专题讲座奇异函数匹配法和课后习题重点难点讲解

f(x)＝－f(－x)． (2)可用定义法，也可以用特殊值代入，如 f(1)＝f(－1)， 再验证． (3)可考虑 f(x)在[－2,2]上的单调性．
解 (1)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数， ∴f(0)＝0，当 x<0 时，－x>0， 由已知 f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝－f(x)． ∴f(x)＝－x2－x＋1.
所以 f(x)在(0，＋∞)内单调递增．
故|lg x|>1，即 lg x>1 或 lg x<－1，
解得
x>10
或
1 0<x<10.
点评 解决本题的关键在于利用函数的奇偶性把不等
式两边的函数值转化到同一个单调区间上，然后利用函
数的单调性脱掉符号“f”．
题型三 函数的奇偶性与周期性 例 3 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，
域是否关于原点对称．若对称，再验证 f(－x)＝±f(x)或
其等价形式 f(－x)±f(x)＝0 是否成立．
解 (1)由x32－－x32≥≥0
，得 x＝±3.∴f(x)的定义域为{－3,3}．
又 f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.即 f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
基础自测
1．下列函数中，所有奇函数的序号是__②__③____．
①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x； ③f(x)＝x2＋x 1；④f(x)＝x3＋1. 解析 由奇偶函数的定义知：①为偶函数；②③为奇函
数；④既不是偶函数，也不是奇函数． 2．若函数 f(x)＝2x＋2 1＋m 为奇函数，则实数 m＝_－__1__.
f (x) 0x2 x 1

必修1第一章§1.3.2《函数的奇偶性》第一课时---课例点评一、总体评价：本节课是高中数学必修一第一章《函数的奇偶性》的第一课时，主要内容是奇、偶函数的引出、奇偶性定义的理解，奇、偶函数图像特征、判断函数奇偶性的步骤与方法。

本节课罗轶老师能够以新课程理念为指导，以“问题串”为导向来设计本节课的教学情境，不断地向学生提供参与数学活动的机会，教师并加以适当引导，帮助学生在自主探究与合作交流过程中真正理解和掌握本节内容，较好地体现了“以学生为主体，教师为主导”的教学理念，切实做到了“学生真正成为学习的主人，教师成为组织者、引导者、参与者”，取得了良好的教学效果。

二、本节课有以下突出的五个优点：1、在新课引入中，该老师非常注意问题情境的创设，他通过播放舞台灯光的视频及现实生活中的对称图形，展示对称美，渗透美学教育，有利于让学生进一步感受生活来源于数学，数学服务于生活。

并以此为载体，提出与本节课相关的数学问题，这样设计可以极大地激发学生的学习兴趣。

2、本节课该老师重视学生的思维活动和自主探究，舍得给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台。

如：在引出奇函数的定义过程中，给学生提供了口头表达、合作交流的机会；在判断函数奇偶性时，让学生上台展示……。

可以说本节课给了学生参与课堂活动的许多机会，展示自我的平台，教师并适当地加以鼓励与引导，生生互动，师生互动的较好。

3、在知识的生成上，本节课该老师运用了特殊到一般的方法引导学生进行偶函数定义的探究，用类比的方法得到奇函数的定义。

每个问题的设置层层递进，由浅入深，符合学生的认知规律。

同时，本节课注意到数学思想方法的渗透,如：特殊与一般的思想，分类讨论思想，数形结合的思想以及类比的方法在本节课中得到了体现。

这些都有利于提升学生的数学素养，为学生的发展奠定良好的基础，而且学法指导也能够落到实处。

4、本节课该老师注意合理使用多媒体辅助教学，如1：通过幻灯片展示所探究的问题，通过幻灯片展示出判断函数奇偶性的一般步骤，培养学生严严谨的思维能力，较好地突破了本课教学中的难点。

重难点第10讲函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型【命题趋势】函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。

第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、单调性定义的等价形式:1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<-x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>--x f x f x x ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>-x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<--x f x f x x ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()1()f x f x -=±是否成立.3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a -=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a -=-（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x xx a a a f x a a a ----==++（00a a >≠且）为奇函数；4、()log a b xf x b x-=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log af x x =（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b =++-为偶函数；7、()f x ax b ax b =+--为奇函数；四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ；（2）若()()+=-f x a f x a ，则2=T a ；（3）若()()+=-f x a f x ，则2=T a ；（4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ；（5）若()()1+=-f x a f x ，则2=T a ；（6）若()()+=+f x a f x b ，则=-T a b （≠a b ）；2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=-f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（2）若()()2=-f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（3）若()()+=-f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称；（4）若()()22-=-f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称；3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=-f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=-f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；（2）若函数()f x 满足()()22-=-f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ,0=b 时可以得出()()-=-f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2-b a ；（2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2-b a ；（3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4-b a .5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a .（2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a .（3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a .（4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。

