高考理科数学一轮复习不等式的证明专题练习题

不等式的证明1．(2017·呼和浩特调研)已知a >0，b >0，c >0.若函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为2.(1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求1a ＋1b ＋1c的最小值． 解：(1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立，又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c ，所以a ＋b ＋c ＝2.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝2，所以1a ＋1b ＋1c ＝(1a ＋1b ＋1c )×a ＋b ＋c 2＝12×[3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )]≥12×(3＋2＋2＋2)＝92，当且仅当b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝b c ，即a ＝b ＝c ＝23时，等号成立．所以1a ＋1b ＋1c 的最小值为92. 2．(2017·昆明检测)已知函数f (x )＝|x ＋3|－|x －1|＋5.(1)求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的值域是[m ，n ]，且a 2＋b 2＝m ，c 2＋d 2＝n ，求ac ＋bd 的取值范围．解：(1)设g (x )＝|x ＋3|－|x －1|＋5，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－2x ＋－3<x x，所以g (x )∈[1,9]．所以函数f (x )的值域是[1,3]． (2)由(1)知a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝3，由柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，取等号，即(ac ＋bd )2≤3，解得－3≤ac ＋bd ≤3，所以ac ＋bd ∈[－3，3]．3．(2017·衡阳二联)已知函数f (x )＝|x －3|.(1)若不等式f (x －1)＋f (x )<a 的解集为空集，求实数a 的取值范围；(2)若|a |<1，|b |<3，且a ≠0，判断 f ab |a |与f (b a)的大小，并说明理由． 解：(1)因为f (x －1)＋f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|x －4＋3－x |＝1，不等式f (x －1)＋f (x )<a 的解集为空集，则1≥a 即可，所以实数a 的取值范围是(－∞，1]．(2)f ab |a |>f (b a)． 证明：要证 f ab |a |>f (b a)，只需证|ab －3|>|b －3a |，即证(ab －3)2>(b －3a )2，又(ab －3)2－(b －3a )2＝a 2b 2－9a 2－b 2＋9＝(a 2－1)(b 2－9)．因为|a |<1，|b |<3，所以(ab －3)2>(b －3a )2成立，所以原不等式成立．4．(1)已知a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2； (2)已知a ，b ，c 都是正数，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c≥abc . 证明：(1)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝(a ＋b )(a －b )2.因为a ，b 都是正数，所以a ＋b >0.又因为a ≠b ，所以(a －b )2>0.于是(a ＋b )(a －b )2>0，即(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)>0，所以a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.(2)因为b 2＋c 2≥2bc ，a 2>0，所以a 2(b 2＋c 2)≥2a 2bc . ①同理b 2(a 2＋c 2)≥2ab 2c ， ② c 2(a 2＋b 2)≥2abc 2.①②③相加得2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2a 2bc ＋2ab 2c ＋2abc 2，从而a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥abc (a ＋b ＋c )．由a ，b ，c 都是正数，得a ＋b ＋c >0， 因此a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c≥abc . 5．已知函数f (x )＝2x ，x 1，x 2是任意实数且x 1≠x 2，证明：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 证明：12[f (x 1)＋f (x 2)]－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x 1＋f x 2－2f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22 ＝12[2x 1 ＋2x 2 －2×2x 1＋x 22 ] ＝12[2x 1 －2x 12 ·2x 22 －2x 12 ·2x 22 ＋2x 2] ＝12[2x 12 (2x 12 －2x 22 )－2x 22 (2x 12 －2x 22 )] ＝12(2x 12 －2x 22 )(2x 12 －2x 22 )＝12(2x 12 －2x 22 )2.因为x 1≠x 2,2x 12 ≠2x 22 ，所以12(2x 12 －2x 22 )2>0，即12[f (x 1)＋f (x 2)]－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>0，所以12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.。

第2课时 一元二次不等式的解法1．下列不等式中解集为R 的是( ) A ．－x 2＋2x ＋1≥0 B ．x 2－25x ＋5>0 C ．x 2＋6x ＋10>0 D ．2x 2－3x ＋4<0答案 C解析 在C 项中，Δ＝36－40＝－4<0，所以不等式解集为R . 2．函数y ＝ln （x ＋1）－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．(－4，－1)B ．(－4，1)C ．(－1，1)D ．(－1，1]答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得－1<x<1.3．若0＜m ＜1，则不等式(x －m)(x －1m )＜0的解集为( )A ．{x|1m ＜x ＜m}B ．{x|x ＞1m 或x ＜m}C ．{x|x ＞m 或x ＜1m }D ．{x|m ＜x ＜1m}答案 D解析 当0<m<1时，m<1m.4．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q ，1)，则p ＋q 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2答案 B解析 依题意得q ，1是方程x 2＋px －2＝0的两根，q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，选B. 5．不等式(2x －1)(1－|x|)<0成立的充要条件是( ) A ．x>1或x<12B ．x>1或－1<x<12C ．－1<x<12D ．x<－1或x>12答案 B解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，1－|x|<0或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，1－|x|>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x>12，x>1或x<－1或⎩⎪⎨⎪⎧x<12，－1<x<1.∴x>1或－1<x<12，故选B.6．不等式x 2－x －6x －1>0的解集为( )A.{}x|x<－2或x>3B.{}x|x<－2或1<x<3C.{}x|－2<x<1或x>3D.{}x|－2<x<1或1<x<3答案 C解析 x 2－x －6x －1>0⇒（x －3）（x ＋2）x －1>0⇒(x ＋2)·(x－1)(x －3)>0，由数轴标根法，得－2<x<1或x>3.7．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x 2＋bx ＋a<0的解集为( ) A ．{x|－1<x<12}B ．{x|x<－1或x>12}C ．{x|－2<x<1}D ．{x|x<－2或x>1}答案 A解析 由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．由韦达定理⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－ba ，（－1）×2＝2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.∴不等式2x 2＋bx ＋a<0，即2x 2＋x －1<0.可知x ＝－1，x ＝12是对应方程的根，∴选A.8．(2013·某某，理)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>12}，则f(10x)>0的解集为( )A ．{x|x<－1或x>lg2}B ．{x|－1<x<lg2}C ．{x|x>－lg2}D ．{x|x<－lg2}答案 D解析 方法一：由题意可知f(x)>0的解集为{x|－1<x<12}，故f(10x )>0等价于－1<10x <12.由指数函数的值域为(0，＋∞)，知一定有10x >－1.而10x <12可化为10x<10lg 12，即10x<10－lg2.由指数函数的单调性可知x<－lg2，故选D.方法二：当x ＝1时，f(10)<0，排除A ，C 选项．当x ＝－1时，f(110)>0，排除选项B ，选D.9．(2017·某某模拟)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1，5]上有解，则a 的取值X 围是( ) A ．(－235，＋∞)B ．[－235，1]C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－235]答案 A解析 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负， 所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解，只需满足f(5)>0， 即a>－235.10．(2017·某某质检)不等式f(x)＝ax 2－x －c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y ＝f(－x)的图像为( )答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a<0，－2＋1＝1a ，－2×1＝－ca，解得a ＝－1，c ＝－2. 则函数y ＝f(－x)＝－x 2＋x ＋2.11．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x)2<1(i ＝1，2，3)都成立的x 的取值X 围是( ) A ．(0，1a 1)B ．(0，2a 1)C ．(0，1a 3)D ．(0，2a 3)答案 B12．(2018·某某一模)在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a<0的解集中恰有两个整数，则a 的取值X 围是( ) A ．(3，4) B ．(－2，－1)∪(3，4) C ．(3，4] D ．[－2，－1)∪(3，4]答案 D解析 由题意得，原不等式化为(x －1)(x －a)<0，当a>1时，解得1<x<a ，此时解集中的整数为2，3，则3<a≤4；当a<1时，解得a<x<1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a<－1，故a∈[－2，－1)∪(3，4]．13．(2018·某某某某质检)已知g(x)是R 上的奇函数，当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，且f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g （x ），x>0.若f(2－x 2)<f(x)，则实数x 的取值X 围是( ) A ．(－1，2) B ．(1，2) C ．(－2，－1) D ．(－2，1)答案 D解析 若x>0，则－x<0，因为g(x)是R 上的奇函数，所以g(x)＝－g(－x)＝ln(x ＋1)，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln （1＋x ），x>0，则函数f(x)是R 上的增函数，所以当f(2－x 2)>f(x)时，2－x 2>x ，解得－2<x<1，故选D.14．不等式2x 2－3|x|－35>0的解集为________． 答案 {x|x<－5或x>5}解析 2x 2－3|x|－35>0⇔2|x|2－3|x|－35>0⇔(|x|－5)(2|x|＋7)>0⇔|x|>5或|x|<－72(舍)⇔x>5或x<－5.15．已知－12<1x <2，则实数x 的取值X 围是________．答案 x<－2或x>12解析 当x>0时，x>12；当x<0时，x<－2.所以x 的取值X 围是x<－2或x>12.16．若不等式a·4x－2x＋1>0对一切x∈R 恒成立，则实数a 的取值X 围是________． 答案 a>14解析 不等式可变形为a>2x－14x ＝(12)x －(14)x，令(12)x＝t ，则t>0. ∴y ＝(12)x －(14)x ＝t －t 2＝－(t －12)2＋14，因此当t ＝12时，y 取最大值14，故实数a 的取值X 围是a>14.17．(2017·某某毛坦厂中学月考)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k<0(k≠0)． (1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集为{x|x∈R ，x ≠1k }，求k 的值；(3)若不等式的解集为R ，求k 的取值X 围； (4)若不等式的解集为∅，求k 的取值X 围．答案 (1)k ＝－25 (2)k ＝－66 (3)k<－66 (4)k≥66解析 (1)因为不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}， 所以k<0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根， 所以(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.(2)因为不等式的解集为{x|x∈R ，x ≠1k}，所以⎩⎪⎨⎪⎧k<0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66. (3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k<0，Δ＝4－24k 2<0，解得k<－66. (4)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k>0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k≥66.18．(2017·某某中学调研卷)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0x 2－6x ＋8＜0的解集是不等式2x 2－9x ＋a ＜0的解集的子集，某某数a 的取值X 围． 答案 (－∞，9]解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0的解集为(2，3)，令g(x)＝2x 2－9x ＋a ，其对称轴为x ＝94，∴只需g(3)＝－9＋a≤0，∴a ≤9.1．设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为(－1，13)，则ab 的值为( )A ．－6B ．－5C ．6D ．5答案 C解析 方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根为－1，13，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋13＝－b a ，－1×13＝1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－2.∴ab ＝6，故选C.2．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，对一切x∈R 恒成立，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－2，2] C ．(－2，2) D ．(－∞，2)答案 B解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，∴－2<a<2，另a ＝2时，原式化为－4<0，恒成立，∴－2<a≤2.故选B.3．已知x 1，x 2是二次方程f(x)＝0的两个不同实根，x 3，x 4是二次方程g(x)＝0的两个不同实根，若g(x 1)g(x 2)<0，则( )A ．x 1，x 2介于x 3，x 4之间B ．x 3，x 4介于x 1，x 2之间C ．x 1，x 2相邻，x 3，x 4相邻D ．x 1，x 2与x 3，x 4间隔排列答案 D解析 画图知，选D.4．(2017·某某外国语学校月考)已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． 答案 9解析 由值域为[0，＋∞)，当x 2＋ax ＋b ＝0时有Δ＝a 2－4b ＝0，即b ＝a 24，∴f(x)＝x 2＋ax ＋b ＝x 2＋ax ＋a 24＝(x ＋a 2)2，∴f(x)＝(x ＋a 2)2<c 解得－c<x ＋a 2<c ，－c －a 2<x<c －a 2.∵不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴(c －a 2)－(－c －a2)＝2c ＝6，解得c ＝9.5．已知(ax －1)(x －1)≥0的解集为R ，则实数a 的值为________． 答案 1解析 原不等式为ax 2－(a ＋1)x ＋1≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝（a ＋1）2－4a≤0⇒a ＝1. 6．不等式log 2(x ＋1x ＋6)≤3的解集为________．答案 (－3－22，－3＋22)∪{1}解析 原不等式⇔0<x ＋1x＋6≤8⇔①⎩⎪⎨⎪⎧x>0，x 2＋6x ＋1>0，x 2－2x ＋1≤0或②⎩⎪⎨⎪⎧x<0，x 2＋6x ＋1<0，x 2－2x ＋1≥0.解①得x ＝1，解②得－3－22<x<－3＋2 2. ∴原不等式的解集为(－3－22，－3＋22)∪{1}．7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对x∈(0，12]恒成立，求a 的最小值．答案 －52解析 方法一：(1)Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a≤2成立． (2)a<－2时，－a2>1，只需(12)2＋a·12＋1≥0，即a≥－52，此时－52≤a<－2.(3)a>2时，－a2<－1恒成立．综上所述，a ≥－52.∴a 的最小值为－52.方法二：由x 2＋ax ＋1≥0，得a≥－x －1x ，x ∈(0，12]．令f(x)＝－x －1x (x∈(0，12])＝－(x ＋1x )，是增函数．当x ＝12时，f(12)＝－52，∴f(x)max ＝－52.要使原命题成立，则a≥－52.∴a 的最小值为－52.。

