三、与冲激函数或阶跃函数的卷积.ppt

间，并称此时刻为“起始时刻”；而用0+表示激励接入之
后的瞬间，并称此时刻为“初始时刻”。
第2章 连续系统的时域分析
系统的起始条件就是系统响应及其各阶导函数在0-时刻的 函数值，可用{y(i)(0-), i=0,1,…,n-1} 表示；而系统的初始条件就 是 系 统 响 应 及 其 各 阶 导 函 数 在 0+ 时 刻 的 函 数 值 ， 用 {y(i)(0+),i=0,1,:,n-1}表示。一般情况下，我们求的系统响应是指 系统接入激励以后的响应，即0+≤t<+∞。所以，应当利用系统 的初始条件求齐次解中的各个系数。
c1c1
c2 c2
2
2
1
1
c1=1, c2=-2 所以，全响应y(t)为
y(t) e-t 2e-2t t 2 2t 2
(t≥0)
第2章 连续系统的时域分析
2.2起始点的跳变——从0-到0+状态的转换
例:建立电流 i t 的微分方程并求解 i t 在 t 0
时的变化。
2 S R1 1
第2章 连续系统的时域分析
【例】描述某线性时不变系统的方程为
d2
d
d
dt 2
y(t) 3 dt
y(t) 2 y(t)
dt
f (t) 2 f (t)
若系统激励f(t)=t2，系统初始条件为y(0+)=1, y′(0+)=1。试求系统 全解。
【解】
特征方程为
d2
d
dt 2
y(t) 3 dt
y(t) 2 y(t)
第2章 连续系统的时域分析
•根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 •对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网 络拓扑约束列写系统的微分方程。
元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如 二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流 的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电 流的关系等等。
网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约 束关系,KCL，KVL。
第2章 连续系统的时域分析
第2章 连续系统的时域分析
2.1 微分方程的建立与求解 2.2 起始点的跳变 2.3 零输入响应和零状态响应 2.4冲激响应与阶跃响应 2.5卷积 2.6卷积的性质
第2章 连续系统的时域分析
2.1 微分方程的建立与求解
一．微分方程的列写
•许多实际系统可以用线性系统来模拟。 •若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用 线性常系数微分方程来描述。
Ci ei t
Ci,0 Ci,1t
C t e r1 it i,r 1
et Acos t Bsin t Cet cost
et C0 cost 0 C1t cost 1 Cr1tr1 cos t r1
第2章 连续系统的时域分析
表2－2 几种典型的自由项对应的特解形式
第2章 连续系统的时域分析
得：
B8 5
要求系统的完全响应为：
i
t
A1e2t
A2 e5t
8 5
t 0
第2章 连续系统的时域分析
（3）确定换路后的
i
关于实际系统中的初始条件问题
• 在应用经典方法求解系统微分方程时，要使用t 0时刻
的初始条件来确定完全解中的待定系数。
• 在实际系统中一般选择 t 0 为初始观测时刻，而系统的
激励是在 t 0时刻加入的，因此，由于输入信号的作用，
响应及其各阶导数在
t 处可0 能发生跳变或出现冲激。
为区分跳变前后的数值，我们用0-表示激励接入之前的瞬
it
1
L 1H 4
et 4V
C 1F
R2
3 2
第2章 连续系统的时域分析
解：（1）列写电路的微分方程
根据电路形式，列回路方程
R1i t vc t et
vc
t
L
d dt
iL
t
iL
t
R2
列结点方程
(1) (2)
i
t
C
d dt
vC
t
iL
t
(3)
第2章 连续系统的时域分析
将电路参数代入,并整理方程得:
0
2 3 2 0
第2章 连续系统的时域分析 解得特征根为
1 1, 2 2
所以，齐次解为
yc (t) c1e-t c2e-2t
由于f(t)=t2，因此，设特解为
yp (t) p2t2 p1t p0
将上式和f(t)=t2代入原系统微分方程，有
2 p2t 2 (2 p1 6 p2 )t (2 p0 3 p1 2 p2 ) 2t 2 2t
第2章 连续系统的时域分析
解得
2 p2 2 2 p1 6 p2 2 2 p0 3 p1 2 p2 0
p2 1, p1 2, p0 2
这样，特解为
2t t 2 2t 2
第2章 连续系统的时域分析
将初始条件y(0+)=1, y′(0+)=1代入上式，得
k 1
特 解： 根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。 全 解： 齐次解+特解，由初始条件定出齐次解 Ak 。
第2章 连续系统的时域分析
表2-1几种特征根情况下齐次解的形式
特征根
实单根 i r重实根 i
共轭复根
1,2 j
r重共轭复根
齐次解 yn t
第2章 连续系统的时域分析
严格地讲，初始条件和初始状态或起始条件和起始状态是 有区别的。系统状态是指系统储能的情况或数据。而我们知道 电系统的储能元件是电感和电容，也就是说，起始状态是指系 统中电感的电流和电容的电压在起始时刻的值iL(0-)和uC(0-)。 类似地，初始状态是指系统中电感的电流和电容的电压在初始 时刻的值iL(0+)和uC(0+)。
第2章 连续系统的时域分析
二．求解系统微分方程的经典法
经典法
解方程 零输入零响输应入和: 可 零利 状用 态经 响典 应法求解
零状态 : 利用卷积积分法求解
变换域法
第2章 连续系统的时域分析
时域经典法就是：完全解=齐次解+特解。
齐次解： 由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
n
Ak ekt 注意重根情况处理方法。
d2 dt 2
it
7
d dt
it
10i t
d2 dt 2
et
6
d dt
et
4e t
（2）求系统的完全响应
齐次解：
系统的特征方程：
2 7 10 0
特征根： 1 2,2 5
齐次解： ih t A1e2t A2e5t
t 0
第2章 连续系统的时域分析
特解：根据自由项令 ip t B ，将其代入原方程