(浙江专用)高考数学大二轮复习专题四小题考法课一直线与圆课时跟踪检测

2025年高考数学一轮复习-直线与圆-专项训练一、基本技能练1.过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()A.x－y＋1＝0B.x＋y－3＝0C.2x－y＝0或x＋y－3＝0D.2x－y＝0或x－y＋1＝02.已知圆C：x2＋y2＝r2(r>0)，直线l：x＋3y－2＝0，则“r>3”是“直线l与圆C 相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知O为坐标原点，直线l：y＝kx＋(2－2k)上存在一点P，使得|OP|＝2，则k 的取值范围为()A.[3－2，3＋2]B.(－∞，2－3]∪[2＋3，＋∞)C.[2－3，2＋3]D.(－∞，3－2]∪[3＋2，＋∞)4.已知直线l：ax＋by＝1是圆x2＋y2－2x－2y＝0的一条对称轴，则ab的最大值为()A.1 4B.1 2C.1D.25.过点P(5，1)作圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的割线l交圆C于A，B两点，点C 到直线l的距离为1，则PA→·PB→的值是()A.32B.33C.6D.不确定6.已知直线x＋y＋1＝0与x＋2y＋1＝0相交于点A，过点A的直线l与圆M：x2＋y2＋4x＝0相交于点B，C，且∠BMC＝120°，则满足条件的直线l的条数为() A.0 B.1C.2D.37.已知两条直线l1：2x－3y＋2＝0，l2：3x－2y＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都在变动)与l1，l2都相交，并且l1，l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为()A.(y－1)2－x2＝65B.x2－(y－1)2＝65C.y2－(x＋1)2＝65D.(x＋1)2－y2＝658.已知M是圆C：x2＋y2＝1上一个动点，且直线l1：mx－ny－3m＋n＝0与直线l2：nx＋my－3m－n＝0(m，n∈R，m2＋n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是()A.[3－1，23＋1]B.[2－1，32＋1]C.[2－1，22＋1]D.[2－1，33＋1]9.(多选)已知直线l1：(a＋1)x＋ay＋2＝0，l2：ax＋(1－a)y－1＝0，则()A.l1恒过点(2，－2)B.若l1∥l2，则a2＝12C.若l1⊥l2，则a2＝1D.当0≤a≤1时，直线l2不经过第三象限10.(多选)如图，O为坐标原点，B为y轴正半轴上一点，矩形OABC为圆M的内接四边形，OB为直径，|OC|＝3|OA|＝3，过直线2x＋y－4＝0上一点P作圆M 的两条切线，切点分别为E，F，则下列结论正确的是()A.圆M的方程为x2＋(y－1)2＝1B.直线AB的斜率为2C.四边形PEMF的最小面积为2D.PA→·PC →的最小值为4511.已知直线l 1：y ＝(2a 2－1)x －2与直线l 2：y ＝7x ＋a 平行，则a ＝________.12.过点M (0，－4)作直线与圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0相切于A ，B 两点，则直线AB 的方程为________.二、创新拓展练13.(多选)已知圆C 1：(x －3)2＋(y －1)2＝4，C 2：x 2＋(y ＋3)2＝1，直线l ：y ＝k (x －1)，点M ，N 分别在圆C 1，C 2上.则下列结论正确的有()A.圆C 1，C 2没有公共点B.|MN |的取值范围是[1，7]C.过N 作圆C 1的切线，则切线长的最大值是42D.直线l 与圆C 1，C 2都有公共点时，k ≥2314.(多选)过点P (1，1)的直线与圆C ：(x －2)2＋y 2＝9交于A ，B 两点，线段MN 是圆C 的一条动弦，且|MN |＝42，则()A.△ABC 面积的最大值为92B.△ABC 面积的最大值为14C.|AB |的最小值为27D.|PM →＋PN →|的最小值为22－215.在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝1交x 轴于A ，B 两点，且点A 在点B 的左侧，若直线x ＋3y ＋m ＝0上存在点P ，使得|PA |＝2|PB |，则实数m 的取值范围为________.16.在平面直角坐标系xOy 中，过点A (0，－3)的直线l 与圆C ：x 2＋(y －2)2＝9相交于M ，N 两点，若S △AON ＝65S △ACM ，则直线l 的斜率为________.参考答案与解析一、基本技能练1.答案D解析当直线过原点时，满足题意，方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设方程为xa＋y－a＝1，∵直线过(1，2)，∴1a－2a＝1，∴a＝－1，∴方程为x－y＋1＝0，故选D.2.答案A解析由题意知圆心(0，0)到直线x＋3y－2＝0的距离d＝|－2|1＋3＝1，当r>3时，直线与圆相交，当直线与圆相交，则d＝1<r，故“r>3”是“直线l与圆C相交”的充分不必要条件.故选A.3.答案C解析点O(0，0)到直线l：y＝kx＋(2－2k)的距离d＝|2－2k| k2＋1.由题意得坐标原点到直线l距离d≤|OP|，所以|2－2k|k2＋1≤2，解得2－3≤k≤2＋3，故k的取值范围为[2－3，2＋3]，故选C.4.答案A解析圆x2＋y2－2x－2y＝0的圆心为(1，1)，直线l：ax＋by＝1是圆x2＋y2－2x－2y＝0的一条对称轴.可得a＋b＝1，则ab ＝14，当且仅当a ＝b ＝12时，取等号.所以ab 的最大值为14，故选A.5.答案B解析由题意，可得向量PA →与PB →共线且方向相同，圆C 的圆心为(－1，2)，半径为2，如图所示，其中PD 为切线，根据切割线定理，则PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|＝|PD →|2＝|PC →|2－|CD →|2＝62＋12－22＝33.故选B.6.答案B解析由题意得点A (－1，0)，圆M ：x 2＋y 2＋4x ＝0的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝4，圆心(－2，0)，半径r ＝2，由∠BMC ＝120°，可得圆心M 到直线l 的距离d ＝1，直线l 过点A (－1，0)，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，圆心M 到直线l 的距离d ＝1，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.圆心M (－2，0)到直线l 的距离d ＝|－2k －0＋k |k 2＋1＝|－k |k 2＋1＝1，此方程无解.故满足条件的直线l 的条数为1，故选B.7.答案D解析设动圆圆心P (x ，y )，半径为r ，则P 到l 1的距离d 1＝|2x －3y ＋2|13，P 到l 2的距离d 2＝|3x －2y ＋3|13，因为l 1，l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24.∴2r 2－d 21＝26，2r 2－d 22＝24，化简后得r 2－d 21＝169，r 2－d 22＝144，相减得d 22－d 21＝25，将d 1，d 2代入距离公式后化简可得(x ＋1)2－y 2＝65，故选D.8.答案B解析依题意，直线l 1：m (x －3)－n (y －1)＝0恒过定点A (3，1)，直线l 2：n (x －1)＋m (y －3)＝0恒过定点B (1，3)，显然直线l 1⊥l 2，因此，直线l 1与l 2交点P 的轨迹是以线段AB 为直径的圆，其方程为：(x －2)2＋(y －2)2＝2，圆心N (2，2)，半径r 2＝2，而圆C 的圆心C (0，0)，半径r 1＝1，如图：|NC |＝22>r 1＋r 2，所以两圆外离，由圆的几何性质得：|PM |min ＝|NC |－r 1－r 2＝2－1，|PM |max ＝|NC |＋r 1＋r 2＝32＋1，所以|PM |的取值范围是[2－1，32＋1].故选B.9.答案BD解析l 1：(a ＋1)x ＋ay ＋2＝0⇔a (x ＋y )＋x ＋2＝0，＋y ＝0，＋2＝0，＝－2，＝2，即直线恒过点(－2，2)，故A不正确；若l1∥l2，则有(a＋1)(1－a)＝a2，解得a2＝12，经检验满足条件，故B正确；若l1⊥l2，则有a(a＋1)＋a(1－a)＝0，解得a＝0，故C不正确；若直线l2恒过点(1，1)且不经过第三象限，则当1－a≠0时，aa－1<0，解得0<a<1，当a＝1时，直线l2：x＝1，也不过第三象限，当a＝0时，直线l2：y＝1，也不过第三象限，综上可知，当0≤a≤1时，直线l2不经过第三象限，故D正确.10.答案AD解析由题意可得圆M的直径|OB|＝2，线段OB的中点即为圆M的圆心，所以圆M的方程为x2＋(y－1)2＝1，故A正确；易知∠AOB＝π3，从而可得∠xOC＝π3，所以直线OC的斜率为k OC＝tan π3＝3，由AB∥OC可得直线AB的斜率为k AB＝k OC＝3，故B错误；连接PM，可得Rt△PME≌Rt△PMF，所以四边形PEMF的面积为S＝2S Rt△PME＝|ME|·|PE|＝|PE|＝|PM|2－1，当直线PM与直线2x＋y－4＝0垂直时，|PM|最小，即|PM|min＝|2×0＋1－4|5＝355，所以S min＝255，故C错误；因为PA→·PC→＝(PM→＋MA→)·(PM→＋MC→)＝(PM→＋MA→)·(PM→－MA→)＝PM→2－MA→2＝PM→2－1≥95－1＝45，故D正确.故选AD.11.解析∵两直线平行，a2－1＝7，≠－2，解得a＝2.12.答案x－7y＋18＝0解析圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，圆心为C(－1，3)，半径为2，由圆的切线的性质可得MA⊥AC，则|MA|＝|MC|2－22＝（－1－0）2＋（3＋4）2－22＝46，所以，以点M为圆心、以|MA|为半径的圆M的方程为x2＋(y＋4)2＝46，将圆M的方程与圆C的方程作差并化简可得x－7y＋18＝0.因此直线AB的方程为x－7y＋18＝0.二、创新拓展练13.答案AC解析圆C1的圆心C1(3，1)，半径r1＝2，圆C2的圆心C2(0，－3)，半径r2＝1.对于选项A，圆心距d＝（0－3）2＋（－3－1）2＝5>r1＋r2，所以圆C1，C2外离，选项A正确；对于选项B，|MN|的最小值为d－(r1＋r2)＝2，最大值为d＋(r1＋r2)＝8，选项B 错误；对于选项C，连接C1C2与圆C2交于点N(外侧交点)，过N作圆C1的切线，切点为P，此时|NP|最长，在Rt△C1PN中，|NP|＝（d＋r2）2－r21＝62－22＝42，选项C 正确；对于选项D，直线l方程化为kx－y－k＝0，圆心C1到直线l的距离|2k－1|k2＋1≤2，解得k≥－3 4，圆心C2到直线l的距离|3－k|k2＋1≤1，解得k≥43所以直线l与圆C1，C2都有公共点时，k≥43，选项D错误.故选AC.14.答案BCD解析设圆心C到直线AB的距离为d，由题意得0≤d ≤2，|AB |＝29－d 2，则S △ABC ＝12|AB |·d ＝12×29－d 2·d ＝9d 2－d 4当d 2＝2时，(S △ABC )max ＝14，故A 错误，B 正确；由0≤d ≤2，|AB |＝29－d 2知|AB |min ＝29－2＝27，C 正确；过圆心C 作CE ⊥MN 于点E ，则点E 为MN 的中点，又|MN |＝42，则|CE |＝9－8＝1，即点E 的轨迹为圆(x －2)2＋y 2＝1.因为|PM →＋PN →|＝2|PE →|，且|PE →|min ＝|PC |－1＝2－1，所以|PM →＋PN →|的最小值为22－2，故D 正确.因此应选BCD.15.答案－133，1解析由题意得A (－1，0)，B (1，0)，设P (x ，y )，则由|PA |＝2|PB |，得（x ＋1）2＋y 2＝2（x－1）2＋y 2，＋y 2＝169，＋y 2＝169与直线x ＋3y ＋m ＝0有交点，即|53＋m |2≤43，解得－133≤m ≤1.故实数m 的取值范围为－133，1.16.答案±3147解析由题意得C (0，2)，直线MN 的斜率存在，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为y ＝kx －3，与x 2＋(y －2)2＝9联立，得(k 2＋1)x 2－10kx ＋16＝0，Δ＝100k 2－64(k 2＋1)＝36k 2－64>0，得k 2>169，x 1＋x 2＝10k k 2＋1，x 1x 2＝16k 2＋1.因为S △AON ＝65S △ACM ，所以12×3×|x 2|＝65×12×|2－(－3)|×|x 1|，则|x 2|＝2|x 1|，于是x 2＝2x 1，x 1＝10kk 2＋1，x 21＝16k 2＋1两式消去x 1得k 2＝187，满足Δ>0，所以k ＝±3147.。

课时跟踪检测十六直线与圆一、选择题1．直线1：－2＋1＝0与直线2：＋－3＝0平行，那么实数的值为A．－2 B．2C．－错误!D．错误!解析：选A∵直线1：－2＋1＝0与直线2：＋－3＝0平行，∴错误!＝错误!≠错误!，解得＝－．2．点＝0，假设该直线与圆－12＋2＝4相切，那么有错误!＝2，解得m＝6或－14，即要求直线的方程为4－3＝－6或4－3＝14，应选B．6．2021·袁州模拟点A0，错误!，B3,2错误!，假设圆C：－12＋2＝r2r>0上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为错误!，那么r的取值范围是A．1,3 B．1,2C．0,3 D．0,2解析：选A根据题意，A0，错误!，B3,2错误!，那么|AB|＝错误!＝2错误!，假设△MAB和△NAB的面积均为错误!，那么M，N到直线AB的距离相等，设M，N到直线AB的距离均为d，那么有错误!×2错误!×d＝错误!，那么d＝1，又由A0，错误!，B3,2错误!，那么直线AB的方程为－错误!＋3＝0，假设圆C上有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为错误!，那么直线MN与AB平行，且圆心C到直线AB的距离d′＝错误!＝2，分析可得：1<r<3，即r的取值范围为1,3．应选A．二、填空题7．2021·凉山州模拟直线1：a＋＋2＝0，直线2：＋＝0，假设1⊥2，那么a ＝________解析：直线1：a＋＋2＝0，直线2：＋＝0，假设1⊥2，那么1·a＋1×1＝0，解得a＝－1答案：－18．2021·常熟市校级月考直线过两直线＋2＋4＝0和2＋3－8＝0的交点，且过点0,1，那么直线的方程为______________．解析：直线过两直线＋2＋4＝0和2＋3－8＝0的交点，且过点0,1，联立错误!得＝28，＝－16，∴直线过点28，－16，0,1，∴直线的方程为错误!＝错误!，即17＋28－28＝0答案：17＋28－28＝09．2021·呼和浩特一模直线＝－错误!－3与，轴分别交于A，B两点，动点错误! ,0，由AN＋BN＝0⇒错误!＋错误!＝0⇒12－m＋21－m＝0⇒1t2＋1－m＋2t1＋1－m＝0，即2t12＋1－m1＋2＝0，故2t·错误!＋1－m错误!＝0对任意t∈R恒成立，即8－2mt＝0恒成立，故m＝4即N4,0．所以存在定点N，使得轴平分∠点坐标为4,0．12．2021·南平模拟圆M满足：①被轴分成两段圆弧，弧长的比为3∶1；②截轴所得的弦长为21求圆心M的轨迹方程；2求圆心M到直线：2－＝0的距离最小的圆的方程．解：1设圆心M，，半径为r，∵圆M被轴分成两段圆弧的弧长比为3∶1，∴圆心M到轴的距离||＝错误!①∵圆M截轴所得的弦长为2，∴圆心M到轴的距离||＝错误!，②由①②消去r得22－2＝1，即错误!－2＝1∴圆心M的轨迹方程为错误!－2＝12设直线2－＋c＝0与双曲线错误!－2＝1相切．联立方程组错误!消得22＋4c＋c2＋1＝0，令Δ＝16c2－8c2－8＝0，得c＝±1∴当c＝1时，方程组错误!的解为错误!即切点坐标为－1，－1，此时M－1，－1，r＝错误!，故圆M的方程为＋12＋＋12＝2当c＝－1时，方程组错误!的解为错误!即切点坐标为1,1，此时M1,1，r＝错误!故圆M的方程为－12＋－12＝2∴圆心M到直线：2－＝0的距离最小的圆的方程为＋12＋＋12＝2或－12＋－12＝2。

