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作业1、俄亥俄州近年来购买了一片土地用于开发建设一个新公园。
公园设计者已经为住宿（A）、野餐园（B）、船坞（C）和景点（D）确定了地点。
这些地点中可能的直接路线连接见下表。
公园的设计者希望通过修建的道路能够抵达上述所有地点的同时，所建道路的总长度最短。
请建立该问题的网络模型并进行求解。
2、莎拉在高中毕业典礼上收到了父母的礼物---12千元专项基金用于购买了一辆使用了三年的二手车，供她上大学使用。
由于车的使用、维护费用随着汽车的老化而飞速上涨，莎拉在接下来的三个夏天里可以一次或几次折价将她的汽车置换为其他使用了三年的二手车（父母会在她大学毕业时送一辆新车作为她大学毕业的礼物）。
莎拉每个时期购买一辆使用了三年的二手车相关数据见下表。
试问莎拉应什么时候折价卖掉她的汽车可以使她在大学四年里在汽车方面的花费最小？试建立该问题的模型。
3、体重控制中心Nutri-Jenny为客户提供各种各样的冷冻主餐。
这些主餐的营养成分受到严格的监控以保障客户膳食平衡。
目前拟中心开发一种新的主餐--牛腰间肉大餐，其配料及相应的营养成分、成本等信息见下表。
该主餐的营养要求：（1）必须含有280~320的卡路里；其中，脂肪所含卡路里不能超过总卡路里含量的20%；（2）至少含有600国际单位的维生素A、10毫克的维生素C和30克的蛋白质；（3）每盎司的牛肉至少配有半盎司的肉汁。
试建立使该主餐配方成本最低的配餐方案模型。
4、判断下图中的流是否为最大流；若不是，求其最大流及最小截集，并解释最小截集含义。
5、写出下列问题的对偶问题。
Max. 6X1+7X2-X3s.t. 3X1+2X2+4X3>=124X2-9X3<=7X1 +5X3=13X2>=0, X3<=0。
运筹学作业王程信管1302130404026目录运筹学作业 (1)第一章线性规划及单纯形法 (3)第二章线性规划的对偶理论与灵敏度分析 (24)第三章运输问题 (53)第四章目标规划 (63)第五章整数规划 (73)第六章非线性规划 (85)第七章动态规划 (94)第八章图与网络分析 (97)第九章网络计划 (99)第一章 线性规划及单纯形法1.1分别用图解法和单纯形法求下列线性规划问题，⑴指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解；⑵当具有限最优解时，指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。
121212121min 23466 s.t.324,0z x x x x x x x x =++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩（） 1212121,22max 3222s.t.34120z x x x x x x x x =++≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩（）121212123max 105349 s.t.528 ,0z x x x x x x x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩（） 121212124max 5622 s.t.232,0z x x x x x x x x =+-≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩（）解：⑴图解法：当212133x x z =-经过点6155（，）时，z 最小，且有无穷多个最优解。
⑵图解法：1x该问题无可行解。
⑶图解法：当21125x x z =-+经过点312（，）时，z 取得唯一最优解。
单纯形法：在上述问题的约束条件中分别加入松弛变量34,x x ， 化为标准型：12341231241234max 10+500349s.t.528,,,0z x x x x x x x x x x x x x x =++++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩由线性规划问题的标准型可列出单纯初始形表逐步迭代，计算结果如下表所示：**33(,1,0,0),10512022(0,0,9,8)821(,0,,0)553(1,,0,0)2T T T T X Z X O X C X B ==⨯+⨯====（0）（1）（2）单纯形表的计算结果表明：单纯形表迭代的第一步得，表示图中原点（0,0）单纯形表迭代的第二步得，表示图中点单纯形表迭代的第三步得，表示图中点⑷图解法：当215166x x z =-经过点2,2（）时，z 取得唯一最优解。
