(完整版)空间向量的夹角、距离计算同步练习题(教师版).doc

3.2立体几何中的向量方法第三课时空间向量与空间角、空间距离填一填1.空间角及向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝|a·b||a||b|⎝⎛⎦⎤0，π2直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|⎣⎡⎦⎤0，π2二面角设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α，β的法向量为n1，n2，则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2||n1||n2|[0，π]分类向量求法两点距设A，B为空间中任意两点，则d＝|AB|点面距设平面α的法向量为n，B∉α，A∈α，则B点到平面α的距离d＝|BA→·n||n|判一判1.2．若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos 〈n1，n2〉＝n1·n2|n1||n2|.(×)3．直线与平面所成角的范围为⎝⎛⎭⎫0，π2.(×)4．平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面内一点B所成向量AB→的长度．(×) 5．直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．(√) 6．若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．(√)7．直线l 与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l 与平面α所成的角．(×)8．二面角α－l －β的大小为θ，平面α，β的法向量分别为n 1，n 2，则θ＝〈n 1，n 2〉．(×)想一想1.若二面角α－l －β的两个半平面的法向量分别为n 1，n 2，则二面角的平面角与两法向量夹角〈n 1，n 2〉的关系．相等或互补．2．利用向量法求空间角时，关键需找到哪些量？ 关键要找到直线的方向向量与平面的法向量． 3．几何度量中最基本的距离是什么？两点之间的距离是几何度量中最基本的距离，计算任何图形之间的距离都可以转化为求两点之间的距离．思考感悟：练一练1．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则直线l 与平面α所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：A2．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为( )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．90° 答案：C3．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝2，DD 1＝3，则AC 与BD 1所成角的余弦值为( )A ．0 B.37070C ．－37070 D.7070答案：A 4．已知平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为( )A ．10B ．3 C.83 D.103 答案：D知识点一两异面直线所成的角1．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A.32B.155C.105D.33解析：以B 1为坐标原点，B 1C 1所在的直线为x 轴，垂直于B 1C 1的直线为y 轴，BB 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．由已知条件知B 1(0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(1,0,0)，A (－1，3，1)，则BC 1→＝(1,0，－1)，AB 1→＝(1，－3，－1)．所以cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝|AB 1→·BC 1→||AB 1→|·|BC 1→|＝25×2＝105.所以异面直线AB 1与BC 1所成的角的余弦值为105.答案：C2．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2a ，E 是AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )A.1010B.15C.31010D.35解析：以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．设AB ＝a ，则AD ＝a ，AA 1＝2a ，∴B (a ，a,0)，C (0，a,0)，D 1(0,0,2a )，E (a,0，a )，BE →＝(0，－a ，a )，CD 1→＝(0，－a,2a )，∴cos 〈BE →，CD 1→〉＝BE →·CD 1→|BE →||CD 1→|＝a 2＋2a 22a ×5a ＝31010.答案：知识点二直线和平面所成的角3.设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a ，α的法向量为n ，若〈a ，n 〉＝2π3，则l 与α所成的角为( )A.2π3B.π3C.π6D.5π6解析：如图所示，直线l 与平面α所成的角θ＝2π3－π2＝π6.答案：C4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，C 1D 1的中点，则A 1B 1与平面A 1EF 所成角的正弦值为( )A.62B.63C.64D. 2解析：建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体棱长为1，则A 1(1,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0，F ⎝⎛⎭⎫0，12，1，B 1(1,1,1)，A 1B 1→＝(0,1,0)，A 1E →＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1，A 1F →＝⎝⎛⎭⎫－1，12，0.设平面A 1EF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1E →＝0，n ·A 1F →＝0，即⎩⎨⎧12y －z ＝0，－x ＋y 2＝0.令y ＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，z ＝1，∴n＝(1,2,1)，cos 〈n ，A 1B 1→〉＝26＝63.设A 1B 1与平面A 1EF 的夹角为θ，则sin θ＝cos 〈n ，A 1B 1→〉＝63，即所求线面角的正弦值为63. 答案：B知识点三 二面角5.已知点P F 为PC 的中点，则二面角C －BF －D 的正切值为( )A.36B.34C.33D.233 解析：如图，连接AC ，AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，设P A ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，∴B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，0，12，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，D ⎝⎛⎭⎫－32，0，0，结合图形可知，OC →＝⎝⎛⎭⎫0，12，0且OC →为平面BOF 的一个法向量，BC →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0，FB →＝⎝⎛⎭⎫33，0，－12，可求得平面BCF 的一个法向量n＝(1，3，3)．∴cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277，∴tan 〈n ，OC →〉＝233.答案：D6．如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝3AF ，∠EBD ＝60°，则二面角F －BE －D 的余弦值为________．解析：∵DA ，DC ，DE 两两垂直，∴可建立空间直角坐标系Dxyz ，如图所示．∵∠EBD ＝60°，∴DEDB＝3，由AD ＝3，知BD ＝32，DE ＝36，AF ＝ 6.则A (3,0,0)F (3,0，6)，E (0,0，36)，B (3,3,0)，C (0,3,0)，∴BF →＝(0，－3，6)，EF →＝(3,0，－26)．设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z ，)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BF →＝0，n ·EF ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3y ＋6z ＝0，3x －26z ＝0， 令z ＝6，则n ＝(4,2，6)为平面BEF 的一个法向量．连接AC ，∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥AC .∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD .又BD ∩DE ＝D ，∴AC ⊥平面BDE ，∴平面BDE 的一个法向量为CA →＝(3，－3,0)，∴cos 〈n ，CA →〉＝n ·CA →|n ||CA →|＝626×32＝1313.由图可知二面角F －BE －D 为锐角，∴二面角F －BE －D 的余弦值为1313. 答案：1313知识点四 空间距离7.已知三棱锥＝2，OC ＝2，则点A 到直线BC 的距离为( )A. 2B. 3C. 5 D ．3 解析：以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题设可知A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,2)，∴AB →＝(－1,2,0)，BC →＝(0，－2,2)，|AB →|＝1＋4＋0＝5，|AB →·BC →||BC →|＝ 2.∴点A 到直线BC 的距离d ＝5－2＝ 3.答案：B8．已知在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是( )A.83B.38C.43D.34解析：以D 点为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则AB 1→＝(0,2,4)，AD 1→＝(－2,0,4)，设n ＝(x ，y ，z )是截面AB 1D 1的一个法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1→＝0，n ·AD 1→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋4z ＝0，－2x ＋4z ＝0，取z ＝1，则n ＝(2，－2,1)，点A 1到截面AB 1D 1的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |n |＝43. 答案：C基础达标一、选择题1．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．120°B ．60°C ．30°D ．以上均错解析：设直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 120°|＝12，又∵0<θ≤90°，∴θ＝30°.答案：C 2．若二面角α－l －β的大小为120°，那么平面α的法向量与平面β的法向量的夹角为( ) A ．120° B ．60° C ．120°或60° D ．30°或150° 解析：二面角为120°时，其法向量的夹角可能是60°，也可能是120°. 答案：C3．已知A (0,1,1)，B (2，－1,0)，C (3,5,7)，D (1,2,4)，则直线AB 和直线CD 所成角的余弦值为( )A.52266 B ．－52266C.52222 D ．－52222解析：AB →＝(2，－2，－1)，CD →＝(－2，－3，－3)，而cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝53×22＝52266，故直线AB 和CD 所成角的余弦值为52266.答案：A4．若O 为坐标原点，OA →＝(1,1，－2)，OB →＝(3,2,8)，OC →＝(0,1,0)，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为( )A.1652B ．214 C.53 D.532解析：由已知可得A (1,1，－2)，B (3,2,8)，于是P ⎝⎛⎭⎫2，32，3，又C (0,1,0)， 故|PC →|＝22＋⎝⎛⎭⎫122＋32＝532. 答案：D5．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则PC 与平面ABCD 所成角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析：建立如图的空间直角坐标系，则P (0,0,1)，C (1，2，0)，PC →＝(1，2，－1)，平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，∴cos 〈PC →，n 〉＝PC →·n |PC →|·|n |＝－12，∴〈PC →，n 〉＝120°，∴斜线PC 与平面ABCD 的法向量所在直线所成角为60°，∴斜线PC 与平面ABCD 所成角为30°. 答案：A6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则平面AB 1D 1与平面BDC 1的距离为( ) A.2a B.3aC.23aD.33a 解析：由正方体的性质易得平面AB 1D 1∥平面BDC 1，则两平面间的距离可转化为点B 到平面AB 1D 1的距离．显然A 1C ⊥平面AB 1D 1，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(1，－1,1)．又A (a,0,0)，B (a ，a,0)，BA →＝(0，－a,0)，则两平面间的距离d ＝|BA →·n ||n |＝a 3＝33a .答案：D7．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为( )A.64 B ．－64 C.104 D ．－104解析：取AC 的中点为E ，连接BE ，则BE ⊥AC ，建立如图所示的空间直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫32，12，0，D (0,0,1)，B (0,0,0)，E⎝⎛⎭⎫32，0，0，则AD →＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，1，BE →＝⎝⎛⎭⎫32，0，0，∵平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ，BE ⊥AC ，BE ⊂平面ABC ，∴BE ⊥平面AA 1C 1C ，∴BE →＝⎝⎛⎭⎫32，0，0为平面AA 1C 1C 的一个法向量．设AD 与平面AA 1C 1C 所成角为α，∵cos 〈AD →，BE →〉＝－342·32＝－64，又∵α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴sin α＝|cos 〈AD →，BE →〉|＝64. 答案：A8．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为6的正方体，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF .当A 1，E ，F ，C 1共面时，平面A 1DE 与平面C 1DF 所成的二面角的余弦值为( )A.32B.12C.15D.265解析：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图所示)，则A 1(6,0,6)，D (0,0,0)，C 1(0,6,6)，易知当E (6,3,0)，F (3,6,0)时，A 1，E ，F ，C 1共面，设平面A 1DE 的一个法向量为n 1＝(a ，b ，c )，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DE →＝6a ＋3b ＝0，n 1·DA 1→＝6a ＋6c ＝0，可取n 1＝(－1,2,1)，同理可得平面C 1DF 的一个法向量为n 2＝(2，－1,1)，故平面A 1DE 与平面C 1DF所成的二面角的余弦值为|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝12.故选B.答案：B二、填空题9．如图，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，∠P AD ＝90°，且P A ＝AD ，E ，F 分别是线段P A ，CD 的中点，若异面直线EF 与BD 所成的角为α，则cos α＝________.解析：设正方形ABCD 的边长为2，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B (2,0,0)，D (0,2,0)，E (0,0,1)，F (1,2,0)，则BD →＝(－2,2,0)，EF →＝(1,2，－1)，所以cos α＝|BD →·EF →||BD →||EF →|＝|－2＋4＋0|22×6＝36.答案：3610．正三角形ABC 与正三角形BCD 所在平面垂直，则二面角A －BD －C 的正弦值为________．解析：取BC 中点O ，连接AO ，DO .建立如右图所示空间直角坐标系，设BC ＝1，则A ⎝⎛⎭⎫0，0，32，B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，D ⎝⎛⎭⎫32，0，0. ∴OA →＝⎝⎛⎭⎫0，0，32为面BCD 的法向量，可进一步求出面ABD 的一个法向量n ＝(1，－3，1)，∴cos 〈n ，OA →〉＝55，sin 〈n ，OA →〉＝255.答案：25511.如图，正三角形ABC 与正三角形BCD 所在的平面互相垂直，则直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为________．解析：取BC 的中点O ，连接AO ，DO ，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设BC ＝1，则A ⎝⎛⎭⎫0，0，32，B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，D ⎝⎛⎭⎫32，0，0，所以BA →＝⎝⎛⎭⎫0，12，32，BD →＝⎝⎛⎭⎫32，12，0，CD →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，0.设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA →＝0，n ·BD →＝0，所以⎩⎨⎧12y ＋32z ＝0，32x ＋12y ＝0，取x ＝1，则y ＝－3，z ＝1，所以n ＝(1，－3，1)，所以cos 〈n ，CD →〉＝155，因此直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为155.答案：15512．棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则点D 到平面EFD 1B 1的距离为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系．则D 1(0,0,0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，1，E ⎝⎛⎭⎫12，1，1，B 1(1,1,0)，D (0,0,1)． ∴D 1F →＝⎝⎛⎭⎫0，12，1，D 1B 1→＝(1,1,0)， 则可求得平面EFD 1B 1的法向量为n ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，－12. 又D 1D →＝(0,0,1)，∴d ＝|D 1D →·n ||n |＝13.答案：13三、解答题 13.如图，已知ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∠ACB ＝90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值．解析：如图，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设CB ＝CA ＝CC 1＝1，则A (1,0,0)，B (0,1,0)，D 1⎝⎛⎭⎫12，12，1，F 1⎝⎛⎭⎫12，0，1，则AF 1→＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1，BD 1→＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1. 故|AF 1→|＝52，|BD 1→|＝62，则cos 〈BD 1→，AF 1→〉＝AF 1→·BD 1→|AF 1→||BD 1|＝3010.于是BD 1与AF 1所成角的余弦值为3010.14．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，M 为A 1B 1的中点，求BC 1与平面AMC 1所成角的正弦值．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0，)，M ⎝⎛⎭⎫0，a 2，2a ，C 1⎝⎛⎭⎫－32a ，a2，2a ，B (0，a,0)，故AC 1→＝⎝⎛⎭⎫－32a ，a 2，2a ，AM →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，2a ， BC 1→＝⎝⎛⎭⎫－32a ，－a 2，2a .设平在AMC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧AC 1→·n ＝0，AM →·n ＝0，∴⎩⎨⎧－32ax ＋a2y ＋2az ＝0，a 2y ＋2az ＝0，令y ＝2，则z ＝－22，x ＝0.∴n ＝⎝⎛⎭⎫0，2，－22. 又BC 1→＝⎝⎛⎭⎫－32a ，－a 2，2a ，∴cos 〈BC 1→，n 〉＝BC 1→·n |BC 1→||n |＝－a －a 3a ×92＝－269.设BC 1与平面AMC 1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈BC 1→，n 〉|＝269.能力提升15.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是»DF的．中点． (1)设P 是»CE上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小； (2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E －AG －C 的大小．解析：(1)因为AP ⊥BE ，AB ⊥BE ， AB ，AP ⊂平面ABP ，AB ∩AP ＝A ， 所以BE ⊥平面ABP ，又BP ⊂平面ABP ， 所以BE ⊥BP ，又∠EBC ＝120°，因此∠CBP ＝30°.(2)以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A (0,0,3)，E (2,0,0)，G (1，3，3)，C (－1，3，0)， 故AE →＝(2,0，－3)，AG →＝(1，3，0)，CG →＝(2,0,3)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的一个法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AG →＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－3z 1＝0，x 1＋3y 1＝0.取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(3，－3，2)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AG →＝0，n ·CG →＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝0，2x 2＋3z 2＝0.取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3，－3，－2)．所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝12.因此所求的角为60°.16．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，且侧棱AA 1⊥底面ABC ，侧棱长是3，D 是AC 的中点．(1)求证：B 1C ∥平面A 1BD ；(2)求二面角A 1－BD －A 的大小；(3)求直线AB 1与平面A 1BD 所成角的正弦值．解析：(1)证明：如图，设A 1B 与AB 1相交于点P ，连接PD ，则P 为AB 1的中点． 又D 为AC 的中点，∴PD ∥CB 1.又PD ⊂平面A 1BD ，CB 1⊄平面A 1BD ，∴B 1C ∥平面A 1BD .解法一 (2)∵在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，∴AA 1⊥BD .又BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面AA 1D ，∴A 1D ⊥BD ，∴∠A 1DA 是二面角A 1－BD －A 的平面角．∵AA 1＝3，AD ＝12AC ＝1，∴tan ∠A 1DA ＝3，∴∠A 1DA ＝60°，即二面角A 1－BD －A 的大小是60°. (3)作AM ⊥A 1D 于点M ，由(2)知BD ⊥平面AA 1D ，∴BD ⊥AM . 又A 1D ∩BD ＝D ，∴AM ⊥平面A 1DB .连接MP ，则∠APM 就是直线AB 1与平面A 1BD 所成的角． ∵在Rt △A 1AD 中，AA 1＝3，AD ＝1，∠A 1DA ＝60°，∴AM ＝32.又AP ＝12AB 1＝72，∴sin ∠APM ＝AM AP ＝217，∴直线AB 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为217.(1)同上．解法二：(2)如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，A 1(1,0，3)，B (0，3，0)，B 1(0，3，3)，∴A 1B →＝(－1，3，－3)，A 1D →＝(－1,0，－3)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B →＝－x ＋3y －3z ＝0，n ·A 1D →＝－x －3z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3z ，y ＝0，取n ＝(－3，0,1)， 由题意，知AA 1→＝(0,0，3)，是平面ABD 的一个法向量，∴cos 〈n ，AA 1→〉＝n ·AA 1→|n |·|AA 1→|＝12，即二面角A 1－BD －A 的大小是60°.(3)由(2)，得AB 1→＝(－1，3，3)，又n ＝(－3，0,1)为平面A 1BD 的一个法向量，则cos〈AB 1→，n 〉＝AB 1→·n |AB 1→|·|n |＝217.∴直线AB 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为217.。

