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冲激函数的性质练习题
1. 冲激函数的定义是什么？它在什么情况下的值是非零的？
2. 冲激函数具有什么样的奇偶性？为什么？
3. 冲激函数在什么情况下是一个偶函数？为什么？
4. 冲激函数的积分是什么？它是什么意义？
5. 冲激函数的导数是什么？它在什么情况下存在？
6. 冲激函数与卷积运算有什么关系？
7. 冲激函数在信号处理中的作用是什么？举例说明。
8. 什么是单位冲激响应？它与系统的什么性质有关？
9. 怎样利用冲激函数求解微分方程？举例说明。
10. 冲激函数在频域中的表示是什么？它有什么应用？
- 1 -。
信号与系统单位冲激函数有关例题【信号与系统】单位冲激函数有关例题导读：本文将深入探讨信号与系统领域中与单位冲激函数有关的例题。
我们将简要介绍单位冲激函数的概念和特性，然后通过具体的例题来展示如何应用单位冲激函数进行信号分析和系统建模。
我们将回顾这些例题并总结一些实际应用中的思考点和技巧。
1. 单位冲激函数的定义和特性单位冲激函数（也称为Dirac函数）是信号与系统领域中的基础概念之一。
它在数学上被定义为一个面积为1，宽度趋近于无穷小的脉冲信号。
单位冲激函数可以用符号δ(t)表示，其中t为时间变量。
单位冲激函数具有以下重要特性：1.1 零相位特性单位冲激函数在时间域中的相位为零，这意味着它不会引起信号的时间延迟。
在系统分析中，这个特性非常有用，因为它可以简化计算和推导。
1.2 区间积分性质单位冲激函数在任意有限时间区间上的积分等于该时间区间内的长度。
即对于任意时刻t0和有限时间区间[a, b]，有∫[a,b] δ(t-t0) dt= b - a。
1.3 线性组合性质符合线性性质的信号对单位冲激函数的线性组合仍然是一个有效的线性信号。
这个性质对于系统建模和分析非常重要。
2. 例题分析接下来，我们将通过几个具体的例题来演示如何应用单位冲激函数进行信号与系统的分析。
2.1 离散时间系统考虑一个离散时间系统，其输入信号x[n]和输出信号y[n]之间的关系满足差分方程y[n] = x[n] + 2x[n-1]。
为了进行系统分析，我们可以将该差分方程转化为差分方程的单位冲激响应表示。
我们将系统的输入信号设置为单位冲激函数，即x[n] = δ[n]，其中δ[n]代表离散时间单位冲激函数。
代入差分方程得到y[n] = δ[n] +2δ[n-1]。
通过这个输出信号，我们可以看出系统对单位冲激信号的响应。
进一步，我们可以通过计算差分方程的响应来得到系统的单位冲激响应h[n]。
在这个例子中，单位冲激响应是由δ[n]和2δ[n-1]线性叠加而成的。
![[信号与系统作业解答]第二章](https://uimg.taocdn.com/90bd92d5240c844769eaeeda.webp)
用冲激函数匹配法求冲激响应介绍冲激函数匹配法是一种常用的信号处理方法，用于求解线性时不变系统的冲激响应。
在工程和科学领域中，我们经常需要了解系统对输入信号做出的响应，冲激函数匹配法能够帮助我们得到系统的冲激响应，从而更好地了解和分析系统的性质。
冲激函数匹配法原理冲激函数匹配法的基本思想是将输入信号表示为冲激函数的加权组合，然后通过匹配响应和冲激函数的加权组合来求解冲激响应。
具体而言，假设输入信号为x(t)，系统的冲激响应为h(t)，则冲激函数匹配法可以表示为以下公式：y(t) = ∫x(τ)h(t-τ)dτ其中，y(t)表示系统的输出信号。
步骤冲激函数匹配法的求解过程可以分为以下几个步骤：1. 确定输入信号首先，需要确定输入信号x(t)，即需要对系统进行测试，以获得其输入信号。
2. 生成冲激函数在得到输入信号后，需要生成冲激函数。
冲激函数可以是理论模型，也可以是实际测量得到的数据。
生成冲激函数的目的是为了将其与输入信号进行匹配，从而求解冲激响应。
3. 通过加权组合匹配冲激函数在求解冲激响应的过程中，需要对输入信号和冲激函数进行加权组合。
这一步骤的目的是将输入信号表示为冲激函数的组合，从而与冲激响应进行匹配。
4. 求解冲激响应通过对加权组合进行求解，可以得到系统的冲激响应。
冲激响应反映了系统对输入信号的响应情况。
示例下面以一个简单的例子来说明冲激函数匹配法的具体应用过程。
假设有一个线性时不变系统，输入信号为x(t) = sin(t)，我们希望求解系统的冲激响应。
1.确定输入信号：输入信号为x(t) = sin(t)。
2.生成冲激函数：假设系统的冲激函数为δ(t)，则冲激函数的生成可以通过理论模型或实际测量获得。
3.加权组合匹配冲激函数：将输入信号x(t)与冲激函数δ(t)进行加权组合，即求解卷积积分。