运筹学作业2（第二章部分习题）答案2．1 题 （P . 77） 写出下列线性规划问题的对偶问题：（1）123123123123123m ax 224..34223343500,z x x x s t x x x x x x x x x x x x =++⎧⎪++≥⎪⎪++≤⎨⎪++≤⎪≥≥⎪⎩无约束，；解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为：123123123123123m ax 235..223424334,0,0w y y y s t y y y y y y y y y y y y =++⎧⎪++≤⎪⎪++≤⎨⎪++=⎪≥≤≤⎪⎩（2）1111m in ,1,,,1,,0,1,,;1,,m n ij ij i j n ij ij i j nij ij j j ij z c x c x a i m c x b j nx i m j n====⎧=⎪⎪⎪==⎪⎨⎪⎪==⎪⎪≥==⎪⎩∑∑∑∑ 解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为：11m ax 1,,;1,,m n i i j ji j i j ij i w a u b v u v c i m j n u ==⎧=+⎪⎪⎪+≤⎨⎪==⎪⎪⎩∑∑ j 无约束，v 无约束2．2判断下列说法是否正确，为什么？（1） 如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解； 答：错。
因为：若线性规划的原问题存在可行解，且其对偶问题有可行解，则原问题和可行问题都将有最优解。
但，现实中肯定有一些问题是无最优解的，故本题说法不对。
例如原问题1212212m ax 31..30,0z x x x x s t x x x =++≥⎧⎪≤⎨⎪≥≥⎩有可行解，但其对偶问题1211212m in 33..10,0w y y y s t y y y y =+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≥⎩无可行解。
（2） 如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解；答：错，如（1）中的例子。
运筹学作业（三）
习题1、
试利用0-1变量对下列各题分别表示成一般线性约束条件：
（a ）221≤+x x 或53221≥+x x
（b ）变量x 只能取值0、3、5或7中的一个
（c ）变量x 或等于0，或≥50
（d ）若21≤x ，则1≥2x ，否则4≤2x
（e ）以下四个约束条件中至少满足两个：
521≤+x x ，21≤x ，23≥x ，643≥+x x
习题2、试利用0-1变量将下述问题题表示成一般线性约束条件，然后用EXCEL 求解
32152max x x x x ++=
⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≥-+-0,,10
2153103
21321321x x x x x x x x x 习题3、清华大学运筹学（第三版） P99 3.3 只计算3-47表格
（1） 用西北角法、最小元素法、伏格尔法给出初始方案
（2） 对用“最小元素法”给出的初始方案，用“闭合回路法”判定是否最优
（3） 对用“伏格尔法”给出的初始方案，用“位势法”判定是否最优
（4） 对（3）的结果进行分析，如果不是最优，调整方案，直至最优为止
习题4、 清华大学运筹学（第三版） P99 3.6
（用计算机求解）。
运筹学第五章作业题参考答案5．1 解：设在A j 处建Ｘj 幢住宅. 则数学模型为 Max z =∑=ni jx1⎪⎩⎪⎨⎧且为整数01≥≤≤∑=j jj ni jj x a x Ddx5.2 解：设每种毛坯截取Ｘj 根 则数学模型为 Max z =∑=ni jx1⎪⎩⎪⎨⎧≥≤∑=且为整数01jj j ni x l x a 5.4 解：设X i =⎩⎨⎧名队员不上场第名队员上场第i 0i 1数学模型为：Max Z =( 1.92X 1+1.92X 2+…+1.78X 8)/5⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≤+≤++≥++=+∑=5051211818264187621或i i i X X X X X X X X X X X X5.6 用割平面法解下列整数规划 （1） Max Z = X 1 + X 2 s.t⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+且为整数、0X 205462212121X X X X X 解：将其化为标准型为 Max Z = X 1 + X 2 s.t ⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=++且为整数0,20546221421321X X X X X X X X从表中第二行产生割平面的约束条件： -1/3 X 3 - 1/3 X 43/2-≤ 引入松弛变量X 5为： -1/3 X 3 – 1/3 X 4 + X 5=-2/3∴X *=(0, 4)T 或 ( 2, 2)T ， Z *=4(2) MinZ=51X +X 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥+且为整数0,8859321212121X X X X X X X X 解: 化为标准型为 max z ‘=-51X -X 