长沙理工大学概率论与数理统计模拟试题1

第一章 随机事件和概率一、选择题1. 设A, B, C 为任意三个事件, 则与A 一定互不相容的事件为（A ）C B A ⋃⋃ （B ）C A B A ⋃ （C ） ABC （D ）)(C B A ⋃2.对于任意二事件A 和B, 与 不等价的是（A ）B A ⊂ （B ）A ⊂B （C ）φ=B A （D ）φ=B A3. 设 、 是任意两个事件, , , 则下列不等式中成立的是（ ）.A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤.C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥4. 设 , , , 则（ ）.A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立.C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立5. 设随机事件 与 互不相容, 且 , 则 与 中恰有一个发生的概率等于（ ）.A p q + .B p q pq +-.C ()()11p q -- .D ()()11p q q p -+-6. 对于任意两事件 与 , （ ）.A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+.C ()()P A P AB - .D ()()()P A P A P AB +- 7. 若 、 互斥, 且 , 则下列式子成立的是（ ）.A ()()P A B P A = .B ()0P B A >.C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A =8. 设 , 则下列结论中正确的是（ ）.A 事件A 、B 互不相容 .B 事件A 、B 互逆.C 事件A 、B 相互独立 .D A B ⊃9. 设 、 互不相容, , 则下列结论肯定正确的是（ ）.A A 与B 互不相容 .B ()0P B A >.C ()()()P AB P A P B = .D ()()P A B P A -=10. 设 、 、 为三个事件, 已知 , 则 （ ）.A 0.3 .B 0.24 .C 0.5 .D 0.2111. 设A, B 是两个随机事件, 且0<P(A)<1, P(B)>0, , 则必有（A ）)|()|(B A P B A P = （B ）)|()|(B A P B A P ≠（C ）)()()(B P A P AB P = （D ）)()()(B P A P AB P ≠12. 随机事件A, B, 满足 和 , 则有（A ）Ω=⋃B A （B ）φ=AB （C ） 1)(=⋃B A P （D ）0)(=-B A P13. 设随机事件A 与B 互不相容, , , 则下面结论一定成立的是（A ）A, B 为对立事件 （B ） , 互不相容 （C ） A, B 不独立 （D ）A, B 独立14．对于事件A 和B, 设 , P(B)>0, 则下列各式正确的是（A ）)()|(B P A B P = （B ）)()|(A P B A P = （C ） )()(B P B A P =+ （D ）)()(A P B A P =+15. 设事件A 与B 同时发生时, 事件C 必发生, 则（A ）1)()()(-+≤B P A P C P （B ）1)()()(-+≥B P A P C P（C ） )()(AB P C P = （D ）)()(B A P C P ⋃=16. 设A,B,C 是三个相互独立的随机事件, 且0<P(C)<1。

长沙理工大学考试试卷……………………………………………………………………………………………………… 试卷编号 01 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名 ……………………………………………………………………………………………………… 课程名称（含档次） 概率论与数理统计B 课程代号专 业 层次（本、专） 本科（城南） 考试方式（开、闭卷） 闭一、填空题(本大题总分10分，每小题2分)1 . 某射手向一目标连续射击两次，用i A 表示事件“第i 次射击命中目标”，1,2i =，则12(A A )(⋃)A A 21表示事件( 两次射击中仅一次命中目标 )2 . 设(X ，Y)服从区域}4y x y){(x,D 22≤+=上的均匀分布，则=>+)3Y P(X 22( 1/4 )3 . 若随机变量X 的数学期望为μ，方差为σσ(,2＞0)，则用切比雪夫不等式估计得{3}P X μσ-≥≤（ 1/9 ）4 . 设X 服从区间[0，2]上的均匀分布，Y=X 2，则cov(X,Y)=（ 2/3 ）5 . 评价参数的估计量优劣的标准有( 无偏性 )、有效性和一致性。

二、单项选择题(本大题总分20分，每小题5分)则2 0.5 ②0.3 ③0.09 ④0.212 . 设(X ，Y)的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它01y 1,0x 01y)f(x,，则随机变量X 与Y（ ④ ）① 相关 ② 不相关③ 不相关但不独立 ④ 不相关且独立3 . 从0，1，…，9十个数字中随机地有放回地接连抽取四个数字，则“8”至少出现一次的概率为( ② )4 0.1 ② 0.3439 ③ 0.4 ④ 0.6561 4 . 设随机变量X 的密度函数p(x)满足：p(x)x)p(=-，F(x)是X 的分布函数，则对任意a >0,则a)X P(>=（ ① ）①F(a)]2[1- ②12F(a)- ③F(a)2- ④)2F(a 1-第 1 页（共 2 页）三、计算题(本大题总60分,每小题12分)1 . 三人独立地去破译一个密码,他们能译出的概率分别为413151、、,求(1)将此密码译出的概率, (2)恰好有一个人译出此密码的概率. 1. 1.解.：设{},1,2,3i A i ==第i 人能破译,则 (1) ()()3i 123123i=1423P(A )11()()10.6534P A A A P A P A P A =-=-=-⨯⨯=(6分) (2) ()()()123123123P A A A P A A A P A A A ++(8分)()()()123123123()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++(10分)1234134211353453453430=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=2 . 令cos πY =求：（1）Y 的分布律；（2）E （Y ）。

《概率论与数理统计》试题（1）一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。

正确打“√”，错误打“×”）⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ）⑸ 样本方差2n S=n121)(X Xni i-∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ）二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。

三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为210131111115651530XP-- 求2Y X =的分布列.五、（10分）设随机变量X 具有密度函数||1()2x f x e -=，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差.六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.《概率论与数理统计》试题（1）评分标准一 ⑴ ×；⑵ ×；⑶ √；⑷ √；⑸ ×。

第一章 概率论的基本概念 练习1.1 样本空间、随机事件一、写出以下随机试验的样本空间：1.从两名男乒乓球选手B A ,和三名女乒乓球选手,,C D E 中选拔一对选手参加男女混合双打，观察选择结果。

2.10件产品中有4件次品，其余全是正品，从这10件产品中连续抽取产品，每次一件，直到抽到次品为止，记录抽出的正品件数。

二、有三位学生参加高考，以i A 表示第i 人考取（1,2,3i =）.试用i A 表示以下事实： 1.至少有一个考取；2.至多64738291有两人考取；3.恰好有两人落榜。

三、投掷一枚硬币5次，问下列事件A 的逆事件A 是怎样的事件？1. A 表示至少出现3次正面；2. A 表示至多出现3次正面；3. A 表示至少出现3次反面。

四、袋中有十个球，分别编有1至10共十个号码，从其中任取一个球，设事件A 表示“取得的球的号码是偶数”， 事件B 表示“取得的球的号码是奇数”， 事件C 表示“取得的球的号码小于5”，则,,,,,C A C AC A C A B AB ⋃-⋃分别表示什么事件？五、在某系的学生中任选一名学生，令事件A 表示“被选出者是男生”；事件B 表示“被选出者是三年级学生”；事件C 表示“被选出者是运动员”。

（1）说出事件C AB 的含义；（2）什么时候有恒等式C C B A = ; (3) 什么时候有关系式B C ⊆正确; （4）什么时候有等式B A =成立。

练习1.2 概率、古典概型一、填空1.已知事件A ，B 的概率()0.7,()0.6P A P B ==,积事件AB 的概率()0.4P AB =,则()P A B ⋃= , ()P A B -= , ()P A B ⋃= , ()P A B ⋃= ,()P AB = , ()P A AB ⋃= .2. 设B A ,为两个事件，7.0)(=B P ,()0.3P AB =,则=+)(B A P .3. 设B A ,为两个任意不相容事件，,则=-)(B A P .4. 设B A ,为两个事件，5.0)(=A P ,=-)(B A P 0.2，则=)(AB P . 5. 已知,41)()()(===C P B P A P =)(AB P 0，61)()(==BC P AC P ，则C B A ,,全不发生的概率为 .二、设B A ,是两事件，且()0.6P A =，()0.7P B =,求(1) 在什么条件下，()P AB 取到最大值？ (2) 在什么条件下，()P AB 取到最小值？ 三、一批产品20件，其中3件次品，任取10件，求(1) 其中恰有一件次品的概率；(2) 至少有一件次品的概率。

