空间向量的夹角和距离公式(讲课)

用空间向量研究距离和夹角问题说课空间向量是指具有大小和方向的向量，通常用来描述物体在三维空间中的位置和运动。

在数学和物理学中，空间向量经常被用来研究距离和夹角的问题。

我将从距离和夹角两个方面来阐述空间向量的相关知识。

首先，让我们来谈谈空间向量的距离问题。

在三维空间中，两个点的距离可以通过它们对应的空间向量来计算。

假设有两个点A 和B，它们分别对应空间向量OA和OB，那么点A和点B之间的距离可以表示为向量AB的模长。

具体而言，向量AB的模长可以通过以下公式计算，|AB| = √((x_B x_A)^2 + (y_B y_A)^2 + (z_Bz_A)^2)，其中(x_A, y_A, z_A)和(x_B, y_B, z_B)分别是点A和点B的坐标。

这个公式实质上就是三维空间中两点之间的距离公式，它利用空间向量的坐标表示来计算点之间的距离。

其次，让我们来探讨空间向量的夹角问题。

在三维空间中，两个向量的夹角可以通过它们的数量积来计算。

假设有两个向量a和b，它们的夹角θ可以通过以下公式计算，cosθ = (a·b) / (|a||b|)，其中a·b表示a和b的数量积，|a|和|b|分别表示a和b的模长。

