2020浙江新高考数学二轮复习专题强化练：不等式 Word版含解析

解答题标准练二1．函数f＝2错误!in co －2co2＋11求函数f的单调递增区间；2在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设满足fB＝2，a ＝8，c＝5，求co A的值．2如图，四棱锥恒成立，求实数的m最小值；2对任意的1，2∈0，2且1＜2，假设存在0∈1，2，使得f′0＝错误!，求证：0＜错误!4抛物线C：2＝4上动点＝2，2，2，那么错误!即错误!取2＝1，那么m＝1，1，2．又co〈m，n〉＝错误!＝－错误!，结合图形知，二面角H a＝f e＝错误!因为关于的不等式f≤m恒成立，所以f ma≤m，所以m≥错误!，即m的最小值为错误!2证明：因为对任意的1，2∈0，2，假设存在0∈1，2，使得f′0＝错误!，即错误!＝错误!，所以错误!2－1－[f2－f1]＝0令F＝错误!2－1－[f2－f1]，那么有F0＝0，所以F′＝错误!2－1，当∈0，2时，2n －3＜2n 2－3＜0，又有2－1＞0，所以F′＜0，即F在0，2上是减函数．又因为F错误!＝错误!2－1－[f2－f1]＝错误!2－1－错误!＝错误!错误!－错误!错误!，令错误!＝t＞1，所以F错误!＝错误!错误!，设ht＝t·错误!－错误!，所以h′t＝错误!，设t＝t－t n t－1，所以′t＝－n t＜0t＞1，所以t在1，＋∞上是减函数，所以t＜1＝′t＜0，所以ht在1，＋∞上是减函数，所以ht＜h1＝0所以F错误!＝错误!ht＜0＝F0，因为F在0，2上是减函数，所以0＜错误!4．解：1设直线P A的方程为＝＋b，那么A8－2b，8－b．设P1，1，Q2，2，由错误!得2－4＋4b＝0，所以Δ＝16－16b＞0，b＜1，错误!，又1＋8－b＝22，解得错误!或错误!，经检验都是方程的解，所以P0，0或P16，－8．2设A2t1－8，t1，B2t2－8，t2，t1，t2≥在抛物线C上，可得错误!错误!＝4错误!，整理得t错误!＋21－16t1＋64－错误!＝0，同理t错误!＋21－16t2＋64－错误!＝0，所以t1，t2是方程t2＋21－16t＋64－错误!＝0的两个不相等的非负根．所以错误!，所以－8≤1＜0于是|AB|＝错误!|t1－t2|＝2错误!错误!≤32错误!，当且仅当1＝－8时取等号．所以|AB|的最大值为32错误!5．解：1由题设a n>0，当n＝1时，a1＝错误!；当n≥2时，a错误!＝2n－2n－1＝2n－1，所以a n＝2错误!又a1＝错误!不满足a n＝2错误!，所以数列{a n}的通项公式为a n＝错误!2由1知数列{a n}的通项公式为a n＝错误!，故错误!＝错误!＝错误!＝错误!－1·2错误!n≥2，记S n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，那么当n≥2时，S n＝错误!＋错误!－1[错误!＋错误!2＋…＋错误!n－1]＝错误!＋错误!－1·错误!＝2错误!－错误!，故S n＝错误!当n∈N*，n≥2时，要使得2错误!－错误!>n－错误!恒成立，即2n>n2恒成立．由于当n＝4时，2n＝n2，考察函数f＝2－2的单调性，易证当>4时，函数f＝2－2单调递增，且＝4时，f＝0，所以当n≥5时，错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!>n －错误!恒成立，故所求n的取值范围是n≥5。

2020届高考数学（文）二轮复习专题过关检测专题3 不等式1．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－1或x ≥92 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤92 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－92或x ≥1D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－92≤x ≤1 解析：选D 不等式(x ＋5)(3－2x )≥6可化为2x 2＋7x －9≤0，所以(2x ＋9)(x －1)≤0，解得－92≤x ≤1.所以不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－92≤x ≤1.故选D. 2．设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列式子正确的是( ) A ．ac 2>bc 2B.ab>1 C ．a －c >b －cD ．a 2>b 2解析：选C 若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错；若b <0，则a b<1，故B 错；不论c 取何值，都有a －c >b －c ，故C 正确；若a ，b 都小于0，则a 2<b 2，故D 错．于是选C.3．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，则a ＋b ＝( )A ．1B ．0C ．－1D ．－3解析：选D 由题意得，不等式x 2－2x －3<0的解集A ＝(－1,3)，不等式x 2＋x －6<0的解集B ＝(－3,2)．所以A ∩B ＝(－1,2)，即不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为(－1,2)，所以a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.4．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0表示的可行域为Ω，则( )A ．原点O 在Ω内B ．Ω的面积是1C ．Ω内的点到y 轴的距离有最大值D ．若点P (x 0，y 0)∈Ω，则x 0＋y 0≠0。

(浙江专版)2020版高考数学复习第二章不等式第二节一元二次不等式及其解法学案(含解析)第二节 一元二次不等式及其解法“三个二次”的关系鉴别式＝ b 2－ 4ac＞ 0＝ 0＜0二次函数 y ＝ ax 2＋ bx＋ c ( a ＞ 0) 的图象一元二次方程 ax 2＋有两相异实根有两相等实根bx ＋ c ＝ 0 ( a ＞ 0) 的没有实数根x 1， x 2 ( x 1＜ x 2)x 1＝ x 2＝－ b2根a一元二次不等式ax 2＋ bx ＋ c ＞ 0{ x | x ＜x 1 或 x ＞ x 2}x x ≠－bR2a ( a ＞ 0) 的解集 一元二次不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＜ 0 ( a ＞ 0){ x | x ＜ x ＜ x }??12的解集[ 小题体验 ]1．(2019 ·温州模拟 ) 已知会合 A ＝ { x | x 2－ 3x ＋ 2＜ 0} ，B ＝ { x | x ≥1} ，则 A ∩ B ＝( )A ． (1,2)B ． (2 ，＋∞)C ． (1 ，＋∞)D ． ?分析：选A由题意知，A ＝ { x |1 ＜x ＜ 2} ，故 A ∩B ＝{ x |1 ＜ x ＜2} ．2． ( 教材习题改编 ) 不等式－ x 2＋ 2x －3＞ 0 的解集为 ________．答案： ?3．不等式 ax 2＋ abx ＋ b ＞ 0 的解集为 { x |2 ＜ x ＜3} ，则 a ＝ ________， b ＝ ________. 分析：由题意知 2,3 是 ax 2＋ abx ＋ b ＝ 0 的两根，ab2＋ 3＝－ a ＝－ b ，则b2×3＝ a ，(浙江专版)2020版高考数学复习第二章不等式第二节一元二次不等式及其解法学案(含解析)b ＝－ 5，得5 a ＝－6.5答案：－ 6 －51．对于不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＞ 0，求解时不要忘掉议论 a ＝0 时的情况．2．当＜ 0 时， ax 2＋ bx ＋c ＞ 0( a ≠0) 的解集为R 仍是 ?，要注意差别．3．含参数的不等式要注意选好分类标准，防止盲目议论．[ 小题纠偏 ]x － 31．不等式 x － 1≤0的解集为 ( )A ． { x | x ＜ 1 或 x ≥3}B ． { x |1 ≤ x ≤3}C ． { x |1 ＜ x ≤3}D ． { x |1 ＜ x ＜3}x － 3x －x －，分析：选C由x － 1≤0，得x －1≠0，解得 1＜ x ≤3.2的解集为 R ，则 m 的取值范围是 ________． 2．若不等式 mx ＋2mx ＋ 1＞0 分析：①当 m ＝0 时， 1＞0 明显建立．m ＞ 0，m ＜得 0＜m ＜ 1.②当 m ≠0时，由条件知2－0.＝ 4m4由①②知 0≤ m ＜ 1.答案： [0,1)考点一一元二次不等式的解法 基础送分型考点——自主练透[ 题组练透 ]2x 2 ＋1， x ≤0，则不等式 f ( x ) － x ≤2的解集是 ________．1．已知函数 f ( x ) ＝－ 2x ， x ＞ 0，21分析：当 x ≤0时，原不等式等价于2x ＋1－ x ≤2，∴－ 2≤ x ≤0；当 x ＞ 0 时，原不等式等价于－ 21 x － x ≤2，∴ x ＞0. 综上所述，原不等式的解集为x x ≥－.21答案：x x ≥－ 22x＋ 12．不等式x－5≥－1的解集为 ________．3 － 4分析：将原不等式移项通分得x－5≥0，x－x－5，4.等价于解得 x＞5或 x≤x－5≠0，3因此原不等式的解集为4x x≤或 x＞5.3答案： x4x≤或 x＞533．解以下不等式：(1)( 易错题 ) － 3x2－ 2x＋8≥0；x＋5(2)x－2≥2.解： (1)原不等式可化为3x2＋ 2x－8≤0，即 (3 x－ 4)( x＋2) ≤0. 解得－ 2≤x≤4 3，因此原不等式的解集为x －2≤ x≤4. 3(2) 不等式等价于x≠1，x＋x－2，即x≠1，2x2－ 5x－3≤0，1解得－2≤ x＜1或1＜ x≤3.1因此原不等式的解集为x －2≤x＜1或1＜ x≤3.[ 牢记通法 ]解一元二次不等式的 4 个步骤考点二含参数的一元二次不等式的解法要点保分型考点——师生共研[ 典例引领 ]解对于 x 的不等式 ax2－( a＋1) x＋1＜0( a＞0)．解：原不等式变成( ax－ 1)( x－ 1) ＜ 0，1因为 a＞0，因此 a x－a( x－1)＜0，1因此当 a＞1时，解为a＜x＜1；当 a＝1时，解集为 ?；1当 0＜a＜ 1 时，解为 1＜x＜a.综上，当 0＜a＜ 1 时，不等式的解集为1. x 1＜ x＜a当 a＝1时，不等式的解集为?.1当 a＞1时，不等式的解集为x a＜ x＜ 1.[ 由题悟法 ]解含参数的一元二次不等式时分类议论的依照(1)二次项中若含有参数应议论是等于 0，小于 0，仍是大于 0，而后将不等式转变成一次不等式或二次项系数为正的形式．(2) 当不等式对应方程的根的个数不确准时，议论鉴别式与0的关系．(3)确立无根时可直接写出解集，确立方程有两个根时，要议论两根的大小关系，从而确立解集形式．[提示]当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘掉议论其等于0 的状况．[ 即时应用 ]1．已知不等式ax2－－1≥0的解集是－1，－1，则不等式2－bx－＜ 0 的解集是bx23x a ()A． (2,3)B． ( －∞， 2) ∪(3 ，＋∞)1 1C.3，21 1D. －∞，3∪2，＋∞分析：选 A112－ bx－1＝0的根，因此由根与系数的关系得由题意知－，－是方程 ax2311b11122－2＋－3＝a，－2× －3＝－a. 解得a＝－ 6，b＝5，不等式x － bx－ a＜0，即为 x －5x ＋6＜ 0，解集为 (2,3) ．2．若不等式2ax＋5x－2＞0的解集是1x 2＜x＜2.(1)务实数 a 的值；(2)求不等式 ax2－5x＋ a2－1＞0的解集．解： (1)由题意知a＜0，且方程2ax＋5x－2＝0的两个根为12， 2，代入解得a＝－2.(2) 由 (1)知不等式为－2x2－ 5x＋ 3＞0，即 2x2＋ 5x－ 3＜ 0，解得－ 3＜x＜1，2即不等式1 ax2－5x＋a2－1＞0的解集为－3，2 .考点三一元二次不等式恒建立问题题点多变型考点——多角探明[ 锁定考向 ]一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着亲密的联系．在解决详细的数学识题时，要注意三者之间的互相联系，并在必定条件下互相变换．对于一元二次不等式恒建立问题，常依据二次函数图象与x 轴的交点状况确立鉴别式的符号，从而求出参数的取值范围．常有的命题角度有：(1)形如 f ( x)≥0( f ( x)≤0)( x∈R)确立参数的范围；(2)形如 f ( x)≥0( x∈[ a，b])确立参数的范围；(3) 形如f ( x) ≥0( 参数m∈ [ a，b]) 确立x的范围．[ 题点全练 ]角度一：形如 f ( x)≥0( f ( x)≤0)( x∈R)确立参数的范围231．若不等式2kx＋kx－8＜0 对一确实数x都建立，则k的取值范围为 ()A． ( －3,0)B． [ － 3,0)C． [ －3,0] D ．(－ 3,0]分析：选 D当 k＝0时，明显建立；当k ≠0时，即一元二次不等式 2 2 ＋kx－3＜0 对一确实数x都建立，则kx8k＜0，＝ k2－4×2k× －3解得－ 3＜k＜ 0.＜ 0，8综上，知足不等式2kx2＋kx－3＜ 0对一确实数 x 都建立的 k 的取值范围是(－3,0]．8角度二：形如f (x) ≥0(x∈ [，])确立参数的范围a b2．已知函数f ( x) ＝－x2＋ax＋b2－b＋1( a∈ R，b∈ R) ，对随意实数x都有f (1 －x) ＝f (1＋x)建立，若当 x∈[－1,1]时， f ( x)＞0恒建立，则 b 的取值范围为________．a 分析：由 f (1－x)＝ f (1＋x)知 f ( x)的图象对于直线x＝1对称，即2＝1，解得 a＝2.又因为 f ( x)张口向下，因此当 x∈[－1,1]时， f ( x)为增函数，因此 f ( x)min＝ f (－1)＝－1－2＋ b2－ b＋1＝ b2－ b－2，f ( x)＞0恒建立，即 b2－ b－2＞0恒建立，解得＜－1或b ＞ 2.b因此 b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)答案： ( －∞，－ 1) ∪ (2 ，＋∞)角度三：形如f (x) ≥0( 参数∈ [a，]) 确立x的范围m b3．