吉林省东北师范大学附属中学2015届高三高考理科一轮复习教案：不等式的证明

2014-10-15（一） 函数及其表示 1.6．[2014·安徽卷] 设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－122.2．[2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)3.7．[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)4.2．[2014·江西卷] 函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )A ．(0，1]B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)5.3．[2014·山东卷] 函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞)C. ⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) （二） 反函数 6.12．[2014·全国卷] 函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝g (x )的图像关于直线x ＋y ＝0对称，则y ＝f (x )的反函数是( )A ．y ＝g (x )B ．y ＝g (－x )C ．y ＝－g (x )D ．y ＝－g (－x )（三） 函数的单调性与最值 7.2．[2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)8.7．[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)9.21．[2014·广东卷] 设函数f (x )＝1（x 2＋2x ＋k ）2＋2（x 2＋2x ＋k ）－3，其中k <－2.(1)求函数f (x )的定义域D (用区间表示)； (2)讨论函数f (x )在D 上的单调性；(3)若k <－6，求D 上满足条件f (x )>f (1)的x 的集合(用区间表示)．10.12．[2014·四川卷] 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________． 11.15．[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x >－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)12.21．[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围．（四） 函数的奇偶性与周期性13.7．[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)2．[解析] 2．A. 由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.3． [解析]7．D 由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]；∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．4．[解析]2．C. 由x 2－x >0，得x >1或x <0.5． [解析] 3．C 根据题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，（log 2）2－1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12.故选C. (二) 反函数(高中针对指对函数)6．[解析] 12．D. 设(x 0，y 0)为函数y ＝f (x )的图像上任意一点，其关于直线x ＋y ＝0的对称点为(－y 0，－x 0)．根据题意，点(－y 0，－x 0)在函数y ＝g (x )的图像上，又点(x 0，y 0)关于直线y ＝x 的对称点为(y 0，x 0)，且(y 0，x 0)与(－y 0，－x 0)关于原点对称，所以函数y ＝f (x )的反函数的图像与函数y ＝g (x )的图像关于原点对称，所以－y ＝g (－x )，即y ＝－g (－x )．（三） 函数的单调性与最值 7．[解析]2．A 由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.8.[解析] 7．D 由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]；∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)． 9.解法一：21.(1).可知222(2)2(2)30x x k x x k +++++->，22[(2)3][(2)1]0x x k x x k ∴+++⋅++->， 223x x k ∴++<-或221x x k ++>，2(1)2x k ∴+<--(20)k -->或2(1)2x k +>-(20)k ->，|1|x ∴+<|1|x +>，1∴-1x <-或1x <-1x >- 所以函数()f x 的定义域D 为(,1-∞-(1-1-(1)-+∞；(2).22(2)(22)2(22)'()x x k x x f x +++++=-2(21)(22)x x k x ++++=-，由'()0f x >得2(21)(22)0x x k x ++++<，即(111)0x x +++-+<，1x ∴<-或11x -<<-，结合定义域知1x <-11x -<<-，所以函数()f x的单调递增区间为(,1-∞-，(1,1--，同理递减区间为(11)--，(1)-+∞；(3).由()(1)f x f =得2222(2)2(2)3(3)2(3)3x x k x x k k k +++++-=+++-，2222[(2)(3)]2[(2)(3)]0x x k k x x k k ∴++-++++-+=， 22(225)(23)0x x k x x ∴+++⋅+-=，(11(3)(1)0x x x x ∴++⋅+-=，1x ∴=-或1x =-或3x =-或1x =，6k <-，1(1,1∴∈--，3(11)-∈--，11--11->- 结合函数()f x 的单调性知()(1)f x f >的解集为(11--(13)--(1,1-(11--．解法二：解：（1）依题意有222(2)2(2)30x x k x x k +++++->()()222+3210xx k x x k ++⋅++->2,31,13k k k <-∴+<-<-故222+3=021=0x x k x x k ++++-，均有两根记为12341111x x x x =-=-=-=-注意到3124x x x x >>>，故不等式()()222+3210x x k x x k ++⋅++->的解集为()()()4213,,,x x x x -∞⋃⋃+∞ ，即()()()4213,,,D x x x x =-∞⋃⋃+∞（2）令()222=(2)2(2)3,g x x x k x x k x D +++++-∈则()()()()'22=2(2)222(22)412+1g x x x k x x x x x k ++⋅+++=+⋅++令()'0g x =，注意到2,11k k <-+<-，故方程2210x x k +++=有两个不相等的实数根记为5611x x =-=-71x =- 注意到3512641x x x x x x >>>->>>结合图像可知 在区间()()23,1,,x x -+∞上()'0g x >，()g x 单调递增在区间()()41,,1,x x -∞-上()'0g x <，()g x 单调递减故()f x 在区间()()23,1,,x x -+∞上单调递减，在区间()()41,,1,x x -∞-上单调递增.（3）(1)f ==在区间D 上，令()()1f x f =，即，即2222(2)2(2)3=812x x k x x k k k +++++-++ ()()222(2)2(2)350x x k x x k k k +++++-+⋅+=()()2223250x x k k x x k k ⎡⎤⎡⎤++-+++++=⎣⎦⎣⎦ 22232250x x x x k ⎡⎤⎡⎤+-+++=⎣⎦⎣⎦()*方程22250x x k +++=的判别式8160k ∆=-->，故此方程()*有4个不相等的实数根，记为8910111,3,11x x x x ==-=-+=--注意到6k <-，故，1211,13x x =->=-<-，故89,x x D ∈ (103110x x -=--=>，故10x D ∈4112420k k x x -----===>故11x D ∈结合()()()4213,,,D x x x x =-∞⋃⋃+∞和函数的图像 可得()(1)f x f >的解集为()()()()1142981310,,,,x x x x x x x x ⋃⋃【品题】函数题（1）考查了数轴标根法，4个根，学过这个方法的学生就能快速做出第一问.我记得考纲上有这样一句“试题中函数一般不超过3次”这次真超过4次了.（2）考查了复合函数单调性，利用导数作工具，这个题还是很容易的，而且不涉及到分类讨论，就是题目的根太多太多了.（3）利用数形结合的思想，容易知道所求的范围，接下来只要根不求错，那就没问题了.总的来说，本题就是根太多，结合图像，不要搞错咯~~二次函数问题依旧是备考的重点，也是难点，平时努力了，也未必有大收获.附：()g x x 3x5x1-1x2x 6x 4()f x 的大致图像为103x 1x8x9x 2x 41110. [解析] 12．1 由题意可知，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 11.[解析] 15．①③④ 若f (x )∈A ，则f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，一定存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①正确．取函数f (x )＝x (－1＜x ＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得f (x )的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时f (x )没有最大值和最小值，故②错误．当f (x )∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，所以，当g (x )∈B 时，对于函数f (x )＋g (x )，如果存在一个正数M ，使得f (x )＋g (x )的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个b 0∈R ，一定存在一个a 0∈D ，使得f (a 0)＝b －g (a 0)，即f (a 0)＋g (a 0)＝b 0∉[－M ，M ]，故③正确．对于f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1 (x ＞－2)，当a ＞0或a ＜0时，函数f (x )都没有最大值．要使得函数f (x )有最大值，只有a ＝0，此时f (x )＝xx 2＋1(x ＞－2)．易知f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12，所以存在正数M ＝12，使得f (x )∈[－M ，M ]，故④正确． 12.解：21． (1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增，于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12<a <e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0.由f (1)＝0得a ＋b ＝e －1<2， 则g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0，解得e －2<a <1. 当e －2<a <1时，g (x )在区间[0，1]内有最小值g (ln(2a ))． 若g (ln(2a ))≥0，则g (x )≥0(x ∈[0，1])，从而f (x )在区间[0，1]内单调递增，这与f (0)＝f (1)＝0矛盾，所以g (ln(2a ))<0. 又g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0.故此时g (x )在(0，ln(2a ))和(ln(2a )，1)内各只有一个零点x 1和x 2.由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2，1]上单调递增． 所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)<f (1)＝0，故f (x )在(x 1，x 2)内有零点． 综上可知，a 的取值范围是(e －2，1)． (四) 函数的奇偶性与周期性。