高中数学教案《函数的奇偶性》一、教学目标：1. 知识与技能：理解函数奇偶性的概念，能够判断函数的奇偶性；学会运用函数的奇偶性解决一些简单问题。

2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，探索函数奇偶性的性质及其判断方法。

3. 情感态度价值观：培养学生的逻辑思维能力，提高学生对数学的兴趣。

二、教学内容：1. 函数奇偶性的定义2. 函数奇偶性的判断方法3. 函数奇偶性的性质三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数奇偶性的定义及其判断方法。

2. 教学难点：函数奇偶性的性质及其应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数奇偶性的性质；2. 通过实例分析，让学生掌握函数奇偶性的判断方法；3. 利用小组讨论，培养学生的合作能力。

五、教学过程：1. 导入：回顾上一节课的内容，引导学生思考函数的奇偶性与什么有关。

2. 新课讲解：（1）介绍函数奇偶性的定义；（2）讲解函数奇偶性的判断方法；（3）分析函数奇偶性的性质。

3. 例题解析：选取典型例题，分析解题思路，引导学生运用函数奇偶性解决问题。

4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。

5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。

6. 课后作业：布置适量作业，巩固所学知识。

注意：在教学过程中，要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够掌握函数奇偶性的相关知识。

六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数奇偶性的理解程度，及时发现并解决学生学习中存在的问题。

2. 练习题解答：检查学生完成练习题的情况，评估学生对函数奇偶性知识的掌握情况。

3. 课后作业：批改课后作业，了解学生对课堂所学知识的巩固程度。

七、教学反思：1. 反思教学内容：检查教学内容是否全面、深入，是否适合学生的认知水平。

2. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。

3. 反思教学效果：总结本节课的教学成果，找出不足之处，为下一节课的教学做好准备。

奇异函数平衡原理奇异函数平衡原理是指在奇异函数的研究中，通过对奇异点的平衡处理，可以得到奇异函数的解析解。

奇异函数是指在某些点上不满足解析性质的函数，例如在某些点上不可导或者不连续。

在实际问题中，奇异函数的研究具有重要的意义，因为很多现实问题都可以用奇异函数来描述。

在奇异函数的研究中，平衡原理是一种重要的方法，它可以帮助我们求解奇异函数的性质和解析解。

奇异函数平衡原理的基本思想是，在奇异点附近，通过引入新的变量转化为常函数，从而使得原方程在奇异点附近变得简单。

通过这种方法，可以将奇异函数转化为解析函数，从而得到奇异函数的解析解。

奇异函数平衡原理的具体步骤如下：首先，找到奇异点的位置，确定奇异点的类型。

奇异点可以分为可去奇异点、极点和本性奇异点。

不同类型的奇异点需要采取不同的平衡处理方法。

其次，引入新的变量进行平衡处理。

通过引入新的变量，可以将原方程在奇异点附近转化为常函数，从而得到简化的方程。

然后，对新的方程进行求解。

通过对新的方程进行求解，可以得到奇异函数的解析解。

最后，将得到的解析解转化回原变量。

通过将得到的解析解转化回原变量，可以得到奇异函数的解析解。

奇异函数平衡原理的应用非常广泛，它在物理、工程、经济等领域都有重要的应用。

例如，在量子力学中，奇异函数平衡原理被用来求解薛定谔方程；在电路分析中，奇异函数平衡原理被用来求解奇异电路。

奇异函数平衡原理不仅可以帮助我们求解奇异函数的解析解，还可以帮助我们深入理解奇异函数的性质和行为。

总之，奇异函数平衡原理是奇异函数研究中的重要方法，它通过对奇异点的平衡处理，可以帮助我们求解奇异函数的解析解。

奇异函数平衡原理具有重要的理论意义和实际应用价值，它在科学研究和工程技术中都具有重要的地位。

通过深入学习和理解奇异函数平衡原理，可以更好地应用它来解决实际问题，推动科学技术的发展。

专题讲座和课后习题重点难点讲解)()()()()()()()(1111011110t e E t e dt d E t e dt d E t e dt d E t r C t r dtd C t r dt d C t r dt d C m m m m m m n n n n n n ++++=++++------ （1）式 系统用这个n 阶的线性时不变微分方程表示。

（一） 从-0到+0状态的转换有两条规律：（1）当电路中无冲激电流(或阶跃电压)作用于电容时，则换路前后电容两端的电压不会发生突变，)0(+C v = )0(-C v ；当电路中无冲激电压 (或阶跃电流)作用于电感时，则换路前后电感中电流不会发生突变， )0(+L i = )0(-L i（2）“标准”的微分方程右端自由项中包含δ(t)及其各阶导数，则-0到+0状态发生了跳变，即.等等)0()0(或)0()0(-+-+'≠'≠r r r r ，否则不会跳变。

