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《不等式和绝对值不等式》课件7 (人教A版选修4-5)

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高中数学·选修4-5(人教版)第一讲几何平均不等式及绝对值三角不等式PPT课件

高中数学·选修4-5(人教版)第一讲几何平均不等式及绝对值三角不等式PPT课件

9
3 .
归纳升华
1．利用三个正数的算术—几何平均不等式常处理下
面两个类型的最值： (1)求函数 y＝ax2＋bx的最小值，其中 ax2＞0，bx＞0.
则
y
＝
ax2
＋
b x
＝
ax2
＋
b 2x
＋
b 2x
≥
3
3
ax2·2bx·2bx
＝
3 2
3 2ab2.当且仅当 ax2＝2bx，即 x＝ 3 2ba时，等号成立．
(1)如果 a，b，c∈R，那么a＋3b＋c≥3 abc.(
)
(2)如果 a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c≥3 abc，当且仅
当 a＝b 或 b＝c 时，等号成立．( )
(3)如果 a，b，c∈R＋，那么 abc≤a＋3b＋c3，当且 仅当 a＝b＝c 时，等号成立．( )
(4)如果 a1，a2，a3，…，an 都是实数．那么 a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理 3，只有在 a，b，c 都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如 a＝1，b＝－1，c＝－3，
a＋b＋c
3
3
3 ＝－1， abc＝ 3，故(1)不正确．
(2)由定理 3，知等号成立的条件是 a＝b＝c.故(2)不正
确．
(3)由定理 3 知(3)正确． (4)必须 a1，a2，…，an 都是正数，命题才成立． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[知识提炼·梳理] 1．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正 数的算术平均数，3 a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数．

高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式

高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式
1
年销售收入为 150% 32 3- t+1 + 3 + 2t.
首 页
探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究三
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
-t2 +98t+35
得年利润 y=
(t≥0).
2(t+1)
-t2 +98t+35
1 2x+y 2
1
(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的
其变形去解题,如 xy= ×(2x)y≤
2
2
2
2
1 (2x+y)
1
a+b 2
(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,
.但是 xy= ×(2x)y≤ ×
ab≤
2
2
2
2
可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求
得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使
论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问
题的结论.
J 基础知识 Z 重点难点
首 页
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.下列各式中,最小值等于 2 的是(
x
A.
y
y
+
x
B.
1
C.tanθ+θ
2
3
S 随堂练习
1
的最大值,转化为求 (2x)y 的最大值,即

新人教A版高中数学(选修4-5)《绝对值不等式》ppt课件

新人教A版高中数学(选修4-5)《绝对值不等式》ppt课件
新人教A版高中数学(选修4-5)《绝 对值不等式》ppt课件
从 不 等 式 的 背 景 可到 以,许 看多 不 等 关 系 都 涉 及 到 距 离短 的,面 长积 或 体 积 的 大 小,重 量 的 大 小 ,等 等,它 们 都 要 通 过 非 负 数 来 表 .因示 此,研 究 含 有 绝 对 值 的 不 等 式 具要 有意 重义.
解 设生活区应建碑 于的 公x第 路 k处 m路 ,两个
施工队每天往之 返和 的S为 路 xk程 m,则 Sx2| x10|| x20|.
因 |x 1 为 | |0 x 2 | |x 0 1 | |0 2 x 0 |
|x 1 0 2 0 x | 1,0 当且 x 1 仅 0 2 0 当 x0 时取 . 等号 解 x 不 1 2 0 x 0 等 0 ,得 1 x 式 0 2 . 0
探 究如果把1定 中理 的实 a,b数 分别换为向 量a,b,能 得 出 什 ?么 你能 结解果 释 它 的 何几 意 义?吗
在上面的不等式中 ,用向量 a,b y
分 别 替 换 a, b,当 向 量 a, b不 共 线 时,那么由向 量 加 法的 三角形
ab b
法则,向量 a b,a,b构成三角形 , 因此我们有向量形式的 不等式
为 了 更 好 地 理 1,我 解们 定再 理从 代 数 理 的 角 度 给 出.它 的 证 明 证当 明 a b 0 时 ,a b |a|b ,
|ab| ab2 a22abb2
|a|22|ab ||b|2
|a||b|2
| ab|
当 a b0 时 ,a b|a|b ,
|ab| ab2 a22abb2
a O
x
| a b || a | | b | .