模块： 一、集合、命题、不等式 课题： 8、不等式的证明（理）教学目标： 掌握比较法、综合法、分析法的基本思路及其表达 重难点： 分析法的基本思路及表达一、 知识要点 1、 比较法（1）求差比较法 要证a b >，只需证0a b ->；要证a b <，只需证0a b -<．其步骤是：作差→变形→判断（与零比较）． （2）求商比较法 要证a b >，而0b >，只需证1ab>；要证a b <，而0b >，只需证1ab<．其步骤是：作商（除式分母大于零）→变形→判断（与1比较） 2、 综合法利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种由因导果的证明方法叫做综合法． 3、 分析法肯定待证的不等式成立，逆推到与已知条件或基本不等式相符合，这一系列的不等式中后者总是前者的充分条件．这种由果索因的证明方法叫做分析法，又称逆证法． 二、 例题精讲例1、若实数,,x y m 满足x m y m ->-，则称x 比y 远离m ． （1） 若21x -比1远离0，求x 的取值范围；（2） 对任意两个不相等的正数,a b ，证明：33a b +比22a b ab +远离2．答案：（1）((),2,-∞+∞；（2）提示：分析法．例2、（1）设x R ∈，比较38x x +与254x +的大小； （2）已知,a b 是互不相等的正数，求证：2211a b b a a b+>+； （3）已知0a b >>，求证：a bb aa b a b >．答案：（1）提示：作差比较；（2）作差比较；（3）作商比较．例3、已知a b c 、、是ABC ∆的三边，S 是其面积，试比较2224c a b ab --+与的大小．提示：作商法．例4、已知a b c 、、为互不相等的正数，且1a b c ++=，求证：1119a b c++>． 提示：将分子1代换为a b c ++．例5、已知0,0a b >>，且1a b +=． 提示：分析法或综合法．例6、已知0,0,1a b a b >>+=，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 提示：分析法或三角换元．例7、已知02a <<，02b <<，02c <<，求证：()()()2,2,2a b b c c a ---不可能都大于1.提示：反证法．三、 课堂练习1、若0,0a b >>且2222a b +=，则a 的最大值是 ．答案：42、若021a <<，21A a =-，21B a =+，11C a =-，11D a=+，则A B C D 、、、之间的大小关系是 ． 答案：D A B C <<<3、已知R θ∈，2sin cos a θθ=++，22sin cos b θθ=--，则a 与b 的大小关系是 ． 答案：a b ≥4、已知0a b >>，且1ab =．若01c <<，22log2c a b p +=，2log c q =，则p q 、的大小关系为 ．答案：p q < 5、函数()22120sin cos 2f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的最小值是 ．答案：3+6、已知0x >，由不等式12x x +≥，2244322x x x x x+=++≥，…，启发我们可以得到推广结论：()*1n ax n n N x+≥+∈，则a = ． 答案：nn四、课后作业 一、填空题1、已知,,a b c 均为正实数，且1a b c ++=，则11a b c++的最小值为 ． 答案：42、已知两个正变量x y 、满足4x y +=，则使不等式14m x y+≥恒成立的实数m 的取值范围是 ． 答案：9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦3的大小关系是 ．<4、设12x >，则函数821y x x =+-的最小值是 ，此时x = ． 答案：92；525、已知()*16sin 62sin 6n n a n N n ππ=+∈+，则数列{}n a 的最小项为 ．答案：1936、下面是几个不等式的证明过程：①若a b R ∈、，则2b a a b +≥=；②若x y R ∈、，则lg lg x y +≥③x y R ∈、，则44x x x x +=+≥；④若a b R ∈、，0ab <，则2b a b a a b a b -⎛⎫+=--+≤-=- ⎪⎝⎭．其中正确的序号是 ． 答案：③④二、选择题7、已知实数0a ≥，0b ≥，且1a b +=，则()()2211a b +++的取值范围是（ ） A 、9,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦B 、9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C 、90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 、[]0,5答案：A8、已知01a <<，1b >且1ab >，则下列不等式中成立的是（ ）A 、11log log log b a a b b b<< B 、11log log log a ba b b b<< C 、11log log log a a b b b b<<D 、11log log log b a a b b b<<答案：B9、甲、乙两车从A 地沿同一路线到达B 地，甲车一半时间的速度是a ，另一半时间的速度为b ；乙车用速度a 行走了一半路程，用速度b 行走了另一半路程．若a b ≠，则两车到达B 地的情况是（ ） A 、甲车先到达B 地 B 、乙车先到达B 地 C 、同时到达B 地 D 、不能判定 答案：A三、解答题10、（1）已知0x ≥，0y ≥，求证：()()21124x y x y +++≥； （2）已知a b 、是不等正数，且3322a b a b -=-，求证：413a b <+<．答案：（1）提示：利用基本不等式；（2）提示：利用基本不等式．11、（1）求证：()()()log 1log 112n n n n n -⋅-<>；（2）已知x y R ∈、，221x y +≤，求证：222x xy y +-≤．答案：（1）提示：利用基本不等式；（2）提示：利用三角不等式及基本不等式．12、已知函数()()2log 1f x x =+，实数m n 、在其定义域内，且m n <，()()f m f n =，求证：（1）0m n +>；（2）()()()22f m f m n f n <+<．答案：（1）易得()()111m n ++=，且111m n +<<+，0m n <<，所以0m n mn +=->； （2）提示：从单调性角度考虑．。

