冲激函数匹配法确定初始条件

当激励为et sin tut ut 1时的零状态响应为
rt et ht
sin tut ut 1ut ut 1
t
0
sin
d
τ
u
t
ut
2
1
t 1
sin
τ
d
τut
u
t
2
1 1 costut ut 2
X
20
第
例2-4 计算卷积 f1(t) f2(t)，并画出波形。
页
f1 t
f2 t
2
1
1 e t1u t 1
则得
A1 A2 3 3A1 2A2 2
解得
A1 A2
4 7
代入（1）得
ht 4e2t 7e3t ut X
18
例2-3
第
页
已知线性时不变系统的一对激励和响应波形如下图所示，
求该系统对激励的 et sin tut ut 1零状态响应。
et
r t
1
1
O 12
t
对激励和响应分别微分一次，得
t0
因为特解为3，所以 强迫响应是3，自由响应是 4 et e2t
X
12
方法二
第
页
零状态响应rzs t是方程
d2 r dt
t
2
3
dr d
t
t
2r
t
2
t
6ut
且满足rzs 0 rzs0 0的解
（5）
由于上式等号右边有 t项 ，故rzst应含有冲激函数，
从而rzs t 将发生跳变，即 rzs 0 rzs 0
d2 rt 3 d rt 2rt 0
dt2
dt

零状态响应 rzs ( t ) 的求解有两种方法 方法一：直接求解微分方程 步骤： （1）求出通解；
(k ) (0 + ) = r (k ) (0 + ) − r (k ) (0 − ) 确定 n 个待定常数。 （2）由跳变量 rzs
方法二：卷积积分法 步骤： （1）先求冲激响应 h(t ) ； （2）再利用 rzs (t ) = h(t ) ∗ e(t ) 求零状态响应。 五、冲激响应 h ( t ) 和阶跃响应 g ( t ) 1、冲激响应 h ( t ) 的定义 定义： 系统在单位冲激信号 δ ( t ) 的激励下产生的零状态响应， 称为冲激响应。 冲激响应 h ( t ) 满足的微分方程为：
4
方法一：比较系数（等式两端奇异函数项相平衡）法求 h ( t ) 步骤：a. 先求特征根，直接写出冲激响应的函数形式； b. 再用冲激函数平衡法确定系数 Ak 。 方法二：利用系统的线性时不变特性求 h ( t ) 对于 h ( t ) 满足的微分方程
dn d n −1 d h(t ) + a n −1 n −1 h(t ) + + a1 h(t ) + a 0 h(t ) n dt dt dt
dn d n −1 d ( ) r t a + r (t ) + + a1 r (t ) + a 0 r (t ) n −1 n n −1 dt dt dt
= bm dm d m −1 d ( ) e t b e(t ) + + b1 e(t ) + b0 e(t ) + m −1 m m −1 dt dt dt
dn d n −1 d ( ) h t a h(t ) + + a1 h(t ) + a 0 h(t ) + n −1 n n −1 dt dt dt

r (0 ) 2 r (0 ) 3 r (0 ) r (0 ) 2
代入r (t ) Ae3t A2et 3e2t 1
A1 A2 3 2 得 3 A1 A2 6 3
r (t ) -4e3t 3et 3e2t
解：1）求自由响应的形式
r '' (t ) 4r ' (t ) 3r (t ) 0
特征方程为： 2 4 3 0 1 3, 2 1
rh (t ) Ae3t A2et 1
2）求强迫响应
利用筛选 特性
e(t ) e2t u(t ) e '(t ) 2e2t u(t ) e2t (t ) 2e2t u(t ) (t )
0 t 0

8
代入方程得
a 2 b 4a 1 c 4b 3a 0
a (t ) b 4a) (t ) (c 4b 3a)u (t ) （ 2 (t ) (t )
a 2 b 7 c 22
4 B 8B 3B 3
rp (t ) 4Be2t
B 3
rp (t ) 3e2t
3）求完全响应
r(t ) rh (t ) rp (t ) Ae3t A2et 3e2t 1
利用冲激函数匹配法求初始条件r (0 )和r(0 )
r '' (t ) 4r ' (t ) 3r (t ) 2 (t ) 3u(t ) r (t ) a (t ) bu (t )

