2020高考数学二轮复习小题分层练三[浙江]

小题分层练(四) 本科闯关练(4)1．已知集合P ＝{x |x ≥0}，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －2≥0，则P ∩(∁R Q )＝( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，－1] C ．(－1，0)D ．[0，2]2．已知复数z ＝1＋ii ，其中i 为虚数单位，则|z |＝( )A.12 B.22C. 2D ．23．已知a ，b ∈R ，条件p ：“a >b ”，条件q ：“2a>2b－1”，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且PTAT ＝5－12.下列关系中正确的是( ) A.BP →－TS →＝5＋12RS →B.CQ →＋TP →＝5＋12TS →C.ES →－AP →＝5－12BQ →D.AT →＋BQ →＝5－12CR →5．已知sin(x －2 017π)＝13，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan 2x ＝( ) A.24 B ．－24C.427D ．4 26．若正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C.92D.1127．已知等比数列{a n }的公比为q ，则数列{a n ＋a n ＋1}( ) A ．一定是等比数列B ．可能是等比数列，也可能是等差数列C ．一定是等差数列D ．一定不是等比数列8．已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0，4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则在直角坐标系中，函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a |x ＋b |的图象可能是( )9.如图，已知三棱锥D ­ABC ，记二面角C ­AB ­D 的平面角是θ，直线DA 与平面ABC 所成的角是θ1，直线DA 与BC 所成的角是θ2，则( )A ．θ≥θ1B ．θ≤θ1C ．θ≥θ2D ．θ≤θ210．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝（a －b ）2，则函数f (x )＝2⊕x（x ⊗2）－2为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇函数且非偶函数11．已知2a＝3，则8a＝________，log 26－a ＝________．12．△ABC 中，∠BAC ＝2π3，AB ＝2，AC ＝1，DC →＝2BD →，则AD →·BC →＝________．13．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0x －y ≤00≤y ≤m，若z ＝x ＋y 的最大值为6，则m ＝________；z 1＝2x ＋y的最小值为________．14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．15．已知椭圆x 24＋y 2b2＝1(0＜b ＜2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF 面积的最大值为________．16．袋中有大小相同的3个红球，2个白球，1个黑球．若不放回摸球，每次取1球，摸取3次，则恰有两次是红球的概率为________；若有放回摸球，每次取1球，摸取3次，则摸到红球次数的期望为________．17．已知数列{a n }共16项，且a 1＝1，a 8＝4.记关于x 的函数f n (x )＝13x 3－a n x 2＋(a 2n －1)x ，n ∈N *.若x ＝a n ＋1(1≤n ≤15)是函数f n (x )的极值点，且曲线y ＝f 8(x )在点(a 16，f 8(a 16))处的切线的斜率为15，则满足条件的数列{a n }的个数为________．小题分层练(四)1．解析：选D.由题意可知Q ＝{x |x ≤－1或x ＞2}，则∁R Q ＝{x |－1＜x ≤2}，所以P ∩(∁R Q )＝{x |0≤x ≤2}．故选D.2．C3．解析：选A.由条件p ：“a >b ”，再根据函数y ＝2x 是增函数，可得2a >2b ，所以2a >2b－1，故条件q ：“2a >2b－1”成立，故充分性成立．但由条件q ：“2a>2b－1”成立，不能推出条件p ：“a >b ”成立，例如由20>20－1成立，不能推出0>0，故必要性不成立．故p 是q 的充分不必要条件，故选A.4．解析：选A.由题意，知BP →－TS →＝TE →－TS →＝SE →，RS SE ＝PT AT ＝5－12，所以SE →＝5＋12RS →，故A 正确；CQ →＋TP →＝PA →－PT →＝TA →＝5＋12ST →，故B 错误；ES →－AP →＝RC →－QC →＝RQ →＝5－12QB →，故C 错误；因为AT →＋BQ →＝SD →＋RD →，5－12CR →＝RS →＝RD →－SD →，若AT →＋BQ →＝5－12CR →成立，则SD →＝0，不合题意，故D 错误．