一轮大题专练7—导数（构造函数证明不等式1）1．已知函数()f x alnx x =+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，证明：()x xf x e <． 解：（1）()f x alnx x =+，(0,)x ∈+∞． ()1af x x'=+， 0a 时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递增．0a <时，令()0f x '=，解得0x a =->，函数()f x 在(0,)x a ∈-上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增．（2）证明：当1a =时，要证明：()xxf x e <，即证明21xlnx e x x+<， 令()1lnxg x x=+，21()lnx g x x -'=， 令()0g x '>，解得0x e <<；令()0g x '<，解得e x <． ∴函数()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减．x e ∴=时，函数()g x 取得极大值即最大值，g （e ）11e=+． 令2()xe h x x =，3(2)()xx e h x x -'=，令()0h x '<，解得02x <<；令()0h x '>，解得2x <． ∴函数()h x 在(0,)e 上单调递减，在(2,)+∞上单调递增．x e ∴=时，函数()h x 取得极小值即最小值，h （2）24e =．221251(1)1044 2.5e e ⋅-+>-->． ()()max min g x h x ∴<，即21xlnx e x x+<，也即()x xf x e <． 2．已知函数()f x x alnx =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若关于x 的方程0x alnx -=有两个不相等的实数根，记较小的实数根为0x ，求证：0(1)a x a ->．（Ⅰ）解：由()f x x alnx =-，可得()1a f x x'=-， 则f '（1）1a =-，又f （1）1=，所以曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为1(1)(1)y a x -=--， 即(1)y a x a =-+．（Ⅱ）解：()f x x alnx =-的定义域为(0,)+∞，()1a x af x x x-'=-=， 当0a 时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '>，可得x a >，令()0f x '<，可得0x a <<， 所以()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增．（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当0a >时，()0f x x alnx =-=才有两个不相等的实根，且00x >， 则要证0(1)a x a ->，即证011a a x ->，即证0111a x ->， 而000x alnx -=，则000(1x a x lnx =≠，否则方程不成立）， 所以即证00011lnx x x ->，化简得0010x lnx -->， 令000()1g x x lnx =--，则000011()1x g x x x -'=-=， 当001x <<时，0()0g x '<，0()g x 单调递减， 当01x >时，0()0g x '>，0()g x 单调递增， 所以0()g x g （1）0=，而01x ≠， 所以0()0g x >，所以0(1)a x a ->，得证．3．已知函数()f x alnx x =+，函数2()x g x e bx =+，（1）记2()()h x f x x =+，试讨论函数()h x 的单调性，并求出函数()h x 的极值点；（2）若已知曲线()y f x =和曲线()y g x =在1x =处的切线都过点(0,1)．求证：当0x >时，()()(1)1xf x g x e x +--．解：（1）2()h x alnx x x =++，22()(0)x x ah x x x++'=>， 记2()2(0)x x x a x ϕ=++>，当0a 时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞单调递增，无极值点，当0a <时，△180a =->，()x ϕ有异号的两根10)x =<，20)x =>，x ∴∈，()0x ϕ<，()0h x '<，()h x 在单调递减，x ∈，)+∞，()0x ϕ>，()0h x '>，()h x 在，)+∞单调递减，()h x ∴有极小值点x =； （2）证明：()(0)x af x x x+'=>，()2x g x e bx '=+，f ∴'（1）1a =+，()f x 在1x =处的切线方程为1(1)(1)y a x -=+-，过点(0,1)得：1a =-，g '（1）2e b =+，()g x 在1x =处的切线方程为(2)(1)y e b e b x --=+-，过点(0,1)得：1b =-， ()f x lnx x ∴=-+，2()x g x e x =-，要证：()()(1)1xf x g x e x +--，即证：(1)10x e xlnx e x ----， 即证：1(1)0x e lnx e x x---，构造函数1()(1)x e K x lnx e x x =---，则2(1)(1)()x x e K x x --'=，0x >时，10x e ->，(0,1)x ∴∈时，()0K x '<，()K x 在(0,1)单调递减， (1,)x ∴∈+∞时，()0K x '>，()K x 在(1,)+∞单调递增，()K x K ∴（1）0=，故原不等式成立．4．已知函数()()f x ax lnx a R =+∈在1x =处取得极值．（Ⅰ）若对(0,)x ∀∈+∞，()1f x bx -恒成立，求实数b 的取值范围； （Ⅱ）设()()(2)x g x f x x e =+-，记函数()y g x =在1[4，1]上的最大值为m ，证明：(4)(3)0m m ++<．（Ⅰ）解：()()f x ax lnx a R =+∈，则1()f x a x'=+， 又()f x 在1x =处取得极值，则有f '（1）10a =+=，解得1a =-， 此时1()1f x x'=-，当01x <<时，()0f x '>，则()f x 单调递增， 当1x >时，()0f x '<，则()f x 单调递减， 所以()f x 确实在1x =处取得极值， 故1a =-，设()(1)1h x lnx b x =+--，则()1f x bx -在(0,)+∞上恒成立，即()0h x 在(0,)+∞上恒成立， 因为1()1h x b x'=+-， 当10b -，即1b 时，()0h x >在(0,)+∞上恒成立，不符合题意； 当1b <时，令()0h x '=，解得11x b=-， 当101x b<<-时，()0h x '>，则()h x 单调递增， 当11x b>-时，()0h x '<，则()h x 单调递减， 所以当11x b =-时，()h x 取得最大值111()1(1)2111b h ln ln b b b b-=+-=------， 要使得()0h x 在(0,)+∞上恒成立， 则有(1)20ln b ---，解得21b e --，综上所述，实数b 的取值范围为(-∞，21]e --；（Ⅱ）证明：要证(4)(3)0m m ++<，即证明43m -<<-即可， 因为()()(2)(2)x x g x f x x e lnx x x e =+-=-+-， 则111()1(2)(1)()(1)x x x x x g x e x e e x e x x x x-'=-++-=+-=--， 因为1[4x ∈，1]时，10x -恒成立，设1()x M x e x=-，1[4x ∈，1]，则()M x 为单调递增函数，又113205112035()0,()0201153M e M e =-<=->，则存在0113(,)205x ∈，使得0()0M x =，即001x e x =，则当01[,)4x x ∈时，()0M x <，(1)0x -<，则()0g x '>，故()g x 单调递增，当0[x x ∈，1]时，()0M x ，(1)0x -且不同时为0，则()0g x '，故()g x 单调递减，所以()g x 在1[4，1]上的最大值为0000000000()(2)2x x x m g x lnx x x e lnx x x e e ==-+-=-+-，又001x e x =，则00021m lnx x x =-+-，0113(,)205x ∈，设2()1k x lnx x x =-+-，113(,)205x ∈， 则212()10k x x x'=-+>对于113(,)205x ∈恒成立， 故()k x 在113(,)205x ∈上单调递增 故1111114011940()()1420202011202011k x k ln ln >=-+-=+->-， 333103()()1 2.933355535k x k ln ln <=-+-≈-<-，于是43m -<<-， 故(4)(3)0m m ++<．5．已知函数()x f x e x a =--，对于x R ∀∈，()0f x 恒成立． （1）求实数a 的取值范围；（2）证明：当[0,]4x π∈时，cos tan x x x e +．解：（1）由0x e x a --恒成立，得x a e x -对x R ∀∈恒成立， 令()x g x e x =-，()1x g x e '=-， 当0x >，()0g x '>，()g x 单调递增，当0x <，()0g x '<，()g x 单调减，()(0)1min g x g ==， 故所求实数a 的取值范围为(-∞，1]； （2）证明：由（1）得1x e x +．欲证cos tan x x x e +，只需证cos tan 1x x x ++即可， 令()cos tan 1h x x x x =+--，222221sin (sin cos )sin (sin sin 1)()sin 1cos cos cos x x x x x x h x x x x x-+-'=-+-==，令2()sin sin 1F x x x =+-，则易知()F x 在[0,]4π单调递增，且(0)0F <，()04F π>，故存在0(0,)4x π∈，使得0()0F x =；当[0x ∈，0)x 时，()0F x <，()0h x '，()h x 单调递减，当0(,]4x x π∈时，()0F x >，()0h x '>，()h x 单调递增，又(0)0h =，()044h ππ<，()(0)0max h x h ==，故当[0,]4x π∈时，cos tan x x x e +．6．已知函数()x f x e =，()1g x ax =+． （Ⅰ）已知()()f x g x 恒成立，求a 的值；（Ⅱ）若(0,1)x ∈211x x+-<． 解：（1）已知()()f x g x 恒成立，即()()0f x g x -恒成立， 令()()()1x h x f x g x e ax =-=--，则有()x h x e a '=-，当0a 时，则恒有()0h x '>，此时函数()h x 单调递增，并且当x →-∞时，()h x →-∞，不满足题意；0a ∴>，此时令()0h x x lna '=⇒=；()0h x x lna '∴>⇒>；()0h x x lna '<⇒<，即函数()h x 在(,)lna -∞上单调递减，在(,)lna +∞上单调递增，()()1min h x h lna a alna ∴==--，若要满足题意，则需使10a alna --，恒成立， 令F （a ）1(0)a alna a =-->，则有F '（a ）lna =，由此可得，当01a <<时，F '（a ）0<；当1a >时，F '（a ）0>．F ∴（a ）min F =（1）0=，即得F （a ）0， 1a ∴=．（2）令()1((0,1))x G x e x x =--∈，则有()10x G x e '=->恒成立，故可得()G x 在(0,1)上单调递增，即有()(0)0G x G >=恒成立，故有101x x e x e x -->⇔>+在(0,1)上恒成立； 根据题意，要证2111()lnx x f x x-+-<，即证明1111lnx x x x -+-<+，即证2111x lnx x x x x+-++-<+， 即证2110lnx x x-++>， 令21()H x lnx x x x =-++，则有22111()2(1)2H x x x x x x x'=--=--，(0,1)x ∈，10x ∴-<，20x -<，()0H x '∴<在(0,1)上恒成立，即得函数()H x 在(0,1)上单调递减， ()H x H ∴>（1）10=>，由此得证当(0,1)x ∈时，原不等式成立．7．已知函数()(1)f x x lnx =-，()f x '的反函数为()h x （其中()f x '为()f x 的导函数，20.69)ln ≈． （1）判断函数2()()32g x f x x x '=+-+在(0,)+∞上零点的个数；（2）当(0,1)x ∈31x x >--． 解：（1）由题意得22()()3232g x f x x x lnx x x ='+-+=+-+， 则(21)(1)()x x g x x--'=，由()0g x '=得12x =或1x =， 由()0g x '>，得102x <<或1x >， 由()0g x '<，得112x <<， 当x 在(0,)+∞上变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：根据上表知13()2024g x g ln ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭极大值，()g x g =极小值（1）0=，121()220416g ln =-<， 根据零点的存在性定理，函数()g x 在1(0,)2上存在唯一零点，又因为g （1）0=，所以根据()g x 的单调性可知，函数2()()32g x f x x x ='+-+在(0,)+∞上零点的个数为2． （2）证明：因为()f x lnx '=，其反函数为()x h x e =， 所以不等式为33(1)1(1)(1)x xx lnx x x x lnx x x e e->--⇔->--， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<， 所以()f x 在(0,1)上单调递减，所以()f x f >（1）1=-， 设函数3()(1)x G x x x e =--， 则32()(32)x G x x x x e '=+--，设函数32()32p x x x x =+--，则2()361p x x x '=+-， 所以()p x '在(0,1)上单调递增， 因为(0)p p '⋅'（1）80=-<， 所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0p x '=，所以函数()p x 在0(0,)x 上单调递减，在0(x ，1)上单调递增， 当0(0,)x x ∈时，0()(0)2p x p <=-， 当0(x x ∈，1)时，0()0p x <，p （1）0>， 所以存在1(0,1)x ∈，使得1()0G x '=， 所以当1(0,)x x ∈时，()0G x '<， 当1(x x ∈，1)时，()0G x '>，所以函数()G x 在1(0,)x 上单调递减，在1(x ，1)上单调递增， 因为(0)1G =-，G （1）e =-， 所以当(0,1)x ∈时，()(0)1G x G <=-， 所以3(1)(1)x x lnx x x e ->--， 所以3()1()f x x xg x >--．。

A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 【解析】 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”， 而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定， 故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．【答案】 C2．(2016·河南百校联盟质检)如图所示，一张正方形的黑色硬纸板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a ，b (2≤a ≤10)，剪去部分的面积为8，则1b ＋1＋9a ＋9的最大值为( )A ．1 B.1110C.65D ．2【解析】 由题意，2ab ＝8，∴b ＝4a .∵2≤a ≤10，∴1b ＋1＋9a ＋9＝14a ＋1＋9a ＋9＝1＋5a ＋36a＋13≤1＋52a ·36a＋13＝65， 当且仅当a ＝36a ，即a ＝6时，1b ＋1＋9a ＋9取得最大值65.【答案】 C3．(2016·新疆乌鲁木齐第二次诊断)已知x ，y 都是正数，且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( )A.1315B ．2 C.94D ．3 【解析】 由题意知，x ＋2＞0，y ＋1＞0， (x ＋2)＋(y ＋1)＝4， 则4x ＋2＋1y ＋1＝14[(x ＋2)＋(y ＋1)]⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4（y ＋1）x ＋2＋x ＋2y ＋1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋24（y ＋1）x ＋2·x ＋2y ＋1＝94，当且仅当x ＝23，y ＝13时，4x ＋2＋1y ＋1取最小值94.【答案】 C4．(2016·甘肃白银会宁一中第三次月考)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2，＋∞)C ．[－2，2]D ．[0，＋∞) 【解析】 当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，当x ≠0时，则有a ≥－1－|x |2|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |，故a 大于或等于－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |的最大值．由基本不等式可得|x |＋1|x |≥2， ∴－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |≤－2，即－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |的最大值为－2，故实数a 的取值范围是[－2，＋∞)，故选B.【答案】 B5．(2016·武汉模拟)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．0【解析】 由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y ＝1，且x ＞0，y ＞0.∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4y x ＋xy ＋4≥4＋4＝8. 【答案】 A6．(2015·陕西)设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q 【解析】 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， 故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12 ＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C. 【答案】 C7．(2016·银川模拟)若直线2ax ＋by －2＝0(a ＞0，b ＞0)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b的最小值是( ) A ．2－2 B.2－1 C ．3＋22 D ．3－2 2【解析】 ∵圆心为(1，2)在直线2ax ＋by －2＝0上，∴a ＋b ＝1，∴2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b (a ＋b )＝3＋2ba ＋ab≥3＋2 2.当且仅当2ba＝ab，即a＝2－2，b＝2－1时等号成立．【答案】C8．(2016·安徽安庆二中第一次质检)若x＞0，y＞0，则x＋yx＋y的最小值为()A. 2 B．1C.22 D.12【解析】设t＝x＋yx＋y，则t＞0，∵t2＝x＋yx＋y＋2xy ≥x＋yx＋y＋x＋y＝12，∴t≥22，当且仅当x＝y时取等号．∴x＋yx＋y的最小值为22.故选C.【答案】C9．(2016·湖北华师一附中等八校联考)若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是________．【解析】因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥22x·22y＝22x＋2y，所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2.【答案】210．(2016·南京金陵中学第一次联考)已知实数x，y满足x－x＋1＝y＋3－y，则x＋y的最大值为________．【解析】∵x－x＋1＝y＋3－y，∴x＋y＝x＋1＋y＋3≤2x＋y＋42，则(x＋y)2≤2(x＋y＋4)，解得－2≤x＋y≤4.∴x＋y的最大值为4.【答案】411．已知x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)求1x＋1y的最小值．【解析】 (1)∵x ＞0，y ＞0， ∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x ＞0，y ＞0， ∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20 ＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)12．(2016·重庆巴蜀中学期中)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，∵y ＝f (x )在x ＝1处有极值，∴a ＋b ＝6.∵a ＞0，b ＞0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，∴ab 的最大值等于9.故选D.【答案】 D13．(2016·云南大理祥云一中第二次月考)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】 a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝ab ＋1ab ＋a (a －b )＋1a （a －b ）≥4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1ab，a （a －b ）＝1a （a －b ）时取等号，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝22. ∴a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值为4.【答案】 D14．(2016·天津河西模拟)函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)的最小值为________． 【解析】 ∵x ＞2，∴x －2＞0，∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4，当且仅当x ＝2＝1，即x ＝3时取等号．∴函数f (x )的最小值为f (3)＝4. 【答案】 415．(2016·广东北师大东莞石竹附中期中)已知x ＞0，y ＞0，若不等式3x ＋1y ≥mx ＋3y 恒成立，则m 的最大值为________．【解析】 ∵x ＞0，y ＞0，不等式3x ＋1y ≥mx ＋3y 恒成立，∴m ≤⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )恒成立．又∵⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )＝6＋9y x ＋xy ≥6＋29y x ·x y ＝12，当且仅当9y x ＝xy，即x ＝3y 时取等号， ∴⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )的最小值为12.由m ≤⎝⎛⎭⎫3x ＋1y (x ＋3y )恒成立，得m ≤12，即m 的最大值为12. 【答案】 1216．(2016·山东齐鲁名校第二次调研)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋45 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【解析】 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为12x ＋45 000x －200≥212x ·45 000x－200＝100， 当且仅当12x ＝45 000x ，即x ＝300时等号成立，故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．(2)获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝200x －y ＝－12x 2＋400x －45 000＝－12(x －400)2＋35 000.因为x ∈[300，600]，所以S ∈[15 000，35 000]．故该单位每月获利，最大利润为35 000元．。

微课3 含有e x 与ln x 的组合函数或不等式问题题型一 分离e x 和ln x【例1】已知函数f (x )＝e x 2－x ln x .证明：当x >0时，f (x )<x e x ＋1e .证明 要证f (x )<x e x ＋1e，只需证e x －ln x <e x ＋1e x ，即e x －e x <ln x ＋1e x .令h (x )＝ln x ＋1e x (x >0)，则h ′(x )＝e x －1e x2，易知h (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，则h (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫1e ＝0， 所以ln x ＋1e x≥0.再令φ(x )＝e x －e x ，则φ′(x )＝e －e x ，易知φ(x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 则φ(x )max ＝φ(1)＝0，所以e x －e x ≤0. 因为h (x )与φ(x )不同时为0，所以e x －e x <ln x ＋1e x，故原不等式成立.感悟升华 1.若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.2.本题中变形后再隔离分析构造函数，原不等式化为ln x ＋1e x >e x －e x (x >0)(分离ln x 与e x )，便于探求构造的函数h (x )＝ln x ＋1e x 和φ(x )＝e x －e x 的单调性，分别求出h (x )的最小值与φ(x )的最大值，借助“中间媒介”证明不等式.【训练1】已知函数f (x )＝1＋ln x x ，证明：当x >1时，不等式f （x ）e ＋1>2e x －1（x ＋1）（x e x ＋1）成立.证明 将不等式f （x ）e ＋1>2e x －1（x ＋1）（x e x ＋1）变形为1e ＋1·（x ＋1）（ln x ＋1）x >2e x －1x e x ＋1，分别构建函数g (x )＝（x ＋1）（ln x ＋1）x 和函数h (x )＝2e x －1x e x ＋1.则g ′(x )＝x －ln xx 2，令φ(x )＝x －ln x ， 则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x.因为x >1，所以φ′(x )>0，所以φ(x )在(1，＋∞)上是增函数，所以φ(x )>φ(1)＝1>0，所以g ′(x )>0，所以g (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以x >1时，g (x )>g (1)＝2，故g （x ）e ＋1>2e ＋1.h ′(x )＝2e x －1（1－e x ）（x e x ＋1）2，因为x >1，所以1－e x <0，所以h ′(x )<0，所以h (x )在(1，＋∞)上是减函数，所以x >1时，h (x )<h (1)＝2e ＋1. 综上所述，g （x ）e ＋1>h (x )，即f （x ）e ＋1>2e x －1（x ＋1）（x e x ＋1）. 题型二 借助e x ≥x ＋1和ln x ≤x －1(x >0)进行放缩 【例2】已知函数f (x )＝x －1－a ln x . (1)若f (x )≥0，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122·…·⎝⎛⎭⎫1＋12n <m ，求m 的最小值. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，①若a ≤0，因为f ⎝⎛⎭⎫12＝－12＋a ln 2<0，所以不满足题意. ②若a >0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －a x知，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0； 所以f (x )在(0，a )单调递减，在(a ，＋∞)单调递增， 故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点.因为f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0，故a ＝1. (2)由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x >0，即ln x <x －1.令x ＝1＋12n ，得ln ⎝⎛⎭⎫1＋12n <12n . 从而ln ⎝⎛⎭⎫1＋12＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋122＋…＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋12n <12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1. 故⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122·…·⎝⎛⎭⎫1＋12n <e ， 又⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122⎝⎛⎭⎫1＋123＝13564>2， 从而m 的最小正整数是m ＝3.感悟升华 1.第(1)问可借助y ＝x －1与y ＝a ln x 图象的位置关系，利用导数的几何意义求解，请读者完成.2.第(2)问利用教材习题结论x >1＋ln x (x >0，且x ≠1)进行放缩，优化了解题过程.若利用e x 替换x ，可进一步得到不等式e x ≥x ＋1(当x ≠0时取等号). 【训练2】已知函数f (x )＝e x －a .(1)若函数f (x )的图象与直线l ：y ＝x －1相切，求a 的值； (2)若f (x )－ln x >0恒成立，求整数a 的最大值.解 (1)f ′(x )＝e x ，因为函数f (x )的图象与直线y ＝x －1相切，所以令f ′(x )＝1，即e x ＝1，得x ＝0，∴切点坐标为(0，－1)，则f (0)＝1－a ＝－1，∴a ＝2. (2)先证明e x ≥x ＋1，设F (x )＝e x －x －1， 则F ′(x )＝e x －1，令F ′(x )＝0，则x ＝0，当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )>0；当x ∈(－∞，0)时，F ′(x )<0.所以F (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以F (x )min ＝F (0)＝0，即F (x )≥0恒成立.∴e x ≥x ＋1，从而e x －2≥x －1(x ＝0时取等号).以ln x 代换x 得ln x ≤x －1(当x ＝1时，等号成立)， 所以e x －2>ln x .当a ≤2时，ln x <e x －2≤e x －a ， 则当a ≤2时，f (x )－ln x >0恒成立. 当a ≥3时，存在x ，使e x －a <ln x ， 即e x －a >ln x 不恒成立. 综上，整数a 的最大值为2.1.(2020·重庆调研)函数f (x )＝e x －1－12ax 2＋(a －1)x ＋a 2在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( ) A.{1} B.{－1，1} C.{0，1}D.{－1，0}答案 A解析 f ′(x )＝e x －1－ax ＋(a －1)≥0恒成立， 即e x －1≥ax －(a －1)恒成立， 由于：e x ≥x ＋1，即e x －1≥x ，∴只需要x ≥ax －(a －1)，即(a －1)(x －1)≤0恒成立， 所以a ＝1.2.已知函数f (x )＝ax ＋ln x ＋1，对任意的x >0，f (x )≤x e 2x 恒成立，求实数a 的取值范围. 解 由f (x )＝ax ＋ln x ＋1，所以对任意的x >0，f (x )≤x e 2x 恒成立，等价于a ≤e 2x －ln x ＋1x 在(0，＋∞)上恒成立，先证明e x ≥x ＋1，当且仅当x ＝0时取等号(证明略).所以当x >0时，有x e 2x ＝e ln x e 2x ＝e ln x＋2x≥ln x ＋2x ＋1，所以e 2x ≥ln x x ＋2＋1x ，即e 2x －ln x ＋1x ≥2，当且仅当ln x ＋2x ＝0时取等号，所以实数a 的取值范围为(－∞，2].3.已知f (x )＝e x ，g (x )＝x ＋1(e 为自然对数的底数). (1)求证：f (x )≥g (x )恒成立；(2)设m 是正整数，对任意正整数n ，⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋132·…·⎝⎛⎭⎫1＋13n ＜m ，求m 的最小值. (1)证明 令h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －x －1，则h ′(x )＝e x －1， 当x ∈(－∞，0)时，h ′(x )＜0，当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )＞0， 故h (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 所以h (x )min ＝h (0)＝0，即h (x )≥0恒成立， 所以f (x )≥g (x )恒成立.(2)解 由(1)可知0＜1＋13n ≤e 13n ，由不等式的性质得⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋132⎝⎛⎭⎫1＋133·…·⎝⎛⎭⎫1＋13n ≤e 13·e 132·e 133·…·e 13n ＝e 13＋132＋133＋…＋13n＝e13[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n]1－13＝e 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＜e 12＝e ＜2.所以m 的最小值为2(m ∈N *).4.已知函数f (x )＝ln x ＋a x ，证明：当a ≥2e 时，f (x )－e －x >0.证明 要证当a ≥2e 时，ln x ＋a x －e －x >0，即证ln x ＋a x>e －x ，∵x >0，∴即证x ln x ＋a >x e －x ， 即证(x ln x ＋a )min >(x e －x )max .令h (x )＝x ln x ＋a ，则h ′(x )＝ln x ＋1. 当0<x <1e 时，f ′(x )<0；当x >1e时，f ′(x )>0.∴函数h (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增， ∴h (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e ＋a ， 故当a ≥2e 时，h (x )≥－1e ＋a ≥1e.①令φ(x )＝x e －x ，则φ′(x )＝e －x －x e －x ＝e －x (1－x ). 当0<x <1时，φ′(x )>0；当x >1时，φ′(x )<0.∴函数φ(x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x )max ＝φ(1)＝1e .故当x >0时，φ(x )≤1e.②显然，不等式①②中的等号不能同时成立， 故当a ≥2e 时，ln x ＋a x －e －x >0.5.已知函数f (x )＝a ln(x －1)＋2x －1，其中a 为正实数，证明：当x >2时，f (x )<e x ＋(a －1)x －2a . 证明 令g (x )＝ln x －x ＋1，则g ′(x )＝1x －1.所以当0<x <1时，g ′(x )>0； 当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )≤g (1)＝0，所以ln x ≤x －1， 所以当x >2时，有ln(x －1)<x －2成立， 又因为a >0，所以要证f (x )<e x ＋(a －1)x －2a ， 只需证a (x －2)＋2x －1<e x ＋(a －1)x －2a ，即e x －x －2x －1>0对任意x >2恒成立.令h(x)＝e x－x－2x－1，x>2，则h′(x)＝e x－1＋2（x－1）2，因为x>2，所以h′(x)>0恒成立，所以h(x)在(2，＋∞)上单调递增，所以h(x)>h(2)＝e2－4>0，所以当x>2时，f(x)<e x＋(a－1)x－2a.。

