长沙理工大学概率论试题4

长沙理工大学考试试卷……………………………………………………………………………………………………… 试卷编号 12 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名……………………………………………………………………………………………………… 课程名称（含档次） 概率论与数理统计B 课程代号专 业 层次（本、专） 本科（城南） 考试方式（开、闭卷） 闭一、填空题(本题总分10分,每小题2分)1 . 调查甲、乙、丙三人收看某一电视剧的情况，如果用A 表示事件“甲收看”，B 表示事件“乙收看”，C 表示事件“丙收看”，则ABC 表示事件( ).2 . 设随机变量X 的概率分布为p(X =k)=5C ,k=1,2,3,4,5,则常数 C=（ ）.则=≤+)2Y P(X ( ).4 . 设随机变量X 的方差为 2.5，利用切比雪夫不等式估计概率{}5.7|)(|≥-X E X P 的值为（ ）.5 . 设n 21X ,,X ,X 是来自总体X ～),(10N 的样本，则样本均值X 的数学期望为 （ ）.二、单项选择题(本题总分20分,每小题5分)1 . 设随机变量X ～B(100，0.1)，则方差D(X)=( ).① 10 ② 100.1 ③ 9 ④ 32 . 设两个随机变量X 与Y 不相关，则下列各式中不成立的是（ ）① D(Y)D(X)Y)D(X +=+ ② D(X)D(Y)D(XY)=③ E(Y)E(X)Y)E(X +=+ ④ E(X)E(Y)E(XY)=3 . 从0，1，…，9十个数字中随机地有放回地接连抽取四个数字，则“8”至少出现一次的概率为( )① 0.1 ② 0.3439 ③ 0.4 ④ 0.6561第 1 页（共 2 页）4. 设X ～N （μ，2σ），则随σ的增大，概率P （∣X-μ∣≦σ）① 单调增大； ② 单调减少； ③ 保持不变； ④ 增减不定.三、计算题(本题总分60分,每小题12分)1 . 一台电子仪器出厂时，使用寿命1000小时以上的概率为0.6，1500小时以上的概率为0.4. 现已使用了1000小时，求还能使用500小时以上的概率.2 . 某运动员参加射箭比赛，共有4支箭。