故选A.5．解析：选C.因为sin(x －2 017π)＝13，所以sin x ＝－13，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cosx ＝－223，所以tan x ＝24，所以tan 2x ＝2×241－⎝ ⎛⎭⎪⎫242＝427. 6．解析：选B.因为正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，所以x ＋2y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－8≥0，设x ＋2y ＝t ＞0，所以t ＋14t 2－8≥0，所以t 2＋4t －32≥0，即(t ＋8)(t －4)≥0，所以t ≥4，故x ＋2y 的最小值为4.7．解析：选B.由题意知a n ＝a 1q n －1，a n ＋1＝a 1q n ，a n ＋a n ＋1＝a 1qn －1＋a 1q n ＝a 1q n (1q＋1)，a n ＋1＋a n ＋2＝a 1q n＋a 1qn ＋1＝a 1q n(1＋q )．当q ＝－1时，数列{a n ＋a n ＋1}为一个各项均为0的常数列，是一个等差数列；当q ≠－1时，a n ＋1＋a n ＋2a n ＋a n ＋1＝1＋q1q＋1＝q ，所以数列{a n ＋a n ＋1}是等比数列．综上可知，数列{a n ＋a n ＋1}既可能是等差数列，也可能是等比数列．8．解析：选B.f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时等号成立，所以a ＝2，b ＝1，则g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|.g (x )的图象可以看作是y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象向左平移一个单位长度得到的，选项B 符合要求．9．A10．解析：选 A.由a ⊕b ＝ a 2－b 2和a ⊗b ＝（a －b ）2得f (x )＝2⊕x（x ⊗2）－2＝4－x2（x －2）2－2＝4－x 2|x －2|－2，其定义域为[－2，0)∪(0，2]，所以f (x )＝4－x 2（2－x ）－2＝－4－x2x，所以f (x )是奇函数．11．解析：根据指数运算法则，8a＝(23)a＝(2a )3＝33＝27；根据对数定义，a ＝log 23，所以log 26－a ＝log 26－log 23＝log 2(6÷3)＝log 22＝1.答案：27 112．解析：由DC →＝2BD →得AD →＝13(AC →＋2AB →)．所以AD →·BC →＝13(AC →＋2AB →)·(AC →－AB →)＝13(AC →2＋AC →·AB →－2AB →2)＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2×22＝－83.答案：－8313．解析：作出不等式组表示的平面区域，由图可知当直线z ＝x ＋y 过点A (m ，m )时，z 取到最大值6，故m ＝3；当直线z 1＝2x ＋y 过点B (－6，3)时，z 1取到最小值－9.答案：3 －914．解析：容易看出该几何体为四棱锥，其体积为V ＝13×12×(4＋2)×2×2＝4，表面积为S ＝12×[2×2＋4×2＋(4＋2)×2＋2×22＋22·23]＝12＋26＋2 2.答案：4 12＋26＋2 215．解析：不妨设点F 的坐标为(4－b 2，0)，而|AB |＝2b ，所以S △ABF ＝12×2b ×4－b 2＝b 4－b 2＝b 2（4－b 2）≤b 2＋4－b 22＝2(当且仅当b 2＝4－b 2，即b 2＝2时取等号)，故△ABF 面积的最大值为2.答案：216．解析：P ＝C 23·C 13C 36＝920；记摸到红球次数为X ，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，所以E (X )＝3×12＝32. 答案：920 3217．解析：f ′n (x )＝x 2－2a n x ＋a 2n －1＝[x －(a n ＋1)][x －(a n －1)]．令f ′n (x )＝0，得x ＝a n ＋1或x ＝a n －1，所以a n ＋1＝a n ＋1或a n －1＝a n ＋1(1≤n ≤15)，所以|a n ＋1－a n |＝1(1≤n ≤15)，又f ′8(x )＝x 2－8x ＋15，所以a 216－8a 16＋15＝15，解得a 16＝0或a 16＝8.当a 16＝0时，a 8－a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝3， 得a i ＋1－a i (1≤i ≤7，i ∈N *)的值有2个为－1，5个为1； 由a 16－a 8＝(a 9－a 8)＋(a 10－a 9)＋…＋(a 16－a 15)＝－4， 得a i ＋1－a i (8≤i ≤15，i ∈N *)的值有6个为－1，2个为1. 所以此时数列{a n }的个数为C 27C 28＝588，同理可得当a 16＝8时，数列{a n }的个数为C 27C 28＝588. 综上，数列{a n }的个数为2C 27C 28＝1 176. 答案：1 176。