长沙理工大学概率论与数理统计模拟试卷第七套姓名: 班级: 学号: 得分: 一．判断题（10分，每题2分）1. 在古典概型的随机试验中，当且仅当是不可能事件 ( ) 2．连续型随机变量的密度函数与其分布函数相互唯一确定 ( ) 3．若随机变量与独立，且都服从的 (0，1) 分布，则( )4．设为离散型随机变量, 且存在正数k 使得，则的数学期望未必存在( )5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( ) 二．选择题（15分，每题3分）1. 设每次试验成功的概率为，重复进行试验直到第次才取得次成功的概率为 . (a)； (b)；(c) ； (d) . 2. 离散型随机变量的分布函数为，则 .(ａ) ； (ｂ) ；(ｃ) ； (ｄ) .3. 设随机变量服从指数分布，则随机变量的分布函数 .(ａ) 是连续函数； (ｂ) 恰好有一个间断点； (ｃ) 是阶梯函数； (ｄ) 至少有两个间断点.4. 设随机变量的方差相关系数则方差 . (ａ) 40； (ｂ) 34； (ｃ) 25.6； (ｄ) 17.65. 设为总体的一个样本，为样本均值，则下列结论中正确的是 .(ａ) ； (ｂ) ；(ｃ) ； (ｄ) . 二. 填空题（28分，每题4分）1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为0)(=A P A )(x f )(x F X Y 1.0=p Y X =X 0)(=>k X P X )(X E )10(<<p p n )1(n r r ≤≤r n r r n p p C ----)1(11rn rr n p p C --)1(1111)1(+-----r n r r n p pC r n r p p --)1(X )(x F ==)(k x X P )(1k k x X x P ≤≤-)()(11-+-k k x F x F )(11+-<<k k x X x P )()(1--k k x F x F X )2003,(max X Y =),(Y X ,1)(,4)(==Y D X D ,6.0=XY ρ=-)23(Y X D ),,,(21n X X X )2,1(2N X )(~/21n t n X -)1,(~)1(4112n F X ni i ∑=-)1,0(~/21N n X -)(~)1(41212n X ni i χ∑=-2. 设连续随机变量的密度函数为，则随机变量的概率密度函数为3. 设为总体中抽取的样本()的均值, 则＝ .4. 设二维随机变量的联合密度函数为则条件密度函数为,当 时 ,5. 设,则随机变量服从的分布为 ( 需写出自由度 )6. 设某种保险丝熔化时间（单位：秒），取的样本，得样本均值和方差分别为，则的置信度为95%的单侧 置信区间上限为7. 设的分布律为1 2 3已知一个样本值，则参数的极大似然估计值 为三. 计算题（40分，每题8分）1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的 概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05．求在被检查后认 为是合格品的产品确实是合格品的概率2．设随机变量与相互独立，，分别服从参数为的指数 分布，试求的密度函数. 3．某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为 的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率.4. 总体，为总体的一个样本. 求常数 k , 使为σ 的无偏估计量.5．（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力（单位：kg ）. 已知kg ， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中 随机抽取10个样品，测得样本均值kg . 问这批特种金属丝的 平均折断力可否认为是570 kg ？ （） （2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布. 某日抽取 5个样品，测得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 .)(x f Xe Y 3==)(yf Y X )4,3(~N X 4321,,,XX X X )51(<<-X P ),(Y X ⎩⎨⎧<<<=他其,0;10,,1),(x x y y x f =)(x y f X Y )(~m t X 2X Y =),(~2σμN X 16=n 36.0,152==S X μX X P 2θ)1(2θθ-2)1(θ-)1,2,1(),,(321=x x x X Y X Y )(,μλμλ≠Y X Z 23+=)(z f Z 1=λ),(~2σμN X ),,,(21n X X X X ∑=-ni i XX k 1),(~2σμN X 8=σ2.575=x %5=α)048.0,(2μN问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用作假设检验. 四. 证明题（7分）设随机变量相互独立且服从同一贝努利分布. 试证明随机变量与相互独立.附表： 标准正态分布数值表 分布数值表 t 分布数值表%10=αZ Y X ,,),1(p B Y X +Z 2χ6103.0)28.0(=Φ488.9)4(205.0=χ1315.2)15(025.0=t 975.0)96.1(=Φ711.0)4(295.0=χ7531.1)15(05.0=t 9772.0)0.2(=Φ071.11)5(205.0=χ1199.2)16(025.0=t 9938.0)5.2(=Φ145.1)5(295.0=χ7459.1)16(05.0=t长沙理工大学模拟试卷第七套概率论与数理统计试卷答案一. 判断题（10分，每题2分） 是 非 非 非 是 . 二. 选择题（15分，每题3分） （ａ）（ｄ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）. 三. 填空题（28分，每题4分）1.1/22 ；2. ；3.0.9772 ；4. 当时； 5. 6. 上限为 15.263 . 7. 5 / 6 . 四. 计算题（40分，每题8分）1. 被查后认为是合格品的事件， 抽查的产品为合格品的事件. (2分)， (4分)(2分)2.(1分)时，，从而 ； (1分) 时，(2分)(2分)所以[] (2分) 3. 设为第i 周的销售量, (1分)则一年的销售量为 ，, . (2分)由独立同分布的中心极限定理，所求概率为(4分) . (1分)⎩⎨⎧≤>=000)])3/[ln()(1y y y f y f yY 10<<x ⎩⎨⎧<<-=他其0)2/(1)(xy x x x y f X Y ),1(m F A B 9428.005.004.098.096.0)()()()()(=⨯+⨯=+=B A P B P B A P B P A P .998.09428.0/9408.0)(/)()()(===A P B A P B P A B P ⎩⎨⎧>=-其他00)(x e x f xX λλ⎩⎨⎧>=-其他00)(y e y f yY μμ0≤z 0)(=z F Z 0)(=z f Z 0≤z ⎰∞+-∞-=dxx z f x f z f Y X Z ]2/)3[()()(21)(232/3/3/0]2/)[(21z z z x z x e e dx e μλμλλμλμλμ-------==⎰⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--0,00),(23)(2/3/z z e e z f z z Z μλλμλμ⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--0,00),(32)(3/2/z z e e z f z z Z μλλμλμiX 52,,2,1 =i i X)1(~P ∑==521i iX Y 52)(=Y E 52)(=Y D 1522521852185252522)7050(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-<-=<<Y P Y P 6041.016103.09938.01)28.0()50.2(=-+=-Φ+Φ=4. 注意到5. (1) 要检验的假设为(1分)检验用的统计量， 拒绝域为. (2分)，落在拒绝域内，故拒绝原假设，即不能认为平均折断力为570 kg .[, 落在拒绝域外，故接受原假设，即可以认为平均折断力为571 kg . ] (1分)(2) 要检验的假设为 (1分)[]检验用的统计量 ， 拒绝域为 或(2分)570:,570:10≠=μμH H )1,0(~/0N nX U σμ-=96.1)1(025.02==-≥z n z U α96.106.21065.010/85702.5750>==-=U 0H 96.1632.0102.010/92.5695710<==-=U 0H 221220048.0:,048.0:≠=σσH H 22122079.0:,79.0:≠=σσH H )1(~)(2202512--=∑=n X Xi iχσχ488.9)4()1(205.022==->χχχαn 711.0)4()1(295.02122==-<-χχχαn ()n i i X X n X X nX X ---+--=- )1(121)2(1)(,0)(2分σnn X X D X X E i i -=-=-)1(1,0~2分⎪⎭⎫⎝⎛--σn n N X X i dze n n z X X E nn z i 2212121|||)(|σσπ--∞+∞-⎰-=-dze nn znn z 221201212σσπ--∞+⎰-=)3(122分σπnn -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑==ni i n i i X X E k X X k E 11||||σπn n kn 122-=σ令=）分（2)1(2-=n n k π[], 落在拒绝域内，[,落在拒绝域内，]故拒绝原假设，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . (1分)五、证明题 (7分) 由题设知0 1 0 1 2(2分) ；；；；；. 所以 与相互独立. (5分)41.1=x 49.1=x 488.9739.150023.0/0362.020>==χ711.0086.06241.0/0538.020<==χ0H X Y X +P p qP 2q pq 22p )0()0()0,0(3==+====+Z P Y X P q Z Y X P )1()0()1,0(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P )0()1(2)0,1(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P )1()1(2)1,1(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P )0()2()0,2(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P )1()2()1,2(3==+====+Z P Y X P p Z Y X P Y X +Z。

