空间向量运算的夹角和距离

用空间向量研究距离问题课程标准学习目标1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题.2.体会向量方法在研究几何问题中的作用 1.借助直线的方向向量和平面的法向量,能计算点到直线的距离、点到平面的距离,并知道两条平行直线之间的距离、直线与平面平行时两者间的距离、两个平行平面之间的距离. 2.能分析和解决一些立体几何中的距离问题,体会向量方法与综合几何方法的共性和差异,体会直线的方法向量和平面的法向量的作用,感悟向量是研究几何问题的有效工具知识点 用空间向量研究距离问题 1.点到直线的距离如图1-4-18,已知直线l 的单位方向向量为u ,A 是直线l 上的定点,P 是直线l 外一点,设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,则向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在直线l 上的投影向量AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ·u )u.在Rt △APQ 中,由勾股定理,得PQ= = .图1-4-182.点到平面的距离如图1-4-19,已知平面α的法向量为n ,A 是平面α内的定点,P 是平面α外一点.过点P 作平面α的垂线l ,交平面α于点Q ,则n 是直线l 的方向向量,且点P 到平面α的距离就是AP⃗⃗⃗⃗⃗ 在直线l 上的投影向量QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度.因此PQ=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n|n |= = . 图1-4-19【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面α外一点A 到平面α的距离,就是点A 与平面α内一点B 所成向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度.( )(2)直线l∥平面α,则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离.()(3)若平面α∥平面β,则两平面α,β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离.()3.解决立体几何中问题的步骤用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”可以概括为“一化二算三译”六字诀.“一化”就是把立体几何问题转化为向量问题;“二算”就是通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系以及它们之间的距离问题;“三译”就是把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.探究点一点到直线的距离例1 如图1-4-20,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3,求点B到直线A'C的距离.图1-4-20变式1 [2020·潍坊高二期末] 已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为()B.1A.2√23C.√2D.2√2变式2 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1C,D1A1的中点,求点A到直线EF的距离.[素养小结]用向量法求点到直线的距离的一般步骤:(1)建立空间直角坐标系;(2)求直线的方向向量;(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线上的投影向量的长度;(4)利用勾股定理求解.另外,要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.探究点二点到平面的距离例2 如图1-4-21,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是C1C,D1A1,AB的中点,求点A到平面EFG的距离.图1-4-21变式如图1-4-22所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=DA=2,F,E分别为AD,PC的中点.(1)求证:DE∥平面PFB;(2)求点E到平面PFB的距离.图1-4-22[素养小结]用向量法求点到平面的距离的步骤:(1)建系:建立恰当的空间直角坐标系;(2)求点的坐标:写出(求出)相关点的坐标;(3)求向量:求出相关向量的坐标;(4)利用公式即可求得点到平面的距离.探究点三线面距和面面距例3 如图1-4-23所示,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD且∠ADC=90°,AD=1,CD=√3,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,求直线A1B1到平面ABE的距离.图1-4-23变式如图1-4-24,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求平面A1BC1与平面ACD1的距离.图1-4-24[素养小结](1)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可.(2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可.拓展如图1-4-25,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F 分别为AB,BC的中点.求:图1-4-25(1)点D到平面PEF的距离;(2)直线AC到平面PEF的距离.1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是A1B1的中点,则点A到直线BE的距离为()A.6√55B.4√55C.2√55D.√552.在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是()A.√66B.√63C.√36D.√333.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,则点B到平面ACD1的距离为()A.√3B.√33C.3√22D.324.如图1-4-26,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC1的中点,则点D1到直线GF的距离为.图1-4-265.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=1,AD=DC=√3,Q 是线段A 1C 1上一点,且C 1Q=13C 1A 1,则点Q 到平面A 1DC 的距离为 .用空间向量研究距离问题参考答案【课前预习】知识点1.√|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 √a 2-(a ·u )22.|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |n |||AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |诊断分析 (1)× (2)√ (3)√ 【课中探究】探究点一例1 解:因为AB=1,BC=2,AA'=3, 所以A'(0,0,3),C (1,2,0),B (1,0,0), 所以直线A'C 的方向向量A'C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,-3). 又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在A 'C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量的长度为|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 'C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||A 'C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√14,所以点B 到直线A'C 的距离d=√|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-(|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 'C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 'C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) 2=√4-1614=2√357. 变式1 A [解析] ∵A (0,0,2),B (1,0,2),C (0,2,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-2),∴点A 到直线BC 的距离d=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |√1-(cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ >)2=1×√1-(-11×3)2=2√23.故选A .变式2 解:连接AF ,以D 为原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示,设DA=2,则A (2,0,0),E (0,2,1),F (1,0,2),则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,1),FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2). |EF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√12+(-2)2+12=√6,FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1+0×(-2)+(-2)×1=-1, FA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量的长度为|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||EF ⃗⃗⃗⃗⃗|=√6, 所以点A 到直线EF 的距离d=√|FA |2-(√6) 2=√296=√1746. 探究点二例2 解:以D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (2,0,0),E (0,2,1),F (1,0,2),G (2,1,0), 所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,1),GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,2). 