专题六函数与导数第1讲函数图象与性质高考定位1。

以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、值域、最值、奇偶性、单调性和周期性;2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；3。

函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法。

真题感悟1。

(2020·全国Ⅱ卷）设函数f（x)＝ln｜2x＋1|－ln|2x－1｜，则f(x)(）A。

是偶函数，且在错误!单调递增B。

是奇函数，且在错误!单调递减C。

是偶函数，且在错误!单调递增D。

是奇函数，且在错误!单调递减解析f(x）＝ln｜2x＋1|－ln|2x－1｜的定义域为错误!.∵f（－x)＝ln|－2x＋1｜－ln｜－2x－1|＝ln|2x－1｜－ln|2x＋1|＝－f（x），∴f(x）为奇函数,故排除A,C。

又当x∈错误!时，f(x）＝ln（－2x－1)－ln（1－2x）＝ln 错误!＝ln 错误!＝ln 错误!，∵y＝1＋错误!在错误!上单调递减，由复合函数的单调性可得f（x）在错误!上单调递减。

故选D.答案D2。

（2019·全国Ⅰ卷)函数f（x）＝错误!在[－π,π］的图象大致为()解析显然f(－x）＝－f(x），x∈[－π，π],所以f(x)为奇函数，排除A；又当x＝π时，f（π）＝错误!〉0，排除B，C，只有D适合.答案D3.（2020·新高考山东、海南卷)若定义在R上的奇函数f（x)在（－∞，0）单调递减，且f（2)＝0,则满足xf（x－1）≥0的x的取值范围是(）A.［－1，1］∪[3，＋∞）B.[－3,－1]∪［0,1］C.[－1，0]∪[1,＋∞）D.[－1,0]∪［1，3]解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,则f(0)＝0。

又f（x）在（－∞,0）单调递减，且f（2)＝0，画出函数f（x）的大致图象如图（1）所示,则函数f(x－1）的大致图象如图（2）所示。

当x≤0时，要满足xf(x－1）≥0,则f（x－1）≤0，得－1≤x≤0.当x＞0时，要满足xf（x－1）≥0，则f（x－1)≥0，得1≤x≤3。

能力升级练(三) 不等式一、选择题1.不等式|x|(1-2x)>0的解集为())A.(-∞,0)∪(0,12)B.(-∞,12C.(1,+∞)2)D.(0,12x≥0时,原不等式即为x(1-2x)>0,所以0<x<1;当x<0时,原不等式即为-x(1-2x)>0,所以2).x<0,综上,原不等式的解集为(-∞,0)∪(0,122.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是()A.(-1,0)B.(2,+∞)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.不能确定=1,故a=2.由f(x)的图象可知f(x) f(1-x)=f(1+x)知f(x)图象的对称轴为直线x=1,则有a2在[-1,1]上为增函数.所以x∈[-1,1]时,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,令b2-b-2>0,解得b<-1或b>2.3.若a,b∈R,且a+|b|<0,则下列不等式中正确的是()A.a-b>0B.a3+b3>0C.a2-b2<0D.a+b<0a+|b|<0知,a<0,且|a|>|b|,当b≥0时,a+b<0成立,当b<0时,a+b<0成立,所以a+b<0,故选D.4.(2018湖州质检)若实数m,n满足m>n>0,则()A.-1a <-1aB.√a−√a<√a-aC.(12)a>(12)aD.m2<mnm=2,n=1,代入各选择项验证A,C,D不成立.√2-1<√2-1,只有B项成立.5.(2019四川绵阳诊断)已知x>1,y>1,且lg x,2,lg y成等差数列,则x+y有()A.最小值20B.最小值200C.最大值20D.最大值2002×2=lg x+lg y=lg(xy),所以xy=10000,则x+y ≥2√aa =200,当且仅当x=y=100时,等号成立,所以x+y 有最小值200.6.设a>0,若关于x 的不等式x+aa -1≥5在(1,+∞)上恒成立,则a 的最小值为( )A.16B.9C.4D.2(1,+∞)上,x+aa -1=(x-1)+aa -1+1≥2√(a -1)×a(a -1)+1=2√a +1(当且仅当x=1+√a 时取等号).由题意知2√a +1≥5.所以a ≥4.7.某车间分批生产某种产品,每批产品的生产准备费用为800元,若每批生产x 件,则平均仓储时间为a8天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批产品应生产( ) A.60件B.80件C.100件D.120件x 件,则每件产品的生产准备费用是800a 元,仓储费用是a8元,总的费用是(800a +a 8)元,由基本不等式得800a +a 8≥2√800a ·a 8=20,当且仅当800a =a8,即x=80时取等号.8.(2019湖北孝感调研)“a>b>0”是“ab<a 2+a 22”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件a>b>0,可知a 2+b 2>2ab ,充分性成立,由ab<a 2+a 22,可知a ≠b ,a ,b ∈R ,故必要性不成立.9.已知0<a<1a,且M=11+a+11+a,N=a 1+a +a1+a,则M ,N 的大小关系是( )A.M>NB.M<NC.M=ND.不能确定0<a<1a ,所以1+a>0,1+b>0,1-ab>0,所以M-N=1-a 1+a +1-a 1+a =2-2aa1+a +a +aa >0,即M>N.故选A .二、填空题10.已知不等式mx 2+nx-1a <0的解集为x x<-12或x>2,则m-n= .m<0且-12,2是方程mx 2+nx-1a =0的两根,∴{-12+2=-aa ,(-12)×2=-1a2,解得{a =-1,a =32或{a =1,a =-32(舍).∴m -n=-1-32=-52. -5211.设f (x )=ax 2+bx ,若1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,则f (-2)的取值范围是 .f (-2)=mf (-1)+nf (1)(m ,n 为待定系数),则4a-2b=m (a-b )+n (a+b ), 即4a-2b=(m+n )a+(n-m )b.于是得{a +a =4,a -a =-2,解得{a =3,a =1.∴f (-2)=3f (-1)+f (1).又∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,∴5≤3f (-1)+f (1)≤10,故5≤f (-2)≤10.12.函数y=a 2+2a -1(x>1)的最小值为 .y=a 2+2a -1=(a 2-2a +1)+2a -2+3a -1=(a -1)2+2(a -1)+3a -1=(x-1)+3a -1+2≥2√3+2.当且仅当x-1=3a -1,即x=√3+1时,等号成立.√3+213.已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y 的最小值为 .x>0,y>0,所以9-(x+3y )=xy=13x ·(3y )≤13·(a +3a 2)2,当且仅当x=3y ,即x=3,y=1时等号成立.设x+3y=t>0,则t 2+12t-108≥0,所以(t-6)(t+18)≥0,又因为t>0,所以t ≥6.故当x=3,y=1时,(x+3y )min =6.三、解答题14.(2019山东潍坊调研)函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0上,且m,n为正数,求1a +1a的最小值.曲线y=a1-x恒过定点A,x=1时,y=1,∴A(1,1).将A点代入直线方程mx+ny-1=0(m>0,n>0), 可得m+n=1,∴1a +1a=(1a+1a)·(m+n)=2+aa+aa≥2+2√aa·aa=4,当且仅当aa =aa且m+n=1(m>0,n>0),即m=n=12时,取得等号.15.(一题多解)设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.f(x)<-m+5在[1,3]上恒成立,故mx2-mx+m-6<0,则m(a-12)2+34m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.方法一令g(x)=m(a-12)2+34m-6,x∈[1,3].当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以g(x)max=g(3)=7m-6<0.所以m<67,则0<m<67.当m<0时,g (x )在[1,3]上是减函数, 所以g (x )max =g (1)=m-6<0. 所以m<6,所以m<0.综上所述,m 的取值范围是m 0<m<67或m<0.方法二 因为x 2-x+1=(a -12)2+34>0,又因为m (x 2-x+1)-6<0,所以m<6a 2-a +1. 因为函数y=6a 2-a +1=6(a -12)2+34在[1,3]上的最小值为67,所以只需m<67即可. 因为m ≠0,所以m 的取值范围是m 0<m<67或m<0.。