长沙理工大学二手货QQ 交易群146 808 417第一章#00001写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点:（1）掷一颗骰子，出现奇数点．（2）将一枚均匀的硬币抛出两次，A: 第一次出现正面B: 两次出现同一面C: 至少有一次出现正面（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只，球的最小号码为1．（4）一个口袋中有2只白球、3只黑球、4只红球，从中任取一球，A: 得白球， B: 不得红球*00001#00002在数学系中任选一名学生，令事件A 表示该生为男生，事件B 表示该生为三年级学生，事件C 表示该生为运动员． （１）（１）叙述事件C AB 的意义（２）（２）在什么条件下ABC=C 成立？（３）（３）什么时候关系式C ⊂B 是正确的？ （４）（４）什么时候B A =成立？*00002#00003长沙理工大学二手货QQ 交易群146 808 417一个工人生产了n 个零件，事件A i ="该工人生产得第i 个零件是正品" i ＝1、2、、n用A i 表示下列事件：（１）（１）没有一个零件是次品；（２）（２）至少有一个零件是次品；（３）（３）仅仅只有一个零件是次品；（４）（４）至少有两个零件是次品．*00003#00004A 、B 是两个事件．证明下列关系等价B A ⊂，B A ⊂，B B A = ，A B A = ，φ=B A*00004#00005把A 1⋂ A 2⋂⋯ ⋂ A n 表示为不相容事件的和．*00005#00006长沙理工大学二手货QQ 交易群146 808 417证明：若（A-B ）⋂（B-A ）⊂ C ，则A ⊂（B-C ）⋂（C-B ）的充要条件是ABC= φ． *00006#00007一部五卷文集任意地排列到书架上，文卷号自左向右或自右向左恰好为12345的顺序的概率等于多少？*00007#00008在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成分数，求所得分数为既约分数得概率．*00008#00009有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9．从这五条线段中任取三条，求所取三条线段恰好能构成三角形的概率．*00009#00010把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，从这些小立方体中任取一个，求所取小立方体有k面（k=0、1、2、3）涂有颜色的概率．*00010#00011一个小孩用13个字母A、A、A、C、E、H、I、I、M、M、N、T、T做组字游戏．如随机地排列字母，问他组成＂MATHEMATICIAN＂的概率是多少？*00011#00012甲从2、4、6、8、10中任取一数，乙从1、3、5、7、9中任取一数，求甲取的数大于乙取的数的概率．*00012#00013在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红＂车＂及一只黑＂车＂，求它们正好可以互相吃掉的概率．*00013#00014一批灯泡有40只，其中有3只是坏的，从中任取5只检查．问：（1）5只都是好的概率是多少？（2）5只中有2只是坏的概率是多少？*00014#00015一幢10层楼中的一架电梯在底层走上7位乘客．电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，设每位乘客在每层离开是等可能的，求没有两位乘客在同一层离开的概率．*00015#00016从一副扑克牌（52）张中任取6张，求得三张红色三张黑色牌的概率．*00016#00017掷两个骰子，求所得的两个点数一个恰是另一个的两倍的概率．*00017#00018掷三颗骰子，求所得的三个点数中最大的一个恰是最小的一个的两倍的概率．*00018#00019一个班上有2n个男生及2n个女生，把全班学生任意地分成人数相等的两组，求每组中男女生人数相等的概率．*00019#00020某城市共有自行车10000，牌照编号从00001到10000．问事件＂偶然遇到一辆牌照编号中有数字8的自行车＂的概率是多少？*00020#00021从n个数1、2、3、 、n中随机地取出两个数（不重复），问其中一个小于k（1<k<n），另一个大于k的概率是多少？*00021#00022有2n个数字，其中n个是0，n个是1．从中任取两数，求所取两数之和为0或为偶数的概率．*00022#00023在十个数字0、1、2、⋯、9中任取四个数（不重复），能排成一个四位偶数的概率是多少？*00023#00024四颗骰子掷一次至少得一个一点与两个骰子掷24次至少有一次得两个一点，哪一个概率大？*00024#00025从一副扑克牌（52张）中任意抽出10张，问（１）（１）至少有一张＂A＂的概率是多少？（２）（２）至少有两张＂A＂的概率是多少？*00025#00026一个中学有十五个班级，每班选出三个代表出席学生代表会议，从45名代表中选出15名组成工作委员会．求下列事件的概率（１）（１）一年级（一）在委员会中有代表；（２）（２）每个班级在委员会中均有代表．*00026#00027设甲袋中有a只白球b只黑球，乙袋中有c只白球d只黑球．今从两袋中各取一球，求所得两球颜色不同的概率．*00027#00028一口袋中有a只白球b只黑球，从中连续取球三次（不返回），求三只球依次为黑白黑的概率．*00028#00029从数1、2、3、⋯、n中随机地取出两个数，求所取两数之和为偶数的概率．*00029#00030任取两个正整数，求它们之和为偶数的概率．*00030#00031任取一个正整数，求下列事件的概率：（１）（１）该数的平方的末尾数字是1；（２）（２）该数的四次方的末尾数字是1；（３）（３）该数的立方的最后两位数字是1．*00031#00032设每个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一星期中的某两天但不是都在同一天的概率．*00032#00033一个小组有8个学生，问这8个学生的生日都不相同的概率是多少？（一年有365天）*00033#00034n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：（１）（１）甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边；（２）（２）甲、乙、丙三人坐在一起；（３）（３）若n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率．*00034#00035把n个＂0＂与n个＂1＂随机地排列，求没有两个＂1＂连续在一起的概率．*00035#00036从一个装有白球、黑球与红球各n个的口袋中任取m个球，求其中有m1个白球、m2个黑球、m3个红球的概率．（m1+ m2 +m3=m）*00036#00037从一个装有n个白球、n个黑球的口袋中逐一取球（不返回，直至取完为止），求黑白球恰好相间取出的概率．*00037#00038从一个装有a个白球、b个黑球的口袋中逐一取球（不返回），直至留在袋中的球都是同一中颜色为止．求最后是白球留在袋中的概率．*00038#00039有mn个球，其中一个是黑球，一个是白球，其余的都是红球．把这mn个球放在m个袋中，每袋放n个球．求黑球与白球恰好在一袋中的概率．*00039#00040从n双尺码不同的鞋子中任取2r只（2r<n）求下列事件的概率：（１）（１）所取的2r只中没有两只成对；（２）（２）所取的2r只中只有两只成对；（３）（３）所取的2r只中只有恰成r对．*00040#00041在一口袋中装有n种颜色的球，每种颜色的球只有k只．从中任取r只（r n），求所取r 只球颜色全部都不相同的概率．*00041#00042把n根同样长的棒都分成长度为1与2之比的两根小棒，然后把2n根小棒任意地分成n对，每对又接成一根＂新棒＂．求下列事件的概率：（１）（１）全部新棒都是原来分开的两根小棒相接的，（２）（２）全部新棒的长度都与原来的一样．*00042#00043一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾．然后请另一人把六个头两两相连接，六个尾两两相连接．求放开手后六根草恰好连成一个环的概率．试把该结果推广到2n根草的情形．*00043#00044把n个不同的球随机地放入n个匣子中去，求恰有一个空匣的概率．*00044#00045一个教室共有n+k个座位，随机地坐上n个人．求其中指定的s个座位(s<n)都坐上了人的概率．*00045#00046设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N 个房间中的任意一间去住(n ≤N)．求下列事件的概率：（１）（１）指定的n 个房间里各有一人住的概率，（２）（２）恰有n 各房间，其中各住一人．*00046#00047甲掷均匀硬币n+1次，乙掷n 次．求甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数的概率． *00047#00048从数1、2、3、⋯、N 中不重复地任取n 个数(n ≤N)按大小排成一列：x 1<x 2<⋯<x m <⋯<x n求x m =M （m ≤M ≤N ）的概率．*00048#00049从数1、2、3、⋯、N 中可重复地任取n 个数按大小排成一列：x 1≤x 2≤⋯≤x m ≤⋯≤x n求x m =M （m ≤M ≤N ）的概率．*00049#00050已知事件A 、B 的概率都是1/2，证明： P(AB)=)B A P(*00050#00051设事件A 与B 同时发生比导致C 发生，证明：P(A)+P(B)-1≤ P(C)*00051#00052对任意事件A 、B 、C ，证明：P(AB)+P(AC)-P(BC) ≤ P(C)*00052#00053设A 、B 、C 为三个事件，且P(A)=x 、P(B)=2 x 、P(C)=3 xP(AB)=P(AC)=P(BC)= y证明：x ≤1/4，y ≤1/4．*00053#00054从装有红、白、黑各一个球的口袋中任意取球（取后放回），直至各种颜色的球都至少出现一次为止．求（１）（１）摸球次数不少于6次的概率，（２）（２）摸球次数恰好为6次的概率．*00054#00055从一副扑克牌中（有返回地）任意抽取n 张(n ≥4)，求这n 张牌包含全部四种花色的概率． *00055#00056甲乙从1、2、3、⋯、15中各任取一数（不重复），已知甲取的数是5的倍数，求甲数大于乙数的概率．*00056#00057袋中有一个白球及一个黑球，一次次地从中摸球，如果取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止．求取了n 次都没有取到黑球的概率．*00057#00058甲袋中有两个白球四个黑球，乙袋中有四个白球两个黑球．现在掷一枚均匀的硬币，若得到正面就从甲袋中连续摸球n 次（有返回），若得反面就从乙袋中连续摸球n 次．若已知摸到的n 个球均为白球，求这些球是从甲袋中取出的概率．*00058#00059两个体育协会各有排球、足球、篮球队各一个，同类球队进行比赛时协会A 的各队胜协会B 的各队的概率分别为0.8、0.4、0.4（不可能平局）．若一个协会在三次比赛中至少胜两次就称获胜，问哪一个协会获胜的可能性大？*00059#00060两个赌徒在每一局获胜的概率都是1/2．两人约定谁先赢得一定的局数就获得全部赌本．