【精选】浙江专版高考数学二轮专题复习知能专练十三空间几何体的三视图表面积及体积

空间几何体的三视图、表面积与体积[课时跟踪检测] [A 级——基础小题提速练]一、选择题1．(2019·嘉兴高三期末) 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．36 3B ．54C ．72 3D ．108解析：选A 由三视图得该几何体是以边长为6的正方形为底面，高为33的四棱锥体，则该几何体的体积V ＝13×6×6×33＝363，故选A.2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.82π3 B ．82πC.42π3D ．42π解析：选C 由三视图得该几何体为底面半径为2，高为22的圆锥体的一半，则其体积为12×13×22×π×22＝42π3，故选C. 3．(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1 B.π2＋3C.3π2＋1 D.3π2＋3 解析：选A 由几何体的三视图可得，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长为2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，故该几何体的体积V ＝13×12π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1.4．某几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个边长为2的正三角形，则该几何体的体积是( )A.833B.233C.163D.43解析：选A 由三视图可得该几何体为一个底面为边长为2的等边三角形，高为3的三棱柱截去两个以三棱柱的底面为底，高为12的三棱锥后剩余的部分，则其体积为34×22×3－2×13×34×22×12＝833，故选A. 5．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．72B ．64C ．48D ．32解析：选B 由三视图可知，此几何体为正四棱柱中挖去一个与其共上底且高为3的四棱锥，则体积V ＝42×5－13×42×3＝64，故选B.6．一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )A ．72＋6πB ．72＋4πC ．48＋6πD ．48＋4π解析：选A 由三视图知，该几何体由一个正方体的34部分与一个圆柱的14部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×2×2＋14×2π×2×4＝72＋6π，故选A.7．(2019·浙江新高考仿真卷(一))已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2 B.83 C.103D ．3解析：选C 由三视图可知，该几何体是底面直角边长为2的等腰直角三角形、高为2的直棱柱截去一个有相同底面且高为1的三棱锥后的几何体，所以该几何体的体积为V ＝121 3×12×2×2×1＝103，故选C.×2×2×2－8.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.73 B.8－π3C.83D.7－π3解析：选B 由三视图得，该几何体是从四棱锥P ­ABCD 中挖去半个圆锥后剩余的部分，四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，圆锥的底面半径是1、高是2，则所求的体积V ＝13×2×2×2－12×13π×12×2＝8－π3.9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3π B.15π4C.33π4D ．6π解析：选B 由三视图还原直观图知，该几何体为底面半径为1，高为3的圆锥挖去一个球心为圆锥底面圆的圆心且与圆锥相切的半球，易知圆锥的母线长为2，则圆锥的轴截面为边长为2的等边三角形，球的半径为32，故该几何体的表面积为π×1×2＋12×4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋π×12－π×⎝⎛⎭⎪⎫322＝15π4，故选B. 10．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积(单位：cm 2)是( )A．36＋24 2 B．36＋12 5C．40＋24 2 D．40＋12 5解析：选B 由三视图可知该几何体为一正方体和一正四棱台的简单组合体．正方体的棱长为2 cm，正四棱台上底面的边长为2 cm，下底面的边长为4 cm，棱台的高为2 cm，可求得正四棱台的斜高为22＋12＝5(cm)，故该几何体的表面积S＝22×5＋12×(2＋4)×5×4＋42＝36＋125(cm2)．故选B.二、填空题11．(2019·金华十校调研)一个棱柱的底面是边长为6的正三角形，侧棱与底面垂直．其三视图如图所示，则这个棱柱的体积为________，此棱柱的外接球的表面积为________．解析：由题意可知该三棱柱是一个直三棱柱，且底面是边长为6的正三角形，底面积为S＝12×62×sin 60°＝93，又因为该三棱柱的高h＝4，所以该三棱柱的体积为V＝Sh＝93×4＝36 3.由正弦定理可知该正三棱柱底面的外接圆直径为2r＝6sin 60°＝43，则其外接球的直径为2R＝(2r)2＋h2＝8，则R＝4，因此，此棱柱的外接球的表面积为4πR2＝4π×42＝64π.答案：36 3 64π12．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是________，该几何体的表面积是________．解析：由三视图可知，该几何体为四棱锥，由3＝13×12×3×(1＋2)x ，解得x ＝2.作出该几何体的直观图并标注相应棱的长度如图所示，则S表＝12×3×(1＋2)＋12×2×3＋12×22＋12×2×7＋12×1×7＝53＋37＋42.答案：253＋37＋4213．(2019·温州高三适应性考试)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)等于________，表面积(单位：cm 2)等于________．解析：由三视图得该几何体的底面是上底为2、下底为4、高为1的等腰梯形，高是1的直四棱柱，则其体积为1×2＋42×1＝3，表面积为2×2＋42×1＋1×2＋1×4＋2×1×2＝12＋2 2.答案：3 12＋2 214．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________，表面积等于________．解析：如图，由三视图可知该几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的一半，故该几何体的体积为12×π×22×3＝6π，表面积为2×12×π×22＋4×3＋π×2×3＝10π＋12.答案：6π 12＋10π15．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，球O 与正方体的各条棱都相切，M 为球O 上的一点，点N 是△ACB 1外接圆上的一点，则线段MN 长度的取值范围是________．解析：易求得棱切球的半径为2，易知△ACB 1为正三角形，则球心O 到△ACB 1的外接圆上任意一点的距离均为12＋(2)2＝3，于是OM ＝2，ON ＝ 3.因为|OM －ON |≤|MN |≤|OM ＋ON |，所以线段MN 长度的取值范围是[3－2，3＋2]．答案：[3－2，3＋2]16．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________．解析：此几何体为一侧棱垂直于底面的三棱台ABC ­A 1B 1C 1，如图．由上底的面积S 1＝12，下底的面积S 2＝2，高h ＝AA 1＝1，得体积V ＝13(S 1＋ S 1S 2＋S 2)h ＝76.答案：7617．某几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直径为2的半圆和一个正三角形组成，则此几何体的体积是________，表面积是________．解析：由题意可知，该几何体是由一个正三棱柱和半个圆柱组合而成的，正三棱柱的底面边长为2，高为4，半圆柱的底面半径为1，高为4，所以V ＝12×2×3×4＋12π×12×4＝43＋2π，表面积S ＝2×4×2＋12×3×2×2＋π×12＋π×1×4＝16＋23＋5π.答案：43＋2π 16＋23＋5π[B 级——能力小题保分练]1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．16B ．20C ．52D ．60解析：选B 由三视图知，该几何体由一个底面为直角三角形(直角边分别为3,4)，高为6的三棱柱截去两个等体积的四棱锥所得，且四棱锥的底面是矩形(边长分别为2,4)，高为3，如图所示，所以该几何体的体积V ＝12×3×4×6－2×13×2×4×3＝20，故选B.2.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥外接球的表面积为( )A．136πB．34πC．25π D．18π解析：选B 由三视图知，该四棱锥的底面是边长为3的正方形，高为4，且有一条侧棱垂直于底面，所以可将该四棱锥补形为长、宽、高分别为3,3,4的长方体，该长方体外接球的半径R即为该四棱锥外接球的半径，所以2R＝32＋32＋42，解得R＝342，所以该四棱锥外接球的表面积为4πR2＝34π，故选B.3．如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．45π＋96 B．(25＋6)π＋96C．(45＋4)π＋64 D．(45＋4)π＋96解析：选D 由三视图可知，该几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为4，圆锥的高为4，底面半径为2，所以该几何体的表面积为S＝6×42＋π×22＋π×2×42＋22＝(45＋4)π＋96.4．(2019·台州高三期末)已知某多面体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱长和为__________，其体积为________．解析：由三视图画出几何体的直观图如图所示，其是正方体的一部分，其中E ，F 是所在棱的中点，正方体的棱长为2，所以该几何体的所有棱长的和2×7＋1＋1＋2＋2×22＋12＋22＝16＋32＋2 5.该几何体的体积为2×2×2－13×2×12×1×1＋12×2×2＋12×1×1×12×2×2＝173. 答案：16＋32＋2 5 173 5．已知某锥体的三视图如图所示(各正方形的边长为2)，则该锥体的体积是________；该锥体的内切球的表面积是________．解析：由几何体的三视图可知该几何体是一个棱长为22的正四面体，其可以为边长为2的正方体截去四个角而得，所以其体积为V ＝23－4×13×12×23＝83.因为正四面体的棱长为22，所以其底面的三角形的高为6，该正四面体的高为433，设内切球的半径为r ，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫433－r 2＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2632，解得r ＝33，所以该内切球的表面积为S ＝4πr 2＝4π3. 