y(t) = ∫sin(τ)δ(t-τ)dτ4.求解冲激响应：对加权组合进行求解，得到系统的冲激响应h(t)。
第二章 连续时间系统的时域分析经典法：双零法卷积积分法：求零状态响应求解系统响应→定初始条件满足换路定则起始点有跳变：求跳变量零输入响应：用经典法求解零状态响应：卷积积分法求解()()()()⎩⎨⎧==-+-+0000L L c c i i u u例题•例题1：连续时间系统求解（经典法，双零法） •例题2：求冲激响应（n >m ） •例题3：求冲激响应（n ＜m ） •例题4：求系统的零状态响应 •例题5：卷积 •例题6：系统互联例2-1分析在求解系统的完全响应时，要用到有关的三个量是： ：起始状态，它决定零输入响应；()()()()()()()()()强迫响应。
状态响应，自由响应，并指出零输入响应，零，求系统的全响应，已知 系统的微分方程为描述某t u t e r r t e t t e t r t t r t t r =='=+=++--,00,206d d 22d d 3d d LTI 22()-0)(k r ⎩⎨⎧状态变量描述法输出描述法—输入建立系统的数学模型：跳变量，它决定零状态响应； ：初始条件，它决定完全响应；这三个量之间的关系是 分别利用 求零状态响应和完全响应，需先确定微分方程的特解。
解：方法一：利用 先来求完全响应，再求零输入响应，零状态响应等于完全响应减去零输入响应。
方法二：用方法一求零输入响应后，利用跳变量 来求零状态响应，零状态响应加上零输入响应等于完全响应。
本题也可以用卷积积分求系统的零状态响应。
方法一1. 完全响应 该完全响应是方程 （1）方程（1）的特征方程为 特征根为 方程（1）的齐次解为因为方程（1）在t >0时，可写为 （2）显然，方程（1）的特解可设为常数D ，把D 代入方程（2）求得 所以方程（1）的解为下面由冲激函数匹配法定初始条件 由冲激函数匹配法定初始条件 据方程（1）可设代入方程（1），得匹配方程两端的 ，及其各阶导数项，得 所以，所以系统的完全响应为()+0)(k zsr ()+0)(k r ()()()+-+=-000)()()(k zs k k r r r ()()++00)()(k k zs r r ，()()代入原方程有将t u t e =()()()()()t u t t r t t r t t r 622d d 3d d 22+=++δ()()++'0,0r r ()()++''0,0zs zs r r ()()()()()t u t t r t t r t t r 622d d 3d d 22+=++δ()()的解且满足00,20='=--r r 0232=++αα2121-=-=αα，()t t e A e A t r 221--+=()()()()t u t r t t r tt r 62d d 3d d 22=++3=D ()3221++=--tt e A e A t r ()()()t u b t a t t r ∆+=δ22d d ()()t u a t t r ∆=d d ()无跳变t r ()()()()()()t u t t r t u a t u b t a 6223+=+∆+∆+δδ2=a ()t δ()()22000=+=+'='-+a r r ()()200==-+r r ()()代入把20,20=='++r r ()3221++=--t t e A e A t r 1,021-==A A 得()0 32≥+-=-t e t r t ()t r zi 再求零输入响应2.求零输入响应 （3）（3）式的特征根为 方程（3）的齐次解即系统的零输入响应为所以，系统的零输入响应为 下面求零状态响应零状态响应=完全响应—零输入响应，即 因为特解为3，所以强迫响应是3，自由响应是方法二（5）以上分析可用下面的数学过程描述 代入（5）式 根据在t =0时刻，微分方程两端的 及其各阶导数应该平衡相等，得 于是t >0时，方程为 齐次解为 ，特解为3，于是有所以，系统的零状态响应为方法一求出系统的零输入响应为()是方程响应因为激励为零，零输入t r zi ()()()02d 3d d 22=++t r dt t r t t r ()()()()()()的解．，且满足 0000 2000='='='===--+--+r r r r r r zi zi zi zi 2121-=-=αα，()t t zi e B e B t r 221--+=()()式解得，代入，由)4(0020='=++zi zi r r 2,421-==B B ()0 242≥-=--t e e t r t t zi ()0 342≥++-=--t e e t r t t zs t t e e 24--+-()是方程零状态响应t r zs ()()()()()t u t t r t t r t t r 622d d 3d d 22+=++δ()()的解且满足000='=--zs zs r r ()项由于上式等号右边有t δ()应含有冲激函数，，故t r zs "()将发生跳变，即从而t r zs '()()-+'≠'00zs zs r r ()处是连续的．