在结合书中例题分析后，再请同学回答习题2-5，是否有跳变。

（二） 冲激函数匹配法求+0状态着重讲解习题2-5（3）小题后，让学生自己做习题2-5（1）和（2）习题2-5（3）：222()3()4()()d d d rt rt rt e t d t d t d t ++= ，若激励信号为)()(t u t e =, 起始状态为(0)1,(0)1r r --'==，求(0)(0)r r ++'和冲激函数匹配法求解系统的+0状态一般方法是：将激励信号()e t 代入系统的微分方程（1）式并整理后，得到-0到+0期间的微分方程为1011110111()()()()()()()()()n n n n n n l l l l l l d d d C r t C r t C r t C r t dt dt dt d d d B t B t B t B t D u t dt dt dtδδδδ------++++=+++++∆ ， (-0<t<+0) 可以设()(1)1101(1)(2)1101()()()()()()()()()()()()nl l l l n n l l l l n d r t a t a t a t a t b u t dt d r t a t a t a t a u t dtr t δδδδδδδ-------⎧'=+++++∆⎪⎪⎪=++++∆⎨⎪⎪⎪=⎩代入t=0时微分方程,求出0a 、1a 、2a …l a 、b则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=--+------++)0()0()0()0()0()0(01111r r a r dt d r dtd b r dt d r dtd n n n n n nn n +0状态为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=-+------++)0()0()0()0()0()0(11011r r r dt d a r dtd r dt d b r dtd n n n n n nn n 1、给定系统的微分方程为)(3)()(2)(3)(22t e t e dtd t r t r dt d t r dt d +=++ ， 若激励信号为)()(t u te =，起始状态为2)0(,1)0(='=--r r ，求系统的完全响应)(t r ，并指出其零输入响应、零状态响应、瞬态响应、稳态响应、自由响应和强迫响应各分量。

高一数学《函数及其表示》知识讲解高一数学《函数及其表示》知识讲解《函数及其表示》是高一数学的一个知识点，下面小编为大家介绍高一数学《函数及其表示》知识讲解，希望能帮到大家！考点一映射的概念1．了解对应大千世界的对应共分四类，分别是：一对一多对一一对多多对多2．映射：设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都存在唯一的一个元素y 与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射(mapping).映射是特殊的对应，简称“对一”的对应。

包括：一对一多对一考点二函数的概念1．函数：设A和B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个函数。

记作y=f(x),xA.其中x叫自变量，x的.取值范围A叫函数的定义域；与x的值相对应的y的值函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

函数是特殊的映射，是非空数集A到非空数集B的映射。

2．函数的三要素：定义域、值域、对应关系。

这是判断两个函数是否为同一函数的依据。

3．区间的概念：设a,bR,且a<b.我们规定：①(a,b)={xa<x<b}②[a,b]={xa≤x≤b}③[a,b)={xa≤x<b}④(a,b]= {xa<x≤b}⑤(a,+∞)={xx>a}⑥[a,+∞)={xx≥a}⑦(-∞,b)={xx<b}⑧(-∞,b]={xx≤b}⑨(-∞,+∞)=R考点三函数的表示方法1．函数的三种表示方法列表法图象法解析法2．分段函数：定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。

注意两点：①分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数。

②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

能力知识清单考点一求定义域的几种情况①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f(x)是对数函数，真数应大于零。

②若已知函数 f(g(x))的定义域为［a,b］，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈［a,b］时的值域.
提醒：定义域必须写成集合或区间的形式.
〖例 2〗设函数
f (x)
=
x2
− 4x + 6, x
0 则不等式
f (x)
f (1) 的解集是（
A
）
x + 6, x 0
. (−3,1) (3,+)
y
=
3x +1 x−2
的反函数为
y
=
2x +1 x−3
，其定义域为{x
R
|
x
3} ，
∴原函数
y
=
3x +1 x−2
的值域为 { y
R
|
y
3}
y = 3x +1 = 3(x − 2) + 7 = 3 + 7
（法二）分离变量法： x − 2
x−2
x−2 ，
7 0
3+ 7 3
∵ x − 2 ，∴ x − 2 ，
4、例题解析
lg (x2 − 2x)
〖例 1〗(2012·大连模拟)求函数 f (x) =
的定义域;
9 − x2
(2)已知函数 f(2x)的定义域是［-1,1］，求 f(x)的定义域；
(3)求下列函数的值域.
①y=x2+2x,x∈［0,3］,
②y=log3x+logx3-1,
③ y = 2x2 −1y = 3x2 − x + 2 ， x [1,3] 的值域 解：（利用函数的单调性）函数 y = 3x2 − x + 2 在 x [1, 3] 上单调增

t
O
t
求 导
R(t) ↓ ↑ 积 u(t) ↓ ↑ 分 (t)
(-<t< )
X
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f ( t ) ( t ) f (0) ( t )
（5）冲激偶 ( t ) ( t )



f (t ) (t ) d t f (0)