这个公式实质上就是利用数量积的定义来计算两个向量之间的夹角，从而可以通过空间向量的坐标表示来求解夹角问题。

总的来说，通过空间向量的研究，我们可以很好地解决距离和夹角问题。

通过对空间向量的坐标表示和数量积的运用，我们可以准确地计算两点之间的距离和两向量之间的夹角，这对于数学和物理学中的问题都具有重要的意义。

希望通过这样的说课，能够让学生更好地理解和运用空间向量的相关知识。

1.4.2用空间向量研究距离、夹角（第一课时）(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)一、教学目标1. 能利用投影向量得到点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．2. 能用向量方法解决点到直线、平行线间、点到平面、直线到平面（直线与平面平行）、平行平面间的距离问题．3. 结合一些具体的距离问题的解决，体会向量方法在研究距离问题中的作用，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.二、教学重难点1. （重点）利用投影向量推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．.2. （难点）利用投影向量统一研究空间距离问题.三、教学过程1.公式的推导1.1复习回顾【实际情境】如图，在空间中任取一点，作，.问题1：（1）怎样表示向量方向上的单位向量？（2）如何作出向量在向量方向上的投影向量？（3）怎样用单位向量表示向量在向量方向上的投影向量及投影向量的模？【活动预设】学生回忆已学的概念、讨论交流．【预设的答案】（1）； （2）过点作垂直于直线，垂足为，向量即为向量在向量方向上的投影向量；（3），即，.【设计意图】投影向量的概念是一个比较抽象的概念，不易被学生理解，而本节课距离公式的推导主要依赖于投影向量.投影向量的几何意义、代数表示及模，既体现了几何直观，又体现了代数定量刻画，从而提供了研究距离的方法. 复习回顾求任意非零向量方向上的单位向O OM = a ON = b b u a b u a b ||b u =b M 1MM ON 1M 1OMab 1=cos=cos |)|(OM θθ |a |u |u u =a |u a u 1=()OM a u u 1||=||OM a u x量，及投影向量的相关知识点，以便于学生更好的参与后续公式的推导过程，以及对公式的理解，进而突破难点.1.2探究思考，提炼公式探究一：已知直线的单位方向向量，是直线上的定点，P 是直线外一点.如何利用这些条件求点到直线的距离？【活动预设】结合已有知识，小组讨论思考，每组选出代表回答. 连接，得到向量在直线直线上的投影向量，表示投影向量，求.进而利用勾股定理，可以求出点到直线的距离.【预设的答案】如图，设，则向量在直线上的投影向量.在中，由勾股定理，得.【设计意图】学生多思考，多发言，老师引导学生实现问题的转化，让学生经历公式的推导过程， 发展学生逻辑推理和数学运算的核心素养.问题2：若与直线垂直，点到直线【预设的答案】若与直线垂直，则.问题3：在立体几何图形中求解距离的问题时，已知条件中一般只会给出点以及直线，l u A l l P l AP APl AQAQ ||AQ P l PQ AP = a AP l |cos |cos |()AQ PAQ PAQ =∠=∠= a |u a |u |u a u u Rt AQP △PQ ==AP l P l AP l 0= a u ||||PA PQ ==P l那么点应该如何确定？【预设的答案】 点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度不会随着点的变化而变化，故点可以是直线上的任意一点.问题4：求解距离的过程中是否需要确定垂线段的垂足？【预设的答案】不需要，只需要参考向量和直线的单位方向向量.【设计意图】通过问题串，引导学生继续深入理解用空间向量的方法解决点到直线距离问题的方法，理解利用向量求解点到直线距离问题时，只需该点和直线上的任意一点确定的参考向量，不必确定垂足的位置，体会向量方法的的优越性.教师讲授：要理解公式中各字母的含义，明确点到直线的距离为参考向量的平方与投影向量的平方差的算术平方根.因此，求解点到直线距离问题时，只需直线的方向向量及直线上的任意一点，这样得到参考向量或， 再求得直线的单位方向向量带入公式即可.问题5：求点到直线距离的主要有哪些方法？【预设的答案】(1)作点到直线的垂线,点到垂足的距离即为点到直线的距离；(2)在三角形中用等面积法求解；(3)向量法，即点到直线的距离为参考向量的平方与投影向量的平方差的算术平方根.思考：类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行线间的距离？【预设的答案】在其中一条直线上任取一点，将求两条平行直线之间的距离转化为求点到另一条直线的距离.【设计意图】根据已有知识类比学习，引导学生明确平行直线间的距离的求法：转化为一条直线上的任一点到另一条直线的距离，让学生感悟转化思想，化未知为已知．为后续把直线与平面间的距离、两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，在思想方法上做铺垫.A A A l P l P l A P l l l A AP PA P P2探究二 已知平面的法向量为,是平面内的定点，是平面外一点.过点作出平面的垂线，交平面于点.类比点到直线距离的研究过程，如何用向量表示？【预设的答案】如图,向量在直线上的投影向量是，且. 问题6：点到平面的距离应该怎样表示？【预设的答案】 . 【设计意图】 教师提出问题串，类比点到直线距离的研究过程，合作探究，得到点到平面的距离公式，让学生进一步体会平面的法向量在刻画平面、求距离中的作用.在求解点到平面的距离的过程中，平面的法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了图形直观，又提供了代数定量刻画.在这个过程中，向量与起点无关的自由性也为求距离带来了便利.问题7： 在立体几何图形中求解距离的问题时，已知条件中一般只会给出点以及平面，那么点应该如何确定？求解距离的过程中是否需要找出点在平面内的投影以及垂线段？【预设的答案】点可以是平面内的任意一点.不需要找出点在平面内的投影以及垂线段.【活动预设】教师提出问题串，引导学生思考，加深对公式的理解，教师总结.αn A αP αP αl αQ AP QP APl QP |cos QP AP PAQ =∠ n ||n |P α|||||||||cos |||||AP QP AP PAQ ⋅=∠= n n n n P αA P αA αPα教师讲授：求解点到平面距离问题时，理解公式中各字母的含义，只需平面的法向量及平面内的任意一点，这样得到“参考向量”，明确点到平面的距离为参考向量与法向量数量积的绝对值与法向量的模之比，即参考向量与法向量方向上的单位向量的数量积取绝对值.