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3．1数系的扩充问题1：方程2x 2－3x ＋1＝0.试求方程的整数解？方程的实数解？ 提示：方程的整数解为1，方程的实数解为1和12.问题2：方程x 2＋1＝0在实数范围内有解吗？ 提示：没有解．问题3：若有一个新数i 满足i 2＝－1，试想方程x 2＋1＝0有解吗？ 提示：有解，x ＝i.问题4：实数a 与实数b 和i 相乘的结果相加，结果记作a ＋b i ，这一新数集形式如何表示？ 提示：C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }．1．虚数单位i我们引入一个新数i ，叫做虚数单位，并规定： (1)i 2＝－1.(2)实数可以与i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立． 2．复数的概念形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数．全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C . 3．复数的代数形式复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a 与b 分别叫做复数z 的实部与 虚部.问题1：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当b ＝0时，z 是什么数？ 提示：当b ＝0时，z ＝a 为实数．问题2：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0时，z 是什么数？提示：当a ＝b ＝0时，z ＝0为实数；当a ＝0，b ≠0，z ＝b i 为纯虚数．1．复数z ＝a ＋b i ⎩⎪⎨⎪⎧实数 (b ＝0)，虚数 (b ≠0)，(当a ＝0时为纯虚数).2．两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等．1．注意复数的代数形式z ＝a ＋b i 中a ，b ∈R 这一条件，否则a ，b 就不一定是复数的实部与虚部． 2．复数集是实数集的扩充，两个实数可以比较大小，但若两个复数不全为实数，则不能比较大小．在复数集里， 一般没有大小之分，但却有相等与不相等之分．[对应学生用书P35][例1] 实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[思路点拨] 分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断．[精解详析] (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m (m ＋2)m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.[一点通] z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是复数的基本定义，由a ，b 的取值来确定z 是实数、虚数、纯虚数还是零．在解题时，关键是确定复数的实部和虚部．1．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________． 解析：∵z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0.∴x ＝－1. 答案：－12．已知复数2＋7，27i,0i,5i ＋8，i(1－3)，i 2，其中纯虚数的个数为________．解析：∵0i ＝0，i 2＝－1， ∴纯虚数有27i ，()1－3i.答案：23．当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m ＋(m 2－2m )i 为(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：(1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0.即m ＝2时，复数z 是实数； (2)当m 2－2m ≠0，即m ≠0. 且m ≠2时， 复数z 是虚数； (3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0.即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．[例2] 已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值． [思路点拨] 因为M ∪P ＝P ，所以MP ，从而可建立关于m 的关系式，进而求得m 的值．[精解详析] ∵M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}， P ＝{－1,1,4i}，且M ∪P ＝P .∴M P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1， 或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4.∴m ＝1或m ＝2.[一点通] (1)一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小．(2)复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带． (3)必须在代数形式下确定实部、虚部后才可应用．4．当关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x ＋3m ＋i ＝0有实根，则实数m ＝________. 解析：设实根为x 0，则x 20＋x 0＋2x 0i ＋3m ＋i ＝0. 即x 20＋x 0＋3m ＋(2x 0＋1)i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋x 0＋3m ＝0，2x 0＋1＝0. ∴m ＝112.答案：1125．已知2x －1＋(y ＋1)i ＝x －y ＋(－x －y )i ，求实数x 、y 的值． 解：∵x ，y 为实数，∴2x －1，y ＋1，x －y ，－x －y 均为实数，由复数相等的定义，知⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝x －y ，y ＋1＝－x －y .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2. 6．已知m 是实数，n 是纯虚数，且2m ＋n ＝4＋(3－m )i ，求m ，n 的值． 解：设n ＝b i(b ∈R 且b ≠0)由2m ＋n ＝4＋(3－m )i 得2m ＋b i ＝4＋(3－m )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＝4，b ＝3－m . ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，b ＝1.∴m 的值为2，n 的值为i.[例3] 若不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值． [思路点拨] 分析条件→两复数均为实数→得关于m 的不等式组→求解. [精解详析] ∵m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0，m 2－4m ＋3＝0，m 2<10. 解上式得：m ＝3.[一点通] 不全为实数的两个复数没有大小的关系，只有相等或不等．由两个复数可以比较大小，知两个数必全为实数，进而根据复数的分类法列实数m 的方程(组)求解．7．已知复数x 2－1＋(y ＋1)i 大于复数2x ＋2＋(y 2－1)i ，试求实数x ，y 的取值范围． 