X
2．正弦信号
f (t ) K sin( t )
f t K
2π
T

振幅：K 2π 1 周期：T f 频率：f 角频率： 2 π f 初相：
O

2π

t
衰减正弦信号：
K e t sint f (t ) 0 t0 0 t0
波形
X
1．指数信号
f (t ) A e t
l
l l
0 直流(常数), 0 指数衰减, 0 指数增长
t0
0
K
f t
0 0
t
单边指数信号 0 f t t e
1
O
f t 1
t0
O t
通常把 称为指数信号的时间常数，记作,代表信 号衰减速度，具有时间的量纲。 重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。
定义1
1
p(t )
1 p( t ) u t u t 2 2

0


2
O

2
t
面积1； 脉宽↓； 脉冲高度↑；
则窄脉冲集中于 t=0 处。
★面积为1

专题02 函数问题的解题规律一、函数问题的解题规律解题技巧及注意事项1.定义域陷阱2.抽象函数的隐含条件陷阱3.定义域和值域为全体实数陷阱4.还原后新参数范围陷阱5.参数范围漏解陷阱6.函数求和中的倒序求和问题7.分段函数问题8.函数的解析式求法9.恒成立问题求参数范围问题10.任意存在问题二．知识点【学习目标】1．了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式；2．在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数；3．了解简单的分段函数，并能简单应用；4．掌握求函数定义域及解析式的基本方法．【知识要点】1．函数的概念设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然{f(x)|x∈A}⊆B.2．映射的概念设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A 到集合B的映射．3．函数的特点①函数是一种特殊的映射，它是由一个集合到另一个集合的映射；②函数包括定义域A、值域B和对应法则f，简称函数的三要素；③关键是对应法则．4．函数的表示法函数的表示法：图示法、解析法．5．判断两个函数为同一个函数的方法两个函数的定义域和对应法则完全相同(当值域未指明时)，则这两个函数相等．6．分段函数若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子表示函数，这种形式的函数叫分段函数．注意：不要把分段函数误认为是多个函数，它是一个整体，分段处理后，最后写成一个函数表达式．三．典例分析及变式训练（一）定义域陷阱例1. 【曲靖一中2019模拟】已知，若函数在（﹣3，﹣2）上为减函数，且函数=在上有最大值，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由在上为减函数，可得；由在上有最大值，可得，综上可得结果,.【解析】在上为减函数，，且在上恒成立，，，又在上有最大值，且在上单调递增，在上单调递减，且，，解得，综上所述，，故选A.【点评】本题主要考查对数函数的单调性、复合函数的单调性、分段函数的单调性，以及利用单调性求函数最值，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题. 判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.故答案为：D.练习2．已知函数则__________．【答案】1008【解析】分析：由关系，可类比等差数列一次类推求值即可.详解：函数，则，故答案为：1008.点睛：可类比“等差数列”或函数周期性来处理.（七）分段函数问题例7．【河北省廊坊市2019届高三上学期第三次联考】若函数在上是单调函数，且存在负的零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】通过函数的单调性及存在负的零点，列出不等式，化简即可．【详解】当时，,所以函数在上只能是单调递增函数，又存在负的零点，而当时，f(0)=1+a，当时，f（0）=3a-2，0<3a-21+a，解得.故选B.【点评】本题考查分段函数的应用，考查分类讨论思想，转化思想以及计算能力．练习1.已知函数，则f（1）- f（9）=（）A．﹣1 B．﹣2 C． 6 D． 7【答案】A【解析】利用分段函数，分别求出和的值，然后作差得到结果.【详解】依题意得，，所以，故选.【点评】本小题主要考查利用分段函数求函数值，只需要将自变量代入对应的函数段，来求得相应的函数值.属于基础题.练习2．已知,那么等于( )A． 2 B． 3 C． 4 D． 5【答案】A【解析】将逐步化为,再利用分段函数第一段求解.【详解】由分段函数第二段解析式可知，，继而,由分段函数第一段解析式，，故选A.【点睛】本题考查分段函数求函数值，要确定好自变量的取值范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念.（八）函数的解析式求法例8. （1）已f ()=，求f(x)的解析式.（2）．已知y =f(x)是一次函数，且有f [f(x)]=9x＋8，求此一次函数的解析式【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用换元法即可求解；（2）已知函数是一次函数，可设函数解析式为f(x)=ax＋b，再利用待定系数法列出关于a、b的方程组即可求解出a、b的值.【详解】（1）设(x≠0且x≠1)（2）设f(x)=ax＋b，则f[f(x)]=af(x)＋b=a(ax＋b)＋b=a2x＋ab＋b=9x＋8或所以函数的解析式为.【点睛】本题考查函数解析式的求解，解题中应用了换元法和待定系数法，待定系数法的主要思想是构造方程（组），对运算能力要求相对较高，属于中档题.练习1.(1) 已知是一次函数,且满足求 ;(2) 判断函数的奇偶性.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）用待定系数法求一次函数解析式.（2）结合分段函数的性质，分别判断各定义域区间内， f（-x）与f（x）的关系，即可判断函数奇偶性.【点评】本题考查了待定系数法求一次函数，考查了函数的奇偶性的判断，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.再结合分段函数的分段区间，以及对应的解析式，判断关系式f（-x）=f(x)或f（-x）=-f（x）是否成立.练习2．已知函数对一切实数x，y都有f（x+y)﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）已知a，b∈R，当时，求不等式f（x）+3＜2x+a恒成立的a的集合A．【答案】（1）f（0）=﹣2（2）f（x）=x2+x﹣2（3）【解析】（1）令，可得，再根据可得；（2）在条件中的等式中，令，可得，再根据可得所求的解析式；（3）由条件可得当时不等式x2﹣x+1＜a恒成立，根据二次函数的知识求出函数上的值域即可得到的范围．【详解】（1）根据题意，在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中，令x=﹣1，y=1，可得，又，∴．（2）在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中，令y=0，则f（x）﹣f（0）=x（x+1）又，∴．（3）不等式f（x）+3＜2x+a等价于x2+x﹣2+3＜2x+a，即x2﹣x+1＜a．由当时不等式f（x）+3＜2x+a恒成立，可得当时不等式x2﹣x+1＜a恒成立．设，则在上单调递减，∴，∴．∴．【点评】（1）解决抽象函数（解析式未知的函数）问题的原则有两个：一是合理运用赋值的方法；二是解题时要运用条件中所给的函数的性质．（2）解答恒成立问题时，一般采用分离参数的方法，将问题转化为求具体函数最值的方法求解，若函数的最值不存在，则可用函数值域的端点值来代替．练习3.如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）【答案】B【解析】当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，CD=x，则AD=2-x，∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2-x，∴EM=x-（2-x）=2x-2，∴S△ENM=（2x-2）2=2（x-1）2，∴y=x2-2（x-1）2=-x2+4x-2=-（x-2）2+2，∴y=．故选B．练习4.如图，李老师早晨出门锻炼，一段时间内沿⊙M的半圆形M→A→C→B→M路径匀速慢跑，那么李老师离出发点M的距离与时间x之间的函数关系的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，得从M到A距离在增加，由A经B到C与M的距离都是半径，由B到M距离逐渐减少，故选D.（九）恒成立问题求参数范围问题例9. 【湖北省武汉市第六中学2018-2019学年调研数学试题】若函数的定义域为，值域为，则的取值范围A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数的定义域、值域结合函数单调性求出的取值范围【详解】由函数的对称轴为且函数图像开口向上则函数在上单调递减，在上单调递增，当且仅当处取得最小值由值域可知，故在上函数单调递增，在处取得最大值故，解得综上所述，故选【点睛】本题在知道函数的定义域与值域后求参量的取值范围，在解答题目时结合函数的单调性判定取值域的情况。