长沙理工大学数计学院概率论与数理统计 模拟试题一考试类别：闭 考试时量：120 分钟一．填空题(每空2分，共32分)：1．设7.0)(,4.0)(=⋃=B A P A P ,若B A ,互不相容,则=)(B P ; 若B A ,独立,则=)(B P .2．若)4,1(~N X ,则~21-=X Y .3．已知6.0)(,8.0)(=-=B A P A P ,则=⋃)(B A P ,=)|(A B P .4．从(0,1)中随机地取两个数b a ,,则b a -大于0的概率为 .5．若],2,0[~πU X 则12-=X Y 的概率密度函数为=)(y f . 6．随机变量),2(~2σN X ,若3.0)40(=<<X P ,则=<)0(X P . 7．设X 的分布列为5.0)1()1(===-=X P X P ,则X 的分布函数为=)(x F .8．设随机变量X 有分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x A x x F , 则=A ,=<)6|(|πX P .9．一颗均匀骰子被独立重复地掷出10次,若X 表示3点出现的次数,则X ~ . 10．设),(Y X 的联合分布列为则=a ,Y 的分布列为 ;若令2)2(-=X Z ,则Z 的分布列为 .11．若)9,2(~N X ,且)()(c X P c X P >=≤,则=c .二．选择题(每题3分，共12分)：1．设B A ,为两事件,且1)(0<<A P ,则下列命题中成立的是 ( )A. B A ,独立)|()|(A B P A B P =⇔B. B A ,独立⇔B A ,互不相容C. B A ,独立⇔Ω=⋃B AD. B A ,独立⇔0)(=AB P2．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,20,0)(x x x x x F , 则 ( )A . )(x F 是一个连续型分布函数 B. )(x F 是一个离散型分布函数C. )(x F 不是一个分布函数D. 5.0)1(==X P3．设随机变量X 的概率密度函数为)(x f ,且)()(x f x f =-,)(x F 是X 的分布函数,则对任意实数a ,有 ( )A. ⎰-=-adxx f a F 0)(1)( B. ⎰-=-a dx x f a F 0)(21)(C. )()(a F a F =-D. 1)(2)(-=-a F a F4．设随机变量}5{},4{).5,(~),4,(~2122+≥=-≤=u Y P p u X P p u N Y u N X ,则 ( )A . 对任意实数21,p p u = B. 对任意实数21,p p u <C. 只对u 的个别值才有21p p =D. 对任意实数21,p p u >三．某工厂甲、乙、丙三车间生产同一种产品,产量分别占25%,35%,40%,废品率分别为5%,4%和2%.产品混在一起,求总的废品率及抽检到废品时,这只废品是由甲车间生产的概率. (9分)四．箱中装有5个黑球,3个白球,无放回地每次取一球,直至取到黑球为止.若X 表示取球次数,求X 的分布列,并求)31(≤<X P .( 9分) 五．设随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<=,010,10,),(2y x cxy y x f , 求: 1)常数c ; 2) )241,210(<<<<Y X P ;3)43(>X P ); 4))(Y X P >. (16分)六．在一盒子里有12张彩票,其中有2张可中奖.今不放回地从中抽取两次,每次取一张,令Y X ,分别表示第一、第二次取到的中奖彩票的张数,求),(Y X 的联合分布列. 七．设12,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自下列两参数指数分布的样本：()()1121211,120;,x e x x f x θθθθθθθ--≥≤⎧⎪=⎨⎪⎩其中()1,θ∈-∞+∞，()20,θ∈+∞，试求出1θ和2θ的最大似然估计. (16分)其它长沙理工大学数计学院概率论与数理统计 模拟试题一答案一．填空题1. 0.3 0.52. )1,0(N3. 0.8 0.254. 0.55. ⎩⎨⎧-≤≤-,011,1πy 6. 0.35 7. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<1,111,5.01,0x x x 8. 1 0.5 9.)61,10(B10. 2/911. 2二．选择题 A C B A三．解: 设1A ={产品由甲厂生产}, 2A ={产品由乙厂生产},3A ={产品由丙厂生产},B ={产品是废品},由题意%40)(%,35)(%,25)(321===A P A P A P ；%5)|(1=A B P , %4)|(2=A B P , %2)|(3=A B P . 2分由全概率公式,∑==⨯+⨯+⨯==310345.002.040.004.035.005.025.0)|()()(i i i A B P A P B P ,6分从而由贝叶斯公式,36.00345.005.025.0)()|()()()()|(1111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P . 9分四． 解: 由题意知X 的可能取值为1,2,3,4,其分布列为,5615)2(,85)1(171518131815=⋅=====C C C C X P C C X P561)4(,565)3(1515383316152823=⋅===⋅==C C C C X P C C C C X P . 7分 )3()2())3()2(()31(=+===⋃==≤<∴X P X P X X P X P .1455655615=+=. 9分五．解: 1) 由⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f 有其它6|3122|21110310210210210102cy c dy y c dy x cy dxdy cxy =⋅==⋅==⎰⎰⎰⎰, 6=∴c ; 4分2)⎰⎰⎰⎰==<<<<21412141012026),()241,210(dydxxy dydx y x f Y X P=25663)411(2|31630130214121=-=⋅⎰⎰dx x dx y x ; 8分3)dxdy y x f Y X P X P ⎰⎰+∞+∞∞-=+∞<<∞->=>43),(),43()43(1672|3166111103102434343==⋅==⎰⎰⎰⎰dx x dy y x dydx xy ; 12分 4)⎰⎰⎰⎰⎰⋅===>>10031002|3166),()(dxy x dydx xy dxdy y x f Y X P xx yx52214==⎰dx x . 16分六．解: 每次只取一张彩票,要么取到中奖彩票,要么没取到中奖彩票,所以Y X ,的可能取值均为0或1,那么),(Y X 的联合分布列为,2215)0,0(11119112110=⋅===C C C C Y X P 335)1,0(11112112110=⋅===C C C C Y X P ,,335)0,1(11111011212=⋅===C C C C Y X P .661)1,1(1111111212=⋅===C C C C Y X P 6分七.解：似然函数()()1212121,,,;,;,nn i i L x x x f x θθθθ=⋅⋅⋅=∏()[)()12111,21min ni i x i neI x θθθθ=--+∞∑=(4分)要使()1212,,,;,n L x x x θθ⋅⋅⋅最大，必须min i x 1θ≥且()11ni i x θ=-∑应最小.故1θ的最大似然估计值为1θ=min i x . （8分）而2θ的最大似然估计值是使2121nL eλθθ-=取最大值的点. 此处()11ni i x λθ==-∑. （12分）故2θ=1n λ. 所以2θ的最大似然估计值为min i x x -最大似然估计量为1ˆθ=min i X，2ˆθ=min iX X -. （16分）长沙理工大学数计学院概率论与数理统计 模拟试题二卷 一.填空题(每空2分,共40分)1. 已知6.0)(,8.0)(=-=B A P A P ,则=⋃)(B A P , =)|(A B P.2. 从9,,2,1,0 这十个数字中任选三个不相同的数字,1A ={三个数字中不含0和5},2A ={三个数字中含有0和5},则=)(1A P ,=)(2A P .3. 设X ~)1(P ,Y ~)2(P ,且X 与Y 独立,则==+)2(Y X P .4. 若X ~)1,0(N ,Y ~)8,2(N ,X 与Y 独立,则32-+Y X ~ .5．设X 与Y 独立,2,1==DY DX ,则=-)32(Y X D .6．已知,4.0,36,25,===Y X DY DX ρ则=),(Y X Cov , =+)(Y X D.7. 设X 的分布函数=)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧>≤<--≤1,111,5.01,0x x x ，则X 的分布列为 . 8. 随机变量),2(~2σN X ,若3.0)40(=<<X P ,则=<)0(X P . 9. 设),(Y X 的联合分布列为则=a ,Y 的分布列为 ;若令2)2(-=X Z ,则=EZ .10. 若)9,2(~N X ,且)()(c X P c X P >=≤,则=c . 11. 设随机变量X 的期望,1=EX 方差2=DX ,由车贝晓夫不等式知><-)3|1(|X P .12. 设Y X ,独立同分布,有共同的概率密度函数)(x f ,则=<)(Y X P .13. 设 ,,,1n X X 独立同分布,且11=EX ,则−→−∑=Pn i i X n 11 .14. 设74)0()0(,73)0,0(=≥=≥=≥≥Y P X P Y X P ,则=≥)0),(max(Y X P .15. 设 ,,,1n X X 独立同分布, ]2,0[~1U X ,则=≤∑=∞→)11(lim 1ni i n X n P .二. 单选题(在本题的每一小题的备选答案中,请把你认为正确答案的题号,填入题干的括号内,多选不给分.每题3分,共15分)1. 设随机变量X 的概率密度函数为)(x f ,且)()(x f x f =-,)(x F 是X 的分布函数,则对任意实数a ,有 ( )①. ⎰-=-adx x f a F 0)(1)( ②. ⎰-=-a dx x f a F 0)(21)(③. )()(a F a F =- ④. 1)(2)(-=-a F a F2. 设8.0)|(,7.0)(,8.0)(===B A P B P A P ,则 ( ) ①. A,B 互不相容 ②. A,B 相互独立 ③. B ⊂A ④. P(A-B)=0.13. 如果随机变量Y X ,满足)()(Y X D Y X D -=+,则必有 ( )①. X 与Y 独立 ②. X 与Y 不相关 ③. 0)(=Y D ④. 0)(=X D4. 4次独立重复实验中,事件A 至少出现一次的概率为80/81,则 ( ) ①.21 ②. 31 ③. 32 ④. 415. 设随机变量X 服从指数分布)3(E ,则=),(DX EX ( )①. (31,31) ②. )3,3( ③. )91,31( ④. )9,3(三. 计算题(共45分)1. 一仓库有10箱同种规格的产品,其中由甲,乙,丙三厂生产的分别为5箱,3箱,2箱,三厂产品的次品率依次为0.1,0.2,0.3,从这10箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件,求取得正品的概率?若确实取得正品,求正品由甲厂生产的概率.(8分)2. 设随机向量),(Y X 的联合密度函数为:⎩⎨⎧≤≤≤≤+=,020,10,),(2y x bxy x y x f求①常数b; ②)1(≥+Y X P ; ③)21|1(<>X Y P ; ④讨论Y X ,的独立性. (12分)3. 袋中有5个红球,3个白球,无放回地每次取一球,直到取出红球为止,以X 表示取球的次数,求①X 的分布列,②))31(≤<X P ,③EX . (9分) 其它4. 某教室有50个座位,某班有50位学生,学号分别为1到50.该班同学上课时随机地选择座位,X 表示该班同学中所选座位与其学号相同的数目,求X 的期望EX .(8分) ５．设12,,,n X X X 为总体X 的一个样本，X 的密度函数:(1),01()0,x x f x ββ⎧+<<=⎨⎩其他， 0β>, 求参数β的矩估计量和极大似然估计量。