2020届高考数学（文）二轮复习专题过关检测专题3 不等式1．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－1或x ≥92 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤92 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－92或x ≥1D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－92≤x ≤1 解析：选D 不等式(x ＋5)(3－2x )≥6可化为2x 2＋7x －9≤0，所以(2x ＋9)(x －1)≤0，解得－92≤x ≤1.所以不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－92≤x ≤1.故选D. 2．设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列式子正确的是( ) A ．ac 2>bc 2B.ab>1 C ．a －c >b －cD ．a 2>b 2解析：选C 若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错；若b <0，则a b<1，故B 错；不论c 取何值，都有a －c >b －c ，故C 正确；若a ，b 都小于0，则a 2<b 2，故D 错．于是选C.3．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，则a ＋b ＝( )A ．1B ．0C ．－1D ．－3解析：选D 由题意得，不等式x 2－2x －3<0的解集A ＝(－1,3)，不等式x 2＋x －6<0的解集B ＝(－3,2)．所以A ∩B ＝(－1,2)，即不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为(－1,2)，所以a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.4．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0表示的可行域为Ω，则( )A ．原点O 在Ω内B ．Ω的面积是1C ．Ω内的点到y 轴的距离有最大值D ．若点P (x 0，y 0)∈Ω，则x 0＋y 0≠0。