高考一轮复习热点难点精讲精析：2.3函数的奇偶性与周期性一、函数的奇偶性注：1、奇偶函数的定义域的特点：由于定义中对任意一个x都有一个关于原点对称的-x在定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称；2、存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于零。

二、奇偶函数的性质1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（填“相同”、“相反”）。

2、在公共定义域内，亦即：（1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；（2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；（3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。

注：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答题需先证明再利用。

3、若是奇函数f(x)且在x=0处有定义，则f(0)=0.4、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称，且这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；5、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；6、可逆性： )()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；7、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f8、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；9、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

三、周期性1、周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数，T 为这个函数的周期。

2、最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期。

较大小或解不等式时，还要利用函数的单
调性．
所以满足 xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是[1, 0] [1, 3] ，
故选：D．
三．理论基础·解题原理
考点一 函数的奇性的基本概念
1．如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f (x) f (x) ，那么，函数 f(x)是函数，函数的图 象关于 y 轴对称．
度较小，往往借助函数的奇性、单调性、
f (0) 0 ，
周期性等解题，常考查求值、比较大小、
所以当 x (, 2) (0, 2) 时， f (x) 0 ，当 x (2, 0) (2, ) 时， f (x) 0 ，
解不等式等． 【学科素养】数学运算
所以由 xf (x 1) 0 可得：
【难点中心】本题是考查利用函数周期性
( 1 , 1) 单调递减 22
C．是偶函数，且在 (, 1) 单调递增 2
(, 1) 单调递减 2
B．是奇函数，且在 D．是奇函数，且在
【答案】D
【温馨提醒】判断奇 偶性的方法是在定 义域关于原点对称 的前提下，根据
f x与 f x的
关系得到结论；判断 单调性的关键是能 够根据自变量的范 围化简函数，根据单
（2）奇函数图象关于原点对称，奇函数 f (x) 若在 x 0 处有意义，则 f (0) 0 ；奇函数在关于原点
对称的两个单调区间上单调性相同，奇函数在关于原点对称的两个单调区间上若取得最大值和最小值，则 其和为零；
（3）函数图象关于 y 轴对称，函数在关于原点对称的两个单调区间上单调性相反．
四．题型攻略·深度挖掘
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对于 B， f (x) ex ex ，其定义域为 R ，有 f (x) ex ex f (x) ，是偶函数，