课时跟踪检测（二十） 空间向量与空间角、距离层级一 学业水平达标1．已知平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为( )A ．10B ．3 C.83D.1032．已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23D.133．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成的角的正弦值为( )A ．－105 B.105 C ．－155D.1554．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝2，DD 1＝3，则AC 与BD 1所成角的余弦值为( )A ．0 B.37070 C ．－37070 D.70705．正方形ABCD 所在平面外有一点P ，PA ⊥平面ABCD .若PA ＝AB ，则平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°6．直线l 的方向向量a ＝(－2,3,2)，平面α的一个法向量n ＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为___________________________________________________________．7．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM ，D N 1〉＝________.8.如图正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是平面A 1B 1C 1D 1的中心，则BO 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为________．解析：建立空间直角坐标系如图，则B (1,1,0)，O ⎝⎛⎭⎫12，12，1，DA 1＝(1,0,1)是平面ABC 1D 1的一个法向量．又OB ＝⎝⎛⎭⎫12，12，－1， ∴BO 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为 |OB ·DA 1||OB |·|DA 1|＝1262×2＝36.答案：369.如图所示，已知在四面体ABCD 中，O 为BD 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝ 2.(1)求证：AO ⊥平面BCD ；(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值． 解：(1)证明：因为BO ＝DO ，AB ＝AD ， 所以AO ⊥BD .因为BO ＝DO ，BC ＝CD ， 所以CO ⊥BD .在△AOC 中，由已知可得AO ＝1，CO ＝3，而AC ＝2， 所以AO 2＋CO 2＝AC 2， 所以∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC . 因为BD ∩OC ＝O ，所以AO ⊥平面BCD .(2)以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,0,0)，C (0，3，0)，A (0,0,1)，BA ＝(－1,0,1)，CD ＝(－1，－3，0)，所以cos 〈BA ，CD 〉＝BA ·CD | BA ||CD |＝24，所以异面直线AB 与CD所成角的余弦值为24. 10.如图，四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ＝CD＝1，∠BAD ＝120°，∠ACB ＝90°.(1)求证：BC ⊥平面PAC ； (2)若二面角D -PC -A 的余弦值为55，求点A 到平面PBC 的距离． 解：(1)证明：∵PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BC ，∵∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ，又PA ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面PAC .(2)设AP ＝h ，取CD 的中点E ，则AE ⊥CD ，∴AE ⊥AB .又PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AE ，PA ⊥AB ，故建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0,0，h )，C32，12，0， D32，－12，0，B (0,2,0)， PC ＝⎝⎛⎭⎫32，12，－h ，DC ＝(0,1,0)，设平面PDC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧n 1·PC ＝0，n 1·DC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧32x 1＋12y 1－hz 1＝0，y 1＝0，取x 1＝h ，∴n 1＝⎝⎛⎭⎫h ，0，32. 由(1)知平面PAC 的一个法向量为BC ＝32，－32，0， ∴|cos n 1，BC|＝32h h 2＋34×3＝55， 解得h ＝3，同理可求得平面PBC 的一个法向量n 2＝(3，3，2)， 所以，点A 到平面PBC 的距离为 d ＝|AP ·n 2||n 2|＝234＝32. 层级二 应试能力达标1.如图所示，已知四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝AC ，点F 为PC 的中点，则二面角C -BF -D 的正切值为( )A.36 B.34C.33D.233解析：选D 如图所示，设AC 与BD 交于O ，连接OF .以O 为坐标原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O -xyz .设PA ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3， 所以O (0,0,0)，B⎝⎛⎭⎫32，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，0，12，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，OC ＝⎝⎛⎭⎫0，12，0，易知OC 为平面BDF 的一个法向量，由BC ＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0，FB ＝⎝⎛⎭⎫32，0，－12，可得平面BCF 的一个法向量为n ＝(1，3，3)．所以cos n ，OC ＝217，sinn ，OC＝277，所以tan n ，OC ＝233.2．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A.64 B.104 C.32 D.34解析：选A 建立如图的空间直角坐标系，可知∠CB 1C 1＝60°，∠DC 1D 1＝45°，设B 1C 1＝1，CC 1＝3＝DD 1.∴C 1D 1＝3，则有B 1(3，0,0)，C (3，1，3)，C 1(3，1,0)，D (0,1，3)．∴B C 1＝(0,1，3)，C D 1＝(－3，0，3)． ∴cos 〈B C 1，C D 1〉＝B C 1·C D1|B C 1||C D 1|＝326＝64.3．在三棱锥P -ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12PA ，点O ，D 分别是AC ，PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A.216 B.833 C.21060 D.21030解析：选D 不妨设AB ＝BC ＝12PA ＝2，∵OP ⊥底面ABC ，∴PO ＝14.根据题意，以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立空间直角坐标系B -xyz ，如图所示．则A (2,0,0)，B (0,0,0)，C (0,2,0)，P (1,1，14)． ∵点O ，D 分别是AC ，PC 的中点， ∴OD ＝12AP ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，142. 又BC ＝(0,2,0)，BP ＝(1,1，14)， 设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·BC ＝0，n ·BP ＝0，即⎩⎨⎧y ＝0，x ＋y ＋14z ＝0，取n ＝(－14，0,1)， ∴cos n ，OD＝n ·OD |n ||OD |＝21030，∴sin θ＝21030(θ为OD 与平面PBC 所成的角)，故选D.4．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.23B.33C.23D.63解析：选D 不妨设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)．平面ACD 1的法向量为DB 1＝(1,1,1)， 又BB 1＝(0,0,1)， ∴cosDB 1，BB 1＝DB 1·BB 1|DB 1||BB 1|＝13×1＝33.∴BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为1－⎝⎛⎭⎫332＝63.5.如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成角的大小是________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，O 为BC 中点，设三棱柱的棱长为2a ，则点A (3a,0,0)，B (0，a,0)，B 1(0，a,2a )，M (0，－a ，a )，AB 1＝(－3a ，a,2a )，BM ＝(0，－2a ，a )，所以AB 1·BM ＝0，因此异面直线AB 1与BM 所成的角为90°. 答案：90°6.正三角形ABC 与正三角形BCD 所在的平面互相垂直，则直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为________．解析：取BC 的中点O ，连接AO ，DO ，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .设BC ＝1，则A ⎝⎛⎭⎫0，0，32，B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，D 32，0,0，所以BA ＝⎝⎛⎭⎫0，12，32， BD ＝⎝⎛⎭⎫32，12，0，CD ＝⎝⎛⎭⎫32，－12，0. 设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·BA ＝0，n ·BD ＝0，所以⎩⎨⎧12y ＋32z ＝0，32x ＋12y ＝0，取x ＝1，则y ＝－3，z ＝1，所以n ＝(1，－3，1)，所以cosn ，CD＝32＋325×1＝155，因此直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为155. 答案：1557.如图，平面ABDE ⊥平面ABC ，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD ⊥BA ，BD ＝12AE ＝2，O ，M分别为CE ，AB 的中点．(1)求异面直线AB 与CE 所成角的大小； (2)求直线CD 与平面ODM 所成角的正弦值．解：(1)∵DB ⊥BA ，平面ABDE ⊥平面ABC ，平面ABDE ∩平面ABC ＝AB ，DB ⊂平面ABDE ，∴DB ⊥平面ABC .∵BD ∥AE ，∴EA ⊥平面ABC .如图所示，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB 所在直线为x ，y 轴，以过点C 且与EA 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系．∵AC ＝BC ＝4，BD ＝12AE ＝2，∴C (0,0,0)，A (4,0,0)，B (0,4,0)，E (4,0,4)， ∴AB ＝(－4,4,0)，CE ＝(4,0,4)． ∴cosAB ，CE ＝－1642×42＝－12，∴AB 与CE 所成角的大小为π3.(2)由(1)知O (2,0,2)，D (0,4,2)，M (2,2,0)，∴CD ＝(0,4,2)，OD ＝(－2,4,0)，MD ＝(－2,2,2)． 设平面ODM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧n ⊥OD ，n ⊥MD ，可得⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4y ＝0，－2x ＋2y ＋2z ＝0，令x ＝2，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(2,1,1)． 设直线CD 与平面ODM 所成的角为θ， 则sin θ＝|cosn ，CD|＝|n ·CD ||n ||CD |＝3010，∴直线CD 与平面ODM 所成角的正弦值为3010.8.如图所示，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，△ABE 为等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ABE ，AB ＝2CD ＝2BC ＝2，P 为CE 的中点．(1)求证：AB ⊥DE ；(2)求平面ADE 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值；(3)在△ABE 内是否存在一点Q ，使PQ ⊥平面CDE ？如果存在，求出PQ 的长；如果不存在，请说明理由．解：(1)证明：如图，取AB 的中点O ，连接OD ，OE . 因为△ABE 是等边三角形，所以AB ⊥OE .因为四边形ABCD 是直角梯形，CD ＝12AB ，AB ∥CD ，所以四边形OBCD 是平行四边形，OD ∥BC . 又AB ⊥BC ，所以AB ⊥OD . 又OE ∩OD ＝O ， 所以AB ⊥平面ODE . 又DE ⊂平面ODE ， 所以AB ⊥DE .(2)因为平面ABCD ⊥平面ABE ， AB ⊥OE ，所以OE ⊥平面ABCD . 又OD ⊂平面ABCD ， 所以OE ⊥OD .如图所示，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系．则A (1,0,0)，B (－1,0,0)，D (0,0,1)，C (－1,0,1)，E (0，3，0)，所以AD ＝(－1,0,1)，DE ＝(0, 3，－1)，设平面ADE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧n 1·DE ＝0，n 1·AD ＝0，即⎩⎨⎧3y 1－z 1＝0，－x 1＋z 1＝0，令z 1＝1，则x 1＝1，y 1＝33，所以n 1＝⎝⎛⎭⎫1，33，1.同理求得平面BCE 的法向量为n 2＝(－3，1,0)． 设平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角为θ， 则cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝77.所以平面ADE 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值为77. (3)假设在△ABE 内存在满足题意的点Q ，设Q (x 2，y 2,0)．因为P ⎝⎛⎭⎫－12，32，12， 所以PQ ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋12，y 2－32，－12. 又CD ＝(1,0,0)，DE ＝(0，3，－1)，依题意⎩⎪⎨⎪⎧PQ ·CD ＝0 PQ ·DE ＝0，即⎩⎨⎧x 2＋12＝0，3×⎝⎛⎭⎫y 2－32＋12＝0，解得x 2＝－12，y 2＝33，则点Q 在△ABE 内．所以存在点Q ⎝⎛⎭⎫－12，33，0，使PQ ⊥平面CDE ，此时PQ ＝33.。