解：∵x 2－1＋(y ＋1)i>2x ＋2＋(y 2－1)i ，(x ，y ∈R )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝0，y 2－1＝0，x 2－1>2x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1，x >3或x <－1. 8．已知复数z ＝k 2－3k ＋(k 2－5k ＋6)i(k ∈R )，且z <0，求实数k . 解：∵z <0，∴z ∈R . ∴k 2－5k ＋6＝0.∴k ＝2或k ＝3.但当k ＝3时，z ＝0不符合题意． k ＝2时，z ＝－2<0符合题意． ∴k ＝2.1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数b i(b ≠0，b ∈R )不要只记形式，要注意b ≠0.2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解．3．若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．即a ＋b i>0(a ，b ∈R )⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0b ＝0.[对应学生用书P36]一、填空题 1．下列命题中，①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R 且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i ；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④两个虚数不能比较大小． 其中正确的命题是________．解析：①若a ＝－1，则(a ＋1)i ＝0，①错；②复数中的虚数只能说相等或不相等，不能比较大小．②错；③中x ＝－1则x 2＋3x ＋2＝0，∴x ＝－1不适合，③错；④是正确的．答案：④2．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为________．解析：由复数相等的充要条件可知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4. 答案：－43．复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )是纯虚数，则a 的取值为________． 解析：∵复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，|a －1|－1≠0. 解之得a ＝－1. 答案：－14．已知M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数a ＝________. 解析：∵M ∩N ＝{3}，∴(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0. 解之得a ＝－1. 答案：－15．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1>z 2，则a 的值为________． 解析：∵z 1>z 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1>2a ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a <16.故a ＝0. 答案：0 二、解答题6．已知复数(2k 2－3k －2)＋(k 2－k )i ，实部小于零，虚部大于零，求实数k 的取值范围．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2k 2－3k －2<0，k 2－k >0，即⎩⎪⎨⎪⎧(2k ＋1)(k －2)<0，k (k －1)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－12<k <2，k >1或k <0. 解得－12<k <0或1<k <2.7．求适合方程xy －(x 2＋y 2)i ＝2－5i 的实数x ，y 的值．解：由复数相等的条件可知：⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝2，－(x 2＋y 2)＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.8．设复数z ＝lg(m 2－2m －14)＋(m 2＋4m ＋3)i ，试求实数m 的值，使(1)z 是实数；(2)z 是纯虚数． 解：(1)∵z 为实数，∴虚部m 2＋4m ＋3＝0，则m ＝－1或m ＝－3.而当m ＝－1时，m 2－2m －14＝1＋2－14<0(舍去)； 当m ＝－3时，m 2－2m －14＝1>0. ∴当m ＝－3时z 为实数． (2)∵z 为纯虚数，∴实部lg(m 2－2m －14)＝0， 且m 2＋4m ＋3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －14＝1，m 2＋4m ＋3≠0，解得m ＝5. ∴当m ＝5时z 为纯虚数．。
明目标、知重点 1.了解复数的几何意义，会用复平面上的点表示复数.2.了解复数的加减运算的几何意义.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．1．复数的几何意义任何一个复数z ＝a ＋b i 和复平面内Z (a ，b )一一对应，和以原点为起点，以Z (a ，b )为终点的向量一一对应．OZ→ 2．复数的模设z ＝a ＋b i ，则|z |＝.a 2＋b 23．复平面中两点的距离两个复数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．[情境导学]我们知道实数的几何意义，实数与数轴上的点一一对应，实数可用数轴上的点来表示，那么复数的几何意义是什么呢？探究点一 复数与复平面内的点思考1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答 任何一个复数z ＝a ＋b i ，都和一个有序实数对(a ，b )一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应．小结 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．思考2 判断下列命题的真假：①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限．答 根据实轴的定义，x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2，因此①③是真命题；根据虚轴的定义，y轴叫虚轴，显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上，如纯虚数5i对应点(0,5)，但虚轴上的点却不都是纯虚数，这是因为原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0表示的是实数，故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，所以②是真命题，④是假命题；对于非纯虚数z＝a＋b i，由于a≠0，所以它对应的点Z(a，b)不会落在虚轴上，但当b＝0时，z所对应的点在实轴上，故⑤是假命题．例1在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．解 复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.(1)由题意得m2－m－2＝0.解得m＝2或m＝－1.(2)由题意得Error!，∴Error!，∴－1<m<1.(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2，故m＝2.反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．