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-=+---=+---=+--0,,,,8859354321521421321X X X X X X X X X X X X X X因此，原问题的最优解为X=( 0, 9 ) T ，最优值Z * = 9 5.7用分支定界法解下列整数规划 （1） Max Z=2X 1+X 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+-≤+且为整数0,21260521212121X X X X X X X X解：用图解法求得该整数规划的松弛问题的最优解为 X 1=X 2=21/8 选择X 1=21/8进行分支B1: B2: Max Z =2X 1+X 2 Max Z =2X 1+X 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+-≤+0,2212605211212121X X X X X X X X X ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+-≤+0,3212605211212121X X X X X X X X X 最优解为X 1=2 X 2=3 Z *=7； 最优解X 1=3 X 2= 3/2 Z *=15/2 > 7 选择X 2= 3/2进行分支B3 B4Max Z =2X 1+X 2 Max Z =2X 1+X 2⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≥≤+≤+-≤+0,132126052121212121X X X X X X X X X X ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥≤+≤+-≤+0,223212605211212121X X X X X X X X X X 最优解为X 1=19/6 X 2=1 Z *=22/3 > 7； 无可行解 选择X 1=19/6 进行分支B5 B6 Max Z =2X 1+X 2⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥≤+≤+-≤+0,31321260521121212121X X X X X X X X X X X ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≥≤+≤+-≤+0,41321260521121212121X X X X X X X X X X X 最优解为X 1=3 X 2=1 Z *= 7； B6无可行解综上：原整数规划最优解为 X *= ( 2 , 3)或 ( 3 , 1) Z *=7 5.8 解下列0~1型 整数规划： (2) Max Z =2X 1+X 2- X 3⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥-+≤-+≤+≤++10,44225423,3,2132132132321或X X X X X X X X X X X X X X 解：最优解为X *=(1 , 0 , 0 )T Z *= 25.11（1） 解：引入一个虚拟人A 5,使之成为标准的指派问题，则系数矩阵为C = ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000071011151314129651214101178241110将各行元素减去本行的最小元素得C →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000003486974105734060298 = C ˊ由于只有4个独立零元素，小于系数矩阵阶数n=5，所以将第二行，第三行，第四行都减去1，第一列和第五列加上1得C ˊ→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00012375863014623160298→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000102376963005623070299= C 〞C 〞中有5个独立零元素，则可确定指派问题的最优指派方案。
浙江大学远程教育学院 《运筹学》课程作业第2章1.某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的三种原材料的消耗及所获的利润，如下表所示。
问应如何安排生产使该工厂获利最多？（建立模型，并用图解法求解）1. 解：：设生产产品1为x 件，生产产品2为y 件时，使工厂获利最多 产品利润为P （万元） 则 P=40x+50y作出上述不等式组表示的平面区域，即可行域：由约束条件可知0ABCD 所在的阴影部分，即为可行域 目标函数P=40x+50y是以P 为参数，-54为斜率的一族平行线y =-54x +50P （图中红色虚线） 由上图可知，目标函数在经过C 点的时候总利润P 最大 即当目标函数与可行域交与C 点时，函数值最大即最优解C=（15，7.5），最优值P=40*15+50*7.5=975（万元）答：当公司安排生产产品1为15件，产品2为7.5件时使工厂获利最大。
