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信号与系统概论第二章

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信号与系统重点概念公式总结

信号与系统重点概念公式总结

信号与系统重点概念公式总结Last updated on the afternoon of January 3, 2021信号与系统重点概念及公式总结：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。

（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。

第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。

常数形式的复数C=a+jba 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。

（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwt sin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f F n =如果满足：n i K dt t f j i dt t f t f i T T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集如果n i K i ,2,11==，则称F 为标准正交函数集。

如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f j i dt t f t f i T T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。

2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴；在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。

3.正交函数集完备的概念和物理意义：如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。

如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。

力学专业教学大纲《信号与系统》教学大纲2017版

力学专业教学大纲《信号与系统》教学大纲2017版

《信号与系统》课程教学大纲课程代码：110031112课程英文名称：Signals and Systems课程总学时：48 讲课：40 实验：8 上机：0适用专业：探测制导与控制技术大纲编写（修订）时间：2017.10一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标《信号与系统》是一门重要的学科基础课程，是联系基础理论与专业技术知识的重要专业技术基础课。

本课程是继电路理论基础课之后的深入研究线性非时变电路系统的课程，为探测制导与控制技术专业和信息对抗技术专业的学生提供信号与线性系统的基本概念，以及信号通过线性系统的一系列分析与计算方法，为该专业后续课程的学习建立必要的概念和理论基础。

（二）知识、能力及技能方面的基本要求通过本课程的学习使学生了解信号与系统的基本概念，掌握信号与线性系统在时域和变换域上分析的基本理论和基本方法，理解傅立叶变换、拉普拉斯变换及Z变换的基本内容、性质与应用，特别要建立信号与线性系统的频域分析的概念及系统函数的概念,并对这些理论与方法在工程中的某些应用有初步了解，为进一步学习研究信号处理与信号检测等学科内容打下必要的基础。

（三）实施说明理论性和系统性是《信号与系统》课程的两大特点。

该课程讲授过程中，需要把深奥的数学理论和应用信息技术进行深入融合，系统对比式的讲解将会提高学生对该课程的理解与掌握。

本课程着重讲授信号分析与线性时不变系统分析的基本概念和基本方法，以求系统响应为主要线索，按照先时域后变换域，先连续后离散的顺序进行，力求做到循序渐进。

讲授各种分析方法时，尽量避免枯燥繁琐的数学推导，着重阐明其包含的物理意义，注意多举具体应用的例子，提高学生的学习兴趣，增强学习效果。

（四）对先修课的要求本课程先修课程：高等数学、电路和复变函数与积分变换。

（五）对习题课、实践环节的要求1. 习题是帮助学生理解基本理论，掌握基本分析方法并学习运用理论处理实际问题的一个重要环节。

本课程理论性较强，课程的每一部分内容均安排一定数量的习题课与理论知识相配合。

（1）信号与系统概论知识点

（1）信号与系统概论知识点

（1）信号与系统概论知识点参考资料：《信号与系统（第⼆版）》杨晓⾮何丰信号的描述施加于系统的信号叫做输⼊信号或者激励，系统产⽣的信号叫做系统的输出信号或者响应。

信号的时间特性：信号可以描绘成随时间变化的波形图，信号在某⼀时刻的⼤⼩，信号持续时间的长短，信号变化的快慢等都可以在波形图上反应出来的特性。

信号的频率特性：信号在⼀定条件下可以分解成不同频率的正弦分量之和，正弦分量的振幅和初相位，频率之间的关系反映出来的特性。

信号的分类确定信号：信号可以写出⼀个确定的时间函数表达式，对于每⼀时刻t都有确定的函数值与其对应。

随机信号：信号不能写出确定时间的函数表达式，只能⽤概率统计的⽅法来描述，只能预测某⼀个时刻为⼀个值的概率，但是该时刻的具体数值是未知的。

连续时间信号（简称连续信号）：除了有限的间断点之外，如果⼀个信号在任意时刻均有定义值，那么该信号称为连续信号。

时间⾃变量t必须是连续变化的，函数值可允许个别时刻跳变，如果信号的时间⾃变量和函数值均是连续变化的，则称为模拟信号。

离散信号：只在⼀系列离散的瞬间有确切定义⽽在其他时刻⽆定义的信号叫做离散时间信号，离散信号可以对连续信号以等间隔时间T进⾏取样得到，其⾃变量是离散时间KT，⽽不是连续时间t。