长沙理工大学考试试卷……………………………………………………………………………………………………… 试卷编号 01 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名 ……………………………………………………………………………………………………… 课程名称（含档次） 概率论与数理统计B 课程代号专 业 层次（本、专） 本科（城南） 考试方式（开、闭卷） 闭一、填空题(本大题总分10分，每小题2分)1 . 某射手向一目标连续射击两次，用i A 表示事件“第i 次射击命中目标”，1,2i =，则12(A A )(⋃)A A 21表示事件( 两次射击中仅一次命中目标 )2 . 设(X ，Y)服从区域}4y x y){(x,D 22≤+=上的均匀分布，则=>+)3Y P(X 22( 1/4 )3 . 若随机变量X 的数学期望为μ，方差为σσ(,2＞0)，则用切比雪夫不等式估计得{3}P X μσ-≥≤（ 1/9 ）4 . 设X 服从区间[0，2]上的均匀分布，Y=X 2，则cov(X,Y)=（ 2/3 ）5 . 评价参数的估计量优劣的标准有( 无偏性 )、有效性和一致性。

二、单项选择题(本大题总分20分，每小题5分)则2 0.5 ②0.3 ③0.09 ④0.212 . 设(X ，Y)的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它01y 1,0x 01y)f(x,，则随机变量X 与Y（ ④ ）① 相关 ② 不相关③ 不相关但不独立 ④ 不相关且独立3 . 从0，1，…，9十个数字中随机地有放回地接连抽取四个数字，则“8”至少出现一次的概率为( ② )4 0.1 ② 0.3439 ③ 0.4 ④ 0.6561 4 . 设随机变量X 的密度函数p(x)满足：p(x)x)p(=-，F(x)是X 的分布函数，则对任意a >0,则a)X P(>=（ ① ）①F(a)]2[1- ②12F(a)- ③F(a)2- ④)2F(a 1-第 1 页（共 2 页）三、计算题(本大题总60分,每小题12分)1 . 三人独立地去破译一个密码,他们能译出的概率分别为413151、、,求(1)将此密码译出的概率, (2)恰好有一个人译出此密码的概率. 1. 1.解.：设{},1,2,3i A i ==第i 人能破译,则 (1) ()()3i 123123i=1423P(A )11()()10.6534P A A A P A P A P A =-=-=-⨯⨯=(6分) (2) ()()()123123123P A A A P A A A P A A A ++(8分)()()()123123123()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++(10分)1234134211353453453430=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=2 . 令cos πY =求：（1）Y 的分布律；（2）E （Y ）。

第一章 概率论的基本概念 练习1.1 样本空间、随机事件一、写出以下随机试验的样本空间：1.从两名男乒乓球选手B A ,和三名女乒乓球选手,,C D E 中选拔一对选手参加男女混合双打，观察选择结果。

2.10件产品中有4件次品，其余全是正品，从这10件产品中连续抽取产品，每次一件，直到抽到次品为止，记录抽出的正品件数。

二、有三位学生参加高考，以i A 表示第i 人考取（1,2,3i =）.试用i A 表示以下事实： 1.至少有一个考取；2.至多64738291有两人考取；3.恰好有两人落榜。

三、投掷一枚硬币5次，问下列事件A 的逆事件A 是怎样的事件？1. A 表示至少出现3次正面；2. A 表示至多出现3次正面；3. A 表示至少出现3次反面。

四、袋中有十个球，分别编有1至10共十个号码，从其中任取一个球，设事件A 表示“取得的球的号码是偶数”， 事件B 表示“取得的球的号码是奇数”， 事件C 表示“取得的球的号码小于5”，则,,,,,C A C AC A C A B AB ⋃-⋃分别表示什么事件？五、在某系的学生中任选一名学生，令事件A 表示“被选出者是男生”；事件B 表示“被选出者是三年级学生”；事件C 表示“被选出者是运动员”。

（1）说出事件C AB 的含义；（2）什么时候有恒等式C C B A = ; (3) 什么时候有关系式B C ⊆正确; （4）什么时候有等式B A =成立。

练习1.2 概率、古典概型一、填空1.已知事件A ，B 的概率()0.7,()0.6P A P B ==,积事件AB 的概率()0.4P AB =,则()P A B ⋃= , ()P A B -= , ()P A B ⋃= , ()P A B ⋃= ,()P AB = , ()P A AB ⋃= .2. 设B A ,为两个事件，7.0)(=B P ,()0.3P AB =,则=+)(B A P .3. 设B A ,为两个任意不相容事件，,则=-)(B A P .4. 设B A ,为两个事件，5.0)(=A P ,=-)(B A P 0.2，则=)(AB P . 5. 已知,41)()()(===C P B P A P =)(AB P 0，61)()(==BC P AC P ，则C B A ,,全不发生的概率为 .二、设B A ,是两事件，且()0.6P A =，()0.7P B =,求(1) 在什么条件下，()P AB 取到最大值？ (2) 在什么条件下，()P AB 取到最小值？ 三、一批产品20件，其中3件次品，任取10件，求(1) 其中恰有一件次品的概率；(2) 至少有一件次品的概率。