设n=(x ,y ,z )是平面EFG 的法向量, 点A 到平面EFG 的距离为d ,则{n ·GE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·GF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以{-2x +y +z =0,-x -y +2z =0,取z=1,得n=(1,1,1),所以d=|AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√3=√33,即点A 到平面EFG 的距离为√33.变式 解:(1)证明:以D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则P (0,0,2),F (1,0,0),B (2,2,0),E (0,1,1), 所以FP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2),FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0),DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1), 所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12FP ⃗⃗⃗⃗⃗ +12FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又因为DE ⊄平面PFB , 所以DE ∥平面PFB. (2)因为DE ∥平面PFB ,所以点E 到平面PFB 的距离等于点D 到平面PFB 的距离. 设平面PFB 的法向量为n=(x ,y ,z ), 则{n ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x +2y =0,-x +2z =0,取x=2,得n=(2,-1,1). 因为FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,0),所以点D 到平面PFB 的距离d=|FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√6=√63,所以点E 到平面PFB 的距离为√63.探究点三例3 解:如图,以D 为坐标原点,分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A 1(1,0,2),A (1,0,0),E (0,√3,1),C (0,√3,0). 过点C 作AB 的垂线交AB 于点F ,易得BF=√3, ∴B (1,2√3,0),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-√3,1). 设平面ABE 的法向量为n=(x ,y ,z ), 则{n ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2√3y =0,-x -√3y +z =0,取x=1,得n=(1,0,1).∵AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2),∴点A 1到平面ABE 的距离d=|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√2=√2.∵直线A 1B 1到平面ABE 的距离等于点A 1到平面ABE 的距离, ∴直线A 1B 1到平面ABE 的距离为√2.变式 解:如图,建立空间直角坐标系,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),设平面ACD 1的法向量为n=(x ,y ,z ),由n ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得{-x +y =0,-x +z =0,取x=1,得n=(1,1,1),所以平面ACD 1的一个法向量为n=(1,1,1),因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),所以点B 到平面ACD 1的距离d=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√3=√33. 因为平面A 1BC 1与平面ACD 1的距离等于点B 到平面ACD 1的距离, 所以平面A 1BC 1与平面ACD 1的距离为√33.拓展 解:(1)连接DE.∵PD ⊥平面ABCD ,∴PD ⊥AD ,PD ⊥CD ,又AD ⊥CD , ∴可建立如图所示的空间直角坐标系,则P (0,0,1),A (1,0,0),C (0,1,0),E 1,12,0,F 12,1,0,∴PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,12,-1,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,12,0. 设平面PEF 的法向量为n=(x ,y ,z ), 则{n ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-12x +12y =0,x +12y -z =0,取x=1,则平面PEF 的一个法向量为n=1,1,32.易知DE⃗⃗⃗⃗⃗ =1,12,0,设D 到平面PEF 的距离为d , 则d=|DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=|1+12|√172=3√1717, 故点D 到平面PEF 的距离为3√1717.(2)由(1)知,平面PEF 的一个法向量为n=1,1,32.∵EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,12,0,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0), ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥EF⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵AC ,EF 不共线,∴AC ∥EF ,又∵AC ⊄平面PEF ,EF ⊂平面PEF ,∴AC ∥平面PEF. 易得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,12,0,设直线AC 到平面PEF 的距离为h , 则h=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=12√172=√1717, 故直线AC 到平面PEF 的距离为√1717. 【课堂评价】1.B [解析] 如图,以B 为原点,分别以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2),设∠ABE=θ,则cos θ=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗||BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2×√5=√55,则sin θ=√1-cos 2θ=2√55,故点A 到直线BE 的距离d=|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |sin θ=2×2√55=4√55. 2.D [解析] 以P 为原点,分别以PA ,PB ,PC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1),则PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),易得平面ABC 的一个法向量为n=(1,1,1),则P 到平面ABC 的距离d=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√33.3.A [解析] 如图,以D 为原点,分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,则B (3,3,0),A (3,0,0),C (0,3,0),D 1(0,0,3),所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,3,0),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0,3),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,0).设平面ACD 1的法向量为n=(x ,y ,z ),则{n ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3x +3y =0,n ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3x +3z =0,取x=1,得n=(1,1,1),∴点B 到平面ACD 1的距离d=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√3=√3.故选A . 4.√423 [解析] 连接GD 1.以D 为坐标原点,分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,则D 1(0,0,2),F (1,1,0),G (0,2,1),所以GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,-1),GD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,1),所以GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·GD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |GF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2-1√3=1√3,|GD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,所以点D 1到直线GF 的距离为√5-13=√423. 5.√33 [解析] 连接DQ ,建立如图所示的空间直角坐标系,则D (0,0,1),C (0,√3,1),A 1(√3,0,0),C 1(0,√3,0),由C 1Q=13C 1A 1,得Q √33,2√33,0,∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,-1),DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√33,2√33,-1.设平面A 1DC 的法向量为n=(x ,y ,z ),由{n ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{√3y =0,√3x -z =0,可取n=(1,0,√3),∴点Q 到平面A 1DC 的距离d=|DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√33.。