一、知识梳理 （一）、相似三角形的判定及有关性质 1．平行线等分线段定理及其推论（1）定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

（2）推论：①经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

②经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

2．平行线分线段成比例定理及推论（1）定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

如图，若123////l l l ，则有：,,.AD AE AD AE DB ECAB AC DB EC AB AC ===注：把推论中的题设和结论交换之后，命题仍然成立。

3．相似三角形的判定及性质 （1）相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。

（2）相似三角形的判定①预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

如图，若EF//BC ，则⊿AEF ∽⊿ABC 。

②判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。

③判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

④判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。

注：根据判定定理2，对于两等腰三角形，只需再添加一顶角或底角对应相等就可以了。

若两等腰三角形的一底角相等，则另一底角必然相等，由判定定理1即可判定其相似；若顶角对应相等，则它们的两底角也对应相等，由判定定理1即可判定；若一等腰三角形的顶角与另一等腰三角形的一底角对应相等，它们不一定相似。

（3）直角三角形相似的判定：①上述所有的任意三角形相似的判定皆适用于直角三角形。

②定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似。

③定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

④定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法．2.了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式．3.能利用均值不等式求一些特定函数的极值.一、比较法证明不等式 (1)求差比较法：知道a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b 只要证明a －b >0即可，这种方法称为求差比较法． (2)求商比较法：由a >b >0⇔a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时，要证明a >b ，只要证明ab >1即可，这种方法称为求商比较法．二、综合法与分析法 1．综合法利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法． 2．分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法． 3．平均值不等式定理：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．我们称a ＋b ＋c 3为正数a ，b ，c 的算术平均值，3abc 为正数a ，b ，c 的几何平均值，定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式．4．一般形式的算术—几何平均值不等式如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．考点一、比较法证明不等式例1．已知c >b >a ，证明：a 2b ＋b 2c ＋c 2a <ab 2＋bc 2＋ca 2.【变式探究】已知a ，b ∈(0，＋∞)，证明：a a b b ≥(ab )a ＋b2.证明：a ab b ab2a b +＝a2a b -b2b a -＝⎝⎛⎭⎫a b 2a b-，当a ＝b 时，⎝⎛⎭⎫a b 2a b-＝1.当a >b >0时，ab >1，a －b 2>0，则⎝⎛⎭⎫a b a －b2>1.当b >a >0时，0<ab <1，a －b 2<0，则⎝⎛⎭⎫a b 2a b->1.综上可知，a a b b≥(ab )2a b +成立．考点二、综合法与分析法证明不等式例2．已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：法一：1a ＋1b ＋1c ＝(a ＋b ＋c )1a ＋1b ＋1c ≥3·3abc ·3·31abc ＝9⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立. 法二：1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc ＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立． 【变式探究】已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a .【方法技巧】1．利用综合法证明不等式时，应注意对已证不等式的使用，常用的不等式有：(1)a 2≥0；(2)|a |≥0；(3)a 2＋b 2≥2ab ；它的变形形式又有(a ＋b )2≥4ab ，a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22等；(4)a ＋b 2≥ab (a ≥0，b ≥0)，它的变形形式又有a ＋1a ≥2(a >0)，b a ＋a b ≥2(ab >0)，b a ＋ab≤－2(ab <0)等．2．分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”．1.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）,选修4—5：不等式选讲 已知函数()123f x x x =+--.（I ）在答题卡第（24）题图中画出()y f x =的图像； （II ）求不等式()1f x >的解集．【答案】（I ）见解析（II ）()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，综上,13x <或13x <<或5x >,()1f x >∴,解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，2.【2016高考新课标2理数】选修4—5：不等式选讲 已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当,a b M ∈时，|||1|a b ab +<+．【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析.3. 【2016高考新课标3理数】选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x a a =-+．（I ）当2a =时，求不等式()6f x ≤的解集；（II ）设函数()|21|g x x =-．当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）{|13}x x -≤≤；（Ⅱ）[2,)+∞． 【解析】（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+. 解不等式|22|26x -+≤得13x -≤≤. 因此()6f x ≤的解集为{|13}x x -≤≤. （Ⅱ）当x ∈R 时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++- |212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+，当12x =时等号成立，所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于 |1|3a a -+≥. ①当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥. 所以a 的取值范围是[2,)+∞.4. 【2016高考新课标3理数】选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x a a =-+．（I ）当2a =时，求不等式()6f x ≤的解集；（II ）设函数()|21|g x x =-．当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）{|13}x x -≤≤；（Ⅱ）[2,)+∞．当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥.所以a 的取值范围是[2,)+∞.1．【2015高考新课标2，理24】（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab cd >>>a b c d -<-的充要条件．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．1．（2014·辽宁卷） 选修4­5：不等式选讲设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N . (1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x 2≤14.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ∈[1，＋∞），1－x ，x ∈（－∞，1）.当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1. 所以f (x )≤1的解集M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤43.(2)由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16⎝⎛⎭⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34， 因此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －14≤x ≤34，故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤34.当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·2＝xf (x )＝xf (x )＝x (1－x )＝14－⎝⎛⎭⎫x －122≤14.2．（2014·新课标全国卷Ⅱ） 选修4­5：不等式选讲 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．3．（2014·浙江卷）(1)解不等式2|x －2|－|x ＋1|＞3；(2)设正数a ，b ，c 满足abc ＝a ＋b ＋c ，求证：ab ＋4bc ＋9ac ≥36，并给出等号成立条件． 解：(1)当x ≤－1时，2(2－x )＋(x ＋1)＞3，得x ＜2，此时x ≤－1； 当－1＜x ≤2时，2(2－x )－(x ＋1)＞3，得x ＜0，此时 －1<x <0；当x >2时，2(x －2)－(x ＋1)＞3，得x >8，此时x >8. 综上所述，原不等式的解集是(－∞，0)∪(8，＋∞)． (2)证明：由abc ＝a ＋b ＋c ，得1ab ＋1bc ＋1ca ＝1.由柯西不等式，得(ab ＋4bc ＋9ac )⎝⎛⎭⎫1ab ＋1bc ＋1ca ≥(1＋2＋3)2，所以ab ＋4bc ＋9ac ≥36，当且仅当a ＝2，b ＝3，c ＝1时，等号成立． 4.(2014·新课标全国卷Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．。