长沙理工大学考试试卷………………………………………………………………………………………………………试卷编号 05 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名………………………………………………………………………………………………………课程名称（含档次） 概率论与数理统计B 课程代号专 业 层次（本、专） 本科（城南） 考试方式（开、闭卷） 闭一、 填空题(本大题总分10分，每小题2分)1 . 在某班的学生中任选一人，用A 表示事件“选的人是足球爱好者”，B 表示事件“选的人是篮球爱好者”，则AB 表示事件( )2 已知在10只产品中有2只次品，在其中取两只，则一只是正品，一只是次品的概率是( )3 . 设随机变量数学期望和方差均存在,04.0)(,1)(==X D X E 用切比雪夫不等式估计)5.1,5.0(∈X 的概率≥<<)5.15.0(X P （ ）4 . 从五个数1，2，3，4，5中任取三个数，用X 表示这三个数中最大的数，则=>4)P(X ( )5 . 设θˆ是总体X 的参数θ的点估计量，如果θ)θˆE(= ，则称θˆ是θ的( )估计量。

二、 单项选择题(本大题总分20分，每小题5分)1 . 对任意随机变量X ，若D(X)存在，且b 和c 均为常量,则D(bX+c)等于( )。

①b D(X) ②b D(X)+ c ③D(X)b 2 ④c D(X)b 2+2 . 掷一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为32，将此硬币连掷4次，则恰好1次正面朝上的概率是( )① 818 ② 278 ③ 8132 ④ 43 3 . 若连续型随机变量X 的密度函数p(x)=⎪⎩⎪⎨⎧∈其它,0I x ,x sin 21,则区间I 可以是（ ） ①⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-2,2 ②⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2,0 ③[]π,0 ④[]ππ-,第 1 页（共 2 页）4 . 设(X ，Y)的概率密度为⎩⎨⎧≤+=其它01y x 1/πy)f(x,22，则随机变量X 与Y （ ）① 相关② 不相关 ③ 不相关但不独立 ④ 不相关且独立三、计算题(本大题总分60分，每小题12分)1 . 一个盒中装有2枚伍分，3枚贰分，5枚壹分的均匀硬币，现从中任取5枚，问总值超过一角的概率是多少？2 . 袋中有5只球，分别编号为1，2，3，4，5，从袋中同时取出3只球，以X表示取出的3只球中的最小号码。

2020年大学必修课概率论与数理统计必考题及答案（完整版）一、单选题1、设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本，那么下列选项中不正确的是 (A)当n 充分大时，近似有X ～(1),p p N p n -⎛⎫⎪⎝⎭(B){}(1),k kn k n P X k C p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ (C ）{}(1),k k n k n kP X C p p n-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ (D ）{}(1),1k kn k i nP X k C p p i n -==-≤≤ 【答案】B2、设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最大似然估计为（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）211n i i X n =∑ （D ）2X 【答案】A3、1621,,,X X X 是来自总体），10(N ~X 的一部分样本，设：216292821X X Y X X Z ++=++= ，则YZ~（ ） )(A )1,0(N )(B )16(t )(C )16(2χ )(D )8,8(F【答案】D4、在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） (A)在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 (B)在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 (C)在H 00成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 (D)在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 【答案】C5、在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是___ __(A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验im(C)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异(D)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异【答案】D6、设X 的密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，且)()(x f x f -=。