答案：83 4π36.如图所示，等腰△ABC 的底边AB ＝66，高CD ＝3，点E 是线段BD 上异于点B ，D 的动点，点F 在BC 边上，且EF ⊥AB ，现沿EF 将△BEF折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE ，记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P ­ACFE的体积，则V (x )的最大值为________．解析：因为PE ⊥EF ，PE ⊥AE ，EF ∩AE ＝E ， 所以PE ⊥平面ABC .因为CD ⊥AB ，FE ⊥AB ，所以EF ∥CD ，所以EF CD ＝BE BD ，即EF 3＝x 36，所以EF ＝x6，所以S △ABC ＝12×66×3＝96， S △BEF ＝12×x ×x 6＝612x 2，所以V (x )＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫96－612x 2x ＝63x ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－112x 2(0＜x ＜36)．因为V ′(x )＝63⎝ ⎛⎭⎪⎫9－14x 2，所以当x ∈(0,6)时，V ′(x )＞0，V (x )单调递增； 当6＜x ＜36时，V ′(x )＜0，V (x )单调递减， 因此当x ＝6时，V (x )取得最大值12 6. 答案：12 6。

第1讲空间几何体的三视图、表面积和体积高考定位 1.三视图的识别和简单应用；2.简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问.真题感悟1.(2018·全国Ⅲ卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()[解析]由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.[答案] A2.(2018·全国Ⅰ卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A.122πB.12πC.82πD.10π[解析]因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为2 2.所以S表面积＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.[答案] B3.(2018·天津卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________.[解析]连接AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因为E，H分别为AD1，CD1的中点，所以EH∥AC，EH＝12AC.因为F，G分别为B1A，B1C的中点，所以FG∥AC，FG＝12AC.所以EH∥FG，EH＝FG，所以四边形EHGF为平行四边形，又EG＝HF，EH＝HG，所以四边形EHGF为正方形.又点M到平面EHGF的距离为12，所以四棱锥M－EFGH的体积为13×⎝⎛⎭⎪⎫222×12＝112.[答案]1 124.(2017·全国Ⅰ卷)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O 的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为________.[解析]如图，连接OA，OB，因为SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，所以OA⊥SC，OB⊥SC.因为平面SAC⊥平面SBC，平面SAC∩平面SBC＝SC，且OA⊂平面SAC，所以OA⊥平面SBC.设球的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，所以V A－SBC＝13×S△SBC×OA＝13×12×2r×r×r＝13r3，所以13r3＝9⇒r＝3，所以球的表面积为4πr2＝36π.[答案]36π考点整合1.空间几何体的三视图(1)几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等.(2)由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体.2.空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体的表面积公式：①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；④球的表面积S＝4πR2.(2)柱体、锥体和球的体积公式：①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；②V锥体＝13Sh(S为底面面积，h为高)；③V球＝43πR3.热点一空间几何体的三视图与直观图【例1】(1)(2018·兰州模拟)中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.已知某“堑堵”的正视图和俯视图如图所示，则该“堑堵”的侧视图的面积为()A.18 6B.18 3C.18 2D.272 2(2)(2018·全国Ⅰ卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A.217B.2 5C.3D.2[解析](1)在俯视图Rt△ABC中，作AH⊥BC交于H.由三视图的意义，则BH＝6，HC＝3，根据射影定理，AH2＝BH·HC，∴AH＝3 2.易知该“堑堵”的侧视图是矩形，长为6，宽为AH＝3 2.故侧视图的面积S＝6×32＝18 2.(2)由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4.则从M 到N的路径中，最短路径的长度为MS2＋SN2＝22＋42＝2 5.[答案](1)C(2)B探究提高 1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图.2.由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面.(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.(3)确定几何体的直观图形状.【训练1】(1)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之和为()A.1B.2C.3D.4(2)(2017·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A.3 2B.2 3C.2 2D.2[解析](1)设点P在平面A1ADD1的射影为P′，在平面C1CDD1的射影为P″，如图所示.∴三棱锥P－BCD的正视图与侧视图分别为△P′AD与△P″CD，因此所求面积S＝S△P′AD＋S△P″CD＝12×1×2＋12×1×2＝2.(2)根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥P－ABCD)如图所示，将该四棱锥放入棱长为2的正方体中.由图可知该四棱锥的最长棱为PD，PD＝22＋22＋22＝2 3.[答案](1)B(2)B热点二几何体的表面积与体积考法1空间几何体的表面积【例2－1】(1)(2017·全国Ⅰ卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A.10B.12C.14D.16(2)(2018·西安模拟)如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A.20πB.24πC.28πD.32π[解析](1)由三视图可画出直观图，该直观图各面内只有两个相同的梯形的面，S梯＝12×(2＋4)×2＝6，S全梯＝6×2＝12.(2)由三视图知，该几何体由一圆锥和一个圆柱构成的组合体，∵S圆锥侧＝π×3×32＋42＝15π，S圆柱侧＝2π×1×2＝4π，S圆锥底＝π×32＝9π.故几何体的表面积S＝15π＋4π＋9π＝28π.[答案](1)B(2)C探究提高 1.由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小；(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式.2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.【训练2】(1)(2016·全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是()A.17πB.18πC.20πD.28π(2)(2018·烟台二模)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的表面积为()A.3π＋42－2B.3π＋22－2C.3π2＋22－2 D.3π2＋22＋2[解析](1)由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O且互相垂直的三个平面)切掉左上角的18后得到的组合体，其表面积是球面面积的78和三个14圆面积之和，易得球的半径为2，则得S＝78×4π×22＋3×14π×22＝17π.(2)由三视图，该几何体是一个半圆柱挖去一直三棱柱，由对称性，几何体的底面面积S底＝π×12－(2)2＝π－2.∴几何体表面积S＝2(2×2)＋12(2π×1×2)＋S底＝42＋2π＋π－2＝3π＋42－2.[答案](1)A(2)A考法2空间几何体的体积【例2－2】(1)(2018·河北衡水中学调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.6B.4C.223 D.203(2)由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________.[解析](1)由三视图知该几何体是边长为2的正方体挖去一个三棱柱(如图)，且挖去的三棱柱的高为1，底面是等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边长为2.故几何体体积V＝23－12×2×2×1＝6.(2)该几何体由一个长、宽、高分别为2，1，1的长方体和两个底面半径为1，高为1的14圆柱体构成.所以V＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.[答案](1)A(2)2＋π2探究提高 1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.2.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.【训练3】(1)(2018·江苏卷)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.