取样信号：时间离散⽽函数取值连续的信号。

如何理解这⾥的时间离散但函数取值连续呢？？通过对连续信号进⾏等间隔时间取样，可以知道所谓的时间离散指的是时间单位是可以量化的，也就是等间隔的，离散的。

函数取值并不是等间隔的，幅值可能有⽆限多个值，因此不是离散的，⽽是连续的。

如果我们现在对函数值以0,1,2,3,4,5,6...进⾏量化，量化后的值取决于函数值与0,1,2,3,4,5,6...的接近程度，那么量化之后，所有的函数值都变成离散的了，当⼀个取样信号时间和函数取值均为离散的时候，这样的信号称为数字信号。

周期信号：按照⼀定的时间周期T周⽽复始地重复出现并且时间域是⽆始⽆终的信号。

信号与系统概念公式总结

信号与系统概念公式总结

信号与系统概念，公式集：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。

（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。

第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。

常数形式的复数C=a+jb a 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。

（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwtsin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f Fn =如果满足：ni K dt t f j i dt t f t f iT T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集 如果n i K i,2,11==，则称F 为标准正交函数集。

如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f ji dt t f t f iT T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。

2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。

3.正交函数集完备的概念和物理意义： 如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。

如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。

第一章 信号与系统概论(3)

第一章 信号与系统概论(3)
• 信号正交分解的核心是把信号分解为完备、正交、 把信号分解为完备、正交、 把信号分解为完备 能量归一的基信号集合中的各个基信号的加权和， 能量归一的基信号集合中的各个基信号的加权和 它非常有益于信号分析和理解。 • 原则上有无穷多个 无穷多个这样的正交分解。 无穷多个 • 最常用的是傅里叶级数分解、傅里叶变换和拉普 傅里叶级数分解、 傅里叶级数分解 拉斯变换。 拉斯变换 • 傅里叶级数是把周期信号分解成无穷多个谐波正 弦信号的加权和；傅里叶变换就是把非周期信号 分解成无穷多个频率间隔无穷小的复正弦信号的 加权和；而拉普拉斯变换就是把信号分解成无穷 多个复指数信号的加权和。 • 其它的典型例有小波分解，主分量分析 小波分解， 小波分解 主分量分析等。
因果系统的判断
向右平移（即延迟）是因果的，而向左平移 1. 向右平移（即延迟）是因果的 （即超前）、翻转（即时间倒转）和尺度运算 都是非因果的，因为超前和时间倒转都会使将 来发生的事情先于现在出现； 乘法和加法运算是因果的； 2. 乘法和加法运算是因果的 3. 微分是非因果的，因为它与将来时刻的信号值 有关；下限为的积分运算是因果的，因为它与 下限为的积分运算是因果的， 下限为的积分运算是因果的 将来时刻的信号值无关；但正如例1-5f所证， 将来时刻的信号值无关 下限为零的积分却是非因果的； 所有即时映射都是因果的； 4. 所有即时映射都是因果的 5. 电路和描述实际物理系统的微分方程都是因果 因为它们都是物理可实现的。 的，因为它们都是物理可实现的。
1. 2. 3. 4.
系统稳定性
• 一般的稳定性判断相当复杂，它与所讨论 问题有关，往往需使用特定领域中的特定 判断方法。 • 本书仅限于讨论其中最简单系统的，尤其 是LTIV LTIV系统的稳定性。 LTIV • 我们将在第二章和第四章分别证明，LTIV LTIV 系统稳定的充要条件是： 系统稳定的充要条件是：系统冲激响应绝 对可积， 对可积，或等价地，系统传递函数的极点 系统传递函数的极点 都在左半S平面。 都在左半S平面

第一章 信号与系统概论(2)

第一章 信号与系统概论(2)
−2t − 2t −∞
+∞
∫ (1 − x )δ (x )dx = ∫ δ (x )dx = u (t )
t t −∞ −∞
( t ∈ [t , t ]) ( t ∉ [t , t ])
1 2 1 2
6. 符号函数
定义
1 sgn(t) = 0 −1
(t > 0) (t = 0) (t < 0)
sgn(t) 1 0 -1
可用阶跃信号表示
sg ( t) = 2u(t) −1 n
信号的因果和反因果分解
任意信号 f (t ) 有因果反因果分解
at
1.指数信号
实际上，经常遇到的是因果指数衰减信号 因果指数衰减信号
2.正弦信号
正弦信号和余弦信号统称为正弦信号，一 般可表示为： f t = K sin ωt + φ 其中 K 为振幅， 是角频率，φ 称为初 2π 1 = 相位。正弦信号的周期 T = ， ω f 其中 f 是频率。 与指数信号相似，正弦信号对时间的微分 或积分仍是正弦信号
∫
t
−∞
δ (τ ) d τ = u ( t )
d dt
u (t ) = δ (t )
∫
+∞ −∞
δ ( t − t 0 ) f ( t ) dt =
∞ −∞
=
∫
f ( t 0 )δ ( t − t 0 ) dt = f ( t 0 )
相乘
f (t )δ (t − t0 ) = f (t0 )δ (t − t0 )
冲激函数的检零性质
当冲激函数应用于非线性函数时，具有 应用于非线性函数时， 应用于非线性函数时 检测其零点，并反映其导数的性质。 检测其零点，并反映其导数的性质 由于函数在其零点 t i ，i=1, 2, …, n 有 f t i = 0 ，使得在其零点领域，有

