长沙理工大学概率论与数理统计2019年考研复试真题试题

长沙理工大学数计学院概率论与数理统计 模拟试题一考试类别：闭 考试时量：120 分钟一．填空题(每空2分，共32分)：1．设7.0)(,4.0)(=⋃=B A P A P ,若B A ,互不相容,则=)(B P ; 若B A ,独立,则=)(B P .2．若)4,1(~N X ,则~21-=X Y .3．已知6.0)(,8.0)(=-=B A P A P ,则=⋃)(B A P ,=)|(A B P .4．从(0,1)中随机地取两个数b a ,,则b a -大于0的概率为 .5．若],2,0[~πU X 则12-=X Y 的概率密度函数为=)(y f . 6．随机变量),2(~2σN X ,若3.0)40(=<<X P ,则=<)0(X P . 7．设X 的分布列为5.0)1()1(===-=X P X P ,则X 的分布函数为=)(x F .8．设随机变量X 有分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x A x x F , 则=A ,=<)6|(|πX P .9．一颗均匀骰子被独立重复地掷出10次,若X 表示3点出现的次数,则X ~ . 10．设),(Y X 的联合分布列为则=a ,Y 的分布列为 ;若令2)2(-=X Z ,则Z 的分布列为 .11．若)9,2(~N X ,且)()(c X P c X P >=≤,则=c .二．选择题(每题3分，共12分)：1．设B A ,为两事件,且1)(0<<A P ,则下列命题中成立的是 ( )A. B A ,独立)|()|(A B P A B P =⇔B. B A ,独立⇔B A ,互不相容C. B A ,独立⇔Ω=⋃B AD. B A ,独立⇔0)(=AB P2．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,20,0)(x x x x x F , 则 ( )A . )(x F 是一个连续型分布函数 B. )(x F 是一个离散型分布函数C. )(x F 不是一个分布函数D. 5.0)1(==X P3．设随机变量X 的概率密度函数为)(x f ,且)()(x f x f =-,)(x F 是X 的分布函数,则对任意实数a ,有 ( )A. ⎰-=-adxx f a F 0)(1)( B. ⎰-=-a dx x f a F 0)(21)(C. )()(a F a F =-D. 1)(2)(-=-a F a F4．设随机变量}5{},4{).5,(~),4,(~2122+≥=-≤=u Y P p u X P p u N Y u N X ,则 ( )A . 对任意实数21,p p u = B. 对任意实数21,p p u <C. 只对u 的个别值才有21p p =D. 对任意实数21,p p u >三．某工厂甲、乙、丙三车间生产同一种产品,产量分别占25%,35%,40%,废品率分别为5%,4%和2%.产品混在一起,求总的废品率及抽检到废品时,这只废品是由甲车间生产的概率. (9分)四．箱中装有5个黑球,3个白球,无放回地每次取一球,直至取到黑球为止.若X 表示取球次数,求X 的分布列,并求)31(≤<X P .( 9分) 五．设随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<=,010,10,),(2y x cxy y x f , 求: 1)常数c ; 2) )241,210(<<<<Y X P ;3)43(>X P ); 4))(Y X P >. (16分)六．在一盒子里有12张彩票,其中有2张可中奖.今不放回地从中抽取两次,每次取一张,令Y X ,分别表示第一、第二次取到的中奖彩票的张数,求),(Y X 的联合分布列. 七．设12,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自下列两参数指数分布的样本：()()1121211,120;,x e x x f x θθθθθθθ--≥≤⎧⎪=⎨⎪⎩其中()1,θ∈-∞+∞，()20,θ∈+∞，试求出1θ和2θ的最大似然估计. (16分)其它长沙理工大学数计学院概率论与数理统计 模拟试题一答案一．填空题1. 0.3 0.52. )1,0(N3. 0.8 0.254. 0.55. ⎩⎨⎧-≤≤-,011,1πy 6. 0.35 7. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<1,111,5.01,0x x x 8. 1 0.5 9.)61,10(B10. 2/911. 2二．选择题 A C B A三．解: 设1A ={产品由甲厂生产}, 2A ={产品由乙厂生产},3A ={产品由丙厂生产},B ={产品是废品},由题意%40)(%,35)(%,25)(321===A P A P A P ；%5)|(1=A B P , %4)|(2=A B P , %2)|(3=A B P . 2分由全概率公式,∑==⨯+⨯+⨯==310345.002.040.004.035.005.025.0)|()()(i i i A B P A P B P ,6分从而由贝叶斯公式,36.00345.005.025.0)()|()()()()|(1111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P . 9分四． 解: 由题意知X 的可能取值为1,2,3,4,其分布列为,5615)2(,85)1(171518131815=⋅=====C C C C X P C C X P561)4(,565)3(1515383316152823=⋅===⋅==C C C C X P C C C C X P . 7分 )3()2())3()2(()31(=+===⋃==≤<∴X P X P X X P X P .1455655615=+=. 9分五．