若不等式x2＋ ( a－6) x＋ 9－ 3a＞ 0在 | a| ≤1时恒建立，则x的取值范围是 ________．分析：将原不等式整理成对于 a 的不等式( x－3) a＋ x2－6x＋9＞0.令 f ( a)＝( x－3) a＋ x2－6x＋9.因为 f ( a)＞0在| a|≤1时恒建立，因此(1)若 x＝3，则 f ( a)＝0，不切合题意，应舍去．f－＞0，(2)若 x≠3，则由一次函数的单一性，可得f＞ 0，x2－7x＋12＞0，x ＜ 2 或x＞ 4.即2－ 5x＋ 6＞ 0，解得x故 x 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．答案： ( －∞， 2) ∪ (4 ，＋∞)[ 通法在握]一元二次型不等式恒建立问题的方法3 大破解方法解读合适题型(1)ax2＋bx＋ c≥0对随意实数 x 恒建立的条鉴别式法a＞0，二次不等式在R上恒建立件是( 如“题点全练”第 1 题 )≤ 0；(2) ax2＋bx＋c≤0对随意实数x 恒建立的条a＜0，件是≤0假如不等式中的参数比较“孤独”，分别后其系数与0 能比较大小，即可将参数分别出合适参数与变量能分别且分别参数法来，利用下边的结论求解：a≥ f ( x)恒建立 f ( x)的最值易求等价于a≥ f ( x)max； a≤ f ( x)恒建立等价于( 如“操练冲关”第 2 题 )a≤ f ( x)min把变元与参数互换地点，结构以参数为变量的函数，依据原变量的取值范围列式求若在分别参数时会碰到议论解．常有的是转变成一次函数 f ( x)＝ ax＋b( a≠0)在[ m， n]恒建立问题，若参数与变量，使求函数的最值f ( x)＞0主参换位法比较麻烦，或许即便能简单分f m ＞0，恒建立 ?离出却难以求出时f n＞0，( 如“题点全练”第 3 题 )f m ＜0，若 f ( x)＜0恒建立?f n＜0[ 操练冲关]1．(2018 ·台州模拟) 不等式a2＋8b2≥ λ b( a＋ b)对于随意的a， b∈R恒建立，则实数λ 的取值范围为________．分析：因为a2＋8b2≥λ b( a＋b)对于随意的a， b∈R恒建立，因此a2＋8b2－λ b( a＋ b)≥0对于随意的a， b∈R恒建立，即a2－λba＋(8－λ) b2≥0恒建立，由二次不等式的性质可得，＝λ2 2222b ＋4(λ －8) b ＝ b (λ＋4λ －32)≤0，因此 ( λ＋ 8)(λ－4) ≤0，解得－ 8≤ λ ≤4.答案： [ － 8,4]22．设函数 f ( x)＝ mx－ mx－1( m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒建立，求m的取值范围．解：要使 f ( x)＜－ m＋5在[1,3]上恒建立，2则 mx－ mx＋ m－6＜0，1 23即 m x－2＋4m－6＜0在 x∈[1,3]上恒建立．因为x2－＋＝ x－12＋3＞，x124又因为(2－x ＋ 1) － 6＜ 0，因此＜ 26.m xmx － x＋16666因为函数 y＝x2－x＋1＝ 1 23在 [1,3]上的最小值为7，因此只需 m＜7即可．x－2＋4因为 m≠0，因此 m的取值范围是(－∞，0)∪0，6.7一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019 ·浙江名校联考 ) 已知会合＝ { |y ＝x＋1} ，＝{|x2－x－6＞ 0} ，则∩A yB x A ? B＝()RA． [1,2]B． [1,3]C． [1,2) D ． [1,3)分析：选 B由题意知 A＝[1，＋∞)， B＝(－∞，－2)∪(3，＋∞)，故?R B＝[－2,3]，A∩? B＝[1,3]．R2．(2018 ·台州模拟 ) 不等式x2－ 2x＋5≥a2－ 3a对随意实数x恒建立，则实数a的取值范围为 ()A． [ －1,4] B ． ( －∞，－ 2] ∪ [5 ，＋∞)C． ( －∞，－ 1] ∪ [4 ，＋∞) D ．[ － 2,5]分析：选 A x2－2x＋5＝( x－1)2＋4的最小值为4，因此x2－ 2x＋5≥a2－ 3a对随意实数 x 恒建立，只需a2－3a≤4，解得－1≤ a≤4.3．(2018 ·镇海中学月考 ) 不等式ax2＋bx＋c＞ 0的解集为 { x|2 ＜x＜ 3} ，则不等式ax2－b x＋ c＞0的解集为________．分析：令 f ( x)＝ ax2＋ bx＋c，其图象以以下图所示，再画出 f (－ x)的图象即可，因此不等式ax2－ bx＋ c＞0的解集为{ x|－3＜ x＜－2}．答案： { x| － 3＜x＜－ 2}4．(2018 ·金华十校联考) 若不等式2x－ 1＞m( x2－ 1) 对知足 | m| ≤2的全部m都建立，则 x 的取值范围为___________．分析：原不等式化为 ( x2－1) m－ (2 x－1) ＜ 0.令 f ( m ) ＝ ( x 2－ 1) m － (2 x －1)( －2≤ m ≤2) ．f－ ＝－x 2－ － x － ＜ 0，则＝x 2－ － x －＜ 0. f解得 －1＋ 7＜ x ＜ 1＋ 3，2 2故 x 的取值范围为－ 1＋ 7，1＋ 3 .2 2答案： － 1＋7， 1＋ 3222215．(2018 ·湖州五校联考 ) 已知实数 x ，y 知足 x ＋ 2y ＋ 2≤ x (2 y ＋ 1) ，则 x ＝ ________，y ＝ ________， 2x ＋ log 2 y ＝ ________.分析：法一：由已知得2 x 2 ＋ 4 2－ 4 － 2 ＋1≤0，即 ( x － 1) 2 ＋ ( x－ 2 ) 2≤0，因此yxyxyx － 1＝ 0， 解得 x ＝ 1， y 1 x1x － 2y ＝0，＝ ，2 ＋ log2y ＝ 2＋log 2 ＝ 2－ 1＝ 1.22221法二：由已知得， 对于 x 的不等式 x －(2 y ＋ 1) x ＋ 2y ＋ 2≤0(*) 有解， 因此＝ [ － (2 y2 2 1 2 1＋1)] － 4 2y ＋2 ≥0，即 ＝－ (2 y － 1) ≥0，因此 2y － 1＝ 0，即 y ＝ 2 ，此时不等式 (*)可化为 x22 ≤0，因此 x ＝ 1,2 x ＋log y ＝ 2＋ log 1－ 2x ＋1≤0，即 ( x － 1) 2＝ 2－ 1＝ 1.2 2答案： 11 121．已知不等式x 2－2 x － 3＜ 0 的解集为 ，不等式2＋ － 6＜0 的解集为，不等式x 2Ax xB＋ax ＋ b ＜0 的解集为 A ∩ B ，则 a ＋ b 等于 ()A ．－ 3B ． 1C ．－ 1D ． 3分析：选 A由题意得， A ＝{ x | － 1＜ x ＜ 3} ， B ＝{ x | － 3＜ x ＜2} ，∴ A ∩ B ＝ { x | － 1 ＜ x＜2} ，由根与系数的关系可知， a ＝－ 1，b ＝－ 2，则 a ＋ b ＝－ 3.2．若 a ＜ 0，则对于 x 的不等式 x 2－4ax － 5a 2＞ 0 的解集是 ( )A ． ( －∞，－ a ) ∪ (5 a ，＋∞)B ． ( －∞， 5a ) ∪ ( － a ，＋∞)C ． (5 a ，－ a )D ． ( a ，－ 5a )分析：选 B 由 x 2－ 4ax －5a 2＞ 0，得 ( x － 5a )( x ＋ a ) ＞ 0，∵ a＜0，∴ x＜5a 或 x＞－ a.－2，x＞ 0，3．(2018·丽水五校联考) 设函数f ( x) ＝x2＋bx＋c，x≤0，若 f (－4)＝ f (0)，f (－2) ＝ 0，则对于x的不等式f ( x) ≤1的解集为 ()A． ( －∞，－ 3] ∪ [ － 1，＋∞) B ．[－3，－ 1]C． [ －3，－ 1] ∪ (0 ，＋∞) D ．[ － 3，＋∞)分析：选C因为 f (－4)＝f (0)，因此当 x≤0时，f ( x)的对称轴为 x＝－2，又 f (－2)＝0，则f ( x) ＝－ 2，x＞0，不等式 f ( x)≤1的解为[－3，－1]∪(0，＋∞)，故x＋2，x≤0，选 C.4．(2018 ·宁波四校联考) 设二次函数 f ( x)＝ x2－ x＋ a( a＞0)，若 f ( m)＜0，则 f ( m－1)的值为()A．正数B．负数C．非负数D．正数、负数和零都有可能分析：选A设 f ( x)＝ x2－x＋ a＝0的两个根为α ，β ，由 f ( m)＜0，则α＜ m＜β，因为二次函数2f(x)＝x－x＋a的对称轴为1x＝2，且 f (0)＝ a＞0，则|α－β|＜1，f ( m－1) ＞ 0，应选 A.5．若不等式A． [ －4,1]x2－( a＋1) x＋a≤0的解集是[－4,3]B ．[ － 4,3]的子集，则 a 的取值范围是()C． [1,3] D ．[ － 1,3]分析：选B原不等式为( x－a)(x－1)≤0，当a＜1时，不等式的解集为[ a, 1] ，此时只需a≥－4即可，即－4≤ a＜1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时切合要求；当a＞1时，不等式的解集为[1 ，a] ，此时只需a≤3即可，即1＜a≤3. 综上可得－ 4≤a≤3.6．不等式x2＋ ax＋4＜0的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是________．分析：∵不等式x2＋ ax＋4＜0的解集不是空集，∴＝a2－4×4＞0，即a2＞16.∴ a＞4或a＜－4.答案： ( －∞，－4) ∪ (4 ，＋∞)7．若对于x的不等式ax＞ b的解集为－∞，15 ，则对于x的不等式24ax ＋ bx－5a＞0的解集为 ________．1b 124分析：由已知 ax ＞ b 的解集为 －∞， 5 ，可知 a ＜ 0，且 a ＝ 5，将不等式 ax ＋ bx － 5a＞0 两边同除以 ，得 2 b 4 2 1 4 ＜0，即 5 2a x ＋ a x － ＜0，即 x ＋ － ＋ － 4＜ 0，解得－5 5x 5 x x 4 故所求解集为－1，5 .4答案：－1，5218．(2018 ·萧山月考 ) 不等式 x ＋ ax ＋ b ＞ 0( a ，b ∈ R)的解集为 x x ≠－4 1＜ x ＜ ，5， x ∈ R ，若对于 x 的不等式 x 2＋ax ＋ b ＜ c 的解集为 ( m ， m ＋ 6) ，则实数 c 的值为 ________．分析：因为不等式x 2＋ ax ＋b ＞ 0( a ，b ∈ R)的解集为 x x ≠－1 ， x ∈ R ，2a因此x 2＋ax＋ ＝ x ＋ 12＝ 0，b2a那么不等式 x 2＋ ax ＋ b ＜ c ，即 x ＋12＜ c ，因此 c ≥0，2a11因此－c － 2a ＜ x ＜ c － 2a ，又 m ＜x ＜ m ＋ 6，c － 1－ － c － 1 ＝＋6－， 2a 2a mm即 2 c ＝ 6，因此 c ＝ 9.答案： 99．已知 f ( x ) ＝－ 3x 2＋ a (6 － a ) x ＋ 6.(1) 解对于 a 的不等式 f (1) ＞ 0；(2) 若不等式 f ( x ) ＞ b 的解集为 ( －1,3) ，务实数 a ，b 的值．解：(1) ∵ f ( x ) ＝－ 3x 2＋ a (6 － a ) x ＋6，∴ f (1) ＝－ 3＋ a (6 － a ) ＋6＝－ a 2＋ 6a ＋ 3，∴原不等式可化为 a 2－ 6a －3＜ 0，解得 3－ 2 3 ＜a ＜ 3＋ 2 3.∴原不等式的解集为 { a |3 － 2 3＜ a ＜ 3＋ 2 3} ．(2) f ( x ) ＞ b 的解集为 ( －1,3) 等价于方程－ 3x 2＋ a (6 － a ) x ＋ 6－b ＝ 0 的两根为－ 1,3 ，a－ a ，－1＋3＝3a ＝3± 3，等价于b解得6－ b ＝－ 3.－1×3＝－3 ，10．对于 x 的不等式x 2－ x － 2＞0，的整数解的会合为 { － 2} ，务实数 k2x 2＋k ＋ x ＋ 5k ＜ 0的取值范围．解：由 x 2－ x － 2＞0 可得 x ＜－ 1 或 x ＞ 2.∵ x 2－x －2＞0，的整数解为 x ＝－ 2，2x 2＋k ＋x ＋ 5k ＜ 0，25又∵方程 2x ＋ (2 k ＋ 5) x ＋5k ＝ 0 的两根为－ k 和－ 2.5①若－ k ＜－ 2，则不等式组的整数解会合就不行能为{－2}；5②若－ 2＜－ k ，则应有－ 2＜－ k ≤3. ∴－ 3≤ k ＜ 2.综上，所求 k 的取值范围为 [ － 3,2) ．三登台阶，自主选做志在冲刺名校1．若对于x 的不等式x2－4 － 2－ ＞0 在区间 (1,4) 内有解，则实数 a 的取值范围是xa()A ． ( －∞，－ 2)B ．(－ 2，＋∞)C ． ( －6，＋∞)D ．(－∞，－ 6)分析：选 A2－ 4x － 2－ a ＞0 在区间 (1,4) 内有解等价于 a ＜2，令不等式 x( x － 4x － 2)maxg ( x ) ＝ x 2－ 4x － 2， x ∈(1,4) ，∴ g ( x ) ＜ g (4) ＝－ 2，∴ a ＜－ 2.27212．设 f ( x ) ＝ ax ＋ bx ＋ c ，若 f (1) ＝2 ，问能否存在 a ， b ， c ∈ R ，使得不等式 x ＋ 22 3≤ f ( x ) ≤2x ＋2x ＋ 2对一确实数 x 都建立，证明你的结论．77解：由 f (1) ＝2，得 a ＋ b ＋ c ＝ 2. 令 x 2＋1＝2 2＋ 2 x ＋3，解得 x ＝－ 1.22233由 f ( x ) ≤2x＋ 2x ＋2推得 f ( －1) ≤2，由 f 21 3 ( x ) ≥ x ＋ 推得 f ( －1) ≥ ，2 23 3 ∴ f ( －1) ＝ 2. ∴ a － b ＋ c ＝2. 故5a ＋c ＝ 2且b ＝ 1.25∴ f ( x ) ＝ ax ＋ x ＋ － a .2 5 21 依题意 ax＋ x ＋ －a ≥ x ＋ 对全部 x ∈R 都建立，22即 ( a －1)x2＋＋ 2－ ≥0对全部 x ∈R 都建立．xa∴ a ≠1且＝ 1－ 4( a － 1)(2 － a ) ≤0.即 (2 a － 3) 2≤0，∴ (2 a － 3) 2＝ 0，33 2由 a －1＞ 0 得 a ＝ 2. ∴ f ( x ) ＝ 2x ＋ x ＋ 1.证明以下： 3 2＋ ＋ 1－2 x2－2 － 3 ＝－ 1 2－ － 1 ＝－ 1 (x ＋ 1) 2≤0.2xxx 22xx 223223∴ 2x ＋ x ＋1≤2x ＋ 2x ＋ 2对 x ∈ R 都建立． 3 2 ＋1－ 2 1 1 2 1 1 ＋ 1) 2≥0，2x＋ x － ＝ ＋ x＋ ＝ ( xx2 2x2 2213 2∴ x ＋ 2≤2x ＋ x ＋ 1 对 x ∈ R 都建立．32123∴存在实数 a ＝ 2，b ＝ 1，c ＝ 1，使得不等式 x ＋ 2≤f ( x ) ≤2x＋2x ＋ 2对全部 x ∈ R 都成立．。