第二节 不等式的证明[考纲传真] (教师用书独具)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．(对应学生用书第206页)[基础知识填充]1．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．2．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(当且仅当ad ＝bc 时，等号成立)．(2)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． (3)柯西不等式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ， 则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2≥(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2.(4)柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．3．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等． (1)比较法：①比差法的依据是：a －b >0⇔a >b 步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．②比商法：若B >0，欲证A ≥B ，只需证A B≥1. (2)综合法与分析法：①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．( )(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．( ) (4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．(教材改编)若a ＞b ＞1，x ＝a ＋1a ，y ＝b ＋1b，则x 与y 的大小关系是( )A ．x ＞yB ．x ＜yC ．x ≥yD ．x ≤yA [x －y ＝a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b＝a －b ＋b －a ab ＝(a －b )(ab －1)ab. 由a ＞b ＞1得ab ＞1，a －b ＞0，所以(a －b )(ab －1)ab＞0，即x －y ＞0，所以x ＞y .]3．若a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >a >b A [“分子”有理化得a ＝13＋2，b ＝16＋5，c ＝17＋6，所以a >b >c .]4．已知a ＞0，b ＞0且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是________.【导学号：79140398】4 [由题意得，a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， 所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．]5．已知x ＞0，y ＞0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy . [证明] 因为x ＞0，y ＞0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2＞0,1＋x 2＋y ≥33x 2y ＞0，故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .(对应学生用书第207页)已知a ＞0，b ＞0，求证：a b ＋ba≥a ＋b . [证明] 法一：∵⎝⎛⎭⎪⎫a b＋b a －(a ＋b ) ＝⎝⎛⎭⎪⎫a b －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －a ＝a －b b ＋b －aa＝(a －b )(a －b )ab＝(a ＋b )(a －b )2ab≥0，∴a b ＋ba≥a ＋b . 法二：由于a b ＋ba a ＋b＝a a ＋b bab (a ＋b )＝(a ＋b )(a －ab ＋b )ab (a ＋b )＝a ＋bab－1 ≥2abab－1＝1.又a ＞0，b ＞0，ab ＞0， ∴a b ＋ba≥a ＋b .[规律方法] 作差比较法证明不等式的步骤：1作差；2变形；3判断差的符号；4下结论.其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负.注：作商比较法也有类似的步骤，但注意其比较的是两个正数的大小，且第3步要判断商与“1”的大小.422422[证明] 因为a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2)＝(a 2＋b 2)2－4ab (a 2＋b 2)＋4a 2b 2＝(a 2＋b 2－2ab )2＝(a －b )4. 又a ≠b ，所以(a －b )4>0， 所以a 4＋6a 2b 2＋b 4>4ab (a 2＋b 2)．综合法证明不等式(·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.[证明] (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4. (2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.[规律方法] 1.综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：A ⇒B 1⇒B 2⇒…⇒B n ⇒B A 为已知条件或数学定义、定理、公理，B 为要证结论，它的常见书面表达式是“∵，∴”或“⇒”.2.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键. (1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. [证明] (1)∵a ＋b ＝1，a >0，b >0， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b a＋a ＋b b ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋4≥4b a ·ab＋4＝8 (当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8.(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1ab＋1，由(1)知1a ＋1b ＋1ab≥8.∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.(1)设a ，b ，c >0且ab ＋bc ＋ca ＝1，求证：a ＋b ＋c ≥3； (2)设x ≥1，y ≥1，求证x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .【导学号：79140399】[证明] (1)因为a ，b ，c >0， 所以要证a ＋b ＋c ≥3， 只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3， 而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )． 