信号与系统第二讲


若 H[C1 f1(t ) + C2 f2 (t )] = C1H[ f1(t )] + C2H[ f2 (t )] 是线性系统,否则是非线性系统 否则是非线性系统。 则系统 H[•]是线性系统 否则是非线性系统。 注意：外加激励与系统非零状态单独处理。 注意：外加激励与系统非零状态单独处理。
25
二．时变系统与时不变系统
∫
r (t ) r (t ) r (t )
r(t ) = ∫ e(t )dt
−∞
t
τ
T
r ( t ) = e( t −τ ) r ( t ) = e( t −T )
18
二．系统的定义和表示
系统：具有特定功能的总体， 系统：具有特定功能的总体，可以看作信号的变换 处理器。 器、处理器。 系统模型：系统物理特性的数学抽象。 系统模型：系统物理特性的数学抽象。 系统的表示： 系统的表示： 数学表达式：系统物理特性的数学抽象。 数学表达式：系统物理特性的数学抽象。 系统图：形象地表示其功能。 系统图：形象地表示其功能。
5
1.3 信号的运算与变换
信号的代数运算 信号的微分与积分 信号的反褶 信号的时移 信号的尺度变换 信号的分解
6
1.3.1 信号的代数运算
信号的加减运算： f ( t ) = f 1 ( t ) ± f 2 ( t ) 注意要在对应的时间上进行加减运算。
1 t1 1 0 -1
7
0
t2 相加
t1
2 1 0 -1 t2
绪论
第一章 信号与系统概论
1.1 信号的描述与分类 1.2 基本典型信号 1.3 信号的运算与变换 1.4 系统
1
冲激函数的性质
延迟的冲激函数

信号与系统——第一章 信号与系统概论(1)


图1－1 各类信号：
二、周期信号与非周期信号

如图1-1(c)所示，周期信号是按某一固定周期重 复出现的信号，它可表示为
f (t ) f (t nT )
其中，T为周期，任何周期信号都可表示为仅在 基本周期内取非零值的有限长信号的周期延拓， 即
f (t ) t 0, T f1 (t ) f (t ) f1 (t nT ) t 0, T 0 n
第一章 信号与系统概论
学习要点： 1. 信号与系统课程的重要性； 2. 信号的概念、分类与运算； 3. 系统的概念、分类与联接形式； 4. 系统的线性性、时不变性、因果性和稳定性的定 义与判断。
§ 1-1 引

言


信号与系统是在电工原理的基础上发展起 来的，并随着电子工程、通信工程、计算 机和信息技术的飞速发展而不断地发展与 完善。 在信号与系统学科的发展中，微分方程、 差分方程理论，傅里叶（Fourier）变换、 拉普拉斯（Laplace）变换、离散傅里叶 变换和Z变换等正交变换理论起着十分重 要的作用。 二十世纪四十年代创立的系统论、信息论 与控制论极大地推动了信号与系统学科的 发展。

能量信号和功率信号的判断方法

判断能量信号和功率信号的方法： 先计算信号能量，若为有限值则为能量信号， 同时也必是功率信号；否则，计算信号功率，若 为有限值则为功率信号；若上述两者均不符合， 则信号既不是能量信号，也不是功率信号。
连续时间信号能量：E