解: 1) 由⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f 有其它6|3122|21110310210210210102cy c dy y c dy x cy dxdy cxy =⋅==⋅==⎰⎰⎰⎰, 6=∴c ; 4分2)⎰⎰⎰⎰==<<<<21412141012026),()241,210(dydxxy dydx y x f Y X P=25663)411(2|31630130214121=-=⋅⎰⎰dx x dx y x ; 8分3)dxdy y x f Y X P X P ⎰⎰+∞+∞∞-=+∞<<∞->=>43),(),43()43(1672|3166111103102434343==⋅==⎰⎰⎰⎰dx x dy y x dydx xy ; 12分 4)⎰⎰⎰⎰⎰⋅===>>10031002|3166),()(dxy x dydx xy dxdy y x f Y X P xx yx52214==⎰dx x . 16分六．解: 每次只取一张彩票,要么取到中奖彩票,要么没取到中奖彩票,所以Y X ,的可能取值均为0或1,那么),(Y X 的联合分布列为,2215)0,0(11119112110=⋅===C C C C Y X P 335)1,0(11112112110=⋅===C C C C Y X P ,,335)0,1(11111011212=⋅===C C C C Y X P .661)1,1(1111111212=⋅===C C C C Y X P 6分七.解：似然函数()()1212121,,,;,;,nn i i L x x x f x θθθθ=⋅⋅⋅=∏()[)()12111,21min ni i x i neI x θθθθ=--+∞∑=(4分)要使()1212,,,;,n L x x x θθ⋅⋅⋅最大，必须min i x 1θ≥且()11ni i x θ=-∑应最小.故1θ的最大似然估计值为1θ=min i x . （8分）而2θ的最大似然估计值是使2121nL eλθθ-=取最大值的点. 此处()11ni i x λθ==-∑. （12分）故2θ=1n λ. 所以2θ的最大似然估计值为min i x x -最大似然估计量为1ˆθ=min i X，2ˆθ=min iX X -. （16分）长沙理工大学数计学院概率论与数理统计 模拟试题二卷 一.填空题(每空2分,共40分)1. 已知6.0)(,8.0)(=-=B A P A P ,则=⋃)(B A P , =)|(A B P.2. 从9,,2,1,0 这十个数字中任选三个不相同的数字,1A ={三个数字中不含0和5},2A ={三个数字中含有0和5},则=)(1A P ,=)(2A P .3. 设X ~)1(P ,Y ~)2(P ,且X 与Y 独立,则==+)2(Y X P .4. 若X ~)1,0(N ,Y ~)8,2(N ,X 与Y 独立,则32-+Y X ~ .5．设X 与Y 独立,2,1==DY DX ,则=-)32(Y X D .6．已知,4.0,36,25,===Y X DY DX ρ则=),(Y X Cov , =+)(Y X D.7. 设X 的分布函数=)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧>≤<--≤1,111,5.01,0x x x ，则X 的分布列为 . 8. 随机变量),2(~2σN X ,若3.0)40(=<<X P ,则=<)0(X P . 9. 设),(Y X 的联合分布列为则=a ,Y 的分布列为 ;若令2)2(-=X Z ,则=EZ .10. 若)9,2(~N X ,且)()(c X P c X P >=≤,则=c . 11. 设随机变量X 的期望,1=EX 方差2=DX ,由车贝晓夫不等式知><-)3|1(|X P .12. 设Y X ,独立同分布,有共同的概率密度函数)(x f ,则=<)(Y X P .13. 设 ,,,1n X X 独立同分布,且11=EX ,则−→−∑=Pn i i X n 11 .14. 设74)0()0(,73)0,0(=≥=≥=≥≥Y P X P Y X P ,则=≥)0),(max(Y X P .15. 设 ,,,1n X X 独立同分布, ]2,0[~1U X ,则=≤∑=∞→)11(lim 1ni i n X n P .二. 单选题(在本题的每一小题的备选答案中,请把你认为正确答案的题号,填入题干的括号内,多选不给分.每题3分,共15分)1. 设随机变量X 的概率密度函数为)(x f ,且)()(x f x f =-,)(x F 是X 的分布函数,则对任意实数a ,有 ( )①. ⎰-=-adx x f a F 0)(1)( ②. ⎰-=-a dx x f a F 0)(21)(③. )()(a F a F =- ④. 1)(2)(-=-a F a F2. 设8.0)|(,7.0)(,8.0)(===B A P B P A P ,则 ( ) ①. A,B 互不相容 ②. A,B 相互独立 ③. B ⊂A ④. P(A-B)=0.13. 如果随机变量Y X ,满足)()(Y X D Y X D -=+,则必有 ( )①. X 与Y 独立 ②. X 与Y 不相关 ③. 0)(=Y D ④. 0)(=X D4. 4次独立重复实验中,事件A 至少出现一次的概率为80/81,则 ( ) ①.21 ②. 31 ③. 32 ④. 415. 设随机变量X 服从指数分布)3(E ,则=),(DX EX ( )①. (31,31) ②. )3,3( ③. )91,31( ④. )9,3(三. 计算题(共45分)1. 一仓库有10箱同种规格的产品,其中由甲,乙,丙三厂生产的分别为5箱,3箱,2箱,三厂产品的次品率依次为0.1,0.2,0.3,从这10箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件,求取得正品的概率?若确实取得正品,求正品由甲厂生产的概率.(8分)2. 设随机向量),(Y X 的联合密度函数为:⎩⎨⎧≤≤≤≤+=,020,10,),(2y x bxy x y x f求①常数b; ②)1(≥+Y X P ; ③)21|1(<>X Y P ; ④讨论Y X ,的独立性. (12分)3. 袋中有5个红球,3个白球,无放回地每次取一球,直到取出红球为止,以X 表示取球的次数,求①X 的分布列,②))31(≤<X P ,③EX . (9分) 其它4. 某教室有50个座位,某班有50位学生,学号分别为1到50.该班同学上课时随机地选择座位,X 表示该班同学中所选座位与其学号相同的数目,求X 的期望EX .(8分) ５．设12,,,n X X X 为总体X 的一个样本，X 的密度函数:(1),01()0,x x f x ββ⎧+<<=⎨⎩其他， 0β>, 求参数β的矩估计量和极大似然估计量。