但赌博在中途被中断了．此时第一个赌徒还需赢得m 局才获胜，第二个赌徒还需赢得n 局才能获胜，问如何分配赌本才合理．*00060#00061把n 个不同的球随机地放入N 个匣子．求某指定的一个匣子中恰有r 个（r ≤n ）球的概率． *00061#00062甲乙两人各掷均匀硬币n 次，求两人掷出正面次数相同的概率．*00062#00063甲乙两射手轮流对同一目标进行射击，甲命中的概率为p 1，乙命中的概率为p 2，甲先射，谁先命中谁得胜．问甲乙两人获胜的概率为多少？*00063#00064设甲袋中有k 个白球及1个黑球，乙袋中有k ＋1白球，每次从两袋中各任取一球，交换放入对方的袋中．求经过n 次交换后，黑球仍在甲袋中的概率为p n ，证明：21p lim n =∞→n*00064#00065做一系列独立试验，每次试验成功的概率为p ．求在试验成功n 次之前至少失败m 次的概率． *00065#00066掷均匀硬币n+m 次，已知至少出现一次正面，求第一次正面出现在第n 次的概率． *00066#00067做一系列独立试验，每次试验成功的概率为p ．求第n 次试验时得到第r 次成功的概率． *00067#00068某数学家有两盒火柴，每盒有n 根．每次用火柴时他在两盒中任取一盒，抽出一根．求他用完一盒（既拿出最后一根）时，另一盒中还有r （1≤r ≤n ）根的概率．*00068#00069掷m+n次均匀硬币（m>n），求至少连续出现m次正面的概率*00069#00070掷均匀硬币直至第一次出现连接两个正面为止，求这时共掷了n次的概率．*00070#00071在线段(0,1)中任取十个点，求其中三点在区间（0,1/4）中，四点在区间（1/4,2/3），三点在区间（2/3,1）中的概率．*00071#00072有两只口袋，甲袋中3只白球2只黑球，乙袋中装有2只白球5只黑球．任选一袋，并从中任取一球，问此球是白球的概率是多少？*00072#00073袋中装有m(m≥3)个白球和n个黑球的罐子中失去一个球，但不知是什么颜色，为了猜测它是什么颜色，随机地从罐子中取两个球，结果均为白球，问失去的是白球的概率是多少？*00073#00074袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取5个球放入空袋中，再从此5个球中任取3个球放入另一个空袋中，最后从第三个袋子中任取一球为白球，问第一次取出的球均为白球的概率？*00074#00075一个质点从平面上某一点开始等可能地向上、下、左、右四个方向游动，每次游动的距离为1．求经过2n次游动后回到出发点的概率．*00075#00076写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点。

长沙理工大学数计学院概率论与数理统计 模拟试题一考试类别：闭 考试时量：120 分钟一．填空题(每空2分，共32分)：1．设7.0)(,4.0)(=⋃=B A P A P ,若B A ,互不相容,则=)(B P 0.3 ; 若B A ,独立,则=)(B P 0.5 .2．若)4,1(~N X ,则~21-=X Y )1,0(N .3．已知6.0)(,8.0)(=-=B A P A P ,则=⋃)(B A P 0.8 ,=)|(A B P 0.25 . 4．从(0,1)中随机地取两个数b a ,,则b a -大于0的概率为 0.5 .5．若],2,0[~πU X 则12-=X Y 的概率密度函数为=)(y f . 6．随机变量),2(~2σN X ,若3.0)40(=<<X P ,则=<)0(X P . 7．设X 的分布列为5.0)1()1(===-=X P X P ,则X 的分布函数为=)(x F .8．设随机变量X 有分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2,120,s i n 0,0)(ππx x x A x x F , 则=A ,=<)6|(|πX P .9．一颗均匀骰子被独立重复地掷出10次,若X 表示3点出现的次数,则X ~ . 10．设),(Y X 的联合分布列为则=a ,Y 的分布列为 ;若令2)2(-=X Z ,则Z 的分布列为 .11．若)9,2(~N X ,且)()(c X P c X P >=≤,则=c .二．选择题(每题3分，共12分)：1．设B A ,为两事件,且1)(0<<A P ,则下列命题中成立的是 ( )A. B A ,独立)|()|(A B P A B P =⇔B. B A ,独立⇔B A ,互不相容C. B A ,独立⇔Ω=⋃B AD. B A ,独立⇔0)(=AB P2．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,20,0)(x x x x x F , 则 ( )A . )(x F 是一个连续型分布函数 B. )(x F 是一个离散型分布函数C. )(x F 不是一个分布函数D. 5.0)1(==X P3．设随机变量X 的概率密度函数为)(x f ,且)()(x f x f =-,)(x F 是X 的分布函数,则对任意实数a ,有 ( ) A.⎰-=-adxx f a F 0)(1)( B.⎰-=-adx x f a F 0)(21)(C. )()(a F a F =-D. 1)(2)(-=-a F a F4．设随机变量}5{},4{).5,(~),4,(~2122+≥=-≤=u Y P p u X P p u N Y u N X ,则 ( )A . 对任意实数21,p p u = B. 对任意实数21,p p u < C. 只对u 的个别值才有21p p = D. 对任意实数21,p p u >三．某工厂甲、乙、丙三车间生产同一种产品,产量分别占25%,35%,40%,废品率分别为5%,4%和2%.产品混在一起,求总的废品率及抽检到废品时,这只废品是由甲车间生产的概率. (9分)四．箱中装有5个黑球,3个白球,无放回地每次取一球,直至取到黑球为止.若X 表示取球次数,求X 的分布列,并求)31(≤<X P .( 9分) 五．设随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<=,010,10,),(2y x cxy y x f , 求: 1)常数c ; 2) )241,210(<<<<Y X P ;3)43(>X P ); 4))(Y X P >. (16分)六．在一盒子里有12张彩票,其中有2张可中奖.今不放回地从中抽取两次,每次取一张,令Y X ,分别表示第一、第二次取到的中奖彩票的张数,求),(Y X 的联合分布列.其它七．设12,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自下列两参数指数分布的样本：()()1121211,120;,x e x x f x θθθθθθθ--≥≤⎧⎪=⎨⎪⎩其中()1,θ∈-∞+∞，()20,θ∈+∞，试求出1θ和2θ的最大似然估计. (16分)长沙理工大学数计学院概率论与数理统计 模拟试题二考试类别:闭卷 考试时量:120分钟 试卷类型: A 卷一.填空题(每空2分,共40分) 1.已知6.0)(,8.0)(=-=B A P A P ,则=⋃)(B A P , =)|(A B P.2. 从9,,2,1,0 这十个数字中任选三个不相同的数字,1A ={三个数字中不含0和5},2A ={三个数字中含有0和5},则=)(1A P ,=)(2A P .3. 设X ~)1(P ,Y ~)2(P ,且X 与Y 独立,则==+)2(Y X P .4. 若X ~)1,0(N ,Y ~)8,2(N ,X 与Y 独立,则32-+Y X ~ .5．设X 与Y 独立,2,1==DY DX ,则=-)32(Y X D .6．已知,4.0,36,25,===Y X DY DX ρ则=),(Y X Cov , =+)(Y X D.7. 设X 的分布函数=)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧>≤<--≤1,111,5.01,0x x x ，则X 的分布列为 .8. 随机变量),2(~2σN X ,若3.0)40(=<<X P ,则=<)0(X P . 9. 设),(Y X 的联合分布列为则=a ,Y 的分布列为 ;若令2)2(-=X Z ,则=EZ .10. 若)9,2(~N X ,且)()(c X P c X P >=≤,则=c . 11. 设随机变量X 的期望,1=EX 方差2=DX ,由车贝晓夫不等式知><-)3|1(|X P .12. 设Y X ,独立同分布,有共同的概率密度函数)(x f ,则=<)(Y X P.13. 设 ,,,1n X X 独立同分布,且11=EX ,则−→−∑=Pn i i X n 11 .14. 设74)0()0(,73)0,0(=≥=≥=≥≥Y P X P Y X P ,则=≥)0),(max(Y X P.15. 设 ,,,1n X X 独立同分布, ]2,0[~1U X ,则=≤∑=∞→)11(lim 1ni i n X n P .二. 单选题(在本题的每一小题的备选答案中,请把你认为正确答案的题号,填入题干的括号内,多选不给分.每题3分,共15分) 1. 设随机变量X 的概率密度函数为)(x f ,且)()(x f x f =-,)(x F 是X 的分布函数,则对任意实数a ,有( )①. ⎰-=-adxx f a F 0)(1)( ②. ⎰-=-adx x f a F 0)(21)(③. )()(a F a F =- ④. 1)(2)(-=-a F a F2. 设8.0)|(,7.0)(,8.0)(===B A P B P A P ,则 ( )①. A,B 互不相容 ②. A,B 相互独立 ③. B ⊂A ④. P(A-B)=0.13. 如果随机变量Y X ,满足)()(Y X D Y X D -=+,则必有 ( ) ①. X 与Y 独立 ②. X 与Y 不相关 ③. 0)(=Y D ④. 0)(=X D4. 4次独立重复实验中,事件A 至少出现一次的概率为80/81,则 ( ) ①. 21②. 31 ③. 32 ④. 415. 设随机变量X 服从指数分布)3(E ,则=),(DX EX ( )①. (31,31) ②. )3,3( ③. )91,31( ④. )9,3(三. 计算题(共45分)1. 一仓库有10箱同种规格的产品,其中由甲,乙,丙三厂生产的分别为5箱,3箱,2箱,三厂产品的次品率依次为0.1,0.2,0.3,从这10箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件,求取得正品的概率?若确实取得正品,求正品由甲厂生产的概率.(8分)2. 设随机向量),(Y X 的联合密度函数为:⎩⎨⎧≤≤≤≤+=,020,10,),(2y x bxy x y x f求①常数b; ②)1(≥+Y X P ; ③)21|1(<>X Y P ; ④讨论Y X ,的独立性. (12分)3. 袋中有5个红球,3个白球,无放回地每次取一球,直到取出红球为止,以X 表示取球的次数,求①X 的分布列,②))31(≤<X P ,③EX . (9分)4. 某教室有50个座位,某班有50位学生,学号分别为1到50.该班同学上课时随机地选择座位,X 表示该班同学中所选座位与其学号相同的数目,求X 的期望EX .(8分)５．设12,,,n X X X 为总体X 的一个样本，X 的密度函数:(1),01()0,x x f x ββ⎧+<<=⎨⎩其他， 0β>, 求参数β的矩估计量和极大似然估计量。