即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)成立． 所以原不等式成立． (2)由于x ≥1，y ≥1， 要证x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ，只需证xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 因为[y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)(y －1)， 因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0， 从而所要证明的不等式成立．1)2≥163；(2)若对任意实数x ，不等式|x －a |＋|2x －1|≥2恒成立，求实数a 的取值范围． [证明] (1)法一：因为a ＋b ＋c ＝1，所以(a ＋1)2＋(b ＋1)2＋(c ＋1)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ＋b ＋c )＋3＝a 2＋b 2＋c 2＋5. 所以要证(a ＋1)2＋(b ＋1)2＋(c ＋1)2≥163，只需证a 2＋b 2＋c 2≥13.因为a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋ca ) ≥(a ＋b ＋c )2－2(a 2＋b 2＋c 2)， 所以3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2. 因为a ＋b ＋c ＝1，所以a 2＋b 2＋c 2≥13.所以(a ＋1)2＋(b ＋1)2＋(c ＋1)2≥163.法二：因为a ＋b ＋c ＝1，所以(a ＋1)2＋(b ＋1)2＋(c ＋1)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ＋b ＋c )＋3＝a 2＋b 2＋c 2＋5. 所以要证(a ＋1)2＋(b ＋1)2＋(c ＋1)2≥163，只需证a 2＋b 2＋c 2≥13.因为a 2＋19≥23a ，b 2＋19≥23b ，c 2＋19≥23c ，所以a 2＋b 2＋c 2＋13≥23(a ＋b ＋c )．因为a ＋b ＋c ＝1，所以a 2＋b 2＋c 2≥13.所以(a ＋1)2＋(b ＋1)2＋(c ＋1)2≥163.法三：因为(a ＋1)2＋169≥83(a ＋1)，(b ＋1)2＋169≥83(b ＋1)，(c ＋1)2＋169≥83(c ＋1)，所以(a ＋1)2＋(b ＋1)2＋(c ＋1)2＋163≥83[(a ＋1)＋(b ＋1)＋(c ＋1)]．因为a ＋b ＋c ＝1，所以(a ＋1)2＋(b ＋1)2＋(c ＋1)2≥163.(2)设f (x )＝|x －a |＋|2x －1|，则“对任意实数x ，不等式|x －a |＋|2x －1|≥2恒成立”等价于“f (x )min ≥2”．当a <12时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋1，x <a ，－x ＋1－a ，a ≤x ≤12，3x －a －1，x >12.此时f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12－a ，要使|x －a |＋|2x －1|≥2恒成立，必须12－a ≥2，解得a ≤－32.当a ＝12时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋|2x －1|＝3⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≥2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≥23不可能恒成立．当a >12时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋1，x <12，x ＋a －1，12≤x ≤a ，3x －a －1，x >a .此时f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a －12，要使|x －a |＋|2x －1|≥2恒成立，必须a －12≥2，解得a ≥52.综上所述，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞.柯西不等式的应用已知x ，y ，z 均为实数．(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33； (2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．[解] (1)证明：因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)＝27.所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3. 当且仅当x ＝23，y ＝13，z ＝0时取等号．(2)因为6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9，所以x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z 3，即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2有最小值187. [规律方法] 1.使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明. 2.利用柯西不等式求最值的一般结构为：a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ≥1＋1＋…＋12＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边常数且应注意等号成立的条件.＋bd ≤8.[证明] 由柯西不等式，得(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16， 所以(ac ＋bd )2≤64， 因此ac ＋bd ≤8.。

不尊武选讲(2) ｛教案)基本知识点：[阅读选讲4-5](1).含有参数不等式的解法例1：解关于x的不等式x2 4mx 4m2m3当m30即m3时x 2m m3或x2m(m 3)••• x3m3或xm 3当m30即m3时| x 6| 0• x 6当m30即m3时x R o例2、解关于x的不等式(cot ) x 2 3x 21,(0解：当cot1即(0,—)时4 2x3x 20• x>2 或x<1当cot1即=一时x40当cot(0,1)即(一，4-)时2 2x3x 20• 1<x<2⑵•不等式的证明方法：比较法(差0法，商1法)例3;若实数x1,求证：3(1 x2 4 \x )(1 x2\2x )・解：原不等式等价于|x 2m |证明：采用差值比较法:m 33( 1 x2x4) (12\2x )3x4x2x42x 2x22x3xx2(x 43x2(x 1)2(x 2 2(x 1)2[(x3 x 3x 21)1)1)2 3]刁；]2x 1,从而(x 1) 1 22(x 1)2[(x -)23(1 x 2 x 4)(1 xx 2)2.讨论：若题设中去掉x 1这一限制条件，要求证的结论如何变换？ 例 4、已知 a,b R ,求证 a a b b a b b a .本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