一、选择题（单选与多选题）（每题1分，共15分）1．连续配筋砼路面的纵向配筋率与（）有关。

A．缝宽 B.缝距C. 砼板的厚度D.钢筋的屈服强度2．构成路基的三要素是（）。

A．路基宽度 B.地面横坡度C. 路基高度D.路基边坡坡度3．路基土的最佳含水量与（）有关。

A．压实功 B.初始含水量C. 土类D.塑性指数4．路基土的稠度与（）有关。

A．含水量 B.塑限C. 压实度D.液限5．SMA的特点有（）。

A．粗集料多 B.细集料多C. 沥青多D.中间集料少6．我国刚性路面设计理论为（）。

A．弹性地基上的小挠度弹性薄板理论B. 弹性地基上的弹性厚板理论。

C. 文克勒地基上的小挠度弹性薄板理论。

D. 文克勒地基上的弹性厚板理论。

7．土基回弹模量的确定方法有（）。

A．查表法 B.换算法C. 室内试验方法D.现场检测方法8．以下属于路基地下排水设施的有（）。

A．排水沟 B.渗沟C. 盲沟D.渗井9．水泥混凝土路面损坏状况评价指标有（）。

A．断板率 B.接缝传荷能力C. 脱空D.平均错台量10．横缝设传力杆的主要作用是（）。

A．提高接缝传荷能力 B.减少基层冲刷C. 减薄面层 D.减薄基层11．在路面结构设计中，土基模量是指下列哪个模量（）。

A．切线模量 B.割线模量C. 回弹模量D.弯拉模量12．松散粒料材料的强度是用（）表征。

A．粘结能力 B.内摩擦角C. 抗拉强度D.抗压强度13．评定路表抗滑性能的指标有（）。

A．BPN B.SFCC. 平整度D.TD14．水泥混凝土路面接缝传荷机构有（）。

A．集料嵌锁 B.传力杆C.传力杆和集料嵌锁D.拉杆15．下列属于水泥路面破坏形式的有（）。

A．开裂 B.断板C. 车辙D.接缝损坏二、问答题（45分）1 重力式挡土墙通常有那些破坏形式？稳定性验算包括哪些项目？当抗滑或抗倾覆稳定性不足时，分别可采用哪些稳定措施？2为什么说路基回弹模量是条件模量？测试时是如何考虑的？3减少半刚性基层沥青路面反射开裂的主要措施？4 沥青路面的轴载换算原则是什么？5水泥混凝土路面的主要破坏形式及原因。

第一章 概率论的基本概念 练习1.1 样本空间、随机事件一、写出以下随机试验的样本空间：1.从两名男乒乓球选手B A ,和三名女乒乓球选手,,C D E 中选拔一对选手参加男女混合双打，观察选择结果。

2.10件产品中有4件次品，其余全是正品，从这10件产品中连续抽取产品，每次一件，直到抽到次品为止，记录抽出的正品件数。

二、有三位学生参加高考，以i A 表示第i 人考取（1,2,3i =）.试用i A 表示以下事实： 1.至少有一个考取；2.至多64738291有两人考取；3.恰好有两人落榜。

三、投掷一枚硬币5次，问下列事件A 的逆事件A 是怎样的事件？1. A 表示至少出现3次正面；2. A 表示至多出现3次正面；3. A 表示至少出现3次反面。

四、袋中有十个球，分别编有1至10共十个号码，从其中任取一个球，设事件A 表示“取得的球的号码是偶数”， 事件B 表示“取得的球的号码是奇数”， 事件C 表示“取得的球的号码小于5”，则,,,,,C A C AC A C A B AB ⋃-⋃分别表示什么事件？五、在某系的学生中任选一名学生，令事件A 表示“被选出者是男生”；事件B 表示“被选出者是三年级学生”；事件C 表示“被选出者是运动员”。

（1）说出事件C AB 的含义；（2）什么时候有恒等式C C B A = ; (3) 什么时候有关系式B C ⊆正确; （4）什么时候有等式B A =成立。

练习1.2 概率、古典概型一、填空1.已知事件A ，B 的概率()0.7,()0.6P A P B ==,积事件AB 的概率()0.4P AB =,则()P A B ⋃= , ()P A B -= , ()P A B ⋃= , ()P A B ⋃= ,()P AB = , ()P A AB ⋃= .2. 设B A ,为两个事件，7.0)(=B P ,()0.3P AB =,则=+)(B A P .3. 设B A ,为两个任意不相容事件，,则=-)(B A P .4. 设B A ,为两个事件，5.0)(=A P ,=-)(B A P 0.2，则=)(AB P . 5. 已知,41)()()(===C P B P A P =)(AB P 0，61)()(==BC P AC P ，则C B A ,,全不发生的概率为 .二、设B A ,是两事件，且()0.6P A =，()0.7P B =,求(1) 在什么条件下，()P AB 取到最大值？ (2) 在什么条件下，()P AB 取到最小值？ 三、一批产品20件，其中3件次品，任取10件，求(1) 其中恰有一件次品的概率；(2) 至少有一件次品的概率。

数理统计考研复试题库及答案一、选择题1、设随机变量 X 服从正态分布N(μ,σ²)，且P(X≤c) ＝ P(X>c)，则c 等于（）A 0B μC σD σ²答案：B解析：正态分布的概率密度函数关于均值μ 对称，所以P(X≤μ) ＝P(X>μ)，故 c ＝μ。