(2)(2018·北京燕博园质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.8π－163B.4π－163C.8π－4D.4π＋83[解析] (1)正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是 2.则该正八面体的体积为13×(2)2×1×2＝43. (2)该图形为一个半圆柱中间挖去一个四面体，∴体积V ＝12π×22×4－13×12×2×4×4＝8π－163. [答案] (1)43 (2)A热点三 多面体与球的切、接问题【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A.4πB.9π2C.6πD.32π3[解析] 由AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，得AC ＝10.要使球的体积V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC 的内切圆的半径为r . 则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r ，所以r ＝2. 2r ＝4＞3，不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.由2R＝3，即R＝32.故球的最大体积V＝43πR3＝92π.[答案] B【迁移探究1】若本例中的条件变为“直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积.解将直三棱柱补形为长方体ABEC－A1B1E1C1，则球O是长方体ABEC－A1B1E1C1的外接球.∴体对角线BC1的长为球O的直径.因此2R＝32＋42＋122＝13.故S球＝4πR2＝169π.【迁移探究2】若将题目的条件变为“如图所示是一个几何体的三视图”试求该几何体外接球的体积.解该几何体为四棱锥，如图所示，设正方形ABCD的中心为O，连接OP.由三视图，PH＝OH＝1，则OP＝OH2＋PH2＝ 2.又OB＝OC＝OD＝OA＝ 2.∴点O为几何体外接球的球心，则R ＝2，V 球＝43πR 3＝823π.探究提高 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2.若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.【训练4】 (2018·广州三模)三棱锥P －ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝PC ＝AC ＝2，AB ＝4，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为( ) A.23π B.234πC.64πD.643π[解析] 如图，设O ′为正△PAC 的中心，D 为Rt △ABC 斜边的中点，H 为AC 中点.由平面PAC ⊥平面ABC .则O ′H ⊥平面ABC .作O ′O ∥HD ，OD ∥O ′H ，则交点O 为三棱锥外接球的球心，连接OP ，又O ′P ＝23PH ＝23×32×2＝233，OO ′＝DH ＝12AB ＝2.∴R 2＝OP 2＝O ′P 2＋O ′O 2＝43＋4＝163.故几何体外接球的表面积S ＝4πR 2＝643π. [答案] D1.求解几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算.(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解.(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用.(4)求解几何体的表面积时要注意S表＝S侧＋S底.2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a的正方体的外接球、内切球、棱切球的半径分别为32a，a2，22a.3.锥体体积公式为V＝13Sh，在求解锥体体积中，不能漏掉13.一、选择题1.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是()[解析]由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线，在俯视图中应为实线，因此，选项B可以是几何体的俯视图.[答案] B2.(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4[解析]在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P－ABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，是△PAD，△PCD，△PAB.[答案] C3.(2018·湖南师大附中联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.8(π＋4)B.8(π＋8)C.16(π＋4)D.16(π＋8)[解析]由三视图还原原几何体如右图：该几何体为两个空心半圆柱相切，半圆柱的半径为2，母线长为4，左右为边长是4的正方形.∴该几何体的表面积为2×4×4＋2π×2×4＋2(4×4－π×22)＝64＋8π＝8(π＋8).[答案] B4.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A.πB.3π4 C.π2 D.π4[解析]如图画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心.球半径R＝OA＝1，球心到底面圆的距离为OM＝1 2.∴底面圆半径r＝OA2－OM2＝32，故圆柱体积V＝π·r2·h＝π·⎝⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4.[答案] B5.(2018·北京燕博园押题)某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为()A.4π3 B.5π3 C.7π6 D.11π6[解析]由三视图可知，该几何体是由半个圆柱与18个球组成的组合体，其体积为12×π×12×3＋18×4π3×13＝5π3.[答案] B6.(2018·全国Ⅲ卷)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D－ABC体积的最大值为()A.12 3B.18 3C.24 3D.54 3[解析]设等边△ABC的边长为x，则12x2sin 60°＝93，得x＝6.设△ABC的外接圆半径为r，则2r＝6sin 60°，解得r＝23，所以球心到△ABC所在平面的距离d ＝42－（23）2＝2，则点D到平面ABC的最大距离d1＝d＋4＝6.所以三棱锥D－ABC体积的最大值V max＝13S△ABC×6＝13×93×6＝18 3.[答案] B二、填空题7.(2018·浙江卷改编)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)为________.[解析]由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积V＝12×(1＋2)×2×2＝6.[答案] 68.(2018·郑州质检)已知长方体ABCD－A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为________. [解析]取BD的中点为O1，连接OO1，OE，O1E，O1A，则四边形OO1AE为矩形，∵OA⊥平面BDE，∴OA⊥EO1，即四边形OO1AE为正方形，则球O的半径R＝OA＝2，∴球O的表面积S＝4π×22＝16π.[答案]16π9.(2018·武汉模拟)某几何体的三视图如图所示，其中正视图的轮廓是底边为23，高为1的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，侧视图是个半圆.则该几何体的体积为________.[解析]由三视图知，几何体是由两个大小相同的半圆锥的组合体.其中r＝1，高h＝ 3.故几何体的体积V＝13π×12×3＝33π.[答案]3 3π三、解答题10.在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2，且点O为AC中点.(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)求三棱锥C1－ABC的体积.(1)证明因为AA1＝A1C，且O为AC的中点，所以A1O⊥AC，又面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，且A1O⊂平面AA1C1C，∴A1O⊥平面ABC.(2)解∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴A1C1∥平面ABC，即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离.由(1)知A 1O ⊥平面ABC 且A 1O ＝AA 21－AO 2＝3， ∴VC 1－ABC ＝VA 1－ABC ＝13S △ABC ·A 1O ＝13×12×2×3×3＝1. 11.(2018·长春模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ＝PB ，AD ∥BC ，AB ＝AC ，AD ＝12BC ＝1，PD＝3，∠BAD ＝120°，M 为PC 的中点.(1)证明：DM ∥平面PAB ；(2)求四面体MABD 的体积.(1)证明 取PB 中点N ，连接MN ，AN .∵M 为PC 的中点，∴MN ∥BC 且MN ＝12BC ，又AD ∥BC ，且AD ＝12BC ，得MN 綉AD .∴ADMN 为平行四边形，∴DM ∥AN .又AN ⊂平面PAB ，DM ⊄平面PAB ，∴DM ∥平面PAB .(2)解 取AB 中点O ，连接PO ，∵PA ＝PB ，∴PO ⊥AB ，又∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，PO ⊂平面PAB ， 则PO ⊥平面ABCD ，取BC 中点H ，连接AH ，∵AB ＝AC ，∴AH ⊥BC ，又∵AD ∥BC ，∠BAD ＝120°，∴∠ABC ＝60°，Rt △ABH 中，BH ＝12BC ＝1，AB ＝2，∴AO ＝1，又AD ＝1，△AOD 中，由余弦定理知，OD ＝ 3.Rt △POD 中，PO ＝PD 2－OD 2＝ 6.又S △ABD ＝12AB ·AD sin 120°＝32，∴V M －ABD ＝13·S △ABD ·12PO ＝24.。