[第44讲 立体几何中的向量方法(二)——空间角与距离的求解](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．设平面α的法向量为a ＝(1，2，－2)，平面β的法向量为b ＝(－2，－4，k )，若α∥β，则k 等于( )A ．2B ．－4C ．4D ．－22．[2013·银川一模] 如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a ＝(0，2，1)，b ＝(2，5，5)，那么这条斜线与平面的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°3．[2013·沈阳一模] 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°4．[2013·兰州一模] 在空间直角坐标系O －xyz 中，平面OAB 的法向量为n ＝(2，－2，1)，已知P (－1，3，2)，则点P 到平面OAB 的距离d 等于( )A ．4B ．2C ．3D ．1能力提升5．[2013·长春一模] 已知在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是 ( )A.83B.38C.43D.346．[2013·西宁一模] 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BD 1－B 1的大小为( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．150°7．[2013·西安一模] 已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (2，3，1)，B (4，1，－2)，C (6，3，7)，则△ABC 的重心坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫6，72，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，73，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫8，143，4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，76，1 8．在正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，E 是C 1D 1的中点，则异面直线DE 与AC 夹角的余弦值为( )A ．－1010B ．－120 C.120 D.10109．在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BCA ＝90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成的角的余弦值是( )A.3010B.12C.3015D.151010．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的余弦值是________．11．如图K44－1，在空间直角坐标系中有棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点M 是线段DC 1上的动点，则点M ．图K44－1图K44－212．[2013·郑州二模] 如图K44－2所示，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝1，BC ＝2，则二面角A －PB －C 的余弦值为________．13．在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为：Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0(A ，B ，C ，D ∈R ，且A ，B ，C 不同时为零)，点P (x 0，y 0，z 0)到平面α的距离为：d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O 到侧面的距离等于________．14．(10分)如图K44－3，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知AB ＝2，AD ＝22，PA ＝2，求：(1)三角形PCD 的面积；(2)异面直线BC 与AE15．(13分)如图K44－4甲，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AB ＝2，AD＝3，CD ＝1，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且AE ＝13AD ，BF ＝13BC .现将此梯形沿EF 折至使AD＝3的位置(如图乙)．(1)求证：AE⊥平面ABCD；(2)求点B到平面CDEF的距离；(3)求直线CE与平面BCF所成角的正弦值．图K44－4难点突破16．(12分)[2013·长沙三模] 如图K44－5，正△ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－CD－B.(1)试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求异面直线AB与DE所成角的余弦值；(3)求二面角B－AC－D的余弦值．K44－5课时作业(四十四)【基础热身】1．C [解析] ∵α∥β，∴(－2，－4，k )＝λ(1，2，－2)，∴－2＝λ，k ＝－2λ，∴k ＝4.2．D [解析] cos θ＝a ·b |a ||b |＝32，因此所求的夹角为30°. 3．C [解析] 如图，四棱锥P —ABCD 中，过P 作PO ⊥平面ABCD 于O ，连接AO ，则AO 是AP 在底面ABCD 上的射影，∴∠PAO 即为所求线面角，∵AO ＝22，PA ＝1，∴cos ∠PAO ＝AO PA ＝22，∴∠PAO ＝45°，即所求线面角为45°.4．B [解析] d ＝|OP →·n ||n |＝|－2－6＋2|22＋（－2）2＋12＝63＝2. 【能力提升】5．C [解析] 如图，以D D －xyz ，则A 1(2，0，4)，A (2，0，0)，B 1(2，2，4)，D 1(0，0，4)，AD 1→＝(－2，0，4)，AB 1→＝(0，2，4)，AA 1→＝(0，0，4)，设平面AB 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD 1→＝0，n ·AB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4z ＝0，2y ＋4z ＝0，解得x ＝2z 且y ＝－2z ，不妨设n ＝(2，－2，1)，设点A 1到平面AB 1D 1的距离为d ，则d ＝|AA 1→·n ||n |＝43. 6．C [解析] 以D设A (1，0，0)，D 1(0，0，1)，B 11)，C (0，1，0)，则AC →＝(－1，1，0)为平面BB 1D 1的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面ABD 1的一个法向量．则n ·AD 1→＝0，n ·AB →＝0，又AD 1→＝(－1，0，1)，AB →＝(0，1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，y ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝x ，y ＝0. 取n ＝(1，0，1)．∴cos 〈AC →，n 〉＝－12.∴〈AC →，n 〉＝120°，结合图形知二面角A －BD 1－B 1的大小为120°.7．B [解析] △ABC 的重心坐标为x ＝2＋4＋63＝4，y ＝3＋1＋33＝73，z ＝1＋（－2）＋73＝2.8．D [解析] 如图建立直角坐标系D －xyz ，设DA ＝1，A (1，0，0)，C (0，1，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.则AC →＝(－1，1，0)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪0，12，1，若异面直线DE 与AC 所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈AC →，DE →〉|＝1010. 9．A [解析] 建立如图所示的坐标系，设BC ＝1，则A (－1，0，0)，F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1，B (0，－1，0)，D 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，1，AF 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，BD 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1.∴cos 〈AF 1→，BD 1→〉＝AF 1→·BD 1→|AF 1→|·|BD 1→|＝3010.10.33[解析] 如下图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B (1，1，0)，C 1(0，1，1)，∴DA 1→＝(1，0，1)，DB →＝(1，1，0)，BC 1→＝(－1，0，1)，设平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝－x ，y ＝－x ， 令x ＝1得，n ＝(1，－1，－1)，设直线BC 1与平面A 1BD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈BC 1→，n 〉|＝|BC 1→·n ||BC 1→|·|n |＝22·3＝63， ∴cos θ＝1－sin 2θ＝33.11.33a [解析] 设M (0，m ，m )(0≤m ≤a )，AD 1→＝(－a ，0，a )，直线AD 1的一个单位方向向量s 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，22，由MD 1→＝(0，－m ，a －m )，故点M 到直线AD 1的距离 d ＝ |MD 1→|2－|MD 1→·s 0|2)＝m 2＋（a －m ）2－12（a －m ）2＝32m 2－am ＋12a 2，根式内的二次函数当m ＝－－a 2×32＝a 3时取最小值32⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－a ×a 3＋12a 2＝13a 2，故d 的最小值为33a . 12.33[解析] 以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴建立空间直角坐标系C －xyz ， 则A (1，0，0)，B (0，2，0)，C (00，1)，∴AP →＝(0，0，1)，PB →＝(－1，2，－1)，CB ＝(0，2，0)，设平面APB 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面PBC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧z 1＝0，－x 1＋2y 1－z 1＝0，⎩⎨⎧2y 2＝0，－x 2＋2y 2－z 2＝0，取n 1＝(2，2，0)，n 2＝(－1，0，1)． ∴cos 〈n 1，n 2〉＝－26×2＝－33. 结合图形知二面角A －PB －C 的余弦值为33. 13.255[解析] 如图，以底面中心O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz ，则A (1，1，0)，B (－1，1，0)，P (0，0，2)，设平面PAB 的方程为Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0，将以上3个坐标代入计算得A ＝0，B ＝－D ，C ＝－12D ，∴平面PAB 的方程为－Dy －12Dz ＋D ＝0， 即2y ＋z －2＝0，∴d ＝|2×0＋0－2|22＋12＝255.14．解：(1)∵PA ABCD PA CD CD AD ，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PD ，又∵PD ＝22＋（22）2＝23，CD ＝2，∴△PCD 的面积为12×2×23＝2 3. (2)方法一：取PB 的中点F ，连接EF ，AF ，则EF ∥BC ，∴∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角．在△AEF 中，EF ＝2，AF ＝2，AE ＝2，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴∠AEF ＝π4，∴异面直线BC 与AE 所成的角大小为π4. 方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，则B (2，0，0)，C (2，22，0)，E (1，2，1)，∴AE →＝(1，2，1)，BC →＝(0，22，0)，设AE →与BC →的夹角为θ，则cos θ＝AE →·BC →|AE →||BC →|＝42×22＝22. 又∵0＜θ≤π2，∴θ＝π4. 故异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4. 15．解：(1)证明：由题意知AE ＝1，DE ＝2，AD ＝3，∴AE 2＋AD 2＝DE 2.∴∠EAD ＝90°，即EA ⊥AD .又EA ⊥AB ，AB ∩AD ＝A ，∴AE ⊥平面ABCD .(2)作AK ⊥DE 于点K .由题知AB ∥EF .∵AB ⊄平面CDEF ，EF ⊂平面CDEF ，∴AB ∥平面CDEF .∴点B 到平面CDEF 的距离即为点A 到平面CDEF 的距离．∵EF ⊥AE ，EF ⊥ED ，ED ∩EA ＝E ，∴EF ⊥平面AED ，∵AK ⊂平面AED 又AK ⊥DE ，DE ∩EF ＝E ，∴AK ⊥平面CDEF . ∴AK 的长即为点B 到平面CDEF 的距离．在Rt △ADE 中，AK ＝32， ∴点B 到平面CDEF 的距离为32. (3)以点A 为坐标原点，AD ，AB ，AE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则B (0，2，0)，C (3，1，0)，E (0，0，1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，1，BF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－13，1，BC →＝(3，－1，0)，CE →＝(－3，－1，n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧BF →·n ＝0，BC →·n ＝0，可取n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，33. 设直线CE 与平面BCF 所成的角为α，则sin α＝|CE →·n ||CE →||n |＝5335×133＝6513. 所以直线CE 与平面BCF 所成角的正弦值为6513. 【难点突破】16．解：(1)以D 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (0，0，a )，B (a ，0，0)，C (0，3a ，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，a 2，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，0. ∴AB →＝(a ，0，－a )，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，－a 2， 从而EF →＝12AB →， ∴AB →∥EF →，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，故AB ∥平面DEF .(2)∵AB →∥EF →，∴∠DEF 即为异面直线AB 与DE 所成的角(或其补角)．∵ED →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－32a ，－a 2，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，－a 2， ∴cos 〈EF →，ED →〉＝EF →·ED →|EF →||ED →|＝24. ∴异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为24. (3)∵n 0＝(1，0，0)为平面ACD 的一个法向量，设n ＝(x ，y ，z )为平面ABC 的一个法向量，则AB →·n ＝ax －az ＝0，AC →·n ＝3ay －az ＝0，取z ＝1，则x ＝1，y ＝33.∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，1， 从而cos 〈n ，n 0〉＝n ·n 0|n ||n 0|＝217. 所以二面角B －AC －D 的余弦值为217.。

1.4.2空间向量研究距离、夹角问题一、点到直线的距离已知直线l 的单位方向向量为u ，A 是直线l 上的定点，P 是直线l 外一点，设向量AP →在直线l 上的投影向量为AQ →＝a ，则点P 到直线l 的距离为a 2－(a ·u )2(如图)．二、点到平面的距离已知平面α的法向量为n ，A 是平面α内的任一点，P 是平面α外一点，过点P 作则平面α的垂线l ，交平面α于点Q ,则点P 到平面α的距离为AP n PQ n⋅=（如图）.注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。

直线a 与平面α之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,A a B α∈∈，n 是平面α的法向量。

两平行平面,αβ之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,A B αβ∈∈，n 是平面α的法向量。

三、异面直线所成角若12,n n 分别为直线12,l l 的方向向量，θ为直线12,l l 的夹角，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅=<>=.四、直线与平面所成角1、夹角定义：设1n 是直线l 的方向向量,2n 是平面α的法向量,直线与平面的夹角为θ.则121212sin cos ,n n n n n n θ⋅=<>=.2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤：（1）建立适当的空间直角坐标系，（2）求出两条异面直线的方向向量的坐标，（3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角，（4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角。