解析：
（1）由
x 1 1 x
0 0
知
x
1
∴函数的定义域为{1} ，不关于原点对称，
故 f (x) 既不是奇函数，也不是偶函数；
（2）由
x2 1 1 x2
0 0
得
x2
1，即
x
1
∴函数 f (x) 的定义域是{1,1} ，关于原点对称，
又 f (x) 0 ，∴ f (x) 既是奇函数又是偶函数；
解得 g(7) 22
∴ f (7) g(7) 5 22 5 27
答案 27
方向 2 利用奇偶性求参数值
例 3-2、若函数 f (x) (x 1)(x a) 为偶函数，
则 a ＝（ ）.
A. -2 B. -1
C. 1 D. 2
解析:
∵ f (x) 是偶函数，∴ f (x) f (x)
( x 2 x 2 )
f (x)
∴该函数为奇函数；
（4） f (x) 的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，
关于原点对称．
当 x 0 时， x 0 ，
f (x) 1 (x) 1 x f (x) ； 当 x 0 时， x 0 ，
f (x) 1 (x) 1 x f (x) ． 综上可知，对于 x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有 f (x) f (x) ，故该函数为偶函数．
解析：
当 x 0 时，则 x 0 ∴ f (x) (x)2 4(x) x2 4x
又∵ f (x) 是定义在 x 0 上的偶函数，
f (x)
偶
偶
奇
奇
g(x)
偶
奇
偶
奇
不能 不能
f (x) g(x) 偶

2.2.2 函数的奇偶性课标知识与能力目标1. 学会如何判断函数的奇偶性2. 运用函数的奇偶性解决问题知识点1：函数的奇偶性1.概念：(1)偶函数一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，如果对于任意的x ∈A ，都有f (－x )＝f (x )，那么称函数y ＝f (x )是偶函数．(2)奇函数一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，如果对于任意的x ∈A ，都有f (－x )＝－f (x )，那么称函数y ＝f (x )是奇函数．(3)奇、偶函数的图象性质偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称.2.判断函数奇偶性的步骤：考点1：函数的奇偶性的判定例1 判断函数奇偶性：（1）()x x x f -+-=22；（2）()1122-+-=x x x f ；（3）()()R a a x a x x f ∈--+=（4）()2212-+-=x x x f （5）()()()0022<≥⎩⎨⎧++-=x x xx x x x f 考点2：奇偶函数的图象及应用例1 已知函数f (x )＝1x 2＋1在区间[0，＋∞)上的图象如图2－2－4所示，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图象，请说明你的作图依据．图2－2－4例2 设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图2－2－5所示，则不等式f (x )<0的解集是________．图2－2－5考点3：利用函数的奇偶性求解析式例1 已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，求f (x )的解析式．考点4：函数的奇偶性的应用例1 已知f (x )是R 上的偶函数，在区间(0，＋∞)上是增函数，若有f (－2a ＋3)>f (2a －1)成立，求实数a 的取值范围．例2 已知()qx px x f ++=322是奇函数，且()352=f 。

专题03函数的概念与性质（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1函数的有关概念1、函数的概念：一般地，设,A B 是非空的数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的y 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈.2、函数的三要素：（1）在函数(),y f x x A =∈中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；（2）与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域。

显然，值域是集合B 的子集．（3）函数的对应关系：(),y f x x A =∈.3、相等函数与分段函数（1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．（2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量x 取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。