课时跟踪检测（四十九） 直线与圆、圆与圆的位置关系(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．已知点(a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ≠0)的外部，则ax ＋by ＝r 2与C 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离 C ．内含D ．相交解析：选D 由已知a 2＋b 2>r 2，且圆心到直线ax ＋by ＝r 2的距离为d ＝r 2a 2＋b 2，则d <r ，故直线ax ＋by ＝r 2与C 的位置关系是相交．2．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选A 两圆分别化为标准形式为C 1：(x －3)2＋(y ＋2)2＝1，C 2：(x －7)2＋(y －1)2＝36，则两圆圆心距|C 1C 2|＝7－32＋[1－－2]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.3．若两圆x 2＋y 2＝m 和x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(121，＋∞) C ．[1,121]D ．(1,121)解析：选C x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0化成标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝36.圆心距为d ＝0＋32＋0－42＝5，若两圆有公共点，则|6－m |≤5≤6＋m ，解得1≤m ≤121.故选C.4．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0解析：选B 由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r 2＝5，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x －1)·(3－1)＋y (1－0)＝5，即2x ＋y －7＝0.故选B.5．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0解析：选 B 圆心(3,2)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|3k －2＋3|k 2＋1＝|3k ＋1|k 2＋1，由|MN |≥23，得23≤24－d 2，所以d 2≤1，即8k 2＋6k ≤0⇒－34≤k ≤0，故选B.6．已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．3 B.212C ．2 2D ．2解析：选D 圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的圆心为(0,1)，半径r ＝1.由圆的性质，知S 四边形PACB＝2S △PBC .∵四边形PACB 的最小面积是2，∴S △PBC 的最小值为1，则12rd min ＝1(d 是切线长)，∴d min ＝2.∵圆心到直线的距离就是PC 的最小值，∴|PC |min ＝51＋k2＝d 2＋1＝ 5.∵k >0，∴k ＝2.故选D.7．圆x 2＋y 2＝50与圆x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0的公共弦的长度为________． 解析：两圆的公共弦长即两圆交点间的距离，将两圆方程联立，可求得弦所在直线为2x ＋y －15＝0，原点到该直线的距离为d ＝|－15|22＋1＝35，则公共弦的长度为2r 2－d 2＝250－352＝2 5.答案：2 58．已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点，若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 的横坐标的取值范围为________．解析：由题意知，过点A 的两直线与圆M 相切时，夹角最大，当∠BAC ＝60°时，MA ＝MB sin ∠BAM ＝2sin 30°＝4.设A (x ，6－x )，所以(x －1)2＋(6－x －1)2＝16，解得x ＝1或x ＝5，因此点A 的横坐标的取值范围为[1,5]．答案：[1,5]9．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．解析：由x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0得(x ＋1)2＋(y －2)2＝9， 所以圆C 的圆心坐标为C (－1,2)，半径为3，由AC ⊥BC ，可知△ABC 是直角边长为3的等腰直角三角形， 故可得圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322，由点到直线的距离公式可得|－1－2＋a |2＝322，解得a ＝0或a ＝6. 答案：0或610．在圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －7＝0上总有四个点到直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0的距离是1，则实数m 的取值范围是____________．解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9.若圆上有四个点到直线3x ＋4y ＋m ＝0的距离是1，则圆心到直线的距离小于2，即d ＝|7＋m |5<2，解得－17<m <3.答案：(－17,3)B 级——中档题目练通抓牢1．已知圆心(a ，b )(a <0，b <0)在直线y ＝2x ＋1上的圆，其圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径，在y 轴上截得的弦长为25，则圆的方程为( )A ．(x ＋3)2＋(y ＋5)2＝25 B ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝499D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋732＝499解析：选B 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则⎩⎨⎧r ＝|b |，b ＝2a ＋1，r 2＝|a |2＋52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3，r ＝3，所以圆的方程为(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9.故选B.2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t,0)，B (t,0)(t >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则实数t 的最小值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选 D 由∠APB ＝90°得，点P 在圆x 2＋y 2＝t 2上，因此由两圆有交点得|t －1|≤|OC |≤t ＋1⇒|t －1|≤2≤t ＋1⇒1≤t ≤3，即t 的最小值为1.3．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－2,3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝4 C ．x 2＋y 2＝165D ．x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37解析：选D 如图所示，因为A (－2,3)，B (－2，－1)，C (6，－1)．∴过A ，C 的直线方程为y ＋13＋1＝x －6－2－6，化为一般式为x ＋2y －4＝0.点O 到直线x ＋2y －4＝0的距离d ＝|－4|5＝455>1，又|OA |＝－22＋32＝13，|OB |＝－22＋－12＝5，|OC |＝62＋－12＝37.∴以原点为圆心的圆若与三角形ABC 有唯一的公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，∴圆的半径分别为1或37，则圆的方程为x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37.4．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.解析：由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2＋1.由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2＝12， 解得m ＝－33. 又直线l 的斜率为－m ＝33， 所以直线l 的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π6.在Rt △CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos π6＝23×23＝4. 答案：45．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．解析：由题意可知M 在直线y ＝1上运动，设直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切于点P (0,1)．当x 0＝0，即点M 与点P 重合时，显然圆上存在点N (±1，0)符合要求；当x 0≠0时，过M 作圆的切线，切点之一为点P ，此时对于圆上任意一点N ，都有∠OMN ≤∠OMP ，故要存在∠OMN ＝45°，只需∠OMP ≥45°.特别地，当∠OMP ＝45°时，有x 0＝±1.结合图形可知，符合条件的x 0的取值范围为[－1,1]．答案：[－1,1]6．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 解：(1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )， 则a －22＋－2a ＋12＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1. ∴C (1，－2)，半径r ＝|AC |＝1－22＋－2＋12＝ 2.∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，由题意得|k ＋2|1＋k2＝1，解得k ＝－34， ∴直线l 的方程为y ＝－34x ，即3x ＋4y ＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.7．已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，2t 为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程． 解：(1)证明：由题意知圆C 过原点O ， ∴半径r ＝|OC |. 又∵|OC |2＝t 2＋4t2，∴设圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t2.令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，则A (2t,0)． 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4t .∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， ∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程为y ＝12x .∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，r ＝|OC |＝5， 此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，r ＝|OC |＝5， 此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95>5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.C 级——重难题目自主选做1．已知点G (5,4)，圆C 1：(x －1)2＋(y －4)2＝25，过点G 的动直线l 与圆C 1相交于E ，F 两点，线段EF 的中点为C ，且C 在圆C 2上．(1)若直线mx ＋ny －1＝0(mn >0)经过点G ，求mn 的最大值； (2)求圆C 2的方程；(3)若过点A (1,0)的直线l 1与圆C 2相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M .l 1与l 2：x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，求证：|AM |·|AN |为定值．解：(1)∵点G (5,4)在直线mx ＋ny －1＝0上，∴5m ＋4n ＝1,5m ＋4n ≥220mn (当且仅当5m ＝4n 时取等号)，∴1≥80mn ，即mn ≤180，∴(mn )max ＝180.(2)由已知得圆C 1的圆心为(1,4)，半径为5，设C (x ，y )，则C 1C ―→＝(x －1，y －4)，CG ―→＝(5－x,4－y )， 由题设知C 1C ―→·CG ―→＝0，∴(x －1)(5－x )＋(y －4)(4－y )＝0， 即(x －3)2＋(y －4)2＝4，∴C 2的方程是(x －3)2＋(y －4)2＝4.(3)证明：当直线l 1的斜率不存在时，直线l 1与圆C 2相切，当直线l 1的斜率为0时，直线l 1与圆C 2相离，故设直线l 1的方程为kx －y －k ＝0(k ≠0)．由直线l 1与圆C 2相交，得|3k －4－k |k 2＋1<2，解得k >34.