2019-2020年高考数学一轮复习第6单元不等式推理与证明作业理2019-2020年高考数学一轮复习第6单元不等式推理与证明作业理基础热身1.设M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则有()A.M>NB.M≥NC.M<n< bdsfid="83" p=""></n<>D.M≤N2.[xx·襄阳五中模拟]设a,b∈R,则“a>b”是“|a|>|b|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是()A.<b< bdsfid="92" p=""></b<>B.a2>b2C.>D.a|c|>b|c|4.已知-1≤a≤3,-5<b<3,则a+|b|的取值范围是.< bdsfid="97" p=""></b<3,则a+|b|的取值范围是.<>5.有外表相同,重量不同的四个小球,它们的重量分别是a,b,c,d,已知a+b=c+d,a+d>c+b,a+c<b,则a,b,c,d由大到小的排列顺序为.< bdsfid="100" p=""></b,则a,b,c,d由大到小的排列顺序为.<> 能力提升6.已知下列四个关系:①若a>b,则ac2>bc2;②若a>b,则<;③若a>b>0,c>d>0,则>;④若a>b>1,c<0,则a cA.1个B.2个C.3个D.4个7.[xx·潮州二模]已知a>b,则下列各式一定正确的是()A.a lg x>b lg xB.ax2>bx2C.a2>b2D.a·2x>b·2x8.[xx·广西玉林质检]已知a=log23,b=,c=log53,则()A.c<a<b< bdsfid="127" p=""></a<b<>B.a<b<c< bdsfid="130" p=""></b<c<>C.b<c<a< bdsfid="133" p=""></c<a<>D.b<a<c< bdsfid="136" p=""></a<c<>9.[xx·南阳一中月考]设a>b>0,x=-,y=-,则x,y的大小关系为()A.x>yB.x<y< bdsfid="143" p=""></y<>C.x=yD.x,y的大小关系不定10.若a<b,d<c,且(c-a)(c-b)0,则a,b,c,d的大小关系是()</b,d<c,且(c-a)(c-b)A.d<a<c<b< bdsfid="153" p=""></a<c<b<>B.a<c<b<d< bdsfid="156" p=""></c<b<d<>C.a<d<b<c< bdsfid="159" p=""></d<b<c<>D.a<d<c<b< bdsfid="162" p=""></d<c<b<>11.[xx·北京东城区二模]据统计,某超市两种蔬菜A,B连续n天的价格(单位:元)分别为a1,a2,a3,…,a n和b1,b2,b3,…,b n.令M={m|a mA.若A?B,B?C,则A?CB.若A?B,B?C同时不成立,则A?C不成立C.A?B,B?A可同时不成立D.A?B,B?A可同时成立12.[xx·南京一模]已知a,b为实数,且a≠b,a<0,则a 2b-(填“>”“<”或“=”).13.[xx·咸阳模拟]已知函数f=ax+b,0<f<2,-1<f<1,则2a-b的取值范围是.< bdsfid="184" p=""></f<2,-1<f<1,则2a-b的取值范围是.<>14.[xx·河南天一大联考]已知实数a∈(-3,1),b∈,,则的取值范围是.难点突破15.(5分)[xx·杭州质检]若实数a,b,c满足对任意实数x,y有3x+4y-5≤ax+by+c≤3x+4y+5,则()A.a+b-c的最小值为2B.a-b+c的最小值为-4C.a+b-c的最大值为4D.a-b+c的最大值为616.(5分)[xx·盐城一模]已知-1≤a+b≤3,2≤a-b≤4,若2a+3b的最大值为m,最小值为n,则m+n= .课时作业(三十四)第34讲一元二次不等式及其解法基础热身1.不等式-x2+3x+10>0的解集为 ()A.(-2,5)B.(-∞,-2)∪(5,+∞)C.(-5,2)D.(-∞,-5)∪(2,+∞)2.[xx·上饶四校联考]设x∈R,则“0<x<2”是“x2-x-2<="" bdsfid="233" p=""></x<2”是“x2-x-2A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.[xx·淮北一中四模]若(x-1)(x-2)<2,则(x+1)(x-3)的取值范围是()A.(0,3)B.C.D.4.若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集,则实数a的取值范围是.5.若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集是(1,m),则m= .能力提升6.如果关于x的不等式x2<ax+b的解集是{x|1<x<="" bdsfid="270" p=""></ax+b的解集是{x|1<xA.-81B.81C.-64D.647.若存在x∈[-2,3],使不等式2x-x2≥a成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1]B.(-∞,-8]C.[1,+∞)D.[-8,+∞)8.[xx·岳阳质检]设函数f(x)=若不等式xf(x-1)≥a的解集为[3,+∞),则实数a的值为()A.-3B.3C.-1D.19.若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a 的取值范围是()A.a<-2B.a>-2C.a>-6D.a<-610.[xx·银川二中一模]已知a1>a2>a3>0,则使得(1-a i x)2<1(i=1,2,3)都成立的x的取值范围是()A.B.C.D.11.某省每年损失耕地20万亩,每亩耕地价值24 000元,为了减少耕地损失,决定按耕地价格的t%征收耕地占用税,这样每年的耕地损失可减少t万亩,为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元,则t的取值范围是()A.B.C.D.12.已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1,若关于x的不等式f[f(x)]<0的解集为空集,则实数a的取值范围是.13.设不等式mx2-2x-m+1<0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立,则x的取值范围是.14.[xx·惠州二调]已知函数f(x)=则不等式f[f(x)]≤3的解集为.难点突破15.(5分)[xx·苏北三市(连云港、徐州、宿迁)三模]已知对于任意的x∈(-∞,1)∪(5,+∞),都有x2-2(a-2)x+a>0,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.16.(5分)[xx·湖州、衢州、丽水三市联考]已知函数f=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若存在实数a ∈[1,2],对任意x∈[1,2],都有f≤1,则7b+5c的最大值是.课时作业(三十五)第35讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础热身1.(x-2y+1)(x+y-3)<0表示的平面区域为()图K35-12.已知点(-3,-1)和(4,-6)在直线3x-2y-a=0的两侧,则实数a的取值范围为()A.(-24,7)B.(-∞,-7)∪(24,+∞)C.(-7,24)D.(-∞,-24)∪(7,+∞)3.[xx·阜阳质检]不等式|x|+|3y|-6≤0所对应的平面区域的面积为()A.12B.24C.36D.484.在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的形状是.5.[xx·桂林、崇左、百色一模]设x,y满足约束条件则x2+y2的最大值为.能力提升6.已知实数x,y满足约束条件则目标函数z=x-2y的最小值为()A.-1B.1C.3D.77.[xx·南充三诊]若实数x,y满足不等式组则z=2x+y的最大值是()A.B.C.14D.218.设x,y满足约束条件则的最大值为()A.B.2C.D.09.[xx·惠州二模]设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0)满足x0-2y0=2,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.10.[xx·宁德质检]已知约束条件表示的平面区域为D,若存在点P(x,y)∈D,使x2+y2≥m成立,则实数m的最大值为()A.B.1C.D.11.[xx·大庆实验中学一模]已知O是坐标原点,点A(-1,1),若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则·的取值范围是.12.[xx·淮南二模]已知实数x,y满足不等式组若目标函数z=y-mx 取得最大值时有唯一的最优解(1,3),则实数m的取值范围是.13.(15分)[xx·天津河东区二模]制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,还要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划的投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问:投资人对甲、乙两个项目分别投资多少万元,才能使可能的盈利最大?最大盈利额是多少?14.(15分)某人有一套房子,室内面积共计180 m2,拟分隔成两类房间作为旅游客房,大房间每间面积为18 m2,可住游客5名,每名游客每天住宿费40元;小房间每间面积为15 m2,可住游客3名,每名游客每天住宿费50元.装修大房间每间需要1000元,装修小房间每间需要600元.如果他只能筹款8000元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间各多少间,每天才能获得最大的房租收益?难点突破15.(5分)[xx·衡阳二联]集合M={(x,y)|x+y≤1,y≤x,y≥-1},N={(x,y)|(x-2)2+y2=r2,r>0},若M∩N≠?,则r的取值范围为()A.B.C.D.16.(5分)[xx·九江模拟]已知实数x,y满足若z=mx+y的最大值为 3,则实数m的值是()A.-2B.3C.8D.2课时作业(三十六)第36讲基本不等式基础热身1.[xx·北京海淀区一模]若m<n<0,则下列不等式中正确的是()< bdsfid="561" p=""></n<0,则下列不等式中正确的是()<>A.>B.>C.+>2D.m+n>mn2.[xx·青岛质检]已知x>1,y>1,且lg x,2,lg y成等差数列,则x+y 有()A.最小值20B.最小值200C.最大值20D.最大值2003.[xx·赤峰模拟]若函数f=x+(x>2)在x=a处取得最小值,则a=()A.1+B.1+C.3D.44.[xx·天津河东区二模]已知a>0,b>0,且2a+b=4,则的最小值是.5.[xx·成都九校联考]设正数a,b满足a+2b=1,则+的最小值为.能力提升6.[xx·郑州三模]若实数a,b,c均大于0,且(a+c)·(a+b)=6-2,则2a+b+c的最小值为()A.-1B.+1C.2+2D.2-27.[xx·雅安三诊]对一切实数x,不等式x2+a+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是() A.B.C.D.8.[xx·乌鲁木齐三模]已知x,y∈R,x2+y2+xy=315,则x2+y2-xy 的最小值是()A.35B.105C.140D.2109.[xx·泉州模拟]已知2a+2b=2c,则a+b-2c的最大值为()A.-2B.-1C.D.-10.[xx·深圳调研]若函数f=x+(m为大于0的常数)在(1,+∞)上的最小值为3,则实数m的值为.11.用一根长为12的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架,则该三棱柱的侧面积的最大值是.12.[xx·日照三模]已知向量a=(m,1),b=(4-n,2),m>0,n>0,若a∥b,则+的最小值为.13.(15分)[xx·盐城三模]已知a,b,c为正实数,且a+b+c=3,证明: ++≥3.14.(15分)[xx·黄冈中学模拟]某公司生产一批A产品需要原材料500吨,每吨原材料可创造利润12万元.该公司通过设备升级,生产这批A产品所需原材料减少了x(x>0)吨,且每吨原材料创造的利润提高了0.5x%.若将少用的x吨原材料全部用于生产公司新开发的B产品,每吨原材料创造的利润为12a-x万元,其中a>0.(1)若设备升级后生产这批A产品的利润不低于原来生产这批A产品的利润,求x的取值范围;(2)若生产这批B产品的利润始终不高于设备升级后生产这批A产品的利润,求a的最大值.难点突破15.(5分)[xx·河南豫南六市联考]已知函数f=ax2+bx+c(b>a),对任意的x∈R,f≥0恒成立,则的最小值为()A.3B.2C.1D.016.(5分)[xx·湛江二模]已知a>b,二次不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立,又存在x0∈R,a+2x0+b=0,则的最小值为.课时作业(三十七)第37讲合情推理与演绎推理基础热身1.[xx·鹰潭一模]用“三段论”推理:任何实数的绝对值大于0,因为a是实数,所以a的绝对值大于0.你认为这个推理()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.是正确的2.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体()A.各正三角形内的点B.各正三角形的中心C.各正三角形某高线上的点D.各正三角形各边的中点3.观察图K37-1中各正方形图案,则所有圆点总和S n与n的关系式为()图K37-1A.S n=2n2-2nB.S n=2n2C.S n=4n2-3nD.S n=2n2+2n4.[xx·兰州模拟]观察下列式子:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,….由以上式子可推测出一个一般性结论:对于n∈N*,1+2+…+n+…+2+1= .5.[xx·烟台二模]在正项等差数列中有=成立,则在正项等比数列中,类似的结论为.能力提升6.[xx·郑州一中调研]“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干,子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.把干支顺序相配正好六十为一周,周而复始,循环记录,这就是俗称的“干支表”.xx年是“干支纪年法”中的丙申年,那么xx年是“干支纪年法”中的()A.丁酉年B.戊未年C.乙未年D.丁未年7.下面说法正确的是()①数列{a n}的前三项是1,2,3,那么这个数列的通项公式为a n=n;②由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理;③在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适;④“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的.A.①②B.②③C.③④D.②④8.[xx·临汾一中、忻州一中、长治二中、康杰中学联考]已知[x]表示不大于x的最大整数,设函数f(x)=log2,得到下列结论:结论1:当2<x< bdsfid="827" p=""></x<>结论2:当4<x< bdsfid="831" p=""></x<>结论3:当6<x< bdsfid="835" p=""></x<>……照此规律,结论6为.9.如图K37-2甲所示,在直角三角形ABC中,AC⊥AB,AD⊥BC,D 是垂足,则有AB2=BD·BC,该结论称为射影定理.如图乙所示,在三棱锥A-BCD中,AD⊥平面ABC,AO⊥平面BCD,O为垂足,且O在△BCD内,类比直角三角形中的射影定理,则有.图K37-2难点突破10.(5分)[xx·郑州、平顶山、濮阳二模]设函数f(0)(x)=sin x,定义f(1)(x)=f'(0)(x),f(2)(x)=f'(1)(x),…,f(n)(x)=f'(n-1)(x),则f(1)(15°)+f(2)(15°)+f(3)(15°)+…+f(xx)(15°)的值是 ()A.B.C.0D.111.(5分)[xx·江南十校二模]某地突发地震后,有甲、乙、丙、丁4个轻型救援队分别从A,B,C,D四个不同的方向前往灾区.已知下面四种说法都是正确的.(1)甲轻型救援队所在方向不是A方向,也不是D方向;(2)乙轻型救援队所在方向不是A方向,也不是B方向;(3)丙轻型救援队所在方向不是A方向,也不是B方向;(4)丁轻型救援队所在方向不是C方向,也不是D方向.此外还可确定:如果丙所在方向不是D方向,那么丁所在方向就不是A方向.有下列判断: ①甲所在方向是B方向;②乙所在方向是D方向;③丙所在方向是D方向;④丁所在方向是C方向.其中判断正确的序号是.课时作业(三十八)第38讲直接证明与间接证明基础热身1.[xx·莱芜一中模拟]用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x2+ax+b=0没有实数根”时,应假设()A.方程x2+ax+b=0至多有一个实根B.方程x2+ax+b=0至少有一个实根C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根2.要证明a2+b2-1-a2b2≤0,只需证明()A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1≤C.-1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1)≥03.[xx·南昌二模]已知等差数列的前n项和为S n,若S2k+1>0,则一定有()A.a k>0B.S k>0C.a k+1>0D.S k+1>04.①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;②已知a,b∈R,+<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设≥1.其中正确说法的序号是.能力提升5.[xx·大连模拟]“一支医疗救援队里的医生和护士,包括我在内,总共是13名.下面讲到的人员情况,无论是否把我计算在内,都不会有任何变化.在这些医务人员中:①护士不少于医生;②男医生多于女护士;③女护士多于男护士;④至少有一位女医生.”由此推测这位说话人的性别和职务是()A.男护士B.女护士C.男医生D.女医生6.[xx·福建师大附中一模]若O为△ABC平面内一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC为()A.钝角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.锐角三角形7.设A,B,C为锐角三角形ABC的三个内角,M=sin A+sin B+sinC,N=cos A+2cos B,则()A.M<n< bdsfid="997" p=""></n<>B.M=NC.M>ND.M,N大小不确定8.[xx·武汉模拟]已知f=,a≠b,则|f-f|与|a-b|的大小关系为()A.>B.<C.=D.不确定9.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,假设命题的结论不成立的正确叙述是(填序号).①假设三个角都不大于60°;②假设三个角都大于60°;③假设三个角至多有一个大于60°;④假设三个角至多有两个大于60°.难点突破10.(5分)[xx·山西运城调研]在△ABC中,AC=5,+-=0,则BC+AB=()A.6B.7C.8D.911.(5分)[xx·北京海淀区二模]已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一轴穿过它们的圆心),两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域,小圆盘上所写的实数分别记为x1,x2,x3,x4,大圆盘上所写的实数分别记为y1,y2,y3,y4,如图K38-1所示.将小圆盘逆时针旋转i(i=1,2,3,4)次,每次转动90°,记T i(i=1,2,3,4)为转动i次后各区域内两数乘积之和,例如T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1.若x1+x2+x3+x4<0,y1+y2+y3+y4<0,则以下结论正确的是()A.T1,T2,T3,T4中至少有一个为正数B.T1,T2,T3,T4中至少有一个为负数C.T1,T2,T3,T4中至多有一个为正数D.T1,T2,T3,T4中至多有一个为负数图K38-1课时作业(三十九)第39讲数学归纳法基础热身1.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=(a≠1,n∈N*)”,在验证n=1时,左端所得的项为()A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a32.用数学归纳法证明“凸n边形对角线的条数f=”时,第一步应验证()A.n=1成立B.n=2成立C.n=3成立D.n=4成立3.用数学归纳法证明“1+++…+=”时,由n=k到n=k+1,等式左边需要添加的项是()A.B.C.D.4.在数列{a n}中,a1=2,a n+1=(n∈N*),可以猜想数列的通项公式为.5.用数学归纳法证明“1+++…+<2-(n≥2,n∈N*)”时第一步需要验证的不等式为.能力提升6.已知n为正偶数,用数学归纳法证明“1-+-+…+=2++…+”时,若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时等式成立,则还需要用归纳假设再证n= 时等式成立()A.k+1B.k+2C.2k+2D.2(k+2)7.用数学归纳法证明“1+++…+< bdsfid="1143" p=""><>A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+18.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)≥k+1成立时,总可推出f(k+1)≥k+2成立.那么,下列说法正确的是()A.若f(1)<2成立,则f(10)<11成立B.若f(3)≥4成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k+1成立C.若f(2)<3成立,则f(1)≥2成立D.若f(4)≥5成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立9.设平面内有n(n≥3)条直线,它们任何2条不平行,任何3条不共点,若k条这样的直线把平面分成f个区域,则k+1条直线把平面分成的区域数f(k+1)=f+ .10.用数学归纳法证明“2n>2n2-2n+1对于n≥n0的正整数n均成立”时,第一步证明中的起始值n0应取.11.设f(n)=1-+-+…+,则f(k+1)=f+ .(不用化简)12.用数学归纳法证明“1-+-+…+-=++…+”时,假设n=k时等式成立,则n=k+1时,等式右边为.13.(10分)[xx·山西孝义质检]数列满足a n+5a n+1=36n+18,且a1=4.(1)写出的前3项,并猜想其通项公式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.难点突破14.(5分)如果命题P(n∈N*)对n=k(k∈N*)成立,则它对n=k+1也成立,现已知P对n=4不成立,则下列结论中正确的是 ()A.P对任意n∈N*成立B.P对n>4成立C.P对n<4成立D.P对n≤4不成立15.(5分)已知f(m)=1+++…+(m∈N*),用数学归纳法证明f>时,f-f= .课时作业(三十三)1.A[解析] 因为M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=a2-2a+3=(a-1)2+2>0,所以M>N,故选A.2.D[解析] 因为“a>b”不能推出“|a|>|b|”成立,且“|a|>|b|”也不能推出“a>b”成立,所以“a>b”是“|a|>|b|”的既不充分也不必要条件.故选D.3.C[解析] 取a=1,b=-1,排除选项A;取a=0,b=-1,排除选项B;取c=0,排除选项D;显然>0,则不等式a>b的两边同时乘,所得不等式仍成立.故选C.4.[-1,8)[解析] 因为-5<b<3,所以0≤|b|<5,又因为-1≤a≤3,所以-1≤a+|b|<8,所以< bdsfid="1228" p=""></b<3,所以0≤|b|<5,又因为-1≤a≤3,所以-1≤a+|b|<8,所以<>a+|b|的取值范围是[-1,8).5.d>b>a>c [解析] ∵a+b=c+d,a+d>c+b,∴2a>2c,即a>c,∴b<d.∵a+c<b,∴a<b.综上可得< bdsfid="1235" p=""></d.∵a+c<b,∴a<b.综上可得<>d>b>a>c.6.B[解析] c=0时,①错误;a>0>b时,②错误;根据不等式的性质知③正确;根据指数函数的性质可知④正确.故正确的有2个.7.D[解析] A中,当x=1时,不成立;B中,当x=0时,不成立;C中,当a=0,b=-1时,不成立;D 中,因为2x>0,所以a·2x>b·2x成立.故选D.8.A[解析] 由题可知a=log2<a<b.故选a.< bdsfid="1248" p=""><a<b.故选a.<>9.B[解析] ∵x>0,y>0,==<1,∴x<y,故选b.< bdsfid="1252" p=""></y,故选b.<>10.A[解析] ∵a<b,(c-a)(c-b)0,∴a<c<b,且db,结合d<c,知< bdsfid="1258" p=""></c,知<></c<b,且d</b,(c-a)(c-b) d<a<c<b.故选a.< bdsfid="1262" p=""></a<c<b.故选a.<>11.C[解析] 特例法:例如蔬菜A连续10天的价格分别为1,2,3,4,…,10,蔬菜B连续10天的价格分别为10,9,…,1时,A?B,B?A 同时不成立,故选C.12.< [解析] ∵a≠b,a<0,∴a-2b-=<0,∴a<2b-.13. [解析] 由函数的解析式可知0<a+b<2,-1<-a+b< bdsfid="1272" p=""></a+b<2,-1<-a+b<>14.(-24,8)[解析] 当-3<a<="">15.A[解析] 当x=1,y=-1 时,-6≤a-b+c≤4,所以a-b+c的最小值为-6,最大值为4,故B,D 错误;当x=-1,y=-1 时,-12≤-a-b+c≤-2,则2≤a+b-c≤12,所以a+b-c的最小值为2,最大值为12,故A正确,C错误.故选A.16.2[解析] 设2a+3b=x(a+b)+y(a-b),则解得因为-≤(a+b)≤,-2≤-(a-b)≤-1,所以-≤(a+b)-(a-b)≤,即-≤2a+3b≤,所以m+n=2.课时作业(三十四)1.A[解析] 由x2-3x-10<0,解得-2<x<5.< bdsfid="1289" p=""></x<5.<>2.A[解析] 由x2-x-2<0,得-1<x<2,故选a.< bdsfid="1293" p=""></x<2,故选a.<>3.C[解析] 由(x-1)(x-2)<2,解得0<x< bdsfid="1297" p=""></x<>4.(-∞,-6]∪[2,+∞)[解析] 由已知得方程x2-ax-a+3=0有实数根,即Δ=a2+4(a-3)≥0,故a≥2或a≤-6.5.2[解析] 由题意知,a≠0,方程ax2-6x+a2=0的根为1,m,且m>1,则所以m=2.6.B[解析] 不等式x2<ax+b可化为x2-ax-b<0,其解集是{x|1<x</ax+b可化为x2-ax-b<0,其解集是{x|1<x7.A[解析] 设f(x)=2x-x2,则当x∈[-2,3]时,f(x)=-(x-1)2+1∈[-8,1],因为存在x∈[-2,3],使不等式2x-x2≥a成立,所以a≤f(x)max,所以a≤1,故选A.8.B[解析] 由题意知3是方程xf(x-1)=a的一个根,则a=3f(3-1)=3×(2-1)=3,故选B.9.A[解析] 令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),易得g(x)<-2.< bdsfid="1317" p=""><-2.<>10.B[解析] 由题意有(1-a i x)2<1?x2-2a i x<0?xx-<0,所以不等式的解集为0,.又0<<<,所以x的取值范围为0,,故选B.11.B[解析] 由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为20-t万亩,则税收收入为20-t×24 000×t%万元,由题意有20-t×24 000×t%≥9000,整理得t2-8t+15≤0,解得3≤t≤5,∴当耕地占用税税率为3%~5%时,既可减少耕地损失又可保证此项税收一年不少于9000万元.∴t的取值范围是3≤t≤5,故选B.12.(-∞,-2][解析] f(x)=x2-2ax+a2-1=[x-(a+1)][x-(a-1)],则f(x)<0?a-1<x<a+1,则f[f(x)]<0?a-1<f(x)< bdsfid="1327" p=""></x<a+1,则f[f(x)]<0?a-1<f(x)<>13.,[解析] 记f(m)=mx2-2x-m+1=(x2-1)m+1-2x(|m|≤2),则f(m)<0恒成立等价于解得<x<.< bdsfid="1334" p=""></x<.<>14. [解析] 由题意,f[f(x)]≤3,则f(x)≥0或∴f(x)≥-3,∴x<0或∴x≤.15.B[解析] 设f(x)=x2-2(a-2)x+a,当Δ=4(a-2)2-4a<0,即1<a0对x∈R恒成立.当Δ=0时,a=1或a=4,当a=1时,f=0,不合题意;当a=4时,f(2)=0,符合题意.当Δ>0时,</a需满足即即4<a≤5.综上,实数a的取值范围是(1,5].< bdsfid="1345" p=""></a≤5.综上,实数a的取值范围是(1,5].<>16.-6[解析] 因为x∈[1,2],所以ax2+bx+c≤1等价于a≤,由题意知存在a∈[1,2],使得不等式a≤对任意x∈[1,2]恒成立,所以≥1,即x2+bx+c-1≤0对x∈[1,2]恒成立,所以即所以7b+5c=3(b+c)+2(2b+c)≤-6,即7b+5c的最大值为-6.课时作业(三十五)1.C[解析] 原不等式等价于不等式组或分别画出两个不等式组所表示的平面区域(图略),观察可知选C.2.C[解析] ∵点(-3,-1)和(4,-6)在直线3x-2y-a=0的两侧,∴(-9+2-a)(12+12-a)<0,即(a+7)(a-24)<0,解得-7<a<24,故选 c.< bdsfid="1358" p=""></a<24,故选c.<>3.B[解析] 如图,不等式+-6≤0所对应的平面区域为一个菱形及其内部,菱形的对角线长分别为12,4,所以其面积为×12×4=24,故选B.4.正方形[解析] 不等式组表示的平面区域由四条直线x=1,x=-1,y=2,y=4围成,其形状为正方形.5.5[解析] 由约束条件作出可行域如图所示,由得得A(2,-1).由图可知x2+y2的最大值为22+(-1)2=5,故答案为5.6.B[解析] 由约束条件作出可行域如图所示,目标函数z=x-2y可化为y=x-z,其中-z表示斜率为的直线在y轴上的截距,通过平移可知,当直线经过点A(3,1)时-z取到最大值,即z 取得最小值,最小值为1.故选B.7.B[解析] 作出可行域如图所示,目标函数z=2x+y可化为y=-2x+z,其中z表示斜率为-2的直线在y轴上的截距,由图可知,当直线过点A,时z取得最大值,故选B.8.A[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,又表示区域内的点与原点连线的斜率,由图知,==,故选A.。