2.某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的两种原材料的消耗和人员需要及所获的利润，如下表所示。
问应如何安排生产使该工厂获利最多？（建立模型，并用图解法求解：设生产产品1为x 件，生产产品2为y 件时，使工厂获利最多 产品利润为P （万元） 则 P=300x+500y作出上述不等式组表示的平面区域，即可行域：由约束条件可知阴影部分，即为可行域目标函数P=300x+500y 是以P 为参数，-53为斜率的一族平行线y =-53x +500P （图中红色虚线） 由上图可知，目标函数在经过A 点的时候总利润P 最大 即当目标函数与可行域交与A 点时，函数值最大即最优解A=（4，6），最优值P=300*4+500*6=4200（万元）答：当公司安排生产产品1为4件，产品2为6件时使工厂获利最大。
3. 下表是一个线性规划模型的敏感性报告，根据其结果，回答下列问题：1）是否愿意付出11元的加班费，让工人加班；2）如果第二种家具的单位利润增加5元，生产计划如何变化？Microsoft Excel 9.0 敏感性报告 工作表 [ex2-6.xls]Sheet1报告的建立: 2001-8-6 11:04:02可变单元格终递减目标式允许的允许的单元格名字值成本系数增量减量$B$15 日产量（件）100 20 60 1E+30 20$C$15 日产量（件）80 0 20 10 2.5$D$15 日产量（件）40 0 40 20 5.0$E$15 日产量（件）0 -2.0 30 2.0 1E+30约束终阴影约束允许的允许的单元格名字值价格限制值增量减量$G$6 劳动时间（小时/件）400 8 400 25 100$G$7 木材（单位/件）600 4 600 200 50$G$8 玻璃（单位/件）800 0 1000 1E+30 200解：（1）由敏感性报告可知，劳动时间的影子价格为8元，即在劳动时间的增量不超过25小时的条件下，每增加1个小时劳动时间，该厂的利润（目标值）将增加8元，因此付出11元的加班费时，该厂的利润是亏损的。
《运筹学》课堂作业及答案第⼀部分绪论第⼆部分线性规划与单纯形法1 判断下列说法是否正确：(a)图解法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从⼏何上理解，两者是⼀致的；(b)线性规划模型中增加⼀个约束条件，可⾏域的范围⼀般将缩⼩，减少⼀个约束条件，可⾏域的范围⼀般将扩⼤；(c)线性规划问题的每⼀个基解对应可⾏域的⼀个顶点；(d)如线性规划问题存在可⾏域，则可⾏域⼀定包含坐标的原点；(e)对取值⽆约束的变量x i，通常令其中，在⽤单纯形法求得的最优解中有可能同时出现(f)⽤单纯形法求解标准型的线性规划问题时，与对应的变量都可以被选作换⼊变量；(g)单纯形法计算中，如不按最⼩⽐值原则选取换出变量，则在下⼀个解中⾄少有⼀个基变量的值为负；(h)单纯形法计算中，选取最⼤正检验数δk对应的变量x k作为换⼊变量，将使⽬标函数值得到最快的增长；(i)⼀旦⼀个⼈⼯变量在迭代中变为⾮基变量后，则该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，⽽不影响计算结果；(j)线性规划问题的任⼀可⾏解都可以⽤全部基可⾏解的线性组合表⽰；(k)若x1，x2分别是某⼀线性规划问题的最优解，则也是该线性规划问题的最优解，其中λ1，λ2可以为任意正的实数；(1)线性规划⽤两阶段法求解时，第⼀阶段的⽬标函数通常写为X ai为⼈⼯变量)，但也可写为，只要所有k i均为⼤于零的常数；(m)对⼀个有n个变量、m个约束的标准型的线性规划问题，其可⾏域的顶点恰好为个；(n)单纯形法的迭代计算过程是从⼀个可⾏解转转换到⽬标函数值更⼤的另⼀个可⾏解；(o)线性规划问题的可⾏解如为最优解，则该可⾏解⼀定是基可⾏解；(p)若线性规划问题具有可⾏解，且其可⾏域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解；(q)线性规划可⾏域的某⼀顶点若其⽬标函数值优于相邻的所有顶点的⽬标函数值，则该顶点处的⽬标函数值达到最优；(r)将线性规划约束条件的“≤”号及“≥”号变换成“＝”号，将使问题的最优⽬标函数值得到改善；(s)线性规划⽬标函数中系数最⼤的变量在最优解中总是取正的值；(t)⼀个企业利⽤3种资源⽣产4种产品，建⽴线性规划模型求解得到的最优解中，最多只含有3种产品的组合；(u)若线性规划问题的可⾏域可以伸展到⽆限，则该问题⼀定具有⽆界解；(v)⼀个线性规划问题求解时的迭代⼯作量主要取决于变量数的多少，与约束条件的数量关系相对较⼩。
《管理运筹学》各章的作业----复习思考题及作业题第一章绪论复习思考题1、从运筹学产生的背景认识本学科研究的内容和意义。
2、了解运筹学的内容和特点，结合自己的理解思考学习的方法和途径。
3、体会运筹学的学习特征和应用领域。