专题加强训练1．(2019 ·华十校调研金)已知奇函数f(x)当 x＞ 0 时， f(x)＝ x(1－ x)，则当 x＜ 0 时， f(x) 的表达式是()A ． f( x)＝－ x(1＋ x) C． f( x)＝ x(1＋ x) B． f(x)＝－ x(1－x) D． f(x)＝ x(x－ 1)分析：选 C.设 x＜ 0，则－ x＞ 0，又当 x＞ 0 时， f(x)＝ x(1－ x)，故 f(－ x)＝－ x(1＋ x)，又函数为奇函数，故 f(－ x)＝－ f(x)＝－ x(x＋ 1)，即 f(x)＝ x(x＋ 1)，应选 C.2．已知 f(x)＝x＋1－ 1， f(a)＝ 2，则 f(－ a)＝ ( ) xA．－ 4 B．－ 2 C．－ 1 D．－ 3分析：选 A. 由于 f(x)＝x＋11 1x－ 1，所以 f( a)＝ a＋a－ 1＝ 2，所以 a＋a＝ 3，所以 f(－ a)＝－ a1 1－a－ 1＝－ a＋a－ 1＝－ 3－ 1＝－ 4，应选 A.3．以下函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞ )上单一递加的是 ( )1A ． y＝x B． y＝ |x|－ 11 |x|C． y＝ lg x D． y＝2分析：选 B.A 中函数 y＝1A 错误；B 中函数满x不是偶函数且在 (0，＋∞ )上单一递减，故足题意，故 B 正确； C 中函数不是偶函数，故 C 错误； D 中函数不知足在 (0，＋∞ )上单一递增，应选 B.2× 4x－a的图象对于原点对称，g(x) ＝ln(e x＋ 1)－ bx 是偶函数，则 log a b 4．已知函数 f(x)＝ 2 x＝ ( )A ． 1 B．－ 11 1C．－2 D.4分析：选 B.由题意得f(0) ＝ 0，所以 a＝ 2.1由于 g(1) ＝ g(－ 1)，所以 ln(e＋ 1)－ b＝ ln e＋ 1 ＋ b，1 1所以 b＝2，所以 log a b＝ log 22＝－1. 5．(2019 台·州市高考模拟 )函数 f(x)＝ x2＋a(a∈ R )的图象不行能是 ( ) |x|分析：选 A. 直接利用清除法：①当 a＝ 0 时，选项 B 建立；②当 a＝ 1 时， f(x)＝ x2＋1 ，函数的图象近似D；|x|③当 a＝－ 1 时， f(x)＝ x2－1，函数的图象近似 C.应选 A.|x|2x 在区间 [3，4]上的最大值和最小值分别为M，6．(2019 ·湖北八校联考 (一 ))设函数 f(x)＝x－2m2m，则M＝( )2 3A. 3B.83 8C.2D.3分析：选 D. 易知 f(x)＝2x ＝ 2＋ 4 ，所以 f(x)在区间 [3， 4]上单一递减，所以 M＝ f(3)x－ 2 x－ 24 4 m2 16 8＝ 2＋3－2＝ 6，m＝ f(4)＝ 2＋4－2 ＝4，所以M＝ 6 ＝3.7．(2018 高·考全国卷Ⅲ )以下函数中，其图象与函数y＝ ln x 的图象对于直线x＝ 1 对称的是 ( )A ． y＝ ln(1 － x) B． y＝ ln(2 － x)C． y＝ ln(1＋ x) D． y＝ ln(2 ＋ x)分析：选 B. 法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x， y)，则其对于直线x＝ 1 的对称点的坐标为 (2－ x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数 f(x)＝ ln x 的图象上，所以 y＝ ln(2 － x)．故选 B.法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y＝ ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代当选项中的函数表达式逐个查验，清除A，C， D，选 B.8．(2019 浙·江台州市书生中学高三月考 )设奇函数 f(x)在 (0，＋∞ ) 上为单一递减函数，且f(2) ＝ 0，则不等式 3f （－ x ）－ 2f （ x ）≤ 0 的解集为 ( )5xA ． (－∞，－ 2]∪ (0， 2]B ． [－2， 0)∪ [2，＋∞ )C ． (－∞，－ 2]∪ [2，＋∞ )D ． [－ 2， 0)∪ (0， 2]3f （－ x ）－ 2f （ x ）f （ x ）分析：选 D. 由于函数 f(x)是奇函数，所以≤ 0?≥ 0.又因 f(x)在 (0，5xx＋ ∞ ) 上为单一递减函数，且 f (2) ＝ 0 ，所以得，函数 f ( x) 在 ( － ∞ ， 0) 上单一递减且f(－ 2)＝ 0.所以， x ∈ (－ ∞ ，－ 2)∪ (0， 2)时， f(x)>0； x ∈ (－ 2， 0)∪ (2，＋ ∞ )时 f( x)<0 ，应选 D.19．(2019 温·州市十校联考 )已知函数 f( x)是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时， f(x)＝ 2(|x － a 2|＋ |x － 2a 2|－ 3a 2)．若任取 ? x ∈ R ， f(x － 1)≤ f(x)，则实数 a 的取值范围为 ()A. －1， 1 B.－ 6，66 6 6 6C. － 1，1D.－ 3，33 333分析：选 B. 由于当 x ≥ 11 (a0 时，f(x) ＝ (|x － a 2|＋ |x － 2a2|－ 3a 2) ，所以当0≤ x ≤ a2时，f(x)＝ 222－ x ＋ 2a 2－ x － 3a 2) ＝－ x ；当 a 2＜ x ＜ 2a 2时， f(x)＝ 1(x － a 2＋ 2a 2－x － 3a 2)＝－ a 2；21当 x ≥ 2a 2 时， f(x)＝ 2(x － a 2＋ x － 2a 2－ 3a 2)＝ x － 3a 2.综 上 ， 函 数 f(x) ＝ 12 (|x － a 2| ＋ |x － 2a 2 | － 3a 2) 在x ≥ 0 时 的 解 析 式等 价 于f(x) ＝－ x ， 0≤ x ≤a 2 ，－ a 2， a 2＜ x ＜ 2a 2，x － 3a 2， x ≥ 2a 2.所以，依据奇函数的图象对于原点对称作出函数f(x)在 R 上的大概图象以下，226 ≤a ≤ 6察看图象可知， 要使 ? x ∈ R ，f(x － 1)≤ f(x)，则需知足 2a － (－ 4a )≤ 1，解得－ 6 6.10．定义域为R 的函数 f( x)知足 f(x＋ 2)＝3f(x)，当 x∈[0 ，2]时，f(x)＝ x2－ 2x，若 x∈[ － 4，－ 2]时， f(x)≥13－t恒建立，则实数t的取值范围是()18 tA ． (－∞，－ 1]∪ (0， 3]B． (－∞，－3]∪ (0，3]C． [－ 1， 0)∪ [3，＋∞ )D． [－3， 0)∪ [ 3，＋∞ )分析：选 C.由于 x∈ [ －4，－ 2]，所以 x＋ 4∈[0 ，2]，由于 x∈ [0， 2]时， f(x)＝ x2－ 2x，所以 f(x＋ 4) ＝(x＋4)2－2(x＋4)＝ x2＋ 6x＋ 8.函数 f(x)知足 f(x＋ 2)＝ 3f(x)，所以 f(x＋ 4)＝ 3f(x＋ 2)＝ 9f(x)．1 2故 f(x)＝9(x ＋ 6x＋ 8)，1 3 1 1 3由于 x∈ [ － 4，－ 2]时， f(x)≥18 t－t 恒建立，所以－9 ＝f(x)min≥18 t－ t ，解得 t≥ 3 或－ 1≤ t＜ 0.（1）x－ 2， x≤－ 1，11． (2019 宁·波镇海中学高三一模)已知函数f(x)＝2则 f(f(－（ x－ 2）（ |x|－ 1）， x＞－ 1.2)) ＝________，若 f(x)≥2，则 x 的取值范围为 ____________ ．分析：由分段函数的表达式得f(－ 2)＝ (12)－2－ 2＝ 4－ 2＝ 2，f(2)＝ 0，故 f(f(－ 2)) ＝ 0.若 x≤ － 1，由 f(x)≥ 2 得 (12)x－ 2≥ 2 得 (12)x≥ 4，则 2－x≥ 4，得－ x≥ 2，则 x≤ － 2，此时 x≤ － 2.若 x＞－ 1，由 f(x)≥ 2 得 (x－2)(|x|－ 1)≥ 2，即 x|x|－ x－ 2|x|≥ 0，若 x≥ 0 得 x2－ 3x≥ 0，则 x≥3 或 x≤ 0，此时 x≥ 3 或 x＝ 0，若x＜ 0，得－ x2＋x≥ 0，得 x2－x≤ 0，得 0≤ x≤ 1，此时无解，综上 x≥ 3 或 x＝ 0.答案： 0 x≥3 或 x＝ 0x＋2－ 3，x≥ 1，则 f(f(－ 3))＝ ________，f(x)的最小值是 ________．12．已知函数 f( x)＝xlg （ x2＋ 1）， x<1，分析：由于 f(－ 3)＝ lg[( － 3)2＋ 1]＝ lg 10 ＝ 1，所以 f(f(－ 3)) ＝f(1)＝ 1＋ 2－ 3＝ 0.2－3≥2 22－3，当且仅当2 2时等号建立，当 x≥ 1 时， x＋x·－ 3＝ 2 x＝，即 x＝x x x此时 f(x)min＝2 2－3<0 ；当 x<1 时， lg(x2＋1)≥ lg(0 2＋ 1)＝ 0，此时f( x)min＝ 0.所以 f(x)的最小值为 2 2－ 3.答案： 0 2 2－313． (2019 浙·江新高考冲刺卷)已知函数 f(x)＝ ln(e 2x＋1)－ mx 为偶函数，此中 e 为自然对数的底数，则m＝ ________，若 a2＋ ab＋ 4b2≤m，则 ab 的取值范围是 ________．分析：由题意， f( －x) ＝ln(e －2x＋ 1)＋ mx＝ ln(e 2x＋ 1)－ mx，所以 2mx＝ ln(e 2x＋1)－ ln(e －2x＋ 1)＝ 2x，所以 m＝ 1，由于 a2＋ ab＋ 4b2≤m，所以 4|ab|＋ ab≤ 1，所以－1≤ ab≤1，3 51 1故答案为 1，[－3，5]．1 1答案：1 [－， ]14．定义新运算“⊕”：当a≥b 时， a⊕ b＝ a；当 a<b 时， a⊕ b＝b2.设函数 f(x)＝ (1⊕ x)x －(2⊕ x)， x∈ [－ 2，2]，则函数 f(x)的值域为 ________．x－ 2， x∈ [－2， 1]，分析：由题意知f(x)＝x3－ 2， x∈（ 1，2]，当 x∈ [ － 2，1] 时， f(x)∈ [－ 4，－ 1]；当 x∈ (1， 2]时， f(x)∈( －1， 6]．故当 x∈ [－ 2， 2] 时， f(x) ∈[ －4， 6]．答案： [－4，6]x>0 时， h(x)＝－x215．已知函数 h(x)(x≠ 0)为偶函数，且当 4 ，0<x≤4，若h(t)>h(2)，则4－ 2x， x>4，实数 t 的取值范围为 ________．x2－4，0<x≤ 4，分析：由于 x>0 时， h(x)＝4－ 2x， x>4.易知函数h(x)在 (0，＋∞)上单一递减，由于函数h(x)(x≠ 0)为偶函数，且h(t)>h(2)，所以 h(|t|)>h(2)，所以0<|t|<2，t ≠0，t≠0，所以即解得－2< t<0 或0<t<2.|t|<2，－ 2<t<2，综上，所务实数t 的取值范围为(－ 2，0)∪(0， 2)．答案： (－ 2， 0)∪ (0，2)16．若对随意的x≥ 2，都有 (x＋ a)|x＋ a|＋ (ax)|x|≤ 0，则 a 的最大值为 ________．分析：对随意的x≥ 2，都有 (x＋ a)|x＋ a|＋ (ax)|x|≤ 0，即 x≥ 2 时， (x＋a)|x＋a|＋ (ax)x≤0 恒建立 .①若 x＋ a≥ 0，即 a≥ －2 时，则有 (x＋ a)2＋ax2≤ 0,所以 ( a＋ 1)x2＋2ax＋ a2≤ 0.a＋ 1＜ 0令 f(x)＝ (a＋ 1)x2＋ 2ax＋ a2，则有 a＋1＝ 0 或2a＜ 2－，2（ a＋1）f（ 2）＝ 4（ a＋1）＋ 4a＋ a2≤ 0求得 a＝－ 1 或－ 4－ 2 3≤a＜－ 1，综合可得－ 2≤ a≤ － 1；②若 x＋ a＜ 0，即 a＜－ 2 时，则有－ (x＋ a)2＋ ax2≤ 0,该不等式恒建立，即此时 a 的范围为a＜－ 2；③若 x＋ a＝ 0，即 a＝－ x≤ － 2 时，则由题意可得ax2≤0，知足条件 . 综合①②③可得， a≤－ 2 或－ 2≤ a≤ －1，故 a 的最大值为－ 1.答案：－117． (2019 台·州模拟 )定义 min{ x，y} ＝x（ x<y），则不等式 min{ x＋4，4} ≥ 8min{ x，1} y（ x≥ y）x x的解集是 ________．分析：①当 x>0 时，由基本不等式可知x＋4≥ 2 x＋4x x＝4，4min{ x ＋ x ， 4} ＝4，则不等式转变成：11min{ x ， x } ≤ 2，即：1解得： x ≤ 2或 x ≥ 2.11x ≤ 2x ≥2或，1≥ 11≤ 1x 2x 2②当 x<0 时，(ⅰ )当－ 1<x<0 时，1x <x ，原不等式化为 x ＋4x ≥ 8x ，即 x －4x ≥ 0，解得－ 2≤x<0，所以－ 1<x<0；(ⅱ )当 x ≤－ 1 时， 1≥ x ，原不等式化为 x ＋ 4≥ 8x ，x x 即 7x － 4≤ 0，解得： x ≤－4，即 x ≤ － 1， x7所以 x<0 对于原不等式全建立．1综上不等式的解集为 (－ ∞， 0)∪ (0， 2]∪ [2，＋ ∞ )．答案： (－∞， 0)∪ 1，＋∞ )(0， ]∪ [2218．(2019 台·州市教课质量调研 )已知函数 f( x)＝ x 2＋ bx ＋ c 的图象过点 (－ 1，3)，且对于直线 x ＝ 1 对称．(1)求 f(x)的分析式；(2)若 m ＜ 3，求函数 f(x) 在区间 [m ，3]上的值域．解： (1) 由于函数 f(x)＝ x 2＋ bx ＋ c 的图象过点 (－ 1， 3)，且对于直线 x ＝1 对称，f （－ 1）＝ 1－ b ＋ c ＝ 3所以b，－2＝1解得 b ＝－ 2， c ＝ 0，所以 f(x)＝ x 2－ 2x.