2021年高考数学二轮复习空间几何体的三视图、表面积与体积1．(xx·江西高考)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )【解析】由三视图的知识得B正确．【答案】B2．(xx·浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A．72 cm3 B．90 cm3 C．108 cm3 D．138 cm3【解析】由题中三视图知，该几何体由一个长方体与一个三棱柱组成，体积V＝3×4×6＋12×3×4×3＝90(cm3)，故选B.【答案】 B3．(xx·陕西高考)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A．4π B．3π C．2π D．π【解析】∵圆柱侧面展开图为矩形，底面圆半径为1，S侧＝2πr·l＝2π×1×1＝2π，故选C.【答案】 C4．(xx·重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．54B ．60C ．66D ．72【解析】 S 表＝S 底＋S 上＋S 左＋S 前＋前＝12×3×4＋12×3×5＋5×3＋12×(2＋5)×4＋12×(2＋5)×5 ＝60.【答案】 B5．(xx·全国大纲高考)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16π C．9π D.27π4【解析】易知SO ′＝4O ′D ＝1222＋22＝ 2 设球的半径为R ，则(4－R )2＋22＝R 2∴R ＝94，∴S 球＝4πR 2＝81π4. 【答案】 A从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为：1．空间几何体的三视图及确定应用①此类问题多为考查三视图的还原问题，且常与空间几何体的表面积、体积等问题结合，主要考查学生的空间想象能力，是每年的必考内容之一．②试题多以选择题的形式出现，属基础题．2．计算空间几何体的表面积与体积①该考向主要以三视图为载体，通常是给出某几何体面积或体积，作为新课标教材的新增内容，日益成为了高考中新的增加点和亮点．主要考查学生的计算能力和空间想象能力及识图能力．②试题多以选择题、填空题为主，多属于中档题．3．多面体与球的切、接问题①该考向命题背景宽，以棱柱、棱锥、圆柱、圆锥与球的内切、外接的形式出现，也是高考中的一大热点．主要考查学生的空间想象能力和计算能力．②试题多以选择题、填空题的形式出现，属于中档题.空间几何体的三视图及应用【例1】 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱(2)(xx·湖北高考)在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②【解析】(1)直观图为：(2)在空间直角坐标系O－xyz中作出棱长为2的正方体，在该正方体中作出四面体，如图所示，由图可知，该四面体的正视图为④，俯视图为②.【答案】(1)B (2)D【规律方法】识与画三视图的关键点：(1)要牢记三视图的观察方向和长、宽、高的关系．三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廊线的正投影围成的平面图形，反映了一个几何体各个侧面的特点．正视图反映物体的主要形状特征，是三视图中最重要的视图；俯视图要和正视图对正，画在正视图的正下方；侧视图要画在正视图的正右方，高度要与正视图平齐．(2)要熟悉各种基本几何体的三视图．[创新预测]1．(1)(xx·武汉调研)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )(2)(xx·昆明调研)一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形．若该几何体的四个顶点在空间直角坐标系0xyz中的坐标分别是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，则第五个顶点的坐标可能为( )A．(1,1,1) B．(1,1，2)C．(1,1，3) D．(2,2，3)【解析】(1)由已知得选项A、B、C与俯视图不符，故选D.(2)因为正视图和侧视图是等边三角形，俯视图是正方形，所以该几何体是正四棱锥，还原几何体并结合其中四个顶点的坐标，建立空间直角坐标系，设O(0,0,0)，A(2，0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，所求的第五个顶点的坐标为S(1,1，z)，正视图为等边三角形，且边长为2，故其高为4－1＝3，又正四棱锥的高与正视图的高相等，故z＝±3，故第五个顶点的坐标可能为(1,1，3)．【答案】(1)D (2)C空间几何体的表面积与体积【例2】(1)(xx·山东高考)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．(2)(xx·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.(3)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋ 3C ．21D ．18【解析】 (1)设棱锥的高为h ，∵V ＝23，∴V ＝13×S 底·h ＝13×6×34×22×h ＝2 3. ∴h ＝1，由勾股定理知：侧棱长为22＋1＝ 5. ∵六棱锥六个侧面全等，且侧面三角形的高为52－12＝2，∴S 侧＝12×2×2×6＝12. (2)由几何体的三视图知，该几何体由两部分组成，一部分是底面半径为 1 m ，高为 4 m 的圆柱，另一部分是底面半径为2 m ，高为2 m 的圆锥．∴V ＝V 柱＋V 锥＝π×12×4＋13π×22×2＝20π3(m 3)． (3)根据几何体的三视图画出其直观图，根据直观图特征求其表面积．由几何体的三视图如题图可知，则几何体的直观图如图所示．因此该几何体的表面积为6×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12＋2×34×(2)2＝21＋ 3.故选A. 【答案】 (1)12 (2)20π3(3)A 【规律方法】 1.求解几何体的表面积及体积的技巧：(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．2．根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤：(1)根据给出的三视图判断该几何体的形状．(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量．(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解．[创新预测]2．(1)(xx·全国新课标Ⅰ高考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A ．6 2B ．4 2C ．6D ．4(2)(xx·辽宁高考)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－π4B ．8－π2C ．8－πD ．8－2π 【解析】(1)还原为直观图放在正方体中如图所示三棱锥D －ABC .AB ＝BC ＝4，AC ＝42， DB ＝DC ＝25，DA ＝422＋4＝6.故最长的棱长为6.故选C. (2)该几何体是一个正方体截去两个四分之一圆柱形成的组合体，其体积V ＝23－12×2π＝8－π，故选C.【答案】 (1)C (2)C多面体与球的切、接问题【例3】 (1)(xx·陕西高考)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π3 B ．4π C ．2π D.4π3(2)(xx·湖南高考)一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A ．1B ． 2C ．3D ．4【解析】 (1)连接AC ，BD 相交于O 1，连接A 1C 1，B 1D 1，相交于O 2并连接O 1O 2，则线段O 1O 2的中点为球心．∴半径R ＝|OB |＝|OO 1|2＋|O 1B |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1，∴V 球＝43πR 3＝43π，故选D. (2)由题意知，几何体为三棱柱，设最大球的半径为R .∴2R ＝(6＋8)－10＝4，∴R ＝2.【答案】 (1)D (2)B【规律方法】 多面体与球接、切问题的求解策略：(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．[创新预测]3．(1)(xx·辽宁高考)已知直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B ．210 C.132D ．310 (2)(xx·全国课标Ⅱ高考)已知正四棱锥O ­ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．【解析】 (1)根据球的内接三棱柱的性质求解．因为直三棱柱中AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径．取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球直径，所以2R ＝122＋52＝13，即R ＝132. (2)本题先求出正四棱锥的高h ，然后求出侧棱的长，再运用球的表面积公式求解．V 四棱锥O ­ABCD ＝13×3×3h ＝322，得h ＝322， ∴OA 2＝h 2＋(AC 2)2＝184＋64＝6. ∴S 球＝4πOA 2＝24π.【答案】 (1)C (2)24π[总结提升] 通过本节课的学习，需掌握如下三点：失分盲点1．(1)台体的构成：台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行．(2)三视图的不唯一性：空间几何体的不同放置位置对三视图会有影响．(3)三视图轮廓线的虚实：正确确定三视图的轮廓线，可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．(4)元素与位置的变与不变：几何体的展开与折叠问题，准确确定前后两个图形间的联系及元素与位置之间的变化与稳定．2．(1)球的外切四棱锥与内接四棱锥是不一样的，两者不能混淆．(2)球的体积公式与锥体的体积公式的系数不一样，两者不能混淆．答题指导1．(1)看到三视图，想到几何体的直观图．(2)看到三棱锥的体积，想到定底定高．(3)看到求几何体的表面积、体积，想到几何体的表面积、体积公式．2．(1)看到球的表面积、体积问题，想到球的表面积、体积公式．(2)看到球的组合体问题，想到寻找一个合适的轴截面．(3)看到球的截面，想到球的截面性质．方法规律1．(1)画三视图的规则：长对正，高平齐，宽相等．(2)转化思想的应用：将空间问题转化为平面问题．(3)几何体体积：注意割补法(将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解)．(4)几何体表面上最短距离问题：常常利用几何体的表面展开图解决．2．(1)球的直径：球的直径等于它的内接正方体的对角线长，等于它的外切正方体的棱长．(2)与球有关的接切问题：要注意球心的位置以及球心与其他点形成的直角三角形．有关球的组合体的图形与数据处理所谓空间想象力，就是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象概括的能力，空间想象能力在立体几何中主要体现在能对空间几何体的各个元素在空间中的位置进行准确判断，能画出空间几何体的直观图，并在直观图中把各种位置关系表达出来．球是基本的空间几何体之一，单一的球的直观图容易画出，但是当球与其他空间几何体组成组合体时，其直观图就很难作出，因此与球有关的组合体的图形处理成为空间想象能力考查的重要问题．【典例】若三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB＝SA＝SB＝SC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.83π B.433πC.43π D.163π【解析】如图所示，由SA＝SB＝SC可知点S在底面上的射影为△ABC的外心．由于底面是直角三角形，故其外心为斜边的中点O′，设该三棱锥外接球的球心为O，半径为R，则OO′＝3－R，在△OO′A中，R2＝(3－R)2＋12，即R＝23，所以球的表面积为4πR2＝16π3.【答案】 D【规律感悟】多面体的外接球的球心是到多面体的各个顶点距离相等的点，在确定多面体外接球的球心时要抓住这个特点．> egJ24089 5E19 帙727299 6AA3 檣39547 9A7B 驻21772 550C 唌29000 7148 煈 25066 61EA 懪h27745 6C61 污。