长沙理⼯⼤学概率论与数理统计下册考试参考题长沙理⼯⼤学模拟试卷第⼋套概率论与数理统计试卷⼀、填空题（每⼩题2分，共2×10＝20分）.1、假设1x，2x，…，n x是样本1ξ，2ξ，…，nξ的⼀个样本值或观测值，则样本均值x表⽰样本值的集中位置或平均⽔平，样本⽅差S2和样本修正⽅差S*2表⽰样本值对于均值x的_________________.2、样本⽅差S2和样本修正⽅差S*2之间的关系为_________________.3、矩估计法由英国统计学家⽪尔逊（Pearson）于1894年提出，它简便易⾏，性质良好，⼀直沿⽤⾄今. 其基本思想是：以样本平均值（⼀阶原点矩）ξ作为相应总体ξ的____________________；以样本⽅差（⼆阶中⼼矩）2S或者以样本修正⽅差2*S作为相应总体ξ的___________________________.4、总体未知参数θ的最⼤似然估计θ?就是___________________函数的极⼤值点.5、我们在估计某阶层⼈的⽉收⼊时可以说：“⽉收⼊1000元左右”，也可以说：“⽉收⼊在800元⾄1200元间”. 前者⽤的是___________，后者就是_________________.6、在确定的样本点上，置信区间的长度与事先给定的信度α直接有关. ⼀般来讲，信度α较⼤，其置信度（1－α）较⼩，对应置信区间长度也较短，此时这⼀估计的精确度升⾼⽽可信度降低；相反地，信度α较⼩，其置信度（1－α）较______，对应置信区间长度也较_______，此时这⼀估计的精确度_________⽽可信度_____________.σ是否已知，正态总体均值µ的置信区间的中⼼都是7、⽆论总体⽅差2_________________.8、假设检验中统计推断的唯⼀依据是样本信息．样本信息的不完备性和随机性，决定了判断结果有错误是不可避免的．这种错误判断有两种可能：第⼀类错误为弃真错误，显著⽔平α就是犯这类错误的概率；第⼆类为取伪错误，记犯这类错误的概率为β. 则关系式α＋β＝1是________________(正确、错误)的.9、假设检验中做出判断的根据是______________________________________________.10、对于单正态总体，当均值µ已知时，对总体⽅差 2σ的假设检验⽤统计量及分布为__________________________________.⼆、简答题（每⼩题2分，共2×10＝10分）.1、若临界概率α＝0.05，求临界值2αu .答：2、若临界概率α＝0.01，⾃由度k ＝14，求临界值)1401.0(2；χ.答：3、若临界概率α＝0.05，⾃由度k ＝10，求临界值)1005.0(；t . 答：5、设1ξ，2ξ，…，n ξ是ξ的样本，且ξ～ N(µ,2σ)，试求：E ξ、D ξ、E 2*S .答：6、对于总体ξ有E ξ＝µ，D ξ＝2σ，1ξ，2ξ，3ξ是ξ的样本，下列⽆偏估计量中哪⼀个最有效？1?µ＝1ξ，2?µ＝1(31ξ＋2ξ＋3ξ）答：7、设总体ξ服从⼆项分布b(n ，p )，p 为待估参数，),,,(21n ξξξ为ξ的⼀个样本，求p 的矩估计量. 答：8、假设初⽣婴⼉的体重服从正态分布,随机抽取12名初⽣男婴,测得其体重为(单位:g):2950，2520，3000，3000，3000，3160，3560，3320，2880，2600，3400，2540. 当以95%的置信度求初⽣男婴的平均体重的置信区间时，应该选⽤什么统计量？答：9、某种电⼦元件，要求使⽤寿命不得低于1000 h .现从⼀批这种元件中随机抽取25 件，测其寿命，算得其平均寿命950 h ，设该元件的寿命ξ～N （µ，1002），在α＝0.05的检验⽔平下，要确定这批元件是否合格需⽤什么检验⽅法？答：10、某卷烟⼚⽣产两种⾹烟，现分别对两种烟的尼古丁含量作6次测量，结果为甲⼚：25 28 23 26 29 22 ⼄⼚：28 23 30 35 21 27若⾹烟中尼古丁含量服从正态分布，且⽅差相等，要判断这两种⾹烟中尼古丁含量有⽆显著差异（α＝0.05），应该使⽤什么检验⽅法?答：三、应⽤题（每⼩题10分，共6×8＝48分）1、设总体ξ服从泊松分布，即分布列为P(ξ＝m)＝λλ-e m m!，λ＞0为参数，m ＝1,2，…，试求样本(1ξ，2ξ，…，n ξ)的联合分布列.2、设总体ξ服从指数分布，分布密度为)(x p ＝??λ>0为待估参数，n x x x ,,,21 为ξ的⼀个观察值，求λ的最⼤似然估计值.3、已知某⼚⽣产的电⼦零件的长度ξ～N （12.5，2σ），从某天⽣产的零件中随机抽取4个，测得长度为（单位：mm ）12.6 13.4 12.8 13.2，求2σ的置信度为0.95的置信区间.4、已知某种⽊材横纹抗压⼒的实验值ξ～N （µ，2σ），对10个试件作横纹抗压⼒试验，得数据如下(单位：公⽄/平⽅厘⽶)：578 572 570 568 572 570 570 596 584 572.试对2σ进⾏区间估计(α＝0.05).5、已知舞阳钢铁公司的铁⽔含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.53，0.1082)，某⽇随机测定了9炉铁⽔，含碳量如下：4.43 4.50 4.58 4.42 4.47 4.60 4.53 4.46 4.42 若已知总体⽅差⽆变化，能否认为该⽇⽣产的铁⽔的平均含碳量仍为4.53（α＝0.05）?6、已知神马集团⽣产的维尼纶的纤度（纤维的粗细程度）在正常情况下服从正态分布N （1.405，0.0482），某⽇随机测定了5根纤维，纤维度如下： 1.32 1.55 1.36 1.40 1.44 问这天维尼纶纤度波动情况是否正常（α＝0.05）?四、论述题（每⼩题10分，共2×6＝12分）1、假设检验的基本原理是什么？2、请你谈谈学习数理统计的⽬的及⽅法？长沙理⼯⼤学模拟试卷第⼋套⼀、填空题（每⼩题2分，共2×10＝20分）. 1、离散程度.2、S 2＝2*1S n n -.3、期望；⽅差.4、似然.5、点估计，区间估计.6、⼤，长，降低，升⾼.7、ξ.8、错误.9、⼩概率事件实际不可能发⽣原理.)(σµξ～2χ(n).⼆、简答题（每⼩题2分，共2×10＝10分）.1、2αu ＝025.0u ＝1.96.2、)1401.0(2；χ＝)14(201.0χ＝29.141.3、)1005.0(；t ＝)10(05.0t ＝1.8125 4、)15,1005.0(；F ＝)15,10(05.0F ＝2.54 5、E ξ＝µ,D ξ＝n2σ，E 2S ＝21σn n -，E 2*S ＝2σ.6、2?µ最有效.7、因µ＝E ξ＝np ，所以p ＝n µ. ⼜µ＝ξ，所以 p ?＝n µ＝n ξ. 8、t 检验法. 9、u 检验法. 10、t 检验法.三、应⽤题（每⼩题10分，共4×12＝48分）1、解设(1x ，2x ，…，n x )为(1ξ，2ξ，…，n ξ)的任⼀组样本值，则样本(1ξ，2ξ，…，n ξ)的联合分布列为P(1ξ=1x ，2ξ=2x ，…，n ξ=n x )＝∏=ni 1P(iξ=iλλ-e x i xi!＝λλn ni i x e x ni i-=∏∑=1!1.2、解由L );,,,(21θn x x x ＝∏=ni i x P i 1);(θξ知，λ的似然函数为L );,,,(21θn x x x ＝∏=-ni x ie 1)(λλ＝∑-=ni ix ne1λλ.相应的对数似然函数为lnL );,,,(21θn x x x ＝两边对λ求导，并令⼀阶导数等于0可得∑=-ni ix n 1λ＝0，解之得，λ的最⼤似然估计值为λ? ＝∑=ni ixn1＝x 1.3、解因∑=-412)(i iµξ＝(12.6－12.5)2＋(13.4－12.5)2＋(12.8－12.5)2＋(13.2－12.5)2＝1.4.⼜ 1－α＝0.95，α＝0.05，查附表3得22αχ＝2025.0χ(4)＝11.143，221αχ-＝2975.0χ(4)＝0.484.故置信度为0.95的置信区间为（143.114.1，484.045、解设该⽇⽣产的铁⽔含碳量ξ～N （µ，2σ），已知σ＝ 0.108, n ＝9，则待检假设为Ho ：µ＝4.53, H 1：µ≠4.53. 当Ho 成⽴时，有统计量u ＝9/108.053.4-ξ～N （0，1）对于给定显著⽔平α＝0.05，查标准正态分布函数数值表（附表2）得2αu ＝1.96，使得P （|u|>1.96）＝0.05.由样本观察值计算得x ＝4.49，于是有 |u|＝|9/108.053.449.4-|＝1.11＜1.96，因⼩概率事件没有发⽣，故接受Ho ，即在显著⽔平α＝0.05下，可认为该⽇⽣产的铁⽔的平均含碳量仍为4.53.6、解设该⽇⽣产的维尼纶的纤度ξ～N （µ，2σ），已知µ＝1.405，σ＝0.048, n ＝5，则待检假设为Ho ：2σ＝0.0482，H 1：2σ≠0.0482.当Ho 成⽴时，有统计量2χ＝∑=-5122048.0)405.1(i i ξ～2χ(5).