《概率论与数理统计》模拟题一及参考答案一、填空题1.（1842）已知事件,A B 互不相容，()0P B >，则(|)P A B = .2. 已知,A B 两个事件满足条件()()P AB P AB =，且()3P A =，则()P B = .3. 一口袋中有三个黑球、四个白球，今从中无放回地任意取三个球，则恰有一个白球的概率为 ；若从中有放回地任意取三个球，则恰有一个白球的概率为 .4.一批零件共100个，次品率为0.1，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回，则第三次才取得正品的概率为 . 5. 某地进行体育彩票抽奖，10000张彩票中有100个奖票.今有10人先到抽奖，则第10人取到中奖票的概率是 . 6. 设,A B 是相互独立的事件，()0.6P A B =，()0.4P A =，则()P B = .7.（1841）设,A B 是相互独立的事件，()0.2P A =，()0.6P B =，则()P A B = .8.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是甲射中的概率为 . 9.（1741）同时掷两枚均匀硬币，则都出现正面的概率为 . 10.（1741）设随机变量X 的分布律为则常数c = .11.（1842）设随机变量~(3,0.4)X B ，令2Y X =，则{9}P Y == . 12. 设~()X P λ（或~()X πλ），若{1}{2}P X P X ===，则{5}P X == . 13.（1842）设随机变量X 的分布函数为20,0,(),01,1,1,x F x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩记X 的概率密度为()f x ，则当01x <<时，()f x = . 14. 若X 服从区间[1,6]上的均匀分布，且1216x x <<<，则12{}P x X x ≤≤= . 15. 设2~(2,)X N σ，且{24}0.3P X <<=，则{0}P X <= .16. 若随机变量X 服从正态分布2(,)(0)N μσσ>，且二次方程240y y X ++=无实根的概率为12，则μ= . 17.若(,)X Y 的概率密度为(34),0,0,(,)0,x y Ce x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它, 则C =12，分布函数(,)F x y = ，{01,0P X Y <≤< 2}≤= .18. 设随机变量(,)X Y 的分布律为若,X Y 独立，则α= ，β= .19. 设二维随机变量(,)X Y 在区域G 上服从均匀分布，其中G 是由曲线2y x =和y x =所围成的区域，则(,)X Y 的概率密度为(,)x y ϕ= .20.（1841）设随机变量,X Y 相互独立，~(1,2)X N ，~(3,4)Y N ，则{4}P X Y +≤= .21. 设随机变量X 的分布律为则()E X = ，2()E X = ，()D X = .22.（1741）设随机变量~(20,0.1)X B ，随机变量Y 服从参数为2的泊松分布，且X 与Y 相互独立，则()E X Y += . 23.（1741）设随机变量~(2,4)X N ，且32Y X =-，则()D Y = .24. 设随机变量,X Y 独立，且()()0E X E Y ==，()()1D X D Y ==，则2[()]E X Y += . 25. 掷n 颗骰子，则出现的点数之和的数学期望与方差分别为 与 .26（1741）已知()25D X =，()36D Y =，X 与Y 的相关系数0.4XY ρ=，则()D X Y += .27. 在每次试验中事件A 出现的概率为0.5，如果作100次独立试验，设事件A 发生的次数为X ，则利用切比雪夫不等式估计X 在40到60之间取值的概率至少为 . 28.（1842）设随机变量序列12,,,,n X X X 独立同分布，且()i E X μ=，2()i D X σ=，1,2,i =，则对任意0ε>，都有11lim {|||ni n i P X n με→∞=-<=∑ . 29. 设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(0,1)(1,2,,)i X N i n =，则222212n X X X χ=+++服从 分布.30. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的一个样本，2~(,)X N μσX 服从 分布. 31.（1741）设总体~(1,5)X N ，1220,,,X X X 为来自总体X 的一个样本，201120i i X X ==∑，则()E X = .32.（1841）设12,,,n X X X 为来自总体X 的一个样本，2~(,)X N μσ，2S 为样本方差，若22(1)n S σ-服从分布2(99)χ，则样本容量n = .33.（1841）设123,,X X X 为来自总体X 的一个样本，记()E X μ=，若12311ˆ33X aX X μ=++是μ的无偏估计，则常数a = . 34.（1741）设总体X 服从参数为(0)λλ>的指数分布，12,,,n X X X 是来自X 的样本，其样本均值3x =，则λ的矩估计ˆλ= . 35.（1741）已知某厂生产的零件直径服从(,4)N μ，现随机取16个零件测其直径，并算得样本均值21x =，做假设检验01:20,:20H H μμ=≠，则检验统计量的值为 .二、单项选择题:1.（1842）设随机事件,A B 独立，()0.2P A =，()0.6P B =，则()P AB =()A 0.12. ()B 0.32. ()C 0.68. ()D 0.88. 答 【 】2. 设()P A a =，()P B b =，()P A B c =，则()P AB 为()A a b -. ()B c a -. ()C (1)a b -. ()D b a -. 答 【 】3. 设,A B 为任意两个事件，并适合A B ⊂，()0P A >，则下列结论中必然成立的是()A ()()P A P A B <. ()B ()()P A P A B >. ()C ()()P A P A B ≤. ()D ()()P A P A B ≥. 答【 】4. 设,A B 为两个事件，则下列命题中正确的是()A 若A 与B 独立，则A 与B 互斥. ()B 若A 与B 互斥，则A 与B 独立.()C 若A 与B 互逆，则A 与B 独立. ()D 若A 与B 独立，则A 与B 独立. 答 【 】 5. 设~(0,1)X N ，2~(,)Y N a σ，则Y 与X 之间的关系是()A Y a X σ=+. ()B 2Y a X σ=+. ()C 2X aY σ-=. ()D X aY σ-=. 答 【 】6. 已知随机变量X 的分布律为则2{4}P X <=()A 1. ()B 15. ()C 25. ()D 3. 答【 】 7.（1841）设随机变量X的概率密度为2,01,()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它,则11{}22P X -<<= ()A 0. ()B14. ()C 12. ()D 1. 答 【 】 8.（1841）设随机变量X 的分布函数为()F x ，则下列结论中正确的是()A ()1F +∞=-. ()B ()0F +∞=. ()C ()0F -∞=. ()D ()1F -∞=. 答【 】 9. 设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则(,)X Y 关于X 的边缘分布函数()X F x =()A (,)F x +∞. ()B (,)F y +∞. ()C (,)F x -∞. ()D (,)F y -∞. 答【 】 10. 设随机变量(,)X Y 的分布律为则{3}P X Y +==()A 0.1. ()B 0.2. ()C 0.3. ()D 0.4. 答 【 】11. 设X 在(1,2)上服从均匀分布，则下列结论中正确的是()A 3()12E X =. ()B 3()2D X =. ()C 1()2E X =. ()D 1()12D X =. 答 【 】 12. 设X 是一随机变量，()E X μ=，22()(,0D X σμσ=>为常数)，则对任意常数c ，必有()A 222[()]()E X c E X c -=-. ()B 22[()][()]E X c E X μ-=-.()C 22[()][()]E X c E X μ-<-. ()D 22[()][()]E X c E X μ-≥-. 答【 】 13. 若随机变量X 与Y 相互独立，且~(1,6)X N ，~(1,2)Y N ，则Z X Y =-服从()A(0,N . ()B (0,4)N . ()C (0,8)N . ()D (0,N . 答【 】 14.（1842）设,X Y 为随机变量，()()1E X E Y ==，(,)2Cov X Y =，则(2)E XY =()A 6-. ()B 2-. ()C 2. ()D 6. 答【 】15. 设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，其中μ未知，2σ已知，则下面不是统计量的是()A ___11n i i X X n ==∑. ()B ___2211()1n ii S X X n ==--∑. ()C ___2211()ni i X X σ=-∑. ()D 211()ni i X n μ=-∑. 答 【 】 16. 设12,,,n X X X 是取自总体2~(,)X N μσ的样本，则11ni i X X n ==∑服从分布()A 2(,)N nσμ. ()B 2(,)N μσ. ()C (0,1)N . ()D 2(,)N n n μσ. 答 【 】17. 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则()A X Y +服从正态分布. ()B 22X Y +服从2χ分布.()C 2X 和2Y 都服从2χ分布. ()D 22X Y 服从F 分布. 答 【 】 18.样本12,,,n X X X 取自标准正态分布(0,1)N 总体，___X 及2S 分别为样本的平均值及样本方差，则以下结果不成立的是()A ~(0,1)(1)i X N i n ≤≤. ()B ~(0,1)X N . ()C~(1)t n S -. ()D 221~()ni i X n χ=∑. 答 【 】 19.（1841）设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，___X 是样本均值，2S 是样本方差，则μ的极大似然估计为()A ___X . ()B S . ()C 2X . ()D 2S . 答【 】 20. 设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，2σ未知，___X 是样本均值，___2211()1ni i S X X n ==--∑.若用(X kX k -+作为μ的α-1置信区间，则k 应取分位数 ()A 121.96uα-=，或t 分布的分位数. ()B 1(1)t n α--. ()C 1t α-. ()D 2(1)t n α-. 答 【 】21. 设12,X X 是来自正态总体(,2)N μ的容量为2的样本，则下列四个估计量中最优的是()A 11213ˆ44X X μ=+. ()B 11223ˆ55X X μ=+. ()C 11211ˆ22X X μ=+. ()D 11243ˆ77X X μ=+. 答 【 】 22. 样本12,,,n X X X 来自总体2(,)N μσ，则总体方差2σ的无偏估计为()A ___22111()1n i i S X X n ==--∑. ()B ___22211()2n i i S X X n ==--∑. ()C ___22311()n i i S X X n ==-∑. ()D ___22411()1n i i S X X n ==-+∑. 答 【 】 23.（1842）设总体~(1,)X B p ，12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，1n >，___X 为样本均值，则未知参数p 的无偏估计ˆp= ()AX n . ()B 1Xn -. ()C X . ()D nX . 答 【 】 24.（1842）在假设检验过程中，增大样本容量，则犯两类错误的概率()A 都增大. ()B 都减小. ()C 都不变. ()D 一个增大，一个减小. 答 【 】三、计算题：1. 某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%，各车间产品的次品率 分别为0.08,0.05,0.04，求全厂产品的次品率.2.（1741）某工厂甲、乙两台机床生产同一型号产品，产量分别占总产量的40%,60%，并且各自产品中的次品率分别为1%,2%.求：(1) 从该产品中任取一件是次品的概率. (2) 在取出一件是次品的条件下，它是由乙机床生产的概率.3.设连续型随机变量X 的分布函数为20,0,(),01,1, 1.x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：(1) 常数k .(2) {0.250.75}P X <<.(3) X 的概率密度. 4. 设随机变量~(0,1)X N ，求21Y X =-+的概率密度，并指出分布的名称. 5.（1741）设随机变量X 的概率密度为,02,()0,,cx x f x <<⎧=⎨⎩其它 令1Y X =+. 求：(1) 常数c . (2) {01}P X <<. (3) Y 的概率密度()Y f y .6. 今有5件产品，其中2件是次品，3件是正品.从这5件中依次取出2件，每次取一件，取出一件再放回去，用,X Y 分 别表示每次取得的次品件数，求(,)X Y 的分布律.7.设二维随机变量(,)X Y 只能取下列各值：(0,0)，(1,1)-，1(1,)3-，(2,0)，且取这些值的概率依次是16，13，112，512， 求(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘分布律.8. 设随机变量(,)X Y 的分布律为(1) 求(,)X Y关于X 和关于Y 的边缘分布律. (2) 验证,X Y 不是独立的.9.（1741）设随机变量(,)X Y 的分布律为求：(1) (,)X Y 的边缘分布律. (2) {2}P X =，{1}P X Y -=，{0}P XY =. (3) ()E X Y +.10. 