小题分类练(三) 综合计算类(1)1．设复数z ＝2－1－i ，则z ·z ＝( )A ．1 B. 2 C ．2D ．42．设集合A ＝{n |n ＝3k －1，k ∈Z }，B ＝{x ||x －1|>3}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{－1，2} B ．{－2，－1，1，2，4} C ．{1，4}D ．∅3．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝( ) A ．－2πB ．－3πC.2πD.3π4．若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．85．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标压缩为原来的12(纵坐标不变)，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π36．已知AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值为( )A ．－14B ．－13C ．－12D ．－17．已知三棱锥P ­ABC 的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且PA ＝8.若平面ABC 截球O 所得截面的面积为9π，则球O 的表面积为( )A ．10πB ．25πC ．50πD ．100π8．已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围是( )A ．[－2，6]B ．[－3，5]C ．[2，6]D ．[3，5]9．若不等式x 2－2ax ＋a >0对一切实数x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式at 2＋2t －3<1的解集为( )A ．(－3，1)B ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C ．∅D ．(0，1)10．设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12n(n ∈N *)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n ，b n ，则a 1＋a 2＋…＋a nb 1＋b 2＋…＋b n＝( )A ．2n －1＋3 B ．2(2n －1＋1)C ．2n ＋1D ．111．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y －5＝0，则a ＝________，b ＝________．12．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3.13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若b sin A ＝a sin C ，c ＝1，则b ＝________，△ABC 面积的最大值为________．14．在△ABC 中，|AB →|＝3，|AC →|＝2，点D 满足2BD →＝3DC →，∠BAC ＝60°，则AD →·BC →＝________． 15．在数列{a n }中，a 1＝0，且对任意k ∈N *，a 2k －1，a 2k ，a 2k ＋1成等差数列，其公差为2k ，则a n ＝________．16．设函数f (x )是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且有2f (x )＋xf ′(x )＞x 2，则不等式(x ＋2 018)2f (x ＋2 018)－4f (－2)＞0的解集为________．17．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1、F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2＋1的取值范围是________．小题分类练(三)1．解析：选C.因为z ＝2（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）＝－2＋2i2＝－1＋i ，所以z ·z ＝(－1＋i)(－1－i)＝2.2．解析：选A.当k ＝－1时，n ＝－4；当k ＝0时，n ＝－1；当k ＝1时，n ＝2；当k ＝2时，n ＝5.由|x －1|>3，得x －1>3或x －1<－3，即x >4或x <－2，所以B ＝{x |x <－2或x >4}，∁R B ＝{x |－2≤x ≤4|，A ∩(∁R B )＝{－1，2}．3．解析：选B.由题意知，f ′(x )＝－1x 2cos x －1x sin x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1π×(－1)＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1⎝ ⎛⎭⎪⎫π22×0－1π2×1＝－1π－2π＝－3π. 4．解析：选B.由题意得，ba＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4.故选B.5．解析：选A.将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标压缩为原来的12得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，令－π2≤2x ＋π6≤π2，解得－π3≤x ≤π6，即所得函数的一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6，是其子区间的只有选项A. 6．解析：选C.PA →＋PB →＝2PO →，所以(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，取OC 中点D ，由极化恒等式得PO →·PC →＝|PD |2－14|OC |2＝|PD |2－14，又|PD |2min ＝0，所以(PA →＋PB →)·PC →的最小值为－12.7．解析：选D.设球O 的半径为R ，由平面ABC 截球O 所得截面的面积为9π，得△ABC 的外接圆的半径为3.设该外接圆的圆心为D ，因为AB ⊥BC ，所以点D 为AC 的中点，所以DC ＝3.