人教A版高中数学选修4-5 第一讲 绝对值不等式 (共ppt课件

人教A版高中数学选修4-5 第一讲 绝对值不等式 (共ppt课件
;Байду номын сангаас
从代数角度进展证明：
;
思索：上述不等式中，等号成立的条件是什么？ ;
对定理1的小结与思索
;
;
;
;
例题2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工， 这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处.现 要在公路沿线建两个施工队的共同暂时生活区，每个施工 队每天在生活区和施工地点之间往返一次.要使两个施工队 每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？
第一章 第二节 绝对值不等式
;
背景知识一：研讨绝对值不等式的意义
1、涉及到间隔长短问题； 2、涉及到平面图形面积问题； 3、涉及到立体图形体积问题； 4、涉及到物体分量的大小问题。
;
背景知识二：绝对值不等式的几何意义
;
背景知识三：从运算角度调查绝对值
思索：假设这两个 实数中至少有一个 为0，能得到怎样的 关系？
;
;
绝对值不等式的意义
;
绝对值不等式的意义
;
;
能否从几何角度来解释例题3呢？
;
;
;
;
;
课后练习
;

人教A版高中数学选修4-5课件：第一讲 1.2.1 绝对值不等式(共54张PPT)

人教A版高中数学选修4-5课件：第一讲 1.2.1 绝对值不等式(共54张PPT)
强烈的信仰会赢取坚强的人，然后又使他们更坚强。 当你能梦的时候就不要放弃梦。 不悲伤，定会快乐。不犹豫，定会坚持。 生气是拿别人做错的事来惩罚自己。 不要因为众生的愚疑，而带来了自己的烦恼。不要因为众生的无知，而痛苦了你自己。 别太注重自己和他人的长相，能力没写在脸上。如果你不是靠脸吃饭，关注长相有个屁用！ 驾驭命运的舵是奋斗。 学习不但意味着接受新知识，同时还要修正错误乃至对错误的认识。 成功就是把复杂的问题简单化，然后狠狠去做。 绝大多数人，在绝大多数时候，都只能靠自己。 善良的人永远是受苦的，那忧苦的重担似乎是与生俱来的，因此只有忍耐。 人的成长需要接受四个方面的教育：父母、老师、书本、社会，有趣的是，社会似乎总是与前面三种教给你的背道而驰。 只要能收获甜蜜，荆棘丛中也会有蜜蜂忙碌的身影。 你要结交敢于指责你缺点，当面批评你的人，远离恭维你缺点，一直对你嘻嘻哈哈的人！ 实现梦想比睡在床上的梦想更灿烂。 失败的定义：什么都要做，什么都在做，却从未做完过，也未做好过。 不如意的时候不要尽往悲伤里钻，想想有Байду номын сангаас声的日子吧！ 奋斗的双脚在踏碎自己的温床时，却开拓了一条创造之路。 失败并不意味你浪费了时间和生命，失败表明你有理由重新开始。 对于攀登者来说，失掉往昔的足迹并不可惜，迷失了继续前时的方向却很危险。

高中数学 选修4-5 绝对值不等式的解法 ppt课件

高中数学 选修4-5 绝对值不等式的解法 ppt课件
绝对值不等式的解法
ppt课件
1
复习：
x X>0
1.绝对值的定义: |x|= 0 X=0
- x X<0
2.几何意义:
一个数的绝对值表示这个数对应的点到 原点的距离.
x2
x1
B
O
A
X
|x1| =|OA| ppt课件 |x2| =|OB|
2
方程│x│＝2的解集？ 为{x│x=2或x=-2}
-2
0
2
观察、思考：
类型1 解：由绝对值的意义，原不等式转化为：
6-x>有0 更一般的结论：X<6
|f(x|)f|(>x-g()6|(-<xxg))<(x5x) -6<f((x6-)-x>g)g(x(x)<) f或(x5-f)(x(<6x--6g)x<<()x(<-6g)5-x(xx-)6)
0<x<p2pt课件
13
练习：把下列绝对值不等式转 化为同解的非绝对值不等式。
因此，不等式的解集是（–1，4）
ppt课件
7
例 2 解不等式 2x 3 ＞5 解：这个不等式等价于
2x 3 5
或
2x 3 5
（1） （2）
（1）的解集是（4，+∞）， （2）的解集是（－∞，－1）， ∴ 原不等式的解集是
（4，+∞）∪ （－∞，－1）。
ppt课件
8
巩固练习：
求下列不等式的解集
（x-1)2>(x-3)2
化简整理：x>2
平方法：注意两边都为非负数
ppt课件
21
解：如图，设“1”对A，“3”对应B，