1 3t 5 t (e e )u (t ) 2
注意：1、积分上下限问题； 2、积分结果的始终点问题。

第二章 连续时间系统的时域分析
2.1 引言 2.2 微分方程式的建立与求解 2.3 起始点的跳变—从0-到0+状态的转换 2.4 零输入响应和零状态响应 2.5 冲激响应与阶跃响应 2.6 卷积 2.7 卷积的性质
1
重点和难点
重点： 连续时间系统的零输入响应和零状态响应的含义和求解； 理解冲激响应、阶跃响应的意义，掌握其求解方法；
R1i ( t ) v C ( t ) e ( t ), t 0
4 6 5 14 5 A
e (0 ) v C (0 )
1 d d i (0 ) e (0 ) v C (0 ) dt R1 d t dt d
1/C iC(0+)
10 B 4 4 B 8 5
12
(4)
完全响应
i ( t ) A1 e
2 t
A2 e
5t
8/5
d dt i(0 )
(5)
确定换路后的 i ( 0 ) 和
13
§2.3 起始点的跳变—从0-到0+状态的转换 一、初始条件的求解——根据电路求
激励e(t)在t=0时刻加入，系统的响应区间为 0 t

d dt
n 1
n 1
r ( 0 )]

求解方法：根据系统的起始状态、激励信号情况以及元 件约束和网络拓扑约束求。
14
求初始条件
（1）首先求出vC(0-)和iL(0-)，即电容上的起始电压和 电感中的起始电流。 （2）根据能量连续性原理： a)当没有冲激电流（或阶跃电压）作用于电容C 有
v C (0 ) v C (0 )
6
a) 求齐次解rh(t)：系统固有的响应

iC + u(t) -
C
d2 dt 2
u(t)
1 R
d dt
u(t)
1 L
u (t )

d dt
iS (t)
(5)
对于复杂系统,设激励信号为e(t),系统响应为r(t),则可 以用一高阶微分方程表示
C0
dn dt n
r(t)
C1
d n 1 dt n 1
r(t)

C n 1
2)对于用微分方程表示的系统
系统的0-状态到0+状态有无跳变决定于微分方程 右端自由项中是否包含(t)及其各阶导数.如果包 含(t)及其各阶导数,则0-到0+状态发生了跳变, 即 r(0) r(0)或r(0) r(0)等等. .可用冲激函数匹配法 求出0+状态. 冲激函数匹配法的原理是根据t=0时刻微分方程 左右两端的(t)及其各阶导数应该平衡相等.
2.1 引言
线性连续时间系统的分析，归结为建立并且求解线 性微分方程。 在系统的微分方程中，包含有表示激励和 响应的间函数以及他们对于时间的各阶导数的线性组合。 因此，在分析过程中，如果不经过任何变换， 则所涉及 的函数的变量都是时间t，这种分析方法称为时域分析法。 如果为了便于求解方程而将时间变量变换成其他变量， 则相应的称为变换域分析法。例如在傅立叶变换中，将 时间变量变换为频率变量去进行分析，就称为频域分析 法。
3
2
6
完全解中的齐次解称为系统的自由响应,特解称 为系统的强迫响应.特征方程根i(i=1,2,…,n)称为系 统的‘固有频率’(或‘自由频率’)
上例中完全解的分解如下:
r (t ) 11 e t 5 e 2t 1 e 4t

1 L
0 0
vL
(
) d
1 L
0 vL ( ) d
令t 0,
iL
(0
)
iL
(0
)
1 L
0 0
vL
(
)
d
0
如果 vL(t)为有限值，
冲激电压或阶 跃电流作用于
0 0
v
L
(
)
d
0，
此时iL(0 ) iL(0 )
电感时：
如果vL(t)为 (t)，
iL(0 ) iL(0 )
1
L
0 0
v
L
(
)
d
1 ,
代入方程 a t b t cut 3a t 3but 3 t
得出
a 3 b 3a 0
c 3b 0
所以得 r0 r0 b 9
a 3
即 b 9
c 27
即 r0 r0 9
第 11 页
本节结束
•当系统用微分方程表示时，系统从 0到 状0态有没有
跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 及其t各 阶
导数项。
1．电容电压的突变
由伏安关系
iC (t) C
1
vC (t) C
t
iC ( )d
vC (t)
1
C
0
iC
(
)d
1 C
i0
0 C
(
)d
1 C
t
0 iC ( )d
vC
(0
)
1 C
§2.3 起始点的跳变
一．起始点的跳变
t 0
0
0
O
t
0 状态、起始状态
r

