第二讲向量的距离与夹角余弦资料讲解

(3)n = norm(A,inf) 矩阵A的行范数(无穷大范数) 等于A的最大行之和.
(4)n = norm(A, 'fro' ) 矩阵A的Frobenius范数.
记为： N ( A)
a
2 ij
i,j=1
Matlab实验（二）
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3) 方阵的谱半径： 方阵A的特征值的绝对值之最大值称为A的
Matlab实验（二）
Apf蠓虫 d12 d13 d14 d15 d16 d23 d24 d25 d26 d34 d35 d36 d45 d46 d56
欧氏距离 0.1844 0.1000 0.2506 0.2608 0.2408 0.1020 0.0894 0.1077 0.1200 0.1523 0.1612 0.1414 0.0200 0.0566 0.0447
Matlab实验（二）
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d1=(pdist(Apf))'; d2=(pdist(Apf,'cityblock'))'; d3=pdist(Apf,'mahal'))';
输出结果为Apf蠓虫之间的各类距离为含有15个 元素的列向量
d=[d1,d2,d3]
将输出结果变化为15行3列的矩阵 结果见表1 同理可以求得Af蠓虫之间的各类距离。结果见表2
Matlab实验（二）
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例7. 下表是全国5个主要湖泊的实测数据
指标 总磷 湖泊 （mg/L）
耗氧量 (mg/L)
透明度 (m)
杭州西湖 130
10.30
0.35
武汉东湖 105
10.70
0.40
青海湖
3. A = zeros(n,m)：产生n×m维零矩阵
4. A = rand(n,m):产生n×m维随机矩阵（元素 在0～1之间）
Matlab实验（二）
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例如：A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0],如何实现各列元 素分别减去该列的均值？
解：输入 A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0]; B=ones(3,1)*mean(A) C=A -B
Matlab实验（二）
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特殊矩阵有： 1. E = eye(n): 表示n维单位矩阵, E = eye(m,n):
表示主对角元素为1,其余元素为零的 m n 矩阵.
1 0 0
1 0
例如：eye(3)=
0
1
0
;
eye(3,2) 0
1
0 0 1
0 0
2. A = ones(n,m)：表示元素全为1的n×m矩阵
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.Af
Af蠓 欧氏距 绝对距 马氏距 Af蠓 欧氏距 绝对距 马氏距
表
d12
0.1217
0.1400
1.4423
d37 0.2059 0.2800 1.3971
二
d13
0.1612
0.2200
2.3963
d38 0.2408 0.3400 1.6847
d14 0.1720 0.2400 1.4225
练习：计算a,b,c 的混合积 a(bc) 解： a,b,c 的混合积为：dot(a,cross(b,c))
Matlab实验（二）
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Matlab实验（二）
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计算向量之间夹角的余弦还可以用命令: B=1-pdist(A,’cosine’) 计算矩阵A的行向量之间的夹角余弦
如例1 a=[1,2,3], b=[-1,5,6],c=[1,0,1], 求a,b ,c之 间的夹角余弦
Pdist(X, 'Minkowski'，r) — 闵可夫斯基距离
Pdist(X, 'mahal') — 各n维向量的马氏距离
注意：
X是mn矩而。各列分别表示X中各行向量按如下顺序 的距离
(1,2),(1,3),…(1,m),(2,3),(2,4),…(2,m),…(m-1,m)
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例6. 现测得6只Apf和9只Af蠓虫的触长,翅长数据如下：
Apf：(1.14,1.78), (1.18,1.96), (1.20,1.86), (1.26,2.00), (1.28,2.00), (1.30,1.96) Af：(1.24,1.72), (1.36,1.74), (1.38,1.64), (1.38,1.82), (1.38,1.90), (1.40,1.70), (1.48,1.82),(1.54,1.82), (1.56,2.08) 计算两类蠓虫的各自之间的欧氏、绝对、马氏距离 解:输入
Matlab实验（二）
绝对距离 0.2200 0.1400 0.3400 0.3600 0.3400 0.1200 0.1200 0.1400 0.1200 0.2000 0.2200 0.2000 0.0200 0.0800 0.0600
马氏距离 2.5626 0.9883 2.4942 2.5318 2.5478 2.2507 1.5470 2.0430 3.0777 1.6534 1.5873 1.6025 0.5129 1.6616 1.1764
解：输入:A=[a;b;c]; B=1-pdist(A, 'cosine')
输出结果为:B = 0.9164 0.7559 0.4490
Matlab实验（二）
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2) 矩阵的范数有以下几种：
(1) n = norm(A) 矩阵A的普范数(2范数), = A’A的最大特征值的算术根 .