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0得N ⎝⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1，又直线C 2M 与l 1垂直，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ，y －4＝－1k x －3得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2，4k 2＋2k 1＋k 2， ∴|AM |·|AN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2k 1＋k 22· ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2k ＋12＝2|2k ＋1|1＋k 2·1＋k 2·31＋k 2|2k ＋1|＝6(定值)． 2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程； (3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA ―→＋TP ―→＝TQ ―→，求实数t 的取值范围．解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25， 所以圆心M (6,7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切， 所以0＜y 0＜7，圆N 的半径为y 0， 从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ， 所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为|BC |＝|OA |＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22， 所以25＝m ＋525＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. (3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2,4)，T (t,0)，TA ―→＋TP ―→＝TQ ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4. ①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25. ②将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上， 从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点， 所以5－5≤ [t ＋4－6]2＋3－72≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221.因此，实数t 的取值范围是[2－221，2＋221 ]．。

第一部分 高考层级专题突破 层级二 7个能力专题 师生共研专题六 解析几何 第一讲 直线与圆 课时跟踪检测(十六) 直线与圆一、选择题1．已知直线l 1：x －2y ＋1＝0与直线l 2：x ＋ky －3＝0平行，则实数k 的值为( )A ．－2B ．2C ．－12D ．12解析：选A ∵直线l 1：x －2y ＋1＝0与直线l 2：x ＋ky －3＝0平行， ∴11＝k－2≠－31，解得k ＝－2.故选A ．2．已知点P 与点Q (1，－2)关于直线x ＋y －1＝0对称，则点P 的坐标为( ) A ．(3,0) B ．(－3,2) C ．(－3,0)D ．(－1,2)解析：选A 设P 的坐标为(a ，b )，则PQ 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12，b －22，若点P 与Q (1，－2)关于x ＋y －1＝0对称，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋2a －1＝1，a ＋12＋b －22－1＝0，解得a ＝3，b ＝0，则点P 的坐标为(3,0)，故选A ．3．(2019·成都模拟)已知a ∈R 且为常数，圆C ：x 2＋2x ＋y 2－2ay ＝0，过圆C 内一点(1,2)的直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，当弦AB 最短时，直线l 的方程为2x －y ＝0，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 化圆C ：x 2＋2x ＋y 2－2ay ＝0为(x ＋1)2＋(y －a )2＝a 2＋1，圆心坐标为C (－1，a )，半径为a 2＋1.如图，由题意可得，过圆心与点(1,2)的直线与直线2x －y ＝0垂直，则a －2－1－1＝－12，即a ＝3.故选B ．4．(2019·宜宾模拟)已知直线l 1：3x ＋y －6＝0与圆心为M (0,1)，半径为5的圆相交于A ，B 两点，另一直线l 2：2kx ＋2y －3k －3＝0与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 面积的最大值为( )A ．5 2B ．10 2C ．52＋5D ．52－5解析：选A 以M (0,1)为圆心，半径为5的圆的方程为x 2＋(y －1)2＝5， 联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6＝0，x 2＋(y －1)2＝5，解得A (2,0)，B (1,3)，∴AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.而直线l 2：2kx ＋2y －3k －3＝0恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，∴|AB|＝(2－1)2＋(0－3)2＝10.要使四边形的面积最大，只需l2过圆心即可，即CD为直径，此时CD⊥AB，∴四边形ACBD的面积最大值为S＝12×10×25＝5 2.故选A．5．(2019·兴庆区校级一模)与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是()A．4x－3y＝6 B．4x－3y＝－6C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6解析：选B根据题意，要求直线与3x＋4y＝0垂直，设其方程为4x－3y ＋m＝0，若该直线与圆(x－1)2＋y2＝4相切，则有|4＋m|32＋42＝2，解得m＝6或－14，即要求直线的方程为4x－3y＝－6或4x－3y＝14，故选B．6．(2019·袁州模拟)已知点A(0，3)，B(3,23)，若圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为3，则r的取值范围是() A．(1,3) B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)解析：选A根据题意，A(0，3)，B(3,23)，则|AB|＝9＋3＝23，若△MAB和△NAB的面积均为3，则M，N到直线AB的距离相等，设M，N到直线AB的距离均为d，则有12×23×d＝3，则d＝1，又由A(0，3)，B(3,23)，则直线AB的方程为x－3y＋3＝0，若圆C上有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为3，则直线MN 与AB平行，且圆心C 到直线AB 的距离d ′＝|1＋3|1＋3＝2，分析可得：1<r <3，即r 的取值范围为(1,3)．故选A ． 二、填空题7．(2019·凉山州模拟)已知直线l 1：ax ＋y ＋2＝0，直线l 2：x ＋y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________.解析：直线l 1：ax ＋y ＋2＝0，直线l 2：x ＋y ＝0， 若l 1⊥l 2，则1·a ＋1×1＝0，解得a ＝－1. 答案：－18．(2019·常熟市校级月考)已知直线l 过两直线x ＋2y ＋4＝0和2x ＋3y －8＝0的交点，且过点(0,1)，则直线l 的方程为______________．解析：直线l 过两直线x ＋2y ＋4＝0和2x ＋3y －8＝0的交点，且过点(0,1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋4＝0，2x ＋3y －8＝0，得x ＝28，y ＝－16，∴直线l 过点(28，－16)，(0,1)，∴直线l 的方程为y －1x ＝－16－128－0，即17x ＋28y －28＝0.答案：17x ＋28y －28＝09．(2019·呼和浩特一模)已知直线y ＝－34x －3与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，动点P 在圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上，则△ABP 面积的最大值为________．解析：根据题意，直线y ＝－34x －3与x ，y 轴分别交于A ，B 两点， 则A (－4,0)，B (0，－3)，且|AB |＝5，动点P 在圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上，当△ABP 的面积最大时，P 到直线AB 的距离最大，圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，即(x －1)2＋(y －1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r ＝1；直线y＝－34x－3即3x＋4y＋12＝0，则P到直线AB的距离最大值为d＋r＝|3＋4＋12|5＋1＝245，则△ABP面积的最大值为12×|AB|×245＝12.答案：12三、解答题10．(2019·泸州模拟)已知圆C的圆心在直线x－2y＝0上，且经过点M(0，－1)，N(1,6)．(1)求圆C的方程；(2)已知点A(1,1)，B(7,4)，若P为圆C上的一动点，求|P A|2＋|PB|2的取值范围．解：(1)设圆心C(a，b)，则a－2b＝0，即a＝2b，由|MC|＝|NC|得(2b－0)2＋(b＋1)2＝(2b－1)2＋(b－6)2，解得b＝2，a＝4，∴圆的半径r＝5，∴圆C的方程为(x－4)2＋(y－2)2＝25.(2)设P(x，y)，则(x－4)2＋(y－2)2＝25，即x2＋y2＝5＋8x＋4y，则|P A|2＋|PB|2＝(x－1)2＋(y－1)2＋(x－7)2＋(y－4)2＝2x2＋2y2－16x－10y＋67＝10＋16x＋8y－16x－10y＋67＝77－2y，∵－3≤y≤7，∴63≤77－2y≤83，故|P A|2＋|PB|2的取值范围是[63,83]．11．(2019·荆门模拟)已知直线l：x＋3y＋4＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心在x轴上且在直线l的右上方．(1)求圆C的方程；(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆C 的方程为(x －a )2＋y 2＝4， 由|a ＋4|1＋3＝2得a ＝0或a ＝－8， 又圆心在直线l 的右上方，故a ＝0. 故所求圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)设过点M (1,0)的直线方程为x ＝ty ＋1，由⎩⎨⎧x ＝ty ＋1，x 2＋y 2＝4⇒(t 2＋1)y 2＋2ty －3＝0，故y 1＋y 2＝－2t t 2＋1，y 1y 2＝－3t 2＋1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (m,0)， 由k AN ＋k BN ＝0⇒y 1x 1－m ＋y 2x 2－m＝0⇒y 1(x 2－m )＋y 2(x 1－m )＝0⇒y 1(ty 2＋1－m )＋y 2(ty 1＋1－m )＝0，即2ty 1y 2＋(1－m )(y 1＋y 2)＝0，故2t ·－3t 2＋1＋(1－m )－2tt 2＋1＝0对任意t ∈R 恒成立，即(8－2m )t ＝0恒成立，故m ＝4即N (4,0)．所以存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB .N 点坐标为(4,0)．12．(2019·南平模拟)已知圆M 满足：①被y 轴分成两段圆弧，弧长的比为3∶1；②截x 轴所得的弦长为2.(1)求圆心M 的轨迹方程；(2)求圆心M 到直线l ：2x －y ＝0的距离最小的圆的方程． 解：(1)设圆心M (x ，y )，半径为r ，∵圆M 被y 轴分成两段圆弧的弧长比为3∶1， ∴圆心M 到y 轴的距离|x |＝2r 2.① ∵圆M 截x 轴所得的弦长为2， ∴圆心M 到x 轴的距离|y |＝r 2－1，②由①②消去r 得2x 2－y 2＝1，即x 212－y 2＝1.∴圆心M 的轨迹方程为x 212－y 2＝1.(2)设直线2x －y ＋c ＝0与双曲线x 212－y 2＝1相切．联立方程组⎩⎨⎧y ＝2x ＋c ，2x 2－y 2＝1，消y 得2x 2＋4cx ＋c 2＋1＝0，令Δ＝16c 2－8c 2－8＝0，得c ＝±1.∴当c ＝1时，方程组⎩⎨⎧ y ＝2x ＋c ，2x 2－y 2＝1的解为⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1， 即切点坐标为(－1，－1)， 此时M (－1，－1)，r ＝2， 故圆M 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2.当c ＝－1时，方程组⎩⎨⎧y ＝2x ＋c ，2x 2－y 2＝1的解为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1， 即切点坐标为(1,1)， 此时M (1,1)，r ＝ 2.故圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.∴圆心M 到直线l ：2x －y ＝0的距离最小的圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.。