3、求两条异面直线所成角的两个关注点（1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角。

（2）范围：异面直线所成角的范围是（0，），故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值。

五、平面与平面的夹角平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90的二面角称为这两个平面的夹角.若12,n n 分别为平面,αβ的法向量，θ为平面,αβ的夹角，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅=<>=.题型一求点到直线的距离【例1】已知点P (5，3，6)，直线l 过点A (2，3，1)，且一个方向向量为()1,0,1l =-，则点P 到直线l 的距离为()A．B．C．D．【变式1-1】在空间直角坐标系中，点()1,2,3A 关于y 轴的对称点为点B ，则点()3,0,1C 到直线AB 的距离为（）A．D．6【变式1-2】如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若12AB ==，则C 到直线1AB 的距离为（）A．155B．105C．153D．3【变式1-3】如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则线段1AD 上的动点P 到直线11AC 的距离的最小值为（）A．122C．4D．3题型二求点到平面的距离【例2】已知平面α的法向量为(2,2,1)n =--，点(1,3,0)A -在平面α内，则点(2,1,4)P -到平面α的距离为（）A．23B．2C．83D．103【变式2-1】已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为上底面1111D C B A 和侧面11CDD C 的中心，则点C 到平面AEF 的距离为（）A．41111B．114C．1111D．21111【变式2-2】已知点A （l，0，0），B （0，l，0），C （0，0，2），()1,1,0P -，那么过点P 平行于平面ABC 的平面与平面ABC 的距离是（）B．2C．23D．14【变式2-3】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，E ､F ､H 分别是AB ､CD ､11A B 的中点，则直线EC 到平面AFH 的距离为___________.题型三求异面直线所成角【例3】在三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA =PB =PC ，M 、N 分别为AC 、AB 的中点，则异面直线PN 和BM 所成角的余弦值为（）【变式3-1】在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方形ABCD 的中心，则直线1CD 与直线1B O 所成角的余弦值为（）A．6C．6D．12【变式3-2】在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且AB BC CD ==，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为()B．2332D．22【变式3-3】在矩形ABCD 中，O 为BD 中点且2=AD AB ，将平面ABD 沿对角线BD 翻折至二面角A BD C --为90°，则直线AO 与CD 所成角余弦值为（）D．4225题型四求直线与平面所成角【例4】如图为一个四棱锥与三棱锥的组合体，C ，D ，E 三点共线，已知三棱锥P －ADE 四个面都为直角三角形，且ED ⊥AD ，PA ⊥平面ABCE ，PE ＝3，CD ＝AD ＝2，ED ＝1，则直线PC 与平面PAE 所成角的正弦值等于（）【变式4-1】如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，E ，F ，G 分别为AB ，1AA ，11AC 的中点，则EF 与平面1B GF 所成角的正弦值为（）A．34B．74C．5D．65【变式4-2】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，90BAD ∠=︒，112PA AB BC AD ====，BC AD ∥，已知Q 是边PD 的中点，则CQ 与平面ABCD 所成角的正弦值为（）C．12D．2【变式4-3】如图，已知AB 是圆柱底面圆的一条直径，OP 是圆柱的一条母线，C 为底面圆上一点，且AC OB ∥，OP AB =，则直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为（）C．110D．34题型五求平面与平面所成角【例5】如图，点A ､B ､C 分别在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，()0,0,2OC =，()1,0,0OA =，()0,2,0OB =，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（）A．63B．6C．24D．4【变式5-1】正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1BB 中点，平面1A EC 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为（）A．22【变式5-2】如图，已知三棱锥111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11ABB A 是菱形，且160A AB ∠=︒，M 是11A B 的中点，MB AC ⊥，则二面角111A BB C --的余弦值为（）C．12D．3【变式5-3如图，在三棱台111ABC A B C -中，AB AC ⊥，4AB AC ==，1112A A A B ==，侧棱1A A ⊥平面ABC ，点D 是棱1CC 的中点．（1）证明：平面1BB C ⊥平面1AB C ；（2）求二面角C BD A --的正弦值．。

2021-2022学年高二数学（人教A 版2019选择性必修一）1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．若点A （2，3，2）关于xoz 平面的对称点为A '，点B （﹣2，1，4），关于y 轴对称点为B '，点M 为线段A 'B '的中点，则|MA |＝（ ） AB ．C ．5D 2．在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -中，M 是1AA 的中点，则点1A 到平面MBD 的距离是（ ）A B C D 3．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为( ) A ．10 B ．3 C ．83D ．1034．若O 为坐标原点，OA ＝(1,1，－2)，OB ＝(3,2,8)，OC ＝(0,1,0)，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为( )A B ．C D 5．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，动点M 在线段1CC 上，动点P 在平面．．1111D C B A 上，且AP ⊥平面1MBD .线段AP 长度的取值范围为（ ）A ．B ．[1C ．D ． 6．如图，已知正方形ABCD 的边长为 4，E F 、分别是 AB AD 、的中点，GC ⊥平面 ABCD ，且2GC =，则点 B 到平面EFG 的距离为A ．B ．C ．D ．17．若三棱锥P -ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足P A =PB =PC =1，则点P 到平面ABC 的距离是（ ）A B C D 8．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -，O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离是（ ）A ．12B C D二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9．在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别是11A D 和11C D 的中点，则下列结论正确的是（ ） A ．11AC //平面CEF B ．1B D ⊥平面CEFC ．112=+-CE DA DD DC D ．点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等10．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则（ ）A ．直线BD 1⊥平面A 1C 1DB ．三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值C ．异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°，90°]D ．直线C 1P 与平面A 1C 1D 11．正方体1111ABCD A BC D -中，下列叙述正确的有（ ）A ．直线1AB 与1BC 所成角为60B ．直线1AC 与1CD 所成角为90C ．直线1AC 与平面ABCD 所成角为45D ．直线1A B 与平面11BCC B 所成角为6012．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点.则（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1AG 与平面AEF 平行 C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等三、填空题：本题共4小题13．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为4，M ，N ，E ，F 分别为A 1D 1，A 1B 1，C 1D 1，B 1C 1的中点，则平面AMN 与平面EFBD 的距离为_____.14．如图，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，P A ⊥平面ABCD ．若已知AB=3，AD=4，P A=1，则点P 到直线BD 的距离为_____.15．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是线段BB 1，B 1C 1的中点，则直线MN 到平面ACD 1的距离为_____.16．如图，直三棱柱1111ABCD A BC D -的侧棱1AA 在⊥ABC 中，⊥ACB=90°，AC=BC=1，则点B 1到平面A 1BC 的距离为_____.四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，⊥ABC=90°，求点B到直线A1C1的距离.18．已知Rt⊥ABC如图（1），⊥C＝90°，D．E分别是AC，AB的中点，将⊥ADE沿DE折起到PDE位置（即A点到P点位置）如图（2）使⊥PDC＝60°．（1）求证：BC⊥PC；（2）若BC＝2CD＝4，求点D到平面PBE的距离．19．四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，AB=4，⊥ABC=60°，侧棱P A⊥底面ABCD，且P A=4，E是P A的中点，求PC与平面BED的距离，并说明直线PC上各点到平面BED的距离间的关系.20．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，⊥ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在棱BB1上，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.（1）求证：B 1D ⊥平面ABD ； （2）求证：平面EGF ⊥平面ABD ； （3）求平面EGF 与平面ABD 的距离.21．在直三棱柱中，13AA AB BC ===，2AC =，D 是AC 的中点.（1）求证：1//BC 平面1A BD ； （2）求直线1BC 到平面1A BD 的距离.22．在三棱锥S ABC -中，ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA SC ==M ，N 分别为AB ，SB 的中点，如图所示.求点B 到平面CMN 的距离.参考答案1．C【解析】⊥点A（2，3，2）关于xoz平面的对称点为A'，⊥A′（2，﹣3，2），⊥点B（﹣2，1，4）关于y轴对称点为B'，⊥B′（2，1，﹣4），⊥点M为线段A'B'的中点，⊥M（2，﹣1，﹣1），⊥|MA |5． 故选：C. 2．A【解析】以D 为空间直角坐标原点，1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.由于M 是1AA 中点，故1,0,2M a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且()()111,0,,,,0,0,0,2A a a B a a A M a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设(),,n x y z =是平面BDM 的法向量，故1020n DM ax az n DB ax ay ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，故可设()1,1,2n =--，故1A 到平面BDM 的距离10,0,A M n d n ⎛- ⋅⎝===.故选A.3．D【解析】PA ＝(1,2，－4)，又平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)， 所以P 到α的距离为PA n n⋅＝2441033---=. 故答案为D 4．D【解析】由题意OP ＝12 (OA ＋OB )＝3(2,,3)2，PC ＝OC －OP ＝1(2,,3)2---，|PC |＝=故答案为D 5．D【解析】以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，则1(1,0,0),(1,1,0),(0,1,),(0,0,1),(,,1)A B M t D P x y ，(1,,1)=-AP x y ，1(1,1,1)BD =--，(1,0,),[0,1]=-∈BM t t 由AP ⊥平面1MBD ，则0=BM AP 且10=BD AP所以1011=0x t x y -+=⎧⎨--+⎩得11x t y t =+⎧⎨=-⎩所以(=AP x当12t =时，min AP =0t =或1t =时，max AP ，2≤≤AP 故选：D 6．B【解析】以C 为原点CD 为x 轴CB 为y 轴CG 为z 轴建立空间坐标系，()()()4,2,0,2,4,0,0,0,2F E G ∴()()2,2,0,2,4,2FE EG ∴=-=--所以平面EFG 的一个法向量为()1,1,3m =·21111BE m d m∴== 7．D【解析】解：分别以P A ，PB ，PC 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1).()()1,1,0,1,0,1AB AC =-=-. 设平面ABC 的一个法向量为(),,n x y z =，由00n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得：00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩. 令1x =，则1y z ==.则平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =.所以点P 到平面ABC 的距离||33||n PA d n =⋅=. 故选：D . 8．B【解析】如图建立空间直角坐标系，则：1111(,,1),(0,0,1),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1)22O D A B C 111(,,0)22OD ∴=--由于AB ⊥平面111,ADD A AD ⊂平面11ADD A1AB A D ∴⊥，又11AD A D ⊥，1AB AD1A D ∴⊥平面11ABC D故平面11ABC D 的一个法向量为：1(1,0,1)DA = O ∴到平面11ABC D 的距离为：1111||2||OD DA d DA ⋅===故选：B 9．AC【解析】对A ，因为,E F 分别是11A D 和11C D 的中点 故11//EF AC ，故11AC //平面CEF 成立. 对B ，建立如图空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A BC D -边长为2则1(2,2,2)=---B D ，(0,1,2)FC =-.故101430B D FC ⋅=-+=≠. 故1,B D FC 不互相垂直.又CF 属于平面CEF .故1B D ⊥平面CEF 不成立.对C ， (1,2,2)=-CE ，112DA DD DC +-1(2,0,0)(0,0,2)(0,2,0)2=+-.11(1,2,2)2+-=-DA DD DC ，故112DA DD C DC E =+-成立. 对D ，点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等则点D 与点1B 中点O 在平面CEF 上. 连接,AC AE 易得平面CEF 即平面CAEF .又点D 与点1B 中点O 在11A ACC 上，故点O 不在平面CEF 上.故D 不成立. 故选：AC 10．ABD【解析】解：在A 中，⊥A 1C 1⊥B 1D 1，A 1C 1⊥BB 1，B 1D 1∩BB 1＝B 1， ⊥A 1C 1⊥平面BB 1D 1，⊥A 1C 1⊥BD 1，同理，DC 1⊥BD 1， ⊥A 1C 1∩DC 1＝C 1，⊥直线BD 1⊥平面A 1C 1D ，故A 正确； 在B 中，⊥A 1D ⊥B 1C ，A 1D ⊥平面A 1C 1D ，B 1C⊥平面A 1C 1D ， ⊥B 1C ⊥平面 A 1C 1D ，⊥点P 在线段B 1C 上运动，⊥P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，又⊥A 1C 1D 的面积是定值，⊥三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值，故B 正确； 在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]，故C 错误；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，P （a ，1，a ），则D （0，0，0），A 1（1，0，1），C 1（0，1，1），1DA ＝（1，0，1），1DC ＝（0，1，1），1C P ＝（a ，0，a ﹣1），设平面A 1C 1D 的法向量(),,n x y z =， 则1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x ＝1，得1,1,1n，⊥直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为： 11||||||C P n C Pn ⋅⋅＝， ⊥当a ＝12时，直线C 1P 与平面A 1C 1D D 正确． 故选：ABD ．11．AB【解析】设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()11,0,1A 、()1,1,0B 、()11,1,1B 、()0,1,0C 、()10,1,1C 、()0,0,0D ，所以，()10,1,1A B =-，()11,1,1AC =--，()11,0,1B C =--，()10,1,1C D =--， 对于A 选项，1111111cos ,22A B B C A B B C A B B C⋅<>===⋅， 所以，直线1A B 与1BC 所成角为60，A 对； 对于B 选项，11110AC C D ⋅=-+=，即11AC C D ⊥， 所以，直线1AC 与1C D 所成角为90，B 对；对于C 选项，平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =，1111cos ,3m AC AC m m AC ⋅-<>===⋅所以，直线1AC 与平面ABCD 所成角不是45，C 错； 对于D 选项，平面11BCC B 的一个法向量为()0,1,0n =， 1111cos ,2n A B A B n n A B⋅<>===⋅ 所以，直线1A B 与平面11BCC B 所成角为45，D 错. 故选：AB. 12．BC【解析】对于A ：在正方体1111ABCD A BC D -中，11//CC DD ,因为直线1C C 与直线AF 不垂直，所以直线1D D 与直线AF 不垂直.故A 错误；对于B ： 取11B C 的中点N ，连结GN ,A 1N ,因为,,E F G ，N 分别为11,,BC CC BB ,11B C 的中点,所以由三角形中位线定理得：11//,//,BC GN BC EF 所以//,GN EF 因为GN面AEF ，EF 面AEF ，所以//GN 面AEF .同理可证：1//A N 面AEF .又GN 面1AGN ，1A N 面1AGN ，1GN A N N =，所以面1//AGN 面AEF ,所以直线1AG 与平面AEF 平行.故B 正确；对于C ：连结11,AD FD ,由上面证明过程可知1//EF AD ,所以平面AEF 截正方体所得的截面为面1AEFD .因为1EF AD ，1AE D F ==, 所以1AEFD 为等腰梯形，如图示：过E 、F 分别作EP 、FQ 垂直AD 1于P 、Q，则22AP ==所以EP =, 所以等腰梯形1AEFD9228. 故C 正确.对于D ：假设C 与G 到平面AEF 的距离相等,即平面AEF 将CG 平分,则平面AEF 必过CG 的中点,连接CG 交EF 于H,而H 不是CG 中点,则假设不成立,故D 错误. 故选：BC 13．83【解析】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4).∴EF=(2，2，0)，MN=(2，2，0)，AM=(-2，0，4)，BF=(-2，0，4)，∴EF MN BF AM==，，∴EF⊥MN，BF⊥AM，EF∩BF=F，MN∩AM=M.⊥平面AMN⊥平面EFBD.设n=(x，y，z)是平面AMN的一个法向量，则·220·240n MN x yn AM x z⎧=+=⎨=-+=⎩，，解得22.x zy z=⎧⎨=-⎩，取z=1，则x=2，y=-2，得n=(2，-2，1).平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面EFBD的距离.⊥AB=(0，4，0)，⊥平面AMN与平面EFBD间的距离d=||83 ||⋅=n ABn.故答案为：8 314．13 5【解析】如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，则PB=(3，0，-1)，BD=(-3，4，0)，故点P到直线BD 的距离22·13 ||-10-5||PB BDd PBBD==，所以点P到直线BD的距离为135.故答案为：135.15【解析】解：如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.则D(0，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，M1112⎛⎫⎪⎝⎭，，，A(1，0，0).⊥1012AM AC⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，=(-1，1，0)，1AD=(-1，0，1).设平面1ACD的法向量为(),,n x y z=，则1·0·0n ACADn⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即x yx z-+=⎧⎨-+=⎩，，令x=1，则y=z=1，⊥()1,1,1n =.⊥点M到平面ACD1的距离||3||2AM ndn⋅==.又11//2MN AD，故MN∕∕平面1ACD.故直线MN到平面ACD116【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，则A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，0)，1(1A，1(0,1B，1C ，∴1(1,1,=-A B，1(1,0,=-AC ，11(1,1,0)=-A B 设平面A 1BC 的法向量为(,,)n x y z =则11·0·0n A B n A C ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00x y x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩令z=1得x =y=0，(3,0,1)=-n所以点B 1到平面A 1BC 的距离1132==nA B d n. 17．135【解析】解：以B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(4，0，1)，C 1(0，3，1).直线A 1C 1的方向向量11AC =(-4，3，0)，1BC =(0，3，1)，所以点B 到直线A 1C 1的距离22111111·13||105||BC AC d BC AC ==-.18．（1）见解析；（2【解析】（1）证明：⊥Rt⊥ABC 如图（1），⊥C ＝90°，D.E 分别是AC ，AB 的中点， 将⊥ADE 沿DE 折起到PDE 位置（即A 点到P 点位置）如图（2）使⊥PDC ＝60°．⊥DE ⊥DC ，DE ⊥PD ，DE ⊥BC ，⊥PD ∩DC ＝D ，⊥DE ⊥平面PCD ，⊥BC ⊥平面PCD ， ⊥PC ⊥平面PCD ，⊥BC ⊥PC.（2）解：⊥D.E 分别是AC ，AB 的中点，⊥PDC ＝60°，BC ＝2CD ＝4， ⊥CD ＝PD ＝PC ＝2，取CD 中点O ，BE 中点M ，连结PO ，MO ，则OP ，OD ，OM 两两垂直， 以O 为原点，OD 为x 轴，OM 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系：则D （1，0，0），P （0，0，3），B （﹣1，4，0），E （1，2，0），PD =（1，0，，PB =（﹣1，4，，PE =（1，2，， 设平面PBE 的法向量n =（x ，y ，z ），则4020n PB x y n PE x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x ＝1，得n =（1，1， ⊥点D 到平面PBE 的距离为：d 225PD n n⋅==19.【解析】以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，⊥ACD 中CD 边上的高AF 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则F 为CD 的中点，A (0，0，0)，B (4，0，0)，F (0，0)，C (2，0)，D (-2，0)，P (0，0，4)，E (0，0，2). 设平面BED 的一个法向量为(,,)n x y z =，由(4,0,2),(2,BE DE =-=-得420·0·0220x z n BE n DE x z -+=⎧⎧=⎪∴⎨⎨=-+=⎪⎩⎩，，，，即2z x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 取z =2，则x =1，y =(1,3,2)n =⊥4)PC =-，⊥2680n PC ⋅=+-=， ∴n ⊥PC ，故PC ⊥平面BED ，∴PC 到平面BED 的距离就是点P 到平面BED 的距离. ∴(0,0,2)EP =，∴点P 到平面BED的距离||||1EP n d n ⋅===+ 即PC 到平面BED PC 上各点到平面BED 的距离都相等. 20．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）证明：如图所示建立空间直角坐标系，设AB =a ，则A 1(a ，0，0)，B 1(0，0，0)，C 1(0，2，0)，F (0，1，0)，E (0，0，1)，A (a ，0，4)，B (0，0，4)， D (0，2，2)，G 102a ⎛⎫⎪⎝⎭，，. 所以1B D =(0，2，2)，AB =(-a ，0，0)，BD =(0，2，-2). 所以1·B D AB =0+0+0=0，1·B D BD =0+4-4=0. 所以11B D AB B D BD ⊥⊥，， 所以B 1D ⊥AB ，B 1D ⊥BD.又AB ∩BD =B ，所以B 1D ⊥平面ABD.（2）证明：由（1）可得AB =(-a ，0，0)，BD =(0，2，-2)，-002a GF EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，=(0，1，-1)，所以AB =2GF BD ，=2EF ，所以////GF AB EF BD ，. 所以GF ⊥AB ，EF ⊥BD.又GF ∩EF =F ，AB ∩BD =B ，所以平面EGF ⊥平面ABD.（3）解：由（1）（2）知，1B D 是平面EGF 和平面ABD 的法向量.因为平面EGF ⊥平面ABD ，所以点E 到平面ABD 的距离就是两平面的距离，设为d . 因为EB =(0，0，3)，1B D =(0，2，2)， 所以d=11||||B D EB B D ⋅==.21．（1）证明见解析；（2 【解析】（1）证明：连接1AB 交1A B 于点E ，连接DE ，则点E 为1A B 中点， 又D 是AC 的中点，所以1//DE B C ， 因为DE ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ， 所以1//BC 平面1A BD ；（2）解：因为1//BC 平面1A BD ，所以1BC到平面1A BD 的距离就等于点1B 到平面1A BD的距离.以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则()1B ，()B ，()11,0,3A -，()10,DB =，()DB =，()11,0,3DA =-. 设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，所以1n DB n DA ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即100n DB n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即030x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，， 令1z =，则()3,0,1n =. 所求距离为131010n DB d n ⋅==.22【解析】取AC 的中点O ，连接OS ，OB .⊥SA SC =，AB BC =，⊥AC SO ⊥，AC BO ⊥.⊥平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC平面ABC AC =， ⊥SO ⊥平面ABC .又BO ⊂平面ABC ，⊥SO BO ⊥.如图所示，分别以OA ，OB ，OS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,B ，()2,0,0C -， (0,0,S，()M，(N .⊥()CM =，(MN =-，()MB =-. 设(),,n x y z =为平面CMN 的一个法向量，则·330·20CM n x MN n x ⎧=+=⎪⎨=-+=⎪⎩，，取1z =，则xy =⊥()2,n =.⊥点B到平面CMN的距离423n MBdn⋅==。