(2)当 1≤ m ＜ 3 时， f(x)min ＝ f(m)＝ m 2－ 2m ，f(x) max ＝ f(3) ＝ 9－ 6＝3，所以 f(x)的值域为 [m 2－ 2m ， 3]；当－ 1≤ m＜ 1 时， f(x)min＝ f(1) ＝ 1－ 2＝－ 1，f(x) max＝ f(－ 1)＝ 1＋2＝ 3，所以 f(x)的值域为 [－ 1， 3]．当 m＜－ 1 时， f(x)min＝f(1)＝ 1－ 2＝－ 1，2－ 2m，maxf(x) ＝ f(m)＝m所以 f(x)的值域为 [－ 1， m2－ 2m] ．x2－ 2ax＋ a2＋ 1， x≤ 0，19． (2019 浙·江新高考结盟第三次联考) 已知函数 f(x)＝2－ a，x＞ 0.x2＋x(1)若对于随意的x∈ R ，都有 f( x)≥ f(0)建立，务实数 a 的取值范围；(2)记函数 f(x)的最小值为M(a)，解对于实数 a 的不等式M(a－ 2)＜M(a)．解： (1) 当 x≤ 0 时， f(x)＝ (x－ a)2＋ 1，由于 f(x)≥ f(0) ，所以 f(x)在( －∞， 0]上单一递减，所以 a≥ 0，2当 x＞ 0 时， f′(x)＝ 2x－x2，2令 2x－x2＝ 0 得 x＝ 1，所以当 0＜ x＜1 时， f′(x)＜0，当 x＞ 1 时， f′(x)＞ 0，所以 f(x)在 (0， 1)上单一递减，在(1，＋∞ )上单一递加，所以 f min(x)＝ f(1) ＝3－ a，由于 f(x)≥ f(0) ＝a2＋ 1，所以 3－ a≥a2＋1，解得－ 2≤ a≤ 1.又 a≥ 0，所以 a 的取值范围是[0， 1]．(2)由 (1)可知当 a≥ 0 时， f(x)在 (－∞， 0]上的最小值为f(0) ＝ a2＋1，当 a＜ 0 时， f(x)在 (－∞，0] 上的最小值为f(a)＝ 1，f(x)在 (0，＋∞ )上的最小值为f(1)＝ 3－ a，解不等式组a2＋ 1≤ 3－ a得a≥ 00≤ a≤1，解不等式组1≤ 3－ a得a＜ 0，a＜ 0a2＋ 1，0≤ a≤ 1所以 M(a)＝1，a＜ 0.3－ a， a≥ 1所以 M(a)在(－∞， 0)上为常数函数，在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞ )上是减函数，作出 M(a)的函数图象以下图：令 3－ a＝ 1 得 a＝ 2，由于 M(a－ 2)＜ M(a)，所以 0＜ a＜2.。

专题强化训练1．(2019·浙江新高考冲刺卷)已知等差数列{a n }，S n 是{a n }的前n 项和，则对于任意的n ∈N *，“a n >0”是“S n >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.对于任意的n ∈N *，“a n >0”，能推出“S n >0”，是充分条件，反之，不成立，比如：数列－3，－1，1，3，5，不满足条件，不是必要条件，故选A.2．(2018·浙江选考试卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＋1＝2a n ＋1，n ∈N *，则a 3＝( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：选B.S n ＋1＝2a n ＋1，n ∈N *，则n ＝1时，a 1＋a 2＝2a 1＋1，可得：a 2＝a 1＋1.n ＝2时，a 1＋a 2＋a 3＝2a 2＋1，可得：a 3＝2.故选B.3．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32f B.322f C.1225fD.1227f解析：选 D.从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，第一个单音的频率为f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为122的等比数列，记为{a n }，则第八个单音的频率为a 8＝f (122)8－1＝1227f ，故选D.4．(2019·长春质量检测(一))等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时n 的值为 ( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C.由d >0可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a 1－5d ＝a 1＋10d ，所以a 1＝－15d 2，则a 8＝－d 2<0，a 9＝d2>0，所以前8项和为前n 项和的最小值，故选C.5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝12，a 3a 5＝4，则下列说法正确的是( ) A ．{a n }是单调递减数列 B ．{S n }是单调递减数列 C ．{a 2n }是单调递减数列D ．{S 2n }是单调递减数列解析：选C.由于{a n }是等比数列，则a 3a 5＝a 24＝4，又a 2＝12，则a 4＞0，a 4＝2，q 2＝16，当q ＝－66时，{a n }和{S n }不具有单调性，选项A 和B 错误；a 2n ＝a 2q 2n－2＝12×⎝⎛⎭⎫16n －1单调递减，选项C 正确；当q ＝－66时，{S 2n }不具有单调性，选项D 错误． 6．(2019·温州市高考数学模拟)已知{a n }是等差数列，其公差为非零常数d ，前n 项和为S n ，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和为T n ，当且仅当n ＝6时，T n 有最大值，则a 1d 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－52 B ．(－3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－3，－52 D ．(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫－52，＋∞ 解析：选C.因为S n n ＝d 2n ＋(a 1－d2)，由题意知d <0，且⎩⎨⎧S 66＝a 1＋52d >0S77＝a 1＋3d <0，得－3<a 1d <－52.7．(2019·杭州市第一次质量预测)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则实数t 的取值范围为( )A ．(13，＋∞)B ．[13，＋∞)C ．(23，＋∞)D ．[23，＋∞)解析：选D.依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a na 1a 2a 3…a n －1＝2n 22（n －1）2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1，数列{1a n }是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列{1a n }的前n 项和等于12（1－14n ）1－14＝23(1－14n )<23，因此实数t 的取值范围是[23，＋∞)，选D.8．(2019·绍兴一中高考数学模拟)等差数列{a n }的公差d ∈(0，1)，且sin 2a 3－sin 2a 7sin （a 3＋a 7）＝－1，当n ＝10时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值，则首项a 1的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－58π，－916π B.⎣⎡⎦⎤－58π，－916π C.⎝⎛⎭⎫－54π，－98π D.⎣⎡⎦⎤－54π，－98π 解析：选D.因为{a n }为等差数列，sin 2a 3－sin 2a 7sin （a 3＋a 7）＝－1，所以1－cos 2a 32－1－cos 2a 72sin （a 3＋a 7）＝－1，所以cos 2a 7－cos 2a 32＝－sin(a 3＋a 7)，由和差化积公式可得：12×(－2)sin(a 7＋a 3)·sin(a 7－a 3)＝－sin(a 3＋a 7)， 因为sin(a 3＋a 7)≠0， 所以sin(a 7－a 3)＝1， 所以4d ＝2k π＋π2∈(0，4)，所以k ＝0， 所以4d ＝π2，d ＝π8.因为n ＝10时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 10≤0a 11≥0即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9×π8≤0a 1＋10×π8≥0， 所以－5π4≤a 1≤－9π8.9．(2019·宁波诺丁汉大学附中高三期中检测)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n －1(n ∈N *)，则a 1＝________；数列{a n }的通项公式为a n ＝________．解析：因为S n ＝n 2＋2n －1， 当n ＝1时，a 1＝1＋2－1＝2， 当n ≥2时，所以a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －1－[(n －1)2＋ 2(n －1)－1]＝2n ＋1，因为当n ＝1时，a 1＝2＋1＝3≠2，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n ＋1，n ≥2.答案：2 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n ＋1，n ≥210．(2019·台州市高考一模)已知数列{a n }的前m (m ≥4)项是公差为2的等差数列，从第m －1项起，a m －1，a m ，a m ＋1，…成公比为2的等比数列．若a 1＝－2，则m ＝________，{a n }的前6项和S 6＝________．解析：由a 1＝－2，公差d ＝2， 得a m －1＝－2＋2(m －2)＝2m －6，a m ＝－2＋2(m －1)＝2m －4，则a m a m －1＝2m －42m －6＝2，所以m ＝4；所以S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6 ＝－2＋0＋2＋4＋8＋16＝28. 答案：4 2811．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，且S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列， 则2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2，若q ＝1，则S n ＝na 1，等式显然不成立，若q ≠1，则有2·a 1（1－q n ）1－q ＝a 1（1－q n ＋1）1－q ＋a 1（1－q n ＋2）1－q ，故2q n ＝q n ＋1＋q n ＋2，即q 2＋q －2＝0，因此q ＝－2.答案：－212．已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝3，则a 2 018的值为________． 解析：由题意得，a 3＝a 2－a 1＝1，a 4＝a 3－a 2＝－2，a 5＝a 4－a 3＝－3，a 6＝a 5－a 4＝－1，a 7＝a 6－a 5＝2，a 8＝a 7－a 6＝3，…，所以数列{a n }是周期为6的周期数列，而2 018＝6×336＋2，所以a 2 018＝a 2＝3.答案：313．设某数列的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称该数列为“和谐数列”．若一个首项为1，公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }为“和谐数列”，则该等差数列的公差d ＝________．解析：由S n S 2n ＝k (k 为常数)，且a 1＝1，得n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n （2n －1）d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得，(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0，因为对任意正整数n ，上式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧d （4k －1）＝0，（2k －1）（2－d ）＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，k ＝14.所以数列{a n }的公差为2.答案：214．(2019·义乌市高三月考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 8>0，a 8＋a 9<0，则S n >0的最大n 是______；数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n (1≤n ≤15)中最大的项为第______项．解析：因为a 8>0，a 8＋a 9<0，所以S 15＝15（a 1＋a 15）2＝15a 8>0，S 16＝162(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)<0，所以S n >0的最大n 是15.因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 8>0，a 8＋a 9<0，所以该数列是递减数列，当n ＝8时，|a 8|最小，且|S 8|最大，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n (1≤n ≤15)中最大的项为第8项．答案：15 815．