a )±(x ＋b )，利用二次函数的性质可得，f (x )在[－2，2]的最大值为f (－2)，f (2)，f1 ，f 1－2 2 中之一，所以可得M (a ，b )≥f (－2)＝|4＋a |＋|－2＋b |， M (a ，b )≥f (2)＝|4＋a |＋|2＋b |，111M (a ，b )≥f 2＝4＋a ＋2＋b ，1M (a ，b )≥f －2＝ 1＋a ＋－1＋b ，42上边四个式子相加可得， b ) ≥2 |4 ＋ a | ＋ 1＋a ＋ 4M (a 4|2－|＋|11 ＋2|＋b ＋＋－bbb22111≥ 24－4＋|2＋2|＋2＋225 25＝2 ，即有M (a ，b )≥8，可得(，)的最小值为 25 ，故答案为 25 . Mab 8 825答案：8 16．(－5，0)17．分析：由题意知f ′(x )＝x ，g ′(x )＝x 2，则可设f (x )＝12x 2＋a ，g (x )＝13x 3＋b ，其1 21 1 21中a ，b ∈R.(1)因为f (1)＝1，所以2×1＋a ＝1，所以a ＝2，所以f (－1)＝2×(－1) ＋2＝1 2 1 3 5 1.(2)因为h (x )＝f (x )－g (x )，所以h (x )＝x ＋a －x －b ，所以h (－1)＝＋(a －b )，h (0)2361＝ a －b ，h (1)＝6＋(a －b )，故h (0)<h (1)<h (－1)．答案：(1)1(2)h (0)<h (1)<h (－1)。

姓名，年级：时间：小题专题练（四) 立体几何1．下列命题中，正确的是( )A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D．棱台各侧棱的延长线交于一点2．已知a＝(－2，1，3)，b＝（－1，2，1)，若a⊥(a－λb），则实数λ的值为（）A．－2 B．－错误!C.错误!D．23.如图所示,在正方体ABCD。

A1B1C1D1中,点E为棱BB1的中点，若用过点A，E,C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为( )4．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是（）A．4∶3 B．2∶1C．5∶3 D．3∶25．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m,n>＝－错误!，则l与α所成的角为( )A．30°B．60°C．120°D．150°6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ）A.错误!B。

错误!C.错误!D.错误!7．在正三棱柱ABC.A1B1C1中，AB＝4,点D在棱BB1上，若BD＝3，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为( )A.235B。

错误!C。

错误! D.错误!8．已知l，m，n为三条不重合的直线，α,β为两个不同的平面，则（）A．若m⊥α，m⊥β,则α∥βB．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αC．若α∩β＝l,m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若m∥n，m⊂α，则n∥α9．如图甲所示,一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由底面半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图乙水平放置时，液面高度为20 cm，当这个几何体如图丙水平放置时，液面高度为 28 cm,则这个简单几何体的总高度为（）A．29 cm B．30 cmC．32 cm D．48 cm10．长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，BB1＝错误!.设点A关于直线BD1的对称点为P，则P与C1两点之间的距离为( )A．1 B。