f (t ) dt
2
1 连续时间信号功率：P lim T 2T
+ -

T
T
f (t ) dt
2

838 –信号与系统 考试大纲

海南大学硕士研究生入学考试《838 –信号与系统》考试大纲一、考试性质海南大学硕士研究生入学考试初试科目。

二、考试时间180分钟。

三、考试方式与分值闭卷、笔试。

满分150分。

四、考试内容第一章概论第一节信号的定义及其分类；第二节信号的运算；第三节系统的定义与分类；第四节线性时不变系统的定义及特征。

第二章连续时间系统的时域分析第一节微分方程的建立与求解；第二节零输入响应与零状态响应的定义和求解；第三节冲激响应与阶跃响应；第四节卷积的定义，性质，计算等。

第三章傅里叶变换第一节周期信号的傅里叶级数和典型周期信号频谱；第二节傅里叶变换及典型非周期信号的频谱密度函数；第三节傅里叶变换的性质与运算；第四节周期信号的傅里叶变换；第五节抽样定理；抽样信号的傅里叶变换；第六节能量信号，功率信号，相关等基本概念；以及能量谱，功率谱，维纳－欣钦公式。

第四章拉普拉斯变换第一节拉普拉斯变换及逆变换；第二节拉普拉斯变换的性质与运算；第三节线性系统拉普拉斯变换求解；第四节系统函数与冲激响应；第五节周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换；第五章 S域分析、极点与零点第一节系统零、极点分布与其时域特征的关系；第二节自由响应与强迫响应，暂态响应与稳态响应和零、极点的关系；第三节系统零、极点分布与系统的频率响应；第四节系统稳定性的定义与判断。

第六章连续时间系统的傅里叶分析第一节周期、非周期信号激励下的系统响应；第二节无失真传输；第三节理想低通滤波器；第四节佩利－维纳准则；第五节希尔伯特变换；第六节调制与解调。

第七章离散时间系统的时域分析第一节离散时间信号的分类与运算；第二节离散时间系统的数学模型及求解；第三节单位样值响应；第四节离散卷积和的定义，性质与运算等。

第八章离散时间信号与系统的Z变换分析第一节 Z变换的定义与收敛域；第二节典型序列的Z变换；逆Z变换；第三节 Z变换的性质；第四节 Z变换与拉普拉斯变换的关系；第五节差分方程的Z变换求解；第六节离散系统的系统函数；第七节离散系统的频率响应；第八节数字滤波器的基本原理与构成。