在而0=t t r zs ()()()()()t u a t r t t u b t a t r tzs zs∆=+∆+=+d d ,d d 22δ()()()()()()t u t t r t u a t u b t a 6223+=+∆+∆+δδ()t δ2=a ()()()()002000===+'='-+-+zs zs zs zs r r a r r ()()()()t u t r t t r t t r 62d d 3d d 22=++ 221t t e D e D --+()3221++=--t t zi e D e D t r ()()得由初始条件0,200=='++zs zs r r 1,421=-=D D ()0) ( 342≥++-=--t e e t r t t zs ()0 242≥-=--t e e t r t t zi完全响应=零状态响应+零输入响应，即例2-2冲激响应是系统对单位冲激信号激励时的零状态响应。
经典例题1教材第65页例题2-9的姐妹题： 设描述系统的微分方程式为)(2)()()(3)(4)(2222t e dt t de dt t e d t r dt t dr dt t r d ++=++，试求其冲激响应。
用第三版教材65页的解法，不能解答此题解：（一）0-至0+期间系统的微分方程是：)(2)()()(3)(4)(2222t dt t d dtt d t r dt t dr dt t r d δδδ++=++ …………………（1） 根据方程两边奇异信号平衡的原则，可以假设：22()d r t dt =)()()()(22t u d t c dt t d b dtt d a ∆+++δδδ ()dr t dt =)()()(t u c t b dtt d a ∆++δδ )()()(t u b t a t r ∆+=δ (2)将上述3式代入（1）式，可得32,11,3,1-==-==d c b a系统的初始状态为零，也就是'(0)0,(0)0r r --==，所以3)0(-=+r ，11)0('=+r（二）0+时刻以后系统处于零输入状态，系统的微分方程是：22()()43()0d r t dr t r t dt dt++= 设系统的齐次解（特解为零）为：3()()()t t r t Ae u t Be u t --=+则： 3-=+B A , 113=--B A ，从而可以知道4-=A ， 1=B )()(4)(3t u e t u e t r t t --+-=（三）在考虑2式可以知道系统的冲激响应包含奇异函数，所以系统的冲激响应为：)()()(4)(3t t u e t u e t r t t δ++-=--经典例题2 给定系统的微分方程)(3)()()(2)(3)(2222t e t e dt d t e dtd t r t r dt d t r dt d ++=++ ，若激励信号为)()(t u te =, 起始状态为2)0(,1)0(='=--r r ，在初始状态不为零、输入为阶跃信号的情况下，求系统的响应)(t r解：（一）将)()(t u t e =代入方程式,求得t=0-到0+期间系统的微分方程为 )(3)()()(2)(3)('22t u t t t r t r dt d t r dtd ∆++=++δδ （1） )(t u ∆为0-到+0相对单位跳变函数，方程(2)右端自由项中含有δ(t),故从-0到+0状态发生跳变。
经典例题1
教材第65页例题2-9的姐妹题： 设描述系统的微分方程式为)(2)()()(3)(4)(2
222t e dt t de dt t e d t r dt t dr dt t r d ++=++，试求其冲激响应。
用第三版教材65页的解法，不能解答此题
解：
（一）0-至0+期间系统的微分方程是：
)(2)()()(3)(4)(2222t dt t d dt
t d t r dt t dr dt t r d δδδ++=++ …………………（1） 根据方程两边奇异信号平衡的原则，可以假设：
22()d r t dt =)()()()(22t u d t c dt t d b dt
t d a ∆+++δδδ ()dr t dt =)()()(t u c t b dt
t d a ∆++δδ )()()(t u b t a t r ∆+=δ (2)