第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积空间几何体的三视图1.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( B )解析:由题意知,选项A,C中所给的几何体的正视图、俯视图不符合要求,选项D中所给几何体的侧视图不符合要求.故选B.2.(2014福建卷)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( A )(A)圆柱 (B)圆锥 (C)四面体(D)三棱柱解析:圆柱的正视图是矩形或圆,不可能是三角形,则该几何体不可能是圆柱.故选A.3.(2014湖北卷)在如图所示的空间直角坐标系O xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①②③④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( D )(A)①和②(B)③和①(C)④和③(D)④和②解析:在空间直角坐标系O xyz中作出棱长为2的正方体,在该正方体中作出四面体,如图所示,由图可知,该四面体的正视图为④,俯视图为②.故选D.4.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为( D )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由题意可知,几何体是三棱锥,其放置在长方体中形状如图中三棱锥A BCD,利用长方体模型可知,此三棱锥的四个面,全部是直角三角形.故选D.空间几何体的表面积与体积5.(2015新课标全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( B )(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛解析:设圆锥底面半径为r,因为米堆底部弧长为8尺,所以r=8,r=≈(尺),所以米堆的体积为V=××π×()2×5≈(立方尺),又1斛米的体积约为1.62立方尺,所以该米堆有÷1.62≈22(斛),选B.6.(2015新课标全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( D )(A)(B)(C)(D)解析:由三视图可知,该几何体是一个正方体截去了一个三棱锥,即截去了正方体的一个角.设正方体的棱长为1,则正方体的体积为1,截去的三棱锥的体积为V1=××1×1×1=,故剩余部分的体积为V2=,所求比值为=.7.(2015河北沧州质检)已知一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为,则其俯视图的面积为( B )(A)π+2 (B)2π+4 (C)2π+6 (D)π+4解析:三视图所对应的空间几何体为一半圆锥拼接一三棱锥,因为V=××πa2×4+××2a×a×4=a2(π+2)=,所以a2=4,所以俯视图的面积为πa2+·2a·a=2π+4,故选B.8.(2015大庆市二检)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( A )(A)32+4π(B)24+4π(C)12+(D)24+解析:该几何体为长方体与球的组合体,其中长方体的棱长分别为2,2,3,球的半径为1,故其表面积为2×2×2+2×3×4+4×π×12=32+4π,故选A.多面体与球的切接问题9.(2015东北三校联合二模)一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图为等腰直角三角形,正视图和侧视图是全等的等腰三角形,则此三棱锥外接球的表面积为( B )(A)16π (B)9π(C)4π(D)π解析:由三视图可知立体图形如图所示.由三视图知顶点A在底面BCD上的射影E为BD中点,AE⊥底面BCD,BC⊥CD,BC=CD=2,BD=2,AE=2,设O为外接球球心,AO=R,OE=2-R,则AB==,在Rt△BOE中R2=(2-R)2+()2,得R=,因为S=4πR2,所以此三棱锥外接球的表面积为9π.10.(2015甘肃兰州第二次监测)已知长方体ABCD A1B1C1D1的各个顶点都在球O的球面上,若球O的表面积为16π,且AB∶AD∶AA1=∶1∶2,则球心O到平面ABCD的距离为( B ) (A)1 (B)(C)(D)2解析:设外接球O的半径为R,则4πR2=16π,所以R=2,由题意知长方体的对角线为球的直径,又AB∶AD∶AA1=∶1∶2,设AD=x,AB=x,AA1=2x,则x2+(x)2+(2x)2=42,解得x=,球心O到平面ABCD的距离为AA1=x=,选B.11.(2015江西上饶三模)从点P 出发的三条射线PA,PB,PC两两成60°角,且分别与球O相切于A,B,C三点,若OP=,则球的体积为( C )(A)(B)(C)(D)解析:设OP交平面ABC于O′,由题得△ABC和△PAB为正三角形,所以O′A=AB=AP,因为AO′⊥PO,OA⊥PA,所以=,=,=,所以OA==×=1,即球的半径为1,所以其体积为π×13=π.选C.12.(2015东北三校第一次联合模拟)三棱柱ABC A1B1C1各顶点都在一个球面上,侧棱与底面垂直,∠ACB=120°,CA=CB=2,AA1=4,则这个球的表面积为.解析:在△ABC中,∠ACB=120°,CA=CB=2,由余弦定理可得AB=6,由正弦定理可得△ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O′,球心为O,在Rt△OAO′中,球半径R==4,故球的表面积为S=4πR2=64π.答案:64π一、选择题1.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是( D )解析:根据几何体的三视图知识求解.由于该几何体的正视图和侧视图相同,且上部是一个矩形,矩形中间无实线和虚线,因此俯视图不可能是选项D.2.(2015河南模拟)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且其体积为,则该几何体的俯视图可以是( D )解析:根据正视图与侧视图的形状和几何体的体积是,知底面积是,所以底面是一个半径为1的四分之一圆,故选D.3.(2015河南六市第二次联考)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,其中侧视图是一个边长为2的正三角形,则这个几何体的体积是( B )(A)2 cm3(B) cm3(C)3 cm3(D)3 cm3解析:由三视图可知几何体如图所示,其侧面PCB与底面垂直,且△PCB为边长为2的正三角形,底面为直角梯形,上底为1,下底为2,高为2,所以四棱锥的体积为V=××(1+2)×2××2=.4.(2015赤峰模拟)已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如图,俯视图是边长为2的正三角形,侧视图是一直角边为2的直角三角形,则该三棱锥的正视图面积为( B )(A)(B)2 (C)4 (D)解析:三棱锥的正视图如图所示,所以该三棱锥的正视图面积=×2×2=2.故选B.5.(2015太原市高三模拟)已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是扇形,则该几何体的体积为( B )(A)4π(B)2π(C)(D)解析:由正视图可知该几何体的高为H=3,其俯视图如图,OA=OB=2,AC=,AC⊥OB,所以∠AOB=,弧AB的长为,所以扇形面积为S=×2×=,所以几何体的体积为V=3×=2π.选B.6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( B )(A)6+(B)7+(C)8+(D)7+2解析:由三视图可知该几何体是底面为直角梯形(梯形上底长为1,下底长为2,高为1),高为1的直棱柱,故其表面积为1×1×2+×(1+2)×1×2+1×2+1×=7+.故选B.7.(2015黑龙江高三模拟)一个四面体的顶点都在球面上,它们的正视图、侧视图、俯视图都如图所示.图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形.则这个四面体的外接球的表面积是( B )(A)π(B)3π(C)4π(D)6π解析:由三视图可知,该四面体是正方体的一个内接正四面体,且正方体的棱长为1,所以内接正方体的对角线长为,即球的直径为,所以球的表面积为S=4π×()2=3π,故选B.8.(2015辽宁沈阳高三一模)已知直三棱柱ABC A1B1C1中,所有棱的长都为3,顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( B )(A)9π(B)21π (C)33π (D)45π解析:如图,因为所有棱的长都为3,所以OO1=,OA即为其外接球的半径R,又AO1=××3=,所以R2=O+A=()2+()2=,所以S球=4πR2=21π.故选B.9.(2015河南六市联考)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是( D )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由三视图可知,该几何体的直观图如图所示,四边形ABCD为直角梯形,上底为2,下底为4,高为2,且OA,AB,AD两两垂直,OA=2,所以该几何体的体积为V=××2=4.选D.10.(2015郑州第一次质量预测)某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则xy的最大值为( C )(A)32 (B)32(C)64 (D)64解析:设三棱锥的高为h,则根据三视图可得所以x2+y2=128,因为x>0,y>0,所以x2+y2≥2xy,所以xy≤64,当且仅当x=y=8时取“=”号,故xy的最大值为64.选C.11.(2015广西南宁二模)已知如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为( B )(A)24π (B)6π(C)4π(D)2π解析:依题意知,该几何体是一个如图所示的三棱锥A BCD,其中AB⊥平面BCD,AB=,BC=CD=,BD=2,将该三棱锥补成一个正方体,则有(2R)2=()2+()2+()2=6,所以R=,所以外接球的表面积为S=4πR2=4π×()2=6π.