所以得 r(0+ ) − r(0− ) = b = −9 即 r(0+ ) = r(0− ) − 9
四、小结
• 经典法求解微分方程的流程图，如图 经典法求解微分方程的流程图，
思考题
• 1.当系统用微分方程表示时，如何判断系 1.当系统用微分方程表示时， 当系统用微分方程表示时 统的0 状态到0+状态有没有跳变？ 0+状态有没有跳变 统的0-状态到0+状态有没有跳变？ • 2. 冲击函数匹配法的原理是什么？ 冲击函数匹配法的原理是什么？
§ 2.3 起始点的跳变
• 主要内容
•起始状态与初始条件的概念 起始状态与初始条件的概念 •如何求解起始条件与初始条件 如何求解起始条件与初始条件 •利用冲激函数匹配法求初始条件 利用冲激函数匹配法求初始条件
• 重点：初始条件的确定 重点： • 难点：利用冲激函数匹配法求解初始条件 难点：
一、起始条件与初始条件的概念
（1）列写电路的微分方程 ）
根据电路形式， 根据电路形式，列回路方程
R1i(t ) + vC (t ) = e(t )
d vC (t ) = L iL (t ) + iL (t )R2 dt 列结点电压方程 d i(t ) = C vC (t ) + iL (t ) dt v 先消去变量 C (t ),再消去变量iL (t ), 把电路参数代入整理得
(t ≥ 0+ )
小结
• 以上我们讨论了微分方程右端没有δ (t )及其各阶导 数
vC (0− ) ≠ vC (0+ ) 的条件。 下面我们来讨论 i (0 ) ≠i (0 ) 的条件。
L − L +
即可以利用冲激函数匹配法求解的问题

vC 0 vC 0 , iL0 iL0 .
•但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫
作用于电感，
0
到0
状态就会发生跳变。

•当系统用微分方程表示时，系统从 0 到 0 状态有
没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 t 及
其各阶导数项。
X
3
第
二.冲激函数匹配法确定初始条件 页
配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶
导数应该平衡(其他项也应该平衡，我们讨论初始条件，
可以不管其他项）
例：
d rt 3rt 3 t
dt
已知r0 ,求r0
方程右端含3 t 方程右端不含 t
d rt中必含3 t
r
k

0


r
0

,
d
r0
dt

,
d2 r0
dt2

,
dn1 r 0
d t n1


X
说明
2
第
页
•对于一个具体的电网络，系统的 储能元件的储能情况;
0
状态就是系统中

•一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的
电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：
X
数学描述
5
第
页
由方程 d rt 3rt 3 t可知
d
t
方程右端含
t 项，它一定属于
d
r t
dt
设
d rt a t b t cut
dt
则
rt a t but
代入方程 a t b t cut 3a t 3but 3 t

Determ ini ng The In iti al Con dit ion Of t he Im pu lse Resp onse Of The Discrete- t im e Syst em ( Hu yu dong, Ch ong Qin g Comm un icat ion College, Inform ati on and Comm un icat ion Teach ing and Research Sect ion, Ch ong qin g 400035 )
则, 单位冲激响应的初始条件应该从 M+1- N 开始。在确定经典时域法
的初始条件时, 也可以采用以上的分析方法。科
●
【参 考 文 献 】 [ 1] 郑君里,应启珩,杨为理. 信号与系统( 第二版) . 北京:高等教育出版社, 2003. [ 2] 徐守时. 信号与系统 : 理论、方法和应用( 修订版) . 合肥: 中国科学 技术大学 出版社, 2006.
【Key wor ds 】di screte- ti me system; unit impulse response; initi al conditi on
1. 前 言 求解以常系数线性差分方程描述的离散时间系统 的时域方法中, 时 域 经 典 法 和 卷 积 方 法 是我 们 经 常 采 用 的 。这 两 种 方 法 都 需 要 确 定 通 解中的待定常数, 这时就需要利用系统的初始条件 来解出这些待定常
数。在卷积法中, 我们把系统对输入的响应分解为 零输入响应和零状
Hale Waihona Puke 态响应。在零状态响应中, 需要求出系统对单位冲激 δ(n)的响应 h(n)。 在确定 h(n)的 待定常数时, 一些《信号与系统》教材 中存在一些模糊的 地方。在求解 h(n)时, h(n)的时间范围为 n>0, 而在确定时间常数时, 有 的教材直接根据 n<0 的 h(n)来确定的。我们计算可以发现, 即使这样, 求出的解也是正确的。这就引出了一个问题, 为什 么这样确定初始条 件是可以的。