一、选择题1．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝0解析：选A 由题意知直线l 与直线PQ 垂直，所以k l ＝－1k PQ ＝－14－21－3＝1. 又因为直线l 经过PQ 的中点(2,3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.2．(2013·长春模拟)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A.1710B.175C ．8D ．2解析：选D ∵直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，∴63＝m 4≠－143，∴m ＝8，即直线6x ＋my ＋14＝0为3x ＋4y ＋7＝0，∴两平行直线间的距离为|7＋3|32＋42＝2.3．过点P (0,1)与圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是( )A ．x ＝0B ．y ＝1C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0解析：选C 圆x 2＋y 2－2x －3＝0的圆心为(1,0)，被圆截得的弦最长的直线过(1,0)点，又直线过点P (0,1)，所以直线方程为x ＋y －1＝0.4．(2013·广东高考)直线l 垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：选A 因为所求直线l (设斜率为k )垂直于直线y ＝x ＋1，所以k ·1＝－1，所以k ＝－1.设直线l 的方程为y ＝－x ＋b (b ＞0)，即x ＋y －b ＝0，所以圆心到直线的距离为|－b |2＝1，所以b ＝ 2.故l 的方程为x ＋y －2＝0. 5．(2013·天津高考)已知过点P (2,2) 的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切， 且与直线ax －y ＋1＝0垂直， 则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2D.12解析：选C 由切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，得过点P (2，2)与圆心(1,0)的直线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以2－02－1＝a ，解得a ＝2. 6．过坐标原点且与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相切的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x ＋y ＝0或x －y ＝0 C ．x －y ＝0D ．x ＋3y ＝0或x －3y ＝0解析：选B 当直线的斜率k 不存在时，过原点的直线方程为x ＝0，因为圆心(2,0)到此直线的距离2>2(圆的半径)，此时不合题意；当斜率k 存在时，设过原点的直线方程为kx －y ＝0，要使该直线与圆相切，则有|2k |k 2＋1＝2，解得k ＝±1.所以，切线方程为x ＋y＝0或x －y ＝0.7．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：选B 圆C 2的圆心与圆C 1的圆心关于直线x －y －1＝0对称，设圆C 2的圆心为(a ，b )，则b －1a ＋1＝－1⇒a ＋b ＝0，且⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，b ＋12在直线x －y －1＝0上，解得a ＝2，b ＝－2.所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.8．由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(1,3)解析：选B 根据切线长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知|PT |＝ |PC |2－1，故|PT |最小时，即|PC |最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x－4)，即y ＝－x ＋2.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)．9．(2013·湖南高考)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A ．2B ．1C.83D.43解析：选D 以AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)，得△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，设AP ＝x ，从而P (x,0)，x ∈(0,4)，由光的几何性质可知点P 关于直线BC 、AC 的对称点P 1(4，4－x )、P 2(－x,0)与△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43共线，所以4343＋x ＝43－4－x 43－4，求得x ＝43，即AP ＝43.10．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l 1：2x －y ＋a ＝0，l 2：2x －y ＋a 2＋1＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4＝0“相切”，则a 应满足( )A ．a ＞7或a ＜－3B ．a ＞6或a ＜－ 6C ．－3≤a ≤－6或6≤a ≤7D ．a ≥7或a ≤－3解析：选C 依题意知：当两平行线与圆都相交时，由⎩⎪⎨⎪⎧ |2×－1＋a |5＜5，|2×－1＋a 2＋1|5＜5，得－6＜a ＜6； 两条直线都和圆相离时，由⎩⎪⎨⎪⎧|2×－1＋a |5＞5，|2×－1＋a 2＋1|5＞5，得a ＜－3或a ＞7，所以两条直线和圆“相切”时a 应满足－3≤a ≤－6或6≤a ≤7. 二、填空题11．(2013·山东高考)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．解析：最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心矩d ＝3－22＋1－22＝2，所以最短弦长为2r 2－d 2＝222－22＝2 2.答案：2 212．(2013·湖北高考)已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________.解析：直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2是单位圆x 2＋y 2＝1在第一象限部分的切线．圆O ：x 2＋y 2＝5的圆心到直线l 的距离为1，故过原点O 与l 平行的直线l 1与圆O 的2个交点到直线l 的距离为1，l 1关于l 对称的直线l 2与圆O 也有2个交点，共4个．答案：413．已知直线l 1：ax －y ＋2a ＋1＝0和l 2：2x －(a －1)y ＋2＝0(a ∈R )，则l 1⊥l 2的充要条件是a ＝________.解析：l 1⊥l 2的充要条件是2a ＋(a －1)＝0，解得a ＝13.答案：1314．当直线l ：y ＝k (x －1)＋2被圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝5截得的弦最短时，k 的值为________．解析：由题易知直线l 过定点P (1,2)，圆心C (2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C 与点P 的连线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦最短，则k ×2－11－2＝－1，得k ＝1.答案：115．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________.解析：对于圆C 1与圆C 2的方程，配方得圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，则C 1(m ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，m )，r 2＝2.如果圆C 1与圆C 2相外切，那么有|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即m ＋12＋m ＋22＝5，则m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2. 所以当m ＝－5或m ＝2时，圆C 1与圆C 2相外切． 答案：－5或216．已知圆C 1的方程为(x ＋3)2＋(y －1)2＝4，若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，则直线l 的方程为______________．解析：圆C 1的圆心C 1(－3,1)，半径r ＝2.由题知l 的斜率存在，可设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0.C 1(－3,1)到直线l 的距离d ＝|－3k －1－4k |k 2＋1＝|7k ＋1|k 2＋1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|7k ＋1|k 2＋12＝4，解得k ＝0或k ＝－724. ∴直线l 的方程为y ＝0或y ＝－724(x －4)．答案：y ＝0或y ＝－724(x －4)。

课时跟踪检测（二十四） 直线与圆的位置关系一、题组对点训练对点练一 直线与圆的位置关系1．直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝9的位置关系是( ) A ．过圆心 B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心解析：选D 圆心(1，－1)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离d ＝|3×1＋4×(－1)＋12|32＋42＝115，0<d <r ，所以相交但不过圆心．2．直线l: y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y ＝0的关系是( ) A ．相离 B ．相切或相交 C ．相交D ．相切解析：选C l 过定点A (1,1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A 在圆上，∵直线x ＝1过点A 且为圆的切线，又l 斜率存在，∴l 与圆一定相交，故选C.3．求实数m 的取值范围，使直线x －my ＋3＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0分别满足： (1)相交；(2)相切；(3)相离．解：圆的方程化为标准式为(x －3)2＋y 2＝4， 故圆心(3,0)到直线x －my ＋3＝0的距离d ＝6m 2＋1，圆的半径r ＝2. (1)若相交，则d <r ，即6m 2＋1<2，所以m ∈(－∞，－22)∪(22，＋∞)． (2)若相切，则d ＝r ，即6m 2＋1＝2，所以m ＝±2 2. (3)若相离，则d >r ，即6m 2＋1>2，所以m ∈(－22，22)．对点练二 圆的切线问题4．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9解析：选D 圆心到直线3x －4y ＋5＝0的距离d ＝|6＋4＋5|32＋(－4)2＝3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.5．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( ) A ．1 B ．2 2 C.7D ．3解析：选C 因为切线长的最小值是当直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线y ＝x ＋1的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，所以切线长的最小值为d 2－r 2＝8－1＝7，故选C.6．若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________． 解析：设切线斜率为k ，则由已知得： k ·k OP ＝－1. ∴k ＝－12.∴切线方程为x ＋2y －5＝0.答案：x ＋2y －5＝07．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，过点P (2，－1)作圆C 的切线，切点为A ，B .求直线PA ，PB 的方程．解：切线的斜率存在，设切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 圆心到直线的距离等于2，即|－k －3|k 2＋1＝2， ∴k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1，故所求的切线方程为y ＋1＝7(x －2)或y ＋1＝－(x －2)， 即7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0. 对点练三 圆的弦长问题8．设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 解析：选D 直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝1的圆心C (0,0)，则|AB |＝2. 9.如图，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 交于M ，N 两点．(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程． 解：(1)设圆A 的半径为r .∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴r ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为x ＝－2， 易得|MN |＝219，符合题意； ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0. 取MN 的中点Q ，连接AQ ，则AQ ⊥MN . ∵|MN |＝219， ∴|AQ |＝20－19＝1， ∴|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. 二、综合过关训练1．已知点(a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ≠0)的外部，则直线ax ＋by ＝r 2与C 的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．相交D ．不确定解析：选C 由已知a 2＋b 2＞r 2，且圆心到直线ax ＋by ＝r 2的距离为d ＝r 2a 2＋b2，则d ＜r ，故直线ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系是相交．2．直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A ．－2或12 B ．2或－12 C ．－2或－12D ．2或12解析：选D 因为直线3x ＋4y ＝b 与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切，所以|3＋4－b |32＋42＝1⇒b ＝2或12，故选D.3．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：选B 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，r 2＝2－a ，则圆心(－1,1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝ 2.由22＋(2)2＝2－a ，得a ＝－4. 4．若点P (2，－1)为圆C ：(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．2x －y －5＝0D ．x －y －3＝0解析：选D 圆心是点C (1,0)，由CP ⊥AB ，得k AB ＝1，又直线AB 过点P ，所以直线AB 的方程为x －y －3＝0.5．