分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。

知识点2函数的单调性1、单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递增函数。

当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递减函数。

单调性的图形趋势（从左往右）上升趋势下降趋势2、函数的单调区间若函数y ＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f(x)的单调区间．【注意】（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．（2）单调区间D ⊆定义域I .（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；3、函数单调性的性质若函数)(x f 与)(x g 在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质：（1）)(x f 与C x f +)(（C 为常数）具有相同的单调性.（2）)(x f 与)(x f -的单调性相反.（3）当0>a 时，)(x af 与)(x f 单调性相同；当0<a 时，)(x af 与)(x f 单调性相反.（4）若)(x f ≥0，则)(x f 与)(x f 具有相同的单调性.（5）若)(x f 恒为正值或恒为负值，则当0>a 时，)(x f 与)(x f a具有相反的单调性；当0<a 时，)(x f 与)(x f a具有相同的单调性.（6）)(x f 与)(x g 的和与差的单调性（相同区间上）:简记为：↗+↗=↗;（2）↘+↘=↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.（7）复合函数的单调性：对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或(g (b )，g (a ))上是单调函数若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同，则y ＝f [g (x )]为增函数若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数．简称“同增异减”．知识点3函数的奇偶性1、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 是奇函数关于原点对称2、函数奇偶性的几个重要结论（1）()f x 为奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；()f x 为偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称．（2）如果函数()f x 是偶函数，那么()()f x f x =．（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即()0f x =，x ∈D ，其中定义域D 是关于原点对称的非空数集．（4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．（5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．知识点4函数的周期性1、周期函数的定义对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()+=f x T f x ，那么就称函数()f x 为周期函数，称T 为这个函数的周期．2、最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期．知识点5函数的对称性1、关于线对称若函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =关于直线2a b x +=对称，特别地，当a ＝b ＝0时，函数()y f x =关于y 轴对称，此时函数()y f x =是偶函数．2、关于点对称若函数()y f x =满足()()22-=-f a x b f x ，则函数()y f x =关于点(a ，b )对称，特别地，当a ＝0，b ＝0时，()()f x f x =--，则函数()y f x =关于原点对称，此时函数()f x 是奇函数．重难点01求函数值域的七种方法法一、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则y max ＝f (b )，y min ＝f (a )．（2）若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则y max ＝f (a )，y min ＝f (b )．（3）若函数y ＝f (x )有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．【典例1】（23-24高三·全国·专题）函数()221f x x =-（[]2,6x ∈）的最大值为（）A ．2B ．23C ．25D ．235【答案】B【解析】因为函数21y x =-在[]2,6上单调递增，所以根据单调性的性质知：函数()221f x x =-在[]2,6上单调递减，所以当2x =时，函数()221f x x =-取到最大值为()2222213f ==-.故选：B 【典例2】（23-24高三·全国·专题）函数()lg f x x x =+的定义域为1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则值域为（）A ．9,1110⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．9,1110⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．99,10⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]9,11-【答案】A【解析】因为函数()lg f x x x =+的定义域为1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且lg ,y x y x ==在1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，可知()f x 在1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，可知()f x 在1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的最小值为191010f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最大值为()1011f =，所以值域为9,1110⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A.法二、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）()f x 的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x 函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．【典例1】（23-24高三上·河南新乡·月考）对R x ∀∈，用()M x 表示()f x ，()g x 中的较大者，记为()()(){}max ,M x f x g x =，若函数()(){}2max 3,1M x x x =-+-，则()M x 的最小值为.【答案】1【解析】当()231x x -+≥-，即220x x --≤，即12x -≤≤时，()3M x x =-+，当()231x x -+<-，220x x -->，即2x >或1x <-时，()()21M x x =-，所以()[]()()()23,1,21,,12,x x M x x x ∞∞⎧-+∈-⎪=⎨-∈--⋃+⎪⎩，函数图象如图所示：由图可得，函数()M x 在(),1-∞-，()1,2上递减，在()2,+∞上递增，所以()()min 2231M x M ==-+=.【典例2】（23-24高三上·重庆北碚·月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[e]3-=-，[2.1]2=，定义函数()[]f x x x =-，则函数()f x 的值域为.【答案】[0,1)【解析】由高斯函数的定义可得：当01x ≤<时，[]0x =，则[]x x x -=，当12x ≤<时，[]1x =，则[]1x x x -=-，当23x ≤<时，[]2x =，则[]2x x x -=-，当34x ≤<时，[]3x =，则[]3x x x -=-，易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，由图象知()f x 的值域为[0,1).法三、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.【典例1】（23-24高三上·全国·专题）函数()f x ）A ．[]0,2B ．[)0,∞+C ．[)2,+∞D ．()()0,22,+∞U 【答案】A【解析】令2230x x --+≥得，31x -≤≤，故定义域为[]3,1-，()[]0,2f x ==.故选：A【典例2】（2023高三·江西萍乡·开学考）函数212y x x =-++的值域为.【答案】4(,0)[,)9-∞+∞ 【解析】由题得220,1x x x -++≠∴≠-且2x ≠.因为221992()244x x x -++=--+≤,且220x x -++≠.所以原函数的值域为4(,0)[,)9-∞+∞ .法四、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围．（2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理【典例1】（2023高三上·广东河源·开学考试）函数()2f x x =的最大值为.【答案】178()0t t =≥，则21x t =-，所以()22117222048y t t t t ⎛⎫=-++=--+≥ ⎪⎝⎭，由二次函数的性质知，对称轴为14t =，开口向下，所以函数2117248y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭在10,4⎡⎤⎢⎣⎦单调递增，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.所以当14t ==，即1516x =时，()f x 取得最大值为max 151517()()1688f x f ===.【典例2】（23-24高三·全国·专题）函数1y x =-的值域为（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．[)0+，∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】Ct =，()0t ≥，则212t x -=，所以函数()22211112222t t t y t t +-=++=++=，函数在[)0,+∞上单调递增，0=t 时，y 有最小值12，所以函数1y x =-1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C法五、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如+=+ax by cx d或2++=+ax bx e y cx d （a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以+=+ax by cx d为例，解题步骤如下：第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=++a ey c cx d的形式，第二步，求出函数=+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax by cx d的值域。