—的平而角“a®牆用向量方法求空间角和距离在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题，其传统的“三步曲”解 法：“作图、证明、解三角形”，作辅助线多、技巧性强，是教学和学习的难点.向 量进入高中教材，为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,木专题将运用 向量方法简捷地解决这些问题.1求空间角问题空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角.(1)求异而直线所成的角.=arcsinli I/II H I法一、在Q 内N 丄/,在0内b 丄/,其方向如图，则二面角设方、乙分别为异而直线a 、b 的方向向量, a 则两异而直线所成的角 a — arccos 1 而Q 所成的角方向向量，；；是平而&的法 (3)求二而法二、设入云是二而角a-/-0的两个半平而的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角a-1-p的平而角a =arccos彳"22求空间距离问题构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异而直线间的距离、线而距离；而而距离都可化为点而距离来求.（1）求点而距离法一、设;;是平面Q的法向量，在a内取一点B,则A■ ■■I“・•到&的距离d =1 AB II cos 0\=空叫\n\法二、设AO丄a于O,利用AO丄a和点0在&内的向量表示，可确定点O的位置，从而求出I走1・（2）求异而直线的距离二 ___ ?—法一、找平而0使比0且砂0,则异而直线a、b的距离就转化为直线a到平面0的距离，又转化为点A到平面0的距离.法二、在a上取一点A,在b上取一点B,设方、b分别为异面直线a、b的方向向量,求；；（万丄方，齐丄乙），则・・D于点而距异而直线a、b的距离心而llcos弘空叫（此方法移植丨川(I )求异而直线DE 与FG 所成的角;rh 向量法求空间距离和角例1.如图，在棱长为2的正方体ABCD-gCQ 中,分别是棱4久心的中点•(II )求g 和ffiEFBD 所成的角;(III)求Q 到面EFBD 的距离解：(I )记异而直线DE 与g 所成的角为—则&等于向量码运的夹角或其补角,■ D E.FC 、|cos a =1—:_ I \DE\.\FC {\(II)缈初万冷万石)•(两霸頁艸坐标系D-小, —I 一 ・• II DE bl FC [丨呢= (1,0,2),面= (220)设面E 単翌進|=二・・・a 回風X^s£=("l ) A /5V5 5— _v 、 DE ・H = 0<DB • /z = 0得 7 = (-221)又 BC ； = (-2,0,2)记g 和而EFBD 所成的角为&则 sin 0 =1 cos 〈BC], n) 1=1 ."9 ? 1=I BC { II7? I 2 ・•・Bq 和面EFBD 所成的角为冬.4(III)点目到ffiEFBD 的距离d 等于向量丽;在而EFBD 的法向量上的投影的绝对值,BiTl 33.完成这3道小题后, 总结：例2・己知A BCD 是边长为1的正方形，四边形DA ・ q=0DC ・ q = 0向量法求空间距离和角设计说明：1・作为本专题的例1,首先选择以一个容易建立空间直角坐标系 的多而体 正方体为载体，来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解.2.解决(1)后，可让学生进一步求这两条异而直线的距离，并让学生体会一下:如果用传统方法恐怕很难(不必多讲，高考对公垂线的作法不作要求).角、距离还是证明平行、垂直(是前者的特殊情况)，都可用向量方法来解决, 向量方法可以人人学会，它程序化，不需技巧.AA'B'B 是矩形，平丄平面A3CD 。

