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冲激函数的性质练习题
1. 冲激函数的定义是什么？它在什么情况下的值是非零的？
2. 冲激函数具有什么样的奇偶性？为什么？
3. 冲激函数在什么情况下是一个偶函数？为什么？
4. 冲激函数的积分是什么？它是什么意义？
5. 冲激函数的导数是什么？它在什么情况下存在？
6. 冲激函数与卷积运算有什么关系？
7. 冲激函数在信号处理中的作用是什么？举例说明。
8. 什么是单位冲激响应？它与系统的什么性质有关？
9. 怎样利用冲激函数求解微分方程？举例说明。
10. 冲激函数在频域中的表示是什么？它有什么应用？
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信号与系统单位冲激函数有关例题【信号与系统】单位冲激函数有关例题导读：本文将深入探讨信号与系统领域中与单位冲激函数有关的例题。
我们将简要介绍单位冲激函数的概念和特性，然后通过具体的例题来展示如何应用单位冲激函数进行信号分析和系统建模。
我们将回顾这些例题并总结一些实际应用中的思考点和技巧。
1. 单位冲激函数的定义和特性单位冲激函数（也称为Dirac函数）是信号与系统领域中的基础概念之一。
它在数学上被定义为一个面积为1，宽度趋近于无穷小的脉冲信号。
单位冲激函数可以用符号δ(t)表示，其中t为时间变量。
单位冲激函数具有以下重要特性：1.1 零相位特性单位冲激函数在时间域中的相位为零，这意味着它不会引起信号的时间延迟。
在系统分析中，这个特性非常有用，因为它可以简化计算和推导。
1.2 区间积分性质单位冲激函数在任意有限时间区间上的积分等于该时间区间内的长度。
即对于任意时刻t0和有限时间区间[a, b]，有∫[a,b] δ(t-t0) dt= b - a。
1.3 线性组合性质符合线性性质的信号对单位冲激函数的线性组合仍然是一个有效的线性信号。
这个性质对于系统建模和分析非常重要。
2. 例题分析接下来，我们将通过几个具体的例题来演示如何应用单位冲激函数进行信号与系统的分析。
2.1 离散时间系统考虑一个离散时间系统，其输入信号x[n]和输出信号y[n]之间的关系满足差分方程y[n] = x[n] + 2x[n-1]。
为了进行系统分析，我们可以将该差分方程转化为差分方程的单位冲激响应表示。
我们将系统的输入信号设置为单位冲激函数，即x[n] = δ[n]，其中δ[n]代表离散时间单位冲激函数。
代入差分方程得到y[n] = δ[n] +2δ[n-1]。
通过这个输出信号，我们可以看出系统对单位冲激信号的响应。
进一步，我们可以通过计算差分方程的响应来得到系统的单位冲激响应h[n]。
在这个例子中，单位冲激响应是由δ[n]和2δ[n-1]线性叠加而成的。
经典例题1
教材第65页例题2-9的姐妹题： 设描述系统的微分方程式为)(2)()()(3)(4)(2
222t e dt t de dt t e d t r dt t dr dt t r d ++=++，试求其冲激响应。
用第三版教材65页的解法，不能解答此题
解：
（一）0-至0+期间系统的微分方程是：
)(2)()()(3)(4)(2222t dt t d dt
t d t r dt t dr dt t r d δδδ++=++ …………………（1） 根据方程两边奇异信号平衡的原则，可以假设：
22()d r t dt =)()()()(22t u d t c dt t d b dt
t d a ∆+++δδδ ()dr t dt =)()()(t u c t b dt
t d a ∆++δδ )()()(t u b t a t r ∆+=δ (2)
将上述3式代入（1）式，可得32,11,3,1-==-==d c b a
系统的初始状态为零，也就是'(0)0,(0)0r r --==，所以
3)0(-=+r ，11)0('=+r
（二）0+时刻以后系统处于零输入状态，系统的微分方程是：
22()()43()0d r t dr t r t dt dt
++= 设系统的齐次解（特解为零）为：3()()()t t r t Ae u t Be u t --=+
则： 3-=+B A , 113=--B A ，从而可以知道4-=A ， 1=B )()(4)(3t u e t u e t r t t --+-=
（三）在考虑2式可以知道系统的冲激响应包含奇异函数，所以系统的冲激响应为：)()()(4)(3t t u e t u e t r t t δ++-=--
经典例题2 给定系统的微分方程)(3)()()(2)(3)(2222t e t e dt d t e dt
d t r t r dt d t r dt d ++=++ ，若激励信号为)()(t u t
e =, 起始状态为2)0(,1)0(='=--r r ，在初始状态不为零、输入为阶跃信号的情况下，求系统的响应)(t r
解：（一）将)()(t u t e =代入方程式,求得t=0-到0+期间系统的微分方程为 )(3)()()(2)(3)('22t u t t t r t r dt d t r dt
d ∆++=++δδ （1） )(t u ∆为0-到+0相对单位跳变函数，方程(2)右端自由项中含有δ(t),故从-0到+0状态发生跳变。
方程(1)右端的冲激函数项最高阶次是)('t δ,因而可以设
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧∆=∆+=∆++=)()()()()()()()()('22
t u a t r t u b t a t r dt d t u c t b t a t r dt d δδδ (0-<t<0+) （2） 代入式(1)得：
)(3)()()(2)(3)(3)()()(''t u t t t u a t u b t a t u c t b t a ∆++=∆+∆++∆++δδδδδ 可以得到： ⎩⎨⎧=+=131a b a
⎩⎨⎧-==2
1b a 因而有 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--+-+2)0()0(1)0()0(r dt d r dt
d r r +0状态为
⎪⎩
⎪⎨⎧=+-==+=-+-+0)0(2)0(21)0()0(r dt d r dt d r r
（二）0+之后系统的微分方程为
)(3)(2)(3)(22t u t r t r dt d t r dt
d =++ )(2
3)()()(2t u t u Be t u Ae t r t t ++=-- （三）考虑（2）式中没有冲激函数，也没有冲激函数的高阶导数，所以系统的完全响应是：
)(2
3)(21)()(2t u t u e t u e t r t t +-=--
经典例题3
设描述系统的微分方程式为)(2)()()(2)(3)(2222t e dt t de dt
t e d t r dt t dr dt t r d ++=++，试求其冲激响应。
用第三版教材65页的解法，不能解答此题
0-至0+时刻系统的微分方程是：
)(2)()()(2)(3)(2222t dt t d dt
t d t r dt t dr dt t r d δδδ++=++ …………………（1） 根据方程两边奇异信号平衡的原则，可以假设：
22()d r t dt =)()()()(2
2t u d t c dt t d b dt t d a ∆+++δδδ ()dr t dt =)()()(t u c t b dt
t d a ∆++δδ )()()(t u b t a t r ∆+=δ (2)
将上述3式代入（1）式，可得14,6,2,1-==-==d c b a
系统的初始状态为零，也就是'(0)0,(0)0r r --==，所以
2)0(-=+r ，6)0('=+r
0+时刻以后系统处于零输入状态，系统的微分方程是：
0)(2)(3)(22=++t r dt t dr dt
t r d 设系统的齐次解（特解为零）为： )()()(2t u Be t u Ae t r t t --+=
则： 2-=+B A , 62=--B A ，从而可以知道4-=A ， 2=B
在考虑2式可以知道系统的冲激响应包含奇异函数，所以系统的冲激响应为： )()(2)(4)(2t t u e t u e t r t t δ++-=--。