设二维随机变量(,)X Y 概率密度,0,(,)0,y e y x f x y -⎧>>=⎨⎩其它,求(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘概率密度和边缘分布函数. 11. 若(,)X Y 的概率密度为2,01,01,(,)0,Cxy x y f x y ⎧<<<<=⎨⎩其它, (1) 求常数C . (2) 证明：X 与Y 相互独立. 12. 设(,)X Y 的概率密度为33,02,0,(,)20,ye x yf x y -⎧<<>⎪=⎨⎪⎩其它. (1) 求{||}P Y X>. (2) 求(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘概率密度. (3) 问X 与Y 是否相互独立？13.（1841）设某投资项目的收益率X 是一个随机变量，其分布律为(1) 求该投资项目的平均收益率. (2) 若有一位投资者在该项目上投资10万元，问他预期获得多少利润？14.（1841）某社交网站有10000个相互独立的用户，且每个用户在任一时刻访问该网站的概率为0.5，求在任一时刻有超 过5100个用户访问该网站的概率.（()x Φ为标准正态分布函数，(2)0.9772Φ=）15.某工厂生产的一批滚珠的直径服从正态分布，总体方差20.05σ=.今从中抽取八个，测得的直径（单位：毫米）分别 为：14.7、15.1、14.8、14.9、15.2、14.4、14.6、15.1，求直径均值的95%的置信区间.16.（1841）加工某种鲜果饮品，每瓶饮品中维生素C 的含量为随机变量X （单位：mg ）.设2~(,)X N μσ，其中2,μσ均 未知.现随机抽查了16瓶饮品进行测试，测得维生素C 的平均含量20.80x =，样本标准差 1.60s =，试求μ的置信度为95%的置信区间.（0.025(15) 2.13t =）17. 设总体X 的概率密度为(1),01,()0,x x f x θθ⎧+<<=⎨⎩其它, 其中1θ>-是未知参数，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，分别用矩估计法和最大似然估计法求θ的估计量.18.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布)108.0,55.4(2N .现在测了5炉铁水，其含碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.问：若标准差不变，总体均值有无显著变化？（取05.0=α）《概率论与数理统计》模拟题（一）参考答案一、填空题1.1.2.25.3.12，108343.4.91078. 5.0.01. 6.1. 7.0.88. 8.0.75. 9.14. 10.58.11.0.064.12.2415e . 13.2x . 14.215x -. 15.0.2. 16.4. 17.34(1)(1),0,0,0,x y e e x y --⎧-->>⎨⎩其它.38(1)(1)e e ----. 18.220，420. 19.6,(,),0,x y G ∈⎧⎨⎩其它.. 20.0.5. 21.118，318，12764. 22.4. 23.16. 24.2. 25.72n ，3512n . 26.85. 27.0.75. 28.1. 29.2()n χ. 30.(1)t n -. 31.1. 32.100. 33.13. 34.13. 35.2.二、单项选择题1.B .2.B .3.C .4.D .5.A .6.D .7.B .8.C .9.A . 10.D . 11.D . 12.D . 13.C . 14.D . 15.D . 16.A . 17.C . 18.B . 19.A . 20.D . 21.C . 22.A . 23.C . 24.B . 二、计算题：1.解 设{A =从中任取一件次品}，123,,B B B 分别表示事件“任取一件产品是由甲、乙、丙三个车间生产的”，则1()0.25P B = 1()0.08P A B =，2()0.35P B =，2()0.05P A B =，3()0.4P B =，3()0.04P A B =.故由全概率公式31()()()i i i P A P B P A B ===∑0.250.080.350.050.40.040.0535⨯+⨯+⨯=.2.解 设{A =任取一件为次品}，12,B B 分别表示事件“任取一件产品是由甲、乙机床生产的”，则1()0.4P B =，1()0.01P A B =，2()0.6P B =，2()0.02P A B =.(1) 由全概率公式得1122()()(|)()(|)0.40.010.60.020.016P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=. (2) 由贝叶斯公式，得取出的次品是由乙机床生产的概率为222()(|)0.60.02(|)0.75()0.016P B P A B P B A P A ⨯===.3.解 (1) （法一）21010lim ()lim x x F x kx k →-→-==，1010lim ()lim 11x x F x →+→+==，由1010lim ()lim ()x x F x F x →-→+=，得1k =.（法二）因()F x 在1x =处右连续，知10lim ()(1)x F x F k →+==.而1010lim ()lim 11x x F x →+→+==，故1k =.(2) {0.250.75}(0.75)(0.25)0.5P X F F <<=-=.(3) 2,01,()()0, 1.x x f x F x x ≤<⎧'==⎨>⎩ 4.解 X的概率密度为22()()x x x ϕ-=-∞<<+∞.由21y x =-+，得12yx -=，且2y '=-.故21Y X =-+的概率密度为221()(1)2821()12()()22y y y f y y ϕ-----===-∞<<+∞-，（或11()()22y f y ϕ-=-，这里12x '=-）即~(1,4)Y N . 5.解 (1)由()1f x dx +∞-∞=⎰，得222001()212cxdx c x c ===⎰，故12c =.(2) 111200011{01}()244x P X f x dx dx x <<====⎰⎰.(3) 当02x <<时，113y x <=+<，且1x y =-，1y '=，此时，(1)1()|1|2Y f y y f y --==.故1,13,()20,Y y y f y -⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它. 6.解 X 与Y 都可能取值为0,1，因而(,)X Y 可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).(,)X Y 的分布律为339{0,0}{0}{0}5525P X Y P X P Y ======⨯=，326{0,1}{0}{1}5525P X Y P X P Y ======⨯=， 236{1,0}{1}{0}5525P X Y P X P Y ======⨯=，224{1,1}{1}{1}5525P X Y P X P Y ======⨯=， 即7.解 依题设知(,)X Y 的分布律为故(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘分布律分别为8.解 (1) (,)X Y 的关于X 和关于Y 的边缘分布律分别为(2) 由于138p =，138p =，1118p =，所以，1111p p p ≠⋅，故,X Y 不是独立的.9.解 (1) (,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘分布律分别为(2) {2}0.6P X ==，{1}{1,0}{2,1}0.10.10.2P X Y P X Y P X Y -====+===+=，{0}{1,0}{2,P XY P X Y P X ====+=0}0.10.20.3Y ==+=.(3) ()10.420.6 1.6E X =⨯+⨯=，()00.310.320.4 1.1E Y =⨯+⨯+⨯=，故()()() 1.6 1.1 2.7E X Y E X E Y +=+=+=.10.解 (,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘概率密度分别为,0,,0,()(,)0,0,y x x X e dy x e x f x f x y dy +∞--+∞-∞⎧>⎧>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其它.其它0,0,,0,()(,)0,0,yy y Y e dx y ye y f y f x y dx --+∞-∞⎧>⎧>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其它.其它当0x <时，()()0x X X F x f t dt -∞==⎰.当0x ≥时，0()()1x x xt t x X X F x f t dt e dt e e ----∞===-=-⎰⎰.故(,)X Y 关于X 的边缘分布函数为0,0,()1,0.X xx F x e x -<⎧=⎨-≥⎩ 当0y <时，()()0y Y Y F y f t dt -∞==⎰.当0y ≥时，0()()1y yt y y Y Y F y f t dt te dt ye e ----∞===--⎰⎰.故(,)X Y 关于Y 的边缘分布函数为0,0,()1,0.Y y yy F y ye e y --<⎧=⎨--≥⎩11.解 (1) 由(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰，即1111220()()1Cxy dxdy C xdx y dy ==⎰⎰⎰⎰，得6C =.(2) 证明 1206,01,2,01,()(,)0,0,X xy dy x x x f x f x y dy +∞-∞⎧<<<<⎧⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其它,其它1206,01,()(,)0,Y xy dx y f y f x y dx +∞-∞⎧<<⎪===⎨⎪⎩⎰⎰其它23,010,y y ⎧<<⎨⎩其它.由于对,x y R ∀∈，均有(,)()()X Y f x y f x f y =⋅，故X 与Y 相互独立. 12.解 (1) 222233336000||311111{||}(,)()()(1)222236y y x x xxy xP Y X f x y dxdy dx e dy e dx e dx e e +∞+∞----->>===-==⋅-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(2) (,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘概率密度分别为3031,02,,02,()(,)220,0,y X e dy x x f x f x y dy +∞-+∞-∞⎧⎧<<<<⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰其它其它.23303,0,3,0,()(,)20,0,y yY e dx y e y f y f x y dx --+∞-∞⎧⎧>>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其它.其它 (3) 由于对,x y R ∀∈，均有(,)()()X Y f x y f x f y =⋅，故X 和Y 相互独立.13.解 (1) ()1%0.12%0.23%0.14%0.35%0.26%0.1 3.6%E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.(2) 投资者预期获得的利润为3.6%100.36⨯=（万元）.14.解 设在任一时刻访问社交网站的用户个数为X ，则~(10000,0.5)X B ，()100000.55000E X =⨯=，()100000.5D X =⨯⨯ (10.5)2500-=.由中心极限定理，得所求概率为{510010000}{2100}P X P P <<=<<=<<(100)(2)10.97720.0228≈Φ-Φ=-=.15.解 81114.858i i x x ===∑，10.95α-=，0.05α=，0.0252 1.96z z α==，故所求的置信区间为2()(14.85x z α= 1.96)，即(14.7,15.01).16.解 μ的置信度为95%的置信区间为2(1)x n α⎛⎫- ⎪⎝⎭.依题意，知20.80x =，16n =， 1.60s =，10.95α-=，0.05α=，20.025(1)(15) 2.13t n t α-==，代入上述区间得所求的置信区间为(19.948,21.652).17.解 (Ⅰ) 11120011()(;)(1)22E X xf x dx x dx x θθθθθθθθ∞++-∞++==+==++⎰⎰，得12()()1E X E X θ-=-，故θ的矩估计量为12ˆ1X X θ-=-. (Ⅱ) 样本的似然函数为111(1),01,(1)(),01,()(;)0,,0,n nn ni i i i i i i i x x x x L f x θθθθθθ===⎧⎧+<<+<<⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩∏∏∏其它其它.当01(1,2,,)i x i n <<=时，()0L θ>，且11ln ()ln(1)ln()ln(1)ln nni i i i L n x n x θθθθθ===++=++∑∏，令ln ()0dL d θθ=，即1ln 01ni i n x θ=+=+∑，解得θ的 最大似然估计值为1ˆ1ln nii nxθ==--∑.θ的最大似然估计量为1ˆ1ln nii nXθ==--∑.18.解 依题意，需检验假设0010: 4.55,:H H μμμμ==≠.由已知得511 4.3645i i x x ===∑，20.025 1.96z z α==.因||||x z ==0.0253.85 1.96z ≈>=，所以z 的值落在拒绝域中，应拒绝0H ，即认为铁水含碳量均值比原来有显著变化.。