第二课时利用空间向量求角和距离1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°,则直线l 与平面α所成的角等于( B )(A)30°(B)60°(C)150° (D)以上均错解析:直线l与平面α所成的角范围是[0°,90°].故选B.2.已知直线l1的方向向量s1=(1,0,1)与直线l2的方向向量s2=(-1,2,-2),则l1与l2夹角的余弦值为( C )(A) (B)(C) (D)解析:因为s1=(1,0,1),s2=(-1,2,-2),所以cos<s1,s2>===-.又两直线夹角的取值范围为[0,],所以l1和l2夹角的余弦值为.3.在长方体ABCD A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,DD1=3,则AC与BD1所成角的余弦值为( A )(A)0 (B) (C)- (D)解析:建立如图坐标系,则D1(0,0,3),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),所以=(-2,-2,3),=(-2,2,0).所以cos<,>==0.所以<,>=90°,其余弦值为0.故选A.4.在正方体ABCD A1B1C1D1中,M是AB的中点,则sin<,>的值等于( B )(A) (B) (C) (D)解析:如图,以D为原点建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则D(0,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),M(1,,0),所以=(1,1,1),=(1,-,0).所以cos<,>===.所以sin<,>==.故选B.5.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则空间P,D两点间的距离为( D )(A) (B) (C) (D)解析:设P(x,y,z),因为=2,所以(x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),所以所以所以P(-,,3),=(,-,-2)所以||=.6.已知A∈α,P∉α,=(-,,),平面α的一个法向量n=(0,-, -),则直线PA与平面α所成的角为( C )(A)30°(B)45°(C)60°(D)150°解析:设直线PA与平面α所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|==.所以θ=60°.7.已知正四棱锥S ABCD的侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中点,则AE,SD所成的角的余弦值为( C )(A)(B) (C) (D)解析:建立如图所示的空间直角坐标系,令正四棱锥的棱长为2,则A(1,-1,0),D(-1,-1,0),S(0,0,),E(,,),所以=(-,,),=(-1,-1,-),所以cos<,>==-,所以AE,SD所成的角的余弦值为.故选C.8.在正方体ABCD A1B1C1D1中,E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( B )(A)(B)(C) (D)解析:如图所示,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),E(1,1,),所以=(1,0,1),=(1,1,).设平面A1ED的法向量为n=(x,y,z),则n·=0,且n·=0,即令x=1,得y=-,z=-1,所以n=(1,-,-1).又平面ABCD的一个法向量为=(0,0,1).所以cos<n,>==-.所以平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.故选B.9.已知点M(a,0,a),平面π过原点O,且垂直于向量n=(-,,a),则点M到平面π的距离d为.解析:=(a,0,a),则M到平面π的距离d== a.答案: a10.直线l的方向向量a=(-2,3,2),平面α的一个法向量n=(4,0,1),则直线l与平面α所成角的正弦值为.解析:设直线l与平面α所成的角是θ,a,n所成的角为β,sin θ=|cos β|=||=.答案:11.直三棱柱ABC A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=CC1,M是A1B1的中点,则AC1与BM所成角的余弦值为.解析:以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设AB=AC=CC1=2,则A(0,0,0),C1(0,2,2),B(2,0,0),M(1,0,2),所以=(0,2,2),=(-1,0,2),所以cos<,>===.答案:12.已知向量n=(1,0,-1)与直线l垂直,且直线l经过点A(2,3,1),则点P(4,3,2)到直线l的距离为.解析:=(-2,0,-1),又n与l垂直,所以P到l的距离为||==.答案:13.如图,正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,M是CE与AD的交点,AC⊥BC,且AC=BC.(1)求证:AM⊥平面EBC;(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小.(1)证明:因为四边形ACDE是正方形,所以EA⊥AC,AM⊥EC.因为平面ACDE⊥平面ABC,所以EA⊥平面ABC.以点A为原点,以过A点平行于BC的直线为x轴,分别以AC和AE所在直线为y轴和z轴,建立空间直角坐标系Axyz.设EA=AC=BC=2,则A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,2).因为M是正方形ACDE的对角线的交点,所以M(0,1,1).因为=(0,1,1),=(0,2,-2),=(2,0,0),所以·=0,·=0.所以AM⊥EC,AM⊥CB.又因为EC∩CB=C,所以AM⊥平面EBC.(2)解:因为AM⊥平面EBC,所以为平面EBC的一个法向量.因为=(0,1,1),=(2,2,0),所以cos<,>==.所以<,>=60°.所以直线AB与平面EBC所成角的大小为30°.14.如图所示,在矩形ABCD中,AD=2AB=2,点E是AD的中点,将△DEC 沿CE折起到△D′EC的位置,使二面角D′EC B是直二面角.(1)证明:BE⊥CD′;(2)求二面角D′BC E的正切值.(1)证明:因为AD=2AB=2,E是AD的中点,所以△BAE,△CDE是等腰直角三角形.易知∠BEC=90°,即BE⊥EC.又因为平面D′EC⊥平面BEC,平面D′EC∩平面BEC=EC,所以BE⊥平面D′EC,又CD′⊂平面D′EC,所以BE⊥CD′.(2)解:如图,分别以EB,EC为x,y轴,过E垂直平面BEC的直线为z轴,建立空间直角坐标系,则B(,0,0),C(0,,0),D′(0,,),=(-,,0),=(0,,-).易知平面BEC的一个法向量为n1=(0,0,1),设平面D′BC的法向量为n2=(x2,y2,z2),由⇒取x2=1,得n2=(1,1,1),所以cos n1,n2==.tan n1,n2=,所以二面角D′BC E的正切值为.15.如图,在多面体ABCDEF中,CDEF为矩形,ABCD为直角梯形,平面CDEF⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=CD=1,ED=,M为线段EA上的动点.(1)若M为EA中点,求证:AC∥平面MDF;(2)线段EA上是否存在点M,使平面MDF与平面ABCD所成的锐二面角大小为?若存在,求出AM长度;若不存在,说明理由.(1)证明:连接CE交DF于O,连接OM,因为CDEF为矩形,所以O为CE中点,又M为EA中点,所以OM∥AC,又OM⊂平面MDF,AC⊄平面MDF,所以AC∥平面MDF.(2)解:存在.因为平面CDEF⊥平面ABCD,在矩形CDEF中,ED⊥DC,平面CDEF∩平面ABCD=CD,所以ED⊥平面ABCD,又AD⊂平面ABCD,所以ED⊥AD.又CD⊥AD,则以D为原点,建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示,则D(0,0,0),A(1,0,0),E(0,0,),F(0,2,).易知M,E重合时不符合,可设=λ(0≤λ<1),则M(1-λ,0,λ),=(1-λ,0,λ),=(0,2,),设n=(x,y,z)为平面DMF的法向量,则n·=0,n·=0,即取x=,y=-,z=1,则n=(,-,1),又ED⊥平面ABCD,所以平面ABCD的法向量可取m=(0,0,1).依题意,|cos＜m,n＞|===,解得λ=2-3∈[0,1)或λ=-(2+3)∉[0,1)(舍去),所以存在点M,当AM=(2-3)AE时,平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的大小为,此时AM=4-6.16.已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( A )(A)(B) (C) (D)解析:以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=1,则D(0,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),C(0,1,0),=(1,1,0),=(0,1,2),=(0,1,0).设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则取z=1,则y=-2,x=2,所以n=(2,-2,1).设CD与平面BDC1所成角为θ,则sin θ=|cos<n,>|= ||=||=.17.已知矩形ABCD与ABEF全等,D AB F为直二面角,M为AB中点,FM 与BD所成角为θ,且cos θ=,则AB与BC的边长之比为( C ) (A)1∶1 (B)∶1 (C)∶2 (D)1∶2解析:设AB=a,BC=b,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则相关各点坐标为F(b,0,0),M（0,,0）,B(0,a,0),D(0,0,b),=(-b,,0),=(0,-a,b),所以||=,||=,·=-,|cos<,>|==,整理得4×+5×-26=0,所以==.故选C.18.如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则点B1到平面ABC1的距离为.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(,,0),B(0,1,0),B1(0,1,1),C1(0,0,1),则=(,,-1),=(0,1,0),=(0,1,-1).设平面ABC1的一个法向量为n=(x,y,1),则有解得n=(,1,1),则所求距离为==.答案:19.在四棱锥P ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PA⊥平面ABCD,AB=2, AD=,∠BAD=120°,PA=a,则当a变化时,直线PD与平面PBC所成角的取值范围是.解析:如图建立空间直角坐标系,得B(0,2,0),C(,2-,0),D(,-,0),P(0,0,a).设平面PBC的法向量m=(x,y,z),=(,-,0),=(0,2,-a),所以即令x=1,则y=,z=,得m=(1,,),又=(,-,-a),所以cos<,m>=,sin θ=︱︱=2·=≤,所以sin θ∈(0,],则θ∈(0,].答案:(0,]20.如图,在四棱锥P ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB =∠ABC=90°,E是CD的中点.(1)证明:CD⊥平面PAE;(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P ABCD的体积.(1)证明:如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y 轴,z轴建立空间直角坐标系,设PA=h,则相关的各点坐标为:A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).易知=(-4,2,0),=(2,4,0),=(0,0,h).因为·=-8+8+0=0,·=0,所以CD⊥AE,CD⊥AP.而AP,AE是平面PAE内的两条相交直线,所以CD⊥平面PAE.(2)解:由题设和(1)知,,分别是平面PAE,平面ABCD的法向量,而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,所以|cos＜,＞|=|cos＜,＞|,即||=||.由(1)知,=(-4,2,0),=(0,0,-h),=(4,0,-h),故||=||.解得h=.又梯形ABCD的面积为S=×(5+3)×4=16,所以四棱锥P ABCD的体积为V=×S×PA=×16×=.。