第二章线性规划建模及单纯形法复习思考题1、线性规划问题的一般形式有何特征？2、建立一个实际问题的数学模型一般要几步？3、两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？4、求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？5、什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。
6、试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。
7、试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。
8、在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？9、大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？10、什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？作业题:1、把以下线性规划问题化为标准形式：(1) max z= x1-2x2+x3s.t. x1+x2+x3≤122x1+x2-x3≥ 6-x1+3x2＝9x1, x2, x3≥0(2) min z= -2x1-x2+3x3-5x4s.t x1+2x2+4x3-x4≥ 62x1+3x2-x3+x4＝12x1+x3+x4≤ 4x1, x2, x4≥0(3) max z= x1+3x2+4x3s.t. 3x1+2x2≤13x2+3x3≤172x1+x2+x3=13x1, x3≥02、用图解法求解以下线性规划问题(1) max z= x1+3x2s.t. x1+x2≤10-2x1+2x2≤12x1≤7x1, x2≥0(2) min z= x1-3x2s.t. 2x1-x2≤4x1+x2 ≥3x2≤5x1≤4x1, x2≥03、在以下问题中，列出所有的基，指出其中的可行基，基础可行解以及最优解。
《运筹学》第四章习题一、思考题1．运输问题的数学模型具有什么特征？为什么其约束方程的系数矩阵的秩最多等于1-+n m ？2． 用左上角法确定运输问题的初始基本可行解的基本步骤是什么？3． 最小元素法的基本思想是什么？为什么在一般情况下不可能用它直接得到 运输问题的最优方案？4． 沃格尔法（V ogel 法）的基本思想是什么？它和最小元素法相比给出的运输问题的初始基本可行解哪一个更接近于最优解？为什么？5． 试述用闭回路法检验给定的调运方案是否最优的原理，其检验数的经济意义是什么？6． 用闭回路法检验给定的调运方案时，如何从任意空格出发去寻找一条闭回路？这闭回路是否是唯一的？7． 试述用位势法求检验数的原理、步骤和方法。
8． 试给出运输问题的对偶问题（对产销平衡问题）。
9． 如何把一个产销不平衡的运输问题（产大于销或销大于产）转化为产销平衡的运输问题。
10．一般线性规划问题应具备什么特征才可以转化为运输问题的数学模型？ 11．试述在表上作业法中出现退化解的涵义及处理退化解的方法。
二、判断下列说法是否正确1．运输问题模型是一种特殊的线性规划模型，所以运输问题也可以用单纯形方法求解。
2．因为运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求其解也可能出现下列四种情况：有唯一最优解；有无穷多个最优解；无界解；无可行解。
3．在运输问题中，只要给出一组（1-+n m ）个非零的{}j i x ，且满足∑==nj i j i a x 1，∑==mi j j i b x 1，就可以作为一个基本可行解。
4．表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。
5．按最小元素法或元素差额法给出的初始基本可行解，从每一空格出发都可以找到一闭回路，且此闭回路是唯一的。
6．如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数k ，最优调运方案将不会发生变化。
7．如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别乘上一个常数k ，最优调运方案将不会发生变化。
《管理运筹学》各章的作业----复习思考题及作业题第一章绪论复习思考题1、从运筹学产生的背景认识本学科研究的内容和意义。
2、了解运筹学的内容和特点，结合自己的理解思考学习的方法和途径。
3、体会运筹学的学习特征和应用领域。
4、举例说明OR的发展历史。
5、运筹学的特点和解决问题的思路（步骤）？6、思考：兰彻斯特方程是否在管理领域还有用途？第二章线性规划建模及单纯形法复习思考题1、线性规划问题的一般形式有何特征？2、建立一个实际问题的数学模型一般要几步？3、两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？4、求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？5、什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。