因为PA ⊥平面ABC ，易证PB ⊥BC ，所以PC 为球O 的直径．又PA ＝8，所以OD ＝12PA ＝4，所以R ＝OC ＝42＋32＝5，所以球O 的表面积为S ＝4πR 2＝100π，故选D.8．解析：选C.法一：当MA ，MB 是圆C 的切线时，∠AMB 取得最大值．若圆C 上存在两点A ，B 使得MA ⊥MB ，则MA ，MB 是圆C 的切线时，∠AMB ≥90°，∠AMC ≥45°，且∠AMC <90°，如图，所以|MC |＝（5－1）2＋（t －4）2≤10sin 45°＝20，所以16＋(t －4)2≤20，所以2≤t ≤6，故选C.法二：由于点M (5，t )是直线x ＝5上的点，圆心的纵坐标为4，所以实数t 的取值范围一定关于t ＝4对称，故排除选项A ，B.当t ＝2时，|CM |＝25，若MA ，MB 为圆C 的切线，则sin∠CMA ＝sin∠CMB ＝1025＝22，所以∠CMA ＝∠CMB ＝45°，即MA ⊥MB ，所以t ＝2时符合题意，故排除选项D.选C.9．解析：选B.不等式x 2－2ax ＋a >0对一切实数x ∈R 恒成立，则Δ＝(－2a )2－4a <0，即a 2－a <0，解得0<a <1，所以不等式at 2＋2t －3<1转化为t 2＋2t －3>0，解得t <－3或t >1，故选B.10．解析：选C.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12n(n ∈N *)展开式的二项式系数和为2n，各项系数和为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，所以a n ＝2n，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n， 所以a 1＋a 2＋…＋a nb 1＋b 2＋…＋b n ＝2×（1－2n）1－212×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2n ＋1－21－12n＝2n ＋1，故选C. 11．解析：由f (x )＝x 3＋ax ＋b ，得f ′(x )＝3x 2＋a ，由题意，得f ′(1)＝3＋a ＝2，解得a ＝－1.又在切线方程中，当x ＝1时，y ＝－3，所以f (1)＝13－1×1＋b ＝－3，解得b ＝－3.答案：－1 －312．解析：如图，由三视图可知，该几何体为长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1截去长方体OEDF ­O 1E 1D 1F 1后剩余的部分，其中正方形ABCD 的边长为2 cm ，O ，O 1分别为正方形ABCD 和正方形A 1B 1C 1D 1的中心，E ，F ，E 1，F 1是棱的中点，AA 1的长为4 cm.则该几何体的表面积S ＝2×2×2＋2×4×4－1×1×2＝38 cm2，体积V ＝2×2×4－1×1×4＝12 cm 3.答案：38 1213．解析：因为b sin A ＝a sin C ，所以由正弦定理可得ba ＝ac ，所以b ＝c ＝1. 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12sin A ≤12，当sin A ＝1，即A ＝90°时，三角形面积最大．答案：1 1214．解析：因为2BD →＝3DC →，所以BD →＝35BC →，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋35BC →＝AB →＋35(AC →－AB →)＝35AC →＋25AB →. 所以AD →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35AC →＋25AB →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35AC →＋25AB →·(AC →－AB →)＝35AC →2－15AB →·AC →－25AB →2＝35×22－15×2×3×cos 60°－25×32＝－95.答案：－9515．解析：因为数列{a n }中a 1＝0，且对任意k ∈N *，a 2k －1，a 2k ，a 2k ＋1成等差数列，其公差为2k ，所以a 2k ＋1－a 2k －1＝4k 对∀k ∈N *恒成立，a 2k －1＝a 1＋(a 3－a 1)＋(a 5－a 3)＋(a 7－a 5)＋…＋(a 2k －1－a 2k －3)＝0＋4＋8＋12＋…＋4(k －1)＝k （0＋4k －4）2＝4k 2－4k 2＝（2k －1）2－12，a 2k ＝a 2k －1＋2k ＝（2k －1）2－12＋2k ＝2k 2＝（2k ）22. 所以a n＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2－12（n 为奇数）n 22（n 为偶数）.答案：a n＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2－12（n 为奇数）n 22（n 为偶数）16．解析：由2f (x )＋xf ′(x )＞x 2(x ＜0)，得：2xf (x )＋x 2f ′(x )＜x 3，即[x 2f (x )]′＜x 3＜0，令F (x )＝x 2f (x )，则当x ＜0时，得F ′(x )＜0，即F (x )在(－∞，0)上是减函数，所以F(x＋2 018)＝(x＋2 018)2f(x＋2 018)，F(－2)＝4f(－2)，即不等式等价为F(x ＋2 018)－F(－2)＞0，因为F(x)在(－∞，0)是减函数，所以由F(x＋2 018)＞F(－2)得，x ＋2 018＜－2，即x＜－2 020.答案：{x|x＜－2 020}17．解析：设椭圆与双曲线的半焦距为c，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，由题意知r1＝10，r2＝2c，且r1>r2，2r2>r1，所以2c<10，2c＋2c>10，所以52<c<5，254<c2<25.所以e1＝2c2a椭＝2cr1＋r2＝2c 10＋2c ＝c5＋c，e2＝2c2a双＝2cr1－r2＝2c10－2c＝c5－c，所以e1e2＋1＝c225－c2＋1＝2525－c2＝11－c225>43.以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”首先要做到以下两点：1、先把教材上的知识点、理论看明白。