课时作业19 利用空间向量求角和距离|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为( )A ．10B ．3 C.83 D.103解析：点P 到平面α的距离d ＝|PA →·n ||n |＝|－2－4－4|4＋4＋1＝103.答案：D2．直三棱锥ABC ­A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A.110B.25 C.22 D.3010解析：根据已知条件，分别以C 1A 1，C 1B 1，C 1C 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设CA ＝2，则A (2,0,2)，N (1,0,0)，B (0,2,2)， A 1(2,0,0)，B 1(0,2,0)，M (1,1,0)；所以BM →＝(1，－1，－2)， AN →＝(－1,0，－2)；所以cos 〈BM →，AN →〉＝36×5＝3010；所以BM 与AN 所成角的余弦值为3010. 故选D. 答案：D3．如图，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63 B.265 C.155 D.105解析：如图所示，建立空间直角坐标系D －xyz ，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,1)，C 1(0,2,1)，∴BC 1→＝(－2,0,1)．连接AC ，易证AC ⊥平面BB 1D 1D ，所以平面BB 1D 1D 的一个法向量为a ＝AC →＝(－2,2,0)．∴所求角的正弦值为|cos 〈a ，BC 1→〉|＝|a ·BC 1→||a ||BC 1→|＝48×5＝105.答案：D4．正方形ABCD 所在平面外有一点P ，PA ⊥平面ABCD .若PA ＝AB ，则平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的大小为( )A ．30° B．45° C ．60° D．90°解析：建系如图，设AB ＝1，则A (0,0,0)，B(0,1,0)，P (0,0,1)，D (1,0,0)，C (1,1,0)． 平面PAB 的法向量为n 1＝(1,0,0)． 设平面PCD 的法向量n 2＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n 2·PD →＝0，n 2·CD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，y ＝0.令x ＝1，则z ＝1.∴n 2＝(1,0,1)， cos 〈n 1，n 2〉＝12＝22. ∴平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的余弦值为22. ∴此角的大小为45°. 答案：B5．已知矩形ABCD 与ABEF 全等，D ­AB ­F 为直二面角，M 为AB 中点，FM 与BD 所成角为θ，且cos θ＝39，则AB 与BC 的边长之比为( ) A ．1∶1 B.2∶1 C.2∶2 D．1∶2解析：设AB ＝a ，BC ＝b ，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则相关各点坐标为F (b,0,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，a 2，0，B (0，a,0)，D (0,0，b )，FM →＝⎝⎛⎭⎪⎫－b ，a 2，0，BD →＝(0，－a ，b )， 所以|FM →|＝b 2＋a 24，|BD →|＝a 2＋b 2，FM →·BD →＝－a 22，|cos 〈FM →，BD →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 22b 2＋a 24×a 2＋b 2＝39，整理得4×b 4a 4＋5×b 2a2－26＝0，所以AB BC ＝ab ＝22. 故选C. 答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．直线l 的方向向量a ＝(－2,3,2)，平面α的一个法向量n ＝(4,0,1)，则直线l 与平面α所成角的正弦值为________．解析：设直线l 与平面α所成的角是θ，a ，n 所成的角为β，sin θ＝|cos β|＝|(－2，3，2)·(4，0，1)17×17＝617. 答案：6177．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM →，D 1N →〉＝________. 解析：建立如图所示空间直角坐标系D －xyz ，设正方体棱长为2.则C (0,2,0)，M (2,0,1)，D 1(0,0,2)，N (2,2,1)． ∴CM →＝(2，－2,1)，D 1N →＝(2,2，－1)． ∴cos〈CM →，D 1N →〉＝4－4－13×3＝－19.∴sin〈CM →，D 1N →〉＝459.答案：4598．棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离是________．解析：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，则D (0,0,0)，B (a ，a,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，0，a 2，A 1(a,0，a )，所以DB →＝(a ，a,0)， DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，0，a 2，MA 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，a 2， 设平面MBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·DB →＝0，n ·DM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋ay ＝0，ax ＋a 2z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，z ＝－2x ，令x ＝1，则n ＝(1，－1，－2)， 所以点A 1到平面MBD 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪MA 1→·n |n | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫0，0，a 2·(1，－1，－2)1＋1＋4＝66a . 答案：66a 三、解答题(每小题10分，共20分)9．正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1的夹角．解析：建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ， 则A (0,0,0)，B (0，a,0)，A 1(0,0，2a )，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，a 2，2a ，B 1(0，a ，2a )． 方法一 如图，取A 1B 1的中点M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，2a ，连接AM ，MC 1，则MC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，0，0，AB →＝(0，a,0)，AA 1→＝(0,0，2a )．∵MC 1→·AB →＝0，MC 1→·AA 1→＝0， ∴MC 1⊥平面ABB 1A 1.∴∠C 1AM 即直线AC 1与侧面ABB 1A 1的夹角． ∵AC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，a 2，2a ，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，2a ，∴AC 1→·AM →＝0＋a 24＋2a 2＝9a 24.又|AC 1→|＝3a 24＋a 24＋2a 2＝3a ，|AM →|＝a 24＋2a 2＝3a 2， ∴cos〈AC 1→，AM →〉＝9a 243a ·3a 2＝32. ∴〈AC 1→，AM →〉＝30°，即AC 1与侧面ABB 1A 1的夹角为30°.方法二 AB →＝(0，a,0)，AA 1→＝(0,0，2a )． 设侧面ABB 1A 1的法向量为n ＝(λ，x ，y )， 则n ·AB →＝0且n ·AA 1→＝0， ∴ax ＝0且2ay ＝0，∴x ＝y ＝0，故n ＝(λ，0,0)． 又AC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，a 2，2a ，∴cos〈AC 1→，n 〉＝AC 1→·n |AC 1→||n |＝－32a ·λ3a ·|λ|＝－λ2|λ|.设AC 1与侧面ABB 1A 1的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈AC 1→，n 〉|＝12，∴θ＝30°，即AC 1与侧面ABB 1A 1的夹角为30°.10．如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，CA ＝4，CB ＝4，CC 1＝22，∠ACB ＝90°，点M 在线段A 1B 1上．(1)若A 1M ＝3MB 1，求异面直线AM 与A 1C 所成角的余弦值； (2)若直线AM 与平面ABC 1所成角为30°，试确定点M 的位置．解析：(1)分别以CA ，CB ，CC 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示C －xyz ， 则C (0,0,0)，A (4,0,0)，A 1(4,0,22)，B 1(0,4,22)． 因为A 1M ＝3MB 1， 所以M (1,3,22)，可得A 1C →＝(－4,0，－22)， AM →＝(－3,3,22)，所以cos 〈A 1C →，AM →〉＝A 1C →·AM →|A 1C →||AM →|＝424×26＝3939.所以异面直线AM 与A 1C 所成角的余弦值为3939. (2)由(1)得B (0,4,0)，B 1(0,4,22)， 所以AB →＝(－4,4,0)，AC 1→＝(－4,0,22)．设n ＝(a ，b ，c )是平面ABC 1的法向量， 可得⎩⎨⎧n ·AB →＝－4a ＋4b ＝0，n ·AC 1→＝－4a ＋22c ＝0，取a ＝1，得b ＝1，c ＝2， 所以n ＝(1,1，2)，而直线AM 与平面ABC 1所成角为30°，可得AM →与n 所成角为60°或120°， 所以|cos 〈AM →，n 〉|＝12，设点M 的横坐标为x ， 则AM →＝(x －4,4－x,22)， 即|AM →·n ||AM →||n | ＝|1·(x －4)＋1·(4－x )＋2×22|2(x －4)2＋(4－x )2＋8＝22(x －4)2＋8＝12， 解得x ＝2或6.由M 在线段A 1B 1上可得0≤x ≤4， 故x ＝2，即点M 为线段A 1B 1的中点时，满足直线AM 与平面ABC 1所成角为30°.|能力提升|(20分钟，40分)11．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1棱长为a ，则点C 1到平面A 1BD 的距离是( ) A.22a B.33a C.3a D.233a解析：以A为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则AC 1→＝(a ，a ，a )，BC 1→＝(0，a ，a )，由于AC 1⊥平面A 1BD ，所以点C 1到平面A 1BD 的距离是|AC 1→·BC 1→||A 1C →|＝2a23a ＝233a .故选D. 答案：D12．如图正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是平面A 1B 1C 1D 1的中心，则BO 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为________．解析：建立空间直角坐标系如图，则B (1,1,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，DA 1→＝(1,0,1)是平面ABC 1D 1的一个法向量．又OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－1， ∴BO 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为|OB →·DA 1→||OB →|·|DA 1→|＝1262×2＝36.答案：3613．如图，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，∠ADE ＝90°，AF ∥DE ，DE ＝DA ＝2AF ＝2.请建立适当的直角坐标系解答下列问题：(1)求证：AC ∥平面BEF ；(2)求平面BEF 与平面ABCD 所成角的余弦值．解析：(1)证明：以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，E (0,0,2)，F (2,0,1)． BF →＝(0，－2,1)，BE →＝(－2，－2,2)，AC →＝(－2,2,0)．设平面BEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则有n ·BF →＝0，n ·BE →＝0. 即－2y ＋z ＝0，－2x －2y ＋2z ＝0， 取y ＝1，则z ＝2，x ＝1， 所以n ＝(1,1,2)， 又n ·AC →＝0， 所以n ⊥AC →， 又AC ⊄平面BEF ， 所以AC ∥平面BEF .(2)易知DE →＝(0,0,2)是平面ABCD 的一个法向量，cos 〈DE →，n 〉＝|n ·DE →||DE →||n |＝|4|1＋1＋22×22＝63. 即平面BEF 与平面ABCD 所成角的余弦值为63. 14．如图1所示，在边长为12的正方形AA ′A ′1A 1中，BB 1∥CC 1∥AA 1，且AB ＝3，BC ＝4，AA ′1分别交BB 1，CC 1于点P ，Q ，将该正方形沿BB 1，CC 1折叠，使得A ′A 1与AA 1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1，请在图2中解决下列问题：(1)求证：AB ⊥PQ ；(2)求直线BC 与平面A 1PQ 所成角的正弦值．解析：(1)证明：由题图1知，CA ′＝AA ′－AB －BC ＝5， BP ＝AB ＝3，CQ ＝AC ＝7，在题图2中，因为AB 2＋BC 2＝AC 2，所以AB ⊥BC ，又B 1B ⊥AB ，B 1B ⊥BC ，所以，以B 为原点，分别以直线AB ，BC ，BB 1为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ，则B (0,0,0)，A (3,0,0)，C (0,4,0)，A 1(3,0,12)，P (0,0,3)，Q (0,4,7)，所以BA →＝(3,0,0)，PQ →＝(0,4,4)，因为BA →·PQ →＝3×0＋0×4＋0×4＝0，所以BA →⊥PQ →，即AB ⊥PQ .(2)由(1)知，PA 1→＝(3,0,9)，BC →＝(0,4,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1PQ 的法向量，则⎩⎨⎧ n ·PQ →＝4y ＋4z ＝0，n ·PA 1→＝3x ＋9z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－3，－1,1)，设直线BC 与平面A 1PQ 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，BC →〉|＝|n·BC→| |n||BC→|＝411×4＝11 11.即直线BC与平面A1PQ所成角的正弦值为11 11.。