设数列{a n }的前n 项积为T n ，且T n ＋2a n ＝2(n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 是等差数列；(2)设b n ＝(1－a n )(1－a n ＋1)，求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：因为T n ＋2a n ＝2，所以当n ＝1时，T 1＋2a 1＝2， 所以T 1＝23，即1T 1＝32.又当n ≥2时，T n ＝2－2×T nT n －1，得 T n ·T n －1＝2T n －1－2T n ，所以1T n －1T n －1＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 是以32为首项，12为公差的等差数列． (2)由(1)知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 为等差数列，所以1T n ＝32＋12(n －1)＝n ＋22，所以a n ＝2－T n 2＝n ＋1n ＋2.所以b n ＝(1－a n )(1－a n ＋1)＝1（n ＋2）（n ＋3）.16．(2019·宁波高考模拟)已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＋1＝6＋a n2，n ∈N *，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求证：n ∈N *时，a n >a n ＋1； (2)求证：n ∈N *时，2≤S n －2n <167.证明：(1)n ≥2时，作差：a n ＋1－a n ＝6＋a n2－6＋a n －12＝ 12×a n －a n －16＋a n2＋6＋a n －12，所以a n ＋1－a n 与a n －a n －1同号， 由a 1＝4，可得a 2＝6＋42＝5，可得a 2－a 1<0， 所以n ∈N *时，a n >a n ＋1.(2)因为2a 2n ＋1＝6＋a n ，所以2(a 2n ＋1－4)＝a n －2，即2(a n ＋1－2)(a n ＋1＋2)＝a n －2，① 所以a n ＋1－2与a n －2同号，又因为a 1－2＝2>0，所以a n >2.所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ≥4＋2(n －1)＝2n ＋2. 所以S n －2n ≥2.由①可得：a n ＋1－2a n －2＝12（a n ＋1＋2）<18，因此a n －2≤(a 1－2)·⎝⎛⎭⎫18n －1，即a n ≤2＋2×⎝⎛⎭⎫18n －1.所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ≤2n ＋2×1－⎝⎛⎭⎫18n －11－18<2n ＋167.综上可得：n ∈N *时，2≤S n －2n <167.17．(2019·温州瑞安七中高考模拟)已知数列{a n }的各项均为正数，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2，n ＝1，2，….(1)若a 1＝1，a 2＝5，且对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．解：(1)因为对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成等差数列，所以B (n )－A (n )＝C (n )－B (n )，即a n ＋1－a 1＝a n ＋2－a 2，亦即a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝4.故数列{a n }是首项为1，公差为4的等差数列，于是a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.(2)证明：(必要性)：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，对任意n ∈N *，有a n ＋1＝a n q .由a n >0知，A (n )，B (n )，C (n )均大于0，于是B （n ）A （n ）＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1a 1＋a 2＋…＋a n ＝q （a 1＋a 2＋…＋a n ）a 1＋a 2＋…＋a n ＝q ，C （n ）B （n ）＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q （a 2＋a 3＋…＋a n ＋1）a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q ，即B （n ）A （n ）＝C （n ）B （n ）＝q ，所以三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列；(充分性)：若对任意n ∈N *，三个数A (n )， B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列，则 B (n )＝qA (n )，C (n )＝qB (n )，于是C (n )－B (n )＝q [B (n )－A (n )]，即a n ＋2－a 2＝q (a n ＋1－a 1)，亦即a n ＋2－qa n ＋1＝a 2－qa 1. 由n ＝1时，B (1)＝qA (1)，即a 2＝qa 1，从而a n ＋2－qa n ＋1＝0. 因为a n >0，所以a n ＋2a n ＋1＝a 2a 1＝q .故数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列．综上所述，数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *，三个数A (n )， B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．18．已知数列{a n }满足a 1＝12且a n ＋1＝a n －a 2n (n ∈N *)． (1)证明：1<a n a n ＋1≤2(n ∈N *)；(2)设数列{a 2n }的前n 项和为S n ，证明：12（n ＋2）<S n n ≤12（n ＋1）(n ∈N *)． 证明：(1)由题意得a n ＋1－a n ＝－a 2n <0，即a n ＋1<a n ， 故a n ≤12.由a n ＝(1－a n －1)a n －1得a n ＝(1－a n －1)(1－a n －2)…(1－a 1)a 1>0. 由0<a n ≤12得a n a n ＋1＝a n a n －a 2n ＝11－a n ∈(1，2]，所以1<a na n ＋1≤2.(2)由题意得a 2n ＝a n －a n ＋1，所以S n ＝a 1－a n ＋1.① 由1a n ＋1－1a n ＝a n a n ＋1和1<a n a n ＋1≤2得1<1a n ＋1－1a n ≤2， 所以n <1a n ＋1－1a 1≤2n ，因此12（n ＋1）≤a n ＋1<1n ＋2(n ∈N *)．②S n n≤12（n＋1）(n∈N*)．由①②得12（n＋2）<。

高考专题突破一 高考中的不等式问题题型一 含参数不等式的解法例1解关于x 的不等式x 2＋ax ＋1>0(a∈R )． 解 对于方程x 2＋ax ＋1＝0，Δ＝a 2－4.(1)当Δ>0，即a >2或a <－2时，方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等实根x 1＝－a －a 2－42，x 2＝－a ＋a 2－42，且x 1<x 2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－a －a 2－42或x >－a ＋a 2－42； (2)当Δ＝0，即a ＝±2时，①若a ＝2，则原不等式的解集为{x |x ≠－1}； ②若a ＝－2，则原不等式的解集为{x |x ≠1}；(3)当Δ<0，即－2<a <2时，方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根，结合二次函数y ＝x 2＋ax ＋1的图象，知此时原不等式的解集为R .思维升华解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项含有参数应讨论是否等于0，小于0，和大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)当方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．跟踪训练1 (1)若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是________． 答案 3解析 由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根． ∴－7×(－1)＝21a，故a ＝3.(2)若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m |>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是__________． 答案 (－∞，－4)∪(2，＋∞)解析 依题意得，|x －1|＋|x ＋m |≥|(x －1)－(x ＋m )|＝|m ＋1|，即函数y ＝|x －1|＋|x ＋m |的最小值是|m ＋1|，于是有|m ＋1|>3，m ＋1<－3或m ＋1>3，由此解得m <－4或m >2.因此实数m 的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．题型二 线性规划问题例2(2018·浙江五校联考)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，x －y ≥－1，2x －y ≤4，且z ＝ax ＋y 的最大值为16，则实数a ＝________，z 的最小值为________． 答案 2 1解析 如图，作出不等式组所表示的可行域(△ABC 及其内部区域)．目标函数z ＝ax ＋y 对应直线ax ＋y －z ＝0的斜率k ＝－a .(1)当k ∈(－∞，1]，即－a ≤1，a ≥－1时，目标函数在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝4，x －y ＝－1，解得A (5,6)，故z 的最大值为5a ＋6，即5a ＋6＝16，解得a ＝2.(2)当k ∈(1，＋∞)，即－a >1，a <－1时，目标函数在点C 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，x －y ＝－1，解得C (0,1)，故z 的最大值为0×a ＋1＝1，不符合题意． 综上，a ＝2.数形结合知，当直线z ＝2x ＋y 经过点C 时，z 取得最小值，z min ＝2×0＋1＝1. 思维升华1．利用线性规划求目标函数的基本步骤为一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义． 2．常见的目标函数有(1)截距型：如z ＝－2x ＋y ，z ＝2y4x ，z ＝OP →·OM →(其中M (x ，y )为区域内动点，P (－2,1))，等等．(2)距离型：如z ＝(x －2)2＋y 2，z ＝|2x －y |，等等．(3)斜率型：如z ＝y ＋1x ，z ＝x ＋y ＋1x ，z ＝x y ＋1，z ＝y ＋1x ＋x y ＋1＝x 2＋(y ＋1)2xy ＋x ，等等．(4)二次曲线型：如z ＝xy ，z ＝y 2x ，z ＝x 22＋y 2，等等．3．解题时要注意可行解是区域的所有点还是区域内的整点．跟踪训练2 (1)(2018·湖州五校模拟)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1>0，x ＋y －3<0，y >0，则z ＝2x－y 的取值范围为( ) A ．(－6，－1) B ．(－8，－2) C ．(－1,8) D ．(－2,6)答案 D解析 方法一 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示．作出直线y ＝2x ，平移直线，直线z ＝2x －y 在点B (－1,0)处的取最小值为－2，在点C (3,0)处的取最大值为6，所以z ＝2x －y 的取值范围为(－2,6)．方法二 三条直线两两联立求出的交点坐标分别是(1,2)，(－1,0)，(3,0)，分别代入z ＝2x －y 求值，得0，－2,6，所以z ＝2x －y 的取值范围为(－2,6)． (2)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ≥0，2x －y ≥0，x ≤5，则不等式组表示的平面区域的面积为________，z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2的最小值为________． 答案 30 95解析 作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ≥0，2x －y ≥0，x ≤5表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，则不等式组表示的平面区域的面积为12×5×2＋12×10×5＝30.z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2表示可行域内的点(x ，y )与点M (－1,1)之间的距离的平方，数形结合易知，z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2的最小值为点M (－1,1)到直线2x －y ＝0的距离的平方，即z min ＝|2×(－1)－1|2[22＋(－1)2]2＝95. 题型三 基本不等式的应用例3 (1)已知x 2＋4xy －3＝0，其中x >0，y ∈R ，则x ＋y 的最小值是( ) A.32B ．3C ．1D ．2 答案 A解析 由x 2＋4xy －3＝0，得y ＝3－x24x，即有x ＋y ＝x ＋3－x 24x ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x .