过点P (－1,6)且与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝4相切的直线方程是____________________． 解析：当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y －6＝k (x ＋1)，则d ＝|2－6－k (－3＋1)|1＋k 2＝2，解得k ＝34，此时，直线方程为： 4y －3x －27＝0；当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x ＝－1，验证可知，符合题意．答案：4y －3x －27＝0或x ＝－16．直线l: y ＝x ＋b 与曲线C: y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围是________．解析：如图所示，y ＝1－x 2是一个以原点为圆心，长度1为半径的半圆，y ＝x ＋b 是一个斜率为1的直线，要使两图有两个交点，连接A (－1,0)和B (0,1)，直线l 必在AB 以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l 的b 值，当直线l 与AB 重合时，b ＝1；当直线l 与半圆相切时，b ＝ 2.所以b 的取值范围是[1，2)．答案：[1，2)7．(1)圆C 与直线2x ＋y －5＝0切于点(2,1)，且与直线2x ＋y ＋15＝0也相切，求圆C 的方程；(2)已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．解：(1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. ∵两切线2x ＋y －5＝0与2x ＋y ＋15＝0平行， ∴2r ＝|15－(－5)|22＋12＝45， ∴r ＝25， ∴|2a ＋b ＋15|22＋12＝r ＝25， 即|2a ＋b ＋15|＝10， ① |2a ＋b －5|22＋12＝r ＝25， 即|2a ＋b －5|＝10， ②又∵过圆心和切点的直线与切线垂直， ∴b －1a －2＝12， ③ 由①②③解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴所求圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝20.(2)将x ＝3－2y 代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，得5y 2－20y ＋12＋m ＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由根与系数的关系可知y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m5.∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2，∴x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝－27＋4m5， 故－27＋4m 5＋12＋m5＝0，解得m ＝3. 此时Δ＞0，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，半径为52.8．已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆C: x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点．(1)求四边形PACB 面积的最小值；(2)直线上是否存在点P ，使∠BPA ＝60°，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)如图，连接PC ，由P 点在直线3x ＋4y ＋8＝0上，可设P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x ，－2－34x .所以S 四边形PACB ＝2S △PAC ＝2×12×|AP |×|AC |＝|AP |.因为|AP |2＝|PC |2－|CA |2＝|PC |2－1， 所以当|PC |2最小时，|AP |最小．因为|PC |2＝(1－x )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2＋34x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋12＋9.所以当x ＝－45时，|PC |2min ＝9.所以|AP |min ＝9－1＝2 2.即四边形PACB 面积的最小值为2 2.(2)由(1)知圆心C 到P 点距离3为C 到直线上点的最小值，若∠APB ＝60°易得需PC ＝2，这是不可能的，所以这样的点P 是不存在的．。

2021年高考数学总复习 第9章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系课时跟踪检测 理（含解析）新人教版1．(xx·杭州质检)设m ∈R ，则“m ＝5”是“直线l ：2x －y ＋m ＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝5恰好有一个公共点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若直线与圆只有一个公共点，则|m |5＝5解得m ＝±5，所以m ＝5是直线与圆有一个公共点的充分不必要条件，故选A.2．若圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋2＝0D ．x －y ＋2＝0解析：选D 圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0即(x ＋2)2＋(y －2)2＝4，故圆心C 的坐标为(－2,2)．圆O 的圆心为O (0,0)，则直线l 过OC 的中点(－1,1)且垂直于OC .由k OC ＝－1，故直线l 的斜率为1，直线l 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.故选D.3．(xx·太原模拟)过原点且倾斜角为60°的直线被圆：x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( )A. 3 B ．2 C. 6D ．2 3解析：选D 过原点且倾斜角为60°的直线方程为y ＝3x ，圆的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心为(0,2)，半径为2.圆心到直线的距离为1，由半径、圆心距和弦的一半构成的直角三角形可得弦的一半为3，因此弦长为23，故选D.4．(xx·龙岩质检)直线x ＋3y －23＝0与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，则OA →·OB →＝( )A ．4B ．3C ．2D ．－2解析：选C 由⎩⎨⎧x ＋3y －23＝0，x 2＋y 2＝4消去y 整理得x 2－3x ＝0，解得x ＝0或x ＝ 3.设A (0,2)，B (3，1)，则OA →·OB →＝2，故选C.5．(xx·重庆高考)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17解析：选A 圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值．又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－4＝2－32＋－3－42－4＝52－4，故选A.6．(xx·长春调研)已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ． [3，22)解析：选C 当|OA →＋OB →|＝33|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)的距离为1，此时k ＝2；当k ＞2时，|OA →＋OB →|＞33|AB →|，又直线与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，故k ＜22，综上得k 的取值范围为[2，22)．故选C.7．(xx·山东高考)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．解析：2 2 最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心距d ＝3－22＋1－22＝2，所以最短弦长为2r 2－d 2＝222－22＝2 2.8．从圆x 2－2x ＋y 2－2y ＋1＝0外一点P (3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________．解析：35 由x 2－2x ＋y 2－2y ＋1＝0，得(x －1)2＋(y －1)2＝1，则圆心为C (1,1)，|PC |＝3－12＋2－12＝ 5.设两切点分别为B ，D ，则 |CD |＝1，所以sin ∠CPD ＝55，则cos ∠DPB ＝1－2sin 2∠CPD ＝1－25＝35，即两条切线夹角的余弦值为35.9．(xx·焦作模拟)过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________．解析：4 圆的方程可化为(x －3) 2＋(y －4)2＝5. 如图，连接OC ，PC ，|OC |＝5， |OP |＝OC 2－CP 2＝25， 因此|PQ |＝2|PO ||PC ||OC |＝4.10．(xx·福建质检)已知直线l ：y ＝－3(x －1)与圆O ：x 2＋y 2＝1在第一象限内交于点M ，且l 与y 轴交于点A ，则△MOA 的面积等于________．解析：34依题意，直线l ：y ＝－3(x －1)与y 轴的交点A 的坐标为(0，3)．由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1y ＝－3x －1得，点M 的横坐标x M ＝12，所以△MOA 的面积为S ＝12|OA |×x M ＝12×3×12＝34. 11．(2011·新课标全国高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．解：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，故可设圆C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋t －12＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0x －32＋y －12＝9，消去y 整理得2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得Δ＝56－16a －4a 2＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由OA ⊥OB ，可得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.12．(xx·泉州质检)已知点A (－2,0)，B (1,0)，平面内的动点P 满足|PA |＝2|PB |. (1)求点P 的轨迹E 的方程，并指出其表示的曲线的形状； (2)求曲线E 关于直线l 0：x －3y ＋3＝0对称的曲线E ′的方程；(3)是否存在实数m ，使直线l ：x ＋y －m ＝0与曲线E ′交于P ，Q 两点，且以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解：(1)设点P (x ，y )，由|PA |＝2|PB |得x ＋22＋y 2＝2x －12＋y 2.整理得(x －2)2＋y 2＝4，所以点P 的轨迹E 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.它表示以C (2,0)为圆心，以2为半径的圆．(2)设C (2,0)关于直线l 0的对称点为C ′(x 0，y 0)．则⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0－2·13＝－1x 0＋22－3y2＋3＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1y 0＝3，所以C ′(1,3)．所以E ′的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －m ＝0x －12＋y －32＝4消去y 整理得，2x 2－2(m －2)x ＋m 2－6m ＋6＝0.由直线与圆相交得Δ＝4(m －2)2－8(m 2－6m ＋6)＞0， 整理得m 2－8m ＋8＜0.①设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝m －2，x 1x 2＝m 2－6m ＋62.当以PQ 为直径的圆经过原点O 时，有OP ⊥OQ ，所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0.② 又y 1y 2＝(m －x 1)(m －x 2)＝m 2－(x 1＋x 2)m ＋x 1x 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4m ＋6＝(m －2)2＋2＞0.这与②式矛盾，故不存在实数m 满足条件.1．(xx·江西高考)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A.33B ．－33C ．±33D ．－ 3解析：选B 曲线y ＝1－x 2的图象如图所示，若直线l 与曲线相交于A ，B 两点，则直线l 的斜率k ＜0，设l ：y ＝k (x －2)，则点O 到l 的距离d ＝－2kk 2＋1.又S△AOB＝12|AB |·d ＝12×21－d 2·d ＝1－d2·d 2≤1－d 2＋d 22＝12，当且仅当1－d 2＝d 2，即d 2＝12时，等号成立．所以d 2＝2k 2k 2＋1＝12，解得k 2＝13，所以k ＝－33.故选B.2．(xx·黄冈中学适应性考试)圆C 过坐标原点，圆心在x 轴的正半轴上．若圆C 被直线x －y ＝0截得的弦长为22，则圆C 的方程是________．解析：(x －2)2＋y 2＝4 依题意，设圆心坐标是(a,0)，其中a ＞0，半径为r ＝a ，则圆心到直线x －y ＝0的距离d ＝a2，于是有⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝a 2，整理得a 2＝4，解得a ＝2.因此所求圆C 的方程是(x －2)2＋y 2＝4.3．(xx·长沙模拟)已知两点M (－1,0)，N (1,0)，直线l ：3x ＋4y －m ＝0. (1)l 上存在点P 满足|PM |＝|PN |＝2，则m 的值是______； (2)l 上存在点P 满足PM →·PN →＝0，则m 的取值范围是______．解析：±4 [－5,5] (1)由|PM |＝|PN |得点P 应位于线段MN 的垂直平分线x ＝0上，又点P 位于直线3x ＋4y －m ＝0上，因此点P (0，m 4)；注意到|PM |2＋|PN |2＝|NM |2＝4，∴MP →·NP→＝0，(1，m 4)·(－1，m 4)＝1－m 216＝0，m ＝±4.