跟踪训练1 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)对应的点在x 轴上方；(2)对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上．解 (1)由m 2－2m －15>0，得m <－3或m >5，所以当m <－3或m >5时，复数z 对应的点在x 轴上方．(2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋4＝0，得m ＝1或m ＝－，所以当m ＝1或m ＝－时，5252复数z 对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上．探究点二 复数与向量思考1 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？答 当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系．思考2 怎样定义复数z 的模？它有什么意义？答 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模就是向量＝(a ，b )的模，记作|z |或|a ＋b i|.OZ→ |z |＝|a ＋b i|＝可以表示点Z (a ，b )到原点的距离．a 2＋b 2例 2已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围．解 方法一 ∵z ＝3＋a i(a ∈R )，∴|z |＝，32＋a 2由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－，)．77方法二 利用复数的几何意义，由|z |<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上，所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合．由图可知：－<a <.77反思与感悟 利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想；根据复数模的意义，结合图形，可利用平面几何知识解答本题．跟踪训练2 求复数z 1＝3＋4i ，z 2＝－－i 的模，并比较它们的大小．122解 |z 1|＝＝5，|z 2|＝＝.32＋42(－12)2＋(－2)232∵5>，∴|z 1|>|z 2|.32探究点三 复数加减法的几何意义思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答 如图，设，分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应，则有＝(a ，b )，＝(c ，d )，OZ 1→ OZ 2→ OZ 1→ OZ2→ 由向量加法的几何意义＋＝(a ＋c ，b ＋d )，所以＋与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对OZ 1→ OZ 2→ OZ1→ OZ 2→ 应，复数的加法可以按照向量的加法来进行．思考2 怎样作出与复数z 1－z 2对应的向量？答 z 1－z 2可以看作z 1＋(－z 2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z 1－z 2对应的向量(如图)．图中对应复数z 1，OZ1→对应复数z 2，则对应复数z 1－z 2.OZ 2→ Z 2Z 1→ 例3 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)表示的复数；AO→ (2)对角线表示的复数；CA→ (3)对角线表示的复数．OB→ 解 (1)因为＝－，所以表示的复数为－3－2i.AO → OA → AO→ (2)因为＝－，所以对角线表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.CA → OA → OC → CA→ (3)因为对角线＝＋，所以对角线表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.OB → OA → OC → OB→ 反思与感悟 复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用．跟踪训练 3已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.解 方法一 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1，①(a －c )2＋(b －d )2＝1.②由①②得2ac ＋2bd ＝1，∴|z 1＋z 2|＝(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝＝.a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd 3方法二 设O 为坐标原点，z 1、z 2、z 1＋z 2对应的复数分别为A 、B 、C .∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，∴△OAB 是边长为1的正三角形，∴四边形OACB 是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z 1＋z 2|是菱形的较长的对角线OC 的长，∴|z 1＋z 2|＝|OC |＝＝.|OA |2＋|AC |2－2|OA ||AC |cos 120°3方法三 ∵|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2(|z 1|2＋|z 2|2)∴|z 1＋z 2|2＝2(|z 1|2＋|z 2|2)－|z 1－z 2|2＝2(12＋12)－12＝3.∴|z 1＋z 2|＝.31．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为m ________．答案 9解析 ∵z ＝(m －3)＋2i 表示的点在直线y ＝x 上，m ∴m －3＝2，解之得m ＝9.m 2．已知复数(2k 2－3k －2)＋(k 2－k )i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数k 的取值范围是__________．答案 ∪(1,2)(－12，0)解析 ∵复数对应的点在第二象限，∴Error! 即Error!∴k 的取值范围为∪(1,2)．(－12，0)3．若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量对应的复数是PQ→ ________．答案 3＋i解析 ∵P (－1,0)，Q (2,1)，∴＝(3,1)，PQ→ ∴对应的复数为3＋i.PQ→ 4．若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________．答案 1解析 由|z －2|＝|z ＋2|，知z 对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴．|z －1|表示z 对应的点与(1,0)的距离．∴|z －1|min ＝1.[呈重点、现规律]1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应．2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑.一、基础过关1．复数z ＝＋i 3对应的点在复平面第________象限．3答案 四解析 z ＝＋i 3＝－i ，33∴z 对应点Z (，－1)在第四象限．32．当0<m <1时，z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点位于第________象限．答案 四解析 ∵0<m <1，∴m ＋1>0，－1<m －1<0，故对应的点在第四象限内．3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是________．