【设计意图】 类比点到直线距离的研究方法，以类似的方法研究点到平面的距离，使学生学会距离公式的同时，体会数学中常见的研究问题的方法“类比”.思考：如果直线与平面平行，如何求直线与平面的距离？如何求两平行平面之间的距离？【预设的答案】 先证明直线与平面平行或面面平行，再转化为点到平面的距离.【设计意图】 通过对所提问题的思考，引导学生明确直线到平面的距离以及两平行平面的距离的求法：都可以转化为点到平面的距离．师生共析，将平行于平面的直线和两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，得到统一的向量表达式，进一步体会转化的思想.问题8：求点到平面的距离主要有哪些方法？【预设的答案】 (1)作点到平面的垂线,点与垂足的距离即为点到平面的距离. (2)在三棱锥中用等体积法求解. (3)向量法，即点到平面的距离为参考向量与法向量数量积的绝对值与法向量的模之比.2.初步应用，解决问题例1 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.(1)求点到直线的距离；(2)求直线到平面的距离.P αααA l α1111ABCD A B C D -E 11A B F AB B 1AC FC 1AEC【活动预设】学生分析解题思路，教师给出解答示范.让学生注意到点在直线上，因此，可以选择作为参考向量.事实上，可以选择直线上的任意一点和确定“参考向量”，另外，让学生注意到平面的法向量不唯一.【预设的答案】解：以为原点， ，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，,,,,. （1） 取，，则 ，． 所以，点到直线． (2) 因为，所以，又面，面，所以平面，所以点到平面的距离，即为直线到平面的距离．设平面的法向量为，则 所以 所以取，则，,所以，是平面的一个法向量,又因为， A 1AC AB 1AC F 1AEC 1D 11D A 11D C 1D D x y z (1,0,1)A (1,1,1)B (0,1,1)C 1(0,1,0)C 1(1,,0)2E 1(1,,1)2F (0,1,0)AB = 1(1,1,1)AC =-- 1(0,,1)2AE =- 11(1,,0)2EC =- 1(1,,0)2FC =- 1(0,,0)2AF = (0,1,0)AB == a 11||1,1,1)AC AC ==-- u 21=a ⋅=a u B 1AC ==11(1,,0)2FC EC ==- 1//FC EC FC ⊄1AEC 1EC ⊂1AEC //FC 1AEC F 1AEC FC 1AEC 1AEC (,,)x y z =n 10,0.AE EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 10,210.2y z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩2,.y z x z =⎧⎨=⎩1z =1x =2y =(1,2,1)=n 1AEC 1(0,,0)2AF =所以点到平面的距离为即直线到平面【设计意图】通过典型例题，使学生巩固并逐步掌握利用向量方法求空间距离的方法，体会向量方法再解决距离问题中的作用，渗透用空间向量解决立体几何问题的一般过程,并注意培养学生规范的解题能力.追问： 求两种距离的步骤是怎样的？【活动预设】学生结合具体实例及公式特征，尝试总结解题步骤，教师总结.【预设的答案】点到直线的距离 ：第一步：建系，在直线上任取一点 (注：选择特殊便于计算的点)，求“参考向量(或)”的坐标. 第二步： 依据图形先求出直线的单位方向向量.第三步：带入公式求解.点到面的距离 :第一步：建系，选择“参考向量”；第二步：确定平面的法向量；第三步： 带入公式求值.【设计意图】总结求解距离问题的步骤，培养学生抽象概括的数学素养.3. 梳理归纳，感悟本质思考：回顾这节课的学习，我们学习了哪些内容？用的是什么方法？【预设的答案】本节课我们一起应用空间向量及其运算研究了求空间中的距离问题，包括两点间的距离，点到直线的距离，平行直线之间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离，平行平面之间的距离等，结合投影向量、勾股定理以及向量数量积运算等，我们得到F 1AEC ||||AF ⋅== n n FC 1AEC P l l A AP PA l u P αAP αn了这些距离问题的计算公式，并通过例题的解决，体会了公式的使用，在很多问题中，我们需要建立空间直角坐标系，求出点的坐标，以及直线的方向向量、平面的法向量的坐标表示，代入公式进行计算．我们用类比和转化的研究方法，把要解决的五个距离问题转化为两个距离问题，几何问题转化为向量问题，求解距离转化为向量运算，在此过程中提升直观想象、数学运算和逻辑推理等数学学科核心素养．教师讲授：本节课的学习你体会到向量方法解决立体几何问题的“三步曲”吗？与用平面向量解决平面几何问题的 “三步曲”类似，我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的 “三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面, 把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.四、课后作业1．在棱长为的正方体中，点到平面的距离等于_________；直线到平面的距离等于________；平面到平面的距离等于__________．2．已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（ ）ABCD3．已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）A ．B ．C ．D ． 4．如图，在棱长为的正方体中，求平面与平面的距离．11111ABCD A B CD -A 1B C CD1AB 1DA 1CB l (2,3,1)A (0,1,1)=n ()4,3,2P l α()2,2,1=--n ()1,3,0A -α()2,1,4P -α1038310311111ABCD A B C D -1A DB 11D CB【设计意图】作业中的4个题目，包括了求点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离以及两平行平面间的距离等主要的距离问题，尤其突出训练了本节课的重点以及难点，即点到直线、点到平面的距离.这样可以使学生巩固课上所学习的知识，提升对公式的应用能力.。