微课2 不等式恒成立或有解问题题型一 分离法求参数的取值范围【例1】(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝e x ＋ax 2－x . (1)当a ＝1时，讨论f (x )的单调性； (2)当x ≥0时，f (x )≥12x 3＋1，求a 的取值范围.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x ＋x 2－x ，x ∈R ， f ′(x )＝e x ＋2x －1.故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增. (2)由f (x )≥12x 3＋1得，e x ＋ax 2－x ≥12x 3＋1，其中x ≥0，①当x ＝0时，不等式为1≥1，显然成立，此时a ∈R . ②当x >0时，分离参数a ，得a ≥－e x －12x 3－x －1x 2，记g (x )＝－e x －12x 3－x －1x 2，g ′(x )＝－（x －2）⎝⎛⎭⎫e x －12x 2－x －1x 3.令h (x )＝e x －12x 2－x －1(x >0)，则h ′(x )＝e x －x －1，令H (x )＝e x －x －1， H ′(x )＝e x －1>0，故h ′(x )在(0，＋∞)上是增函数，因此h ′(x )>h ′(0)＝0，故函数h (x )在(0，＋∞)上递增， ∴h (x )>h (0)＝0，即e x －12x 2－x －1>0恒成立，故当x ∈(0，2)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减. 因此，g (x )max ＝g (2)＝7－e 24，综上可得，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫7－e 24，＋∞. 感悟升华 分离参数法来确定不等式f (x ，λ)≥0(x ∈D ，λ为实数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤(1)将参数与变量分离，化为f 1(λ)≥f 2(x )或f 1(λ)≤f 2(x )的形式. (2)求f 2(x )在x ∈D 时的最大值或最小值.(3)解不等式f 1(λ)≥f 2(x )max 或f 1(λ)≤f 2(x )min ，得到λ的取值范围. 【训练1】已知函数f (x )＝ax －1－ln x (a ∈R ). (1)讨论函数f (x )在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥bx －2恒成立，求实数b 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.当a ≤0时，f ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )在(0， ＋∞)上没有极值点.当a ＞0时，由f ′(x )＜0得0＜x ＜1a ，由f ′(x )＞0得x ＞1a ，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上递减，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上递增，即f (x )在x ＝1a处有极小值.∴当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上没有极值点，当a ＞0时，f (x )在(0，＋∞)上有一个极值点. (2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极值， ∴a ＝1，∴f (x )≥bx －2⇒1＋1x －ln xx≥b ，令g (x )＝1＋1x －ln xx ，则g ′(x )＝ln x －2x 2，令g ′(x )＝0，得x ＝e 2.则g (x )在(0，e 2)上递减，在(e 2，＋∞)上递增， ∴g (x )min ＝g (e 2)＝1－1e 2，即b ≤1－1e 2，故实数b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，1－1e 2. 题型二 等价转化法求参数范围 【例2】函数f (x )＝x 2－2ax ＋ln x (a ∈R ).(1)若函数y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x －2y ＋1＝0垂直，求a 的值； (2)若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3在区间(0，e]上恒成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －2a ＋1x ，f ′(1)＝3－2a ，由题意f ′(1)·12＝(3－2a )·12＝－1，解得a ＝52.(2)不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3在区间(0，e]上恒成立等价于2ln x ≥－x ＋a －3x ，令g (x )＝2ln x ＋x －a ＋3x，则g ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝x 2＋2x －3x 2＝（x ＋3）（x －1）x 2，则在区间(0，1)上，g ′(x )<0，函数g (x )为减函数； 在区间(1，e]上，g ′(x )>0，函数g (x )为增函数. 由题意知g (x )min ＝g (1)＝1－a ＋3≥0，得a ≤4， 所以实数a 的取值范围是(－∞，4].感悟升华 根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，如f (x )≥a 恒成立，则f (x )min ≥a ，然后利用最值确定参数满足的不等式，解不等式即得参数范围. 【训练2】已知f (x )＝e x －ax 2，若f (x )≥x ＋(1－x ) e x 在[0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围. 解 f (x )≥x ＋(1－x )e x ，即e x －ax 2≥x ＋e x －x e x ，即e x －ax －1≥0，x ≥0.令h (x )＝e x －ax －1(x ≥0)，则h ′(x )＝e x －a (x ≥0)， 当a ≤1时，由x ≥0知h ′(x )≥0，∴在[0，＋∞)上h (x )≥h (0)＝0，原不等式恒成立. 当a >1时，令h ′(x )>0，得x >ln a ； 令h ′(x )<0，得0≤x <ln a . ∴h (x )在[0，ln a )上单调递减， 又∵h (0)＝0，∴h (x )≥0不恒成立， ∴a >1不合题意.综上，实数a 的取值范围为(－∞，1].题型三 可化为不等式恒成立求参数的取值范围(含有解问题) 【例3】已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax .(1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，求实数a 的最小值；(2)若函数g (x )＝xe x ，对∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，2，∃x 2∈⎣⎡⎦⎤12，2，使f ′(x 1)≤g (x 2)成立，求实数a 的取值范围.解 (1)由题设知f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ≥0在[1，＋∞)上恒成立， 即a ≥－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立， 而函数y ＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)单调递减， 则y max ＝－3，所以a ≥－3，所以a 的最小值为－3. (2)“对∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，2，∃x 2∈⎣⎡⎦⎤12，2， 使f ′(x 1)≤g (x 2)成立”等价于“当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f ′(x )max ≤g (x )max ”.因为f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增，所以f ′(x )max ＝f ′(2)＝8＋a . 而g ′(x )＝1－xe x，由g ′(x )>0，得x <1，由g ′(x )<0，得x >1， 所以g (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，g (x )max ＝g (1)＝1e . 由8＋a ≤1e ，得a ≤1e－8，所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，1e －8. 感悟升华 含参不等式能成立问题(有解问题)可转化为恒成立问题解决，常见的转化有： (1)∀x 1∈M ，∃x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)min >g (x 2)min . (2)∀x 1∈M ，∀x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)min >g (x 2)max . (3)∃x 1∈M ，∃x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)max >g (x 2)min . (4)∃x 1∈M ，∀x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)max >g (x 2)max . 【训练3】已知函数f (x )＝ax －e x (a ∈R )，g (x )＝ln xx .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)∃x ∈(0，＋∞)，使不等式f (x )≤g (x )－e x 成立，求a 的取值范围. 解 (1)因为f ′(x )＝a －e x ，x ∈R .当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在R 上单调递减； 当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝ln a .由f ′(x )>0，得f (x )的单调递增区间为(－∞，ln a )； 由f ′(x )<0，得f (x )的单调递减区间为(ln a ，＋∞).综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(－∞，＋∞)，无单调递增区间； 当a >0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，ln a )，单调递减区间为(ln a ，＋∞).(2)因为∃x ∈(0，＋∞)，使不等式f (x )≤g (x )－e x ， 则ax ≤ln x x ，即a ≤ln x x2.设h (x )＝ln xx 2，则问题转化为a ≤⎝⎛⎭⎫ln x x 2max . 由h ′(x )＝1－2ln xx 3，令h ′(x )＝0，得x ＝ e. 当x 在区间(0，＋∞)内变化时，h ′(x )，h (x )随x 的变化情况如下表：x (0，e) e (e ，＋∞)h ′(x ) ＋ 0 － h (x )极大值12e由上表可知，当x ＝e 时，函数h (x )有极大值，即最大值为12e ，所以a ≤12e .故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12e .1.已知函数f (x )＝ax －1＋ln x ，若存在x 0>0，使得f (x 0)≤0有解，则实数a 的取值范围是( )A.a >2B.a <3C.a ≤1D.a ≥3答案 C解析 函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，不等式ax －1＋ln x ≤0有解，即a ≤x －x ln x 在(0，＋∞)上有解.令h (x )＝x －x ln x ，则h ′(x )＝－ln x . 由h ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，h ′(x )>0，当x >1时，h ′(x )<0. 故当x ＝1时，函数h (x )＝x －x ln x 取得最大值1， 所以要使不等式a ≤x －x ln x 在(0，＋∞)上有解， 只要a ≤h (x )max 即可，即a ≤1.2.已知a ∈R ，设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax ＋2a ，x ≤1，x －a ln x ，x >1.若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为( ) A.[0，1] B.[0，2]C.[0，e]D.[1，e]答案 C解析 当x ≤1时，由f (x )＝x 2－2ax ＋2a ≥0恒成立，而二次函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝a ， 所以当a ≥1时，f (x )min ＝f (1)＝1>0恒成立， 当a <1时，f (x )min ＝f (a )＝2a －a 2≥0，∴0≤a <1. 综上，a ≥0.当x >1时，由f (x )＝x －a ln x ≥0恒成立， 即a ≤xln x恒成立.设g (x )＝xln x (x >1)，则g ′(x )＝ln x －1（ln x ）2.令g ′(x )＝0，得x ＝e ，且当1<x <e 时，g ′(x )<0，当x >e 时，g ′(x )>0， ∴g (x )min ＝g (e)＝e ，∴a ≤e. 综上，a 的取值范围是[0，e].3.已知函数f (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －1x －2ln x (m ∈R )，g (x )＝－mx ，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f (x 0)<g (x 0)成立，求实数m 的取值范围. 解 依题意，不等式f (x )<g (x )在[1，e]上有解， ∴mx <2ln x 在区间[1，e]上有解，即m 2<ln xx 能成立.令h (x )＝ln xx ，x ∈[1，e]，则h ′(x )＝1－ln x x 2.当x ∈[1，e]时，h ′(x )≥0，h (x )在[1，e]上是增函数，∴h (x )的最大值为h (e)＝1e.由题意m 2<1e ，即m <2e 时，f (x )<g (x )在[1，e]上有解.∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，2e . 4.设f (x )＝x e x ，g (x )＝12x 2＋x .(1)令F (x )＝f (x )＋g (x )，求F (x )的最小值；(2)若任意x 1，x 2∈[－1，＋∞)，且x 1>x 2，有m [f (x 1)－f (x 2)]>g (x 1)－g (x 2)恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)因为F (x )＝f (x )＋g (x )＝x e x ＋12x 2＋x ，所以F ′(x )＝(x ＋1)(e x ＋1)， 令F ′(x )>0，解得x >－1， 令F ′(x )<0，解得x <－1，所以F (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增. 故F (x )min ＝F (－1)＝－12－1e.(2)因为任意x 1，x 2∈[－1，＋∞)，且x 1>x 2，有m [f (x 1)－f (x 2)]>g (x 1)－g (x 2)恒成立， 所以mf (x 1)－g (x 1)>mf (x 2)－g (x 2)恒成立.令h (x )＝mf (x )－g (x )＝mx e x －12x 2－x ，x ∈[－1，＋∞)，即只需h (x )在[－1，＋∞)上单调递增即可.故h ′(x )＝(x ＋1)(m e x －1)≥0在[－1，＋∞)上恒成立，故m ≥1e x ，而1e x ≤e ，故m ≥e ，即实数m 的取值范围是[e ，＋∞). 5.已知函数f (x )＝m e x －x 2.(1)若m ＝1，求曲线y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程；(2)若关于x 的不等式f (x )≥x (4－m e x )在[0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)当m ＝1时，f (x )＝e x －x 2，则f ′(x )＝e x －2x . 所以f (0)＝1，且斜率k ＝f ′(0)＝1.故所求切线方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0. (2)由m e x －x 2≥x (4－m e x )得m e x (x ＋1)≥x 2＋4x . 故问题转化为当x ≥0时，m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4x e x （x ＋1）max . 令g (x )＝x 2＋4xe x （x ＋1），x ≥0，则g ′(x )＝－（x ＋2）（x 2＋2x －2）（x ＋1）2e x .由g ′(x )＝0及x ≥0，得x ＝3－1.当x ∈(0，3－1)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x ∈(3－1，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减. 所以当x ＝3－1时，g (x )max ＝g (3－1)＝2e 1－3.所以m ≥2e 1－3.即实数m 的取值范围为[2e 1－3，＋∞).。