2、设随机变量 X 的方差为 2，则根据切比雪夫不等式，有 P(｜X E(X)｜≥ 2) ≤ （）A 05B 025C 01D 005答案：B解析：切比雪夫不等式为 P(｜X E(X)｜≥ ε) ≤ Var(X) ／ε² ，将Var(X) ＝ 2，ε ＝ 2 代入可得 P(｜X E(X)｜≥ 2) ≤ 2 ／ 2²＝ 025 。

3、设总体 X 服从参数为λ 的泊松分布，X₁, X₂,， Xₙ 为来自总体的样本，样本均值为，则λ 的矩估计值为（）ABCD答案：A解析：因为总体 X 服从泊松分布，所以 E(X) ＝λ 。

由矩估计法，用样本均值估计总体均值 E(X)，即，所以λ 的矩估计值为。

4、设 X₁, X₂,， Xₙ 是来自正态总体N(μ,σ²)的样本，其中μ 未知，σ² 已知。

则检验假设 H₀: μ ＝μ₀所用的统计量是（）ABCD答案：C解析：当总体方差σ² 已知时，检验假设 H₀: μ ＝μ₀所用的统计量为。

5、对于两个正态总体，在方差已知的情况下，检验均值是否相等，应采用（）A t 检验B u 检验C F 检验D χ² 检验答案：B解析：在两个正态总体方差已知的情况下，检验均值是否相等，采用 u 检验。

二、填空题1、设随机变量 X 的分布函数为 F(x) ＝ A ＋ Barctan(x)，则 A ＝，B ＝。

答案：A ＝ 1/2，B ＝1/π解析：因为 F(＋∞）＝ 1，F(∞）＝ 0 ，所以 A ＋B × π/2 ＝ 1，AB × π/2 ＝ 0 ，解得 A ＝ 1/2，B ＝1/π 。

数理统计考研复试题库及答案一、选择题1、设随机变量 X 的概率密度为 f(x) ＝ 2x, 0 ＜ x ＜ 1，则 P{02 ＜X ＜ 08} ＝（）A 06B 04C 032D 016答案：C解析：P{02 ＜ X ＜ 08} ＝∫02,08 2x dx ＝ x^2|02,08 ＝ 064 004 ＝062、设 X₁, X₂,， Xₙ 是来自正态总体 N(μ, σ²) 的样本，样本均值为X，样本方差为 S²，则（）A Xμ ～ N(0, 1)B n(Xμ) ／σ ～ N(0, 1)C （Xμ) ／（S ／√n) ～ t(n 1)D （n 1)S²／σ² ～χ²(n 1)答案：D解析：根据抽样分布的性质，（n 1)S²／σ² ～χ²(n 1)3、设总体 X 服从参数为λ 的泊松分布，X₁, X₂,， Xₙ 是来自总体 X 的样本，则λ 的矩估计量为（）A XB S²C 2XD 1 ／X答案：A解析：由 E(X) ＝λ ，且样本矩等于总体矩，可得λ 的矩估计量为X。

4、对于假设检验问题 H₀: μ ＝μ₀，H₁: μ ≠ μ₀，给定显著水平α ，若检验拒绝域为｜Z| ＞zα/2 ，其中 Z 为检验统计量，当 H₀成立时，犯第一类错误的概率为（）A αB 1 αC α/2D 1 α/2答案：A解析：第一类错误是指 H₀为真时拒绝 H₀，犯第一类错误的概率即为显著水平α 。

5、设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都服从标准正态分布 N(0, 1) ，则 Z ＝ X²＋ Y²服从（）A 正态分布B 自由度为 2 的χ² 分布C 自由度为 1 的χ² 分布D 均匀分布答案：B解析：因为 X 和 Y 相互独立且都服从标准正态分布，所以 Z ＝ X²＋ Y²服从自由度为 2 的χ² 分布。