将上述3式代入（1）式，可得32,11,3,1-==-==d c b a
系统的初始状态为零，也就是'(0)0,(0)0r r --==，所以
3)0(-=+r ，11)0('=+r
（二）0+时刻以后系统处于零输入状态，系统的微分方程是：
22()()43()0d r t dr t r t dt dt
++= 设系统的齐次解（特解为零）为：3()()()t t r t Ae u t Be u t --=+
则： 3-=+B A , 113=--B A ，从而可以知道4-=A ， 1=B )()(4)(3t u e t u e t r t t --+-=
（三）在考虑2式可以知道系统的冲激响应包含奇异函数，所以系统的冲激响应为：)()()(4)(3t t u e t u e t r t t δ++-=--
经典例题2 给定系统的微分方程)(3)()()(2)(3)(2222t e t e dt d t e dt
d t r t r dt d t r dt d ++=++ ，若激励信号为)()(t u t
e =, 起始状态为2)0(,1)0(='=--r r ，在初始状态不为零、输入为阶跃信号的情况下，求系统的响应)(t r
解：（一）将)()(t u t e =代入方程式,求得t=0-到0+期间系统的微分方程为 )(3)()()(2)(3)('22t u t t t r t r dt d t r dt
d ∆++=++δδ （1） )(t u ∆为0-到+0相对单位跳变函数，方程(2)右端自由项中含有δ(t),故从-0到+0状态发生跳变。
方程(1)右端的冲激函数项最高阶次是)('t δ,因而可以设
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧∆=∆+=∆++=)()()()()()()()()('22
t u a t r t u b t a t r dt d t u c t b t a t r dt d δδδ (0-<t<0+) （2） 代入式(1)得：
)(3)()()(2)(3)(3)()()(''t u t t t u a t u b t a t u c t b t a ∆++=∆+∆++∆++δδδδδ 可以得到： ⎩⎨⎧=+=131a b a
⎩⎨⎧-==2
1b a 因而有 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--+-+2)0()0(1)0()0(r dt d r dt
d r r +0状态为
⎪⎩
⎪⎨⎧=+-==+=-+-+0)0(2)0(21)0()0(r dt d r dt d r r
（二）0+之后系统的微分方程为
)(3)(2)(3)(22t u t r t r dt d t r dt
d =++ )(2
3)()()(2t u t u Be t u Ae t r t t ++=-- （三）考虑（2）式中没有冲激函数，也没有冲激函数的高阶导数，所以系统的完全响应是：
)(2
3)(21)()(2t u t u e t u e t r t t +-=--
经典例题3
设描述系统的微分方程式为)(2)()()(2)(3)(2222t e dt t de dt
t e d t r dt t dr dt t r d ++=++，试求其冲激响应。
用第三版教材65页的解法，不能解答此题
0-至0+时刻系统的微分方程是：
)(2)()()(2)(3)(2222t dt t d dt
t d t r dt t dr dt t r d δδδ++=++ …………………（1） 根据方程两边奇异信号平衡的原则，可以假设：
22()d r t dt =)()()()(2
2t u d t c dt t d b dt t d a ∆+++δδδ ()dr t dt =)()()(t u c t b dt
t d a ∆++δδ )()()(t u b t a t r ∆+=δ (2)
将上述3式代入（1）式，可得14,6,2,1-==-==d c b a
系统的初始状态为零，也就是'(0)0,(0)0r r --==，所以
2)0(-=+r ，6)0('=+r
0+时刻以后系统处于零输入状态，系统的微分方程是：
0)(2)(3)(22=++t r dt t dr dt
t r d 设系统的齐次解（特解为零）为： )()()(2t u Be t u Ae t r t t --+=
则： 2-=+B A , 62=--B A ，从而可以知道4-=A ， 2=B
在考虑2式可以知道系统的冲激响应包含奇异函数，所以系统的冲激响应为： )()(2)(4)(2t t u e t u e t r t t δ++-=--。