数学高考一轮复习基本不等式专项练习（带解析）学习数学能够让我们的思维更清晰，我们在摸索和解决问题的时候，条理更清晰。

小编预备了差不多不等式专项练习，期望你喜爱。

1.若xy0，则对xy+yx说法正确的是()A.有最大值-2B.有最小值2C.无最大值和最小值D.无法确定答案：B2.设x，y满足x+y=40且x，y差不多上正整数，则xy的最大值是()A.400B.100C.40D.20答案：A3.已知x2，则当x=____时，x+4x有最小值____.答案：2 44.已知f(x)=12x+4x.(1)当x0时，求f(x)的最小值;(2)当x0 时，求f(x)的最大值.解：(1)∵x0，12x，4x0.12x+4x212x4x=83.当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，当x0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x0，-x0.则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83，当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.当x0时，f(x)的最大值为-83.一、选择题1.下列各式，能用差不多不等式直截了当求得最值的是()A.x+12xB.x2-1+1x2-1C.2x+2-xD.x(1-x)答案：C2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()A.32-3B.-3C.62D.62-3解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小值是()A.200B.100C.50D.20解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立.4.给出下面四个推导过程：①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx③∵aR，a0，4a+a 24a④∵x，yR，，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.其中正确的推导过程为()A.①②B.②③C.③④D.①④解析：选D.从差不多不等式成立的条件考虑.①∵a，b(0，+)，ba，ab(0，+)，符合差不多不等式的条件，故①的推导过程正确;②尽管x，y(0，+)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的;③∵aR，不符合差不多不等式的条件，4a+a24aa=4是错误的;④由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后，(-xy)均变为正数，符合差不多不等式的条件，故④正确.5.已知a0，b0，则1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.5解析：选C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()A.最大值64B.最大值164C.最小值64D.最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，xy=8x+2y28x2y=8xy，当且仅当8x=2y时等号成立.xy64.二、填空题7.函数y=x+1x+1(x0)的最小值为________.答案：18.若x0，y0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.解析：1=x+4y4y=4xy，xy116.答案：大1169.(2021年高考山东卷)已知x，yR+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为________.解析：∵x0，y0且1=x3+y42xy12，xy3.当且仅当x3=y4时取等号.答案：3三、解答题10.(1)设x-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;(2)求函数y=x2+8x-1(x1)的最值.解：(1)∵x-1，x+10.y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+52 x+14x+1+5=9，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.x=1时，函数的最小值是9.(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1=(x-1)+9x-1+2.∵x1，x-10.(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，y有最小值8.11.已知a，b，c(0，+)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.证明：∵a，b，c(0，+)，a+b+c=1，1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca，同理1b-12acb，1c-12abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.当且仅当a=b=c时取等号.12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建筑单价为每米400元，中间一条隔壁建筑单价为每米100元，池底建筑单价每平方米60元(池壁忽略不计).问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.总造价f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200=800(x+225x)+120211600x225x+12021=36000(元)家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

选修4－5－2 不等式的证明一、选择题1．ab ≥0是|a －b |＝|a |－|b |的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分也不必要条件答案：B2．若实数x 、y 满足1x 2＋1y 2＝1，则x 2＋2y 2有( ) A ．最大值3＋2 2 B ．最小值3＋2 2C ．最大值6D ．最小值6答案：B3．若a ，b ，c ∈R ，且满足|a －c |＜b ，给出下列结论①a ＋b ＞c ；②b ＋c ＞a ；③a ＋c ＞b ；④|a |＋|b |＞|c |.其中错误的个数( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：A4．已知a ＞0，b ＞0，m ＝a b ＋b a，n ＝a ＋b ，p ＝a ＋b ，则m ，n ，p 的大小顺序是( ) A ．m ≥n ＞p B ．m ＞n ≥pC ．n ＞m ＞pD ．n ≥m ＞p答案：A5．设a 、b 、c ∈R ＋，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( ) A ．都大于2 B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2答案：D6．若a ＞b ＞1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则( )A ．R ＜P ＜QB ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q答案：B二、填空题7．设两个不相等的正数a 、b 满足a 3－b 3＝a 2－b 2，则a ＋b 的取值范围是__________．答案：⎝⎛⎭⎫1，43 8．用max{x ，y ，z }表示x ，y ，z 三个实数中的最大数，对于任意实数a ，b ，设max{|a |，|a ＋b ＋1|，|a －b ＋1|}＝M ，则M 的最小值是__________．答案：129．设m ＞n ，n ∈N ＋，a ＝(lg x )m ＋(lg x )－m ，b ＝(lg x )n ＋(lg x )－n ，x ＞1，则a 与b 的大小关系为__________．答案：a ≥b三、解答题10．已知a ＞b ＞c ＞0，求证：a ＋33(a －b )(b －c )c≥6.(并指出等号成立的条件) 证明：因为a ＞b ＞c ＞0，所以a －b ＞0，b －c ＞0，所以a ＝(a －b )＋(b －c )＋c ≥33(a －b )(b －c )c ，当且仅当a －b ＝b －c ＝c 时，等号成立，所以a ＋33(a －b )(b －c )c≥33(a －b )(b －c )c ＋33(a －b )(b －c )c≥233(a －b )(b －c )c33(a －b )(b －c )c＝6， 当且仅当33(a －b )(b －c )c ＝33(a －b )(b －c )c时，等号成立，故可求得a ＝3，b ＝2，c ＝1时等号成立．11．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，当x ∈[－1,1]时，恒有|f (x )|≤1.(1)求证：|b |≤1；(2)f (0)＝－1，f (1)＝1，求f (x )的表达式．解析：(1)证明：∵f (1)＝a ＋b ＋c ，f (－1)＝a －b ＋c ，∴b ＝12[f (1)－f (－1)]． ∵当x ∈[－1,1]时，|f (x )|≤1.∴|f (1)|≤1，|f (－1)|≤1.∴|b |＝12|f (1)－f (－1)| ≤12[|f (1)|＋|f (－1)|]≤1. (2)由f (0)＝－1，f (1)＝1，得c ＝－1，b ＝2－a .∴f (x )＝ax 2＋(2－a )x －1.∵当x ∈[－1,1]时，|f (x )|≤1.∴|f (－1)|≤1，即|2a －3|≤1，解得1≤a ≤2.∴a －22a ＝12－1a∈[－1,1]． 依题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22a 2＋(2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22a －1≤1， 整理，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a －2)24a ＋1≤1. 又a ＞0，(a －2)24a ≥0，(a －2)24a＋1≥1. ∴(a －2)24a＝0，即a ＝2， 从而b ＝0，故f (x )＝2x 2－1.12．设正有理数x 是3的一个近似值，令y ＝1＋21＋x. (1)若x ＞3，求证：y ＜3；(2)求证：y 比x 更接近于 3.证明：(1)y －3＝1＋21＋x－ 3 ＝3－3＋x －3x 1＋x＝(1－3)(x －3)1＋x ，∵x ＞3，∴x －3＞0，而1－3＜0，∴y ＜ 3.(2)∵|y －3|－|x －3|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(1－3)(x －3)1＋x －|x －3| ＝|x －3|⎝ ⎛⎭⎪⎫3－11＋x －1 ＝|x －3|⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2－x 1＋x ∵x ＞0，3－2＜0，|x －3|＞0，∴|y －3|－|x －3|＜0，即|y －3|＜|x －3|，∴y 比x 更接近于 3.。

2013高三理科数学第一轮复习 不等式的证明练习⑵(有答案)班级__________姓名______________1、不等式：（1）x 3＋3>2x ；（2）a 5＋b 5<a 3b 2＋a 2b 3；（3）a 2＋b 2≥2(a ＋b －1)；（4）2||≥+abb a 恒成立的有( )A.(1)(2)B. (1)(3)C. (3)(4)D. (1)(2)(3)(4)2、 对R x ∈都成立的不等式是( )A.x x 2lg )1lg(2≥+B. x x 212>+ C.1112<+x D.x x 442≥+ 3、已知a 、b 是不相等的正数，x =2b a +，y =b a +，则x 、y 的关系是( )A.x ＞yB.y ＞xC.x ＞2yD.不能确定4、给出下列三个命题：①若a ≥b>-1,则11a b a b ≥++ ②若正整数m 和n 满足m ≤n,则()2n m n m -≤ ③设P(x 1,y 1)为圆O 1:x 2+y 2=9上任一点，圆O 2以Q （a,b ）为圆心且半径为1，当（a-x 1）2+(b-y 1)2=1时，圆O 1与O 2相切.其中假命题的个数为（ ）A. 0 B. 1 C.2 D.35.若x,y 是正数，则2211()()22x y y x+++的最小值是（ ） A. 3 B.72 C.4 D. 92 6.111(1)(1)(1),1,(,,),M a b c a b c R M a b c +=---++=∈设且则的取值范围是( )A. [0, 18]B.( 18,1)C. [-1, 18] D. [8,+∞）7、设,,,,,a b c x y z 是正数,且22210a b c ++=,22240x y z ++=,20ax by cz ++=,则a b cx y z++=++ （ ）A ．14 B ．13C ．12D ．348．已知函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0),,αβ为方程f(x)=x 的两个根，且0<1aαβ<<,0<x<α,给出下列不等式①x<f(x) ②α< f(x) ③x>f(x) ④α> f(x) 其中成立的是A. ①④B. ③④C. ①②D. ②④9．若1=++c b a ，则222c b a ++的最小值为_____________10．若a ＞b ＞c ，则b a -1+c b -1_______ca -3.（填“＞”“=”“＜”） 11、已知实数,1,,=++ca bc ab c b a 满足给出下列等式：（1）1222222≥++a c c b b a （2）321≥abc（3）2)(2>++c b a （4）31222≤++abc c ab bc a 其中一定成立的式子有__________12、已知△ABC 的外接圆半径R=1，41=∆ABC S ，a 、b 、c 是三角形的三边，令c b a s ++=，cb a t 111++=。