小题考法专训（三） 等差数列与等比数列A 级——保分小题落实练一、选择题1．(2019·福州质检)等比数列{a n }的各项均为正实数，其前n 项和为S n .若a 3＝4，a 2a 6＝64，则S 5＝( )A ．32B ．31C ．64D ．63解析：选 B 法一：设首项为a 1，公比为q ，因为a n ＞0，所以q ＞0，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1·q 2＝4，a 1q ·a 1q 5＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S 5＝31，故选B.法二：设首项为a 1，公比为q ，因为a n ＞0，所以q ＞0，由a 2a 6＝a 24＝64，得a 4＝8，又a 3＝4，所以q ＝2，a 1＝1，所以S 5＝31，故选B.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 5＝90，则等差数列{a n }的公差d ＝( ) A ．2 B ．32 C ．3D ．4解析：选C 依题意，5×12＋5×42d ＝90，解得d ＝3，故选C.3．在公差不为0的等差数列{a n }中，4a 3＋a 11－3a 5＝10，则15a 4＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C 设{a n }的公差为d (d ≠0)，由4a 3＋a 11－3a 5＝10，得4(a 1＋2d )＋(a 1＋10d )－3(a 1＋4d )＝10，即2a 1＋6d ＝10，即a 1＋3d ＝5，故a 4＝5，所以15a 4＝1，故选C.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋4S 2＝0，则公比q ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2解析：选C 因为a 3＋4S 2＝0，所以a 1q 2＋4a 1＋4a 1q ＝0，因为a 1≠0，所以q 2＋4q ＋4＝0，所以q ＝－2，故选C.5．(2020届高三·广东六校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4＝( )A ．16B ．15C ．8D ．7解析：选B 设公比为q ，由题意得4a 2＝4a 1＋a 3，即4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2，又a 1＝1，所以4q ＝4＋q 2，解得q ＝2，所以S 4＝1×(1－24)1－2＝15，故选B.6．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，则a 9＝( )A.12 B ．54 C.45 D ．－45解析：选C 因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，a 3＝2，a 7＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差d ＝1a 7－1a 37－3＝1－127－3＝18，所以1a 9＝1a 7＋(9－7)×18＝54，所以a 9＝45，故选C. 7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 3＝－6，则S 5＝( ) A ．18 B ．10 C ．－14D ．－22解析：选D 设等比数列{a n }的公比为q ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝2，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，q ＝－2，所以S 5＝－2×[1－(－2)5]1－(－2)＝－22，故选D.8．(2019·长春质监)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若公比q ＝2，则a 1＋a 3＋a 5S 6＝( )A.13 B ．17 C.23D ．37解析：选 A 由题意知a 1＋a 3＋a 5＝a 1(1＋22＋24)＝21a 1，而S 6＝a 1(1－26)1－2＝63a 1，所以a 1＋a 3＋a 5S 6＝21a 163a 1＝13，故选A. 9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1解析：选B 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 2，则a 2＝12.当n ≥2时，S n －1＝2a n ，则S n －S n －1＝a n＝2a n ＋1－2a n ，所以a n ＋1a n ＝32，所以当n ≥2时，数列{a n }是公比为32的等比数列，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2，所以S n ＝1＋12＋12×32＋…＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＝1＋12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －11－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，故选B.10．(2019·广东七校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＋a 8＝6，S 9－S 6＝3，则S n 取得最大值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选 D 设{a n }的公差为d ，则由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＋a 1＋7d ＝6，a 1＋6d ＋a 1＋7d ＋a 1＋8d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－2.所以a n ＝－2n ＋17，由于a 8＞0，a 9＜0，所以S n 取得最大值时n 的值是8，故选D.11．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则数列{na n }的前n 项和为( ) A ．－3＋(n ＋1)×2nB ．3＋(n ＋1)×2nC ．1＋(n ＋1)×2nD ．1＋(n －1)×2n解析：选D 设{a n }的公比为q ，易知q ≠1，所以由题设得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝7，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝63，两式相除得1＋q 3＝9，解得q ＝2，进而可得a 1＝1， 所以a n ＝a 1qn －1＝2n －1，所以na n ＝n ×2n －1.设数列{na n }的前n 项和为T n ， 则T n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1，2T n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n，两式作差得－T n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ×2n＝1－2n －1×21－2－n ×2n ＝－1＋(1－n )×2n，故T n ＝1＋(n －1)×2n.12．已知数列{a n }满足2a n ＋1＋a n ＝3(n ≥1)，且a 3＝134，其前n 项和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|＜1123的最小整数n 是( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C 由2a n ＋1＋a n ＝3，得2(a n ＋1－1)＋(a n －1)＝0，即a n ＋1－1a n －1＝－12，又a 3＝134，所以a 3－1＝94，代入上式，有a 2－1＝－92，a 1－1＝9，所以数列{a n －1}是首项为9，公比为－12的等比数列．所以|S n －n －6|＝|(a 1－1)＋(a 2－1)＋…＋(a n －1)－6|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪9×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＜1123，又n ∈N *，所以n 的最小值为10，故选C. 二、填空题13．(2019·北京高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________．解析：设数列{a n }的公差为d ，∵a 2＝a 1＋d ＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝－10， ∴a 1＝－4，d ＝1， ∴a 5＝a 1＋4d ＝0，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －5.