对于给定显著⽔平α＝0.05，查2χ分布临界值表（附表3）得22αχ＝12.833和221αχ＞12.833）＝2α，P （2χ＜0.83)＝2α.由样本观察值计算2χ得，2χ＝13.683. 于是有2χ＝13.683＞12.833因⼩概率事件发⽣，故拒绝Ho ，即在显著⽔平α＝0.05下，可认为该⽇⽣产的维尼纶的纤度的均⽅差不正常.四、论述题（每⼩题10分，共2×6＝12分） 1、略. 2、略.长沙理⼯⼤学模拟试卷第九套概率论与数理统计试卷⼀、填空题（每⼩题2分，共2×10＝20分）.1、在进⾏抽样时，样本的选取必须是随机的，即总体中每个个体都有同等机会被选⼊样本. 因此，抽取样本1ξ，2ξ，…，n ξ，要求满⾜下列两个特性：1）_________；2）_________. 具备这两个特性的样本称为简单随机样本，简称样本.2、假设1x ，2x ，…，n x 是样本1ξ，2ξ，…，n ξ的⼀个样本值或观测值，则样本均值x 表⽰样本值的集中位置或平均⽔平，样本⽅差S 2和样本修正⽅差S *2表⽰样本值对于均值x 的__________________.3、样本⽅差S 2和样本修正⽅差S *2之间的关系为__________________.4、矩估计法由英国统计学家⽪尔逊（Pearson ）于1894年提出，它简便易⾏，性质良好，⼀直沿⽤⾄今. 其基本思想是：以样本平均值（⼀阶原点矩）ξ作为相应总体ξ的____________________；以样本⽅差（⼆阶中⼼矩）2S 或者以样本修正⽅差2*S 作为相应总体ξ的___________________________.5、θ?具有⽆偏性的意义是：θ?取值因随机性⽽偏离θ的真值，但_________________即没有系统的偏差.6、设1?θ和2?θ都是⽆偏估计量，如果________________，则称1?θ⽐2?θ有效.7、在确定的样本点上，置信区间的长度与事先给定的信度α直接有关. ⼀般来讲，信度α较⼤，其置信度（1－α）较⼩，对应置信区间长度也较短，此时这⼀估计的精确度升⾼⽽可信度降低；相反地，信度α较⼩，其置信度（1－α）较______，对应置信区间长度也较_______，此时这⼀估计的精确度_________⽽可信度_____________.8、假设检验中统计推断的唯⼀依据是样本信息．样本信息的不完备性和随机性，决定了判断结果有错误是不可避免的．这种错误判断有两种可能：第⼀类错误为__________________，第⼆类为__________________.9、常⽤的假设检验⽅法有四种，分别为1）__________________、2）__________________、3）__________________、3）__________________.10、对于单正态总体，当均值µ已知时，对总体⽅差 2σ的假设检验⽤统计量及分布为____________________________________.⼆、简答题（每⼩题2分，共2×10＝10分）.1、若α＝0.05，求2αu .答：3、若α＝0.05，k ＝10，求)1005.0(；t . 答：4、若α＝0.05＜0.5，k 1＝10，k 2＝15，求)15,1005.0(；F . 答：5、设1ξ，2ξ，…，n ξ是ξ的样本，且ξ～ N(µ,2σ)，试求：E ξ、D ξ、E 2*S .答：6、对于总体ξ有E ξ＝µ，D ξ＝2σ，1ξ，2ξ，3ξ是ξ的样本，下列统计量中哪⼀个最有效？1?µ＝1ξ，2?µ＝134ξ－231ξ，3?µ＝1(31ξ＋2ξ＋3ξ）答：7、设总体ξ服从⼆项分布b(n ，p )，p 为待估参数，),,,(21n ξξξ为ξ的⼀个样本，求p 的矩估计量. 答：8、已知⼀批元件的长度测量误差ξ服从N （µ，2σ），µ，2σ为未知参数，现从总体ξ中抽出⼀个容量是6的样本值-1.20，-0.85，-0.30，0.45，0.82，0.12，σ的最⼤似然估计值.求µ，2答：9、已知洛阳轴承⼚⽣产的滚珠直径ξ～N（µ，2σ），其中2σ为已知，µ为待估参数. 从某天⽣产的滚珠中随机抽取⼀个样本1ξ，2ξ，…，nξ，对于事先给定的信度α，试写出总体均值µ的置信区间.答：10、已知洛阳轴承⼚⽣产的滚珠直径ξ～N（µ，2σ），其中2σ为未知知，µ为待估参数. 从某天⽣产的滚珠中随机抽取⼀个样本1ξ，2ξ，…，nξ，对于事先给定的信度α，试写出总体均值µ的置信区间.答：三、应⽤题（每⼩题10分，共4×12＝48分）σ的置信度为0.95的置信区间.求22、已知某种⽊材横纹抗压⼒的实验值ξ～N（µ，2σ），对10个试件作横纹抗压⼒试验，得数据如下(单位：公⽄/平⽅厘⽶)：578 572 570 568 572 570 570 596 584 572.σ进⾏区间估计(α＝0.05).试对23、已知某炼铁⼚的铁⽔含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.53，0.1082)，某⽇随机测定了9炉铁⽔，含碳量如下：4.43 4.50 4.58 4.42 4.47 4.60 4.53 4.46 4.42若已知总体⽅差⽆变化，能否认为该⽇⽣产的铁⽔的平均含碳量仍为4.53（α＝0.05）?4、已知某涤纶⼚⽣产的维尼纶的纤度（纤维的粗细程度）在正常情况下服从正态分布N（1.405，0.0482），某⽇随机测定了5根纤维，纤维度如下：1.32 1.55 1.36 1.40 1.44问这天维尼纶纤度总体的均⽅差是否正常（α＝0.05）?四、论述题（每⼩题10分，共2×6＝12分）1、假设检验的基本原理是什么？2、请你谈谈学习数理统计的意义？长沙理⼯⼤学模拟试卷第九套⼀、填空题（每⼩题2分，共2×10＝20分）. 1、1）独⽴性等；2）代表性. 2、离散程度.3、S2＝2*1S n n -.4、期望；⽅差.5、E θ?＝θ.6、D 1?θ＜D 2?θ.7、⼤，长，降低，升⾼. 8、“弃真”，“取伪”.9、1）U 检验法、2）t 检验法、3）2χ检验法、3）F 检验法.10、2χ＝∑=-ni i 122⼆、简答题（每⼩题2分，共2×10＝10分）.1、2αu ＝025.0u ＝1.96.2、)1401.0(2；χ＝)14(201.0χ＝29.141.3、)1005.0(；t ＝)10(05.0t ＝1.8125 4、)15,1005.0(；F ＝)15,10(05.0F ＝2.54 5、E ξ＝µ,D ξ＝n2σ，E 2S ＝21σn n -，E 2*S ＝2σ.6、3?µ最有效.7、因µ＝E ξ＝np ，所以p ＝n µ. ⼜µ＝ξ，所以 p ?＝n µ＝n ξ. 8、µ≈ξ＝61[(-1.20)＋(-0.85)＋(-0.30)＋0.45＋0.82＋0.12]＝－0.16. 2σ≈2S ＝61[(-1.20+0.16)2＋(-0.85+0.16)2＋(-0.30+0.16)2＋(0.45+0.16)2＋(0.82+0.16)2＋(0.12+0.16)2]＝0.4980.9、（ξ2ασu n-，ξ＋)2ασu n.10、（ξnS t 2*2α-，ξ＋)2*2nS t α.三、应⽤题（每⼩题10分，共4×12＝48分） 1、解因∑=-412)(i iµξ＝(12.6－12.5)2＋(13.4－12.5)2＋(12.8－12.5)2＋(13.2－12.5)2＝1.4.⼜ 1－α＝0.95，α＝0.05，查附表3得22αχ＝2025.0χ(4)＝11.143，221αχ-＝2975.0χ(4)＝0.484.故置信度为0.95的置信区间为（143.114.1，484.04.1），即（0.13，2.89）.2、解（35.83，252.43）.3、解设该⽇⽣产的铁⽔含碳量ξ～N （µ，2σ），已知σ＝ 0.108, n ＝9，则待检假设为Ho ：µ＝4.53, H 1：µ≠4.53. 当Ho 成⽴时，有统计量u ＝9/108.053.4-ξ～N （0，1）对于给定显著⽔平α＝0.05，查标准正态分布函数数值表（附表2）得2αu ＝1.96，使得P （|u|>1.96）＝0.05.由样本观察值计算得x ＝4.49，于是有|u|＝|9/108.053.449.4-|＝1.11＜1.96，因⼩概率事件没有发⽣，故接受Ho ，即在显著⽔平α＝0.05下，可认为该⽇⽣产的铁⽔的平均含碳量仍为4.53.4、解设该⽇⽣产的维尼纶的纤度ξ～N （µ，2σ），已知µ＝1.405，σ＝0.048, n ＝5，则待检假设为Ho ：2σ＝0.0482，H 1：2σ≠0.0482.当Ho 成⽴时，有统计量2χ＝∑=-5122048.0)405.1(i i ξ～2χ(5）.对于给定显著⽔平α＝0.05，查2χ分布临界值表（附表3）得22αχ＝12.833和221αχ-＝0.83使得P （2χ＞12.833）＝2α，P （2χ＜0.83)＝2α.由样本观察值计算2χ得，2χ＝13.683. 于是有2χ＝13.683＞12.833因⼩概率事件发⽣，故拒绝Ho ，即在显著⽔平α＝0.05下，可认为该⽇⽣产的维尼纶的纤度的均⽅差不正常.四、论述题（每⼩题10分，共2×6＝12分）1、略. 2、略。