长沙理⼯⼤学概率论与数理统计下册考试参考题长沙理⼯⼤学模拟试卷第⼋套概率论与数理统计试卷⼀、填空题（每⼩题2分，共2×10＝20分）.1、假设1x，2x，…，n x是样本1ξ，2ξ，…，nξ的⼀个样本值或观测值，则样本均值x表⽰样本值的集中位置或平均⽔平，样本⽅差S2和样本修正⽅差S*2表⽰样本值对于均值x的_________________.2、样本⽅差S2和样本修正⽅差S*2之间的关系为_________________.3、矩估计法由英国统计学家⽪尔逊（Pearson）于1894年提出，它简便易⾏，性质良好，⼀直沿⽤⾄今. 其基本思想是：以样本平均值（⼀阶原点矩）ξ作为相应总体ξ的____________________；以样本⽅差（⼆阶中⼼矩）2S或者以样本修正⽅差2*S作为相应总体ξ的___________________________.4、总体未知参数θ的最⼤似然估计θ?就是___________________函数的极⼤值点.5、我们在估计某阶层⼈的⽉收⼊时可以说：“⽉收⼊1000元左右”，也可以说：“⽉收⼊在800元⾄1200元间”. 前者⽤的是___________，后者就是_________________.6、在确定的样本点上，置信区间的长度与事先给定的信度α直接有关. ⼀般来讲，信度α较⼤，其置信度（1－α）较⼩，对应置信区间长度也较短，此时这⼀估计的精确度升⾼⽽可信度降低；相反地，信度α较⼩，其置信度（1－α）较______，对应置信区间长度也较_______，此时这⼀估计的精确度_________⽽可信度_____________.σ是否已知，正态总体均值µ的置信区间的中⼼都是7、⽆论总体⽅差2_________________.8、假设检验中统计推断的唯⼀依据是样本信息．样本信息的不完备性和随机性，决定了判断结果有错误是不可避免的．这种错误判断有两种可能：第⼀类错误为弃真错误，显著⽔平α就是犯这类错误的概率；第⼆类为取伪错误，记犯这类错误的概率为β. 则关系式α＋β＝1是________________(正确、错误)的.9、假设检验中做出判断的根据是______________________________________________.10、对于单正态总体，当均值µ已知时，对总体⽅差 2σ的假设检验⽤统计量及分布为__________________________________.⼆、简答题（每⼩题2分，共2×10＝10分）.1、若临界概率α＝0.05，求临界值2αu .答：2、若临界概率α＝0.01，⾃由度k ＝14，求临界值)1401.0(2；χ.答：3、若临界概率α＝0.05，⾃由度k ＝10，求临界值)1005.0(；t . 答：5、设1ξ，2ξ，…，n ξ是ξ的样本，且ξ～ N(µ,2σ)，试求：E ξ、D ξ、E 2*S .答：6、对于总体ξ有E ξ＝µ，D ξ＝2σ，1ξ，2ξ，3ξ是ξ的样本，下列⽆偏估计量中哪⼀个最有效？1?µ＝1ξ，2?µ＝1(31ξ＋2ξ＋3ξ）答：7、设总体ξ服从⼆项分布b(n ，p )，p 为待估参数，),,,(21n ξξξ为ξ的⼀个样本，求p 的矩估计量. 答：8、假设初⽣婴⼉的体重服从正态分布,随机抽取12名初⽣男婴,测得其体重为(单位:g):2950，2520，3000，3000，3000，3160，3560，3320，2880，2600，3400，2540. 当以95%的置信度求初⽣男婴的平均体重的置信区间时，应该选⽤什么统计量？答：9、某种电⼦元件，要求使⽤寿命不得低于1000 h .现从⼀批这种元件中随机抽取25 件，测其寿命，算得其平均寿命950 h ，设该元件的寿命ξ～N （µ，1002），在α＝0.05的检验⽔平下，要确定这批元件是否合格需⽤什么检验⽅法？答：10、某卷烟⼚⽣产两种⾹烟，现分别对两种烟的尼古丁含量作6次测量，结果为甲⼚：25 28 23 26 29 22 ⼄⼚：28 23 30 35 21 27若⾹烟中尼古丁含量服从正态分布，且⽅差相等，要判断这两种⾹烟中尼古丁含量有⽆显著差异（α＝0.05），应该使⽤什么检验⽅法?答：三、应⽤题（每⼩题10分，共6×8＝48分）1、设总体ξ服从泊松分布，即分布列为P(ξ＝m)＝λλ-e m m!，λ＞0为参数，m ＝1,2，…，试求样本(1ξ，2ξ，…，n ξ)的联合分布列.2、设总体ξ服从指数分布，分布密度为)(x p ＝??λ>0为待估参数，n x x x ,,,21 为ξ的⼀个观察值，求λ的最⼤似然估计值.3、已知某⼚⽣产的电⼦零件的长度ξ～N （12.5，2σ），从某天⽣产的零件中随机抽取4个，测得长度为（单位：mm ）12.6 13.4 12.8 13.2，求2σ的置信度为0.95的置信区间.4、已知某种⽊材横纹抗压⼒的实验值ξ～N （µ，2σ），对10个试件作横纹抗压⼒试验，得数据如下(单位：公⽄/平⽅厘⽶)：578 572 570 568 572 570 570 596 584 572.试对2σ进⾏区间估计(α＝0.05).5、已知舞阳钢铁公司的铁⽔含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.53，0.1082)，某⽇随机测定了9炉铁⽔，含碳量如下：4.43 4.50 4.58 4.42 4.47 4.60 4.53 4.46 4.42 若已知总体⽅差⽆变化，能否认为该⽇⽣产的铁⽔的平均含碳量仍为4.53（α＝0.05）?6、已知神马集团⽣产的维尼纶的纤度（纤维的粗细程度）在正常情况下服从正态分布N （1.405，0.0482），某⽇随机测定了5根纤维，纤维度如下： 1.32 1.55 1.36 1.40 1.44 问这天维尼纶纤度波动情况是否正常（α＝0.05）?四、论述题（每⼩题10分，共2×6＝12分）1、假设检验的基本原理是什么？2、请你谈谈学习数理统计的⽬的及⽅法？长沙理⼯⼤学模拟试卷第⼋套⼀、填空题（每⼩题2分，共2×10＝20分）. 1、离散程度.2、S 2＝2*1S n n -.3、期望；⽅差.4、似然.5、点估计，区间估计.6、⼤，长，降低，升⾼.7、ξ.8、错误.9、⼩概率事件实际不可能发⽣原理.)