信号与系统ppt课件

1. 实指数信号： C，a 为实数
a 0 呈单调指数上升。
精品课件
a 0 呈单调指数下降。 a 0 x(t) C 是常数。
2. 周期性复指数信号:
a j0，不失一般性取
C 1 x (t) ej 0 t c o s0 tjsin0 t
• 连续时间情况下:
E lT im T Tx(t)2d t x(t)2dt
•离散时间情况下:
N
E N l i m nNx(n)2n x(n)2
精品课件
在无限区间内的平均功率可定义为：
x(t) P
lim1 T2T
T T
2
dt
PN l i m 2N 11nN Nx(n)2
精品课件
1.2 自变量变换
究确知信号。
精品课件
连续时间信号的例子：
精品课件
离散时间信号的例子：
精品课件
连续时间信号在离散 时刻点上的样本可以构成一个 离散时间信号。
精品课件
二. 信号的能量与功率：
连续时间信号在 [ t1 , t 2 ] 区间的能量定义 为：
E t2 x(t) 2 dt t1
连续时间信号在 [ t1 , t 2 ]
率定义为：
区间的平均功
P 1 t2 x(t)2 dt
t2 t1 t1
精品课件
离散时间信号在 [ n1 , n 2 ]
的能量定义为n2
E
x(n) 2
n n1
区间
离散时间信号在 [ n1 , n 2 ] 平均功率为
P 1
n2 x(n)2
n2 n11nn1
精品课件
区间的
在无限区间上也可以定义信号的总 能量：
•给定信号和系统求变换后的 信号。
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第二章 连续时间信号与系统的时域分析
★本章内容 2.1 经典时域解法 2.2 零输入响应和零状态响应 2.3 冲激响应和阶跃响应 2.4 卷积积分 2.5 卷积积分的性质
2.1 经典时域解法
※ 连续时间LTI系统的时域分析方法
（LTI：线性时不变系统） ①输入输出模型描述法 微分方程经典解法 卷积积分法 ②状态变量分析法
2.1 经典时域解法（续）
4. 系统响应的分解模式
◆微分方程的完全解就是系统的完全响应。
经典法对复杂输入信号或高阶系统的计算较繁琐、不易求出完全 响应。而近代时域分析通过对系统响应的分解使计算分析简便。
◆系统响应的分解
自由响应：与外加激励无关，反映系统特性，对应齐次解。
（也称固有响应，取决于系统特征根。）
（加入激励后瞬间的系统状态，用于确定完全解的待定系数Ci ）
◆系统起始状态：激励信号加入前的瞬间状态(简称0_状态)。
（包含响应的过去信息，能反映系统中储能元件的储能状态。)
2.1 经典时域解法（续）
[物理解释] ◆对于一个具体的电路网络，系统的0-状态就是系统中储能元 件的储能情况; ◆一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不 会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：
信号的脉冲分量分解
2.4 卷积积分（续）
[例]
[解] ①
也可由冲激函数 匹配法求出0+跳 变值，再求出c
②
2.5 卷积积分的性质
1.代数性质： ◆交换律： f1(t)*f2(t) = f2(t)*f1(t)
[证]
2.5 卷积积分的性质（续）
◆结合率： [x(t)*h1(t)]*h2(t) = x(t)*[h1(t)*h2(t) ]
时域分析法的特点 —— 由激励（输入）及表征系统特性 的时域模型，不经变换而在时域直接求出系统响应（输出）。
2.1 经典时域解法（续）
1. 连续时间LTI系统的微分方程模型的建立 ① 常用元件的电压电流关系：
2.1 经典时域解法（续）
② 微分方程模型的建立： 由网络拓扑约束关系：
微分 RLC并联电路系统 的二阶微分方程
2.1 经典时域解法（续）
◆由0_状态到0+状态的转换方法：
奇异函数系数相平衡法 冲激函数匹配法 由电路分析法直接求初始条件
给定微分方程 起始状态时
（给定具体电路时）
◆冲激函数匹配法的思路：
t=0 时刻微分方程左右两端的冲激信号δ(t)及其各阶 导数应该平衡相等。
2.1 经典时域解法（续）
[例]利用冲激函数匹配法确定系统0+时刻的状态y(0+) 已知 系统微分方程为： y’(t) + 4y(t) = 3δ’(t) 系统起始状态为：y(0-) [解] （思路分析） ① 方程右端含有δ’(t) → 则 y’ (t)中必定含有3δ’(t) y(t)中必定含有3δ(t)
y(t) = x(t-t0)*h(t+t0)
[ 若: f(t)= f1(t)*f2(t) ]
3.卷积的微分性与积分性
强迫响应：与激励形式有关，对应特解。
2.1 经典时域解法（续）
暂态响应：t→∞时响应等于零的分量。 （如全响应中含有 e-t 的分量部分） 稳态响应：t→∞时响应保留为稳定规律的分量 （如全响应中含有常数的分量部分） 零输入响应：仅由初始储能所产生的系统响应。 零状态响应：仅由外加激励所产生的系统响应。
微分方程完全解: y(t) = yh(t) + yp(t) （齐次解） （特解） ①求齐次解 ◆齐次微分方程：
◆写出特征方程：
（ 其中：λi (i=1,2,…,n) 称为齐次微分方程的特征根 ）
系统固有频率
2.1 经典时域解法（续）
◆微分方程的齐次解为：
a) 特征根λi各不相同时：