证明：1）差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b 对称，不妨设a b 0.a b b b （a ab b ab ）0，从而原不等式得证。

2）商值比较法：设a b 0,a曲a1,a b 0, 畀1 （旦）a b 1故原不等式得证。

ba b b注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。

用比较法证明不等式的 步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

（3）不等式的证明方法：分析法、综合法a b例1、a,b 都是正数。

求证：2.b a证明：由重要不等式 A 2 B 2 2AB 可得本例的证明是综合法。

6.3 不等式的证明（二）●知识梳理1.用综合法证明不等式：利用不等式的性质和已证明过的不等式以及函数的单调性导出待证不等式的方法叫综合法，概括为“由因导果”.2.用分析法证明不等式：从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”.3.放缩法证明不等式.4.利用单调性证明不等式.5.构造一元二次方程利用“Δ”法证明不等式.6.数形结合法证明不等式.7.反证法、换元法等.特别提示不等式证明方法多，证法灵活，其中比较法、分析法、综合法是基本方法，要熟练掌握，其他方法作为辅助，这些方法之间不能截然分开，要综合运用各种方法.●点击双基1.（2005年春季北京，8）若不等式（－1）na ＜2+nn 11+-）（对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是A.［－2，23） B.（－2，23） C.［－3，23）D.（－3，23） 解析：当n 为正偶数时，a ＜2－n 1，2－n 1为增函数，∴a ＜2－21=23. 当n 为正奇数时，－a ＜2+n 1，a ＞－2－n 1.而－2－n 1为增函数，－2－n1＜－2， ∴a ≥－2.故a ∈［－2，23）. 答案：A2.（2003年南京市质检题）若a 1＜b1＜0，则下列结论不正确．．．的是 A.a 2＜b 2B.ab ＜b 2C.a b +ba＞2D.|a |+|b |＞|a +b |解析：由a 1＜b1＜0，知b ＜a ＜0.∴A 不正确. 答案：A3.分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案：A4.（理）在等差数列{a n }与等比数列{b n }中，a 1=b 1＞0，a n =b n ＞0，则a m 与b m 的大小关系是____________.解析：若d =0或q =1，则a m =b m .若d ≠0，画出a n =a 1+（n －1）d 与b n =b 1·q n －1的图象，易知a m ＞b m ，故a m ≥b m . 答案：a m ≥b m（文）在等差数列{a n }与等比数列{b n }中，a 1=b 1＞0，a 2n +1=b 2n +1＞0（n =1，2，3，…），则a n +1与b n +1的大小关系是____________.解析：a n +1=2121++n a a ≥121+n a a =121+n b b =b n +1. 答案：a n +1≥b n +15.若a ＞b ＞c ，则b a -1+c b -1_______c a -3.（填“＞”“=”“＜”）解析：a ＞b ＞c ，（b a -1+c b -1）（a －c ）=（b a -1+cb -1）［（a －b ）+（b －c ）］ ≥2））（（c b b a --1·2））（（c b b a --=4.∴b a -1+c b -1≥c a -4＞ca -3. 答案：＞ ●典例剖析【例1】 设实数x 、y 满足y ＋x 2＝0，0＜a ＜1.求证：log a （a x ＋a y）＜log a 2＋81.剖析：不等式左端含x 、y ，而右端不含x 、y ，故从左向右变形时应消去x 、y .证明：∵a x ＞0，a y＞0， ∴a x＋a y≥2y x a +＝22x x a -.∵x －x 2＝41－（x －21）2≤41，0＜a ＜1，∴a x ＋a y≥241a ＝2a 81.∴log a （a x＋a y）＜log a 2a 81＝log a 2＋81.评述：本题的证题思路可由分析法获得.要证原不等式成立，只要证a x ＋a y≥2·a 81即可． 【例2】 已知a 、b 、c ∈R +，且a +b +c =1.求证： （1+a ）（1+b ）（1+c ）≥8（1－a ）（1－b ）（1－c ）.剖析：在条件“a +b +c =1”的作用下，将不等式的“真面目”隐含了，给证明不等式带来困难，若用“a +b +c ”换成“1”，则还原出原不等式的“真面目”，从而抓住实质，解决问题.证明：∵a 、b 、c ∈R +且a +b +c =1， ∴要证原不等式成立， 即证［（a +b +c ）+a ］·［（a +b +c ）+b ］［（a +b +c ）+c ］≥8［（a +b +c ）－a ］·［（a +b +c ）－b ］·［（a +b +c ）－c ］.也就是证［（a +b ）+（c +a ）］［（a +b ）+（b +c ）］·［（c +a ）+（b +c ）］≥8（b +c ）（c +a ）（a +b ）. ①∵（a +b ）+（b +c ）≥2））（（c b b a ++＞0， （b +c ）+（c +a ）≥2））（（a c c b ++＞0， （c +a ）+（a +b ）≥2））（（b a a c ++＞0， 三式相乘得①式成立. 故原不等式得证.【例3】 已知a ＞1，n ≥2，n ∈N *. 求证：n a －1＜na 1-. 证法一：要证n a －1＜n a 1-，即证a ＜（na 1-+1）n. 令a －1=t ＞0，则a =t +1.也就是证t +1＜（1+nt ）n. ∵（1+n t ）n =1+C 1n n t +…+C n n （n t ）n ＞1+t ，即n a －1＜na 1-成立. 证法二：设a =x n，x ＞1.于是只要证nx n 1-＞x －1，即证11--x x n ＞n .联想到等比数列前n 项和1+x +…+x n －1=11--x x n，① 倒序xn －1+xn －2+…+1=11--x x n .②①+②得2·11--x x n =（1+x n －1）+（x +x n －2）+…+（x n －1+1）＞21-n x +21-n x +…+21-n x ＞2n . ∴11--x x n ＞n .思考讨论本不等式是与自然数有关的命题，用数学归纳法可以证吗?读者可尝试一下. ●闯关训练 夯实基础1.已知a 、b 是不相等的正数，x =2b a +，y =b a +，则x 、y 的关系是A.x ＞yB.y ＞xC.x ＞2yD.不能确定解析：∵x 2=21（a +b ）2=21（a +b +2ab ）， y 2=a +b =21（a +b +a +b ）＞21（a +b +2ab ）=x 2，又x ＞0，y ＞0.∴y ＞x . 答案：B2.