6、试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。
7、试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。
8、在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？9、大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？10、什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？作业题:1、把以下线性规划问题化为标准形式：(1) max z= x1-2x2+x3s.t. x1+x2+x3≤122x1+x2-x3≥ 6-x1+3x2＝9x1, x2, x3≥0(2) min z= -2x1-x2+3x3-5x4s.t x1+2x2+4x3-x4≥ 62x1+3x2-x3+x4＝12x1+x3+x4≤ 4x1, x2, x4≥0(3) max z= x1+3x2+4x3s.t. 3x1+2x2≤13x2+3x3≤172x1+x2+x3=13x1, x3≥02、用图解法求解以下线性规划问题(1) max z= x1+3x2s.t. x1+x2≤10-2x1+2x2≤12x1≤7x1, x2≥0(2) min z= x1-3x2s.t. 2x1-x2≤4x1+x2 ≥3x2≤5x1≤4x1, x2≥03、在以下问题中，列出所有的基，指出其中的可行基，基础可行解以及最优解。
max z= 2x1+x2-x3s.t. x1+ x2+2x3≤6x1+4x2-x3≤4x1, x2, x3≥04、用单纯形表求解以下线性规划问题(1) max z= x1-2x2+x3s.t. x1+x2+x3≤122x1+x2-x3≤ 6-x1+3x2≤9x1, x2, x3≥0(2) min z= -2x1-x2+3x3-5x4s.t x1+2x2+4x3-x4≤ 62x1+3x2-x3+x4≤12x1+x3+x4≤ 4x1, x2, x3, x4≥05、用大M法和两阶段法求解以下线性规划问题(1) Max z= x1+3x2+4x3s.t. 3x1+2x2≤13x2+3x3≤172x1+x2+x3=13x1, x2, x3≥0(2) max z= 2x1-x2+x3s.t. x1+x2-2x3≤84x1-x2+x3≤22x1+3x2-x3≥4x1, x2, x3≥06、某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、100毫克维生素。
现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单价如下表所示：7、某工厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品，产品Ⅰ需依次经过A、B两种机器加工，产品Ⅱ需依次经过A、C两种机器加工，产品Ⅲ需依次经过B、C两种机器加工，产品Ⅳ需依次经过A、B机器加工。
有关数据如表所示，请为该厂制定一个最优生产计划。
第三章线性规划问题的对偶及灵敏度分析复习思考题1、对偶问题和它的经济意义是什么？2、简述对偶单纯形法的计算步骤。
它与单纯形法的异同之处是什么？3、什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？4、如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检验数之间的关系？5、利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？6、在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）0>+k n x ，其经济意义是什么？7、在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量k n x +的检验数0>+k n σ，其经济意义是什么？ 8、关于i j j i b c a ,,单个变化对线性规划问题的最优方案及有关因素将会产生什么影响？有多少种不同情况？如何去处理？9、线性规划问题增加一个变量，对它原问题的最优方案及有关因素将会产生什么影响？如何去处理？10、线性规划问题增加一个约束，对它原问题的最优方案及有关因素将会产生什么影响？如何去处理？作业题1、写出以下问题的对偶问题(1) min z= 2x 1 +3x 2 +5x 3 +6x 4s.t. x 1 +2x 2 +3x 3 +x 4 ≥2-2x 1 -x 2 -x 3 +3x 4 ≤-3x 1,x 2,x 3, x 4 ≥0(2) min z= 2x 1 +3x 2 -5x 3s.t. x 1 +x 2 -x 3 +x 4 ≥5 2x 1+x 3 ≤4x 2 +x 3 +x 4=6x 1≤0, x 2≥0, x 3≥0, x 4无符号限制2、已知如下线性规划问题Max z= 6x 1 -2x 2 +10x 3 s.t. x 2 + 2x 3 ≤5 3x 1 -x 2 + x 3 ≤10x 1,x 2,x 3≥0其最优单纯形表为（1）写出原始问题的最优解、最优值、最优基 B 及其逆B-1。