选B.12.(2015唐山市一模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( C )(A)4 (B)21+(C)3+12 (D)+12解析:根据三视图可知该几何体是正六边形截得的正方体下方的几何体,因为正方体的棱长为2,所以根据分割的正方体的2个几何体的对称性得,S1=×6×22=12,正六边形的面积为6××()2=3,所以该几何体的表面积为12+3.选C.二、填空题13.(2015广西南宁二模)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等且=,则的值是.解析:设两个圆柱的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,则由题意知,==·=,①又2πr1·h1=2πr2·h2,所以=,②把②代入①可得,=,所以=()2=()2=.答案:14.(2015辽宁沈阳高三一模)已知某多面体的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形,则此多面体最长的一条棱长为.解析:由三视图知,该几何体是一个四棱锥,如图所示,其底面是直角梯形,AD=4,AB=4,OA=4,BC=1,则OD==,CD==5,OB==,OC===,故多面体最长的一条棱长为.答案:15.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为.解析:由三视图知,几何体由一个四棱锥与四棱柱组成,则体积V=×2×2×1+1×1×2=.答案:16.(2015大连市高三一模)如图,半球内有一内接正四棱锥S ABCD,该四棱锥的体积为,则该半球的体积为.解析:设球的半径为R,则底面ABCD的面积为2R2, 因为半球内有一内接正四棱锥S ABCD,该四棱锥的体积为,所以×2R2×R=,所以R3=2,所以该半球的体积为V=×πR3=π.答案:π。

专题限时集训(十)B[第10讲 空间几何体的三视图、表面积及体积](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．某空间几何体的三视图如图10-12所示，则该几何体的体积为( )图10-12A ．83B ．8C ．323D ．162．一个几何体的三视图如图10-13所示，则该几何体的体积为( )图10-13A ．13B ．23C ．2D ．13．图10-14为一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 ( )图10-14A ．3＋π6B ．3＋43πC ．33＋43πD ．33＋π64．某几何体的三视图如图10-15所示，则其体积为________．图10-15提升训练5．一个几何体的三视图如图10-16所示，其中正视图是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为( )图10-16A ．32B ．1C ．52D ．126．一个几何体的三视图如图10-17所示，则它的体积为( )图10-17A ．203B ．403C ．20D ．407．已知某几何体的三视图如图10-18所示，其中俯视图是圆，则该几何体的体积为( )图10-18A ．π3B ．2π3C ．23D ．138．图10-19是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )图10-19A ．54B ．27C ．18D ．99．用一个边长为4的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为1的鸡蛋(视为球体)放在其上(如图10-20所示)，则鸡蛋中心(球心)与蛋托底面的距离为___________．图10-2010．直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的各顶点都在同一个球面上．若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积为________．11．如图10-21所示，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为________．专题限时集训(十)B 【基础演练】1．B [解析] 由三视图可知，该几何体的体积为12×2×2×4＝8.2．B [解析] 由三视图知该几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为2的正方形，四棱锥的高为1，所以该几何体的体积V ＝13×2×2×1＝23.3．D [解析] 由三视图知，原几何体是三棱柱和球的组合体．其中三棱柱的侧棱长为3，底面为边长为2的正三角形．球的直径为1，则该几何体的体积为34×22×3＋43π×⎝⎛⎭⎫123＝33＋π6.4．π3[解析] 根据三视图可知该几何体是一个底面圆的半径为1，高为2的圆锥的一半，所以其体积V ＝12×13·π·12×2＝π3.【提升训练】5．A [解析] 该几何体为正六棱锥，其侧视图是底边长为3，高为3的等腰三角形，其面积为12×3×3＝32.6．B [解析] 此几何体的直观图如图所示，易知其体积V ＝13×12()1＋4×4×4＝403.7．B [解析] 由三视图知，该几何体为一个圆柱内挖去一个圆锥后剩下的部分，其体积V ＝π×12×1－13π×12×1＝2π3.8．C [解析] 由题可知，该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，该四棱锥的高为3，底面是边长分别为3，6的矩形，故其体积为13×3×6×3＝18.9．3＋63[解析] 由题意可知，蛋托的高为3，且折起的三个小三角形的顶点构成边长为1的等边三角形，记为A′B′C′，球心到平面A′B′C′的距离d ＝1－⎝⎛⎭⎫332＝63，所以鸡蛋中心与蛋托底面的距离为3＋63. 10．20π [解析] 设半径为R 的球的内接直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的上、下底面外接圆的圆心分别为O 1，O 2，则球心O 在线段O 1O 2的中点处．连接OO 1，OA ，O 1A ，则R 2＝OA 2＝OO 21＋O 1A 2＝1＋O 1A 2.在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴ BC ＝2 3.又BC sin ∠BAC ＝2O 1A ，∴ O 1A ＝232sin ∠BAC＝2，∴ R ＝5，∴此球的表面积为4πR 2＝20π.11．π6 [解析] 根据题意知，平面ACD 1是边长为2的正三角形，球O 与以点D 为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD 1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积．易知△ACD 1内切圆的半径是2×32×13＝66，则所求的截面圆的面积是π× ⎝⎛⎭⎫662＝π6.。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题专题强化练十 空间几何体的三视图、表面积及体积一、选择题1．如图，在正方形ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的正投影可能是( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④解析：图①是△PAC 在底面上的投影，④是△PAC 在前后侧面上的投影．因此正投影可能是①④，选项B 正确．答案：B2．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A ．60B ．30C ．20D ．10解析：由三视图知可把三棱锥放在一个长方体内部，则三棱锥A 1­BCD 是三视图所示三棱锥，VA 1­BCD ＝13×12×3×5×4＝10.答案：D3．(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P ­ABCD ，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3.答案：C4．中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的正视图和俯视图如图所示，则该“堑堵”的侧视图的面积为( )A ．18 6B ．18 3C ．18 2 D.2722解析：在俯视图Rt △ABC 中，作AH ⊥BC 交于H .由三视图的意义，则BH ＝6，HC ＝3， 根据射影定理，AH 2＝BH ·HC ，所以AH ＝3 2.易知该“堑堵”的侧(左)视图是矩形，长为6，宽为AH ＝32， 故侧视图的面积S ＝6×32＝18 2. 答案：C5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．πB ．2πC ．3πD ．8π解析：由三视图知，该几何体是一个圆柱挖去一个同底的圆锥． 所以该几何体的体积V ＝3×π×12－13·π×12×3＝2π.答案：B6．(2018·全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ­ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3 解析：设等边△ABC 的边长为x ， 则12x 2sin 60°＝93，得x ＝6. 设△ABC 外接圆的半径为r ，则2r ＝6sin 60°，得r ＝2 3.所以球心到△ABC 所在平面的距离d ＝42－（23）2＝2， 则点D 到平面ABC 的最大距离d 1＝d ＋4＝6.故V 三棱锥D ­ABC 的最大值为13·S △ABC ×6＝13×93×6＝18 3.答案：B 二、填空题7．(2018·浙江卷改编)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是________．解析：由三视图知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱， 所以其体积V ＝12×(1＋2)×2×2＝6.答案：68．(2018·济南市模拟)某几何体的三视图如图所示，其中主视图的轮廓是底边为23，高为1的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，左视图是个半圆．则该几何体的体积为________．解析：由三视图知，几何体是由两个大小相同的半圆锥的组合体． 其中r ＝1，高h ＝ 3.故几何体的体积V ＝13π×12×3＝33π.答案：33π 9．已知长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1内接于球O ，底面ABCD 是边长为2的正方形，E 为AA 1的中点，OA ⊥平面BDE ，则球O 的表面积为________．解析：取BD 的中点为O 1，连接OO 1，OE ，O 1E ，O 1A . 则四边形OO 1AE 为矩形，因为OA ⊥平面BDE ，所以OA ⊥EO 1，即四边形OO 1AE 为正方形，则球O 的半径R ＝OA ＝2， 所以球O 的表面积S ＝4π×22＝16π. 答案：16π10．