答案 2＋4i解析 A (6,5)，B (－2,3)，∵C 为AB 的中点，∴C (2,4)，∴点C 对应的复数为2＋4i.4．复数|z －2－i|＝1代表的曲线为________________________________________________．答案 以(2,1)为圆心，1为半径的圆5．已知复数z ＝a ＋i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数3z ＝__________.答案 －1＋i3解析 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限，所以a <0，由|z |＝2知，＝2，a 2＋(3)2解得a ＝±1，故a ＝－1，所以z ＝－1＋i.36．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________．答案 2<k <或－<k <－266解析 ∵z 位于第三象限，∴Error!∴2<k <或－<k <－2.667．(1)已知向量与实轴正向的夹角为45°，向量对应的复数z 的模为1，求z .OZ → OZ→ (2)若z ＋|z |＝2，求复数z .解 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．∵与x 轴正向的夹角为45°，|z |＝1，OZ→ ∴Error!或Error!，∴Error!或Error!.∴z ＝＋i 或z ＝－i.22222222(2)∵z ＋|z |＝2，∴z ＝2－|z |∈R ，∴当z ≥0时，|z |＝z ，∴z ＝1，当z <0时，无解，∴z ＝1.二、能力提升8．已知|z 1|＝，|z 2|＝，|z 1＋z 2|＝2，则|z 1－z 2|＝________.322答案 2解析 ∵|z 1＋z 2|＝2，2即|＋|＝2.OZ1→ OZ 2→ 2∴2＋2·＋＝8.OZ 1→ OZ1→ OZ 2→ OZ → 2∴2·＝8－3－2＝3.OZ1→ OZ 2→ ∴|z 1－z 2|2＝2－2·＋2OZ 1→ OZ 1→ OZ 2→ OZ 2→ ＝3－3＋2＝2.∴|z 1－z 2|＝.29．复数1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模为________．答案 －2cos α2解析 |1＋cos α＋isin α|＝(1＋cos α)2＋sin2 α＝＝＝2|cos |，2(1＋cos α)4cos2α2α2∵π<α<2π，∴<<π，π2α2∴cos <0，α2∴|1＋cos α＋isin α|＝－2cos .α210．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于，则实数x 的取值范围是________．10答案 (－45，2)解析 根据模的定义得<，(x －1)2＋(2x －1)210∴5x 2－6x －8<0，∴(5x ＋4)(x －2)<0，∴－<x <2.4511.实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点：(1)位于第四象限；(2)位于x 轴负半轴上；(3)在上半平面(含实轴)．解 (1)要使点位于第四象限，须Error!，∴Error!，∴－7<m <3.(2)要使点位于x 轴负半轴上，须Error!，∴Error!，∴m ＝4.(3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m 2＋3m －28≥0，解得m ≥4或m ≤－7.12.已知复数z 对应的向量为(O 为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模OZ → OZ→ 为2，求复数z .解 根据题意可画图形如图所示：设点Z 的坐标为(a ，b )，∵||＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°，OZ→ ∴a ＝－1，b ＝，312即点Z 的坐标为(－1，)，3∴z ＝－1＋i.3三、探究与拓展13．试研究方程x 2－5|x |＋6＝0在复数集上解的个数．解 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则原方程可化为a 2－b 2－5＋6＋2ab i ＝0a 2＋b 2⇒Error!⇒Error!或Error!或Error!即x ＝±2或x ＝±3或x ＝±i.故方程在复数集上的解共有6个．。
第3章数系的扩充与复数的引入§3.1 数系的扩充课时目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．1．复数的有关概念(1)虚数单位把平方等于－1的数用符号i表示，规定__________，i叫作虚数单位．(2)复数①定义：形如a＋b i (a，b∈R)的数叫做复数，a叫做复数的________，b叫做复数的________．②代数形式：复数通常用____表示，即z＝a＋b i，a，b∈R.(3)复数集①定义：____________所构成的集合叫做复数集．②表示：通常用大写字母____表示．2．复数的分类(1)设z＝a＋b i (a，b∈R)，则当且仅当________时，z为实数．当________时，z为虚数，当____________时，z为纯虚数．(2)复数集内的包含关系3．复数相等的充要条件设a、b、c、d都是实数，则a＋b i＝c＋d i⇔____________；a＋b i＝0⇔____________.一、填空题1．下列说法①如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等；②a i 是纯虚数；③如果复数x ＋y i 是实数，则x ＝0，y ＝0；④复数a ＋b i 不是实数．其中正确的是________．(填序号)2．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________．3．已知复数z ＝m ＋(m 2－1)i (m ∈R )满足z <0，则m ＝________.4．若2＋a i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2＋b 2＝________.5．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是________．6．设C ＝{复数}，A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，全集U ＝C ，那么下面结论正确的是________．(填序号)①A ∪B ＝C ； ②∁U A ＝B ；③A ∩(∁U B )＝∅； ④B ∪(∁U B )＝C .7．已知复数z 1＝(3m ＋1)＋(2n －1)i ，z 2＝(n ＋7)－(m －1)i ，若z 1＝z 2，实数m 、n 的值分别为________、________.8．给出下列几个命题：①若x 是实数，则x 可能不是复数；②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④－1没有平方根；⑤若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；⑥两个虚数不能比较大小．则其中正确命题的个数为________．二、解答题9．已知z －1＋2z i ＝－4＋4i ，求复数z .10．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．能力提升11．已知集合P ＝{5，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，Q ＝{4i,5}，若P ∩Q ＝P ∪Q ，求实数m 的值．12．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i (a ∈R )，试求实数a 取什么值时，z 分别为： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．1．