1.4.2空间向量研究距离、夹角问题【题组1求点到直线的距离】1、已知(3,1,0)A ，(5,2,2)B ，(2,0,3)C ，则点C 到直线AB 的距离为（）A．3C．【答案】D【解析】因为(2,1,2)=AB ，(1,1,3)=--AC ，所以1||⋅=AB ACAB ．设点C 到直线AB 的距离为d ，则==d 故选：D2、直线l 的方向向量为()1,1,1m =-，且l 过点()1,1,1A -，则点()0,1,1P -到l 的距离为___________.【解析】(1,0,2)=-AP ，直线l 的方向向量为()1,1,1=-m ，由题意得点P 到l 的距离==d 3、已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 在正方体内部，且满足1132243AP AB AD AA =++，则点P 到直线AD 的距离是（）A．12B．56C．34D．23【答案】B【解析】如图，建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，故()1,0,0AB =，()0,1,0AD =uuu r，()10,0,1AA =，因为1132243AP AB AD AA =++，所以132,,243AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，易知34AP AD AD⋅=，故点P 到直线AD 的距离56d =.故选：B.4、在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点，则点A 到直线1B E 的距离为（）A．12B．1D．32【答案】B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，由已知，得(0,0,0)A ，1(0,1,)2E ，1(1,0,1)B ，1(1,0,1)B A =--，11(1,1,)2B E =--，所以1B A 在1B E 上的投影为111321||B A B EB E ⋅==，所以点A 到直线1B E1==故选：B5、鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB BC PA ===，D ，E 分别是棱AB ，PC 的中点，点F 是线段DE 的中点，则点F 到直线AC 的距离是（）A．38C．118D．224【答案】B【解析】因为AB BC =，且ABC 是直角三角形，所以AB BC ⊥.以B 为原点，分别以BC ，BA 的方向为x ，y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.因为2AB BC PA ===，所以()0,2,0A ，()2,0,0C ，()0,1,0D ，()1,1,1E ，则()2,2,0AC =-，11,1,22AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故点F 到直线AC的距离4d ==.故点F 到直线AC6、在如图所示的多面体中，AD BC ∥且2AD BC =.AD CD ⊥，EG AD ∥且EG AD =，CD FG ∥且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===.求点F 到直线EC的距离；【解析】因为DG ⊥平面ABCD ，DA ⊂平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以DG DA ⊥，且DG DC ⊥，因为AD DC ⊥，如图所示，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，(0,0,2)G ，(2,0,2)E ，(0,1,2)F ，(1,2,0)B ，所以(222)=-CE ,,，(2,1,0)=-EF ，所以求点F 到直线EC 的距离为==【题组2求点到平面的距离】1、已知平面α的一个法向量n =(3，4，0)，点A (-1，1，1)在α内，则P (1，2，3)到α的距离为（）A．103B．2C．4D．83【答案】B【解析】由题意，得()2,1,2AP =uu u r，又知平面α的一个法向量()3,4,0n =，则P 到平面α的距离2AP nd n⋅==uu u r r r 故选：B.2、在正方体1111ABCD A B C D -中，6,3,,AB AB AE P F ==分别是线段11,A C BB 的中点，则点P到直线EF 的距离是（）B．125D．185【答案】A【解析】如图，以A 为坐标原点，分别以1,,AB AD AA 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -.因为6AB =，所以()()()3,3,3,2,0,0,6,0,3P E F ，所以()()4,0,3,3,3,0EF PF ==-，则点P 到直线EF的距离.5d ==故选：A3、在正三棱柱111ABC A B C -中，若14AB AA ==，点D 是1AA 的中点，则点1A 到平面1D B C 的距离是（）B．22C．23D．24【答案】A【解析】以AC 为y 轴，以1AA 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，正三棱柱111ABC A B C -中，若14AB AA ==，点D 是1AA的中点，∴B ，1(0,4,4)C ，(0,0,2)D ，1(0,0,4)A，2,2)∴=-uu u DB ，1(0,4,2)=uuu u r DC ，1(0,0,2)=uuu r DA ，设平面1BDC 的法向量为(,,)n x y z =，0n DB ⋅=r uuu rQ ，10n DC ⋅=，220420y z y z ⎧+-=⎪∴⎨+=⎪⎩，取1y =-，则1,2)n =-，∴点1A 到平面1D B C的距离1||n DA d n ⋅===r uuu rr 4、在长方体1111ABCD A B C D -中，112A B =､2AD =，14AA =，求直线11AC 到平面1ACB 的距离.【答案】43【解析】以点A 为原点，分别以AB ､AD 与1AA 的方向为x 、y 、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系.则()0,0,0A ､()2,0,0B ､()2,2,0C ､()0,2,0D ､()10,0,4A ､()12,0,4B ､()12,2,4C ､()10,2,4D ，所以()10,0,4A A =，()2,2,0AC =，()12,0,4AB =，设平面1ACB 的一个法向量(),,n x y z =.所以10n AC n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以220,,240,2,x y y x x z x z +==-⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩令1z =-，则()2,2,1n =--，设直线11AC 到平面1ACB 的距离为d ，因为()10,0,4A A =，所以143AA n d n⋅==，所以直线11AC 到平面1ACB 的距离为435、如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知14AB AA ==，D 为11A B 的中点，E 在11AC上．（1）若11A E =，证明：DE ⊥CE ；（2）若1//A B 平面CDE ，求直线1A B 和平面CDE 的距离．【答案】（1）证明见解析；【解析】（1）证明：因为11A E =，12A D =，由余弦定理DE ==所以22211111DE A E A D DE A E DE AC +=⇒⊥⇒⊥，又因为1AA ⊥平面111A B C ，DE ⊂平面111A B C ，所以1AA DE ⊥，由于1111AC AA A =，故DE ⊥平面11ACC A ，而EC ⊂平面11ACC A ，故DE ⊥EC ；（2）以C 为坐标原点，CA 为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．此时()0,0,0C ，()10,0,4C，()2,B ，()14,0,4A，()4D ，设()()111014,0,4C E C A E λλλ=<<⇒，此时()4CD =，()4,0,4CE λ=，设平面CDE 的一个法向量为(),,m x y z =，则00CD m CE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即340440x z x z λ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，m=)43,λ-，因为1A B ∥平面CDE ，所以110A B m A B m ⊥⇒⋅=，故())2,443,0λ--⋅-=，即()430λ--+=，解得23λ=，故112844333C E A E =⨯=⇒=由于1A B ∥平面CDE ，直线1A B 和平面CDE 的距离等于点1A 和平面CDE 的距离．此时()14,0,4CA =，1,3m =-，取(31,n m ==--，所以点1A 和平面CDE的距离1305CA n h n⋅==，所以直线1A B 和平面CDE的距离为5.6、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为4，M ，N ，E ，F 分别为A 1D 1，A 1B 1，C 1D 1，B 1C 1的中点，则平面AMN 与平面EFBD 的距离为_____.【答案】83【解析】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则A (4，0，0)，M (2，0，4)，D (0，0，0)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)，N (4，2，4).∴EF =(2，2，0)，MN =(2，2，0)，AM =(-2，0，4)，BF =(-2，0，4)，∴EF MN BF AM ==，，∴EF ∥MN ，BF ∥AM ，EF ∩BF=F ，MN ∩AM=M.∴平面AMN ∥平面EFBD.设n =(x ，y ，z )是平面AMN 的一个法向量，则·220·240n MN x y n AM x z ⎧=+=⎨=-+=⎩，，解得22.x z y z =⎧⎨=-⎩，取z=1，则x=2，y=-2，得n =(2，-2，1).平面AMN 到平面EFBD 的距离就是点B 到平面EFBD 的距离.∵AB =(0，4，0)，∴平面AMN 与平面EFBD 间的距离d=||83||⋅=n AB n .【题组3求异面直线所成角】1、已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11AC 的中点，则AM 与1BC 所成角的正弦值为（）A．153B．3C．4D．104【答案】C【解析】取线段AC 的中点O ，则BO AC ⊥，设直三棱柱111ABC A B C -的棱长为2，以点O 为原点，OB 、OC 、1AA 的方向分别为x 、y 、z 的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0A -、()0,0,2M、)B、()10,1,2C ，所以，()0,1,2AM =，()1BC =，111cos ,4AM BC AM BC AM BC ⋅<>==⋅.所以，1sin ,AM BC <>=2、已知在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD .若12AA =，1AB =，E 是线段1DD 的中点，1111A C B D O =，则异面直线CE 与BO 所成角的余弦值为（）A．35B．56C．23D．34【答案】B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则11(0,1,0),(1,1,0),(0,0,1),(,,2)22C B E O ，故11(0,1,1),(,,2)22CE BO =-=--，所以异面直线CE 与BO 所成角的余弦值为12526CE BO CE BO+⋅=⋅，故选：B3、在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AD ，11A B 的中点，则异面直线EF 与1AD 所成角的余弦值为（）．C．2【答案】A【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()()()()11,0,0,2,1,2,2,0,0,0,0,2E F A D ，∴()()11,1,2,2,0,2EF AD ==-，∴111cos ,EF AD EF AD EF AD ⋅=⋅即异面直线EF 与1AD所成角的余弦值为6.故选：A.4、如图，在圆锥AO 中，AO BO =，点C 在圆O 上，当直线AB 与BC 所成角为60°时，直线AB 与CD 所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，设1AO BO ==，则()()00,1,01,0A B ，，，(),0C x y ，，()01,0D -，所以()01,1AB =-，，()1,0BC x y =-，，因为直线AB 与BC 所成角为60°，所以1cos ,2AB B C =，又因为点C 在圆O 上，所以22+1x y =，所以解得0y =，所以1x =，点()100C ，，，所以()11,0CD =--，，则1cos ,2AB CD ==，又直线AB 与CD 所成角的范围为02π⎛⎤⎥⎝⎦，，所以直线AB 与CD 所成的角60°，故选：C．5、如图，直三棱柱111ABC A B C -，AC BC ⊥，且1CA CC ==，则直线1BC 与直线1AB 所成角的余弦值为（）【答案】D【解析】如图所示，建立空间直角坐标系．不妨取1CB =，则1CA CC ==)A∴，()0,0,1B，()1C，()1B ．∴()1AB =，()11BC =-，．∴111111cos ,||||AB BC AB BC AB BC ⋅<>=．故选：D．6、如图，S 是正三角形ABC 所在平面外一点，M ，N 分别是AB 和SC 的中点，SA SB SC ==，且90ASB BSC CSA ∠=∠=∠=︒，则异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为（）A．C．1010【答案】B【解析】不妨设1SA SB SC ===，如图建立空间直角坐标系Sxyz ，则相关各点坐标为()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,1C ，()0,0,0S ，又M ，N 分别是AB 和SC 的中点，则11,,022M ⎛⎫⎪⎝⎭，10,0,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭．所以11,,022SM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，10,1,2BN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以SM =，BN =所以110022SM BN ⎛⎫⋅=+-+=-⎪⎝⎭，12cos ,5SM BN -=-因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线SM与BN 所成角的余弦值为5，故选：B.7、将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A．1222C．12-D．22-【答案】A【解析】取BD 中点为O ，连接,AO CO ，所以,AO BD CO BD ⊥⊥，又面ABD ⊥面CBD 且交线为BD ，AO ⊂面ABD ，所以AO ⊥面CBD ，OC ⊂面CBD ，则AO CO ⊥.设正方形的对角线长度为2，如图所示，建立空间直角坐标系，()()()(0,0,1),1,0,0,0,1,0,1,0,0A B C D -，所以()()=1,0,1,=1,1,0AB CD ---，所以1cos ,2⋅<>==-AB CD AB CD AB CD.所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为12.故选:A8、如图，矩形ABCD 是圆柱12O O 的轴截面，2AB =，3AD =，点E 在上底面圆周上，且2EC DE =，则异面直线AE 与2O C 所成角的余弦值为（）B．1920C．4950D．15【答案】B【解析】根据题意可以2O 为坐标原点，2O B ，21O O 所在直线分别为y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()20,0,0O ，()0,1,0A -，()0,1,3C，1,32E ⎫-⎪⎪⎝⎭，故1,32AE ⎫=⎪⎪⎝⎭，()20,1,3O C =，故22219192cos ,20AE O C AE O C AE O C+⋅==⋅，故异面直线AE 与2O C 所成角的余弦值为1920，故选：B.【题组4求直线与平面所成角】1、已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C 到平面AB 1D 1的距离为5，则直线1B D 与平面11AB D 所成角的余弦值为（）A．10B．10C．10D．10【答案】A【解析】如图，连接11AC 交11B D 于O 点，过点C 作CH AO ⊥于H ，则CH ⊥平面11AB D，则5CH =，设1AA a =，则AO CO AC ===则根据三角形面积得1122AOC S AO CH AC ∆=⨯⨯=⨯，代入解得a =以1A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -．则11(0,0,(2,0,0),(0,2,0),(0,2,A B D D ，所以11(0,2,(2,0,=-=-ADAB 1(2,2,B D =-，设平面11AB D 的法向量为(n x =，y ，)z ，则1100n AD n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令x =，得n =．111cos ,||||B D n B D n B D n ⋅〈〉==所以直线1B D 与平面1111D C B A 所成的角的余弦值为31010，故选：A ．2、如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，则直线1AD 与平面BDE 所成角的正弦值为（）D．6【答案】D【解析】以点D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,1E ，()10,0,2D ，所以()2,2,0DB =，()0,2,1DE =，()12,0,2AD =-，设平面BDE 的一个法向量(),,m x y z =，则00m DB m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22020x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z =，所以平面BDE 的一个法向量()1,1,2m =-，设直线1AD 与平面BDE 所成角为θ，所以1sin cos ,6AD m θ==．故选：D.3、如图，正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的所有棱长都相等，E ，F ，G 分别为AB ，AA 1，A 1C 1的中点，则B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为()A．35B．56C．10【答案】A【解析】设正三棱柱的棱长为2，取AC 的中点D ，连接DG ，DB ，分别以DA ，DB ，DG 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则1B (02)，(1F ，0，1)，1(2E ，(0G ，0，2)，所以1(1B F =，1)-，13(,,1)22EF =，(1,0,1)GF =-．设平面GEF 的法向量为(,,)n x y z =，则1020EF n x z GF n x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-=⎩，取1x =，则1z =，y =故n =为平面GEF 的一个法向量，所以13|cos ,|5n B F <>==，所以1B F 与平面GEF 所成角的正弦值为35．故选：A．4、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则直线1A E 与平面11A BC 所成角的正弦值为（）【答案】D【解析】以点D 为坐标原点，向量1,,DA DC DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(0,1,1)C ，11,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，可得11(1,1,0)A C =-，1(1,0,1)BC =-，110,,12A E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设面11A BC 的法向量为(,,)n x y z =，有1110A C n x y BC n x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =，则(1,1,1)n =，所以111122⋅=-=-A E n ，152=A E||n =，则直线1A E 与平面11A BC15=．故选：D.5、已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为CD ，CB 的中点，沿AE ，AF 将三角形ADE ，ABF 折起，使得点B ，D 恰好重合，记为点P ，则AF 与平面PCE 所成角的正弦值为（）A．10B．10【答案】B【解析】由题意知1,1EF PE PF ===，故PE PF ⊥，故,,PA PE PF 三线互相垂直，故以,,PA PE PF 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，可以求得()0,0,0P ，()1,0,0E ，()0,0,2A ，()0,1,0F ，设(),,C x y z ，根据AC =222(2)8x y z ++-=1EC =，则222(1)1x y z -++=1FC =，则222(1)1x y z +-+=232323x y z ⎧=⎪⎪⎪⇒=⎨⎪⎪=-⎪⎩，可得222,,333C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设平面PCE 的法向量为(),,n x y z =222(,,),=(1,0,0)333PC PE =-.22200(0,1,1)33300x y z PC n n PE n x ⎧⎧+-=⋅=⎪⇒⇒=⎨⎨⋅=⎩⎪=⎩.所以可以求得平面PCE 的法向量为()0,1,1n =r，()0,1,2AF =-，所求AF 与平面PCE所成角的正弦值为n AF n AF⋅=⋅6、如图，正四棱锥S ABCD -中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO OC =，则直线CD 与平面PAC 的夹角是（）A．45°B．90°C．30°D．60°【答案】C【解析】如图，以O 为坐标原点，以OB 为x 轴，以OC 为y 轴，以OS 为z 轴，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ．设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A （0，﹣a ，0），C （0，a ，0），D （﹣a ，0，0），S （0，0，a ），P （2a-，0，2a ），则CA =（0，﹣2a ，0），AP =（2a -，a ，2a ），CD =（﹣a ，﹣a ，0），设平面PAC 的一个法向量为(),,n x y z =r，则0n CA ⋅=，0n AP ⋅=，∴20022ay a ax ay z -=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，可取n =（1，0，1），设直线CD 与平面PAC 的夹角为θ，则1sin cos ,2CD n CD n CD nθ⋅===，由090θ<≤，30θ∴=，故选：C7、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA AC BC ===，AB =E 是1CC 的中点，则直线BC 与平面1A BE 所成角的正弦值为（）A．16B．13C．22【答案】D【解析】由题意知，CA ，CB ，CC 1两两垂直，以CA ，CB ，1CC 的方向分別为x 轴､y 轴､z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，则(0,1,0)B ，1(1,0,1)A ，1(0,0,2E ，1(1,1,1)A B =--，10,1,2⎛⎫=- ⎪⎝⎭BE .设平面1A BE 的法向量为(,,)m x y z =，则10,10,2A B m x y z BE m y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令2z =，得(1,1,2)m =-.因为(0,1,0)BC =-，所以cos ,6||||m BC m BC m BC ⋅〈〉==-，故直线BC 与平面1A BE8、在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB AC =，2PA AB =，则直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为（）C．5D．5【答案】B【解析】以A 为坐标原点，以AB 为x 轴，以AC 为y 轴，以AP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系：PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，若设1AB AC ==，2PA =，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,0,2)P ，1(,0,0)2D ，11(,,0)22E ，1(0,,1)2F ，∴(0AP =，0，2)，(0DE =，12，0)，11(,,1)22DF =-设(,,)n x y z =是平面DEF 的一个法向量，则·0·0n DE n DF ⎧=⎨=⎩，即10211022y x y z ⎧=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，取1x =，则1(1,0,)2n =，设PA 与平面DEF 所成的角为θ，则sin|cos,|AP nθ=<>=【题组5求平面与平面所成角】1、如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为（）A．6【答案】D【解析】设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设PA＝AD＝AC＝1，则BD11(0,0,),(0,,0),(22∴B F C D1(00 )2，，∴=uuu rOC∴且OC为平面BDF的一个法向量.由1(,0)22=-uu u rBC，1()22=-uu rFB，可得平面BCF的一个法向量为n=cos,,sin,77∴<>=<>=r uuu r r uuu rn OC nOCtan,∴<>=r uuu rn OC2、如图，正三角形ACB与正三角形ACD所在平面互相垂直，则二面角B CD A--的余弦值是（）A．12B．2C．3D．5【答案】D【解析】如图示，取AC 中点E ，连结BE 、DE ，在正三角形ACB 与正三角形ACD 中，BE ⊥AC ，DE ⊥AC ，因为面ACB ⊥面ACD ，面ACB 面=ACD AC ，所以BE ⊥面ADC ,以E 为原点，ED 为x 轴正方向，EC 为y 轴正方向，EB 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，设AC =2，则())()()(0,0,0,,0,1,0,0,1,0,E DC A B -,平面ACD 的一个法向量为(EB =而()0,,1,0CB CD =-=-，设(),,n x y z =为面BCD 的一个法向量，则：·0·0n CB n DC ⎧=⎨=⎩即00y y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，不妨令x =1，则()n =r设二面角B CD A --的平面角为θ，则θ为锐角，所以cos |cos ,||||||||EB n EB n EB n θ⋅===3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1C D B D --的大小为（）A．6πB．4πC．3πD．2π【答案】C【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，DA 、DC 、1DD 两两垂直，以点D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设棱长为2，则()0,0,0D ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()10,0,2D ，所以()2,2,0DB =，()10,0,2DD =，()10,2,2CD =-，()2,0,0CB =，设平面1CD B 的一个法向量为(),,m x y z =，则1m CD m CB ⎧⊥⎨⊥⎩，即22020y z x -+=⎧⎨=⎩，不妨令1y =，则1z =，即()0,1,1m =；设平面1D BD 的一个法向量为(),,n a b c =，则1DB n DD n ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即22020a b c +=⎧⎨=⎩，不妨令1a =，则1b =-，即()1,1,0n =-，所以111cos ,2m n ⨯-<=-，则2,3m n π<>=；又二面角1C D B D --显然是锐二面角，所以二面角1C D B D --的大小为3π.故选：C.4、如图所示，1111ABCD A B C D -是棱长为6的正方体，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE BF =.当1A 、E 、F 、1C 共面时，平面1A DE 与平面1C DF 所成锐二面角的余弦值为（）A．15B．12【答案】B【解析】以点D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则1(606)A ，，、(000)D ，，、1(066)C ，，，由题意知：当(630)E ，，、(360)F ，，时，1A 、E 、F 、1C 共面，设平面1A DE 的法向量为1111()n x y z =，，，1(606)DA =，，，(630)DE =，，，则1111111660{630n DA x z n DE x y ⋅=+=⋅=+=，取11x =，解得1(121)n =--，，，设平面1C DF 的法向量为2222()n x y z =，，，1(066)DC =，，，(360)DF =，，，则2122222660{360n DC y z n DF x y ⋅=+=⋅=+=，取22x =，解得2(211)n =-，，，设平面1A DE 与平面1C DF 所成锐二面角为θ，则1212121cos cos 2n n n n n n θ⋅====⋅，，∴平面1A DE 与平面1C DF 所成锐二面角的余弦值为12，故选：B.5、如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，且BC ⊥平面PAB ，PA ⊥AB ，M 为PB 的中点，PA ＝AD ＝2.若AB ＝1，则二面角B —AC —M 的余弦值为（）A．6C．6D．16【答案】A【解析】因为BC ⊥平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以PA ⊥BC ，又PA ⊥AB ，且BC ∩AB ＝B ，所以PA ⊥平面ABCD .以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A ­xyz .则A (0，0，0)，C (1，2，0)，P (0，0，2)，B (1，0，0)，M 1,0,12⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1,2,0AC =，1,0,12AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得平面AMC 的一个法向量为n ＝(－2，1，1)，又平面ABC 的一个法向量AP ＝(0，0，2)，所以cos〈n ，AP 〉＝6n AP n AP⋅=.所以二面角B ­-AC ­-M 6、如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1BB 和1DD 的中点，则平面ECF 与平面ABCD 所成的角的余弦值为（）C．13D．23【答案】B【解析】以点A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则(0,0,0)A ，(2,0,1)E ，(0,2,1)F ，(2,2,0)C ，∴(0,2,1)CE =-，(2,0,1)CF =-.∴平面ECF的一个法向量为(1,1,2)n=.设平面ECF与平面ABCD的夹角为θ.∵(0,0,1)m=是平面ABCD的一个法向量，∴cos|cos,|m nm nm nθ⋅=〈〉=⋅.故选：B7、如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，底面ABC是等边三角形，D是AC的中点，且12AB AA==．（1）证明：1//AB平面1BC D；（2）求平面11B AC与平面1BAC夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）57【解析】（1）证明：连接1B C交1BC于点E，连接DE，在三棱柱111ABC A B C-中，四边形11BB C C为平行四边形，因为11B C BC E=，则E为1B C的中点，又因为D为AC的中点，则1//AB DE，1AB⊄平面1BC D，DE⊂平面1BC D，因此，1//AB平面1BC D.（2）因为ABC为等边三角形，D为AC的中点，则BD AC⊥，又因为1AA⊥平面ABC，以点D为坐标原点，DB、DC、1AA的方向分别为x、y、z的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0A-、)B、()0,1,0C、()10,1,2A-、)12B、()10,1,2C，设平面11B AC的法向量为()111,,m x y z=，故()10,2,2AC=，)111,0C B=-，则1111111220m AC y zm C B y⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取11x=，可得(m=，设平面1BAC的法向量为()222,,n x y z=，故)AB=，()10,2,2AC=，则221220220n AB y n AC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取21x =，可得(1,n =，所以5cos ,7m n m n m n⋅<>==-⋅.因为，平面11B AC 与平面1BAC 夹角的余弦值为57.8、如图，在三棱锥P ABC -中，2======AB BC PA PB PC AC ．（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ．（2）若点Q 在棱BC 上，且PC 与平面PAQ--Q AP B 的平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；【解析】（1）证明：取AC 的中点D ，连接PD 、BD ．因为2======AB BC PA PB PC AC ，则,,1⊥⊥==PD AC BD AC PD BD ，所以222BD PD PB +=，即PD BD ⊥．又AC BD D =，,AC BD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥平面ABC ，而PD ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC ．（2）如图，建立空间直角坐标系，则(0,1,0),(1,0,0),(0,1,0)-P A B C ，则(0,1,PC =，(1,1,0)BC =-，(0,1,PA =-，(1,1,0)AB =．令(,,0),[0,1]λλλλ==-∈BQ BC ，则(1,1,0)λλ=+=-+AQ AB BQ ．设平面PAQ 的法向量为(,,)n x y z =，则()()0110n PA y n AQ x y λλ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取13,1,13λλ⎛+=- -⎝⎭n ．设直线PC 与平面PAQ 所成的角为θ，则sin|cos,|PC nPC nPC nθ⋅==解得13λ=或3λ=（舍去），故1,1,2,1,133λλ⎛⎫⎛+=-=--⎪-⎝⎭⎝⎭n设平面PAB的法向量为()000,,=m x y z，所以0000m PA ym AB x y⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取=m．记二面角--Q AP B的平面角为α，所以||cos||||α⋅==m nm n。