(2018·郑州调研)某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知，该几何体是由半个圆柱与18个球组成的组合体，其体积为12×π×12×3＋18×4π3×13＝5π3.答案：5π311．(2018·烟台质检)已知三棱锥P ­ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为2的正三角形，PA ，PB ，PC 两两垂直，则球O 的表面积是________．解析：设球O 的半径为R ， 且2R ＝PA 2＋PB 2＋PC 2.因为△ABC 是边长为2的正三角形，PA 、PB 、PC 两两垂直． 所以PA ＝PB ＝PC ＝22＝1，则2R ＝3，所以球的表面积S 球＝4πR 2＝3π. 答案：3π 三、解答题12．(2018·佛山质检)如图，四棱锥P ­ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ＝PB ，AD ∥BC ，AB ＝AC ，AD ＝12BC ＝1，PD ＝3，∠BAD ＝120°，M 为PC 的中点．(1)证明：DM ∥平面PAB ； (2)求四面体M ­ABD 的体积． (1)证明：取PB 中点N ，连接MN 、AN .因为M 为PC 的中点，所以MN ∥BC 且MN ＝12BC ，又AD ∥BC ，且AD ＝12BC ，得MN 綊AD ，所以ADMN 为平行四边形，所以DM ∥AN .又AN ⊂平面PAB ，DM ⊄平面PAB ，所以DM ∥平面PAB . (2)解：取AB 中点O ，连接PO ，PO ⊥AB . 又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，则PO ⊥平面ABCD ， 取BC 中点H ，连结AH ，因为AB ＝AC ，所以AH ⊥BC ，又因为AD ∥BC ，∠BAD ＝120°，所以∠ABC ＝60°， Rt △ABH 中，BH ＝12BC ＝1，AB ＝2，所以AO ＝1，又AD ＝1，△AOD 中，由余弦定理知，OD ＝3， Rt △POD 中，PO ＝PD 2－OD 2＝6， 所以V M ­ABD ＝13·S △ABD ·12PO ＝24.。

知能专练（十三） 空间几何体的三视图、表面积及体积一、选择题1．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )解析：选C 注意到在三视图中，俯视图的宽度应与侧视图的宽度相等，而在选项C 中，其宽度为32，与题中所给的侧视图的宽度1不相等，因此选C. 2．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 该几何体为直三棱柱，底面是边长分别为6,8,10的直角三角形，侧棱长为12，故能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径，其半径为r ＝2Sa ＋b ＋c ＝2×12×6×86＋8＋10＝2，故选B.3．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π解析：选C 由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8,8解析：选B 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为 22＋12＝5，所以S 侧＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×5＝45，V ＝13×22×2＝83.5.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16解析：选B 由三视图可知该多面体是一个组合体，如图所示，其下面是一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为＋2×2＝12，故选B.6．如图，三棱锥V ­ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为( )A.32 B.33 C.34D.36解析：选B 由题意知，该三棱锥的正视图为△VAC ，作VO ⊥AC 于O ，连接OB (图略)，设底面边长为2a ，高VO ＝h ，则△VAC 的面积为12×2a ×h ＝ah ＝23.又三棱锥的侧视图为Rt △VOB ，在正三角形ABC 中，高OB ＝3a ，所以侧视图的面积为12OB ·VO ＝12×3a ×h ＝32ah ＝32×23＝33.7．《九章算术》的商功章中有一道题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2 000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底圆周长约为( )A ．1丈3尺B ．5丈4尺C ．9丈2尺D ．48丈6尺解析：选B 设圆柱底面圆的半径为r ，若以尺为单位，则2 000×1.62＝3r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋3＋13，解得r ＝9(尺)，∴底面圆周长约为2×3×9＝54(尺)，换算单位后为5丈4尺，故选B.8．(2017·丽水模拟)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为( )A. 3 B ．2 3 C ．3 3D ．4 3解析：选 B 分析题意可知，该几何体是由如图所示的三棱柱ABC ­A 1B 1C 1截去四棱锥A ­BEDC 得到的，故其体积V ＝34×22×3－13×1＋22×2×3＝23，故选B.9．(2017·贵阳质检)三棱锥P ­ABC 的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，底面ABC 所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选C 依题意，设题中球的球心为O ，半径为R ，△ABC 的外接圆半径为r ，则4πR33＝500π3，解得R ＝5，由πr 2＝16π，解得r ＝4，又球心O 到平面ABC 的距离为R 2－r 2＝3，因此三棱锥P ­ABC 的高的最大值为5＋3＝8，故选C.10．(2017·洛阳模拟)已知三棱锥P ­ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，△ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥P ­ABC 的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A.16π3B.40π3C.64π3D.80π3解析：选D 依题意，记三棱锥P ­ABC 的外接球的球心为O ，半径为R ，点P 到平面ABC 的距离为h ，则由V P ­ABC ＝13S △ABC h ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×42×h ＝163得h ＝433.又PC 为球O 的直径，因此球心O 到平面ABC 的距离等于12h ＝233.又正△ABC 的外接圆半径为r ＝AB 2sin 60°＝433，因此R 2＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝203，所以三棱锥P ­ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝80π3，故选D. 二、填空题11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________，体积为________．解析：由三视图得该几何体为如图所示的三棱锥，其中底面ABC 为直角三角形，∠B ＝90°，AB ＝1，BC ＝2，PA ⊥底面ABC ，PA ＝2，所以AC ＝PB ＝5，PC ＝3，PC 2＝PB 2＋BC 2，∴∠PBC ＝90°，则该三棱锥的表面积为12×1×2＋12×1×2＋12×2×5＋12×2×5＝2＋25，体积为13×12×1×2×2＝23.答案：2＋2 5 2312．(2017·诸暨质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的一条棱的长度为________，体积为________．解析：根据三视图，可以看出该几何体是一个底面为正三角形，一条侧棱垂直底面的三棱锥，如图所示，其中底面△BCD 是正三角形，各边长为2，侧棱AD ⊥底面BCD ，且AD ＝2，底面△BCD 的中垂线长DE ＝3，∴AC ＝AB ＝22，V 三棱锥A ­BCD ＝13×S △BCD ×AD ＝13×12×2×3×2＝233，即该几何体最长的棱长为22，体积为233.答案：2 223313．一个直棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则截去的几何体为________(从备选项中选择一个填上：三棱锥、四棱锥、三棱柱、四棱柱)，截去的几何体的体积为________．解析：作出直观图可得截去的几何体为底面为直角边长分别为1和2的直角三角形，高为4的三棱锥，其体积V ＝13×1×22×4＝43.答案：三棱锥 4314．(2018届高三·浙江名校联考)某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，其外接球的表面积为________．解析：由三视图得该几何体是一个底面为对角线为4的正方形，高为3的直四棱柱，则其体积为4×4×12×3＝24.又直四棱柱的外接球的半径R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52，所以四棱柱的外接球的表面积为4πR 2＝25π.答案：24 25π15．(2017·洛阳模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图可知该几何体为一个球体的34，故该几何体的表面积等于球的表面积的34，加上以球的半径为半径的圆的面积，即S ＝34×4πR 2＋πR 2＝16π.答案：16π16．(2016·四川高考)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．解析：由正视图知三棱锥的形状如图所示，且AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝2，BD＝23，设O 为BD 的中点，连接OA ，OC ，则OA ⊥BD ，OC ⊥BD ，结合正视图可知AO ⊥平面BCD .又OC ＝CD 2－OD 2＝1，∴V 三棱锥A ­BCD ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×1×1＝33. 答案：3317．如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图、侧视图与俯视图．已知CF ＝2AD ，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图是直角梯形，有关数据如图所示，则该几何体的体积为________．解析：取CF 中点P ，过P 作PQ ∥CB 交BE 于Q ，连接PD ，QD ，则AD∥CP ，且AD ＝CP .所以四边形ACPD 为平行四边形，所以AC ∥PD .