∵x >0，∴x ＋1x ≥2，即x ＋y ≥32，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1，y ＝12时，x ＋y 取得最小值32.(2)已知a >0，b >0，c >1，且a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1ab －2·c ＋2c －1的最小值为______．答案 4＋2 2解析 ∵a 2＋1ab ＝a 2＋(a ＋b )2ab ＝2a 2＋2ab ＋b 2ab＝2a b ＋ba＋2≥22a b ·ba＋2＝22＋2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a b ＝b a，a ＋b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时等号成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1ab －2·c ＋2c －1≥22c ＋2c －1＝22(c －1)＋2c －1＋2 2≥222(c －1)·2c －1＋22＝4＋22， 当且仅当22(c －1)＝2c －1，即c ＝1＋22时，等号成立． 综上，所求最小值为4＋2 2. 思维升华利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式求最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要思路有两种：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．(2)有些题目虽然不具备直接应用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法．跟踪训练3 (1)已知xy ＝1，且0<y <22，则x 2＋4y2x －2y 的最小值为( )A ．4B.92C ．22D ．4 2答案 A解析 由xy ＝1且0<y <22，可知x >2， 所以x －2y >0.x 2＋4y 2x －2y ＝(x －2y )2＋4xy x －2y ＝x －2y ＋4x －2y≥4， 当且仅当x ＝3＋1，y ＝3－12时等号成立． (2)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 答案233解析 由x 2＋y 2＋xy ＝1，得1＝(x ＋y )2－xy ， ∴(x ＋y )2＝1＋xy ≤1＋(x ＋y )24，解得－233≤x ＋y ≤233(当且仅当x ＝y ＝33时取得最大值)，∴x ＋y 的最大值为233.题型四 绝对值不等式的应用例4 (1)(2018·浙江五校联考)已知a ∈R ，则“a ≤9”是“2|x －2|＋|5＋2x |<a 无解”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 2|x －2|＋|5＋2x |＝|2x －4|＋|5＋2x | ≥|2x －4－5－2x |＝9，若2|x －2|＋|5＋2x |<a 无解，则a ≤9，同样若a ≤9，则2|x －2|＋|5＋2x |<a 无解， 所以“a ≤9”是“2|x －2|＋|5＋2x |<a 无解”的充要条件．(2)(2019·温州模拟)已知a ，b ，c ∈R ，若|a cos 2x ＋b sin x ＋c |≤1对x ∈R 恒成立，则|a sin x ＋b |的最大值为________． 答案 2解析 |a cos 2x ＋b sin x ＋c |≤1， 即|a sin 2x －b sin x －(a ＋c )|≤1，分别取sin x ＝1，－1,0，可知⎩⎪⎨⎪⎧|b ＋c |≤1，|b －c |≤1，|a ＋c |≤1，所以|a ＋b |＝|(a ＋c )＋(b －c )|≤|a ＋c |＋|b －c |≤2， 且|a －b |＝|(a ＋c )－(b ＋c )|≤|a ＋c |＋|b ＋c |≤2.所以max{|a sin x ＋b |}＝max{|a ＋b |，|a －b |}≤2，当a ＝2，b ＝0，c ＝－1时，取等号． 思维升华(1)解绝对值不等式可以利用绝对值的几何意义，零点分段法、平方法、构造函数法等．(2)利用绝对值三角不等式可以证明不等式或求最值．跟踪训练4 (1)已知函数f (x )＝|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|－c ，若存在正实数m ，使f (m )＝0，则不等式f (x )<f (m )的解集是________．答案 (－m ，m )解析 由|－x －5|＋|－x ＋3|＋|－x －3|＋|－x ＋5|＝|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|可知，函数f (x )为偶函数，当－3≤x ≤3时，f (x )取最小值16－c .结合题意可得c ≥16.由f (m )＝0得f (x )<0，即|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|－c <0，结合图象(图略)可知，解集为(－m ，m )．(2)不等式|x －2|＋|x ＋1|≥a 对于任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为__________． 答案 (－∞，3]解析 当x ∈(－∞，－1]时，|x －2|＋|x ＋1|＝2－x －x －1＝1－2x ≥3；当x ∈(－1,2)时，|x －2|＋|x ＋1|＝2－x ＋x ＋1＝3； 当x ∈[2，＋∞)时，|x －2|＋|x ＋1|＝x －2＋x ＋1＝2x －1≥3，综上可得|x －2|＋|x ＋1|≥3，∴a ≤3.1．(2018·宁波期末)若a ，b ∈R ，且a <b <0，则下列不等式成立的是( ) A ．2a －b>1B.1a －1>1b －1C ．a 3>b 3D ．a ＋|b |>0答案 B解析 由a <b <0得a －1<b －1<0，则(a －1)(b －1)>0，所以(a －1)·1(a －1)(b －1)<(b －1)·1(a －1)(b －1)，即1a －1>1b －1，故选B.2．(2018·浙江绍兴一中期末)若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －a |<5有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－7,7) B ．(－3,3) C ．(－7,3) D ．∅答案 C解析 不等式|x ＋2|＋|x －a |<5有解，等价于(|x ＋2|＋|x －a |)min <5，又因为|x ＋2|＋|x －a |≥|(x ＋2)－(x －a )|＝|2＋a |，所以|2＋a |<5，－5<2＋a <5，解得－7<a <3，即实数a 的取值范围为(－7,3)，故选C.3．设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1≤0，3x －y ＋1≥0，3x ＋y －1≤0，x ，y ∈R，则M 表示的平面区域的面积是( )A.2B.32C.322D ．2答案 B解析 由题意，M 表示的平面区域是以A (0,1)，B (－1，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12为顶点的三角形及其内部，如图中阴影部分所示(含边界)，所以其面积为12×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1＝32.4．(2018·杭州质检)若正数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，则2x ＋1y的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 B解析 由2x ＋y －3＝0，得2x ＋y ＝3， 所以2x ＋1y ＝13(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2x y ＋2y x≥13⎝⎛⎭⎪⎫5＋2 2x y·2y x ＝3，当且仅当2x y ＝2y x，即x ＝y ＝1时等号成立，故选B.5．(2018·金华十校调研)设x ，y ∈R ，下列不等式成立的是( ) A ．1＋|x ＋y |＋|xy |≥|x |＋|y | B ．1＋2|x ＋y |≥|x |＋|y | C ．1＋2|xy |≥|x |＋|y | D ．|x ＋y |＋2|xy |≥|x |＋|y |答案 A解析 对于选项B ，令x ＝100，y ＝－100，不成立；对于选项C ，令x ＝100，y ＝1100，不成立；对于选项D ，令x ＝13，y ＝－12，不成立，故选A.6．(2018·杭州学军中学模拟)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋m ≤0，y －m ≥0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0>3，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞) D ．(－∞，－1)答案 D解析 作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示(包含边界)，当目标函数z ＝x －2y 经过直线x ＋m ＝0与y －m ＝0的交点时取得最大值，即z max ＝－m －2m ＝－3m ，则根据题意有－3m >3，即m <－1，故选D.7．(2018·浙江舟山中学月考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5B ．4C.5D ．2 答案 B解析 画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分(包含边界)所示，可知当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点A (2,1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.因为a 2＋b 2表示原点(0,0)到点(a ，b )的距离的平方，所以a 2＋b 2的最小值为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离，即(a 2＋b 2)min ＝|－25|22＋12＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4，故选B.8．(2018·嘉兴教学测试)若直线ax ＋by ＝1与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，2x －y －1≤0，2x ＋y ＋1≥0表示的平面区域无公共点，则2a ＋3b 的取值范围是( ) A ．(－7,1) B ．(－3,5) C ．(－7,3) D ．R答案 C解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，2x －y －1≤0，2x ＋y ＋1≥0表示的平面区域是以A (1,1)，B (－1,1)，C (0，－1)为顶点的三角形区域(包含边界)；因为直线ax ＋by ＝1与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，2x －y －1≤0，2x ＋y ＋1≥0表示的平面区域无公共点，所以a ，b满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －1>0，－a ＋b －1>0，－b －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －1<0，－a ＋b －1<0，－b －1<0，故点(a ，b )在如图所示的三角形区域(除边界且除原点)内，所以2a＋3b 的取值范围为(－7,3)，故选C.9．(2019·诸暨期末)不等式－x 2＋2x ＋3<0的解集为________；不等式|3－2x |<1的解集为________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞) (1,2)解析 依题意，不等式－x 2＋2x ＋3<0，即x 2－2x －3>0，解得x <－1或x >3，因此不等式－x 2＋2x ＋3<0的解集是(－∞，－1)∪(3，＋∞)；由|3－2x |<1得－1<3－2x <1,1<x <2，所以不等式|3－2x |<1的解集是(1,2)．10．(2018·宁波期末)关于实数x 的不等式x 2－4x >1a＋3在[0,5]上有解，则实数a 的取值范围为______________．答案 (－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 由x 2－4x >1a ＋3得x 2－4x －3>1a ，则问题等价于1a小于x 2－4x －3在[0,5]上的最大值，又因为x 2－4x －3＝(x －2)2－7，所以当x ＝5时，x 2－4x －3取得最大值2，所以1a<2，解得a <0或a >12，所以a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.11．(2018·嘉兴测试)已知f (x )＝x －2，g (x )＝2x －5，则不等式|f (x )|＋|g (x )|≤2的解集为______________；|f (2x )|＋|g (x )|的最小值为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3 3 解析 由题意得|f (x )|＋|g (x )|＝|x －2|＋|2x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧7－3x ，x <2，－x ＋3，2≤x ≤52，3x －7，x >52，所以|f (x )|＋|g (x )|≤2等价于⎩⎪⎨⎪⎧7－3x ≤2，x <2或⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3≤2，2≤x ≤52或⎩⎪⎨⎪⎧3x －7≤2，x >52，解得53≤x ≤3，|f (2x )|＋|g (x )|＝|2x －2|＋|2x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧7－4x ，x <1，3，1≤x ≤52，4x －7，x >52，|f (2x )|＋|g (x )|的图象如图，则由图象易得|f (2x )|＋|g (x )|的最小值为3.12．