(σµξ～2χ(n).⼆、简答题（每⼩题2分，共2×10＝10分）.1、2αu ＝025.0u ＝1.96.2、)1401.0(2；χ＝)14(201.0χ＝29.141.3、)1005.0(；t ＝)10(05.0t ＝1.8125 4、)15,1005.0(；F ＝)15,10(05.0F ＝2.54 5、E ξ＝µ,D ξ＝n2σ，E 2S ＝21σn n -，E 2*S ＝2σ.6、2?µ最有效.7、因µ＝E ξ＝np ，所以p ＝n µ. ⼜µ＝ξ，所以 p ?＝n µ＝n ξ. 8、t 检验法. 9、u 检验法. 10、t 检验法.三、应⽤题（每⼩题10分，共4×12＝48分）1、解设(1x ，2x ，…，n x )为(1ξ，2ξ，…，n ξ)的任⼀组样本值，则样本(1ξ，2ξ，…，n ξ)的联合分布列为P(1ξ=1x ，2ξ=2x ，…，n ξ=n x )＝∏=ni 1P(iξ=iλλ-e x i xi!＝λλn ni i x e x ni i-=∏∑=1!1.2、解由L );,,,(21θn x x x ＝∏=ni i x P i 1);(θξ知，λ的似然函数为L );,,,(21θn x x x ＝∏=-ni x ie 1)(λλ＝∑-=ni ix ne1λλ.相应的对数似然函数为lnL );,,,(21θn x x x ＝两边对λ求导，并令⼀阶导数等于0可得∑=-ni ix n 1λ＝0，解之得，λ的最⼤似然估计值为λ? ＝∑=ni ixn1＝x 1.3、解因∑=-412)(i iµξ＝(12.6－12.5)2＋(13.4－12.5)2＋(12.8－12.5)2＋(13.2－12.5)2＝1.4.⼜ 1－α＝0.95，α＝0.05，查附表3得22αχ＝2025.0χ(4)＝11.143，221αχ-＝2975.0χ(4)＝0.484.故置信度为0.95的置信区间为（143.114.1，484.045、解设该⽇⽣产的铁⽔含碳量ξ～N （µ，2σ），已知σ＝ 0.108, n ＝9，则待检假设为Ho ：µ＝4.53, H 1：µ≠4.53. 当Ho 成⽴时，有统计量u ＝9/108.053.4-ξ～N （0，1）对于给定显著⽔平α＝0.05，查标准正态分布函数数值表（附表2）得2αu ＝1.96，使得P （|u|>1.96）＝0.05.由样本观察值计算得x ＝4.49，于是有 |u|＝|9/108.053.449.4-|＝1.11＜1.96，因⼩概率事件没有发⽣，故接受Ho ，即在显著⽔平α＝0.05下，可认为该⽇⽣产的铁⽔的平均含碳量仍为4.53.6、解设该⽇⽣产的维尼纶的纤度ξ～N （µ，2σ），已知µ＝1.405，σ＝0.048, n ＝5，则待检假设为Ho ：2σ＝0.0482，H 1：2σ≠0.0482.当Ho 成⽴时，有统计量2χ＝∑=-5122048.0)405.1(i i ξ～2χ(5).对于给定显著⽔平α＝0.05，查2χ分布临界值表（附表3）得22αχ＝12.833和221αχ＞12.833）＝2α，P （2χ＜0.83)＝2α.由样本观察值计算2χ得，2χ＝13.683. 于是有2χ＝13.683＞12.833因⼩概率事件发⽣，故拒绝Ho ，即在显著⽔平α＝0.05下，可认为该⽇⽣产的维尼纶的纤度的均⽅差不正常.四、论述题（每⼩题10分，共2×6＝12分） 1、略. 2、略.长沙理⼯⼤学模拟试卷第九套概率论与数理统计试卷⼀、填空题（每⼩题2分，共2×10＝20分）.1、在进⾏抽样时，样本的选取必须是随机的，即总体中每个个体都有同等机会被选⼊样本. 因此，抽取样本1ξ，2ξ，…，n ξ，要求满⾜下列两个特性：1）_________；2）_________. 具备这两个特性的样本称为简单随机样本，简称样本.2、假设1x ，2x ，…，n x 是样本1ξ，2ξ，…，n ξ的⼀个样本值或观测值，则样本均值x 表⽰样本值的集中位置或平均⽔平，样本⽅差S 2和样本修正⽅差S *2表⽰样本值对于均值x 的__________________.3、样本⽅差S 2和样本修正⽅差S *2之间的关系为__________________.4、矩估计法由英国统计学家⽪尔逊（Pearson ）于1894年提出，它简便易⾏，性质良好，⼀直沿⽤⾄今. 其基本思想是：以样本平均值（⼀阶原点矩）ξ作为相应总体ξ的____________________；以样本⽅差（⼆阶中⼼矩）2S 或者以样本修正⽅差2*S 作为相应总体ξ的___________________________.5、θ?具有⽆偏性的意义是：θ?取值因随机性⽽偏离θ的真值，但_________________即没有系统的偏差.6、设1?θ和2?θ都是⽆偏估计量，如果________________，则称1?θ⽐2?θ有效.7、在确定的样本点上，置信区间的长度与事先给定的信度α直接有关. ⼀般来讲，信度α较⼤，其置信度（1－α）较⼩，对应置信区间长度也较短，此时这⼀估计的精确度升⾼⽽可信度降低；相反地，信度α较⼩，其置信度（1－α）较______，对应置信区间长度也较_______，此时这⼀估计的精确度_________⽽可信度_____________.8、假设检验中统计推断的唯⼀依据是样本信息．样本信息的不完备性和随机性，决定了判断结果有错误是不可避免的．这种错误判断有两种可能：第⼀类错误为__________________，第⼆类为__________________.9、常⽤的假设检验⽅法有四种，分别为1）__________________、2）__________________、3）__________________、3）__________________.10、对于单正态总体，当均值µ已知时，对总体⽅差 2σ的假设检验⽤统计量及分布为____________________________________.⼆、简答题（每⼩题2分，共2×10＝10分）.1、若α＝0.05，求2αu .