(精品)1.0《_不等式和绝对值不等式》课件(新人教选修4-5)


a1 a2 n
an n a1a2
an ,
当且仅当a1 a2 an时，等号成立。
例 1求 函 数 y x 2 (1 5 x)(0 x 1 )的 最 值 。
5
解下：面y 的 解 5 x法 2 (对 2 吗2？ x) 5 x x( 2 2 x),
y124x x5(15x)21(4x5 x15x)3 1 ,
2a
2a
所以a2c+c3 >2a3即a3-c3+a3-a2c<0，(a-c)(2a2+ac+c2)<0
因为a>0,b>0,c>0，所以2a2+ac+c2>0，故a-c<0,即a<c.
从而a<c<b。当b-c=0，即b=c时，因为bc>a2，
所以b2>a2，即b≠a。又a2-2ab+b2=(a-b)2=0，所以a=b，
3、培养学生的数感，渗透数形结合的思想 。
重点:
不等式的解集的表示；不等式的性质和解法； 不等式的性质和解法.在实际问题中建立一元 一次不等式的数量关系 ；绝对值三角不等式 的理解及应用；使学生掌握含绝对值的一次 不等式的解法，并用数形结合方法加深对解 法的理解；含绝对值不等式的解法。
难点:
不等式解集的确定；不等号方向的确定；根 据实际问题建立一元一次不等式；绝对值三 角不等式的代数证明；理解绝对值的几何意 义。
b
AB=a；在正方形 CEFG中，EF=b.
B
J
a
C
E
b
则 S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2.
S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab，其值等于图中有阴影部分的 面积，它不大于正方形ABCD与正方形CEFG的面积和。 即a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时，两个矩形成为正方形， 此时有 a2+b2=2ab。

第一讲 不等式和绝对值不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)


对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法
如下：
(1)分离参数法：
运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立
中的参数范围问题．
(2)更换主元法：
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常 困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，
常可得到简捷的解法．
5 ②当－ ≤x≤2 时， 2 3 原不等式变形为 2－x－2x－5>2x，解得 x<－ . 5 5 3 ∴解集为{x|－ ≤x<－ }． 2 5 ③当 x>2 时，原不等式变形为 x－2－2x－5>2x， 7 解得 x<－ ，∴原不等式无解． 3 3 综上可得，原不等式的解集为{x|x<－ }. 5
2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：5
3．(2011· 陕西高考)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R 恒成立，则a的取值范围是________．
解析：令 f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝ －2x＋1x≤－1， 3－1<x<2， 2x－1x≥2， ∴f(x)≥3. ∵|x＋1|＋|x－2|≥a 对任意 x∈R 恒成立，∴a≤3.
[解析]
x＋3z 由 x－2y＋3z＝0 得 y＝ ， 2
2 2 y2 x ＋9z ＋6xz 6xz＋6xz 则xz＝ ≥ ＝3， 4xz 4xz
当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
[答案]
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 1 [例 3] 设 a， c 为正实数， b， 求证：3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3. a b c 1 [证明]因为 a，b，c 为正实数，由平均不等式可得 3＋ a

高二下学期数学人教A版选修4-5第一讲含绝对值不等式的解法课件


0
-1 0
34
原不等式的解集是 {x | 1 x 0，或3 x 4}.
解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解法2：3 |3 2x | 5 3 | 2x 3 | 5
3 2x 3 5，或 5 2x 3 3
3 x 4，或 1 x 0 .
原不等式的解集是 {x | 1 x 0，或3 x 4}.
解(Ⅰ)得：6/5≤x<2 解(Ⅱ) 得：0<x<6/5
取它们的并集得：（0，2）
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
解： 由绝对值的意义，原不等式转化为： -(6-x)<5x-6<(6-x)
解(Ⅰ)得：0<x<2;
综合得0<x<2
练习 (1) 3x 1 x 2 ;
{x | 1 x 3}
如果把|x|>2中的x换成“3x-1”,也就 是 | 3x-1 | >2如何解？
题型一:研究|ax+b|<(>)c型不等式 在 这 里 ， 我 们 只 要 把 ax+b 看 作 是
整体就可以了，此时可以得到：
| ax b | c c ax b c | ax b | c ax b c 或 ax b c
∴原不等式的解集为{x | x<－2或x>－1}.解题总结：1、采 Nhomakorabea了整体换元。
2、归纳型如 | f(x)|<a, |f(x)|>a(a>0) 不等式的解法。
| f(x)|<a | f(x)|>a
-a<f(x)<a f(x)<-a或f(x)>a
变式例题：型如 | f(x)|<a, |f(x)|>a的不等式中