(2018·浙江镇海中学模拟)已知正数x ，y 满足1x ＋2y ＝1，则1x ＋1＋2y ＋1的最大值是________． 答案 34解析 设u ＝1x ，v ＝1y ，则问题转化为“已知正数u ，v 满足u ＋2v ＝1，求u u ＋1＋2vv ＋1的最大值”．uu ＋1＋2v v ＋1＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1u ＋1＋2v ＋1＝3－⎝⎛⎭⎪⎫1u ＋1＋2v ＋1·14[(u ＋1)＋2(v ＋1)]＝3－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋2(v ＋1)u ＋1＋2(u ＋1)v ＋1≤3－14(5＋4)＝34. 当且仅当2(v ＋1)u ＋1＝2(u ＋1)v ＋1，即u ＝v ＝13时，取等号．13．(2018·浙江金华十校联考)已知实数x ，y ，z 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ＋2z ＝1，x 2＋y 2＋z 2＝5，则xyz 的最小值为________． 答案 911－32 解析 将⎩⎪⎨⎪⎧xy ＋2z ＝1，x 2＋y 2＋z 2＝5变形为⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1－2z ，x 2＋y 2＝5－z 2，由|xy |≤x 2＋y 22知，|1－2z |≤5－z22，即－5－z 22≤1－2z ≤5－z 22，解得2－7≤z ≤11－2.所以xyz ＝(1－2z )z ＝－2z 2＋z 在[2－7，11－2]上的最小值为911－32.14．(2018·宁波模拟)若6x 2＋4y 2＋6xy ＝1，x ，y ∈R ，则x 2－y 2的最大值为________． 答案 15解析 方法一 设m ＝x ＋y ，n ＝x －y ，则问题转化为“已知4m 2＋mn ＋n 2＝1，求mn 的最大值”．由基本不等式，知1＝mn ＋4m 2＋n 2≥mn ＋4|mn |，所以－13≤mn ≤15，当且仅当n ＝2m ，即x ＝－3y 时，取得最大值15.方法二 (齐次化处理)显然要使得目标函数取到最大值，x ≠0.令z ＝x 2－y 2＝x 2－y 26x 2＋4y 2＋6xy＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫y x26＋4·⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋6·y x ，设t ＝y x ，则z ＝1－t 26＋4t 2＋6t，则(4z ＋1)t 2＋6zt ＋6z －1＝0对t ∈R 有解．当z＝－14时，t ＝－53.当z ≠－14时，Δ＝36z 2－4(4z ＋1)(6z －1)≥0，解得－13≤z ≤15.当t ＝－3z 4z ＋1＝－13时取最大值．方法三 1＝6x 2＋4y 2＋6×x3×3y ≥6x 2＋4y 2－6×x 23＋3y 22＝5x 2－5y 2，所以x 2－y 2≤15，当且仅当x ＝－3y 时取等号．15．(2019·浙江嘉兴一中模拟)已知点P 是平面区域M ：⎩⎨⎧x≥0，y ≥0，3x ＋y －3≤0内的任意一点，则P 到平面区域M 的边界的距离之和的取值范围为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 解析 设平面区域M ：⎩⎨⎧x ≥0，y≥0，3x ＋y －3≤0为△ABO 区域(包含边界)，由题意，|AO |＝1，|BO |＝3，|AB |＝2，P 到平面区域M 的边界的距离之和d 就是P 到△ABO 三边的距离之和，设P 到边界AO ，BO ，AB 的距离分别为a ，b ，c ，则P (b ，a )，由题意0≤a ≤3，0≤b ≤1,0≤c ＝12(3－a －3b )≤32，所以d ＝a ＋b ＋c ＝12[a ＋(2－3)b ＋3]，从而d ≥32，当a ＝b ＝0时取等号．如图，P 为可行域内任意一点，过P 作PE ⊥x 轴，PF ⊥y 轴，PP ′⊥AB ，过P ′作P ′E ′⊥x 轴，P ′F ′⊥y 轴，则有PE ＋PF ＋PP ′≤P ′F ′＋P ′E ′，由P (b ，a )， 可得P ′⎝⎛⎭⎪⎫3＋b －3a4，3＋3a －3b 4，所以d ＝a ＋b ＋c ≤3＋b －3a 4＋3＋3a －3b 4＝3＋3＋(3－1)(3a －b )4，又0≤a ≤3，0≤b ≤1，则d ≤3，当a ＝3，b ＝0时取等号，因此d 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3. 16．(2018·浙江“七彩阳光”新高考研究联盟联考)若正数a ，b ，c 满足b ＋c a ＋a ＋c b ＝a ＋bc＋1，则a ＋bc的最小值是________． 答案1＋172解析 由a ，b ，c 为正数，且b ＋c a ＋a ＋c b ＝a ＋b c ＋1得b c ＋1a c ＋a c ＋1b c ＝a c ＋b c ＋1，设m ＝a c ，n ＝bc，则有m >0，n >0，上式转化为n ＋1m ＋m ＋1n ＝m ＋n ＋1，即m 2＋n 2＋m ＋nmn＝m ＋n ＋1，又由基本不等式得m 2＋n 2≥(m ＋n )22，mn ≤(m ＋n )24，所以m ＋n ＋1＝m 2＋n 2＋m ＋n mn ≥(m ＋n )22＋m ＋n (m ＋n )24，令t ＝m ＋n ，则t >0，上式转化为t ＋1≥t 22＋tt 24，即t 2－t －4≥0，解得t ≥1＋172，所以t ＝m ＋n ＝a c ＋bc ＝a ＋b c 的最小值为1＋172.。

（7）不等式1、若0a b <<，则下列不等式中不成立的是（ ）A ．||||a b >B ．11a b a >-C ．11a b >D ．22a b >2、已知实数,,a b c 满足22643,44b c a a c b a a +=-+-=-+,则,,a b c 的大小关系是( )A.c b a ≥>B.a c b >≥C.c b a >>D.a c b >>3、设()22M a a =-，()()13N a a =+-，则有（ ）A ．M N >B ．M N ≥C ．M N <D ．M N ≤ 4、不等式2230x x --<的解集是（ ）A ．(3,1)- B.(1,3)- C.(,1)(3,)-∞-⋃+∞ D.(,3)(1,)-∞-⋃+∞5、已知不等式250ax x b ++>的解集是3|}2{x x <<，则不等式250bx x a +>-的解集是（ ）A.{3|x x <-或}2x >-B.1{|2x x <-或1}3x >- C.11{|}23x x -<<- D.2{|}3x x <<--6、已知函数21,0,(),0,x x x f x e x -⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若对任意[1,1]x ∈-,不等式2[(12)42][()]a f a x a f x --+≥恒成立,其中0a >,则a 的取值范围是( ) A.1(0,]3 B.1[,)2+∞ C.3[,)7+∞ D.13[,]377、设实数,x y 满足约束条件03,04,26,x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩剟剟…则3z x y =+的最大值为( )A. 7B.9C. 13D. 158、若实数x ，y 满足约束条件22220x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则2y x +的取值范围为( ).A.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.[]1,1,2⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦UC.[]0,1D.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦9、已知0,0x y >>,且3622x y+=.若247x y m m +>-恒成立,则m 的取值范围为( ) A.{}|34m m << B.{}|43m m -<<C.{}|34m m m <>或D.{}|43m m m <->-或 10、已知0,0,2a b a b >>+=,则14y a b =+的最小值是( ) A.72 B.4 C.92 D.511、若实数,a b 满足0a b +<,则不等式0x a b x+<-的解集为___________. 12、若不等式组5002x y y a x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个三角形,则a 的取值范围是______．13、设0,0a b >>,给出下列不等式:①21a a +>;②114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;③11()4a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭;④296a a +>.其中恒成立的是_________(填序号).14、已知正数a ，b 满足1ab a b =++，则2a b +的最小值为 _______ ．15、已知x 、y 满足条件7523,7110,4100.x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩求：(1)43z x y =-的最大值和最小值； (2)8-5y x +的最大值和最小值； (3)22x y +的最大值和最小值.答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：2答案及解析：答案：A解析：因为244c b a a -=-+,即2(2)0c b a -=-≥,所以c b ≥.因为22643,44b c a a c b a a +=-+-=-+,两式相减得2222b a =+,即21b a =+,所以22131024b a a a a ⎛⎫-=-+=-+> ⎪⎝⎭,所以b a >.综上可得c b a ≥>,故选A.3答案及解析：答案：A解析：4答案及解析：答案：B解析：5答案及解析：答案：C解析：6答案及解析：答案：B解析：由题可知函数()f x 在R 上单调递减，且222[()]()a ax f x e f ax -==，则不等式2[(12)42][()]a f a x a f x --+≥可化为2[(12)42]()f a x a f ax --+≥，即2(12)42ax a a x --+≤对[1,1]x ∀∈-恒成立，则max 22()24x a x x +≥++,令2x t +=，则[1,3]t ∈，所以2121424242x t x x t t t t+==++-++-，因为42[2,3]t t+-∈,则111[,]4322t t∈+-，所以12a ≥.7答案及解析：答案：C解析：作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示.由图可知当直线3z x y =+过点(3,4)A 时，z 取最大值13，故选C.8答案及解析：答案：A解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示.目标函数2y x +的几何意义是可行域上的点x y （，）与点20-（，）连线的斜率，由图可得当点20-（，）与点B 22-（，）连线时，斜率最小为12-，当点20-（，）与点A 02（，）连线时，斜率最大为1，所以1122y x -≤≤+。

姓名，年级：时间：§2.5绝对值不等式最新考纲考情考向分析1。

会解|x＋b｜≤c，|x＋b｜≥c,｜x－a｜＋｜x－b｜≥c，｜x－a｜＋|x －b｜≤c型不等式．2。

了解不等式||a｜－｜b｜｜≤|a＋b|≤｜a｜＋|b|.绝对值不等式的解法，利用绝对值不等式求最值是考查的重点；高考中绝对值不等式和数列、函数的结合是常见题型，解答题居多，难度为中高档。

1．绝对值三角不等式（1）定理1：如果a,b是实数,则｜a＋b｜≤|a｜＋｜b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)定理2:如果a，b，c是实数，那么｜a－c｜≤|a－b｜＋|b－c｜，当且仅当（a－b）(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法（1）含绝对值的不等式｜x｜<a与|x|>a的解集：不等式a〉0a＝0a<0|x｜〈a(－a，a）∅∅|x|〉a (－∞，－a)∪(a,＋∞）(－∞,0)∪(0，＋∞）R(2）｜ax＋b｜≤c（c〉0）和|ax＋b｜≥c(c〉0）型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c;②｜ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.概念方法微思考｜x－a|＋|x－b｜≥c（c〉0）和|x－a|＋｜x－b｜≤c（c〉0）型不等式有哪些解法？各体现了什么数学思想？提示(1）利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;（2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×"）（1)|x＋2｜的几何意义是数轴上坐标为x的点到点2的距离．( ×)（2）｜x｜>a的解集是{x|x〉a或x<－a｝．（×）（3)｜a＋b｜＝|a|＋|b｜成立的条件是ab≥0.( √)(4）若ab〈0,则|a＋b|〈|a－b｜。