1．(2019·台州质检)已知关于x 的不等式ax 2－x ＋c <0的解集为{}x |－1<x <2，则a ＋c 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．32．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( ) A ．(－4,1) B ．(－1,4) C ．(1,4)D ．(0,4)3．如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( ) A ．(－2，2) B ．(－2,0) C ．(－2,1)D ．(0,1)4．已知p ：－12<a <1，q ：对任意的x ∈[－1,1]，x 2－ax －2<0，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若不等式ax 2＋2x ＋c <0的解集是⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，则不等式cx 2＋2x ＋a ≤0的解集是( ) A.⎣⎡⎦⎤－12，13 B.⎣⎡⎦⎤－13，12 C ．[－2,3]D ．[－3,2]6．若不等式ax －b >0的解集为(－∞，1)，则关于x 的不等式bx ＋3ax －5>0的解集为( )A ．(－5,3)B ．(－∞，－5)∪(3，＋∞)C ．(－3,5)D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞)7．(2020·浙江省五校联考)已知关于x 的不等式ax 2－2x ＋3a <0在(0,2]上有解，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，33 B.⎝⎛⎭⎫－∞，47 C.⎝⎛⎭⎫33，＋∞D.⎝⎛⎭⎫47，＋∞8．若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,1]C ．[0,1)D ．(0,1)9．关于x 的不等式x 2－2kx ＋k 2＋k －1>0的解集为{x |x ≠a ，x ∈R }，则实数a ＝________. 10．若x ∈[－1,1]时，关于x 的不等式x 3－1≤ax 2＋2ax －a 2恒成立，则实数a 的取值范围是________．11．(2019·嘉兴模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，x －1，x ≥0，那么不等式x ＋(x ＋1)·f (x ＋1)≤1的解集是( )A ．{x |－1≤x ≤ 2－1}B ．{x |x ≤1}C ．{x |x ≤ 2－1}D ．{x |－2－1≤x ≤ 2－1}12．设a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两个实根，则(a －1)2＋(b －1)2的最小值是( )A ．－494B ．18C ．8D ．－613．定义：区间[a ，b ]，(a ，b ]，(a ，b )，[a ，b )的长度均为b －a ，若不等式1x －1＋2x －2≥54的解集是互不相交区间的并集，则该不等式的解集中所有区间的长度之和为( ) A.512 B.125 C.2095D.520920914．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，当x ∈[0,2)时，f (x )＝))232,0,1,1,1,2,2x x x x x -⎧-∈⎡⎣⎪⎪⎨⎛⎫⎪-∈⎡ ⎪⎣⎪⎝⎭⎩若当x ∈[－4，－2)时，不等式f (x )≥m 24－m ＋12恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[2,3]B ．[1,3]C ．[1,4]D ．[2,4]15．已知二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3，不等式f (x )≥m 的解集的区间长度为6(规定：闭区间[a ，b ]的长度为b －a )，则实数m 的值是________．16．(2020·浙江省浙南名校联盟联考)已知等比数列{a n }的公比为q ，关于x 的不等式a 2x 2－(a 1＋a 3)x ＋a 2>0有下列说法：①当q >1时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，1q ，(q ，＋∞)； ②当0<q <1时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫q ，1q ； ③当a 1>0时，存在公比q ，使得不等式解集为∅； ④存在公比q ，使得不等式解集为R . 上述说法正确的序号是________．答案精析1．A 2.B 3.C 4.A 5.D 6.C 7.A 8．D 9.1 10.⎣⎡⎦⎤0，34 11.C 12．C [因为a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两个实根，所以由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2m ，ab ＝m ＋6，且Δ＝4(m 2－m －6)≥0，所以y ＝(a －1)2＋(b －1)2＝(a ＋b )2－2ab －2(a ＋b )＋2＝4m 2－6m －10 ＝4⎝⎛⎭⎫m －342－494，且m ≥3或m ≤－2. 由二次函数的性质知，当m ＝3时，函数y ＝4⎝⎛⎭⎫m －342－494取得最小值为8. 即(a －1)2＋(b －1)2的最小值为8.] 13．B [不等式1x －1＋2x －2≥54，即4(x －2)＋8(x －1)－5(x －1)(x －2)4(x －1)(x －2)≥0，化简可得5x 2－27x ＋264(x －1)(x －2)≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x 2－27x ＋26≤0，(x －1)(x －2)>0 或⎩⎪⎨⎪⎧5x 2－27x ＋26≥0，(x －1)(x －2)<0， 方程5x 2－27x ＋26＝0有两个根x 1＝27－20910或x 2＝27＋20910，则原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，27－20910∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2，27＋20910，其解集区间的长度为⎝⎛⎭⎪⎫27＋20910－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27－20910－1＝275－3＝125.]14．B [因为当x ∈[－4，－2)时，不等式f (x )≥m 24－m ＋12恒成立，所以f (x )min ≥m 24－m ＋12，当x ∈[－4，－2)，x ＋4∈[0,2)时，f (x )＝12f (x ＋2)＝14f (x ＋4)＝⎩⎪⎨⎪⎧14[(x ＋4)2－(x ＋4)]，x ＋4∈[0，1)，－14×34212x +-⎛⎫ ⎪⎝⎭，x ＋4∈[1，2)，当x ＋4∈[0,1)时，f (x )＝14[(x ＋4)2－(x ＋4)]≥－14×14＝－116，当x ＋4∈[1,2)时， f (x )＝－14×34212x +-⎛⎫⎪⎝⎭≥－14，因此当x ∈[－4，－2)时，f (x )min ＝－14≥m 24－m ＋12，所以实数m 的取值范围是1≤m ≤3.] 15．－5解析 根据题意－x 2＋2x ＋3≥m 的解集为[a ，b ]，则x ＝a 和x ＝b 是方程－x 2＋2x ＋3＝m 即x 2－2x ＋m －3＝0的两根， 则a ＋b ＝2，ab ＝m －3，不等式f (x )≥m 的解集的区间长度为6，即b －a ＝6， 则有(a ＋b )2－4ab ＝4－4(m －3)＝36， 解得m ＝－5. 16．③解析 由题意a 1＝a 2q ，a 3＝a 2q ，不等式a 2x 2－(a 1＋a 3)x ＋a 2>0变为 a 2⎣⎡⎦⎤x 2－⎝⎛⎭⎫1q ＋q x ＋1>0， 即a 2(x －q )⎝⎛⎭⎫x －1q >0， 若a 2>0，则(x －q )⎝⎛⎭⎫x －1q >0， 当q >1或－1<q <0时解为x <1q 或x >q ，当0<q <1或q <－1时，解为x <q 或x >1q ，当q ＝±1时，解为x ≠q ； 若a 2<0，则(x －q )⎝⎛⎭⎫x －1q <0，当q >1或－1<q <0时，解为1q <x <q ，当0<q <1或q <－1时， 解为q <x <1q，当q ＝±1时，不等式无解． 对照①，②，③，④，只有③正确．。

[基础题组练]1．(2020·南阳模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，证明：t 2＋1≥3t＋3t .解：(1)依题意，得f (x )⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12. 于是f (x )≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1.即不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}． (2)证明：g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥ |2x －1－2x －2|＝3，当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时，取等号， 所以M ＝[3，＋∞)．要证t 2＋1≥3t ＋3t ，即证t 2－3t ＋1－3t ≥0.而t 2－3t ＋1－3t ＝t 3－3t 2＋t －3t ＝（t －3）（t 2＋1）t. 因为t ∈M ，所以t －3≥0，t 2＋1>0， 所以（t －3）（t 2＋1）t ≥0.所以t 2＋1≥3t＋3t .2．(2020·榆林模拟)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)求函数f (x )的最小值a ；(2)根据(1)中的结论，若m 3＋n 3＝a ，且m >0，n >0，求证：m ＋n ≤2.解：(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|≥|x ＋1－(x －1)|＝2，当且仅当(x ＋1)(x －1)≤0即－1≤x ≤1时取等号，所以f (x )min ＝2，即a ＝2.(2)证明：假设m ＋n >2，则m >2－n ，m 3>(2－n )3. 所以m 3＋n 3>(2－n )3＋n 3＝2＋6(1－n )2≥2.①由(1)知a ＝2，所以m 3＋n 3＝2.② ①②矛盾，所以m ＋n ≤2.3．(2020·宣城模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －2|，集合A ＝{x |f (x )<3}． (1)求集合A ；(2)若实数s ，t ∈A ，求证：⎪⎪⎪⎪1－t s <⎪⎪⎪⎪t －1s . 解：(1)函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋1，x <－12，x ＋3，－12≤x <2，3x －1，x ≥2.首先画出y ＝f (x )与y ＝3的图象如图所示．可得不等式f (x )<3的解集A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23<x <0.(2)证明：因为实数s ，t ∈A ，所以s ，t ∈⎝⎛⎭⎫－23，0. 所以⎝⎛⎭⎫1－t s 2－⎝⎛⎭⎫t －1s 2＝1＋t 2s 2－t 2－1s 2＝1s2(1－t 2)·(s 2－1)<0， 所以⎝⎛⎭⎫1－t s 2<⎝⎛⎭⎫t －1s 2，所以⎪⎪⎪⎪1－t s <⎪⎪⎪⎪t －1s . 4．(2020·重庆模拟)已知关于x 的不等式|2x |＋|2x －1|≤m 有解． (1)求实数m 的取值范围；(2)已知a >0，b >0，a ＋b ＝m ，证明：a 2a ＋2b ＋b 22a ＋b ≥13.解：(1)|2x |＋|2x －1|≥|2x －(2x －1)|＝1，当且仅当2x (2x －1)≤0即0≤x ≤12时取等号，故m ≥1.所以实数m 的取值范围为[1，＋∞)． (2)证明：由题知a ＋b ≥1，又⎝⎛⎭⎫a 2a ＋2b ＋b22a ＋b (a ＋2b ＋2a ＋b )≥(a ＋b )2， 所以a 2a ＋2b ＋b 22a ＋b ≥13(a ＋b )≥13.[综合题组练]1．设不等式||x ＋1|－|x －1||<2的解集为A . (1)求集合A ；(2)若a ，b ，c ∈A ，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.解：(1)由已知，令f (x )＝|x ＋1|－|x －1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≥1，2x ，－1＜x ＜1，－2，x ≤－1，由|f (x )|<2得－1<x <1，即A ＝{x |－1<x <1}． (2)证明：要证⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1，只需证|1－abc |>|ab －c |，只需证1＋a 2b 2c 2>a 2b 2＋c 2， 只需证1－a 2b 2>c 2(1－a 2b 2)， 只需证(1－a 2b 2)(1－c 2)>0，由a ，b ，c ∈A ，得－1<ab <1，c 2<1， 所以(1－a 2b 2)(1－c 2)>0恒成立． 综上，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.2．已知函数f (x )＝k －|x －3|，k ∈R ，且f (x ＋3)≥0的解集为[－1，1]． (1)求k 的值；(2)若a ，b ，c 是正实数，且1ka ＋12kb ＋13kc ＝1，求证：a ＋2b ＋3c ≥9. 解：(1)因为f (x )＝k －|x －3|， 所以f (x ＋3)≥0等价于|x |≤k ，由|x |≤k 有解，得k ≥0，且解集为[－k ，k ]． 因为f (x ＋3)≥0的解集为[－1，1]． 因此k ＝1.(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，因为a ，b ，c 为正实数，所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c＝3＋a 2b ＋a 3c ＋2b a ＋2b 3c ＋3c a ＋3c2b＝3＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋2b a ＋⎝⎛⎭⎫a 3c ＋3c a ＋⎝⎛⎭⎫2b 3c ＋3c 2b≥3＋2a 2b ·2b a ＋2a 3c ·3c a ＋22b 3c ·3c2b＝9. 当且仅当a ＝2b ＝3c 时，等号成立． 因此a ＋2b ＋3c ≥9.3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，当x ∈[－1，1]时，|f (x )|≤1. (1)求证：|b |≤1；(2)若f (0)＝－1，f (1)＝1，求实数a 的值．解：(1)证明：由题意知f (1)＝a ＋b ＋c ，f (－1)＝a －b ＋c ， 所以b ＝12[f (1)－f (－1)]．因为当x ∈[－1，1]时，|f (x )|≤1， 所以|f (1)|≤1，|f (－1)|≤1，所以|b |＝12|f (1)－f (－1)|≤12[|f (1)|＋|f (－1)|]≤1.(2)由f (0)＝－1，f (1)＝1可得c ＝－1，b ＝2－a ， 所以f (x )＝ax 2＋(2－a )x －1.当a ＝0时，不满足题意，当a ≠0时， 函数f (x )图象的对称轴为x ＝a －22a ，即x ＝12－1a. 因为x ∈[－1，1]时，|f (x )|≤1，即|f (－1)|≤1，所以|2a －3|≤1，解得1≤a ≤2. 所以－12≤12－1a ≤0，故|f ⎝⎛⎭⎫12－1a |＝ |a ⎝⎛⎭⎫12－1a 2＋(2－a )⎝⎛⎭⎫12－1a －1|≤1. 整理得|（a －2）24a ＋1|≤1，所以－1≤（a －2）24a ＋1≤1，所以－2≤（a －2）24a ≤0，又a ＞0，所以（a －2）24a ≥0，所以（a －2）24a＝0，所以a ＝2.4．(2019·高考全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.解：(1)由于[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)] ≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，故由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立．所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)证明：由于[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]， 故由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥（2＋a ）23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立．因此(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为（2＋a ）23. 由题设知（2＋a ）23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.。

专题层级快练3.3.4利用导数证明不等式1．(2020·沧州七校联考)设a 为实数，函数f(x)＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，e x >x 2－2ax ＋1.2．(2021·赣州模拟)已知函数f(x)＝1－lnx x ，g(x)＝ae e x ＋1x－bx ，若曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A 处的切线互相垂直．(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x ≥1时，f(x)＋g(x)≥2x.3．(2017·课标全国Ⅲ)已知函数f(x)＝lnx ＋ax 2＋(2a ＋1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时，证明：f(x)≤－34a－2.4．(2021·河南开封市高三模拟)已知函数f(x)＝lnx ＋a x(a ∈R )e ，其中e 为自然对数的底数．(1)求实数a 的值，并求f(x)的单调区间；(2)证明：xf(x)>x ex .5．已知函数f(x)＝xlnx －m 2x 2－x ＋e 2(0<x ≤e 2)．(1)当m ＝1e时，求函数f(x)的单调区间；(2)证明：当0<m<1e2时，f(x)>0.6．(2021·八省联考)已知函数f(x)＝e x －sinx －cosx ，g(x)＝e x ＋sinx ＋cosx.(1)证明：当x>－5π4时，f(x)≥0.(2)若g(x)≥2＋ax ，求a 的值．3.3.4利用导数证明不等式参考答案1．答案(1)单调递减区间为(－∞，ln2)，单调递增区间为(ln2，＋∞)；极小值为2(1－ln2＋a)，无极大值(2)略解析(1)由f(x)＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ，得f ′(x)＝e x －2，x ∈R .令f ′(x)＝0，得x ＝ln2.于是当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f ′(x)－0＋f(x)极小值故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)．f(x)在x ＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝e ln2－2ln2＋2a ＝2(1－ln2＋a)，无极大值．(2)证明：设g(x)＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R .于是g ′(x)＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a>ln2－1时，g ′(x)最小值为g ′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是对任意x ∈R ，都有g ′(x)>0，所以g(x)在R 内单调递增．于是当a>ln2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．又g(0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g(x)>0.即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.2．答案(1)a ＝－1，b ＝－1(2)略解析(1)因为f(x)＝1－lnx x ，x>0，所以f ′(x)＝lnx －1x2，f ′(1)＝－1.因为g(x)＝ae e x ＋1x－bx ，所以g ′(x)＝－ae e x －1x2－b.因为曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A 处的切线互相垂直，所以g(1)＝1，且f ′(1)·g ′(1)＝－1，所以g(1)＝a ＋1－b ＝1，g ′(1)＝－a －1－b ＝1，解得a ＝－1，b ＝－1.(2)证明：由(1)知，g(x)＝－e e x ＋1x＋x ，则f(x)＋g(x)≥2x ⇔1－lnx x －e e x －1x＋x ≥0.令h(x)＝1－lnx x －e e x －1x＋x(x ≥1)，则h(1)＝0，h ′(x)＝－1＋lnx x 2＋e e x ＋1x 2＋1＝lnx x 2＋e e x ＋1.因为x ≥1，所以h ′(x)＝lnx x 2＋e ex ＋1>0.所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ≥1时，h(x)≥h(1)＝0，即1－lnx x －e e x －1x＋x ≥0，所以当x ≥1时，f(x)＋g(x)≥2x.3．答案(1)当a ≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，f(x)在(0，－12a )上单调递增，在(－12a，＋∞)上单调递减(2)略解析(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝（x ＋1）（2ax ＋1）x.若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a<0，则当x f ′(x)>0；当x －12a，＋f ′(x)<0.故f(x)－12a，＋(2)证明：由(1)知，当a<0时，f(x)在x ＝－12a 处取得最大值，最大值为1－14a.所以f(x)≤－34a －2等价于1－14a ≤－34a －2，即＋12a＋1≤0.设g(x)＝lnx －x ＋1，则g ′(x)＝1x－1.当x ∈(0，1)时，g ′(x)>0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x)<0.所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x ＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.所以当x>0时，g(x)≤0.从而当a<0时，＋12a ＋1≤0，即f(x)≤－34a－2.4．答案(1)a ＝2e，函数的单调递减区间为(2)证明见解析思路(1)先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求a ，结合导数与单调性关系即可求解；(2)要证明原不等式成立，可转化为证明求解相应函数的范围，进行合理的变形后构造函数，结合导数可证．解析(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f ′(x)＝1x －a x 2，由题意可得，f e －ae 2＝－e ，故a ＝2e ，f ′(x)＝1x －2ex 2＝ex －2ex 2.当x f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，故函数f(x)(2)证明：设h(x)＝xf(x)＝xlnx ＋2e，则h ′(x)＝lnx ＋1(x>0)．当x h ′(x)<0，函数h(x)单调递减，当x h ′(x)>0，函数h(x)单调递增，故h(x)min ＝＝1e.设t(x)＝x e x ，则t ′(x)＝1－x ex ，当x ∈(0，1)时，t ′(x)>0，函数t(x)单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x)<0，函数t(x)单调递减，故t(x)max ＝t(1)＝1e.又h(x)和t(x)不同时为1e，综上可得，x>0时，恒有h(x)>t(x)，即xf(x)>x ex .5．答案(1)略(2)略解析(1)f(x)＝xlnx －12e x 2－x ＋e 2.f ′(x)＝1＋lnx －x e －1＝lnx －x e.f ″(x)＝1x －1e，y ＝f ′(x)在(0，e)上单调递增，在(e ，e 2]上单调递减．f ′(e)＝0，∴f ′(x)≤0.∴y ＝f(x)在(0，e 2]上单调递减．(2)证明：f(x)＝xlnx －m 22－x ＋e 2.f ′(x)＝1＋lnx －mx －1＝lnx －mx.f ″(x)＝1x －m ，1m>e 2.y ＝f ′(x)在(0，e 2]上单调递增，当x →0时f ′(x)→－∞.f ′(e 2)＝2－me 2.∵m me 2∈(0，1)，me∴f ′(e 2)>0，f ′(1)＝－m<0，f ′(e)＝1－me>0.∴∃x 0∈(1，e)，使得f ′(x 0)＝0.即lnx 0＝mx 0.∴y ＝f(x)在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，e 2]上单调递增．∴f(x)min ＝f(x 0)＝x 0lnx 0－m 2x 02－x 0＋e 2.f(x)min ＝x 0·lnx 0－lnx 02·x 0－x 0＋e 2＝12x 0lnx 0－x 0＋e 2，x 0∈(1，e)．令g(x)＝12xlnx －x ＋e 2，x ∈(1，e)，g ′(x)＝12(1＋lnx)－1＝12(lnx －1)<0.g(x)在(1，e)上单调递减，∴g(x)>g(e)＝0.∴f(x)min >0，∴f(x)>0.即证．6．答案(1)证明见解析(2)2解析(1)证明：因为f(x)＝e x －sinx －cosx ＝e x －2sinf ′(x)＝e x －cosx ＋sinx ＝e x ＋2sinf ″(x)＝g(x)＝e x ＋sinx ＋cosx ＝e x ＋2sin考虑到f(0)＝0，f ′(0)＝0，所以当x －5π4，－时，2sin ，此时f(x)>0；当x ∈－π4，0，f ″(x)>0，所以f ′(x)单调递增，所以f ′(x)≤f ′(0)＝0，所以f(x)单调递减，f(x)≥f(0)＝0；当x f ″(x)>0，所以f ′(x)单调递增，f ′(x)>f ′(0)＝0，所以f(x)单调递增，f(x)≥f(0)＝0；当x ∈3π4，＋f(x)＝e x －2sin e 1－2>0.综上，当x>－5π4时，f(x)≥0.(2)设r(x)＝e x ＋sinx ＋cosx －2－ax ，则r(0)＝0，其导函数r ′(x)＝e x ＋cosx －sinx －a ，于是r ′(0)＝2－a ，又r ″(x)＝e x －sinx －cosx ＝f(x)，于是根据第(1)小题的结果，r ′(x)－5π4，＋情形一：若a<2，则r ′(0)>0.若r 0－5π4，r′(x)>0，于是r(x)在此区间上单调递增，因此在该区间上有r(x)<r(0)＝0，不符合题意．若r －5π4，r ′(x)存在唯一零点x 0，使得r(x)在(x 0，0)上单调递增，因此在该区间上有r(x)<r(0)＝0，不符合题意．情形二：若a>2，则r ′(0)<0.考虑到r ′(ln(|a|＋2))≥|a|＋2＋(－1)－1－a ≥0，于是函数r ′(x)在(0，ln(|a|＋2)]上有唯一零点x 1，使得r(x)在(0，x 1)上单调递减，因此在该区间上有r(x)<r(0)＝0，不符合题意．情形三：若a ＝2，则函数r(x)－5π4，(0，＋∞)上单调递增，而r(0)＝0，因此r(x)在－5π4，＋r(x)≥0.当x ≤－5π4时，有r(x)>0＋(－1)＋(－1)－2－2＝5π2－4>0，命题也成立．综上所述，a ＝2.。