对于复数z ＝x ＋y i 只有当x ，y ∈R 时，才能得出实部为x ，虚部为y (不是y i)，进而讨论复数z 的性质．2．复数相等的充要条件是复数问题实数化的依据．答 案知识梳理1．(1)i 2＝－1 (2)①实部 虚部 ②z (3)①全体复数 ②C2．(1)b ＝0 b ≠0 a ＝0且b ≠03．a ＝c ，b ＝d a ＝b ＝0作业设计1．①2．－1解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1＝0x －1≠0，∴x ＝－1. 3．－1解析 z <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m <0m 2－1＝0⇔m ＝－1. 4．5解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝b a ＝－1，∴a 2＋b 2＝5. 5．2－2i解析 5i ＋2i 2＝－2＋5i ，∴2i －5的虚部为2，5i ＋2i 2的实部为－2.∴所求为2－2i.6．④7．2 0 解析 两复数相等，即实部与实部相等，虚部与虚部相等．故有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋1＝n ＋72n －1＝－(m －1)，解得m ＝2，n ＝0.8．2解析 因为实数是复数，故①错；②正确；因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因为－1的平方根为±i ，故④错；当a ＝－1时，(a ＋1)i 是实数0，故⑤错；⑥正确．故答案为2.9．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，代入z －1＋2z i ＝－4＋4i ，整理得(x －2y －1)＋(2x ＋y )i ＝－4＋4i故有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －1＝－42x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝2， 所以复数z ＝1＋2i.10．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0， 解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0，所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0. 故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0， 解得m ＝－32或m ＝1. 所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数． 11．解 由题知P ＝Q ，所以(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0m 2＋m －2＝4， 解得m ＝2. 12．解 (1)当z 为实数时，则a 2－5a －6＝0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义， ∴a ＝－1，或a ＝6，且a ≠±1，∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，∴a ≠－1，且a ≠6，且a ≠±1. ∴当a ≠±1，且a ≠6时，z 为虚数，即当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1，a ≠6.且a ＝6， ∴不存在实数a 使z 为纯虚数．。
第3章数系的扩充与复数的引入第1课时数系的扩充教学过程随着生产和科学发展的需要数集逐步扩充,它的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.一、问题情境怎样将实数集进行扩充,使得x2=-1之类方程在新的数集中有解呢?二、数学建构问题1怎样解决-1也能开平方的问题?解引入虚数单位i,规定:① i2=-1;②实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.i是-1的一个平方根.问题2根据虚数单位的规定,得到形如a+b i(a,b∈R)的数,这样的新数由两部分组成,用怎样的名词定义这样的新数?解①复数的定义:形如a+b i(a,b∈R)的数叫复数,a叫复数的实部,b叫复数的虚部,全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示.②复数的代数形式:复数通常用字母z表示,即z=a+b i(a,b∈R),把复数表示成a+b i的形式,叫做复数的代数形式.问题3复数与实数有什么关系?解对于复数a+b i(a,b∈R),当且仅当b=0时,复数a+b i(a,b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+b i 叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=b i叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0.(图1)学生分组活动活动1复数集C和实数集R之间有什么关系?活动2如何对复数a+b i(a,b∈R)进行分类?活动3复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,可以用韦恩图表示出来吗?问题4a=0是z=a+b i为纯虚数的充分条件吗?解是必要不充分条件.问题5两个复数相等的充要条件是什么?解两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,如果a,b,c,d∈R,那么a+b i=c+d i⇔a=c,b=d.问题6:任何两个复数都能比较大小吗?解如果两个复数都是实数,就可以比较大小;当两个复数不全是实数时,不能比较大小.三、数学运用【例1】(教材第110页例1)写出复数4,2-3i,0,-错误！未找到引用源。
3.1.1 数系的扩充和复数的概念1．虚数单位i在实数集R 中添加新数i ，规定：(1)i 2＝□01－1，其中i 叫做虚数单位；(2)i 可与实数进行□02四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立． 2．复数的相关概念集合C ＝{a ＋b i|a ∈R ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做□03复数，其中i 叫做□04虚数单位．全体复数的集合C 叫做□05复数集． 复数通用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做□06复数的代数形式．其中的a 与b 分别叫做复数z 的□07实部与虚部． 3．复数的分类对于复数z ＝a ＋b i ，当且仅当□08b ＝0时，它是实数；当且仅当□09a ＝b ＝0时，它是实数10b≠0时，叫做虚数；当□11a＝0，且b≠0时，叫做纯虚数．0；当且仅当□4．复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，规定：a ＋b i与c＋d i的充要条件是□12a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．复数相等的充要条件(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，若忽略这一条件，则不能成立．因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用相等条件．(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题是重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现．利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问题中非常重要．