对实数a 和x 而言，不等式x 3+13a 2x ＞5ax 2+9a 3成立的充要条件是____________.解析：（x 3+13a 2x ）－（5ax 2+9a 3） =x 3－5ax 2+13a 2x －9a 3=（x －a ）（x 2－4ax +9a 2）=（x －a ）［（x －2a ）2+5a 2］＞0.∵当x ≠2a ≠0时，有（x －2a ）2+5a 2＞0.由题意故只需x －a ＞0即x ＞a ，以上过程可逆. 答案：x ＞a3.已知a ＞b ＞c 且a +b +c =0，求证：ac b -2＜3a . 证明：要证ac b -2＜3a ，只需证b 2－ac ＜3a 2，即证b 2+a （a +b ）＜3a 2，即证（a －b ）（2a +b ）＞0， 即证（a －b ）（a －c ）＞0. ∵a ＞b ＞c ，∴（a －b ）·（a －c ）＞0成立. ∴原不等式成立.4.已知a +b +c =0，求证：ab +bc +ca ≤0.证法一：（综合法）∵a +b +c =0，∴（a +b +c ）2＝0.展开得ab +bc +ca =－2222c b a ++，∴ab +bc +ca ≤0. 证法二：（分析法）要证ab +bc +ca ≤0， ∵a +b +c =0，故只需证ab +bc +ca ≤（a +b +c ）2，即证a 2+b 2+c 2+ab +bc +ca ≥0，亦即证21［（a +b ）2＋（b ＋c ）2＋（c ＋a ）2］≥0． 而这是显然的，由于以上相应各步均可逆， ∴原不等式成立.证法三：∵a +b +c =0，∴－c =a +b .∴ab +bc +ca =ab +（b +a ）c =ab －（a +b ）2＝－a 2－b 2－ab ＝－［（a ＋2b ）2＋432b ］≤0．∴ab +bc +ca ≤0.培养能力5.设a +b +c =1，a 2+b 2+c 2=1且a ＞b ＞c . 求证：－31＜c ＜0.证明：∵a 2+b 2+c 2=1，∴（a +b ）2－2ab +c 2=1.∴2ab =（a +b ）2+c 2－1=（1－c ）2+c 2－1=2c 2－2c .∴ab =c 2－c .又∵a +b =1－c ，∴a 、b 是方程x 2+（c －1）x +c 2－c =0的两个根，且a ＞b ＞c . 令f （x ）=x 2+（c －1）x +c 2－c ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-⇒>->.0031210）（c f c c c Δ6.已知ac b 22-=1，求证：方程ax 2+bx +c =0有实数根. 证明：由a cb 22-=1，∴b =22c a +. ∴b 2=（2a+2c ）2=22a +2ac +2c 2=4ac +（2a －2c ）2≥4ac .∴方程ax 2+bx +c =0有实数根.7.设a 、b 、c 均为实数，求证：a 21+b 21+c 21≥c b +1+a c +1+ba +1. 证明：∵a 、b 、c 均为实数，∴21（a 21＋b 21）≥ab21≥b a +1，当a =b 时等号成立；21（b 21＋c 21）≥bc21≥c b +1，当b =c 时等号成立； 21（c 21＋a 21）≥ca21≥a c +1． 三个不等式相加即得a 21+b 21+c 21≥c b +1+a c +1+ba +1，当且仅当a =b =c 时等号成立. 探究创新8.已知a 、b 、c 、d ∈R ，且a +b =c +d =1，ac +bd ＞1. 求证：a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数. 证明：假设a 、b 、c 、d 都是非负数， ∵a +b =c +d =1，∴（a +b ）（c +d ）=1.∴ac +bd +bc +ad =1≥ac +bd .这与ac +bd ＞1矛盾. 所以假设不成立，即a 、b 、c 、d 中至少有一个负数. ●思悟小结1.综合法就是“由因导果”，从已知不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证的结论.2.分析法就是“执果索因”，从所证不等式出发，不断用充分条件替换前面的不等式，直至找到成立的不等式.3.探求不等式的证法一般用分析法，叙述证明过程用综合法较简，两法结合在证明不等式中经常遇到.4.构造函数利用单调性证不等式或构造方程利用“Δ≥0”证不等式，充分体现相关知识间的联系.●教师下载中心 教学点睛1.在证明不等式的过程中，分析法和综合法是不能分离的，如果使用综合法证明不等式难以入手时，常用分析法探索证题途径，之后用综合法的形式写出它的证明过程，以适应学生习惯的思维规律.有时问题证明难度较大，常使用分析综合法，实现两头往中间靠以达到证题目的.2.由于高考试题不会出现单一的不等式的证明题，常常与函数、数列、三角、方程综合在一起，所以在教学中，不等式的证明除常用的三种方法外，还需介绍其他方法，如函数的单调性法、判别式法、换元法（特别是三角换元）、放缩法以及数学归纳法等.拓展题例【例1】 已知a 、b 为正数，求证：（1）若a +1＞b ，则对于任何大于1的正数x ，恒有ax +1-x x＞b 成立； （2）若对于任何大于1的正数x ，恒有ax +1-x x＞b 成立，则a +1＞b . 分析：对带条件的不等式的证明，条件的利用常有两种方法：①证明过程中代入条件；②由条件变形得出要证的不等式.证明：（1）ax +1-x x =a （x －1）+11-x +1+a ≥2a +1+a =（a +1）2. ∵a +1＞b （b ＞0），∴（a +1）2＞b 2. （2）∵ax +1-x x ＞b 对于大于1的实数x 恒成立，即x ＞1时，［ax +1-x x ］min ＞b ， 而ax +1-x x =a （x －1）+11-x +1+a ≥2a +1+a =（a +1）2， 当且仅当a （x －1）=11-x ，即x =1+a1＞1时取等号.故［ax +1-x x ］min =（a +1）2.则（a +1）2＞b ，即a +1＞b .评述：条件如何利用取决于要证明的不等式两端的差异如何消除. 【例2】 求证：||1||b a b a +++≤||1||a a ++||1||b b +.剖析：|a +b |≤|a |+|b |，故可先研究f （x ）=xx+1（x ≥0）的单调性. 证明：令f （x ）=xx+1（x ≥0），易证f （x ）在［0，+∞）上单调递增. |a +b |≤|a |+|b |，∴f （|a +b |）≤f （|a |+|b |），即||1||b a b a +++≤||||1||||b a b a +++=||||1||||||1||b a b b a a +++++≤||1||||1||b b a a +++.思考讨论1.本题用分析法直接去证可以吗?2.本题当|a +b |=0时，不等式成立；当|a +b |≠0时，原不等式即为||111b a ++≤||1||||1||b b a a +++.再利用|a +b |≤|a |+|b |放缩能证吗?读者可以尝试一下!。