空间向量的夹角与距离求解公式1．空间向量的夹角与距离求解公式【知识点的认识】1．空间向量的夹角公式→→设空间向量푎=（a1，a2，a3），푏=（b1，b2，b3），→→cos＜푎，푏＞=→→푎⋅푏→→|푎|⋅|푏|=푎1푏1+푎2푏2+푎3푏3푎12+푎22+푎32⋅푏12+푏22+푏32注意：→→→→（1）当 cos＜푎，푏＞= 1时，푎与푏同向；→→→→（2）当 cos＜푎，푏＞=― 1时，푎与푏反向；→→→→（3）当 cos＜푎，푏＞= 0时，푎⊥푏．2．空间两点的距离公式设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则→퐴퐵=(푥2―푥1，푦2―푦1，푧2―푧1)→d A，B＝|퐴퐵| =→퐴퐵⋅→퐴퐵=(푥2―푥1)2+(푦2―푦1)2+(푧2―푧1)2．【解题思路点拨】1．求空间两条直线的夹角建系→写出向量坐标→利用公式求夹角2．求空间两点的距离建系→写出点的坐标→利用公式求距离．【命题方向】（1）利用公式求空间向量的夹角→→例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量퐴퐵与퐴퐶的夹角为（）1/ 3A.30°B.45°C.60°D.90°→→→分析：由题意可得：퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，进而得到퐴퐵⋅→→→→→퐴퐶与|퐴퐵|，|퐴퐶|，再由cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=→→퐴퐵⋅퐴퐶→→可得答案．|퐴퐵||퐴퐶|解答：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以→→퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，→所以퐴퐵⋅→→→퐴퐶═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且|퐴퐵|＝3 2，|퐴퐶| = 2，→→所以 cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=→→퐴퐵⋅퐴퐶→→|퐴퐵||퐴퐶|=332×2=12，→→∴퐴퐶的夹角为 60°퐴퐵与故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题．（2）利用公式求空间两点的距离例：已知空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），则A，B 两点间的距离是（）A.3B. 29C.25D.5分析：求出AB 对应的向量，然后求出AB 的距离即可．解答：因为空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），→→所以퐴퐵=（﹣3，0，﹣4），所以|퐴퐵|=(―3)2+02+(―4)2= 5．故选D．点评：本题考查空间两点的距离求法，考查计算能力．2/ 33/ 3。

空间向量的坐标运算-夹角和距离公式教案说明江西省宜丰中学熊星飞一、教材在本章节中的地位及作用1．向量的坐标运算是在空间向量的运算（加减法运算、实数与向量的积，空间向量的基本定理的基础上，用坐标对几何图形进行量化，通过对运算来掌握向量的关系和性质；2．向量的运夹角和距离公式是在空间向量的坐标及坐标运算的基础上，对向量的夹角和距离进行的一种运算，是空间解析几何的基础；3．本节内容渗透了转化、化归、数形结合数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材；4．本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生抽象思维及空间想象的能力。

5．课时安排空间向量的坐标运算共分4个课时（第一课时：空间直角坐标系；第二课时：空间向量的直角坐标运算；第三课时：空间向量夹角与距离公式的掌握及简单运用；第四课时：空间向量的坐标运算综合运用。

本节课是第三课时（夹角与距离公式的掌握及简单运用）二、教学目标1．知识目标：能把实际问题转化为立体几何的问题，立体几何问题再用坐标运算进行解决；2．能力目标：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．3．情感目标：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新．4．知识教学点（1）．掌握空间向量的模长公式、夹角公式、两点间的距离公式；（2）．会根据向量的坐标判断两个向量共线或垂直；（3）．会运用向量的夹角公式求异面直线所成的角。

三、教学重点与难点1．教学重点：模长公式、夹角公式、两点间的距离公式及其运用。

2．教学难点：异面直线所成的角与空间两向量夹角的关系。

四、教学方法与手段1．教学方法为了激发学生学习的主体意识，面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步的培养．根据本节课的内容特点，本节课采用对比学习、启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质。