空间向量的夹角与距离求解公式1．空间向量的夹角与距离求解公式【知识点的认识】1．空间向量的夹角公式→→设空间向量푎=（a1，a2，a3），푏=（b1，b2，b3），→→cos＜푎，푏＞=→→푎⋅푏→→|푎|⋅|푏|=푎1푏1+푎2푏2+푎3푏3푎12+푎22+푎32⋅푏12+푏22+푏32注意：→→→→（1）当 cos＜푎，푏＞= 1时，푎与푏同向；→→→→（2）当 cos＜푎，푏＞=― 1时，푎与푏反向；→→→→（3）当 cos＜푎，푏＞= 0时，푎⊥푏．2．空间两点的距离公式设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则→퐴퐵=(푥2―푥1，푦2―푦1，푧2―푧1)→d A，B＝|퐴퐵| =→퐴퐵⋅→퐴퐵=(푥2―푥1)2+(푦2―푦1)2+(푧2―푧1)2．【解题思路点拨】1．求空间两条直线的夹角建系→写出向量坐标→利用公式求夹角2．求空间两点的距离建系→写出点的坐标→利用公式求距离．【命题方向】（1）利用公式求空间向量的夹角→→例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量퐴퐵与퐴퐶的夹角为（）1/ 3A.30°B.45°C.60°D.90°→→→分析：由题意可得：퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，进而得到퐴퐵⋅→→→→→퐴퐶与|퐴퐵|，|퐴퐶|，再由cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=→→퐴퐵⋅퐴퐶→→可得答案．|퐴퐵||퐴퐶|解答：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以→→퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，→所以퐴퐵⋅→→→퐴퐶═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且|퐴퐵|＝3 2，|퐴퐶| = 2，→→所以 cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=→→퐴퐵⋅퐴퐶→→|퐴퐵||퐴퐶|=332×2=12，→→∴퐴퐶的夹角为 60°퐴퐵与故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题．（2）利用公式求空间两点的距离例：已知空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），则A，B 两点间的距离是（）A.3B. 29C.25D.5分析：求出AB 对应的向量，然后求出AB 的距离即可．解答：因为空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），→→所以퐴퐵=（﹣3，0，﹣4），所以|퐴퐵|=(―3)2+02+(―4)2= 5．故选D．点评：本题考查空间两点的距离求法，考查计算能力．2/ 33/ 3。