令a n ＜0，则n ＜5，即数列{a n }中前4项为负，a 5＝0，第6项及以后为正． ∴S n 的最小值为S 4＝S 5＝－10. 答案：0 －1014．(2019·江苏高考)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋d )(a 1＋4d )＋a 1＋7d ＝0，9a 1＋9×82d ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝2，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝8×(－5)＋28×2＝16.答案：1615．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝7.当n ∈N *时，a n ＋2是乘积a n ·a n ＋1的个位数，则a 2 019＝________.解析：a 1＝3，a 2＝7，a 1a 2＝21，a 3＝1，a 2a 3＝7，a 4＝7，a 3a 4＝7，a 5＝7，a 4a 5＝49，a 6＝9，a 5a 6＝63，a 7＝3，a 6a 7＝27，a 8＝7，a 7a 8＝21，a 9＝1，a 8a 9＝7，a 10＝7，所以数列{a n }是周期为6的数列，又2 019＝6×336＋3，所以a 2 019＝a 3＝1.答案：116．已知数列{a n }满足a n ＝n n ＋1，则a 1＋a 222＋a 332＋…＋a 2 0192 0192＝________.解析：由题意，因为数列{a n }满足a n ＝nn ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 2的通项公式为a n n 2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以a 1＋a 222＋a 332＋…＋a 2 0192 0192＝1－12＋12－13＋…＋12 019－12 020＝1－12 020＝2 0192 020. 答案：2 0192 020B 级——拔高小题提能练1．(2019·福州质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝(n ＋1)a 2n2a 2n ＋4na n ＋n 2，则a 8＝( )A.8964－2 B ．8932－2 C.8916－2D ．897－2解析：选A 因为a n ＋1＝(n ＋1)a 2n2a 2n ＋4na n ＋n 2，a 1＝1，所以a n ＞0，所以1a n ＋1＝2a 2n ＋4na n ＋n2(n ＋1)a 2n， 所以n ＋1a n ＋1＝2a 2n ＋4na n ＋n 2a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n a n 2＋4·n a n ＋2， 所以n ＋1a n ＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n a n ＋22.令b n ＝n a n＋2，则b n ＋1＝b 2n ，又因为b n ＞0，且b n ≠1，所以ln b n ＋1＝2ln b n ，又ln b 1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋2＝ln 3，所以数列{ln b n }是首项为ln 3，公比为2的等比数列． 所以ln b n ＝ln 3·2n －1＝ln 32n －1，所以b n ＝32n －1，即na n＋2＝32n －1，从而a n ＝n32n －1－2， 将n ＝8代入可得a 8＝8964－2，选A.2．[多选题]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋1＝4a n ＋2，a 1＝1，令b n ＝a n ＋1－2a n ，设c n ＝a n2n ，则下列说法正确的是( )A ．数列{b n }是等比数列B ．数列{c n }是等比数列C ．数列{a n }的通项公式a n ＝(3n －1)2n －2D ．数列{a n }的前n 项和S n ＝(3n －4)2n －1＋2解析：选ACD 由题意，S n ＋1＝4a n ＋2，S n ＋2＝4a n ＋1＋2，两式相减得，S n ＋2－S n ＋1＝4(a n ＋1－a n )，a n ＋2＝4a n ＋1－4a n ，所以a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )，因为b n ＝a n ＋1－2a n ，所以b n ＋1＝2b n ，又由题设得1＋a 2＝4＋2＝6，即a 2＝5，所以b 1＝a 2－2a 1＝3，所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，故A 正确；由A 得b n ＝3·2n －1，所以b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，所以a n ＋12n ＋1－a n2n ＝34，即c n ＋1－c n ＝34.所以数列{c n }是首项为12，公差为34的等差数列．故B 错误；由B 得，c n ＝12＋34(n －1)＝34n －14，即a n 2n ＝34n －14，所以a n ＝(3n －1)2n －2，则S n ＝4a n －1＋2＝(3n －4)2n －1＋2.故C 、D 正确．3．设数列{a n }满足a 1＝5，且对任意正整数n ，总有(a n ＋1＋3)(a n ＋3)＝4a n ＋4成立，则数列{a n }的前2 019项的和为________．解析：由(a n ＋1＋3)(a n ＋3)＝4a n ＋4，得a n ＋1＝4a n ＋4a n ＋3－3＝a n －5a n ＋3，因为a 1＝5，所以a 2＝0，a 3＝－53，a 4＝－5，a 5＝5，则数列{a n }是以4为周期的周期数列，因为2 019＝504×4＋3，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－53，即一个周期的和为－53，所以数列{a n }的前2 019项的和为－53×504＋5＋0－53＝－2 5103.答案：－2 51034．(2019·福建五校第二次联考)在数列{a n }中，a 1＝13，1a n ＋1＝3a n (a n ＋3)，n ∈N *，且b n ＝13＋a n.记P n ＝b 1·b 2·…·b n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，则3n ＋1P n ＋S n ＝________.解析：因为1a n ＋1＝3a n (a n ＋3)＝1a n －1a n ＋3，所以b n ＝13＋a n ＝1a n －1a n ＋1，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝1a 1－1a n ＋1.因为1a n ＋1＝3a n (a n ＋3)，所以b n ＝13＋a n ＝a n3a n ＋1，所以P n ＝b 1·b 2·…·b n ＝a 13a 2·a 23a 3·…·a n 3a n ＋1＝a 13n a n ＋1. 又a 1＝13，故3n ＋1P n ＋S n ＝3a 1a n ＋1＋1a 1－1a n ＋1＝1a 1＝3.答案：35．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，满足a 1＝2,3S n ＝(n ＋m )a n ，m ∈R ，且a n b n ＝n .则a 2＝________；若存在n ∈N *，使得λ＋T n ≥T 2n 成立，则实数λ的最小值为________．解析：∵3S n ＝(n ＋m )a n ，∴3S 1＝3a 1＝(1＋m )a 1， 解得m ＝2，∴3S n ＝(n ＋2)a n .① 当n ≥2时，3S n －1＝(n ＋1)a n －1.②由①－②可得3a n ＝(n ＋2)a n －(n ＋1)a n －1， 即(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1. ∵a 1＝2，∴a n ≠0，∴a n a n －1＝n ＋1n －1，∴a 2a 1＝31，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n －1a n －2＝n n －2，a n a n －1＝n ＋1n －1，以上各式累乘可得a n ＝n (n ＋1)，经检验a 1＝2符合上式．∴a n ＝n (n ＋1)，n ∈N *. ∴a 2＝2×3＝6. ∵a n b n ＝n ，∴b n ＝1n ＋1. 令B n ＝T 2n －T n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋1， 则B n ＋1－B n ＝3n ＋4(2n ＋2)(2n ＋3)(n ＋2)＞0，∴数列{B n }为递增数列，∴B n ≥B 1＝13.∵存在n ∈N *，使得λ＋T n ≥T 2n 成立， ∴λ≥B 1＝13，故实数λ的最小值为13.答案：6 13以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”首先要做到以下两点：1、先把教材上的知识点、理论看明白。