（ 式中：常数Ci 为待定系数 ） b) 特征根为其他情形时：
◆分配率： x(t)*[h1(t)+h2(t)] = x(t)*h1(t)+x(t)*h2(t)
2.5 卷积积分的性质（续）
2.时移性质：
两卷积进行卷积运算时，若将其中一个信号左移、另一个 信号右移同一个时间单位，则其卷积结果不变。 即若: y(t)= x(t)*h(t) = h(t)*x(t)
则:
③由上述跳变，则有： y(0+) - y(0-) = -12 → y(0+) = y(0-) – 12
2.1 经典时域解法（续）
※冲激函数匹配法的注意点：
◆系统从0-到0+状态有无跳变取决于微分方程右端是否包含δ(t)
及其导数项。
◆从方程左端 y(k)(t) 的最高项开始与右端冲激函数最高项匹配 ◆左端同阶次冲激函数不能与右端匹配时，由左端高阶项补偿
h（t）在t=0连续
2.3 冲激响应与阶跃状态（续）
④ 将初始值代入冲激响应求解式：
⑤ 则所求系统冲激响应为：
2.3 冲激响应与阶跃状态（续）
2) 一般情形： ◆线性常系数微分方程常用形式：
◆冲激响应的求解步骤： ① 设定新变量yl(t)使其满足下式：
2.3 冲激响应与阶跃状态（续）
②由前述方法求上式冲激响应hl(t): 设：x(t) = δ(t) 则冲激响应式为： 即： 由冲激函数匹配法求系统0+状态: hl(i)(0+) 由0+初始状态值代入冲激响应式，求出系数ci。 将系数ci带入冲激响应式，得冲激响应hl(t)。 ③系统冲激响应为：
3.用卷积积分求系统的零状态响应
◆线性时不变系统对任意信号x(t)的零状态响应可由该信号 与系统单位冲激响应h(t）的卷积积分得到。 即：
y(t) = x(t) * h(t)
x(t)
线性时不变系统 h(t)
y(t)= x(t)*h(t)
2.4 卷积积分（续）
◆导出思路（根据线性时不变系统性质）：
（激励信号） （系统响应）
2.2 零输入响应与零状态响应
1. 零输入响应 ◆零输入响应： 外加激励为零，仅由系统起始状态（储能）
所产生的响应。 [ 用 yzi(t) 表示 ]
◆零输入响应yzi(t)为满足下式的解：
◆其解具有与齐次解相同形式：
2.2 零输入响应与零状态响应（续）
◆由于没有外界激励，则系统状态不会发生跳变，即：
vC (0 − ) = vC (0 + ), i L (0 − ) = i L (0 + ).
◆但是当有冲激电流强迫作用于电容或冲激电压强迫作用于电 感时，0- 到 0+ 状态就会发生跳变。 ◆当系统用微分方程表示时，系统从0- 到 0+状态有没有跳变取 决于微分方程右端自由项是否包含δ(t)及其各阶导数项。
2.2 零输入响应与零状态响应（续）
◆ 零输入响应与零状态响应的分解有助于理解系统的物理概 念。但零状态响应的经典解法较为复杂繁琐。
求齐次解与特解 ※步骤： 确定齐次解待定系数 需判断系统跳变状态
◆ 求解零状态响应的简便方法： 卷积积分法 拉普拉斯变换法
2.2 零输入响应与零状态响应（续）
3. 线性时不变系统的线性性概念
◆ 零输入线性性：
外加激励为0时，零输入响应对于各起始状态呈现线性性。
◆ 零状态线性性
起始状态为零时，零状态响应对于外加激励呈现线性性。
◆ 线性时不变系统的线性性：
响应的可分解性 零输入线性性 零状态线性性
（零输入响应与零状态响应）
2.3 冲激响应与阶跃响应
1. 冲激响应 ◆单位冲激响应：
（简称冲激响应）
( 将此解代入微分方程，可得：b=1/2, 即： yp(t) = 1/2 e-t )
2.1 经典时域解法（续）
③求完整解： ◆完整解为：
其微分为：
◆由初始状态：
求出：c1=1,
c2=2
◆系统响应的完全解为：
2.1 经典时域解法（续）
3. 起始点的跳变
0−
O
0+
t
◆系统初始状态：响应区间内t=0+时刻的状态(简称0+状态)。
2）冲激响应与阶跃响应的关系：
冲激函数δ(t)与阶跃函数u(t)的激励互为微分与积分关系
则对于线性时不变系统，冲激响应h(t)与阶跃响应g(t)也互
为微分与积分关系，即：
2.4 卷积积分
1. 卷积积分的概念
对任意两信号f1(t)和f2(t), 其卷积运算定义如下：
记为：
2.4 卷积积分（续）
[例] 求下述两信号的卷积：f1(t)*f2(t) f1(t)=u(t), f2(t)=e-tu（t) [解]
2.2 零输入响应与零状态响应（续）
[例]Biblioteka 2.2 零输入响应与零状态响应（续）
2.2 零输入响应与零状态响应（续）
2. 零状态响应 ◆零状态响应：系统起始状态为零（无初始储能），系统响
应仅由外加激励所产生。 [ 用 yzs(t) 表示 ]
◆零状态响应yzs(t)为满足下式的解：
◆其解为齐次解与特解之和：
t >0 特征根为 -1，-2
③由冲激函数匹配法： ◆h’’(t)必含有δ(t)，则h’(t)必含有△u(t)，则h(t)在t=0连续
即设：
h（0+）=h(0_)=0
2.3 冲激响应与阶跃状态（续）
◆代入微分方程得：
在t=0连续，h（t）=0
◆经平衡匹配得： a = 1， 则：h’(t)= a△u(t)= △u(t) 则0+状态为：
2.1 经典时域解法（续）
2.1 经典时域解法（续）
②求特解
（※特解形式与激励函数的形式相关）
2.1 经典时域解法（续）
③求完全解
◆完全解形式（特征根各不相同的情形） ：