9．6空间向量的夹角和距离公式南昌大学附属中学 高莹三维目标：知识与技能： ⒈使学生知道如何建立空间直角坐标系，掌握向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式 解决有关问题；⒉使学生经历对从生活中如何抽象出数学模型的过程，从而提高分析问题、解决问题的能力.过程与方法： 通过采用启发探究、讲练结合、分组讨论等教学方法使学生在积极活跃的思维过程中，从“懂”到“会”到“悟”.情感、态度和价值观：⒈通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位；⒉通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，培养学生“做数学”的习惯和热情.教学重点：夹角公式、距离公式． 教学难点：数学模型的建立．关键： 将生活中的问题转化为数学问题，建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量的坐标.教具准备：多媒体投影，实物投影仪. 教学过程：(一) 创设情境,新课导入2008年5月16日，南昌可以说是万人空巷,大家都把自己的爱国热情聚集在圣火的传递上，让我们值得骄傲的是火炬传递中的一站就是我们的南昌大学，其中途经我市雄伟而壮观的生米大桥,为记录传递过程，我校派了小记者在船上进行全景拍摄,出现了这么一个问题.引例:在离江面高30米的大桥上，火炬手由东向西以2 m/s 的速度前进，小船以1 m/s 的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上1D 点以东30米的1C 点处，小船在水平D 点以南方向30米的A 处（其中1D D ⊥水面）求（1）6s 后火炬手与小船的距离？（2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值?（不考虑火炬手与小船本身的大小）. 今天我们从另一个角度来分析这个问题. 分析:建立数学模型问题（1）转化为:如何求空间中两点间的距离?问题（2）转化为：如何求空间中两条直线所成角的余弦值？1、空间两点间的距离公式111222(,,)(,,),A x y z B x y z 已知：，则()212121,,AB x x y y z z =---(AB AB AB x =⋅=,A B d =2、夹角公式设()()111222,,,,,a x y z b x y z ==， 则,a OA b OB ==cos ,a b a b a b⋅<>==(二)例题示范，形成技能例1: 在离江面高30米的大桥上，火炬手由东向西以2 m/s 的速度前进，小船以1 m/s 的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上1D 点以东30米的1C 点处，小船在水平D 点以南方向30米的A 处（其中1D D ⊥水面） 求（1）6s 后火炬手与小船的距离？（2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值?（不考虑火炬手与小船本身的大小）. 解：建立如图空间直角坐标系，xyzO111(,,)A x y z222(,,)B x y z aabC 1A则 ()()130,0,0,0,30,30A C()()0,18,30,24,0,0M N ； （1）24MN ==（2）()()124,18,30,30,30,30MN AC =--=-.111cos ,MN AC MN AC MN AC ⋅〈〉=⋅2430183030305⨯-+-⨯+-⨯==-此题所求的是空间两条直线所成角的余弦值，而不是两个空间向量夹角的余弦值，两者有什么区别？我们又如何转化为本题的结论？ (三)学生互动 巩固提高变式训练:实际上,我们刚刚就是在一个正方体中讨论两点间的距离, 两条直线所成的角,而在正方体中还有许多的点与线,例2：（1）若G 为MN 的中点，求GB 两点间的距离.（2）若1111114A B B E D F ==，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值． (1)解：设G 点的坐标为(,,)G x y z ，则 ()12D G D M D N =+ ()()10,18,3024,0,02=+⎡⎤⎣⎦()12,9,15=. ∴()()12,9,15,30,30,0G B , GB ∴==(2)解:如图，()14530,30,0,30,,302B E ⎛⎫⎪⎝⎭()1150,0,0,0,,302D F ⎛⎫⎪⎝⎭.1115150,,30,0,,3022BE DF ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.111111cos ,BE DF BE DF BE DF ⋅〈〉=⋅1515303015.17⎛⎫-⨯+⨯ ⎪== 请在上面例题的基础上,各编一个关于求夹角和距离的题目.拓展提高:我们知道平面上到两点距离相等的点的轨迹是一条直线,那么猜想空间上到两点距离相等的点的轨迹是一个平面,我们能不能把它表示出来呢?例3:求到M ，N 两点距离相等的点),,(z y x P 的坐标x 、y 、z 满足的条件． 解: 点),,(z y x P 到M ，N 两点距离相等,则P M P N ==化简,得435540x y z --+= 即到到M ，N 两点距离相等的点的坐标点(,,)x y z 满足的条件是 435540x y z --+= (四)概括提炼，总结升华求空间两点间的距离 求空间两条直线的夹角(五)布置作业，探究延续 1．课本P 42习题9.6 ⒎⒏ ⒐2．请同学们各编写一道关于求夹角和距离的题目,并解答.MNP3．思考题：引例:何时小船与火炬手之间的距离最短?(六)板书设计：。