(2)由PM →·PN →＝0得点P 应位于以MN 为直径的圆周x 2＋y 2＝1上，又点P 位于直线3x ＋4y －m ＝0上，因此直线3x ＋4y －m ＝0与圆x 2＋y 2＝1必有公共点，圆心(0,0)到直线3x ＋4y －m ＝0的距离应不超过半径1，即|m |5≤1，解得－5≤m ≤5，即m 的取值范围是[－5,5]．4．(xx·四川高考)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点．直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)设Q (m ，n )是线段MN 上的点，且2|OQ |2＝1|OM |2＋1|ON |2，请将n 表示为m 的函数．解：(1)将y ＝kx 代入x 2＋(y －4)2＝4中，得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.(*) 由Δ＝(－8k )2－4(1＋k 2)×12＞0，得k 2＞3，所以k ＞3或k ＜－ 3. 所以k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．(2)因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)，则|OM |2＝(1＋k 2)x 21，|ON |2＝(1＋k 2)x 22.又|OQ |2＝m 2＋n 2＝(1＋k 2)m 2. 由2|OQ |2＝1|OM |2＋1|ON |2，得 21＋k 2m2＝11＋k2x 21＋11＋k2x 22，即2m 2＝1x 21＋1x 22＝x 1＋x 22－2x 1x 2x 21x 22由(*)式可知，x 1＋x 2＝8k 1＋k 2，x 1x 2＝121＋k 2，所以m 2＝365k 2－3.因为点Q 在直线y ＝kx 上，所以k ＝n m ，代入m 2＝365k 2－3中并化简，得5n 2－3m 2＝36.由m 2＝365k 2－3及k 2＞3，可知0＜m 2＜3，所以－3＜m ＜0或0＜m ＜ 3. 根据题意，点Q 在圆C 内，则n ＞0， 所以n ＝36＋3m 25＝15m 2＋1805. 故n 与m 的函数关系为n ＝15m 2＋1805(m ∈(－3，0)∪(0，3))．42O37842 93D2 鏒u@26848 68E0 棠29974 7516 甖21852 555C 啜Qu27657 6C09 氉20597 5075 偵BL。

课时跟踪检测（四十五） 直线与圆、圆与圆的位置关系一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但不过圆心 C ．相交过圆心D ．相离解析：选B 由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|22＋12＝5＜6且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．2．(2018·某某一模)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，设p ：0＜r ≤3，q ：圆上至多有两个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B 圆心C 到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|1＋3＝2，当0＜r ＜1时，圆上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，圆上恰有一个点到直线的距离为1；当1＜r ＜3时，圆上有两个点到直线的距离为1.∴当q 成立时，0＜r ＜3，而p ：0＜r ≤3，∴q ⇒p ，而p ⇒/ q ，∴p 是q 的必要不充分条件，故选B.3．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9D ．－11解析：选C 圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m ＜25)．从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9.4．(2018·某某五校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2,1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，则当△OP Q 的面积最大时，直线l 的方程为( )A ．x －y －3＝0或7x －y －15＝0B ．x ＋y ＋3＝0或7x ＋y －15＝0C ．x ＋y －3＝0或7x －y ＋15＝0D ．x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0解析：选D 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P ，Q 的坐标分别为(2，5)，(2，－5)，所以S △OP Q ＝12×2×25＝2 5.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝⎛⎭⎪⎫k ≠12，则圆心O 到直线l 的距离d ＝|2k －1|1＋k2，由平面几何知识得|P Q|＝29－d 2，则S △OP Q ＝12×|P Q |·d ＝12×29－d 2×d ＝9－d 2d 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫9－d 2＋d 222＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OP Q 取得最大值92.因为25＜92，所以S △OP Q 的最大值为92，此时⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k －1|1＋k 22＝92，解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0.故选D. 5．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________. 解析：设直线上一点为P ，切点为Q ，圆心为M ，则|P Q|即切线长，|M Q|为圆M 的半径，长度为1，|P Q|＝|PM |2－|M Q|2＝|PM |2－1.要使|P Q|最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离，设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝|3－0＋1|12＋－12＝2 2.所以|PM |的最小值为2 2.所以|P Q|＝|PM |2－1≥222－1＝7，即切线长的最小值为7.答案：7二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·某某一模)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：选B 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1－3或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1＋3，∴|AB |＝23，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，∵圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，即(x －1)2＋(y －1)2＝4，∴其圆心为C (1,1)，圆的半径r ＝2，圆心C (1,1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1 .∵d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝r 2，∴k ＋22k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0.故选B.2．若直线l ：y ＝kx ＋1(k ＜0)与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－2y ＋3＝0相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 因为圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝2， 所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为2， 因为直线l 与圆C 相切．所以|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝±1，因为k ＜0，所以k ＝－1， 所以直线l 的方程为x ＋y －1＝0.圆心D (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22＜3，所以直线l 与圆D 相交．3．(2018·某某调研)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14解析：选B 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC |＝1－12＋－2－02＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.4．(2018·某某调研)已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1 相外切，则ab 的最大值为( )A.62B.32C.94D ．2 3解析：选C 由圆C 1与圆C 2相外切， 可得a ＋b2＋－2＋22＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9，根据基本不等式可知ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b ＝32时等号成立，即ab 的最大值为94.5．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率为( )A.33 B ．－33C ．±33D ．－ 3解析：选B 由S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB＝12sin ∠AOB ， 可知当∠AOB ＝π2时，△AOB 的面积最大，为12.此时点O 到直线AB 的距离d ＝22. 设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)(k ＜0)， 即kx －y －2k ＝0. 则d ＝|2k |k 2＋1＝22，解得k ＝－33.6．(2019·某某模拟)已知k ∈R ，点P (a ，b )是直线x ＋y ＝2k 与圆x 2＋y 2＝k 2－2k ＋3的公共点，则ab 的最大值为( )A ．15B ．9C ．1D ．－53解析：选B 由题意得|－2k |2≤k 2－2k ＋3，且k 2－2k ＋3＞0，解得－3≤k ≤1.因为2ab ＝(a ＋b )2－(a 2＋b 2)＝4k 2－(k 2－2k ＋3)＝3k 2＋2k －3＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋132－103，所以当k ＝－3时，2ab 取得最大值18，即ab 取得最大值9.7．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．解析：由x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0得(x ＋1)2＋(y －2)2＝9， 所以圆C 的圆心坐标为C (－1,2)，半径为3，由AC ⊥BC ，可知△ABC 是直角边长为3的等腰直角三角形，故可得圆心C 到直线x －y＋a ＝0的距离为322，由点到直线的距离公式可得|－1－2＋a |2＝322，解得a ＝0或a ＝6. 答案：0或68．(2018·某某周测)若点P 在圆C 1：(x －2)2＋(y －2)2＝1上，点Q 在圆C 2：(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4上，则|P Q|的最小值是________．解析：因为圆C 1：(x －2)2＋(y －2)2＝1的圆心坐标为C 1(2,2)，半径r 1＝1，圆C 2：(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心坐标为C 2(－2，－1)，半径r 2＝2，则|C 1C 2|＝5＞2＋1，所以两圆的位置关系是相离．又点P 在圆C 1上，点Q 在圆C 2上，则|P Q|的最小值是|C 1C 2|－(r 1＋r 2)＝5－3＝2.答案：29．已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12. (1)试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； (2)求直线l 被圆C 截得的最短弦长．解：(1)证明：因为不论k 为何实数，直线l 总过定点P (0,1)，而|PC |＝5＜23，所以点P (0,1)在圆C 的内部．所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．(2)由平面几何知识知过圆内定点P (0,1)的弦，只有与PC (C 为圆心)垂直时才最短，而此时点P (0,1)为弦AB 的中点，由勾股定理，知|AB |＝212－5＝27，即直线l 被圆C 截得的最短弦长为27.10．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程； (2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程．解：把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1，C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件．当l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0， 则|－k －2＋3－k |k 2＋1＝2，解得k ＝－34.∴切线l 的方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0.(2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4，|PO |2＝x 2＋y 2，∵|PM |＝|PO |，∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2，整理得2x －4y ＋1＝0， ∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0 和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．1B ．3 C.19D.49解析：选A x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0，化为标准形式为(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0，化为标准形式为x 2＋(y －2b )2＝1.依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，则a 2＋2b2＝1＋2＝3，即a 2＋4b 2＝9，所以1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋4b 29＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋a 2b 2＋4b 2a 2≥19⎝⎛⎭⎪⎫5＋2a 2b 2·4b 2a 2＝1， 当且仅当a 2b 2＝4b 2a2，即a ＝±2b 时取等号，故1a 2＋1b2的最小值为1.2．(2018·某某十校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C (a,0)⎝⎛⎭⎪⎫a ＞－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍去)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB 成立．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k x －1得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0⇒k x 1－1x 1－t ＋k x 2－1x 2－t＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2k 2－4k 2＋1－2k 2t ＋1k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．故当点N 为(4,0)时，使得x 轴平分∠ANB .。