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋b i为虚数．( )(2)若z＝m＋n i(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．( )(3)b i是纯虚数．( )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．做一做(1)若a＋b i＝0，则实数a＝________，实数b＝________.(2)(1＋3)i的实部与虚部分别是________．(3)若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝________.答案(1)0 0 (2)0,1＋ 3 (3)±1探究1复数的有关概念例1 给出下列四个命题：①两个复数不能比较大小；②若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集一一对应；④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集．其中真命题的个数是________．[解析]①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小；②由于x，y都是复数，故x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件；③若a＝0，则a i不是纯虚数；④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知，所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．[答案]0拓展提升数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．但i 与实数的运算及运算律仍成立． 【跟踪训练1】 下列命题中： ①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④两个虚数不能比较大小． 其中，正确命题的序号是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 D解析 对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数． 在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；在③中，若x ＝－1，x 2＋3x ＋2≠0不成立，故③错误； ④正确．探究2 复数的分类例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解] (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数；(2)当m 2－2m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数；(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．[条件探究] 是否存在实数m ，使z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数？[解] 由z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －6m≠0，解得m ∈∅.即不存在实数m ，使z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数．拓展提升利用复数的分类求参数的值或取值范围的一般步骤(1)判定复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，实部与虚部分别为哪些； (2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题； (3)解相应的方程(组)或不等式(组)； (4)求出参数的值或取值范围． 【跟踪训练2】 已知m ∈R ，复数z ＝m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数？ (2)z 为虚数？ (3)z 为纯虚数？解 (1)要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋2m －1有意义，即m －1≠0，解得m＝－3.(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋2m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 为纯虚数，需满足m m ＋2m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.探究3 复数相等例3 已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．[解] ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.∴实数m 的值为1或2.拓展提升复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等．复数问题实数化多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部和虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组．【跟踪训练3】 已知A ＝{1,2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解 由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，∴a ＝－1.故实数a 的值为－1.1.在复数a ＋b i 中，a ，b 必须是实数，否则不是复数的代数形式.2.复数的虚部是实数而不是虚数，即为“b ”，不是“b i”，更不是“i”.3.当且仅当b ≠0且a ＝0时，复数a ＋b i 才是纯虚数，解题时不能只注意a ＝0而忽视了b ≠0的限制.4.复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现.1．“a ＝0”是“复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0，所以“a ＝0”是“复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数”的必要不充分条件．2．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i D.2＋2i答案 A解析 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i 的实部为－3，所以所求复数为3－3i.3．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是________． 答案 ±2，5解析 由题意得：a 2＝2，－(2－b )＝3，所以a ＝±2，b ＝5. 4．设复数z ＝1m ＋5＋(m 2＋2m －15)i 为实数，则实数m 的值是________． 答案 3解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －15＝0，m ＋5≠0，解得m ＝3.5．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，求自然数m ，n 的值．解 ∵log 12 (m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧log 12 m ＋n ≥－1，－m 2－3m ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧0<m ＋n ≤2，m ＝0或m ＝3.∵m ，n ∈N ，∴m ＝0，n ＝1或n ＝2.。