用向量方法求空间角和距离在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题．1求空间角问题分别在直线n m ,b a ,所成的角或0a b a b ⊥⇔= , （２）求线面角特殊情形：当a = 一般情形：在直线图所示），再求cos 则sin cos βθ=（３）求二面角方法1：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）．方法2：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角．方法3：（法向量法）构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量21n n 、（都取向上的方向，如图所示）2）若二面角βα--l 是“锐角型”如图乙所示，那么其大小φ等于两法向量21n n 、的夹角即 1212cos cos .||||n n n n φθ⋅==⋅2.求空间距离问题（１）求点面距离 其中n 是平面α在法一、找平面β使面β法二：如图，d 是异面直线a 与 b 的距离，n是直线a 与b 的一个法向量 A 、 B 分别是 直线a , b 上的点，显然：||cos ,d AB θ=又||cos ,AB n θ= ||AB n d ∴= 图甲例１．如图，在棱长为２的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱1111,A D A B 的中点．（Ⅰ）求异面直线1DE FC 与所成角的余弦值； （II ）求1BC 和面EFBD 所成的角； （III ）求1B 到面EFBD 的距离例2．如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形B B A A '' 是矩形，。

平面平面ABCD B B A A ⊥''（Ⅰ）若A A '＝１，求直线AB 到面'DAC 的距离．（II ） 试问：当A A '的长度为多少时，二面角 A C A D -'-的大小为？ 60（Ⅰ）求证：直线1B P 不可能与平面11ACC A 垂直；（II ）当11BC B P ⊥时，求二面角11C B P C --的大小的余弦值．例4.如图，1BE AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B （Ⅲ）求异面直线例5.（山东卷）如图，已知平面A 1B 1C 1平行于三棱锥V-ABC 的底面ABC ，等边∆ AB 1C 所在的平面与底面ABC 垂直，且∠ACB =90°，设AC =2a ,BC=a .（1）求证直线B 1C 1是异面直线AB 1与A 1C 1的公垂线； （2）求点A 到平面VBC 的距离； （3）求二面角A-VB-C 的大小例6.如图,在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中,60,ABC ∠=︒,PA AC a ==,PB PD ==点E 在PD上,且PE:ED= 2: 1. (Ⅰ)证明 PA⊥平面ABCD;(Ⅱ)求以AC 为棱,EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小:(Ⅲ)在棱PC 上是否存在一点F, 使BF∥平面AEC?证明你的结论.练习：1.在正四面体S ABC -中，棱长为a ，E,Ｆ分别为SA 和BC 的中点，求异面直线BE 和SF 所成角的余弦值．2.在边长为１的菱形ABCD 中，60ABC ︒∠=，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝１，求二面角B ACD --的余弦值．３．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面，且PD AD a ==，问平面PBA 与平面PBC 能否垂直？试说明理由．（不垂直）４．在直三棱柱12AC AA ==． （１） 求1O（２） 求BCPA=2，（Ⅰ）求直线PA 与平面DEF 所成角的大小； （Ⅱ）求点P 到平面DEF 的距离。

用空间向量求直线间的夹角、距离
1、定义：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，则把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。

两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。

2、在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。

求异面直线所成角的步骤：
A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。

B、证明作出的角即为所求角；
C、利用三角形来求角。

3、两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量与，在空间中任取一点O，作
，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作。

注：（1）规定：，当=0时，与同向；当时，与反向；当时，与垂直，记。

（2）两个向量的夹角唯一确定且。

4、空间向量夹角的坐标表示：。

设，
则AB两点间的距离。

空间向量的夹角和距离公式
cosθ = (A·B) / (，A， * ，B，)
其中，A·B表示向量A和向量B的点乘，A，和，B，表示向量A和向量B的模。

点乘的计算方法如下：
A·B=A1*B1+A2*B2+A3*B3
其中，A1、A2、A3和B1、B2、B3分别表示向量A和向量B的三个分量。

模的计算方法如下：
A，=√(A1^2+A2^2+A3^2)
B，=√(B1^2+B2^2+B3^2)
其中，^2表示求平方根的操作。

夹角θ的取值范围是[0,π]，即0到180度。

此外，空间向量的夹角还可以通过向量的叉乘计算。

设有两个三维向量A和B，它们的夹角θ可以通过以下公式计算：
sinθ = ，A × B， / (，A， * ，B，)
其中，A×B表示向量A和向量B的叉乘。

叉乘的计算方法如下：
A×B=(A2*B3-A3*B2,A3*B1-A1*B3,A1*B2-A2*B1)
其中，A1、A2、A3和B1、B2、B3分别表示向量A和向量B的三个分量。

距离公式：
两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)之间的距离可以通过以下公式计算：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)
其中，^2表示求平方根的操作。

这个公式适用于二维和三维空间的点之间的距离计算。

总结起来，空间向量的夹角可以通过点乘和叉乘计算，距离可以通过
坐标差的平方和再开方计算。

这些公式在物理学、几何学和计算机图形学
等领域有广泛应用。