长沙理工大学数计学院概率论与数理统计 模拟试题一考试类别：闭 考试时量：120 分钟一．填空题(每空2分，共32分)：1．设7.0)(,4.0)(=⋃=B A P A P ,若B A ,互不相容,则=)(B P ; 若B A ,独立,则=)(B P .2．若)4,1(~N X ,则~21-=X Y .3．已知6.0)(,8.0)(=-=B A P A P ,则=⋃)(B A P ,=)|(A B P.4．从(0,1)中随机地取两个数b a ,,则b a -大于0的概率为 .5．若],2,0[~πU X 则12-=X Y 的概率密度函数为=)(y f .6．随机变量),2(~2σN X ,若3.0)40(=<<X P ,则=<)0(X P .7．设X 的分布列为5.0)1()1(===-=X P X P ,则X 的分布函数为=)(x F . 8．设随机变量X 有分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x A x x F , 则=A ,=<)6|(|πX P.9．一颗均匀骰子被独立重复地掷出10次,若X 表示3点出现的次数,则X ~ . 10．设),(Y X 的联合分布列为则=a ,Y 的分布列为 ;若令2)2(-=X Z ,则Z 的分布列为 .11．若)9,2(~N X ,且)()(c X P c X P >=≤,则=c .二．选择题(每题3分，共12分)：1．设B A ,为两事件,且1)(0<<A P ,则下列命题中成立的是 ( )A. B A ,独立)|()|(A B P A B P =⇔B. B A ,独立⇔B A ,互不相容C. B A ,独立⇔Ω=⋃B AD. B A ,独立⇔0)(=AB P2．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,20,0)(x x x x x F , 则 ( )A . )(x F 是一个连续型分布函数B. )(x F 是一个离散型分布函数C. )(x F 不是一个分布函数D.5.0)1(==X P3．设随机变量X 的概率密度函数为)(x f ,且)()(x f x f =-,)(x F 是X 的分布函数,则对任意实数a ,有 ( ) A.⎰-=-adxx f a F 0)(1)(B. ⎰-=-adxx f a F 0)(21)(C. )()(a F a F =-D.1)(2)(-=-a F a F4．设随机变量{},4{).5,(~),4,(~2122≥=-≤=uY P p u X P p u N Y u N X ,则 ( )A . 对任意实数21,p p u = B. 对任意实数21,p p u <C. 只对u 的个别值才有21p p =D. 对任意实数21,p p u >三．某工厂甲、乙、丙三车间生产同一种产品,产量分别占25%,35%,40%,废品率分别为5%,4%和2%.产品混在一起,求总的废品率及抽检到废品时,这只废品是由甲车间生产的概率. (9分)四． 箱中装有5个黑球,3个白球,无放回地每次取一球,直至取到黑球为止.若X 表示取球次数,求X 的分布列,并求)31(≤<X P .( 9分)五．设随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<=,010,10,),(2y x cxy y x f ,求: 1)常数c ; 2) )241,210(<<<<Y X P ; 3))43(>X P ; 4))(Y X P >. (16分)六． 在一盒子里有12张彩票,其中有2张可中奖.今不放回地从中抽取两次,每次取一张,令Y X ,分别表示第一、第二次取到的中奖彩票的张数,求),(Y X 的联合分布列.七． 设12,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自下列两参数指数分布的样本：()()1121211,120;,x e x x fx θθθθθθθ--≥≤⎧⎪=⎨⎪⎩其中()1,θ∈-∞+∞，()20,θ∈+∞，试求出1θ和2θ的最大似然估计.(16分)其它长沙理工大学数计学院概率论一． 填空题 1. 0.3 0.5 2. )1,0(N 3. 0.8 0.254. 0.55. ⎩⎨⎧-≤≤-,011,1πy6. 0.357. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<1,111,5.01,0x x x8. 1 0.5 9. )1,10(B 10. 11. 2二．选择题 A C B A三．解: 设1A ={产品由甲厂生产}, 2A ={产品由乙厂生产}, 3A ={产品由丙厂生产},B ={产品是废品},由题意%40)(%,35)(%,25)(321===A P A P A P ；%5)|(1=A B P , %4)|(2=A B P ,%2)|(3=A B P . 2分由全概率公式,∑==⨯+⨯+⨯==310345.002.040.004.035.005.025.0)|()()(i i i A B P A P B P ,6分从而由贝叶斯公式,36.00345.005.025.0)()|()()()()|(1111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P . 9分四． 解: 由题意知X 的可能取值为1,2,3,4,其分布列为,5615)2(,85)1(171518131815=⋅=====C C C C X P C C X P51)4(,565)3(151********52823=⋅===⋅==C C C C X P C C C C X P . 7分3()2())3()2(()31(=+===⋃==≤<∴X P X P X X P X P .1455655615=+=.9分五．解: 1) 由⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f 有6|3122|21110310210210210102cy c dy y c dy x cy dxdy cxy =⋅==⋅==⎰⎰⎰⎰其它,6=∴c ;4分 2)⎰⎰⎰⎰==<<<<2141214101026),()241,210(dydxdydx y x f Y X P=25663)411(2|31630130214121=-=⋅⎰⎰dx x dx y x ;8分 3)dxx f Y X P X P ⎰⎰+∞+∞∞-=+∞<<∞->=>43,(),43()43(1672|3166111103102434343==⋅==⎰⎰⎰⎰dx x dy y x dydx xy ; 12分4)⎰⎰⎰⎰⎰===>>10031002|66),()(dxx dydx xy dxdy y x f Y X P xxyx522104==⎰dx x . 16分六．解: 每次只取一张彩票,要么取到中奖彩票,要么没取到中奖彩票,所以Y X ,的可能取值均为0或1,那么),(Y X 的联合分布列为,2215)0,0(11119112110=⋅===C C C C Y X P 335)1,0(11112112110=⋅===C C C C Y X P ,,335)0,1(11111011212=⋅===C C C C Y X P .661)1,1(1111111212=⋅===C C C C Y X.解：似然函数 ()()1212121,,,;,;,nn i i x x x f x θθθθ=⋅⋅⋅=∏()[)()12111,21min n i i x i n e I x θθθθ=--+∞∑ (4分) ()1212,,,;,n L x x x θθ⋅⋅⋅最大，必须i x 1θ≥且()11ni i x θ=-∑应最小.故1θ的最大似然1θ=min i x . （8分） 而2θ的2121nL eλθθ-=取最大值. 此处()11ni i x λθ==-∑. （12分） 故=1n λ. 所以2θ的最大似然估计值为min i x -.最大似然估计量为1ˆθ=min i X ，=min i X X -. （16分）长沙理工大学数计学院概率论与数理统计模拟试题二考试类别:闭卷考试时量:120分钟试卷类型: A卷一.填空题(每空2分,共40分)1. 已知6.0)(,8.0)(=-=B A P A P ,则=⋃)(B A P , =)|(A B P.2. 从9,,2,1,0 这十个数字中任选三个不相同的数字,1A ={三个数字中不含0和5},2A ={三个数字中含有0和5},则=)(1A P ,=)(2A P.3. 设X ~)1(P ,Y ~)2(P ,且X 与Y 独立,则==+)2(Y X P .4. 若X ~)1,0(N ,Y ~)8,2(N ,X 与Y 独立,则32-+Y X ~ .5．设X 与Y 独立,2,1==DY DX ,则=-)32(Y X D .6．已知,4.0,36,25,===Y X DY DX ρ则=),(Y X Cov , =+)(Y X D.7. 设X 的分布函数=)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧>≤<--≤1,111,5.01,0x x x ，则X 的分布列为 .8. 随机变量),2(~2σN X ,若3.0)40(=<<X P ,则=<)0(X P .9. 设),(Y X 的联合分布列为则=a ,Y 的分布列为 ;若令2)2(-=X Z ,则=EZ .10. 若)9,2(~N X ,且)()(c X P c X P >=≤,则=c .11. 设随机变量X 的期望,1=EX 方差2=DX ,由车贝晓夫不等式知><-)3|1(|X P .12. 设Y X ,独立同分布,有共同的概率密度函数)(x f ,则=<)(Y X P . 13. 设 ,,,1n X X 独立同分布,且11=EX ,则−→−∑=Pn i i X n 11 .14. 设74)0()0(,73)0,0(=≥=≥=≥≥Y P X P Y X P ,则=≥)0),(max(Y X P.15. 设 ,,,1n X X 独立同分布,]2,0[~1U X ,则=≤∑=∞→)11(lim 1ni i n X n P .二. 单选题(在本题的每一小题的备选答案中,请把你认为正确答案的题号,填入题干的括号内,多选不给分.每题3分,共15分)1. 设随机变量X 的概率密度函数为)(x f ,且)()(x f x f =-,)(x F 是X 的分布函数,则对任意实数a ,有( ) ①.()1()aF a f x dx-=-⎰②. ⎰-=-adxx f a F 0)(21)(③. )()(a F a F =- ④. 1)(2)(-=-a F a F2. 设8.0)|(,7.0)(,8.0)(===B A P B P A P ,则 ( ) ①. A,B 互不相容 ②. A,B 相互独立③. B ⊂A ④. P(A-B)=0.1 3. 如果随机变量Y X ,满足)()(Y X D Y X D -=+,则必有 ( )①. X 与Y 独立②. X 与Y 不相关③. 0)(=Y D ④. 0)(=X D4. 4次独立重复实验中,事件A 至少出现一次的概率为80/81,则 ( )①. 21 ②. 31③. 32 ④. 415. 设随机变量X 服从指数分布)3(E ,则=),(DX EX ( )①. (31,31) ②. )3,3(③. )91,31( ④. )9,3(三.计算题(共45分)1. 一仓库有10箱同种规格的产品,其中由甲,乙,丙三厂生产的分别为5箱,3箱,2箱,三厂产品的次品率依次为0.1,0.2,0.3,从这10箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件,求取得正品的概率?若确实取得正品,求正品由甲厂生产的概率. (8分)2. 设随机向量),(Y X 的联合密度函数为:⎩⎨⎧≤≤≤≤+=,020,10,),(2y x bxy x y x f求①常数b; ②)1(≥+Y X P ;③)21|1(<>X Y P ; ④讨论Y X ,的独立性. (12分)3. 袋中有5个红球,3个白球,无放回地每次取一球,直到取出红球为止,以X 表示取球的次数,求①X 的分布列,②))31(≤<X P ,③EX . (9分)4. 某教室有50个座位,某班有50位学生,学号分别为1到50.该班同学上课时随机地选择座位,X 表示该班同学中所选座位与其学号相同的数目,求X 的期望EX .(8分)５．设12,,,n X X X 为总体X的一个样本，X 的密度函数:(1),01()0,x x f x ββ⎧+<<=⎨⎩其他其它，0β>, 求参数β的矩估计量和极大似然估计量。