长沙理工大学考试试卷……………………………………………………………………………………………………… 试卷编号 20 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名 ……………………………………………………………………………………………………… 课程名称（含档次） 概率论与数理统计B 课程代号专 业 层次（本、专） 本科（城南） 考试方式（开、闭卷） 闭 ______________________________________________________________________________________一 选择题（本大题总分20分，每小题5分）1. 设P(A)=0.8,P(B)=0.7，P(A|B)=0.8 则下列命题中正确的是( ).(A) 事件A 与B 相互独立 (B) 事件A 与B 互斥(C) B ⊃A (D) P(A ∪B)=P(A)+P(B)2.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0．6和0．5，目标被命中概率是 ( )．(A)0．3 (B)0.6 (C)0．8 (D)13. 设随机变量X 的概率密度为f(x)，则f(x)一定满足（ ）.(A) 0≤f(x)≤1 (B) ⎰∞-=>Xdt )t (f }x X {P (C) ⎰+∞∞-=1dx )x (f (D) f(+∞)=14设X 1,X 2,…,X n 是总体X ～N(2σ,μ)的样本,∑==n1i i X n 1X ，当μ和2σ均未知时,2σ的无偏估计量2σˆ=（ ）. (A) 2n 1i i μ)(X 1n 1--∑= (B) 2n 1i i )X (X 1n 1--∑= (C) 2n 1i i μ)(X n 1-∑= (D) 2n 1i i )X (X n 1-∑= 二 填空题（本大题共10分，每空2分）5.设随机变量X 只能取5，6，7，…，16这十二个值，且取每一个值的概率均相同，则 P （X>8）= （ ） , P （6<X≤14）=（ ），P （X≥10）= ( ) . ____________________________________________________________________________________ 第 1 页（共 2 页）6.设A ，B 为随机事件，P （A ）=0.7,P(A-B)=0.3, 则()P A B ⋃ = ( ) .7. 设随机变量X 服从[1，3]上的均匀分布，则1()E X= ( ) . 三 计算题（本大题共60分，每题12分）8．甲、乙、丙三人各自去破译一个密码，他们能译出的概率分别为15，13，14. 试求：(1)恰有一人译出的概率.（2）密码能破译的概率.9. 连续型随机变量X 的分布密度为()cos ,0;20,x x f x or elseπ⎧<≤⎪=⎨⎪⎩,试求分布函数()F x 及42P X ππ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭. 10. 已知三个随机变量X ，Y ，Z 中，E （X ）=E （Y ）=1，E （Z ）=-1， D （X ）=D （Y ）=D （Z ）=1，XY ρ=0，21=XZ ρ，,21-=yz ρ设W=X+Y+Z ，求E （W ），D （W ）. 11. 一个系统由几个相互独立的部件组成，每部件损坏的概率为0.1，而且要求至少有87%的比部件工作，才能使系统正常运行，问至少有多少个比部件时，才能保证系统的可靠度系统正常运行的概率达到97.72%？12．从一台机床加工的轴承中，随机抽取200件，测量其椭圆度，得样本观察值的均值0.081x =毫米，并由累积资料知道椭圆度服从2(,0.025)N μ，试在置信概率0.95下，求μ的置信区间的相应于样本观察值的一个现实区间。