一、不等式的解法知识梳理：1、一元二次不等式a与相应的二次函数y=a,相应的一元二次方程a =0之间的关系如下表:判别式二次函数y=a的图象一元二次方程a=0一元二次不等式a一元二次不等式a解一元二次不等式的基本步骤：（1）、整理系数，一般使最高项的系数为正；（2）、尝试用十字相乘法因式分解；（3）、计算判别式；（4）、结合二次函数图象的特征写出解集；2、分式不等式的解法思路：将不等式整理为：的形式，再转化为整式不等式求解，即：3、指对不等式解法：思路：当a与同解；当0<与同解；当a与同解；当0<与同解；4、三角不等式的解法：数形结合5、绝对值不等式解法：（1）|ax+b|，或|ax+b|型不等式解法；cc（2）、|x-a|+|x-b|，或|x-a|+|x-b|型不等式解法；1、运用绝对值的几何意义2、零点分区间讨论3、构造分段函数，结合函数图象求解二、题型探究探究一、一元二次不等式例1：已知关于x的不等式a的解集是（-，），求-c的解集。

探究二:利用函数的图象和性质解不等式例2:解不等式)探究三：利用三角函数的图象和性质解不等式例3：已知函数f(x)=2si x+sin2x,x ,求使x 为正值的x 的集合。

探究四：含有参数的不等式例4：解关于x 的不等式 （a R ）探究五：利用抽象函数的性质解不等式例5：已知定义域为R 的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x+f(y),且f(1)=2,(1)、判断的奇偶性和单调性(2)、解不定式f()f(2-x)四、反思感悟五、课时作业1．不等式2(3)(10)0(1)x x x x --≥-的解集是 （ ） ()A (,0)(1,3][10,)-∞+∞U U()B (,0)(0,1)[3,10]-∞U U ()C (0,1)(3,10)U()D [0,1)(3,10)U 2．已知不等式2230x x --<的解集为A ，不等式260x x +-<的解集为B ，不等式20x ax b ++<的解集为A B I ，则a b +等于 （ ）()A 3- ()B 1 ()C 1- ()D 33．设函数(),()f x g x 都上定义在R 上的奇函数，不等式()0f x >的解集为(,)m n ，不等式()0g x >的解集为(,)22m n ，其中02m n <<，则不等式()()0f x g x ⋅>的解集是 （ ） ()A (,)22m n ()B (,)(,)2222m n n m --U ()C (,)n m -- ()D (,)(,)22n n m m --U 4．若不等式22113()3x ax x -+>对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 5．已知20ax bx c ++>的解集为{|0}x x αβ<<<，则不等式20cx bx a -+>的解集是 ．6．已知关于x 的不等式()()0x a x b x c--≥-的解为12x -≤<或3x ≥，则不等式0()()x c x a x b -≤--的解集为 ． 7．解不等式1318329x x +-+⋅>．8．解不等式：（1）2(2)(1)(1)(2)0x x x x ++--≤；（2）22032x x x-<+-．9．已知0a >且1a ≠，关于x 的不等式1xa >的解集是(,0)-∞，求关于x 的不等式1log ()0a x x->的解集．10．若不等式221(1)x m x ->-对满足||2m ≤的所有m 都成立，求x 的取值范围．11．设集合2{|2(1)10}M x ax a x =-+->，已知M φ≠，M R +⊆，求a 的取值范围．。