长沙理⼯⼤学概率论与数理统计下册考试参考题长沙理⼯⼤学模拟试卷第⼋套概率论与数理统计试卷⼀、填空题（每⼩题2分，共2×10＝20分）.1、假设1x，2x，…，n x是样本1ξ，2ξ，…，nξ的⼀个样本值或观测值，则样本均值x表⽰样本值的集中位置或平均⽔平，样本⽅差S2和样本修正⽅差S*2表⽰样本值对于均值x的_________________.2、样本⽅差S2和样本修正⽅差S*2之间的关系为_________________.3、矩估计法由英国统计学家⽪尔逊（Pearson）于1894年提出，它简便易⾏，性质良好，⼀直沿⽤⾄今. 其基本思想是：以样本平均值（⼀阶原点矩）ξ作为相应总体ξ的____________________；以样本⽅差（⼆阶中⼼矩）2S或者以样本修正⽅差2*S作为相应总体ξ的___________________________.4、总体未知参数θ的最⼤似然估计θ?就是___________________函数的极⼤值点.5、我们在估计某阶层⼈的⽉收⼊时可以说：“⽉收⼊1000元左右”，也可以说：“⽉收⼊在800元⾄1200元间”. 前者⽤的是___________，后者就是_________________.6、在确定的样本点上，置信区间的长度与事先给定的信度α直接有关. ⼀般来讲，信度α较⼤，其置信度（1－α）较⼩，对应置信区间长度也较短，此时这⼀估计的精确度升⾼⽽可信度降低；相反地，信度α较⼩，其置信度（1－α）较______，对应置信区间长度也较_______，此时这⼀估计的精确度_________⽽可信度_____________.σ是否已知，正态总体均值µ的置信区间的中⼼都是7、⽆论总体⽅差2_________________.8、假设检验中统计推断的唯⼀依据是样本信息．样本信息的不完备性和随机性，决定了判断结果有错误是不可避免的．这种错误判断有两种可能：第⼀类错误为弃真错误，显著⽔平α就是犯这类错误的概率；第⼆类为取伪错误，记犯这类错误的概率为β. 则关系式α＋β＝1是________________(正确、错误)的.9、假设检验中做出判断的根据是______________________________________________.10、对于单正态总体，当均值µ已知时，对总体⽅差 2σ的假设检验⽤统计量及分布为__________________________________.⼆、简答题（每⼩题2分，共2×10＝10分）.1、若临界概率α＝0.05，求临界值2αu .答：2、若临界概率α＝0.01，⾃由度k ＝14，求临界值)1401.0(2；χ.答：3、若临界概率α＝0.05，⾃由度k ＝10，求临界值)1005.0(；t . 答：5、设1ξ，2ξ，…，n ξ是ξ的样本，且ξ～ N(µ,2σ)，试求：E ξ、D ξ、E 2*S .答：6、对于总体ξ有E ξ＝µ，D ξ＝2σ，1ξ，2ξ，3ξ是ξ的样本，下列⽆偏估计量中哪⼀个最有效？1?µ＝1ξ，2?µ＝1(31ξ＋2ξ＋3ξ）答：7、设总体ξ服从⼆项分布b(n ，p )，p 为待估参数，),,,(21n ξξξ为ξ的⼀个样本，求p 的矩估计量. 答：8、假设初⽣婴⼉的体重服从正态分布,随机抽取12名初⽣男婴,测得其体重为(单位:g):2950，2520，3000，3000，3000，3160，3560，3320，2880，2600，3400，2540. 当以95%的置信度求初⽣男婴的平均体重的置信区间时，应该选⽤什么统计量？答：9、某种电⼦元件，要求使⽤寿命不得低于1000 h .现从⼀批这种元件中随机抽取25 件，测其寿命，算得其平均寿命950 h ，设该元件的寿命ξ～N （µ，1002），在α＝0.05的检验⽔平下，要确定这批元件是否合格需⽤什么检验⽅法？答：10、某卷烟⼚⽣产两种⾹烟，现分别对两种烟的尼古丁含量作6次测量，结果为甲⼚：25 28 23 26 29 22 ⼄⼚：28 23 30 35 21 27若⾹烟中尼古丁含量服从正态分布，且⽅差相等，要判断这两种⾹烟中尼古丁含量有⽆显著差异（α＝0.05），应该使⽤什么检验⽅法?答：三、应⽤题（每⼩题10分，共6×8＝48分）1、设总体ξ服从泊松分布，即分布列为P(ξ＝m)＝λλ-e m m!，λ＞0为参数，m ＝1,2，…，试求样本(1ξ，2ξ，…，n ξ)的联合分布列.2、设总体ξ服从指数分布，分布密度为)(x p ＝??λ>0为待估参数，n x x x ,,,21 为ξ的⼀个观察值，求λ的最⼤似然估计值.3、已知某⼚⽣产的电⼦零件的长度ξ～N （12.5，2σ），从某天⽣产的零件中随机抽取4个，测得长度为（单位：mm ）12.6 13.4 12.8 13.2，求2σ的置信度为0.95的置信区间.4、已知某种⽊材横纹抗压⼒的实验值ξ～N （µ，2σ），对10个试件作横纹抗压⼒试验，得数据如下(单位：公⽄/平⽅厘⽶)：578 572 570 568 572 570 570 596 584 572.试对2σ进⾏区间估计(α＝0.05).5、已知舞阳钢铁公司的铁⽔含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.53，0.1082)，某⽇随机测定了9炉铁⽔，含碳量如下：4.43 4.50 4.58 4.42 4.47 4.60 4.53 4.46 4.42 若已知总体⽅差⽆变化，能否认为该⽇⽣产的铁⽔的平均含碳量仍为4.53（α＝0.05）?6、已知神马集团⽣产的维尼纶的纤度（纤维的粗细程度）在正常情况下服从正态分布N （1.405，0.0482），某⽇随机测定了5根纤维，纤维度如下： 1.32 1.55 1.36 1.40 1.44 问这天维尼纶纤度波动情况是否正常（α＝0.05）?四、论述题（每⼩题10分，共2×6＝12分）1、假设检验的基本原理是什么？2、请你谈谈学习数理统计的⽬的及⽅法？长沙理⼯⼤学模拟试卷第⼋套⼀、填空题（每⼩题2分，共2×10＝20分）. 1、离散程度.2、S 2＝2*1S n n -.3、期望；⽅差.4、似然.5、点估计，区间估计.6、⼤，长，降低，升⾼.7、ξ.8、错误.9、⼩概率事件实际不可能发⽣原理.)(σµξ～2χ(n).⼆、简答题（每⼩题2分，共2×10＝10分）.1、2αu ＝025.0u ＝1.96.2、)1401.0(2；χ＝)14(201.0χ＝29.141.3、)1005.0(；t ＝)10(05.0t ＝1.8125 4、)15,1005.0(；F ＝)15,10(05.0F ＝2.54 5、E ξ＝µ,D ξ＝n2σ，E 2S ＝21σn n -，E 2*S ＝2σ.6、2?µ最有效.7、因µ＝E ξ＝np ，所以p ＝n µ. ⼜µ＝ξ，所以 p ?＝n µ＝n ξ. 8、t 检验法. 9、u 检验法. 10、t 检验法.三、应⽤题（每⼩题10分，共4×12＝48分）1、解设(1x ，2x ，…，n x )为(1ξ，2ξ，…，n ξ)的任⼀组样本值，则样本(1ξ，2ξ，…，n ξ)的联合分布列为P(1ξ=1x ，2ξ=2x ，…，n ξ=n x )＝∏=ni 1P(iξ=iλλ-e x i xi!＝λλn ni i x e x ni i-=∏∑=1!1.2、解由L );,,,(21θn x x x ＝∏=ni i x P i 1);(θξ知，λ的似然函数为L );,,,(21θn x x x ＝∏=-ni x ie 1)(λλ＝∑-=ni ix ne1λλ.相应的对数似然函数为lnL );,,,(21θn x x x ＝两边对λ求导，并令⼀阶导数等于0可得∑=-ni ix n 1λ＝0，解之得，λ的最⼤似然估计值为λ? ＝∑=ni ixn1＝x 1.3、解因∑=-412)(i iµξ＝(12.6－12.5)2＋(13.4－12.5)2＋(12.8－12.5)2＋(13.2－12.5)2＝1.4.⼜ 1－α＝0.95，α＝0.05，查附表3得22αχ＝2025.0χ(4)＝11.143，221αχ-＝2975.0χ(4)＝0.484.故置信度为0.95的置信区间为（143.114.1，484.045、解设该⽇⽣产的铁⽔含碳量ξ～N （µ，2σ），已知σ＝ 0.108, n ＝9，则待检假设为Ho ：µ＝4.53, H 1：µ≠4.53. 当Ho 成⽴时，有统计量u ＝9/108.053.4-ξ～N （0，1）对于给定显著⽔平α＝0.05，查标准正态分布函数数值表（附表2）得2αu ＝1.96，使得P （|u|>1.96）＝0.05.由样本观察值计算得x ＝4.49，于是有 |u|＝|9/108.053.449.4-|＝1.11＜1.96，因⼩概率事件没有发⽣，故接受Ho ，即在显著⽔平α＝0.05下，可认为该⽇⽣产的铁⽔的平均含碳量仍为4.53.6、解设该⽇⽣产的维尼纶的纤度ξ～N （µ，2σ），已知µ＝1.405，σ＝0.048, n ＝5，则待检假设为Ho ：2σ＝0.0482，H 1：2σ≠0.0482.当Ho 成⽴时，有统计量2χ＝∑=-5122048.0)405.1(i i ξ～2χ(5).对于给定显著⽔平α＝0.05，查2χ分布临界值表（附表3）得22αχ＝12.833和221αχ＞12.833）＝2α，P （2χ＜0.83)＝2α.由样本观察值计算2χ得，2χ＝13.683. 于是有2χ＝13.683＞12.833因⼩概率事件发⽣，故拒绝Ho ，即在显著⽔平α＝0.05下，可认为该⽇⽣产的维尼纶的纤度的均⽅差不正常.四、论述题（每⼩题10分，共2×6＝12分） 1、略. 2、略.长沙理⼯⼤学模拟试卷第九套概率论与数理统计试卷⼀、填空题（每⼩题2分，共2×10＝20分）.1、在进⾏抽样时，样本的选取必须是随机的，即总体中每个个体都有同等机会被选⼊样本. 因此，抽取样本1ξ，2ξ，…，n ξ，要求满⾜下列两个特性：1）_________；2）_________. 具备这两个特性的样本称为简单随机样本，简称样本.2、假设1x ，2x ，…，n x 是样本1ξ，2ξ，…，n ξ的⼀个样本值或观测值，则样本均值x 表⽰样本值的集中位置或平均⽔平，样本⽅差S 2和样本修正⽅差S *2表⽰样本值对于均值x 的__________________.3、样本⽅差S 2和样本修正⽅差S *2之间的关系为__________________.4、矩估计法由英国统计学家⽪尔逊（Pearson ）于1894年提出，它简便易⾏，性质良好，⼀直沿⽤⾄今. 其基本思想是：以样本平均值（⼀阶原点矩）ξ作为相应总体ξ的____________________；以样本⽅差（⼆阶中⼼矩）2S 或者以样本修正⽅差2*S 作为相应总体ξ的___________________________.5、θ?具有⽆偏性的意义是：θ?取值因随机性⽽偏离θ的真值，但_________________即没有系统的偏差.6、设1?θ和2?θ都是⽆偏估计量，如果________________，则称1?θ⽐2?θ有效.7、在确定的样本点上，置信区间的长度与事先给定的信度α直接有关. ⼀般来讲，信度α较⼤，其置信度（1－α）较⼩，对应置信区间长度也较短，此时这⼀估计的精确度升⾼⽽可信度降低；相反地，信度α较⼩，其置信度（1－α）较______，对应置信区间长度也较_______，此时这⼀估计的精确度_________⽽可信度_____________.8、假设检验中统计推断的唯⼀依据是样本信息．样本信息的不完备性和随机性，决定了判断结果有错误是不可避免的．这种错误判断有两种可能：第⼀类错误为__________________，第⼆类为__________________.9、常⽤的假设检验⽅法有四种，分别为1）__________________、2）__________________、3）__________________、3）__________________.10、对于单正态总体，当均值µ已知时，对总体⽅差 2σ的假设检验⽤统计量及分布为____________________________________.⼆、简答题（每⼩题2分，共2×10＝10分）.1、若α＝0.05，求2αu .答：3、若α＝0.05，k ＝10，求)1005.0(；t . 答：4、若α＝0.05＜0.5，k 1＝10，k 2＝15，求)15,1005.0(；F . 答：5、设1ξ，2ξ，…，n ξ是ξ的样本，且ξ～ N(µ,2σ)，试求：E ξ、D ξ、E 2*S .答：6、对于总体ξ有E ξ＝µ，D ξ＝2σ，1ξ，2ξ，3ξ是ξ的样本，下列统计量中哪⼀个最有效？1?µ＝1ξ，2?µ＝134ξ－231ξ，3?µ＝1(31ξ＋2ξ＋3ξ）答：7、设总体ξ服从⼆项分布b(n ，p )，p 为待估参数，),,,(21n ξξξ为ξ的⼀个样本，求p 的矩估计量. 答：8、已知⼀批元件的长度测量误差ξ服从N （µ，2σ），µ，2σ为未知参数，现从总体ξ中抽出⼀个容量是6的样本值-1.20，-0.85，-0.30，0.45，0.82，0.12，σ的最⼤似然估计值.求µ，2答：9、已知洛阳轴承⼚⽣产的滚珠直径ξ～N（µ，2σ），其中2σ为已知，µ为待估参数. 从某天⽣产的滚珠中随机抽取⼀个样本1ξ，2ξ，…，nξ，对于事先给定的信度α，试写出总体均值µ的置信区间.答：10、已知洛阳轴承⼚⽣产的滚珠直径ξ～N（µ，2σ），其中2σ为未知知，µ为待估参数. 从某天⽣产的滚珠中随机抽取⼀个样本1ξ，2ξ，…，nξ，对于事先给定的信度α，试写出总体均值µ的置信区间.答：三、应⽤题（每⼩题10分，共4×12＝48分）σ的置信度为0.95的置信区间.求22、已知某种⽊材横纹抗压⼒的实验值ξ～N（µ，2σ），对10个试件作横纹抗压⼒试验，得数据如下(单位：公⽄/平⽅厘⽶)：578 572 570 568 572 570 570 596 584 572.σ进⾏区间估计(α＝0.05).试对23、已知某炼铁⼚的铁⽔含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.53，0.1082)，某⽇随机测定了9炉铁⽔，含碳量如下：4.43 4.50 4.58 4.42 4.47 4.60 4.53 4.46 4.42若已知总体⽅差⽆变化，能否认为该⽇⽣产的铁⽔的平均含碳量仍为4.53（α＝0.05）?4、已知某涤纶⼚⽣产的维尼纶的纤度（纤维的粗细程度）在正常情况下服从正态分布N（1.405，0.0482），某⽇随机测定了5根纤维，纤维度如下：1.32 1.55 1.36 1.40 1.44问这天维尼纶纤度总体的均⽅差是否正常（α＝0.05）?四、论述题（每⼩题10分，共2×6＝12分）1、假设检验的基本原理是什么？2、请你谈谈学习数理统计的意义？长沙理⼯⼤学模拟试卷第九套⼀、填空题（每⼩题2分，共2×10＝20分）. 1、1）独⽴性等；2）代表性. 2、离散程度.3、S2＝2*1S n n -.4、期望；⽅差.5、E θ?＝θ.6、D 1?θ＜D 2?θ.7、⼤，长，降低，升⾼. 8、“弃真”，“取伪”.9、1）U 检验法、2）t 检验法、3）2χ检验法、3）F 检验法.10、2χ＝∑=-ni i 122⼆、简答题（每⼩题2分，共2×10＝10分）.1、2αu ＝025.0u ＝1.96.2、)1401.0(2；χ＝)14(201.0χ＝29.141.3、)1005.0(；t ＝)10(05.0t ＝1.8125 4、)15,1005.0(；F ＝)15,10(05.0F ＝2.54 5、E ξ＝µ,D ξ＝n2σ，E 2S ＝21σn n -，E 2*S ＝2σ.6、3?µ最有效.7、因µ＝E ξ＝np ，所以p ＝n µ. ⼜µ＝ξ，所以 p ?＝n µ＝n ξ. 8、µ≈ξ＝61[(-1.20)＋(-0.85)＋(-0.30)＋0.45＋0.82＋0.12]＝－0.16. 2σ≈2S ＝61[(-1.20+0.16)2＋(-0.85+0.16)2＋(-0.30+0.16)2＋(0.45+0.16)2＋(0.82+0.16)2＋(0.12+0.16)2]＝0.4980.9、（ξ2ασu n-，ξ＋)2ασu n.10、（ξnS t 2*2α-，ξ＋)2*2nS t α.三、应⽤题（每⼩题10分，共4×12＝48分） 1、解因∑=-412)(i iµξ＝(12.6－12.5)2＋(13.4－12.5)2＋(12.8－12.5)2＋(13.2－12.5)2＝1.4.⼜ 1－α＝0.95，α＝0.05，查附表3得22αχ＝2025.0χ(4)＝11.143，221αχ-＝2975.0χ(4)＝0.484.故置信度为0.95的置信区间为（143.114.1，484.04.1），即（0.13，2.89）.2、解（35.83，252.43）.3、解设该⽇⽣产的铁⽔含碳量ξ～N （µ，2σ），已知σ＝ 0.108, n ＝9，则待检假设为Ho ：µ＝4.53, H 1：µ≠4.53. 当Ho 成⽴时，有统计量u ＝9/108.053.4-ξ～N （0，1）对于给定显著⽔平α＝0.05，查标准正态分布函数数值表（附表2）得2αu ＝1.96，使得P （|u|>1.96）＝0.05.由样本观察值计算得x ＝4.49，于是有|u|＝|9/108.053.449.4-|＝1.11＜1.96，因⼩概率事件没有发⽣，故接受Ho ，即在显著⽔平α＝0.05下，可认为该⽇⽣产的铁⽔的平均含碳量仍为4.53.4、解设该⽇⽣产的维尼纶的纤度ξ～N （µ，2σ），已知µ＝1.405，σ＝0.048, n ＝5，则待检假设为Ho ：2σ＝0.0482，H 1：2σ≠0.0482.当Ho 成⽴时，有统计量2χ＝∑=-5122048.0)405.1(i i ξ～2χ(5）.对于给定显著⽔平α＝0.05，查2χ分布临界值表（附表3）得22αχ＝12.833和221αχ-＝0.83使得P （2χ＞12.833）＝2α，P （2χ＜0.83)＝2α.由样本观察值计算2χ得，2χ＝13.683. 于是有2χ＝13.683＞12.833因⼩概率事件发⽣，故拒绝Ho ，即在显著⽔平α＝0.05下，可认为该⽇⽣产的维尼纶的纤度的均⽅差不正常.四、论述题（每⼩题10分，共2×6＝12分）1、略. 2、略。