所以平面PDQ ∥平面ABC .该几何体可分割成三棱柱PDQ ­CAB 和四棱锥D ­PQEF ， 所以V ＝V PDQ ­CAB ＋V D ­PQEF ＝12×22sin 60°×2＋13×＋2×3＝3 3.答案：3 3 [选做题]1．(2017·石家庄质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．16B ．20C ．52D ．60解析：选B 由三视图知，该几何体由一个底面为直角三角形(直角边分别为3,4)，高为6的三棱柱截去两个等体积的四棱锥所得，且四棱锥的底面是矩形(边长分别为2,4)，高为3，如图所示，所以该几何体的体积V ＝12×3×4×6－2×13×2×4×3＝20，故选B.2．四棱锥P ­ABCD 的底面ABCD 是边长为6的正方形，且PA ＝PB ＝PC ＝PD ，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高为( )A ．6B ．5 C.92 D.94解析：选D 过点P 作PH ⊥平面ABCD 于点H .由题知，四棱锥P ­ABCD是正四棱锥，内切球的球心O 应在四棱锥的高PH 上．过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中PE ，PF 是斜高，M 为球面与侧面的一个切点．设PH ＝h ，易知Rt △PMO ∽Rt △PHF ，所以OM FH＝PO PF ，即13＝h －1h 2＋32，解得h ＝94，故选D. 3．(2017·兰州模拟)已知球O 的半径为13，其球面上有三点A ，B ，C ，若AB ＝123，AC ＝BC ＝12，则四面体OABC 的体积为________．解析：如图，过点A ，B 分别作BC ，AC 的平行线，两线相交于点D ，连接CD ，∵AC ＝BC ＝12，AB ＝123，在△ABC 中，cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝－12，∴∠ACB ＝120°，∴在菱形ACBD 中，DA ＝DB ＝DC ＝12， ∴点D 是△ABC 的外接圆圆心， 连接DO ，在△ODA 中，OA 2＝DA 2＋DO 2， 即DO 2＝OA 2－DA 2＝132－122＝25，∴DO ＝5， 又DO ⊥平面ABC ，∴V O ­ABC ＝13×12×12×12×32×5＝60 3.答案：60 3。

专题升级训练11 空间几何体的三视图、表面积及体积(时间：60分钟满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是( )．A．①② B．①③ C．③④ D．②④2．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )．3．在一个几何体的三视图中，正(主)视图和俯视图如图所示，则相应的侧(左)视图可以为( )．4．(2020·北京丰台区三月模拟，5)若正四棱锥的正(主)视图和俯视图如图所示，则该几何体的表面积是( )．A．4 B．4＋410C．8 D．4＋4115．(2020·浙江宁波十校联考，12)已知某几何体的三视图如图所示，其中侧(左)视图是等腰直角三角形，正视图是直角三角形，俯视图ABCD是直角梯形，则此几何体的体积为( )．A ．1B ．2C ．3D ．46．(2020·山东济南三月模拟，8)若一个螺栓的底面是正六边形，它的正(主)视图和俯视图如图所示，则它的体积是( )．A ．273＋12πB ．93＋12πC ．273＋3πD ．543＋3π7．(2020·浙江宁波模拟，13)已知一个正三棱锥的正(主)视图为等腰直角三角形，其尺寸如图所示，则其侧(左)视图的周长为( )．A ．53＋21B ．53＋6C ．63＋6D ．33＋12 8．长方体的三条棱长分别为1，2，6，则此长方体外接球的体积与面积之比为( )． A ．43 B ．1 C ．2 D ．12二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)9．(2020·浙江宁波十校联考，15)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在半径为3的同一个球面上．若两圆锥的高的比为1∶2，则两圆锥的体积之和为__________．10．(2020·江苏南京二模，11)一块边长为10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当x ＝6 cm 时，该容器的容积为__________cm 3.11．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝5，AA1＝3，M为线段BB1上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为__________．12．(2020·浙江湖州中学模拟，16)底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E是侧棱AA1的中点，F是正方形ABCD的中心，则直线EF被球O所截得的线段长为__________．三、解答题(本大题共4小题，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13．(本小题满分10分)如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．14．(本小题满分10分)斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA1与底面相邻两边AB，AC都成45°角．(1)求这个三棱柱的侧面积；(2)求这个三棱柱的体积．15．(本小题满分12分)(2020·安徽安庆二模，18)如图，几何体ABC－EFD是由直三棱柱截得的，EF∥AB，∠ABC＝90°，AC＝2AB＝2，CD＝2AE＝ 6.(1)求三棱锥D－BCE的体积；(2)求证：CE⊥DB．16．(本小题满分12分)(2020·河北邯郸一模，19)已知四棱锥E－ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，AE＝BE＝2，O为AB的中点．(1)求证：EO⊥平面ABCD；(2)求点D到平面AEC的距离．参考答案一、选择题1．D 解析：图①的三种视图均相同；图②的正(主)视图与侧(左)视图相同；图③的三种视图均不相同；图④的正(主)视图与侧(左)视图相同．2．A 解析：由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y 轴上的对角线长为22，故选A.3．D 解析：由题目所给的几何体的正(主)视图和俯视图，可知该几何体为半圆锥和三棱锥的组合体，如图所示：可知侧(左)视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D. 4．B5．D 解析：由三视图可得该几何体是四棱锥，记为棱锥P －ABCD ，且PD ⊥底面ABCD .从而此几何体的体积为13×2＋42×2×2＝4.6．C 解析：该螺栓是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，V 总＝V 正六棱柱＋V 圆柱＝34×32×6×2＋π×12×3＝273＋3π.7．A 解析：由正(主)视图可知正三棱锥的底边长为6，高为3，从而可得侧棱长为21.而侧(左)视图是一个三角形，三条边分别是底面正三角形的高、侧棱和侧面等腰三角形底边上的高，其长度依次为33，21和23，故侧(左)视图的周长为53＋21.8．D二、填空题9．16π 解析：设两圆锥的高分别为h,2h ，圆锥的底面圆半径为r ，则r 2＝2h 2.又球的半径R ＝3h2＝3，则h ＝2.故两圆锥的体积之和为V ＝13πr 2(2h ＋h )＝πr 2h ＝2πh 3＝16π.10．4811． 3 解析：将直三棱柱沿侧棱A 1A 剪开，得平面图形如图所示，A ′C 1为定长，当A ，M ，C 1共线时AM ＋MC 1最短，此时AM ＝2，MC 1＝2 2.又在原图形中AC 1＝14，易知∠AMC 1＝120°，∴1AMC S ＝12×2×22×sin 120°＝ 3.12．423解析：O ，E ，F 三点在平面ACC 1A 1内，且矩形ACC 1A 1的外接圆是球的一个大圆． 又EF ∥A 1C ，设A 到直线A 1C 的距离为d ，则d 2＝26，得d ＝23，故圆心O 到直线EF 的距离为13.又球的半径为62，故直线EF 被球O 所截得的线段长为2⎝ ⎛⎭⎪⎫622－⎝⎛⎭⎪⎫132＝423. 三、解答题13．解：(1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体． 由PA 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得PA 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm 2)．所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．14．解：(1)由题可知AA 1⊥BC ，S 侧＝SBCC 1B 1＋2SABB 1A 1＝(1＋2)ab . (2)设O 为A 1在平面ABC 内的射影，则由题可知O 在∠BAC 的平分线上，可得AO ＝(b ·cos45°)÷cos 30°＝63b ，则斜三棱柱的高A 1O ＝33b ，所以三棱柱的体积V ＝3a 24·3b 3＝a 2b4.15．(1)解：BC 2＝AC 2－AB 2＝3⇒BC ＝ 3.几何体ABC －EFD 是由直三棱柱截得，由图可知DC ⊥平面ABC ， ∴DC ⊥AB .又∵∠ABC ＝90°，∴AB ⊥BC .∴AB ⊥平面BDC . 又EF ∥AB ，∴EF ⊥平面BCD .故V D －BCE ＝V E －BCD ＝13S △BCD ·EF ＝13×12×3×6×1＝22.(2)证明：连接CF .依题意⎭⎪⎬⎪⎫AB ⊥BFAB ⊥BC BF ∩BC ＝B ⇒⎭⎪⎬⎪⎫AB ⊥平面BFD BD ⊂平面BFD ⇒⎭⎪⎬⎪⎫AB ⊥BD EF ∥AB ⇒EF ⊥BD .①又在Rt△BCF 和Rt△CDB 中，BF BC ＝623＝22，BC CD ＝36＝22⇒BF BC ＝BC CD⇒Rt△BCF ∽Rt△CDB ⇒∠BDC ＝∠BCF ⇒∠BDC ＋∠DCF ＝∠BCF ＋∠DCF ＝90°⇒CF ⊥BD .②由①②⇒BD ⊥平面CEF .又CE ⊂平面CEF ，∴BD ⊥CE . 16．(1)证明：连接CO .∵AE ＝EB ＝2，AB ＝2，∴△AEB 为等腰直角三角形． ∵O 为AB 的中点，∴EO ⊥AB ，EO ＝1. 又∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°， ∴△ACB 是等边三角形，∴CO ＝ 3.又EC ＝2，∴EC 2＝EO 2＋CO 2，∴EO ⊥CO .又CO ⊂平面ABCD ，EO 平面ABCD ，∴EO ⊥平面ABCD . (2)解：设点D 到平面AEC 的距离为h .∵AE ＝2，AC ＝EC ＝2，∴S △AEC ＝72.∵S △ADC ＝3，E 到平面ACB 的距离EO ＝1，V D －AEC ＝V E －ADC ，∴S △AEC ·h ＝S △ADC ·EO ，∴h ＝2217，∴点D 到平面AEC 的距离为2217.。