用空间向量研究距离,夹角问题公式
对于距离和夹角问题的研究，空间向量提供了一种有效的方法。

空间向量是指具有方向和大小的矢量，可以用来表示在三维空间中的物理量或者几何对象。

首先，我们来讨论两个点之间的距离问题。

在空间向量中，两个点的距离可以通过计算它们的欧几里得距离来确定。

欧几里得距离是指从一个点到另一个点的直线距离。

如果我们将两个点表示为向量A和向量B，那么它们之间的欧几里得距
离可以使用以下公式计算：
距离 = |向量AB| = √((Bx-Ax)^2 + (By-Ay)^2 + (Bz-Az)^2)
其中，Ax、Ay、Az分别表示向量A的x、y、z坐标，Bx、By、Bz分别表示
向量B的x、y、z坐标。

通过这个公式，我们可以计算出两个向量之间的距离。

接下来，让我们来看一下关于夹角问题的公式。

在空间向量中，可以使用两个向量的点积和模长之间的关系来计算它们之间的夹角。

如果我们将两个向量表示为向量A和向量B，它们的夹角可以通过以下公式计算：
夹角θ = arccos((向量A·向量B) / (|向量A| × |向量B|))
其中，向量A·向量B表示两个向量的点积，|向量A|和|向量B|分别表示向量A 和向量B的模长。

通过这个公式，我们可以确定两个向量之间的夹角。

通过使用上述的距离和夹角问题的公式，我们可以将空间向量用于研究并解决各种几何和物理问题。

这些公式能够提供详细而完整的信息，帮助我们深入了解空间中不同物体之间的距离和夹角关系。

无论是在几何学、物理学还是其他相关领域，空间向量的研究都具有重要的应用价值。

空间向量的坐标运算-夹角和距离公式教案说明江西省宜丰中学熊星飞一、教材在本章节中的地位及作用1．向量的坐标运算是在空间向量的运算（加减法运算、实数与向量的积，空间向量的基本定理的基础上，用坐标对几何图形进行量化，通过对运算来掌握向量的关系和性质；2．向量的运夹角和距离公式是在空间向量的坐标及坐标运算的基础上，对向量的夹角和距离进行的一种运算，是空间解析几何的基础；3．本节内容渗透了转化、化归、数形结合数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材；4．本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生抽象思维及空间想象的能力。

5．课时安排空间向量的坐标运算共分4个课时（第一课时：空间直角坐标系；第二课时：空间向量的直角坐标运算；第三课时：空间向量夹角与距离公式的掌握及简单运用；第四课时：空间向量的坐标运算综合运用。

本节课是第三课时（夹角与距离公式的掌握及简单运用）二、教学目标1．知识目标：能把实际问题转化为立体几何的问题，立体几何问题再用坐标运算进行解决；2．能力目标：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．3．情感目标：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新．4．知识教学点（1）．掌握空间向量的模长公式、夹角公式、两点间的距离公式；（2）．会根据向量的坐标判断两个向量共线或垂直；（3）．会运用向量的夹角公式求异面直线所成的角。

三、教学重点与难点1．教学重点：模长公式、夹角公式、两点间的距离公式及其运用。

2．教学难点：异面直线所成的角与空间两向量夹角的关系。

四、教学方法与手段1．教学方法为了激发学生学习的主体意识，面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步的培养．根据本节课的内容特点，本节课采用对比学习、启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质。

空间向量的夹角和距离公式
cosθ = (A·B) / (，A， * ，B，)
其中，A·B表示向量A和向量B的点乘，A，和，B，表示向量A和向量B的模。

点乘的计算方法如下：
A·B=A1*B1+A2*B2+A3*B3
其中，A1、A2、A3和B1、B2、B3分别表示向量A和向量B的三个分量。

模的计算方法如下：
A，=√(A1^2+A2^2+A3^2)
B，=√(B1^2+B2^2+B3^2)
其中，^2表示求平方根的操作。

夹角θ的取值范围是[0,π]，即0到180度。

此外，空间向量的夹角还可以通过向量的叉乘计算。

设有两个三维向量A和B，它们的夹角θ可以通过以下公式计算：
sinθ = ，A × B， / (，A， * ，B，)
其中，A×B表示向量A和向量B的叉乘。

叉乘的计算方法如下：
A×B=(A2*B3-A3*B2,A3*B1-A1*B3,A1*B2-A2*B1)
其中，A1、A2、A3和B1、B2、B3分别表示向量A和向量B的三个分量。

距离公式：
两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)之间的距离可以通过以下公式计算：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)
其中，^2表示求平方根的操作。

这个公式适用于二维和三维空间的点之间的距离计算。

总结起来，空间向量的夹角可以通过点乘和叉乘计算，距离可以通过
坐标差的平方和再开方计算。

这些公式在物理学、几何学和计算机图形学
等领域有广泛应用。