答：3、若α＝0.05，k ＝10，求)1005.0(；t . 答：4、若α＝0.05＜0.5，k 1＝10，k 2＝15，求)15,1005.0(；F . 答：5、设1ξ，2ξ，…，n ξ是ξ的样本，且ξ～ N(µ,2σ)，试求：E ξ、D ξ、E 2*S .答：6、对于总体ξ有E ξ＝µ，D ξ＝2σ，1ξ，2ξ，3ξ是ξ的样本，下列统计量中哪⼀个最有效？1?µ＝1ξ，2?µ＝134ξ－231ξ，3?µ＝1(31ξ＋2ξ＋3ξ）答：7、设总体ξ服从⼆项分布b(n ，p )，p 为待估参数，),,,(21n ξξξ为ξ的⼀个样本，求p 的矩估计量. 答：8、已知⼀批元件的长度测量误差ξ服从N （µ，2σ），µ，2σ为未知参数，现从总体ξ中抽出⼀个容量是6的样本值-1.20，-0.85，-0.30，0.45，0.82，0.12，σ的最⼤似然估计值.求µ，2答：9、已知洛阳轴承⼚⽣产的滚珠直径ξ～N（µ，2σ），其中2σ为已知，µ为待估参数. 从某天⽣产的滚珠中随机抽取⼀个样本1ξ，2ξ，…，nξ，对于事先给定的信度α，试写出总体均值µ的置信区间.答：10、已知洛阳轴承⼚⽣产的滚珠直径ξ～N（µ，2σ），其中2σ为未知知，µ为待估参数. 从某天⽣产的滚珠中随机抽取⼀个样本1ξ，2ξ，…，nξ，对于事先给定的信度α，试写出总体均值µ的置信区间.答：三、应⽤题（每⼩题10分，共4×12＝48分）σ的置信度为0.95的置信区间.求22、已知某种⽊材横纹抗压⼒的实验值ξ～N（µ，2σ），对10个试件作横纹抗压⼒试验，得数据如下(单位：公⽄/平⽅厘⽶)：578 572 570 568 572 570 570 596 584 572.σ进⾏区间估计(α＝0.05).试对23、已知某炼铁⼚的铁⽔含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.53，0.1082)，某⽇随机测定了9炉铁⽔，含碳量如下：4.43 4.50 4.58 4.42 4.47 4.60 4.53 4.46 4.42若已知总体⽅差⽆变化，能否认为该⽇⽣产的铁⽔的平均含碳量仍为4.53（α＝0.05）?4、已知某涤纶⼚⽣产的维尼纶的纤度（纤维的粗细程度）在正常情况下服从正态分布N（1.405，0.0482），某⽇随机测定了5根纤维，纤维度如下：1.32 1.55 1.36 1.40 1.44问这天维尼纶纤度总体的均⽅差是否正常（α＝0.05）?四、论述题（每⼩题10分，共2×6＝12分）1、假设检验的基本原理是什么？2、请你谈谈学习数理统计的意义？长沙理⼯⼤学模拟试卷第九套⼀、填空题（每⼩题2分，共2×10＝20分）. 1、1）独⽴性等；2）代表性. 2、离散程度.3、S2＝2*1S n n -.4、期望；⽅差.5、E θ?＝θ.6、D 1?θ＜D 2?θ.7、⼤，长，降低，升⾼. 8、“弃真”，“取伪”.9、1）U 检验法、2）t 检验法、3）2χ检验法、3）F 检验法.10、2χ＝∑=-ni i 122⼆、简答题（每⼩题2分，共2×10＝10分）.1、2αu ＝025.0u ＝1.96.2、)1401.0(2；χ＝)14(201.0χ＝29.141.3、)1005.0(；t ＝)10(05.0t ＝1.8125 4、)15,1005.0(；F ＝)15,10(05.0F ＝2.54 5、E ξ＝µ,D ξ＝n2σ，E 2S ＝21σn n -，E 2*S ＝2σ.6、3?µ最有效.7、因µ＝E ξ＝np ，所以p ＝n µ. ⼜µ＝ξ，所以 p ?＝n µ＝n ξ. 8、µ≈ξ＝61[(-1.20)＋(-0.85)＋(-0.30)＋0.45＋0.82＋0.12]＝－0.16. 2σ≈2S ＝61[(-1.20+0.16)2＋(-0.85+0.16)2＋(-0.30+0.16)2＋(0.45+0.16)2＋(0.82+0.16)2＋(0.12+0.16)2]＝0.4980.9、（ξ2ασu n-，ξ＋)2ασu n.10、（ξnS t 2*2α-，ξ＋)2*2nS t α.三、应⽤题（每⼩题10分，共4×12＝48分） 1、解因∑=-412)(i iµξ＝(12.6－12.5)2＋(13.4－12.5)2＋(12.8－12.5)2＋(13.2－12.5)2＝1.4.⼜ 1－α＝0.95，α＝0.05，查附表3得22αχ＝2025.0χ(4)＝11.143，221αχ-＝2975.0χ(4)＝0.484.故置信度为0.95的置信区间为（143.114.1，484.04.1），即（0.13，2.89）.2、解（35.83，252.43）.3、解设该⽇⽣产的铁⽔含碳量ξ～N （µ，2σ），已知σ＝ 0.108, n ＝9，则待检假设为Ho ：µ＝4.53, H 1：µ≠4.53. 当Ho 成⽴时，有统计量u ＝9/108.053.4-ξ～N （0，1）对于给定显著⽔平α＝0.05，查标准正态分布函数数值表（附表2）得2αu ＝1.96，使得P （|u|>1.96）＝0.05.由样本观察值计算得x ＝4.49，于是有|u|＝|9/108.053.449.4-|＝1.11＜1.96，因⼩概率事件没有发⽣，故接受Ho ，即在显著⽔平α＝0.05下，可认为该⽇⽣产的铁⽔的平均含碳量仍为4.53.4、解设该⽇⽣产的维尼纶的纤度ξ～N （µ，2σ），已知µ＝1.405，σ＝0.048, n ＝5，则待检假设为Ho ：2σ＝0.0482，H 1：2σ≠0.0482.当Ho 成⽴时，有统计量2χ＝∑=-5122048.0)405.1(i i ξ～2χ(5）.对于给定显著⽔平α＝0.05，查2χ分布临界值表（附表3）得22αχ＝12.833和221αχ-＝0.83使得P （2χ＞12.833）＝2α，P （2χ＜0.83)＝2α.由样本观察值计算2χ得，2χ＝13.683. 于是有2χ＝13.683＞12.833因⼩概率事件发⽣，故拒绝Ho ，即在显著⽔平α＝0.05下，可认为该⽇⽣产的维尼纶的纤度的均⽅差不正常.四、论述题（每⼩题10分，共2×6＝12分）1、略. 2、略。