（5套，5页，含答案）知识点： 点面距离：利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面的法向量，AB 是平面的一条射线， 其中，则点B 到平面的距离为.典型例题：1. 在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离是( i) A.66a B.306 a C.34a D.63a2. 如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝2，BC ＝4.求点B到平面PCD 的距离．ii随堂练习：1. 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，1111AA A D ==，AB=2，E 为AB 的中点，则1C 到平面1D DE 的距离 iii2. 如图：已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点.(1)求证：平面1AB D ⊥平面11ABB A ；(2)求点1C 到平面1AB D 的距离.（iv ）ααα∈A α||||n n AB ⋅AA 1D CB B 1C 11. 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，棱长为a ，E 、F 、G 分别是CC 1、A 1D 1、AB 的中点，求点A到平面EFG 的距离．v2. 如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，CA ＝2，D 是CC 1的中点，试问在A 1B 上是否存在一点E 使得点A 1到平面AED 的距离为263？（vi）3. 如图，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD ，若已知AB ＝3，AD ＝4，PA ＝1，则点P 到BD 的距离为___vii_____．1. 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离是(viii) A.12 B.24 C.22 D.322. 如图,在四棱锥中,,平面,且,,求点到平面的距离.（ix ）3. 在正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中棱长为1，利用向量法求点C 1到A 1C 的距离．xABCD S -2π=∠=∠ABC DAB ⊥SA ABCD a BC AB SA ===a AD 2=A SCD yz1. 如图，已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AD 、AB 的中点，GC 垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离。