第1讲 直线与圆[考情考向分析] 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)．此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现．热点一 直线的方程及应用 1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式方程要求直线不能与x 轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． 3．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2(A 2＋B 2≠0)． (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2(A 2＋B 2≠0)． 例1 (1)已知直线l 1：x ·sin α＋y －1＝0，直线l 2：x －3y ·cos α＋1＝0，若l 1⊥l 2，则sin 2α等于( ) A.23 B ．±35 C ．－35 D.35 答案 D解析 因为l 1⊥l 2，所以sin α－3cos α＝0， 所以tan α＝3，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝2tan α1＋tan 2α＝35. (2)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为________．答案 3 2解析 由题意得，当k ≠0时，直线l 1：kx －y ＋2＝0的斜率为k ，且经过点A (0,2)，直线l 2：x ＋ky －2＝0的斜率为－1k，且经过点B (2,0)，且直线l 1⊥l 2，所以点P 落在以AB 为直径的圆C 上，其中圆心坐标为C (1,1)，半径为r ＝2， 由圆心到直线x －y －4＝0的距离为d ＝||1－1－42＝22，所以点P 到直线x －y －4＝0的最大距离为d ＋r ＝22＋2＝3 2.当k ＝0时，l 1⊥l 2，此时点P (2,2)．点P 到直线x －y －4＝0的距离d ＝|2－2－4|2＝2 2.综上，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为3 2.思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况． (2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．跟踪演练 1 (1)直线ax ＋(a －1)y ＋1＝0与直线4x ＋ay －2＝0互相平行，则实数a ＝________. 答案 2解析 当a ≠0时，a 4＝a －1a ≠1－2，解得a ＝2.当a ＝0时，两直线显然不平行．故a ＝2.(2)圆x 2＋y 2－2x －4y ＋3＝0的圆心到直线x －ay ＋1＝0的距离为2，则a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 B解析 因为(x －1)2＋()y －22＝2，所以|1－2a ＋1|1＋a 2＝2，所以a ＝0. 热点二 圆的方程及应用 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．例2 (1)圆心为(2,0)的圆C 与圆x 2＋y 2＋4x －6y ＋4＝0相外切，则C 的方程为( ) A ．x 2＋y 2＋4x ＋2＝0 B ．x 2＋y 2－4x ＋2＝0 C ．x 2＋y 2＋4x ＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＝0 答案 D解析 圆x 2＋y 2＋4x －6y ＋4＝0， 即(x ＋2)2＋(y －3)2＝9， 圆心为(－2,3)，半径为3. 设圆C 的半径为r .由两圆外切知，圆心距为(2＋2)2＋(0－3)2＝5＝3＋r ， 所以r ＝2.故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4， 展开得x 2＋y 2－4x ＝0.(2)已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的方程为( ) A.()x ＋32＋(y －1)2＝1B.()x －32＋()y ＋12＝1C.()x ＋32＋()y ＋12＝1D.()x －32＋(y －1)2＝1答案 C解析 到两直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋5＝0，y ＝－x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1.两平行线之间的距离为2，所以半径为1，从而圆M 的方程为()x ＋32＋()y ＋12＝1.故选C. 思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． (2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2 (1)(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． 答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．(2)(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________． 答案 x 2＋y 2－2x ＝0解析 方法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0. 方法二 画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形， 故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1， ∴所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1， 即x 2＋y 2－2x ＝0.热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法． (1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d <r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d >r ⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝r2消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0. 2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21，圆C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22，两圆心之间的距离为d ，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)d>r1＋r2⇔两圆外离．(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切．(3)|r1－r2|<d<r1＋r2⇔两圆相交．(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切．(5)0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含．例3 (1)(2018·杭州质检)设圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，则圆C1与圆C2的位置关系是( )A．外离B．外切C．相交D．内含答案 A解析圆心距为22＋(－2)2＝22>1＋1，故两圆外离．(2)(2018·湖州、衢州、丽水三地市模拟)若c∈R，则“c＝4”是“直线3x＋4y＋c＝0与圆x2＋y2＋2x－2y＋1＝0相切”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析将圆的方程化为标准方程，得(x＋1)2＋(y－1)2＝1，若直线与圆相切，则有|－1×3＋1×4＋c|＝1，解得c＝4或c＝－6，所以“c＝4”是“直线3x＋4y＋c＝0与圆x2 32＋42＋y2＋2x－2y＋1＝0相切”的充分不必要条件，故选A.思维升华(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．跟踪演练3 (1)已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0交于两点A，B，且△CAB为等边三角形，则圆C的面积为________．答案6π解析圆C化为(x－a)2＋(y－1)2＝a2－1，且圆心C(a,1)，半径R＝a2－1(a2>1)．∵直线y＝ax与圆C相交，且△ABC为等边三角形，∴圆心C 到直线ax －y ＝0的距离为R sin 60°＝32×a 2－1， 即d ＝|a 2－1|a 2＋1＝3(a 2－1)2.解得a 2＝7.∴圆C 的面积为πR 2＝π(7－1)＝6π.(2)如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)∪(1,3)B ．(－3,3)C ．[1,1]D ．[－3，－1]∪[1,3] 答案 D解析 圆心(a ，a )到原点的距离为|2a |，半径r ＝22，圆上的点到原点的距离为d .因为圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则圆(x －a )2＋(y －a )2＝8与圆x2＋y 2＝2有公共点，r ′＝2，所以r －r ′≤|2a |≤r ＋r ′，即1≤|a |≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1，所以实数a 的取值范围是[－3，－1]∪[1,3].真题体验1．(2016·山东改编)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是________． 答案 相交解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1＝a ， 圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2.∴M (0,2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标为N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝(1－0)2＋(1－2)2＝ 2.又r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1，∴r 1－r 2<|MN |<r 1＋r 2，∴两圆相交．2．(2016·上海)已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1，l 2的距离是________． 答案2553．(2018·全国Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 答案 2 2解析 由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4. ∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.4．(2018·全国Ⅲ改编)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是________． 答案 [2,6]解析 设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2.由已知条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的最大值为12|AB |·d max ＝6，△ABP 面积的最小值为12|AB |·d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]． 押题预测1．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43 B.⎝⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝13 C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43 D ．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝13押题依据 直线和圆的方程是高考的必考点，经常以选择题、填空题的形式出现，利用几何法求圆的方程也是数形结合思想的应用．答案 C解析 由已知得圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对的圆心角为2π3.设圆心坐标为(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝233，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43. 2．设m ，n 为正实数，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －4＝0与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0相切，则mn ( )A ．