高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质


探究四
探究一不等式的基本性质
对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等式的相关
性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、取倒数、开方、平
方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去选正确的选项,这种方法一般
要注意选取的值应具有某个方面的代表性,如选取 0、正数、负数等.
J 基础知识 Z 重点难点
几乎都有类似的前提条件,但结论会根据不同的要求有所不同,因而这需要
根据本题的四个选项来进行判断.选项 A,还需有 ab>0 这个前提条件;选项
B,当 a,b 都为负数时不成立,或一正一负时可能也不成立,如 2>-3,但 22>(-3)2
1
a
b
不正确;选项 C,c2+1>0,由 a>b 就可知c2+1 > c2 +1,故正确;选项 D,当 c=0 时不
A.P≥Q
B.P>Q
C.P≤Q
1
−
a+1+ a
解析:P-Q=( a + 1 − a)-( a − a-1)=
a-1- a+1
=
D.P<Q
.
( a+1+ a)( a+ a-1)
∵a≥1,∴ a-1 < a + 1,即 a-1 − a + 1<0.
又∵ a + 1 + a>0, a + a-1>0,
a-1- a+1
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.在使用
不等式的性质中,如果是由两个变量的范围求其差的范围,一定不能直接作
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本专题知识结构
第一讲 值不等式 不等式和绝对
不 等 式 选 讲
第二讲 的基本方法
证明不等式
第三讲 排序不等式
柯西不等式与
第四讲 明不等式
数学归纳法证
第一讲 不等式和绝对值不等式
一:不等式的基本性质
A a
b>a
B b
B b
a>b
A a
a>b a-b>0
基本不等式
a<b a-b<0 b = a b-a = 0
a d b c
例 ： 已 知 a > b > 0 ,c > d > 0 ， 求 证
>
.
三: 基本不等式
定 理 1： 如 果 a， b∈ R， 那 么 a + b ≥ 2ab， 当 且 仅 当 a = b时 等 号 成 立 。
几何解释
2 2
b
a b a b
三: 基本不等式
定 理 2： （ 基 本 不 等 式 ） 如 果 a， b 0， 那 么 a+b 2 ≥ a b，
当 且 仅 当 a = b时 等 号 成 立 。
算术平均数
几何平均数
C
几何解释
ab
A
a
O
D
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
定 理 ： 设 x ,y 都 是 正 数 ， 则 有 1） 若 xy = s（ 定 值 ） ， 则 当 x = y时 ,x + y有 最 小 值 2 s .
2 ） 若 x + y = p （ 定 值 ） ， 则 当 x = y 时 ,x y 有 最 大 值 p
注:是比较两个数大小的依据
例 ： 比 较 x + 3 (x + 7)和 (x + 4)(x + 6)的 大 小 。
解 ： 因 为 x + 3 ( x + 7 )-( x + 4 ) ( x + 6 ) = ( x + 1 0 x + 2 1 )-( x + 1 0 x + 2 4 ) = -3 < 0 所 以 x + 3 ( x + 7 ) < ( x + 4 ) ( x + 6 )
2 2
比较法的基本步骤： 1.作差(或作商) 2.变形 3.定号(与0比较或与1比较).
等式的性质
1.a = b b = a （对称性） （传递性） 2.a = b ,b = c a = c （可加性） 3.a = b a + c = b + c a = b,c = d a + c = b + d （加法法则） 4.a = b ac = bc （可乘性） （乘法法则） a = b,c = d ac = bd n n a = b a = b (n∈ N,n > 1) （乘方性）
解:设AM=y米 Q P
从 而 4xy + x = 200 y =
2
200 - x
2
D
C
B M N
4x A 2 2 于 是 S = 4 2 0 0 x + 2 1 0× 4 x y + 8 0× 2 y
0 < x < 10 2
E F
2
4
.
注：一正、二定、三等。
例 求证:(1)在所有周长相同的矩形中,正方 (2)在所有面积相同的矩形中,正方
--------------形的面积最大; ---------------形的周长最短;
周长L=2x+2y
x
S
y
例: 某居民小区要建一做八边形的休闲场所,它的主体造型平 面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平 方米的十字型地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为 每平方米4300元,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗 岩地坪,造价没平方米210元,再在四个空角(图中四个三角形) 上铺草坪,每平方米造价80元. (1)设总造价为S元,AD长x为米,试建立S关于x的函数关系式; (2)当为何值时S最小,并求出这个最小值. H G
5.a = b
n
a =
n
b
（开方性）
1.a > b b < a
3.a > b a + c > b + c
质
（对称性） （可加性） （加法法则）
（传递性） 类比等式的性质复习不等式性 2 . a > b ,b > c a > c
a > b,c > d a + c > b + d
4 . a > b ,c > 0 a c > b c （可乘性） a > b ,c < 0 a c < b c
a > b > 0, > d > 0 ac > bd c
n n
（乘法法则）
5. a > b > 0 a > b (n∈ N,n > 1) （乘方性）
6. a > b > 0
n
a >
n
b
（开方性）
二: 不等式的性质
能证明它们吗?
1.如 果 a > b， c > d， 那 么 a + c > b + d 2.如 果 a > b > 0， c > d > 0， 那 么 ac > bd