（7）不等式1、设0.22log 0.3,log 0.3a b ==,则( ) A.0a b ab +<< B.0ab a b <+< C.0a b ab +<<D.0ab a b <<+2、若实数0a b <<，则下列不等式中正确的是（ ）A.11a b <B. b a >C. 2a bb a +> D. 2ab b <3、若,a b c d >>，则下列不等式不一定成立．．．．．的是（ ） A.a b d c ->- B.a b d c +>+ C.a c b c ->-D.a c a d -<- 4、不等式2340x x -++<的解集为（ ） A.{}1|4x x -<< B.1{}4|x x x <->或 C.4{}1|x x x <->或D.{}4|1x x -<<5、不等式2(2)(2)10a x a x -+-+>对一切R x ∈恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.[)2,6B.(2,6)C.(],2(6,)-∞⋃+∞D.(,2)(6,)-∞⋃+∞6、不等式111x ≤-的解集为( ) A.()[),12,-∞⋃+∞B. (](),01,-∞⋃+∞C. (]1,2D. [)2,+∞7、如果对于正数a ,满足35a a >,那么( )A. 2< B. 0.10.2a a <C. a a <D. 0.10. 2a a -->8、已知,x y 满足10240220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，如果目标函数1y z x m +=-的取值范围为[0,2),则实数m 的取值范围是（ ）A ．1[0,]2B ．1(,]2-∞C ．1(,)2-∞D ．(,0]-∞9、所有，未经书面同意，不得复制发布设x y ，满足约束条件210100x y x y m --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数2z x y ＝﹣的最小值大于-5，则m 的取值范围为（ ）A ．11(1,)3- B ．11(3,)3- C ．[3,2)- D ．(,2)-∞10、若两个正实数x y 、，满足141x y +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围是( ) A.()1,4-B.()(),14,-∞-⋃+∞C.()4,1-D.()(),03,-∞⋃+∞11、已知,,,a b c d 均为实数,有下列命题:①若0,0ab bc ad >->,则0c da b->;②若0,0c dab a b>->,则0bc ad ->;③若0,0c dbc ad a b->->,则0ab >.其中正确的命题是_________.12、若函数2()lg(2)f x ax x a =-+的定义域为R ,则实数a 的取值范围为__________. 13、已知14x>0y>0x+y=+x y，，，则x+y 的最小值为__________.14、某加工厂用某原料由甲车间加下A 产品,由乙车间加工B 产品.甲车间用一箱原料可加工出7千克A 产品,需耗费工时10小时,每千克A 产品获利40元;乙车间用一箱原料可加工出4千克B 产品, 需耗费工时6小时,每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时,那么要满足上述的要求,并且获利最大,甲、乙两车间应当各加工多少箱原料? 15、已知二次函数2()1(R)f x x kx k =-+∈．(1).若()f x 在区间[2)+∞，上单调递增，求实数k 的取值范围； (2).若2k =，当[1,1]x ∈-时，求(2)x f 的最大值；(3).若()0f x ≥在(0)x ∈+∞，上恒成立，求实数k 的取值范围答案以及解析1答案及解析： 答案：B解析：∵0.22log 0.3,log 0.3a b ==,∴0.30.311log 0.2,log 2a b ==, ∴0.311log 0.4a b +=, ∴1101a b <+<,即01a b ab+<<.又∵0,0a b ><, ∴0ab <,即0ab a b <+<. 故选B.2答案及解析： 答案：C解析：令1b =-，2a =-，则C 正确，A ，B ，D 错误。

解答题规范练(二)1．已知函数f (x )＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若满足f (B )＝2，a ＝8，c ＝5，求cos A 的值．2.如图，四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为梯形，PD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AD ＝AB ＝1，BC ＝ 2.(1)求证：平面PBD ⊥平面PBC ；(2)设H 为CD 上一点，满足CH →＝2HD →，若直线PC 与平面PBD 所成的角的正切值为63，求二面角H ­PB ­C 的余弦值．3．已知函数f (x )＝ln xx.(1)若关于x 的不等式f (x )≤m 恒成立，求实数的m 最小值； (2)对任意的x 1，x 2∈(0，2)且x 1＜x 2，若存在x 0∈(x 1，x 2)，使得f ′(x 0)＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，求证：x 0＜x 1x 2.4.已知抛物线C：y2＝4x上动点P(x1，y1)，点A在射线x－2y＋8＝0(y≥0)上，满足P A的中点Q在抛物线C上．(1)若直线P A的斜率为1，求点P的坐标；(2)若射线l上存在不同于A的另一点B，使得PB的中点也在抛物线C上，求|AB|的最大值．5．已知数列{a n}的各项均为正数，且满足a21＋a22＋a23＋…＋a2n＝2n(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a21a2＋a1＋a22a3＋a2＋a23a4＋a3＋…＋a2na n＋1＋a n>n－22(n∈N*，n≥2)恒成立，求n的取值范围．解答题规范练(二)1．解：(1)f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由题意2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)因为f (B )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＝2，所以B ＝π3，所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝49， 解得b ＝7.所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝17.2．解：(1)证明：由AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝1，可得BD ＝ 2. 又BC ＝2，所以CD ＝2，所以BC ⊥BD . 因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC ， 又PD ∩BD ＝D ，所以BC ⊥平面PBD ， 所以平面PBD ⊥平面PBC .(2)由(1)可知∠BPC 为PC 与平面PBD 所成的角， 所以tan ∠BPC ＝63， 所以PB ＝3，PD ＝1.由CH →＝2HD →及CD ＝2，可得CH ＝43，DH ＝23.以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则B (1，1，0)，P (0，0，1)，C (0，2，0)，H ⎝⎛⎭⎫0，23，0.设平面HPB 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧HP →·n ＝0，HB →·n ＝0，即⎩⎨⎧－23y 1＋z 1＝0，x 1＋13y 1＝0，取y 1＝－3，则n ＝(1，－3，－2)． 设平面PBC 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧PB →·m ＝0，BC →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－z 2＝0，－x 2＋y 2＝0，取x 2＝1，则m ＝(1，1，2)． 又cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－217，结合图形知，二面角H PBC 的余弦值为217. 3．解：(1)由f ′(x )＝1－ln xx 2＝0解得x ＝e. 当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 所以f (x )max ＝f (e)＝1e.因为关于x 的不等式f (x )≤m 恒成立， 所以f (x )max ≤m ，所以m ≥1e ，即m 的最小值为1e.(2)证明：因为对任意的x 1，x 2∈(0，2)，若存在x 0∈(x 1，x 2)，使得f ′(x 0)＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，即1－ln x 0x 20＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1， 所以1－ln x 0x 20(x 2－x 1)－[f (x 2)－f (x 1)]＝0.令F (x )＝1－ln xx 2(x 2－x 1)－[f (x 2)－f (x 1)]，则有F (x 0)＝0，所以F ′(x )＝2ln x －3x 3(x 2－x 1)，当x ∈(0，2)时，2ln x －3＜2ln 2－3＜0， 又有x 2－x 1＞0，所以F ′(x )＜0，即F (x )在(0，2)上是减函数． 又因为F (x 1x 2)＝1－ln x 1x 2x 1x 2(x 2－x 1)－[f (x 2)－f (x 1)]＝1－ln x 1x 2x 1x 2(x 2－x 1)－⎝⎛⎭⎫ln x 2x 2－ln x 1x 1＝1x 1⎝⎛⎭⎫1＋ln x 1x 2－1x 2⎝⎛⎭⎫1＋ln x 2x 1，令x 2x 1＝t ＞1，所以F (x 1x 2) ＝1x 2⎣⎡⎦⎤t ·⎝⎛⎭⎫1－12ln t －⎝⎛⎭⎫1＋12ln t ， 设h (t )＝t ·⎝⎛⎭⎫1－12ln t －⎝⎛⎭⎫1＋12ln t ， 所以h ′(t )＝t －t ln t －12t，设k (t )＝t －t ln t －1， 所以k ′(t )＝－ln t ＜0(t ＞1)， 所以k (t )在(1，＋∞)上是减函数，所以k (t )＜k (1)＝0.所以h ′(t )＜0，所以h (t )在(1，＋∞)上是减函数， 所以h (t )＜h (1)＝0.所以F (x 1x 2)＝1x 2h (t )＜0＝F (x 0)，因为F (x )在(0，2)上是减函数，所以x 0＜x 1x 2.4．解：(1)设直线P A 的方程为y ＝x ＋b ，则A (8－2b ，8－b )．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b y 2＝4x得y 2－4y ＋4b ＝0，所以 Δ＝16－16b ＞0，b ＜1，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4y 1y 2＝4b，又y 1＋8－b ＝2y 2，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0y 1＝0y 2＝4或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－24y 1＝－8y 2＝12， 经检验都是方程的解，所以P (0，0)或P (16，－8)．(2)设A (2t 1－8，t 1)，B (2t 2－8，t 2)，t 1，t 2≥0.则由P A 的中点Q ⎝⎛⎭⎫y 218＋t 1－4，t 1＋y 12在抛物线C 上，可得⎝⎛⎭⎫t 1＋y 122＝4⎝⎛⎭⎫y 218＋t 1－4，整理得t 21＋(2y 1－16)t 1＋64－y 21＝0， 同理t 22＋(2y 1－16)t 2＋64－y 21＝0，所以t 1，t 2是方程t 2＋(2y 1－16)t ＋64－y 21＝0的两个不相等的非负根．所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2y 1－16）2－4（64－y 21）＞0t 1＋t 2＝16－2y 1＞0t 1t 2＝64－y 21≥0，所以－8≤y 1＜0.于是|AB |＝5|t 1－t 2|＝252y 21－16y 1≤325，当且仅当y 1＝－8时取等号． 所以|AB |的最大值为32 5.5．解：(1)由题设a n >0，当n ＝1时，a 1＝2；当n ≥2时，a 2n ＝2n －2n －1＝2n －1，所以a n ＝2n －12.又a 1＝2不满足a n ＝2n －12，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n －12，n ≥2.(2)由(1)知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n －12，n ≥2，故a 2na n ＋1＋a n ＝2n －1（2）n ＋（2）n －1＝2n －1（2）n －1·（2＋1）＝(2－1)·2n －12(n ≥2)，记S n ＝a 21a 2＋a 1＋a 22a 3＋a 2＋a 23a 4＋a 3＋…＋a 2n a n ＋1＋a n ， 则当n ≥2时，S n ＝22＋(2－1)[2＋(2)2＋…＋(2)n －1]＝22＋(2－1)·2[1－（2）n －1]1－2＝2n 2－22，故S n＝⎩⎨⎧22，n ＝12n 2－22，n ≥2.当n ∈N *，n ≥2时，要使得2n 2－22>n －22恒成立，即2n >n 2恒成立． 由于当n ＝4时，2n ＝n 2，考察函数f (x )＝2x －x 2的单调性，易证当x >4时，函数f (x )＝2x－x 2单调递增，且x ＝4时，f (x )＝0，所以当n ≥5时，a 21a 2＋a 1＋a 22a 3＋a 2＋a 23a 4＋a 3＋…＋a 2na n ＋1＋a n >n －22恒成立，故所求n 的取值范围是n ≥5.。