奇异函数平衡法奇异函数平衡法是数学中一种重要的数值计算方法，特别是在求解奇异微分方程或极限积分时，该方法表现得非常出色。

该方法的基本思想是利用函数的奇异行为来构造平衡方程，在所设定的奇异点处达到平衡，然后以求解平衡方程为主线，得到所要求的解析式。

本文将围绕“奇异函数平衡法”详细介绍其具体的应用步骤。

一、确定问题的性质在运用奇异函数平衡法求解问题时，首先需要明确所求问题的性质，因为仅当其表示为奇异微分方程形式时，奇异函数平衡法才具有效性。

因此，如果问题不能表示为奇异微分方程，则无法使用奇异函数平衡法求解。

因此通常需要通过变量替换、逐项分析等技巧，将所求问题转换为奇异微分方程的形式。

二、确定方程的阶数和奇异点接下来需要确定所要求解的方程的阶数和奇异点数，方程的阶数可以通过微分方程的一般形式进行判断，而奇异点则是指微分方程系数矩阵的奇异性质所在点，通常情况下，系统的状态在奇异点处具有特殊性质，例如无解或多解等问题。

在寻找奇异点时，可以通过尝试性试探或数值模拟的方法，找到可疑的奇异点，并进一步确认其奇异性质。

三、建立平衡方程在确定了问题的奇异性质和奇异点后，需要进一步建立平衡方程。

平衡方程建立的目的是为了保证在奇异点处的状态达到平衡，从而使得问题的解析式更加准确。

平衡方程通常采用Taylor级数的形式，以表达出函数在奇异点附近的行为，并与微分方程进行匹配。

其中，平衡方程中高阶项和低阶项的系数相比较大，因此可以通过消去如$e^{-t}$这样的因子来简化方程。

四、分析特殊行为在构造平衡方程后，需要对函数在奇异点附近的特殊行为进行分析。

这通常可以通过分析平衡方程的其中某些项，确定函数的奇异特性。

例如，当在平衡方程中出现$ln x$的项时，通常表明函数在奇异点处有对数奇异性质；而当出现$1/(x-a)$的项时，则表明函数在奇异点处有极点奇异性质。

这些特殊行为的分析，将有助于我们进一步判断函数的性质和确定合适的求解方法。

高等数学高考技巧解密奇异点的识别与处理高中的小伙伴们，一提到高等数学里的奇异点，是不是感觉脑袋都大了几圈？别慌，今天咱们就来好好聊聊这个让人头疼的家伙，把它的秘密都给揭开！先来说说我曾经遇到过的一个事儿。

有一次给学生们讲奇异点，有个平时特别积极的同学一脸迷茫地问我：“老师，这奇异点到底是个啥呀，感觉像个神秘的怪物，怎么抓都抓不住。

”我一听乐了，心想，这孩子的形容还挺有趣。

于是我就跟他们说：“奇异点呀，就像是数学世界里的‘调皮鬼’，藏在各种函数里，时不时出来捣乱一下，咱们得把它揪出来！”那到底啥是奇异点呢？简单来说，奇异点就是函数在某个点上表现得特别奇怪，比如函数在这个点没有定义，或者函数的极限不存在等等。

比如说，分母为零的点往往就是奇异点。

就像分式函数$f(x)＝＼frac{1}｛x}＄，当$x=0$的时候，这个函数就没有定义，那$x=0$就是它的奇异点。

在高考中，识别奇异点可是非常重要的。

为啥呢？因为一旦忽略了奇异点，可能整道题就做错啦！那怎么识别呢？首先，得把函数的表达式好好看一看，找找分母有没有可能为零的地方。

然后再看看函数的定义域，那些被排除在外的点也很可能是奇异点。

比如说有这样一道题：求函数$f(x)＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄的定义域和奇异点。

咱们先看分母，＄x 1$不能为零，所以$x$不能等于 1。

那么定义域就是$x$不等于 1 的所有实数。

而奇异点呢，就是$x ＝1$这个点啦。

识别出奇异点只是第一步，关键还得会处理它们。

处理奇异点的时候，咱们得特别小心。

有时候可以通过化简函数来消除奇异点。

比如上面那个例子，＄f(x)＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄可以化简为$f(x) ＝ x ＋1$，但是要注意，＄x$不能等于 1 哦。

再比如说，遇到分段函数的时候，每个分段的端点也可能是奇异点。

这时候就得分别考虑每个分段的情况，看看在端点处函数的连续性和可导性。

给大家举个例子感受一下。