高考数学一轮复习《不等式的性质》综合复习练习题（含答案）一、单选题1．已知01,0a b <<<，则下列大小关系正确的是（ ） A ．21ab a b << B ．21ab a b << C ．21ab a b << D ．21a b ab <<2．如果a bc c>，那么下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．22ac bc >B ．a b >C ．a c b c ->-D ．ac bc >3．如果,,,R a b c d ∈，则正确的是（ ） A ．若a >b ，则11a b <B ．若a >b ，则22ac bc >C ．若a >b ，c >d ，则a +c >b +dD ．若a >b ，c >d ，则ac >bd4．若a >b ，c >d ，则下列不等式中一定正确的是（ ） A ．a d b c +>+ B ．a d b c ->- C ．ad bc >D ．a b d c> 5．若,R a b ∈，下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则22a b > B ．R c ∈，若a b >，则22ac bc > C ．若33a b ->-，则a b <D ．0a ≠，0b ≠，若a b >，则11a b <6．已知,a b R ∈且满足1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42a b +的取值范围是（ ）A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8]7．若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11a b<B ．ac bc >C ．()20a b c -≥D ．b c ba c a+>+ 8．设a ，b ∈R ，0a b <<，则（ ） A ．22a b <B ．b a a b> C ．11a b a>- D ．2ab b >9．若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．1423b b b b +≤+B ．4132b b b b ≤--C ．3124a a a a ≥D ．3124a a a a ≤10．设0a b <<，给出下列四个结论：①a b ab +<；②23a b <；③22a b <；④a a b b <.其中正确的结论的序号为（ ） A ．①②B ．①④C ．②③④D ．①②③11．若向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且222a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最大的是（ ） A ．a b ⋅B ．b c ⋅C ．a c ⋅D ．不能确定12．已知0a b >>，且1a b +=，则下列结论正确的是（ ） A ．n 0()l a b ->B2C ．a b b a >D ．114a b+>二、填空题13．已知25,21a b a b ≤+≤-≤-≤，则3a b -的取值范围是___________.14．若2312a b <<<<，，则2a b -的取值范围是____． 15．已知12,03a b ≤≤≤≤，则2+a b 的取值范围为__________． 16．若23a -<<，12b <<，则2a b -的取值范围是____________．三、解答题17．比较（x －2）（x －4）与（x －1）（x －5）的大小关系．18．求解下列问题：(1)已知a ∈R ，比较()()37a a ++和()()46a a ++的大小； (2)已知0x y <<，比较1x与1y 的大小.19．（1）已知022a b <-<，123a b <+<，求a b +的取值范围； （2）已知x ，y ，z 都是正数，求证：222x y z xy xz yz ++≥++．20．对于四个正数m n p q 、、、，若满足mq np <，则称有序数对(),m n 是(),p q 的“下位序列”． (1)对于2、3、7、11，有序数对()3,11是()2,7的“下位序列”吗？请简单说明理由；(2)设a b a d 、、、均为正数，且(),a b 是(),c d 的“下位序列”，试判断a c a c b d b d ++、、之间的大小关系．21．请选择适当的方法证明. (1)已知0a >，0b >，且ab ，证明：3322a b a b ab +>+；(2)已知x ∈R ，22a x =-，23b x =-+，证明：a ，b 中至少有一个不小于0.22．已知关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为A ，集合(2,3)B =． (1)若A B ⊆，求实数a 的取值范围； (2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围．23．求证下列问题：(1)已知a b c ，，均为正数，求证:bc ac aba b c++a b c ≥++. (2)已知0xy >，求证: 11x y>的充要条件是x y <.24．已知定义在R 的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足：()()3x f x g x +=． (1)求(),()f x g x ，并证明：22()()(2)f x g x f x +=；(2)若存在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式2(2)2()10f x ag x ++≤成立，求实数a 的取值范围。

高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7.5 基本不等式的综合应用题型一 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例1 (1)(2022·成都模拟)已知直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝4相切，则log 2a ＋log 2b 的最大值为( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3答案 D解析 因为直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝4相切， 所以1a 2＋b 2＝2，即a 2＋b 2＝14，因为a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤18(当且仅当a ＝b 时，等号成立)，所以log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )≤log 218＝－3，所以log 2a ＋log 2b 的最大值为－3.(2)(2022·合肥质检)若△ABC 的内角满足sin B ＋sin C ＝2sin A ，则( )A ．A 的最大值为π3B ．A 的最大值为2π3C ．A 的最小值为π3D ．A 的最小值为π6答案 A解析 ∵sin B ＋sin C ＝2sin A .∴b ＋c ＝2a .由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b ＋c242bc＝3b 2＋c 2－2bc 8bc ≥6bc －2bc 8bc ＝12， 当且仅当b ＝c 时取等号．又A ∈(0，π)， ∴0<A ≤π3，即A 的最大值为π3. 教师备选已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点分别为F 1，F 2.若椭圆上有一点P ，使PF 1⊥PF 2，则b a的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎦⎤0，22 C.⎣⎡⎦⎤12，22 D.⎣⎡⎭⎫22，1 答案 B解析 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，∴2mn ＝4a 2－4c 2＝4b 2，又2mn ≤2⎝⎛⎭⎫m ＋n 22， 即4b 2≤2⎝⎛⎭⎫2a 22，∴2b 2≤a 2，∴0<b a ≤22. 思维升华 基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，一般利用常数代换法求最值，要注意最值成立的条件．跟踪训练1 (1)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则1a ＋4b 的最小值等于( ) A ．2 B.32 C.12D ．1 答案 B解析 ∵函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，∴f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6，又a >0，b >0.∴1a ＋4b ＝16⎝⎛⎭⎫1a ＋4b (a ＋b ) ＝56＋16⎝⎛⎭⎫b a ＋4a b ≥56＋16×2b a ·4a b ＝32， 当且仅当2a ＝b ＝4时，等号成立．此时满足在x ＝1处有极值．∴1a ＋4b 的最小值等于32. (2)已知数列{a n }是等比数列，若a 2a 5a 8＝－8，则a 9＋9a 1的最大值为________．答案 －12解析 ∵a 2a 5a 8＝－8，∴a 35＝－8，∴a 5＝－2，∴a 1<0，a 9<0，a 9＋9a 1＝－(－a 9－9a 1)≤－2－a 9－9a 1＝－29a 1a 9 ＝－29·a 25＝－12，当且仅当－a 9＝－9a 1时取等号．题型二 求参数值或取值范围例2 (1)已知函数f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a 等于( )A ．6B ．8C ．16D ．36答案 D解析 因为f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)，故4x ＋a x ≥24x ·ax ＝4a ，当且仅当4x ＝ax ，即x ＝a2时取等号，故a2＝3，a ＝36.(2)已知x ，y 属于正实数，若不等式4x ＋9y ≥mx ＋y 恒成立，则实数m 的取值范围是() A ．(－∞，9] B ．(－∞，16]C ．(－∞，25]D ．(－∞，36]答案 C解析 因为x ，y 属于正实数，所以不等式4x ＋9y ≥mx ＋y 恒成立，即m ≤⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4x ＋9y x ＋y min ，因为⎝⎛⎭⎫4x ＋9y (x ＋y )＝13＋4y x ＋9x y≥13＋24y x ·9x y＝25， 当且仅当4y x ＝9x y，即3x ＝2y 时，等号成立， 所以m ≤25.教师备选(2022·沙坪坝模拟)已知函数f (x )＝2x 3＋3x (x ∈R )，若不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )<0对任意实数t ≥1恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫－∞，43 C ．(－∞，－2)D ．(－2，－2)答案 C解析 ∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝－2x 3－3x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，且f (x )在R 上单调递增，则不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )<0等价于f (2m ＋mt 2)<－f (4t )＝f (－4t )，∴2m ＋mt 2<－4t ，即m <－4t t 2＋2对t ≥1恒成立， ∵－4t t 2＋2＝－4t ＋2t ≥－42t ·2t＝－2， 当且仅当t ＝2t，即t ＝2时等号成立， ∴m <－ 2.思维升华 求参数的值或取值范围时，要观察题目的特点．利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或范围．跟踪训练2 (1)(2022·杭州模拟)已知k ∈R ，则“对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥kab ”是“k ≤2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 因为对任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab ，而对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥kab ，所以－2≤k ≤2，因为[－2,2]是(－∞，2]的真子集，所以“对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥kab ”是“k ≤2”的充分不必要条件．(2)(2022·济宁质检)命题p ：∃x ∈(0，＋∞)，x 2－λx ＋1＝0，当p 是真命题时，则λ的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 依题意，方程x 2－λx ＋1＝0有正解，即λ＝x ＋1x有正解， 又x >0时，x ＋1x≥2， ∴λ≥2.题型三 基本不等式的实际应用例3 小王于年初用50万元购买了一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)解 (1)设大货车运输到第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50＝－x 2＋20x －50(0<x ≤10，x ∈N *)，由－x 2＋20x －50>0，可得10－52<x ≤10. 因为2<10－52<3，所以大货车运输到第3年年底，该车运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以二手车出售后，小王的年平均利润为y ＋25－x x ＝19－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ≤19－225＝9，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时，等号成立，所以小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大．教师备选某高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍惜粮食、爱护公物的良好习惯，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm.怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是________ cm 2.答案 72 600解析 设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，由题意可得3ab ＝60 000，所以ab ＝20 000，即b ＝20 000a， 所以该海报的高为(a ＋20)cm ，宽为(3b ＋10×2＋5×2)cm ，即(3b ＋30)cm ，所以整个矩形海报面积S ＝(a ＋20)(3b ＋30)＝3ab ＋30a ＋60b ＋600＝30(a ＋2b )＋60 600＝30⎝⎛⎭⎫a ＋40 000a ＋60 600 ≥30×2a ·40 000a＋60 600 ＝30×400＋60 600＝72 600， 当且仅当a ＝40 000a，即a ＝200时等号成立， 所以当广告栏目的高为200 cm ，宽为100 cm 时，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是72 600 cm 2.思维升华 利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值． 跟踪训练3 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是______万元．答案 37.5解析 由题意知t ＝23－x －1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y ＝⎝⎛⎭⎫32×150%＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－⎣⎡⎦⎤163－x ＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号， 即最大月利润为37.5万元． 课时精练1．(2022·苏州模拟)设直线l 与曲线y ＝x 3－2x＋1相切，则l 斜率的最小值为( ) A. 6 B ．4 C ．2 6 D ．3 2答案 C解析 因为x ≠0，所以x 2>0，因为y ′＝3x 2＋2x 2≥26⎝⎛⎭⎫当且仅当3x 2＝2x 2，等号成立， 所以l 斜率的最小值为2 6.2．(2021·新高考全国Ⅰ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( )A ．13B ．12C ．9D ．6答案 C解析 由椭圆C ：x 29＋y 24＝1， 得|MF 1|＋|MF 2|＝2×3＝6，则|MF 1|·|MF 2|≤⎝⎛⎭⎫|MF 1|＋|MF 2|22＝32＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时等号成立．3．(2022·北京人大附中模拟)数列{a n }是等差数列 ，{b n }是各项均为正数的等比数列，公比q >1，且a 5＝b 5，则( )A ．a 3＋a 7>b 4＋b 6B ．a 3＋a 7≥b 4＋b 6C ．a 3＋a 7<b 4＋b 6D ．a 3＋a 7＝b 4＋b 6 答案 C解析 因为数列{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，所以a 3＋a 7＝2a 5＝2b 5，b 4＋b 6≥2b 4b 6＝2b 5，所以a 3＋a 7≤b 4＋b 6，又因为公比q >1，所以a 3＋a 7<b 4＋b 6.4．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9，∵(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9， ∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4，即正实数a 的最小值为4.5．(2022·湖南五市十校联考)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是( )A ．第一种方案更划算B ．第二种方案更划算C ．两种方案一样D ．无法确定答案 B解析 设小李这两次加油的油价分别为x 元/升、y 元/升(x ≠y )，则方案一：两次加油平均价格为40x ＋40y 80＝x ＋y 2>xy ， 方案二：两次加油平均价格为400200x ＋200y＝2xy x ＋y <xy ， 故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算．6．已知p ：存在实数x ，使4x ＋2x ·m ＋1＝0成立，若綈p 是假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)答案 A解析 ∵綈p 为假命题，∴p 为真命题，即关于x 的方程4x ＋2x ·m ＋1＝0有解．由4x ＋2x ·m ＋1＝0，得m ＝－2x －12x ＝－⎝⎛⎭⎫2x ＋12x ≤－22x ·12x ＝－2， 当且仅当2x ＝12x ，即x ＝0时，取等号．∴m 的取值范围为(－∞，－2]．7．(2022·焦作质检)若数列{a n }满足a 2＝9，a n －1＋n ＝a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，则a n n 的最小值为( ) A.72 B.185 C.113 D.92答案 A解析 因为数列{a n }满足a 2＝9，a n －1＋n ＝a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，所以a 1＋2＝a 2＋1，解得a 1＝8，所以a n ＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋a 4－a 3＋…＋a n －a n －1＋a 1＝1＋2＋3＋…＋n －1＋8＝n 2－n ＋162， 则a n n ＝n 2－n ＋162n＝12⎝⎛⎭⎫n ＋16n －1 ≥12⎝⎛⎭⎫2n ·16n －1＝72， 当且仅当n ＝16n，即n ＝4时，等号成立， 所以a n n 的最小值为72. 8. 如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O 为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD ，其顶点A ，B 在直径上，顶点C ，D 在圆周上，则矩形ABCD 面积的最大值为(单位：cm 2)( )A ．8B ．10C ．16D ．20答案 C解析 连接OC ，如图，设BC ＝x ，则OB ＝16－x 2，所以AB ＝216－x 2，所以矩形ABCD 的面积S ＝2x 16－x 2，x ∈(0,4)，S ＝2x 16－x 2＝2x 216－x 2≤x 2＋16－x 2＝16，当且仅当x 2＝16－x 2，即x ＝22时取等号，此时S max ＝16.9．已知向量m ＝(x ,2)，n ＝⎝⎛⎭⎫3，y －12(x >0，y >0)，若m ⊥n ，则xy 的最大值为________． 答案 124 解析 因为向量m ＝(x ,2)，n ＝⎝⎛⎭⎫3，y －12， 且m ⊥n ，所以3x ＋2⎝⎛⎭⎫y －12＝0，即3x ＋2y ＝1. 因为x >0，y >0，所以1＝3x ＋2y ≥23x ×2y ，即xy ≤124， 当且仅当3x ＝2y ＝12， 即x ＝16，y ＝14时取等号． 10．在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为________．答案 52＋5解析 设直角三角形的两条直角边边长分别为a ，b ，则a 2＋b 2＝25.因为(a ＋b )2＝25＋2ab ≤25＋2×a ＋b 24， 所以(a ＋b )2≤50，所以5<a ＋b ≤52，当且仅当a ＝b ＝522时，等号成立． 故这个直角三角形周长的最大值为52＋5.11．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________． 答案 9解析 因为圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线， 所以两圆相内切，其中C 1(－2a ,0)，r 1＝2；C 2(0，b )，r 2＝1，故|C 1C 2|＝4a 2＋b 2，由题设可知4a 2＋b 2＝2－1⇒4a 2＋b 2＝1，所以(4a 2＋b 2)⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＝4a 2b 2＋b 2a 2＋5 ≥24a 2b 2·b 2a 2＋5＝9， 当且仅当b 2＝2a 2时等号成立．12．(2022·北京朝阳区模拟)李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A 商品获利8元．现计划在“五一”期间对A 商品进行广告促销，假设售出A 商品的件数m (单位：万件)与广告费用x (单位：万元)符合函数模型m ＝3－2x ＋1.若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x 应投入________万元．答案 3解析 设李明获得的利润为f (x )万元，则x ≥0，则f (x )＝8m －x ＝8⎝⎛⎭⎫3－2x ＋1－x＝24－16x ＋1－x＝25－⎣⎡⎦⎤16x ＋1＋x ＋1≤25－216x ＋1x ＋1＝25－8＝17，当且仅当x ＋1＝16x ＋1， 因为x ≥0，即当x ＝3时，等号成立．13．(2022·柳州模拟)已知△ABC 中，a 2＋b 2－c 2＝ab ≥c 2，则△ABC 一定是() A ．等边三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形答案 A解析 由a 2＋b 2－c 2＝ab ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又因为0°<C <180°，所以C ＝60°，因为a 2＋b 2－c 2≥2ab －c 2，当且仅当a ＝b 时取等号，即ab ≥2ab －c 2，解得ab ≤c 2，又因为ab ≥c 2，所以ab ＝c 2，且a ＝b 时取等号，因为C ＝60°，所以△ABC 一定是等边三角形．14．(2022·武汉模拟)已知平面向量OA →，OB →，OC →为三个单位向量，且〈OA →，OB →〉＝120°，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的取值范围为________．答案 [－2,2]解析 由OC →＝xOA →＋yOB →，两边同时平方得OC →2＝(xOA →＋yOB →)2，即OC →2＝x 2OA →2＋y 2OB →2＋2xyOA →·OB →，∵平面向量OA →，OB →，OC →为三个单位向量，且〈OA →，OB →〉＝120°，∴x 2＋y 2－xy ＝1，∴(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2≤4，即－2≤x ＋y ≤2.15．(2022·大庆模拟)设函数f (x )＝|lg x |，若存在实数0<a <b ，满足f (a )＝f (b )，则M ＝log 2a 2＋b 28，N ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2，Q ＝ln 1e 2的关系为( ) A ．M >N >Q B ．M >Q >NC ．N >Q >MD ．N >M >Q 答案 B解析 ∵f (a )＝f (b )，∴|lg a |＝|lg b |，∴lg a ＋lg b ＝0，即ab ＝1， ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2＝1a ＋b ＋2＝1a ＋1a ＋2<12＋2＝14，∴N ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2<－2，又a 2＋b 28>ab 4＝14，∴a 2＋b 28>14，∴M ＝log 2a 2＋b 28>－2，又∵Q ＝ln 1e 2＝－2，∴M >Q >N .16．设0<t <12，若1t ＋21－2t ≥k 2＋2k 恒成立，则k 的取值范围为() A ．[－4,2] B ．[－2,4]C ．[－4,0)∪(0,2]D ．[－2,0)∪(0,4] 答案 A解析 依题意k 2＋2k ≤1t ＋21－2t 对∀t ∈⎝⎛⎭⎫0，12恒成立，所以k 2＋2k ≤⎝⎛⎭⎫1t ＋21－2t min ，因为t ∈⎝⎛⎭⎫0，12，所以1－2t >0，所以1t ＋21－2t ＝⎝⎛⎭⎫1t ＋21－2t (2t ＋1－2t )＝2＋2＋1－2t t ＋4t1－2t≥4＋21－2t t ·4t 1－2t＝8， 当且仅当1－2t t ＝4t 1－2t时取“＝”， 即t ＝14时取得最小值， 所以k 2＋2k ≤8，所以(k －2)(k ＋4)≤0，解得－4≤k ≤2，即k ∈[－4,2]．。