有最小值1＋2，无最大值B ．有最小值3＋22，无最大值C ．有最大值3＋22，无最小值D ．有最小值3－22，最大值3＋2 2押题依据 直线与圆的位置关系是高考命题的热点，本题与基本不等式结合考查，灵活新颖，加之直线与圆的位置关系本身承载着不等关系，因此此类题在高考中出现的可能性很大． 答案 B解析 由直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －4＝0与圆(x －2)2＋(y －2)2＝4相切，可得2|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝2，整理得m ＋n ＋1＝mn .由m ，n 为正实数可知，m ＋n ≥2mn (当且仅当m＝n 时取等号)，令t ＝mn ，则2t ＋1≤t 2，因为t >0，所以t ≥1＋2，所以mn ≥3＋2 2.故mn 有最小值3＋22，无最大值．故选B.3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________. 押题依据 本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路． 答案102解析 联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0， 故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为 |－5|a 2＋4a2＝5a(a >0)．故222－⎝⎛⎭⎪⎫5a 2＝22，解得a 2＝52， 因为a >0，所以a ＝102.A 组 专题通关1．若3π2<α<2π，则直线x cos α＋y sin α＝1必不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 令x ＝0，得y ＝sin α<0，令y ＝0，得x ＝cos α>0，直线过(0，sin α)，(cos α，0)两点，因而直线不过第二象限．2．设直线l 1：x －2y ＋1＝0与直线l 2：mx ＋y ＋3＝0的交点为A ，P ，Q 分别为l 1，l 2上任意两点，点M 为P ，Q 的中点，若|AM |＝12|PQ |，则m 的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3 答案 A解析 根据题意画出图形，如图所示．直线l 1：x －2y ＋1＝0 与直线l 2：mx ＋y ＋3＝0 的交点为A ，M 为PQ 的中点， 若|AM |＝12|PQ |，则PA ⊥QA ，即l 1⊥l 2，∴1×m ＋(－2)×1＝0，解得m ＝2.3．(2018·浙江省温州六校协作体联考)直线x ＋ay ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为( )A. 3B ．－33C ．±33D ．± 3答案 D解析 因为直线x ＋ay ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，所以圆心(0,0)到直线x ＋ay ＋2＝0的距离等于圆的半径，即212＋a2＝1，解得a ＝±3，故选D.4．与直线x －y －4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是( ) A ．(x ＋1)2＋()y ＋12＝2B ．(x －1)2＋()y ＋12＝4C ．(x －1)2＋()y ＋12＝2D ．(x ＋1)2＋()y ＋12＝4答案 C解析 圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0的圆心为(－1,1)，半径为2，过圆心(－1,1)与直线x －y －4＝0垂直的直线方程为x ＋y ＝0，所求的圆心在此直线上，又圆心(－1,1)到直线x －y －4＝0的距离为62＝32，则所求圆的半径为2，设所求圆心为(a ，b )，且圆心在直线x －y －4＝0的左上方，则|a －b －4|2＝2，且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1(a ＝3，b ＝－3不符合半径最小，舍去)，故所求圆的方程为(x －1)2＋()y ＋12＝2.5．已知点P 是直线l ：x ＋y －b ＝0上的动点，由点P 向圆O ：x 2＋y 2＝1引切线，切点分别为M ，N ，且∠MPN ＝90°，若满足以上条件的点P 有且只有一个，则b 等于( ) A ．2 B ．±2 C. 2 D ．± 2 答案 B解析 由题意得∠PMO ＝∠PNO ＝∠MON ＝90°，|MO |＝|ON |＝1， ∴四边形PMON 是正方形， ∴|PO |＝2，∵满足以上条件的点P 有且只有一个， ∴OP 垂直于直线x ＋y －b ＝0， ∴2＝|－b |1＋1，∴b ＝±2. 6．(2018·浙江省温州六校协作体联考)过点P (－3,0)作直线2ax ＋(a ＋b )y ＋2b ＝0(a ，b 不同时为零)的垂线，垂足为M ，已知点N (2,3)，则当a ，b 变化时，|MN |的取值范围是( )A ．[5－5，5＋5]B ．[5－5，5]C ．[5,5＋5]D ．[0,5＋5]答案 A 解析 直线2ax ＋(a ＋b )y ＋2b ＝0过定点D (1，－2)，因为PM ⊥MD ，所以点M 在以PD 为直径的圆上运动，易得此圆的圆心为(－1，－1)，半径为5，又因为点N 与圆心的距离为(－1－2)2＋(－1－3)2＝5，所以|MN |的取值范围为[5－5，5＋5]，故选A.7．已知圆C 1：x 2＋y 2－kx ＋2y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋ky －4＝0的公共弦所在直线恒过定点P (a ，b )，且点P 在直线mx －ny －2＝0上，则mn 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，14 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 答案 D 解析 由x 2＋y 2－kx ＋2y ＝0与x 2＋y 2＋ky －4＝0，相减得公共弦所在直线方程为kx ＋()k －2y －4＝0，即k (x ＋y )－()2y ＋4＝0，所以由⎩⎪⎨⎪⎧ 2y ＋4＝0，x ＋y ＝0，得x ＝2，y ＝－2，即P ()2，－2，因此2m ＋2n －2＝0，所以m ＋n ＝1，mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14(当且仅当m ＝n 时取最大值)． 8．直线x ＋y sin α－3＝0(α∈R )的倾斜角的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 解析 若sin α＝0，则直线的倾斜角为π2； 若sin α≠0，则直线的斜率k ＝－1sin α∈()－∞，－1]∪[1，＋∞， 设直线的倾斜角为θ，则tan θ∈()－∞，－1]∪[1，＋∞，故θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪ ⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4， 综上可得直线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.9．若过点(2,0)有两条直线与圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＋m ＋1＝0相切，则实数m 的取值范围是________．答案 (－1,1)解析 由题意过点(2,0)有两条直线与圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＋m ＋1＝0相切，则点(2,0)在圆外，即22－2×2＋m ＋1>0，解得m >－1；由方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋m ＋1＝0表示圆，则(－2)2＋22－4(m ＋1)>0，解得m <1.综上，实数m 的取值范围是(－1,1)．10．(2018·宁波模拟)已知直线l ：mx －y ＝1.若直线l 与直线x －my －1＝0平行，则m 的值为________；动直线l 被圆x 2＋2x ＋y 2－24＝0截得的弦长的最小值为________． 答案 －1 223解析 当m ＝0时，两直线不平行； 当m ≠0时，由题意得m 1＝－1－m，所以m ＝±1. 当m ＝1时，两直线重合，所以m ＝1舍去，故m ＝－1.因为圆的方程为x 2＋2x ＋y 2－24＝0，所以(x ＋1)2＋y 2＝25，所以它表示圆心为C (－1,0)，半径为5的圆．由于直线l ：mx －y －1＝0过定点P (0，－1)，所以过点P 且与PC 垂直的弦长最短，且最短弦长为252－(2)2＝223.11．(2018·浙江省稽阳联谊学校联考)已知直角坐标系中A (－2,0)，B (2,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹方程是____________；轨迹为________．答案 x 2＋y 2－12x ＋4＝0 以(6,0)为圆心，42为半径的圆解析 设点P 的坐标为(x ，y )，则由|PA |＝2|PB |，得|PA |2＝2|PB |2，即(x ＋2)2＋y 2＝2[(x －2)2＋y 2]，化简得x 2＋y 2－12x ＋4＝0，方程化为标准方程为(x －6)2＋y 2＝32，其表示一个圆．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2，点A (2,0)，若圆C 上存在点M ，满足|MA |2＋|MO |2≤10，则点M 的纵坐标的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－72，72 解析 设点M (x ，y )，因为|MA |2＋|MO |2≤10，所以(x －2)2＋y 2＋x 2＋y 2≤10，即x 2＋y 2－2x －3≤0，因为(x ＋1)2＋y 2＝2，所以y 2＝2－(x ＋1)2，所以x 2＋2－(x ＋1)2－2x －3≤0，化简得x ≥－12. 因为y 2＝2－(x ＋1)2，所以y 2≤74，所以－72≤y ≤72. B 组 能力提高13．已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)且|AB |＝2，过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点，下列三个结论：①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2 2.其中正确结论的序号是( ) A ．①② B．②③ C．①③ D．①②③答案 D解析 根据题意，利用圆中的特殊三角形，求得圆心及半径，即得圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，并且可以求得A (0，2－1)，B (0，2＋1)，因为M ，N 在圆O ：x 2＋y 2＝1上，所以可设M (cos α，sin α)， N (cos β，sin β)，所以|NA |＝(cos β－0)2＋[sin β－(2－1)]2＝2(2－1)(2－sin β)，|NB |＝(cos β－0)2＋[sin β－(2＋1)]2＝2(2＋1)(2－sin β)，所以|NA ||NB |＝2－1， 同理可得|MA ||MB |＝2－1， 所以|NA ||NB |＝|MA ||MB |， |NB ||NA |－|MA ||MB |＝12－1－(2－1)＝2，|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝22， 故①②③都正确．14．若对圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )，||3x －4y ＋a ||＋3x －4y －9的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－4B ．－4≤a ≤6C ．a ≤－4或a ≥6D ．a ≥6 答案 D解析 ||3x －4y －9表示圆上的点到直线l 1：3x －4y －9＝0的距离的5倍，||3x －4y ＋a 表示圆上的点到直线l 2：3x －4y ＋a ＝0的距离的5倍，所以||3x －4y ＋a ||＋3x －4y －9的取值与x ，y 无关，即圆上的点到直线l 1，l 2的距离与圆上点的位置无关，所以直线3x －4y ＋a ＝0与圆相离或相切，并且l 1和l 2在圆的两侧，所以d ＝||3－4＋a 5≥1，并且a >0，解得a ≥6，故选D.15．为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A ，B ，C 三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A ，B ，C 三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M 只能建在与A 村相距5 km ，且与C 村相距31 km 的地方．已知B 村在A 村的正东方向，相距3 km ，C 村在B 村的正北方向，相距3 3 km ，则垃圾处理站M 与B 村相距________ km.答案 2或7解析 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，则A (0,0)，B (3,0)，C (3,33)．由题意得垃圾处理站M 在以A (0,0)为圆心，5为半径的圆A 上，同时又在以C (3,33)为圆心，31为半径的圆C 上，两圆的方程分别为x 2＋y 2＝25和(x －3)2＋(y －33)2＝31. 由⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝25，(x －3)2＋(y －33)2＝31，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－52，y ＝532，∴垃圾处理站M 的坐标为(5,0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，532， ∴|MB |＝2或|MB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5322＝7， 即垃圾处理站M 与B 村相距2 km 或7 km. 16．点P (x ，y )是直线2x ＋y ＋4＝0上的动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的两条切线，A ，B 是切点，则△PAB 面积的最小值为________．答案 85解析 由圆的方程C ：x 2＋(y －1)2＝1，可得圆心C (0,1)，半径r ＝1，则圆心到直线2x ＋y ＋4＝0的距离为d ＝522＋12＝5，设|PC |＝m ，则m ≥5，则S △PAB ＝12|PA |2sin 2∠APC＝|PA |2sin∠APC cos∠APC＝|PA |2·1|PC |·|PA ||PC |＝()m 2－13m 2，令S ＝(m 2－1)3m 2，m ≥5，所以S ′＝m 2－1()3m 2－2m 2＋2m 3＝m 2－1()m 2＋2m 3>0，所以函数S 在[)5，＋∞上单调递增，所以S min ＝S ()5＝85.即(S △PAB )min ＝85.。