（2）写出原始问题的对偶问题，并从上表中直接求出对偶问题的最优解。
3、用对偶单纯形法求解以下问题(1) min z= 4x1+6x2+18x3s.t. x1+3x3≥3x2+2x3≥5x1, x2, x3≥0(2) min z= 10x1+6x2s.t. x1+x2≥22x1-x2≥6x1, x2≥04、已知以下线性规划问题max z= 2x1+x2-x3s.t. x1+2x2+x3≤8-x1+x2-2x3≤4x1, x2, x3≥0及其最优单纯形表如下：(1) 求使最优基保持不变的c2=1的变化范围。
如果c2从1变成5，最优基是否变化，如果变化，求出新的最优基和最优解。
(2) 对c1=2进行灵敏度分析，求出c1由2变为4时的最优基和最优解。
(3) 对第二个约束中的右端项b2 = 4 进行灵敏度分析，求出b2 从 4 变为 1 时新的最优基和最优解。
(4) 增加一个新的变量x6，它在目标函数中的系数c6 = 4，在约束条件中的系数向量为a612=⎡⎣⎢⎤⎦⎥，求新的最优基和最优解。
(5) 增加一个新的约束x2+x3≥2，求新的最优基和最优解。
5、某工厂用甲、乙、丙三种原料生产A 、B 、C 、D 四种产品，每种产品消耗原料定额以及三种原料的数量如下表所示:（1）求使总利润最大的生产计划和按最优生产计划生产时三种原料的耗用量和剩余量。
（2）求四种产品的利润在什么范围内变化，最优生产计划不会变化。
（3）求三种原料的影子价格。
（4）在最优生产计划下，哪一种原料更为紧缺?如果甲原料增加120吨，这时紧缺程度是否有变化?第四章 运输问题复习思考题1、运输问题的数学模型具有什么特征？为什么其约束方程的系数矩阵的秩最多等于1-+n m ？2、用西北角法确定运输问题的初始基本可行解的基本步骤是什么？3、最小元素法的基本思想是什么？为什么在一般情况下不可能用它直接得到运输问题的最优方案？4、试述用闭回路法检验给定的调运方案是否最优的原理，其检验数的经济意义是什么？5、用闭回路法检验给定的调运方案时，如何从任意空格出发去寻找一条闭回路？这闭回路是否是唯一的？6、试述用位势法求检验数的原理、步骤和方法。
7、试给出运输问题的对偶问题（对产销平衡问题）。
8、如何把一个产销不平衡的运输问题（产大于销或销大于产）转化为产销平衡的运输问题。
9、一般线性规划问题应具备什么特征才可以转化为运输问题的数学模型？作业题1、求解下列产销平衡的运输问题，下表中列出的为产地到销地之间的运价。
（1）用西北角法、最小元素法求初始基本可行解；（2）由上面所得的初始方案出发，应用表上作业法求最优方案，并比较初始方案2、用表上作业法求下列产销平衡的运输问题的最优解：（表上数字为产地到销地的运价，M为任意大的正数，表示不可能有运输通道）（2）3、用表上作业法求下列产销不平衡的运输问题的最优解：（表上数字为产地到销地的里程，M为任意大的正数，表示不可能有运输通道）。
（1）（2）4、某农民承包了5块土地共206亩，打算小麦、玉米和蔬菜三种农作物，各种农作物的计划播种面积（亩）以及每块土地种植各种不同的农作物的亩产数量（公斤）见1200）减去每一个亩产量，得到新的求最小的运输表，再进行计算。
得到求解的结果后，再通过逆运算得到原问题的解。
（想一想为什么？）第五章动态规划思考题主要概念及内容：多阶段决策过程；阶段及阶段变量；状态、状态变量及可能的状态集合；决策、决策变量及允许的决策集合；策略、策略集合及最优策略；状态转移方程；K－子过程；阶段指标函数、过程指标函数及最优值函数；边界条件、递推方程及动态规划基本方程；最优性原理；逆序法、顺序法。
复习思考题：1、试述动态规划的“最优化原理”及它同动态规划基本方程之间的关系。
2、动态规划的阶段如何划分？3、试述用动态规划求解最短路问题的方法和步骤。
4、试解释状态、决策、策略、最优策略、状态转移方程、指标函数、最优值函数、边界条件等概念。
5、试述建立动态规划模型的基本方法。
6、试述动态规划方法的基本思想、动态规划的基本方程的结构及正确写出动态规划基本方程的关键步骤。
作业题1、用动态规划求解以下网络从A到G的最短路径。
ABBBCCDDDEEF 12312123125216437333254271089711912132、某公司有5台设备，分配给所属A,B,C 三个工厂。
各工厂获得不同的设备台数所能产生效益（万元）的情况如下表。
求最优分配方案，使总效益最大。
3、用动态规划求解以下非线性规划问题： max z = x 1 • 2 x 2 ·3 x 3 s.t. x 1+3x 2+2x 3 ≤12 x 1 , x 2 , x 3 ≥04、某企业生产某种产品，每月月初按订货单发货，生产的产品随时入库，由于空间的限制，仓库最多能够贮存产品90000件。
在上半年（1至6月）其生产成本（万元／千件）和产品订单的需求数量情况如下表：已知上一年底库存量为40千件，要求6月底库存量仍能够保持40千件。
问：如何安排这6个月的生产量，使既能满足各月的定单需求，同时生产成本最低。