数理统计考研复试题库及答案一、选择题1、设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都服从正态分布 N(0,1)，则下列随机变量中服从标准正态分布的是（）A X ＋ YB X YC X²＋ Y²D （X ＋ Y)²答案：B解析：因为 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布 N(0,1)，所以 X Y 也服从正态分布，且期望为 0，方差为 2，即 X Y 服从 N(0, 2)，标准化后服从标准正态分布。

2、设总体 X 服从正态分布N(μ, σ²)，其中μ 未知，σ² 已知，（X₁, X₂,， Xₙ) 为来自总体 X 的样本，则μ 的置信度为1 α 的置信区间为（）A （ˉ X zα/2 σ/√n, ˉ X ＋zα/2 σ/√n ）B （ˉ X tα/2 （n 1) S/√n, ˉ X ＋tα/2 （n 1) S/√n ）C （ˉ X zα/2 S/√n, ˉ X ＋zα/2 S/√n ）D （ˉ X tα/2 （n) S/√n, ˉ X ＋tα/2 （n) S/√n ）答案：A解析：当总体方差σ² 已知时，使用正态分布来构造置信区间，μ 的置信度为1 α 的置信区间为（ˉ X zα/2 σ/√n, ˉ X ＋zα/2 σ/√n ）。

3、设随机变量 X 的概率密度为 f(x) ＝｛ 2x, 0 ＜ x ＜ 1; 0, 其他｝，则 P{05 ＜ X ＜ 15} ＝（）A 075B 05C 025D 1答案：C解析：P{05 ＜ X ＜ 15} ＝∫₀₅¹ 2x dx ＝ x²₀₅¹＝ 1 025 ＝ 075 ，但 15 不在定义域内，所以 P{05 ＜ X ＜ 15} ＝ 075 05 ＝ 025 。

4、设 X₁, X₂,， Xₙ 是来自总体 X 的样本，且 E(X) ＝μ，D(X)＝σ²，则样本均值ˉ X 的方差为（）A σ²B σ² ／ nC nσ²D σ² ／√n答案：B解析：样本均值ˉ X 的方差为D(ˉ X) ＝ D( （1 ／n) ∑ Xi ）＝（1／n²) ∑ D(Xi) ＝σ² ／ n 。

科目代码：F1003 科目名称：概率论与数理统计
一、考试要求
主要考察考生是否掌握了概率论与数理统计的基本概念、基本理论和基本方法，包括概率、随机变量、统计量、抽样分布等基本概念，数字特征的计算，概率论基本公式、极限定理、点估计和区间估计的应用，以及是否具备运用基本理论和基本方法，分析解决实际概率问题和参数估计的能力。

二、考试内容
1、概率论基本公式的应用与计算；
2、随机变量的分布：分布函数、分布列、概率密度函数以及联合分布、边缘分布、条件分布；
3、随机变量的期望、方差、协方差、相关系数、特征函数的计算；
4、大数定理和中心极限定理的应用；
5、常用统计量和抽样分布；
6、矩估计法、极大似然法的应用、点估计量的性质和正态总体参数的区间估计。

三、题型
试卷满分为100分，其中：填空选择题占30%，计算分析题占70%。

四、参考教材
1.《概率论与数理统计》, 邓集贤，杨维权，司徒荣，邓永录著, 高等教育出版社，2009，第四版.
2．《概率论与数理统计》．梁小林、谢永钦主编．复旦大学出版社，2015，第二版.。

姓名： 报考专业： 准考证号码：
密封线内不要写题
年全国硕士研究生招生考试初试自命题试题参考答案
科目名称：概率论与数理统计 科目代码：考试时间：3小时 满分 150 分可使用的常用工具：√无 □计算器 □直尺 □圆规（请在使用工具前打√）所有答题内容必须写在答题纸上，写在试题或草稿纸上的一律无效；考完后试题随答题纸交回。

6 小题，每小题 4 分，共24 分)
为两个随机事件，若()0,P()0P A B >>,则下列结论正确的是（互不相容和相互独立不能同时成立 互不相容和相互独立可以同时成立 (0,1)U ,即区间1
)02
=
=
2/34 ⎝131515+⨯=
Nμ，当机器人工作正常时，其均值
(,1)
正常，随机的观测了
2.8,
3.0; Array
的分布；（2）若样本均值
(3.4,
N
n ，可得。