长沙理工大学数计学院概率论与数理统计 模拟试题四一．填空题(每空3分，共48分)：1．已知3.0)(,6.0)(,8.0)(==-=B P B A P A P ,则=⋃)(B A P ,=)|(A B P .2．若10各产品中有7个正品,3个次品.现在不放回地从中随机取出两个产品,则第一次取出的是正品的概率是 , 第一次取出的是正品而第二次取出的是次品的概率是 .3．设321321,,,31)()()(A A A A P A P A P ===独立,则321,,A A A 至少出现一个的概率是 .4．设X ~)1(P ,Y ~)1(P ,且X 与Y 独立,则==+)2(Y X P . 5．设X 与Y 独立,2,1==DY DX ,则=-)32(Y X D .6．若X ~)1,0(N ,Y ~)8,2(N ,X 与Y 独立,则32-+Y X ~ .7．设X 与Y 独立,且X ~)2,0(N ,Y ~)2,1(N ,则),(Y X 的联合密度为=),(y x f .8．设X的密度函数为⎩⎨⎧≤≤=,010,)(x cx x f ,则c= ,=<<-)2121(X P .9．若),(Y X 的联合分布X 列为则a= ,==+)3(Y X P,=EX .10．设 ,,21X X 是一独立同分布的随机变量序列,则 ,,21X X 服从大数定理的充要条件是 . 11．若X ~)4,2(N ,则=>)2(X P .二．选择题(每题3分，共12分)：1．设⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤<=1,110,2/10,0)(x x x x F ,则( )A. )(x F 是一个连续型分布函数B. 5.0)1(==X PC. )(x F 是一个离散型分布函数D. )(x F 不是一个分布函数其它 XY2．设B A ,为两事件,且1)(0<<A P ,则下列命题中不成立的是 ( )A .B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ B. B A ,独立)()|(B P A B P =⇔C. B A ,独立0)(=⇔AB PD. B A ,独立)|()|(A B P A B P =⇔3．设随机变量X 的密度函数为)(x f ,且满足),(),()(+∞-∞∈-=x x f x f ,)(x F 为X 的分布函数,则对任意的实数x 有( ) A . )(1)(x F x F -=- B. )(2/1)(x F x F -=-C. )()(x F x F =-D. 1)(2)(-=-x F x F4．设2,1==DX EX ,则( )A. 2/1)2|(|≥>X PB. 2/1)2|1(|≥≥-X PC. 2/1)2|1(|≤<-X PD. 2/1)2|1(|≤≥-X P三．一仓库有10箱同种规格的产品,其中由甲,乙,丙三厂生产的分别为5箱,3箱,2箱,三厂产品的次品率依次为0.1,0.2,0.3,从这10箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件,取得正品,求该件产品由甲厂生产的概率. (8分)四．某人有12粒弹子,其中有2粒为绿色的.今从中不放回地取两次,每次取一粒,Y X ,分别表示第一次,第二次取中绿色弹子的粒数,求EXY . ( 7分)五．设随机向量),(Y X 的联合密度函数为:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=,020,10,31),(2y x xy x y x f1)Y X ,是否独立; 2)求)1(>+Y X P ; 3)求)21|1(=<X Y P . (12分)六．在一家保险公司里有10000人投保,每人每年付12元保险费.在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡时其家属可从保险公司得到1000元赔偿.求该保险公司一年的利润不少于60000元的概率. （6分）七．设甲乙两车间加工同一种产品，其产品的尺寸分别为随机变量为ηξ,,且),(~),,(~222211σμησμξN N ，今从它们的产品中分别抽取若干进行检测，测得数据如下：397.4,50.21,7,216.2,93.20,82222111======s y n s x n （查表：12.5)7,6(,70.5)6,7(025.0025.0==F F ）求21μμ-的置信度为90％的置信区间。