(2) n = norm(A,1) 矩阵A的列范数（1-范数） 等 于A的最大列之和.
还可以用什么命令?
mandist(c,b')=12
与绝对距离比较 你发现了什么？
dist(a,b')=4.6904, dist(a,c')= 2.8284 dist(c,b')= 7.3485
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(3)闵可夫斯基距离与马氏距离 设样本X是m个n维行向量所组成的矩阵，则有：
蠓
d15
0.2280
0.3200
1.5517
虫
d16
0.1612
0.1800
2.2078
之 间
d17
0.2600
0.3400
2.6110
的
d18
0.3162
0.4000
3.3635
距
d19
0.4817
0.6800
3.3694
离
d23
0.1020
0.1200
1.1705
d24 0.0825 0.1000 0.6601
1 2 3
例3.
将矩阵A
4
5
6
的行向量与列向量标准化
7 8 0
解：A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0];B=normr(A)，C=normc(A)
也可以输入命令：b(1)=norm(A(1,:)); 求出A矩阵个各行的 b(2)=norm(A(2,:)); 范数,转置后变为3*1 b(3)=norm(A(3,:)); 阶矩阵,
或者输入:A=[a;b;c];pdist(A)
Matlab实验（二）
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(2)绝对距离：
Matlab中命令：mandist(A,B)计算A中每 个行向量与B中每个列向量之间绝对距离， A的行向量维数必须等于B的列向量维数.
设样本X是m个n维行向量所组成的矩阵，则有：
Pdist(X, 'cityblock') — 各n维向量的绝对距离
谱半径 记为：(A)m ax{|i |}
4 6 0
例3.求矩阵 A 3 5 0 的谱半径
3 6 1
由eig(A)知矩阵A的特征值分别为1,-2,1。
(A)2
Matlab实验（二）
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4）矩阵的行向量、列向量标准化的命令： normr(A)，normc(A)
（normr(A)表示将矩阵每一行除以该行的范数）
其中 V是一个实对称正定矩阵，通常取样 本的协方差矩阵，当V=E时即为欧氏距离. 以上距离，在Matlab (6.)中有命令: pdist 具体如下：
Matlab实验（二）
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(1)欧氏距离：
如果A是aⅩm阶矩阵,B是m Ⅹb 阶矩阵.即 A的行向量维数等于B的列向量维数．
Matlab中命令：dist(A,B)计算A中每个行向 量与B中每个列向量之间欧氏距离．
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1. 向量的数量积，矢量积 设 ( x 1 , x 2 ,x . n ) . ; . ( y 1 , y 2 ,y . n ) ..,
Matlab 中数量积:dot(a,b);矢量积:cross(a,b) 例如：a=[1,2,3], b=[-1,5,6],c=[1,0,1]则
dot(a,b)=27, cross(a,c)=(2,2,-2)
dist(A,B)结果是一个a Ⅹb 阶上三角形矩阵 d(i, j)表示A的第i个行向量与B的第j个列向量 之间欧氏距离
Matlab实验（二）
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如果X是m个n维行向量所组成的矩阵，则有：
Pdist(X) — 样本X中各n维向量的欧氏距离
注意：X是mn矩阵 而pdist(X)是个一行
C
2 m
注意：X是mn矩阵 而pdist(X)是个一行
C
2 m
列
矩阵。各列分别表示X中各行向量按如下顺序
的距离
(1,2),(1,3),…(1,m),(2,3),(2,4),…(2,m),…(m-1,m)
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