常考题型强化练——不等式、推理与证明A 组 专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.“|x |<2”是“x 2－x －6<0”的什么条件( ) A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要 答案 A解析 不等式|x |<2的解集是(－2,2)，而不等式x 2－x －6<0的解集是(－2,3)，于是当x ∈(－2,2)时，可得x ∈(－2，3)，反之则不成立，故选A.2.某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，则这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)( ) A.8 B.9 C.10 D.11答案 C解析 设使用x 年的年平均费用为y 万元.由已知，得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x 2x， 即y ＝1＋10x ＋x 10(x ∈N *). 由基本不等式知y ≥1＋2 10x ·x 10＝3，当且仅当10x ＝x 10，即x ＝10时取等号.因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元.3.(2013·四川)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( ) A.48B.30C.24D.16答案 C解析 画出可行域如图阴影部分(包括边界)易解得A (4,4)，B (8,0)，C (0,2).对目标函数令z ＝0作出直线l 0，上下平移易知过点A (4,4)，z 最大＝16，过点B (8,0)，z 最小＝－8，即a ＝16，b ＝－8，∴a －b ＝24.选C.4.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(α，β)(α>0)，则不等式cx 2＋bx ＋a >0的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫1α，1βB.⎝⎛⎭⎫－1α，－1βC.⎝⎛⎭⎫1，1D.⎝⎛⎭⎫－1，－1 答案 C解析 ∵不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(α，β)，则a <0，α＋β＝－b a ，αβ＝c a，而不等式cx 2＋bx ＋a >0可化为c a x 2＋b a x ＋1<0，即αβx 2－(α＋β)x ＋1<0，可得(αx －1)(βx －1)<0，即⎝⎛⎭⎫x －1α⎝⎛⎭⎫x －1β<0，所以其解集是⎝⎛⎭⎫1β，1α，故选C. 5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若存在正整数m ，n (m <n )，使得S m ＝S n ，则S m ＋n ＝0.类比上述结论，设正项等比数列{b n }的前n 项积为T n .若存在正整数m ，n (m <n )，使T m ＝T n ，则T m ＋n 等于( ) A.0 B.1 C.m ＋n D.mn答案 B解析 因为T m ＝T n ，所以b m ＋1b m ＋2…b n ＝1，从而b m ＋1b n ＝1，T m ＋n ＝b 1b 2…b m b m ＋1…b n b n ＋1…b n ＋m －1b n ＋m ＝(b 1b n ＋m )·(b 2b n ＋m －1)…(b m b n ＋1)·(b m ＋1b n )＝1.二、填空题6.已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是____________. 答案 (－4,2)解析 ∵x >0，y >0，且2x ＋1y＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y， 即4y 2＝x 2，x ＝2y 时取等号，又2x ＋1y＝1，此时x ＝4，y ＝2， ∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2.7.已知点P (x ，y )在曲线y ＝1x上运动，作PM 垂直于x 轴于M ，则△OPM (O 为坐标原点)的周长的最小值为______________________________________________________.答案 2＋ 2解析 三角形OPM 的周长为 |x |＋1|x |＋x 2＋1x2≥ 2·|x |·1|x |＋ 2·x 2·1x2＝2＋ 2 (当且仅当|x |＝1|x |时，即|x |＝1时取等号). 8.已知对于任意实数α，我们有正弦恒等式sin αsin(π3－α)·sin(π3＋α)＝14sin 3α，也有余弦恒等式cos αcos(π3－α)·cos(π3＋α)＝14cos 3α，类比以上结论对于使正切有意义的α，可以推理得正切恒等式为________________.答案 tan αtan(π3－α)tan(π3＋α)＝tan 3α 三、解答题9.在一条直线型的工艺流水线上有3个工作台，将工艺流水线用如下图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为x 1，x 2，x 3，每个工作台上有若干名工人.现要在x 1与x 3之间修建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短.(1)若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置； (2)设工作台从左到右的人数依次为2,1,3，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值.解 设供应站坐标为x ，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为d (x ).(1)由题设，知x 1≤x ≤x 3，所以d (x )＝x －x 1＋|x －x 2|＋x 3－x ＝|x －x 2|－x 1＋x 3，故当x ＝x 2时，d (x )取最小值，此时供应站的位置为x ＝x 2.(2)由题设，知x 1≤x ≤x 3，所以d (x )＝2(x －x 1)＋|x －x 2|＋3(x 3－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3x 3＋x 2－2x 1，x 1≤x <x 2，3x 3－x 2－2x 1，x 2≤x ≤x 3.因此，函数d (x )在区间[x 1，x 2]上是减函数，在区间[x 2，x 3]上是常数.故供应站位置位于区间[x 2，x 3]上任意一点时，均能使函数d (x )取得最小值，且最小值为3x 3－x 2－2x 1.10.某市政府为了打造宜居城市，计划在公园内新建一个如下图所示的矩形ABCD 的休闲区，内部是矩形景观区A 1B 1C 1D 1，景观区四周是人行道，已知景观区的面积为8 000平方米，人行道的宽为5米(如下图所示).(1)设景观区的宽B 1C 1的长度为x (米)，求休闲区ABCD 所占面积S 关于x 的函数；(2)规划要求景观区的宽B 1C 1的长度不能超过50米，如何设计景观区的长和宽，才能使休闲区ABCD 所占面积最小？解 (1)因为AB ＝10＋8 000x，BC ＝10＋x ， 所以S ＝⎝⎛⎭⎫10＋8 000x (10＋x ) ＝8 100＋80 000x＋10x (x >0). 所以休闲区ABCD 所占面积S 关于x 的函数是S ＝8 100＋80 000x＋10x (x >0). (2)S ＝8 100＋80 000x＋10x (0<x ≤50)，令S′＝10－80 000x2＝0，得x＝405或x＝－405(舍去). 所以当0<x≤50时，S′<0，故S＝8 100＋80 000x＋10x在(0,50]上单调递减.所以函数S＝8 100＋80 000x ＋10x(0<x≤50)在x＝50取得最小值，此时A1B1＝8 00050＝160(米).所以当景观区的长为160米，宽为50米时，休闲区ABCD所占面积S最小.B 组 专项能力提升(时间：25分钟)1.某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0<t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为f (10)10)的月饼最小值为 ( ) A.18B.27C.20D.16答案 A解析 平均销售量y ＝f (t )t ＝t 2＋10t ＋16t ＝t ＋16t＋10≥18. 当且仅当t ＝16t，即t ＝4∈(0,30]时等号成立， 即平均销售量的最小值为18.2.某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的卡车和农用车分别为10辆和20辆.若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，则蔬菜收购点运完全部黄瓜支出的最低运费为( )A.11 280元B.12 480元C.10 280元D.11 480元 答案 B解析 设租用的卡车和农用车分别为x 辆和y 辆， 运完全部黄瓜支出的运费为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤100≤y ≤208x ＋2.5y ≥100x ∈N *y ∈N *，目标函数z ＝960x ＋360y ，此不等式组表示的可行域是△ABC (其中A (10,8)，B (10,20)，C (6.25,20))内横坐标和纵坐标均为整数的点.当直线l ：z ＝960x ＋360y 经过点A (10,8)时，运费最低，且其最低运费z min ＝960×10＋360×8＝12 480(元)，选B.3.如图所示，要挖一个面积为800平方米的矩形鱼池，并在鱼池的四周留出左右宽2米，上下宽1米的小路，则占地总面积的最小值是________平方米.答案 968解析 设鱼池的长EH ＝x ，则EF ＝800x， 占地总面积是(x ＋4)·⎝⎛⎭⎫800x ＋2＝808＋2⎝⎛⎭⎫x ＋1 600x ≥808＋2·2x ·1 600x＝968. 当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时，取等号. 4.我们把在平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系xOy 中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3,4)，且其法向量为n ＝(1，－2)的直线方程为1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比上述方法，在空间直角坐标系Oxyz 中，经过点A (1,2,3)，且其法向量为n ＝(－1，－2,1)的平面方程为________. 答案 x ＋2y －z －2＝0解析 设P (x ，y ，z )为空间内任意一点，则类比上述结论可得AP →·n ＝(x －1，y －2，z －3)·(－1，－2,1)＝0，整理得x ＋2y －z －2＝0.5.某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，产品的正品率P 与日产量x (x ∈N *)件之间的关系为P ＝4 200－x 24 500，每生产一件正品盈利4 000元，每出现一件次品亏损2 000元.(注：正品率＝产品中的正品件数÷产品总件数×100%)(1)将日利润y (元)表示成日产量x (件)的函数；(2)该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值.解 (1)∵y ＝4 000·4 200－x 24 500·x －2 000⎝⎛⎭⎪⎫1－4 200－x 24 500·x ＝3 600x －43x 3， ∴所求的函数关系式是y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N *,1≤x ≤40). (2)由(1)知y ′＝3 600－4x 2.令y ′＝0，解得x ＝30.∴当1≤x <30时，y ′>0；当30<x ≤40时，y ′<0.∴函数y ＝－43x 3＋3 600x (x ∈N *,1≤x ≤40)在(1,30)上是单调递增函数，在(30,40)上是单调递减函数.∴当x＝30时，函数y＝－43＋3 600x(x∈N*,1≤x≤40)取得最大值，3x最大值为－43＋3 600×30＝72 000(元).3×30∴该厂的日产量为30件时，日利润最大，最大值为72 000元.。

高考一轮复习6.3不等式的证明基础训练题（理科）注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分100分，考试时间45分钟。

第Ⅰ卷（选择题部分 共36分）一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（2007·上海春招）设b a 、是正实数，以下不等式①ba ab 2ab +>；②b |b a |a -->；③222b 3ab 4b a ->+；④2ab2ab >+恒成立的序号为（ ）（A ）①③（B ）①④ （C ）②③（D ）②④2. 若y ,x ,d ,c ,b ,a 均为正数，且cd ab P +=，yd x b ·cy ax Q ++=，则（ ）（A ）Q P =（B ）Q P ≥（C ）Q P ≤（D ）Q P >3. 已知∈d ,c ,b ,a {正实数}，且dc b a <，则（ ） （A ）d cd b ca b a >++< （B ）dc b a db c a <<++（C ）db ca d cb a ++<<（D ）以上均可能4. 若0q >且1q ≠，*N n ,m ∈，由n m q 1++与n m q q +的大小关系是（ ） （A ）n m n m q q q 1+>++ （B ）n m n m q q q 1+<++ （C ）n m n m q q q 1+=++（D ）不能确定5.（2008·衡水模拟）设b ,a 是两个实数，且b a ≠在①22b 2ab 3a >+；②322355b a ba b a+>+；③)1b a (2ba22--≥+；④2ab ba >+这四个式子中，恒成立的有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个6. 某种商品计划提价，现有四种方案，方案（Ⅰ）先提价m%，再提价n%；方案（Ⅱ）先提价n%，再提价m%；方案（Ⅲ）分两次提价，每次提价)%2n m (+；方案（Ⅳ）一次性提价)%n m (+。

陕西省高考数学一轮复习：69 不等式的证明姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共3题；共6分)1. （2分）设m＞n，n∈N* ， a＝(lgx)m＋(lgx)-m ， b＝(lgx)n＋(lgx)-n ， x＞1，则a与b的大小关系为（）A . a≥bB . a≤bC . 与x值有关，大小不定D . 以上都不正确2. （2分） (2019高三上·成都月考) 已知函数，设方程的四个实根从小到大依次为，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定成立的是（）A .B .C .D .3. （2分）用反证法证明命题：“若关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根，则a＜1”时，应假设（）A . a≥1B . 关于x的方程x2﹣2x+a=0无实数根C . a＞1D . 关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个相等的实数根二、解答题 (共15题；共100分)4. （5分）(2017·银川模拟) （Ⅰ）已知函数f（x）=|2x﹣3|﹣2|x|，若关于x不等式f（x）≤|a+2|+2a 恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）已知正数x，y，z满足2x+y+z=1，求证．5. （10分） (2020高二下·铜陵期中) 设函数 = ，．证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）．6. （10分）(2012·江苏理)（1） [选修4﹣1：几何证明选讲]如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD=DC，连接AC，AE，DE．求证：∠E=∠C．（2） [选修4﹣2：矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．（3） [选修4﹣4：坐标系与参数方程]在极坐标中，已知圆C经过点P（，），圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．（4） [选修4﹣5：不等式选讲]已知实数x，y满足：|x+y|＜，|2x﹣y|＜，求证：|y|＜．7. （5分） (2016高三上·西安期中) 设函数f（x）=x﹣a（x+1）ln（x+1），（x＞﹣1，a≥0）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=t在上有两个实数解，求实数t的取值范围；（Ⅲ）证明：当m＞n＞0时，（1+m）n＜（1+n）m ．8. （5分） (2016高二下·泗水期中) 设a＞b＞0，求证：＞．9. （10分） (2019·河南模拟) 已知函数f（x）＝|x＋1|．（1）若不等式f（x）≥|2x＋1|−1的解集为A，且，求实数t的取值范围；（2）在（1）的条件下，若，证明：f（ab）＞f（a）−f（−b）．10. （10分）用分析法证明：当a＞2时，；11. （5分） (2015高二下·和平期中) 已知a＞b＞0，求证： + ＜1．12. （5分） (2017高二下·广州期中) 综合题。